Cap19 - Campo Electrico I

5/8/2018 Cap19 - Campo Electrico I

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Capitulo 19

Campo electrico II:Distribuciones continuas de carga

Descarga e Ie c Irka entre doscenducteres cargados. EI campoelectrlco proximo a las puntasconductoras I'S su ficil'ntementeintense para arrancar 105 electronesde las molecules preximas de aire,ionizandolas y haciendo que el gassea conductor.

A escala rrucroscopica, la carga el.ectrica esta cuantizada. Sin embargo, con fre-euencia se presentan situaciones en las que un gran numero de cargas eslan tanpr6ximas que la carga total puede considerarse distribuida continua mente en elespacio. EI usc de una densidad de carga continua para describir una distribu-ci6n de un gran numero de cargas discretas, es semejante al usa de una densidadde masa continua para describir el aire. 1'1ella 1 realrnente consta de un gran nu-mero de molecules dlscretas, En cualquier caso es normalmente Facil enconlrarun elemento de volumen ~V que sea suficientemente grande para contener mu-chos miles de millones decargas 0moleculas individuales y al mismo tiernpo su-ficientemente pequefio para sustituir Q. V par la dilerencia dV y utilizar eJ d\culosin error despreciable. La carga existente por unidad de volumen puede describir-se par la densidad de carga volumica p:

p= AQJ.V 19-1Frecuentemente la carga 51' distribuyeen una capa delgada sobre la superficie

de un cuerpo. En tales casos se define la densidad de carga superficial IIcomola carga por unidad de area:a= AQ

aA 19-2


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Seccicn 191 Calculo del campo electrico mediante la ley de Coulomb 625

Analogamente, si Ia carga se encuentra distribuida a 1 0 largo de una linea en eIespacio, dehnimos la densidad de carga lineal}, como la carga por unidad de 10n-gitud:193

En este capitulo verernos algunos ejemplos del uso de la ley de Coulomb paracalcular el campo elecrrico debido a diversos tipos de distribuciones continuesde carga. Despues discutirernos la ley de Gauss que relaciona el campo eJectricoque existe sabre una superficie cerrada can la carga neta dentro de la superficie.y utilizaremos esta relacion para calcula r 1"1campo eJect rico en ciertas dlstribu-clones de carga que tienen un alto grade de sirnetria ,

19-1 Calculo del campo electricomediante la ley de CoulombElcampo eJectrico producido por una deterrninada distribucion de carga puedecalcularse en una forma directa par medic de la ley de Coulomb. En la figura19-1 hernos elegido un elernento de carga dq=p dV, suficienremenre pequefiopara que podarnos considerarle como una carga puntual. EI campo electrico dEen un punto del campo P debido a este clemente de carga viene dado per la leyde Coulomb:

JE- k dq ~I ---- rren donde res Ia distancia entre 1'1elemento de carga y el punto del campo P yres un vector unitario que apunta desde 1" 1elemento a dicho punta .. E l campototal en PSI' determine integrando estaexpresion para la distribucion de la cargacomplete. la cual considerarnos que ocupa cierto volumen V:

E- J k dq ~---IV r 194

en donde dq = p dV. Si Iii carga esta distribuida sabre una superftcie. utilizare-mas da=o dA e integraremos para toda la superficie. Si la carga reside sobreuna linea, usaremos dq = " / 1 . dl: e integrarem as para toda la Hnea.Campoelecrrico E sobre el eje de una carga lineal AnitaUna carga uniforme Q esta distribuida a 10 largo del eje .r desde .1 . =0 a x=Lcomo indica la Figura 19-2.. La densidad de carga linea! para esta carga es},=QIL. Queremos determ iner 1"1campoeleerrico producido por esta carga lj -neal en un punta P sobre el e je x, en X=Xo, siendo X o > L. En la figura, hernoselegido un pequefio elemento diferencial dx que dista .r del origen, EI punto delcampo PSI' encuentra a una distancia r=xo - .\ de este elernento de carga, Elcampo electrico debido a este clemento de carga esta dirigido a 1 0 largo del eje.1 y s u m a gn itu d 1"5:

dE = k dq, (xo-x) k"/l.dx(.to-;r)'

Figura 191 Un elemento de carga dqprod uce un campo dE = (k dq! rlTen el punt" P . EI campo en P debidoa la carga total se obrlene inl!.'grandoesra expresion pa ra toda ladlstrlbucion de carga.

Campo electrico debido adis t ri b u c io IH~S COIl til r!-lasde cargos

Figura ] 9"2 Ceornetria para el di lc ulo del carnpoelectricosabre el eje de una . carga lineal uniform!'. de valor total Q .longitud L ~' densidad lineal), = Q L Un elemento dq = A dxde la carga lineal puede considerarse como un a carga pun tualEI campo debido a este elemenlo se deduce mediante Iii ley deCoulomb y el campo total 51' obtiene inlegrando desde x = 0ax =L

1/

+ +++I. r~I


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626 Capttulo 19 Campo eUictri co Il: Distrlbucionas continuas de carga

I _ : JtEl dE~19111

d E I

y

Figura 19-3 Geometria para. elcalcule del campo eJiktrico en unpunta de Ia mediatriz de una cargalineal Hnita uniforme. Par s tmerr ia ,el campo electric a neto esperpendicular a Ia carga lineal. E Jcampo neto se obtiene integrando laexpresi6n correspondiente alcomponente perpendicular desde I) =o a IJ = 80 y multiplicandoe.1resulrado par 2.

Para dererminar el campo total integrarernos para toda la carga lineal compleradesde x=o a x=L:

E,=k)" t dx k~ I 1 l~xa-xF xo-x=k~ ! 1 - + , ) = k ~ ! Lxo-L xo(xo-L)Sustitu yendo ' J . . =QI L resul ta

kQ 19-5Como puede verse, si L es mucho menor que xc ' e1 campo electrico en Xo esaproximadamente kQ/:r~. Es declr, siestamos suficientemente lejos de ia cargalineal. esta se comports como una carga puntuaLCampo electrico E sobre la mediatriz de una carga lineal finitaDeterminaremos a continuaci6n el campo electrico debido a una carga lineal uni-forme de longitud L y carga total Q en un punto P sabre la mediatriz (perpendi-cular en su punto medio) de la linea, como indica la Figura 19-3. Hames escogidoun sistema de coordenadas tal que el origen seencuentra en el centro de la cargalineal. la carga esta distribuida sobree! eje x y el pun to del campo Pesta sabreel eje y. E! elemento de carga dq = ' J . . dx y el campo dE que produce se muestranen la figura. EI campo tiene un componente paralelo a la carga lineal y otro per-pendicular a esta. Sin embargo, dada la simetria de la distribucion par cada car-ga elemental ala derecha de! origen (como Ia indicada en la Figura) , existe otroa la izquierda que produce un componente paralelo de dE, igual y opuesto al in-dicado. Por tanto. cuando sumemos todos los elementos de carga de ia linea. loscomponentes paralelos se anularan y solo necesitamos calcular el componentede E perpendicular a la carga lineal.La magn itud del ca rnpo producido par un elemen to de carga dq =~x es

I d E I = . . . ! . : ! g _r k ' J . . d xEl cornponenre perpendicular (en este case, el componente y)es

H. dxdE =--- cos f JY f

EI campo total E y se calcula. integrando desde x=- i- L a x= + ~L. Dada lasirnetria de la distribuci6n de carga, la contribucion de cada mitad de Ia cargalinea! del campo total es identica. de modo que puede obtenerse el mismo resul-tado integrando de x=O a x=i- L y multiplicando par 2. Es decir,

19-6

19-7Esta integracicn puede simpiificarse sustituyendo la variable x por la 0. En

la figura 19-3 puede verse que x y fJ estan relacionadas por 1a expresi6nx=y tg () 19-8

en donde y es la distancla perpendicular desde la carga lineal a l punto del campo,la cua l no varia en Ia integraci6n. Par tanto,

dx ( r ) 2d O =y sec10 =y --;;-.


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Seccien 19-1 Okulo del campo electrico mediante la ley de Coulomb 627

Por tanto, el incremento dx viene relacionado can el incremento de pordx=--"c_ dey

Hacienda esta sustitucion en la ecuacion 19-6, se obtienek > . .dE y=-- cos 8 dey

Segun la eeua.ci6n 19-8,9=0 euando x=O, y ()=fJo cuando x= ~ L, es decir19-9

J Ltg80=-" -yEI cornponente total y del campo se obtiene integrando laecuacion 19-9 desde9=0 a 9=80 y multiplieando par 2;

E = 2 1 0 - 0 0dE = ~ 1 0 0 (j de_ . cosn-~ y "o sea,

19-10

en donde (vease figura 19-3) el sen e o esta relacionadocon Le y par la expresion

Cuando y es mucho mayor que L, sen 8" viene dado aproximadamente porILsen ( J o " '" - - y y ~ L

y E . vale tarnbien aproximadamenteE ",,~=kQ" yl. :i

en donde Q=}"L es la carga total. Como era de esperar, en un punta muy alejadode la mediatriz la carga lineal finita se eomporta como una carga puntual.Campo electrico E proximo a una carga lineal inHnitaS i eJpunta del campo esta rnuy proximo a una carga lineal, 0 alternarivarnente, [acarga linea! es de gran iongitud, de made que y 4L, el angula 90 (vease figura19-3) es aproximadamente 90". Sustituyendo 80=900 en la ecuacicn 19-10 resulta

E=~II Y19-11

Asl pues, ruanda la distancia y desde la earga lineal infinita a un punta del cam-po crece, 1 " 1 campo electrico disminuye segun lly.

EjerclcioComprobar que la ecuaci6n 19-11 tiene las unidades correctas del campoelectrico.

Campo E en la mediatr iz de facarga l ineal fitlit.a

C am po e /e ctr ic o E a ulla dis tanc iay de u na carga l in ea l i nf in it a


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628 Capitulo 19 Campo eliktrko Il: Distribuciones continuas de conga

Figu.ra 19-4 {Ill Una carga li nea Iinfinita a 1 .0 largo del eie z y unacarga puntual q sabre 1 '1 eje !Irorrespondiente ill ejemplo 19-1. Elcampo electrico E en un punta Psabre el eje x se derermina medianteIa superposlclen de los camposdehidos a la carga lineal y a 1 2 1 eargapuntual, E I campo debido a la cargapuntual esra dirigido a 10 largo de lalinea rrazada desde la (a rga punt ualal punta del campo. (bl Lineas delcampo electrico proximas ~ un largocable. EI campo electrico proximo auna l inea de a It a tension puede sersuficiente para arrancar los electronesde las moleculas de aire,ionizandolas y hacienda conductor alalre. El resplandor resulrante de larecombinacion de los electroneslib res con los iones 51' denornlnadescarga en corona.

1/

xI =8 ..C

Ejemplo 19-1Una carga lineal infinita de densidad lineal A= 0,6 I' C/m esta distribuida a10 largo del eie z, y una carga puntual q =8 p.C 51' encuentra sabre 1' 1eje y eny=3 m, como se indica en la Figura 19-4. Determinar el campo electrico enel punto P deleje x, en x=4 m.

EI campo electriro en cualquler punta del espacio se derermina a partirde la superposicion del campo producido par la carga lineal y el campo debi-do a la carga puntual. En el punta del campo P sobre el eie x en .1;=4 m. elcampo electrico debido a la carga lineal tiene la direcci6n del eje x y vienedado por

E,=~ i=2(8,99XlO nm2/C~)(O,6X)0 b C/m)x 4m

=(2,70 kN/CliEl campo electrico producido par Ia carga puntual situada a la distancia,'(4 mF+(3 m)-=5 m, es

E = _ _ ! s g _ _ r = (8,99XIO Nm2ICl)(8XI0 b C)r ,~ (S mF (2,88 kN/C)i'

en donde r es un vector unU~_fjo que apunta desde q al punta del campo P .El campo Er forma un an~lo e can el eje de las x como indica la figura. Loscomponentes x e y de E p son

E!,,=Ep cos 8=(2,88 kN/C) (.;) =2,30 kN/Cy

EI,.=-Ep sen (1=-(2,88 kN/CJ (-i)=-1,73 kN/CEl campo electricc resultante en P tiene los componentes x e y dados par

E,=EL,+Er,=2.70 kN/C+2,30 kN/C=5,OO kN/CyE~=Ely+El'y=O+(-1,73 kN/C)=-1,73 kN/C

La magnitucl de este campo esE=..Jg+E?=,f(.5,00J2+(-1.73)Z kN /C=5,2 9 kN /C

Su direcci6n Forma un itngulo c p por debaio del eje x dado parq,=arctg (- __!2!_)=-19,J


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Secci6n 19-"1 Cilculo de1campo eJlktrico mediante In ley de Coulomb 629

Campoelectrico sobre el eje de una carga anularLa Figura 19-5 rnuestra un anillo de radio a cargado uniformemente con la cargatotal Q. Desearnos determinar el campo eliktrico en un punto P del eje del anilloa una distancia x del centro del mismo. E I campo d E debido a Ia carga elementaldq viene indicado en la Figura. Este campo tiene un componente ,dE, dirigido a]0 largo del eje del anil lo y un componente dEJ. perpendicular al eje. A partirde l a s i rn e rr ia de la figura vernos que el campo resultante debido al anillo enterodebe estar dirigido a 10 largo del eje del anillo: es dedr, seanulara la suma delos componentes perpendiculares. En particular, el components perpendicularindkado sera contrarrestado par el debido a otra pard6n de la carga directamen-te opuesta a la indicada en la figura. E I componente axial debido a La parte decarga indicada es

dE =~ cos O=J.!:!g_ _ _ _ _ _ k dq x'r ,- 2 r ( . x 2+a2)11en clan de I/y

cos 0=- = - - - - = _-=x===,.-r ..j x . I + a2E I campo debido al anillo complete cargado es

E - J kx dq,- (xl+al)lZComo x no varia al integrar para los elementos de carga, podemos sacarle fuerade I ; ; . integral. Par tanto,

E= k.r Iq(x~+al)~ les d ec ir ,E= k Q ' _ 'z (r+a2}3.~ 19-12

Podemos comprobar este resultado anallzando los valores extremes de z , Para.r=0, resujta E , =0, resuJtado 16gico, ya que para cada eiemenro del anillo elcampo en el centro se cancels por el producido par el elemento directamenteopuesto en el otro lado del anillo. Cuando ;r es mucho mayor que a, puede des-preciarse al frenre a ;r 2 en el denominador de la ecuaci6n 19-2. As! se obtiene E ,""kQlxl. Es decir, lejos del anillo, este se comporta como una carga puntual,1 0 cual era de esperar,Campoeiectrico E en el eje de un disco uniformemente cargadoL a Figura 19-6 muestra un disco uniformemente cargado de radio R y carga totalQ. Queremos determinar el campo electrico sabre el eje del disco. Como el areadel disco es 7fRl, la carga par unidad de area es a=Q 17rR l .. EI campo elect ricosobre el eie del disco sera paralelo al eje. Poderno s ca lcu la r este campo conside-rando el disco con una serie de cargas en forma de anillos concentricos. Conside-remos un anillo de radio a y anchura c ia como indica la figura. E I area d e estean ill0 es dA = 1I"ada, y su carga esdq = (J ci A = 1 I " r Ja cia. E l campo prod uci-do par este anillo viene dado par la ecuaci6n 19-12 reemplazando Q pordq=27foa cia. A S I resulta

dE =k x 2 1 1 " o l 1 da, (xl+alVl

r/q

.r

r

____ -'l__~ f>

dE,\Figura 19-5 Anillo cargado de radioo. EI campo elktrico en el punto Psobre el eie I debido al elemento decarga dq posee un componente a 1 0largo del ei e x y uno perpendicular aeste mismo eje. Cuando loscornponentes perpendicularescorrespcndlentes a todos loselementos de! anillo se suman, secancel an entre 5 1 , de tal modo que elcampo neto esta dirigidca 1 .0 largodel eje I.

Campo electrico sabre el ejede una carga anular

Figura 19-6 Un disco que posee unadensidad de carga superficialuniforrne puede constderarse comouna serle de cargas anulares cadauna de ellas de radio a y espesor dotranspo rrando una carga dq= fldA=rQ/~Rl)ha dll.


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630 Capitulo 19 Campo eledrlco 11:Distribuciones continuas de carga

C am po e Je c.tr ic o E sab re el e iede un disco cargado

Campo elearico E proximo a unplano infin.ito de c arg a

EI campo total producido par el disco se determina integ.randoesta expresi6ndesde a=O hasta a=R:E = N kx27rfJada

> . 0 (XZ+ a2)312 kx 7ra I : (xl+al)-Jn 2a daEsta j ntegr al es de la forma J t4" du, can u = J::2+ a1 y n=- ~.a integraci6nnos da

E ,=X1TU [ (Xl +a2)-In=-2kX7 rfJ .( 1.Jxl+R2

es decir19-13

Es de esperar que Iejos del disco, este se comporte como una carga puntual.En efecto, si z R , el segundo termino de la ecuacion 19-13, teniendo en cuentael desarrollo del binomio, (1+f 1 =0 1+ ne . rM,l E < l ! i 1, puede sustituirse par lasiguiente aproximaci6n:

R21---+...zr.xAs) pues, laecuacion 19-13 se convierte en

( R 2 . )E~ = 2 7rkrI 1 - 1+ 2r + ... . k 7 r R2(J __!sQ_Xl x len dande Q=U7rR2 es la carga total sobre el disco.Campo electrico E en las proximldades de un plano infinite de cargaEI resultado importante del campo pr6ximo a un plano infinito de carga puedeobtenerse a partir de la ecuad6n 19-13 hacienda que R tiendaa infinite 0 quex tienda a cera. Entonces

x> o 19-14aPar tanto, el campo debido a una distanda de carga en un plano infinite es uni-forme; es decir, el campo no depende de z. Al otro lada del plano infinite, paravalores negatives de z, el campo apunta en la direccion x negativa, de modo que

x


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(a) Como Ia distancia 0.01 cm es mucho menor que 1 " 1 radio del disco.podernos aproximar este a un plano infinito de carga y utilizar la ecuacion19-14a. El campo electrico es, par tanto.E, = 21 r k a=21r (8,99XIO Nm2/C)(4XJO" C/m!)=226 kN/C

(b) Tarnbien 0,03 cm 1 "5 mucho menor que el radio del disco, de modoque este 5 1 " comporta como un plano infinito y 1 "1 campo elecrrico es21rka =226 kN /C,(d Como 6 m es una distancia mucho mayor que e l radio del discopodernos considerareste como una carga puntual Q=0'1rr2={4 p,C/ml)1r

{C,OSmF=31,4 nC. EI campo electrico a una distancia de 6 m de tal cargapun tu a l es/ o . : Q (B , 99 X 10 N-m!(C)(31.4 X10-0 C)E=-

, XZ (6 m)'=7,B4 N/C(ri) Como 6 cm es una distancia del mismo orden de magnitud que eJ ra-

di o (Scm). u tiliz arern os la expresi6n exacta por la ecuaci6n 19-13:

=226 kN/C) ( 1 _ 6 cm )...}(6 cm)2+(5 ern)'=(226 kN/C)(l - 0.768)=52,4 kN/C

Observese que no hemos tenido necesidad de convertir centimetres en metrosen la expresi6n x I , J . r :1+ R2 . ya que las uniclades se cancelan en este cocien te.EjerclcioCalcular e .I campo electnco concuatro cifras significativas correspondiente a laspartes (al y (b) del ejemplo 19-2, y cornparar los resultados con los valoresaproximados deducidos en este ejernplo. [Respusstas: (b ) E ,=225,9 kN/C, elcual difiere del valor 226 kN/C eproximadamente en un 0,04 por ciento.]

Cuesu6n1. 5i la carga eltktrica esta cuantizada, Lc6mo es posible hablar de distribucio-nes continuas de carga?

19~2 Ley de GaussLa descripcien cualitariva del campo electrico mediante las Iineas de fuerza dis-cutidas en el capitulo 18, esta relacionada con una ecuaci6n maternatica llamadaley de Gauss. que relaciona e1campo electrico sobre una superficie cerrada conlacarga neta induida denrro de Ia superficie. Esta ley permite calcular facilmentelos campos electricos que resuJtan de distribuciones simetricas de carga, talescomo una corteza esferica 0una linea infinita. En esta seccien darernos un argu-mento plausible de la ley de Gauss basado en las propiedades de las lineas decampo eJectrico. En la secclon 19-5 se ofrece una deduction rigurosa de la leyde Gauss.

Seccicn 19-2 Ley de Gauss 631


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632 Capitulo 19 Campo eliClri!;o II: Distribuciones continuas de carga

La Ilgura 19-7 muestra una superflcie de forma arbitraria que incluye un di-polo. EI numero de lineas que salen de la carga positiva y cruzan la superficie,saliendo del recinto limitado par esta, depende de d6nde se dibuje la superficie,peroel mirnero es exactamente igual al nurnero de Iineas que entran en el rnisrnorecinto y ter:minan en la carga negativa. Si contamos el nurnero que sale comopositive y el nurnero que entra como negative, el numero neto que sale a entraes cero. En las figuras en las que se rnuestran las lineas de Iusrza para otras distri-buciones de carga, como oeurre en la Figura 19-8, eJ numero neto delineas quesale por eualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a Ia cargaencerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la leyde Gauss.

Figura 19-7 Dipole electrico encerradoen una superflcie deforma arbitrar' .a, E I numero de lineas que abandcnan lasuperficie es exactarnente igual al numero de lineas queentran en ella sin que imports d6nde se dibuje la superficie,siempre que se encierren denlro de ella arnbas cargas,

Figura 19-8 Superf icie de forma arbilraria que inclu ye lascargas +Zq y -q. las lineas de c..mpo que terminan en-q 0 no pasan a traves de Iii superficie 0 salen y vuelven aentrar. E I numero neto de las lineas que salen es 1'1misrnoque corresponderia a una solacarga de valor igual a lararganela dentro de l a s u pe rf ic ie .

La magnitud maternatica relacionada can eJnurnero de lineas de fuerza queatraviesa una superficie recibe el nombre de flujo ellktrico. En la Figura 19-9 sernuestra un area A perpendicular a un campo electrico uniforrne. El f1uio eJectri-co 4Jque atraviesa una superficie de area A que es perpendicular al campo se de-

___ -E- fine como el producto del campo. E por 1'1area A:,,I-rII

-

Figura 19-9 l.meas de luerzacorrespondientes a un campoel&lrico uniForme E que atraviesa unarea A perpendicular al campo. E Iproducto EA es 1'1 fluie Ih a travesdel area.

rjJ=ALas unidades de flujo son el newton-metros cuadrados por culombio (Nm!/Cl.Como el campo electrico es proporcional al nurnero de lineas par unidad de area,1 '1 flujo electrico es pro po rcio na l a I n urn ero de l ineas de Iuerza que atraviesan1 ' 1 . area.En Ia Figura 19-10 Ja superficie de area A 2 no es perpendicular al campoelectrico E. El nurnero de lineas que atraviesan el area A 2 es el mismo que atra-viesa el area A I' Las areas estan relacionadas por

19-15en donde Oes el angula existente entre E y el vector unidad fI perpendicular ala superficie Az ' segUr"!esta indicado. El flujo a traves de una superficie no per-pendicular a E viene definido por

4J=EfIA=EAcos 8=EnAen donde E n = EfI es el componente del vector del campo electrico perpendicu-lar. 0 normal. a la superficie.


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nSecc:i6.n 19-2 Ley de Gauss 633

Figura 19-10 Lineas de Fuerza correspondientes iIun campoeliktrico unilorme perpendicular a t ru-ea At. pen> que formaun angulo Ii can el vector de unidad Ii normal 1.11 rea At.Cuando E no es perpendicular al area, el flujo a traves delarea. es E o A , siendo E o = E cos 0 el componente de Eperpendicular al area. EI flujo que atraviesa At es el mismoque pasa por A I.

I""{ E--r - _ 1 ..I

-:F - -}r - - - - - - ~ - ~ - - - - - - - . - --'"\ . 1 1 2Al Az cos f/""AI

Podemos generalizar nuestra definicion de Hujo electrico a superficies curva-das en las cuales el carnpeelectrico puede variar tanto de modulo como de direc-cion, 0 ambos a la vez, dividiendo la superficie en un gran n6:mero de elementosmuy pequefios, S i cada elemento es suftcienternente pequefio, puede considerarsecomo un plano y puede despreciarse la variacion del campoelectrlco en todo elelemento. Sea n , el vector unidad perpendicular a dicho elemento y 6.A, su area(Figura 19-11). (Si la superficie es curvada, los vectores unidad f l , tend ran direc-clones diferentes enel caso de elementos distintos.) EI flujo del campo electricoa traves de este elernento es

6.q'.!,= Efl., 6.A iEl flujo total. a traves de la superficie es la suma de 6 . ! / l , extendida a todos loselementos. En el limite en que el numero de elementos se aproxima a infinite yel area de cada eJemento tiende a cero, esta suma resulta ser una integral. La defi-nicion general del flujo electrico es entonces

cj>= lim E E n, 6 .A , = JE . ft dA~I"""'O I

19-16

Frecuenternente estamos interesados en conocer el flujo del campoelectrico atraves de una superficie. En una superficie cerrada, el vector normal unidad n sedefine de modo que esta dirigido hacia fuera en cada pun to. En un punto donde unalinea de fuerza sale de la superficie, E esta dirigido hacia fuera y q'.!espositive, perc enun punto en donde una linea de fuerza entra en la superficie, E esta dirigido haciadentro y es negative. EI flujo total 0 neto ....a a traves de 1 0 1 superficie cerrada espositive 0 negativo dependiendo de que E sea predominantemente hacia fuera 0hacia dentro de la superficie. Puesto que el Hujo a traves de cualquier parte de 1 0 1superficie es proporcional al numero de lineas que atraviesan la misma, el flujo netoes proporcional al mimero neto de lineas de Fuerza que salen de la superficie, esdecir, al numero de lineas que salen de la superficie menosel nurnero de las queentran, La integral extendida a una superficie cerrada se indica par el simbolo J .EJ flujo neto a traves de una superficie cerrada viene dado, par tanto, par

r / J " " Q = f E 1 i . dA= P s E n dALa figura 19-12 muestra una superficie esferica de radio R con su centro en

1 0 1 carga puntual Q. El campo elecrrico en un punto cua!quiera de 1 0 1 superficiees perpendicular a la superficie y tiene 1 0 1 magnitud

19-17

EI flujo neto a traves de esta superficie esferica esno=r h En .dA =En ~_ dAJ5 t

Figura 19-11 Cuando E varia en unm6dulo 0 dlreccien, el area se divideen elementos de area pequefios M,.a flujo a traves del f i rea se cakulasumando .EfI,AA, para todes loselementos.

D efinic io n de fluiD electrico

dA

Figura 19-12 Una superficieesfericaque incluye 101carga puntual Q . EIrnisrno numero de lineas de campoelectrico que pasa a traves de estasuperficie, atraviesa cualquiersuperficie que incluya Q. 1 flujo secaleula fkilmente para una superficieesf~rica. Es lgual al producto de E .por el area superficial 4wR'.


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634 Capitulo 19 Campo I!llictrico U: Distribuciones ccntinuas de carga

: I ; < q ]Figura 191.3 Superficie que incluyelas


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5ecci6n 19...3 Calcu]o del campo eh!ctricomediante la ley de Gauss 635

y la ley de Gauss se ascribe

19-22

El valor de E o en unidades 51 e s1 1

fo= 41rk = 4"11 '{B , 99XICf! N.m~ jC l)La ley de Gauss es valida para todas las superficies y distribuclones de carga.Como veremos en la secci6n siguiente, puede utilizarse para calcular el campoelectr ico en algunas distribuciones especiales de cargacon altos grados de sime-tria. La potenda real de la ley de Gauss es te6rica. En los campos electricos que

resultan de cargas estaticas que se mueven lentarnente, 1 3 ley de Gauss y la leyde Coulomb son equivalentes. Sin embargo, la ley de Gausses mas general, puestambii~n puede aplicarse en campos electricos generados por cargas que se mue-ven r;lpidamente y cargas aceleradas.Cuestiones2. Si el campoelectrico E es cere en cualquier punto de una superficie cerrada,

Les cera necesariamente el flujo neto a traves de dicha superficie7 l.eual esentonces la carga neta dentro de la superficie 7J. Si el f1ujo neto a traves de una. superficie cerrada es cere, l.se deduce entoncesque el campo electrico E es cero en todos los puntas de la superficie7 l.5e de-duce que la carga neta dentro de la superficie escero 14. LE l campo eliktrico E de la ley de Gauss e s la parte de campo er,ktrica debidoa la earga interior a la superficie a es el campo elect rico neto debidoa todas

las cargasesren en eJ interior 0 en el exterior de la superficiel

19-3 Calculo del carnpoelectricomediante la ley de Gauss

En algunas distribuciones de carga altamente sirnetricas. tales como unaesferauniformementecargada 0 una linea infinita de carga, es poslble determinar unasuperficie rnaternatica que por simetria posee un campo electrico constante per-pendicular a la superficie. A continuacion puede evaluarse Facilmente el flujoelectrico a traves de esta superficie y utilizar la ley de Gauss para relacionar elcampo electrico con lacarga interior a la superficie. Una superficie utilizada paracalcular el campo eJectrico mediante la ley de Gauss se denomina superficie gaus-slana..En esta secci6n utilizarernos dicho metoda para calcular el campo electricoproducido por diferentes dlstribuclones slmetricas de carga.Campo electric a E proximo a una carga puntualEn primer lugar utilizaremos la ley de Gauss para determinarel campo electricoa una distancla r de una carga pun tual q. Supongamos que la carga puntual esraen el origen. Por sirnetria E sera radial y su magnitud depende s610 de la distandaala carga, Como superficie gaussiana, elegiremos una superficie esferica de radior centradaen la carga. EI componente normal de E, E n =E n = E , tiene el misrnovalor en todos los puntas de nuestra superficle esferica. 61flujo nero a traves deesta superficie es, pues,

cjJ""Q= r E n dA= P E, dA=, r dA

Ley de Gauss en [uncion de e;


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636 Capitulo 19 Campo elec;:tri


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Seccion 193 Calculo del campo e.lect.r"icomediante la ley de Gauss 631

ti va sobre el plano en J.=2 m apunta hacia este plano. Por tanto, en el espaciocornprendido entre ambos pianos, las magnitudes de los campos se surnan,mientras que a la derecha 0 a la izqurerda de ambos planes las magnitudes serestan . Elcampo electrico en .r=1,8 rn, situado en t re los pianos, es por tanto,E,=j+1=226 N/C+226 N/C=452 N/C

lb) Como eJ punta x=5 se encuentra a la derecha de ambos planes,las magnitudes de los campos se restart, de modo que e1campo electrico neroes O. En la Figura 19]5 se rnuestran las lineas de campo electrico para estadistr ibucion de carga.

+ +- . . . . /, -......-- . . . . . . .--~. . . . . -

++_---o~ ~

+

Campo electrico E proximo a unacarga lineal infinitaConsideremos ahorael campo t"lectrico a una distancia r de unacarga lineal muylarga de densidad de carga lineal uniforme A. La Figura 1916 muestra una super-fide ciHndrica de longitud L y radio r coaxial can la linea de carga, Par simetria,en aquellos puntas alejados de los extremos de la linea, las llneas del carnpoelec-trico irradian hacia fuera uniformemente desde la linea de carga (si esta es positi-V i i ) . EI campo electrico es, par tanto, perpendicular a la superHcie cilindrica yposee el mismo valor E , en cualquier punta de la superficie. El flujo electrico es,por tanto, igual al producto del campo elec'trico par el area de la superficie cilln-drica. No hay flujoa traves de las superficies planas de 105 extremos del cilindro,ya que en estas superficies [.f!=0. La carga neta dentro de esta superficiees elproducto de la carga por unidad de longitud }. multiplicada par la longitud L.Seg(Jn la ley de Gauss

r P " " o = 1 , E n dA =_1_ Q o n h ' m .fop E n dA=E, f dA= .~~

Comoel area de la superficie cilindrica es 27rrL, tenernos

+ +

E . XL,2'1["rL=--~o

o sea1 h AE=---=2k- 2 1 1 'E o r r 19-24

Figura 19-15 Un plano infinite decarga con una densidad de cargasuperficial posltiva enel plano yz enel origen y un plano infin ito de cargacon una densidad de C O l rga s up er fic ia Inegadva de igual magnitud en .x =2m. E l campo electrico es ceroexcepro enla regi6n cornprendldaentre los pianos. las lineas de campoelectrico ccmlenzan en 1 0 ' 1 p l a n ocargado positivamente y terminan enel plano cargado negativamente,

Figura 19-16 Una carga l inealunilorme muy larga (on una5uperficie cillndrica que inc1uye partede la carga, EI f]ujo a traves de Iasuperficie viene dado per el productode E , par el ~rea de la superficie2." . rL

+ f

L--

Campo e lec tr ic o E a linGdistancia r de u.na carga linealinjinita


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638 Capitulo 19 Campo electrico 11: Distribuciones continuas de carg a

++ +-.... ++

~

+( t + ++Figura 19-17 Una cortez" cilindricade radio R . portadora de unadensidad de carga superficialun i fo rme a. Para determinar elcampo electrico dentro de la corteza,Sf' construye una superficie gaussianacilindrica concentrica con la cortezade radio r < R como se indica.Como no hay carga dentro de lasuperficie gaussiana, el fluio nero atra v e s de esta 5U pe rBci e es n u J o.

Campo elecrrico E dentro de unacorlezer cillndric de carga

Campo e lec t r i co E exterior a unacorteza cilindrica de carga

Este resultado es el mismo que el de la ecuaci6n 19-11que fue obtenido par inte-graci6n directa sobre la carga lineal.Es importante desracar que para usar la ley de Gauss es necesaria la existenciade un alto grade de simetria. En el calculo anterior fue necesario suponer queel punto del campo estaba muy alejado de los extremes de la carga lineal de talmodo que E n seria constante en todos los puntos de la superficie gaussiana ci-lindrica. Esto equivale a suponer que a la distancia r de Ia linea de carga, est aparece ser infinitamente larga. 5i la carga lineal es de longitud Hnita, no podernossuponer que E n es constante en todos los puntos de la superficie cilindrica y partanto, no puede utilizarse la ley de Gauss para calcular el campo electrico,

Campo electrico E en el interior y en el exteriorde una corteza cilindrica de cargaCalculemos ahara el campo electrico dentro y fuera de una corteza cilindrica deradio R que posee una densidad de carga superficial uniforme, o . Para calcularel campo dentro de la corteza considerernos una superficie gaussiana cilindricade longitud L y radio r < R concentrica con la corteza, como indica la figura 19-17. Por simetria, el campo electrico es perpendicular a esta superficie gaussianay su magnitud E , es constante en todos los puntos de la superficie. 61 flujo deE a traves de la superficie es, por tanto,

" " n . ' , , , = p E n dA =E, P dA=E,2uLen donde 2uL es el area de la superficie gaussiana. Como la carga total dentrode esta superficie es cero, la ley de Gauss nos da

I b n . . o = ,2 7rrL= aPar tanto,

E,=O r < R 19-25aEs decir. el campo electrico es nulo en todos los puntas dentro de una cortezacilind rica .Para determinar el campo electrico Fuera de la corteza, considerernos una su-perficie gaussiana cilindrica de radio r > R. De nuevo, por sirnetria, el campoelect rico es perpendicular a esta superficie gaussiana y su magnitud E , es cons-tante en todos los puntos de la superficie. EI f1ujo vuelve a ser E ; 2 1r rL , peroahora la carga total dentro de la superficie es a21rRL. Segun la ley de Gauss

C J 2 1 r R L

Par tanto,

Como la longitud L de la corteza cilindrica transports la carga a2'lfRL. la cargapor unidad de longitud de la corteza es }..=o27rR. Sustituyendo }..121t'Rpar a enla ecuaci6n anterior, se obtiene

E C 1 R 1 ).=--=----, fo r 2 1 1 " E g r r> R 19-25bexpresi6n qUE' coincide can la ecuaci6n 19-24 correspondiente a un campo E auna distancia r de una carga lineal infinita. As! pues, el campo exterior a una


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Secci6n 19~J Calculo del campo electrico mediante la ley de Gauss 639

Figura 1918 GrMka de E , en Iuncicn de r para. una certeaacllfndrlca que posee una carga distribuida unlformemente ensu superficie. E ! carnpoelectrico es discontinue en r - R,en donde hay una carga superficial de densidad a. Justoden tro de 141ccrtez a , el tampa es n ulc, m ien tras que justofuera de la corteza, su rnagnitud es al Eo .

E ,

E=_1_~.--/ ' 2 :rrEO r

E,=Oo

+ R

+

corteza cilindrica de carga es el mismo que S 1 toda la carga estuviera distribuidasobre el eie del cilindro. La figura 19-i8 muestra el valor E, en funci6n de rpara esta distribuci6n de carga .. Justamente fuera de la corteza en r = R, el cam-po elect rico es E , =a!fo. Como e l campo justamente dentro de la corteza es cere,resulta un salta discontinuo del campo electrico de valor alEo al atravesar lac ortez a, E ste result ado coincide con el que encontramos para un plano infinitode carga, en donde el campo electrico es - u/2fo a un [ado del plano y +a/2eoalotro lado. Es un result ado general que deducirernos 4 1 1 final de esta secci6n.

Campo eiectrico E enel interior y en el exteriorde un dlindro solido de carga inHnitamente largoLa Figura 19-19 muestra un cilindro solido de radio R portador de una carga queest.d is tr ib u td a u n if orm em e n te por todo el vo lumen del cilindro can densidadde carga p. Lo mismoque en el caso de 1 4 1 corteza ciltndrica de carga, el flujoa traves de una superflcie gaussiana cilindrica de radio r y [orrgitud L es

r P n ' l Q = , 2 1 T r LSi la superficie gaussiana es exterior alcillndro, es decir, si r > R . 1 4 1 carga totaldentro de esta superficie es p veces el volumen de! cilindro s6lido, el cual vale" l f R 2 L . Segiin la ley de Gauss

E , 2 1 T T L = p 7 l " R 2 Lfa

De nuevo, podemos escribir esta expresi6n en funci6n de 1 4 1 carga por unidad delongitud a 1 0 largo del cilindro, es decir, X= p 1l " R 2 L )/ L = p 1 l " R 2 . SustituyendoXhrR2 por p en Laecuacion anterior, se obtiene

E= . . . . . e B . : . . . = _ ._1_2.r 2Eer 2 ' 7 1 ' e a T r ~ R

que coincide con las ecuaciones 1924 y 1925b. As! pues, el campo electrico exre-rior a un cilindro s6lido de carga es el mismo que si toda 1 4 1 carga estuviera distri-buida en el eje del cilindro.

++ +- + ++ + :j.\.~V + Is . I ++ + }J + +

Figur,I 19-19 Cilindro solidopcrtador de una densidad de cargavolurn ica uniforme p.

Campo electrico E exterior a Utic ilindro s6/ido de carga


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640 Capitulo J9 Campo e1~ctricoU: Oistribuciones conrinuas de carga

Campo electrico E dentro de uncilindro s61ido de carga

Si se elige Ia superficie gaussiana en el interior del cilindro, de modo quer < R, la carga total interior a la superficie es p V ', en donde V' = 11"rL es el vo-lumen del cilindro interior a la superficle gaussiana. Por tanto, la ley de Gaussnos da para el campo electrico interior al cilindro s6lido de carga

E , 2 1 r r L =_1_ PV '=_1_ p 7 r r 2 Lfo 1 0 0

o sea

E=-P- rt Z E o r ~ R 19-26b

Es decir, el campo electrico dentro de un cilindro solido de carga crece can elvalor de r , La Figura 19-20 muestra un grafico de E, en funci6n de r para estadistribuci6n de carga. Observese que E, es continuo en r=R.

Figura 19-20 Grflfica del campo electrico E , producido pOl' uncilindro solido cargado, de radio R en ronci6n de la distanciar medida desde 1'1 eie del cilindro. EI campo E, esproporcional a r pa.ra 0 < r < R y disminuye segun 11rpara r > R. EI campo es continuo en r =R.

Figura 1921 Superficie gaussianaesfl:rica d e radio r > R para 1 '1calculo del campo electrico exterior auna corteza esferica uniformementecargada de radio R . EI flujo total atraves de esta superficie es E,41Or, yla carga total dentro de la superficiees la carga total de la corteza Q. EIcampo es el mismo que resulraria sitod a Ia c a rga es tu v i era en el cen trode la ccrteza.

L,

t: =_l_~ r>R. , 2 1 1 " " \1 r

2R 3R 4R

Campo electrico E en el interior y en el exteriorde una corteza esferica de cargaDeterminemos ahara e.1campo ehktrico interior y exterior a una corteza esfericauniformemenee cargada de radio R y carga total Q. Par sim etrfa , [ debe ser ra-dial y su magnitud dependera solo de la distancia r contada desde el centro dela esfera. En la Figura 19-2] hemos escogido una superficie gaussiana esferica deradio r > R. Como E es perpendicular a est a superficie y constante en magnituden todos los puntos de la misma, el flujo que atraviesa la superficie es

C P n " o = f E, dA = E,47rr2Como la carga total dentro de la superficie gaussiana es la carga total sobre 1.11ccrteza, Q resulta par la ley de Gauss


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Seccion 19-3 Calculo del campo eli>ctrico mediante 1 3 ley de Gauss 641

es decir.

1 QE=-- -, 4 1 1 "E o rr > R 19-27a

A si pues, el campo electrico exterior a una corteza esferica uniformernente carga-daes el mismo que si toda la carga estuviera en el centro dela corteza.Siescogemos una superficie gaussiana esferica enel interior de la corteza. demodo que r < R, el flujo neto es de nuevo E,47rr , perc la carga total dentro dela eslera es cero. Par tanto, para r < R, la ley de Gauss nos da

E,='O r < R 19-27b

,=0r

R

(a)

Observese la semejanza de estes resultados con los obtenidos cuando calculamose l campo gravitatorio debldo a una corteza esferica de rnasaen la seccion 1'0-7.Podrlamos obtener tambien estes resultados por integrad6n directa de la ley deCoulomb, pero el calculo es mucho mas dificiI. La figura 19-22 rnuestra la varia-ci6n de E , en funci6n de r para esta distribuci6n de carga. Observese tambienque e l campo elect rico es discontinue en r=R, donde la densidad de carga super-ficial es (1, Justamente dentro de 1a corteza E,=O, mientras que justamente Fue-ra , E,=Q/41rf~~=oho, ya que o=Q/47rRl.

EjempJo 19-4Una corteza esferica de radio R=3 m tiene su centro en el origen y es porta-dora de una densidad de carga superficial 0"=3 nC/mI. Una carga puntualq=250 nC se encuentra sabre eJeje yen y=2 rn ..Determinar el campo elec-trico sabre el eje x en (a) x=2 m y (b ) x=4 m,

Campo electrico E exter ior a unacorteza e:sferica de carga

Campo elec fr i co E dentro de unacorteza es fer ica de carga

(b)

Figura 19-22 (a) Crafica de E, enfunc ion de ' r para una distribuci6nde carga de una corteza esferica.EI campo elect rico es discontinue enr = R, en donde existe una cargasuperficial de densidad a, Justodenrro de la corteza el campo esnulo, rnieruras que justa fuera de lacorteza tie.ne Ia magnitud t J / e r , . (b)La disminucion can 1 0 1 distancia delcampo E, creado par una cortezaesferica cargada, es evidente por elefecto del campo sabre las llamas deestas dos bujias. La corteza esf~ricadel generador van de GraafFa I aizquierda pos~ una gran carganegatlva queatrae los jones positivosd e 1 < 1 .llama d e la b u j i a mas proxima.La llama de la derecha, m a s alejada,no SI! afec t a po r la p resenci a delcampo.


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642 Capitulo 19 Campo el~ct.rico Il: Distrlbu.ciones continuas de carga

FIgura 192.) Superficie esfericagaueslana para el calculo del campoelktrico fuera de un a es fera so lidacargada unifonnemente. E I F lu ]o totaliItraves de esta superflcie es E,41rr yIi i carga t ot a l. i nt er io r a l a s u pe rf ic iees la carga to ta l de la esfera Q. E Icampo es 'el rnismo que resultarla sitoda lacarga estuviera en el centrode l a e sf er a,

Campo elec tr ico E en el ex ter iorde u na e sie ra solida de c ar g.a

(0 ) EI punta sabre el eje x en X "" 2 m se encuentra dentro de la cortezaesferica. de modo que el campo debido a lacorteza es cera. El campoelectri-co eneste punta se debe s610 a la carga puntual que se encuentra a una distan-cia r1=.J{2 m )2+(2 m )"= .J8 " m . EI campo forma un angulo de -45" can eleje x y su magnitud es

(8,99 X109 Nm1/Q)(2S0X 10-9 C)(VamP 2 81 N /C(b ) En e l punta x= m. fuera de la corteza esferica, esta puede considerar-se como una carga puntualen el origen de magnitud Q=a47rRl=(3 nC/m2 )

471"(3 m)2=339 n C o E I campo electrico debido a la corteza 'en x=4 m poseela direccion del eje x y su magnitud es

(8,99 X109 N,m Z I Q)(339 X10-9 C)(4 m)l 190 N /C

La distancia desde la carga puntual q sobreel eje y hasta el punta del campoen x=4 m es rz="';(2 m)1+(4 m)2=..J20 m. La magnitud del campcelectrlcoen x=4 m debido a q es

E - (8,99 X 109 N.mlIC')(250 X 10-9 Cl =112 N /CZ- (,J20 m)"Este campo forma un angulo (J con el eje x,en donde cos 8=4/ . . J20 y sen 8=-21.Ji6. Los componentes x e y de este campo son, par tanto,

El..\=Ez cos 8=(112 N/C) (-k )=100 N /Cy

El~=El sen 0=(112 N/C) (- k) = - S O N /CLos componentes x e y del campo electrlco resultante son

'I

La m:~itud _ Y dil"ecc!~ del campo resultante pueden determinarse a partirde E- ~+~ Y tg 8 -EylE,.Campo electrico E en el interior y en el exteriorde una esfera s6lida uniformemente cargadaCalcularemos aqui el campo elect rico dentro y fuera de una esfera salida unifor-mernentecargada de radio R portadora de una carga Q distribuida por todo elvolurnen de la esfera can densidad de carga p=QIV siendo V= t 1rRJ el volu-men de la esfera. Como enel caso de la corteza esfe:rica de carga, el flujo a travesde una superficie gaussiana de radio res


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Section 19-3 Calculo del campo electrico mediante la ley de Gauss 643

Figura 19-24 Superficie gaussiana esferica para el calculo delcampo electrico en el interior de unaeslera s6!idauniformemen!e cargada. El Huio a traves de la superficie esnuevarnente E,4T"' . La carga total dentro de la superficiega ussla na es Q(r'1 Rl).

Si la superficie gaussiana se elige en el interior de la esfera, 10 cual significaque r < R (figura 19-24), la carga total dentro de la superficie es pV', en dondeV'=t IT es el volumen interior a la superficie gaussiana:

Q =pV,=_g_ V'= ( _ Q _ ) ( . ! 7 I " r l ) = Q _ _ c _,.tOrru V 171"RJ3 R '

Seg6n la leyde Gauss elcampo electr ico interior ala esfera se deduce de la expresi6n1 ,- JE471"r=-Q-

r Eo R 3es decir

E =_1_ _ _ Q _ r, 4 '11"0 R 3 r SR 19-28b

Asl vemos, que el campo electrico dentro de una esfera s61ida de carga aumentacon r, La Figura 19-25 muestra una grafica de E r- en funci6n de r para esta distri-bucien de carga. Observese que E, es continuo para r=R. Esta Funcion. a ve-ces, 51 " puede utilizar para describir 1"1campo elecrrico de un nucleo atomico, 1"1cual puede considerarse que es, aproximadamente, una esfera s6lida uniformsde carga.

Discontinuidad de E nYa hemos visto que el campo electrico correspondiente a un plano infinite, unacorteza cillndrica y una corteza esferica de carga, es discontinue en la cantidadalEo en un punta donde existe una densidad de carga superficial a, Como vere-mos. este es un resultado general para 1"]componente del campo electrico perpen-dicular a una superficie portadora de una densidad de carga a. La Figura 19-26muestra una superficie gaussiana cuya forma es la de una pequefia caja de pildo-cas (epastlllero) con caras de area A a cada lade de una superflcie arbitrariaportadora de una densidad de carga superficial C T . Sea E n 2 el componente nor-mal del campo electrico a un lado de la superficie y Enl al otro lade, como indi-ca Ia figura. 5i el espesor de la caia es muy pequefio comparado con e1 radio delas caras, podemos despreciar 1"1flujo a traves del area cilindrica 27rRL respecto

E- 1 _Q _ r2:R~ ,- 47ro,"

r

Figura 19-25 GrMica de E , enr I.Inci6n de r pa fa una esfera s6lidacargada, de radio R . Para r < R , elcampo crece linealme.nte con r. Fuerade la esfera, el campo electrico es elmismo que el debido a una cargapuntual. E I campo es continuo enr = R.

Campo electrico E dentro de unaes fe ra salida de carga

Figura 19-26 Una superficie gaussianaen forma de caia cilindrica, con carasde area A en sus bases. posee unadensidad de carga a. EI flujo neto atraves de la caja es (Enol - En,)A. EIcampo electrico E" , a un lado esmayor que el campo electrico E n ' enel otro en la cantidad (lifo.


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644 CapItulo 19 Campo ell!clrico II: Dislri,bucione5 ~ontinUilS de carga

Discontinuidad de En

+ Eo++ - - - - -++++ -- - +. . . . . - +--

Figura 19-27 Dos vistas de unal~mina conductors en un campoelecerlcoexterno E " . Una cargapositiva se induce en Ia cara derechay una carga negariva en la caraIzqulerda, de tal modo que el campoelktrico nero dentro de! conductor escere, Las Hneas de campo electrico,por tanto, terrninan en la caraizqulerda y comlenzan de nuevo enla cara derecha,

al flujo a traves de las caras de area 1I"R2. EI flujo neto a traves de la superficiegaussiana es por tanto, E,,2A~E",A y la carga dentro de la superfide es oA.5egun Ia ley de Gauss seobtiene

es decir EA-EA=oA ... 1\2 nl . Eo

19-29

quees el resultado que queriamos probar. Observese que e l campo electrico no esdiscontinuoen los puntos de discontinuidad de una densidad volumica de carga. Elcampo electrico en un punto justamente en el interior de un cilindro solido de cargao de una esfera s6lida de carga, es el mismo que en un punto justa mente en el ex-terior de dicha disbibuci6n de carga, como puede verse en las figuras19-20 y 19-25.

E o

Cuestiones5. LQue informacion se necesita adernas de la carga total en el interior de unasuperficie para utilizar la ley de Gauss con objeto de hallar el campo electrico?6. Explkar par que el campo electrico crece can r en lugar de disminuir segunlIr cuando nos desplazamos desde el centro en el interior de una distribu-cion de carga esferica de densrdad volurnica de cargaconstante.7. La ecuaci6n 1910 correspondiente al campo electrico sabre la mediatriz decarga lineal finita es distinta de las ecuacicnes 19-11 019-24 que corresponden

al campo elect rico proximo a una carga lineal infinita; sin embargo, la leyde Gauss aparentemente ofreceel mismo resultadoen estos dos cases. Explicar.

19-4 Carga y campo en la superficiede los conductoresAI estudiar los campos electrostaticos la propiedad mas importante de un con-ductor es la disponibilidad de carga con Iibertad de movimiento en su sene. Enpresencia de un campo electricoextemo, lacarga libre de un conductor se muevealrededor de este, distribuyendose de tal modo que crea un campo electrico queanula el campo externo dentro del conductor". Se dice entonces que el conductorse encuentra en equllibrlo electrostatico. Consideremos una carga q den!ro de unconductor. Si existe un campo E dentro del conductor, 50breesta carga se ejerce-ra una fuerza qE. Per tanto. si la cargatiene Iibertad de movimiento, es decir,si no esta ligada a un atomo 0 molecule por una Iuerza mas intensa, 16gicamentesera acelerada. As! el equilibrioelectrostarico es imposible en un conductor. amenos que el campo electrico sea cere en todos los puntos interiores del mismo.En la superficie de un conductor en equilibrio. el campo electrico debe ser per-pendicular a 1 0 1 superficie, 5i existiera un componente tangential de E, la cargalibre del conductor se desplazaria hasta que se anulara dicho componente.

La Figura 19-27 muestrauna lamina rectangular dentro de un campo elecrricoextemo ~. Los electrones libres estan distribuidos originalmente de un modouniforme en roda la lamina. Como la lamina est,ll.formada por atomcsneurros.es electrtcarnente neutra (siempre que sobreella no se haya depositado una carga Cuando hablamcs de campos el~dricos de un conductor. nos referlmos a los campos rnacrcscepicosproducidos por Fuentes ..xternas 0por la carga llbre del conductor. A nivel at6mico exlsten camposelictric05 microscepiccs que rnantienen loselectrones ligados a 13 red i6nica. Estos campos microsce-picos f]ucluan ampliamente con el tiernpo y sobre pequenas dlstancias dentro del atomo, perc su valormedio es cere. 5; promediamos a una distancla grande comparada con el dJ.&metro del alomo.


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Secd6n 194 Carga y campo en la superflciede los conductores 645

extra). Si el campo electrico externo esta dirigido hacia la derecha, existira unafuerza sobrecada electron F=-eEo hacia la izquierda, ya que los electrones Ii-bres poseen una carga negativa, y par consiguiente estes electrones libres acele-raran hacia la ixquierda.En la superficie del conductor, este eierce fuerzas sobreestos electrones que les mantienen ligados al conductor. (Sl.el campo externo esmuy intenso, los electrones pueden ser arrancados de la supericie del conductor.En electronica este fen6meno se denomina emisi6n de campo. Aqul supondre-mos que eJ campo externo no es su.ficientemente intense para veneer las fuerzasque enlazan los electrones can la superficie.) EI resultado es una densidad de car-ga superficial negativa inducida sobre el lado Izquierdo de la lamina y otra posi-tiva en ellado derecho de lgual rnagnitud, debido a l movirniento de electrones\ibres desde ellado derecho al Izquierdo de la lamina. En conjunto, estas densida-des decarga inducidas producen un campo electrico dentro de la lamina quese opone al campo externo. Cuando los campos inducido y externo se cance-lan, se estabJece el equilibria electrostatico en todos los puntas dentro delconductor, de tal modo que no existe una fuerza aplicada neta sobre los electro-nes libres.

EI comportamiento de la carga libre en un conductor situado en un campoelectrico externo esel mismo cualquiera que sea la forma del conductor ..Al apli-car un campoexterno, la carga libre se mueve rapidarnente hasta que se alcanzauna distribuci6n deequilibrio tal que el campo elect rico neto es cero en todoslos puntas dentro del conductor. El tiempo que tarda en alcanzar el equilibriadepende del conductor. En el cobre y en otros buenos conductores.este tiempoes tan pequefio que, a todos los efectas, elequilibrio electrostatico se alcanza ins-tantaneamen te.

En esta seccion utilizarernos Ja ley de Gauss para demostrar los siguientes re-sultados para los conductores en equilibrio alectrostatico:l.Toda carga electrica en un conductor reside en su superftcie ..2. El campo electrico justamente fuera de la superficie de un conductor es per-

pendicular a la superficie y su magnitud es a I fa en donde a es la densidad decarga superficial en el puntoconsiderado del conductor.Para obtener el primer resultado, considerernos una superficie gaussiana jus-

tamente en el interior de la superficie real de un conductor en equilibria electros-tatico, como indica la Figura 192B. Como el campo electrico es cero en todoslos puntos den tro del conductor, sera tam bien cero en todos los pun tos de la su-perficie gaussiana, ya que roda ella estacornpletamente dentro del conductor.Como En = 0 en todos los puntos si tuados sobre la su perficie gaussiana , el flujoneto a traves de la superficie debe se r cere. Segun la ley de Gauss, el flujo es igualal producto de lIfo por la carga neta dentro de la superJicie. Como el.flujo netoes cero,esto signifies que no existe carga neta en e 1 interior de toda superficiesituada completamente dentro del conductor. Si existe alguna carga neta sobreel conducto r .esta debe residir sabre la superficie del propio conductor.

Llneas de fuerzaen el case de uncilindro y unaplaca con cargasopuestas. Las lineasestan indicadaspar trocitos de hila fino suspendidosen aceite. Observeseque las lineas decamposon perpendiculares a losconduct ores y que no hay ningunalinea en el interior del ctltndro.

Figura 192.8 Una superfide gaussiana (linea de trazos) lustoen el Interior de 1 1 1 superflcie de un conductor. Comoelcampo electrlco es cere dentro del conductor en equilibrioelectrostatico, 1"1lujo neto a traves de esea superficle debe sertambien cere. Por tanto, la carga neta interior 11 la superflciees nula. Si existe alguna carga enel conductorresta deberesidir en su superficie, En este ejemplo el conductor esportador de una carga neta positiva.

E " \ +\ +--. ++- ++- + +++ + + + +I I \


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646 Capitulo 19 Campo electrico II: Distribuciones contlnuas de carga

Figura 19-29 Una corteza conductoraesferica de paredes gruesas con unacarga puntual q en el centro de lacavidad, Como E = 0 dentrc delconductor, noexiste flujo nero atravk de cualquier superficie lnterna,tal como la superficie gaussianadibujada en azul. En la superficieinrerna de 1 3 corteza se induce unacarga superficial ~q y 1 3 . s lineas decampoelectrico que comienzan en laC


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Secd6n 19-4 Carga y campo en lasuperficie de lo s conductores 647

es decir,

19-30

Este result ado es e.xactamente e l doble del campo producido pOI un plano in-finito de carga. Podemos comprender este resultado mediante la figura 19-32 quemuestra una lamina conductora cargada, portadora de una densidad de carga su-perficial 0"en cada cara .. En las proximidades de la lamina conductora, cada unade sus cares puedeconsiderarse como un plano iruinito de carga. Sea E l el cam-po elecrrico debido a la cara izquierda y E D el debido a la cara derecha. Cadauno de estes campos posee la magnitud a/2Eo' Dentro del conductor, estescampos poseen direcci6n opuesta y por tanto, se cancelan. Fuera del conductor,los campos se suman dando un campo electrico total de magnitud E=Er+ED=(J 12fo+ 0" 1 2 E o =0" I fa. Un razonamiento semejante,a unque ligeramente mlls com-plicado, puede aplicarse a un conductor de forma arbitraria como indica la figu-ra 19-33. Podemos considerar la carga situada en la superficie de un conductorcomo compuesta por dos partes, (1) Iacargaen la vecindad inmediata del puntoP y (2) el resto de Ja carga, al que llamaremos la carga distante. Como el pun toP se encuentra justo fuera de la superfieie. la cargaen su vecindad inmediata seasemeja a un plano infinite de carga. Produce un campo de magnitud u/2fo enP y un campo de igual magnitud justa enel interior de la superficie conductora,sefialandoen el sentido que se aleia de la superficie. EI resto de lacarga sabreel conductor (0 en los puntas en que este la carga) debe producir un campoalZEo dentro del conductor sefialando hacia la superficie de modo que el camponeto en el interior del conductor sea cero. Elcampo debido a la carga distantetiene la misma magnitud y direccionen los puntas justo dentro y fuera de Ia su-perficie, Asl, en e! punto justo dentro de la superficie del conductor, el campodebidoa la carga distante se equilibra can el campo de lascargas vecinas; sinembargo en los puntos fuera de la superficie, los campos acttian en la misma di-recd6n y se suman, dando un campo neto lJ /2lo+ol2eo=uIEo.

(a) ( b )

Ejemplo 19-5Una lamina conductora cuadrada de espesor despreciable y de lado4 m sesitua en un campo externo uniforrne [=(450 kN/C)i, perpendicular a las ca-ras de la lamina. (a) Determiner la densidad de carga en cada cara de la 11Imi-na. (b) Sabre la lamina se situa unacarga neta de 96 p . c . Determinar la nuevadensidad de carga sabre cada cara y el campo electrico proximo a cada cara,pero lejos de los bordes de la lamina.

(al Justo en el exterior de la cara derecha de la lamina, el campoelectricoes En= 450 kN IC, de modo que la densidad de carga en esta cara esaD =o E n =8.85 X 10-12 C1/N m!)(450 kN /C)=3,98XlO-~ e/ml=3,98 "elm!

Campo electrico E o ; u . s t o en elexterior del conductor

E L EL EL-+ -, . . . . _ I :R h-+++-H +j j++1 + +II (J"

Figura 19-32 Un bloque conductor,portador de un a densidad de cargasu perficl a I un iorme (1. EI C O l mpoelectricc debido a la densidad decarga superficial en la cara izquierdaE l y 1'1debido a la carga en la caraderecha es Eo. Cada uno de estescampos tlene Iii rnagnitud o/2~o 'Dentro delccnductcrvestos camposI lenen direcelones opuestas y 51'anulan entre sl, Puera d el c o nd u ct o r51 ' suman y engendran un campo demagni tud riff .

./(e)

Figur,a 19-33 Conductor de formaarbitraria que posee un a carga ensuperficie. (ell Slel punto P esli i m.uypr6xime ai conductor, la carga en lave.cindad de este punta se aserneja ala de una lamina pla.na inrinitll decarga. Esta carga produce un campoelectr iec de valor ( J /2~. tan to en elinterior como en 1'1 exterior de lconductor, segu.n esta indicado. (b )Puesto que elcarnpo resultante en 1'1interior del conductor debe ser cere,e] resto de la caTga debe producir uncampo de igual rnagnltud, (c) Dentrodel conductor estes campos 51' anulanpero (uera en '1'1punta P se sumanresultando E~ .. ohg


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648 CapituJo 19 Campo eli"Ctrico It Distrfbuciones continuas de carg,a

6n la cara izquierda, el campo electriro apunta hacia 1a lamina, de modo queEn=-450 kN/C. La densidad de cargaenesta cara es

=(B,B5XIO-n QINm~){-450 kN/C)=-3,98 p.C/m2

(b ) La carga total de 96 ",C debe distribuirse por igual encada cara de lahlmina, de modo que eJ campo electrico en el interior de esta permanece nulo.Como cada cara tiene un area de 16 m2 y transports una carga neta de(96 ",C) 12=48 p . e . la densidad de carga adicional en cada cara es rr,=48 p.C/16 m2=3,0 p.C/rn2. Per tanto, la densidad de carga neta en cada caraseray

1 1 1=3,98 /lC/m2+.3,0 p.C/m2=-0,98 p.C/m2EI campo electrico neto justo a la derecha de la lamina es

n O =1 0 1 0= (6,98 /lCI ml)/(8,85 X10-u ClINmZ)=789 kN/C

Como la normal a la lamina tiene la direction x posit iva en lacara de la dere-cha, 1 " 1 campoelectricc justa a la derecha de la lamina es

D=(789 kN/C)iJusto a la izquierda de [a lamina el campo electrico es

nl=I1D/e o=-0,98 I'C/m.1)/(B,85 X 10-12 e/N .m.2)=-111 kNlm2

Como la normal a la lamina apunta en la direccion x negative sabre la caratzquierda, el campo elect.rico en esta cara apunta hacia la derecha:EI= (111 kN ICli

La parte (b ) puede considerarse de otro modo. La densidad de carga posirivade 3,0 p.C/m2 sumada a cada cara es equivalente a sumar dos plan os de car-ga positiva. Fuera de Ia lamina, estes planes producen un campo electrico demagnitud

E = - 1 - o"lfo+ iolfo=l1ho=(3,0 jtC/ml)/(8,85 X 10-u CZ/Nm 2 )=339 kN/C

A 1a derecha de la lamina, estecampo se suma al campo original:E[)=450 kN/C+339 kN/C=789 kN/C

A la izquierda de la lamina, este campo se resta del campo original:1=450 kN/C - 339 kN/C=111 kN/C

EjercicioEl ... :....:--')electrico justa en el exterior de Ia superfide de un conductor apuntaalejandose del conductor, siendo su magnitud de 2000 N/C. LCuil es la den-sidad de carga superficial sabre Ia superficie del conducror'l(Respuesta: -:';,7 nC/m2)


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Seccirm 19-5 Deducclen matematica de la ley de Gauss [Opclcnal) 649

19-5 Deducci6n matematica de la leyde Gauss (Opcional)

La ley de Gauss puede deducirse rnaternaticamente utilizando el concepto de a n -gulo sclido. Consideremos un elemento de area AA sobre una superficie esferica,E! angulo solido A n subtendido por Men elcentro de la esfera se define como. 6 . AMl=~-~-~-- r -

slendo reI radio de 1a esfera. Puesto que tanto . 6 . . A como . r - tienen dimensionesde longitud alcuadrado, el angulo solido es adimensional. La unidad de angulos6lido es el estereorradlan (sr). Puesto que el area total de una esfera es 4'1rr-, e[angulo s6lido total subtendido par una esfera es

4'1rr--~=41T srr -Existe una estrecha analogia entre e! Angulo s6lido y el Angulo plano ordinaria,que se define como el cociente de un elemento de longitud de arco de circunferen-cia As dividido por el radio de la misma:

A8=As radianesr

_ ---- "> ..... ,~ ~ ~ = - - - - - - - - - - ('Q" . e/ aAll co.~fI

EI angulo plano total subtendido por un clrculo es 2'1r radianes.En la figura 19-34 el elemento de area AA noes perpendicular a las lineas ra-diales que salen de O. EI vector unidad fI normal alelemento de area forma unangulo e can el vector radial unidad r. Eneste caso, elangulo solido subtendldopor M enel punta 0 esta definido por

M cos (j).2

Figura 19-34 Elemento de area aAcuya normal noes paralela a la linearadial que va desde a hasra el centrodel elernento. EI angulo s6lidosubtendido per este elernento en Oes(Mos (J)lr.

La Figura 19-35 rnuestra una carga puntual q rodeada de una superficie de for-ma arbitraria ..Para calcular el flujo que atraviesa esta superficie, debemos hallarEfiM. para cada elemento de area de la superftcie y surnar respecto a la superfi-de completa. El flu]o a haves del elemento de area indicada es

A4>=EfiM =..!1... rn IlA =kq 60rEIangulo s6lido . 6 . 0 es 1 " 1mismo que el subtendido por el elemento de area cortes-pondlente de una superficie esferica de cualquier radio. La suma del flu]o queatraviesa la superficie entera es kq veces el angulo solido total subtendido parla superficle cerrada, que es 4 1 1 " estereorradianes:

-I.. =p E'n dA=kq 4 ) dO=-q-5,tI 1 '1 '1 " 10 . - "fO

que es la ley de Gauss.

Fig:ura 19'"35 Carga puntual q encerrada par la superficie 5.EI Fluio que atravtesa el elernento de area aA es proportionalal angulo s6lido subrendido por eJ elemento de area en lacarga. EI f1ujo nero que atraviesa la superficie, que se hallasumando todos los elementos de area, es proporcional alangulo selido total 4 ....en la carga. que es lndependienre de laforma de 1a superficie,


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650 Capitulo 19 Campo electrico II; Dlstribuciones con.tinuas de carga

Resumen1. El campo electrico correspondiente a las distribuciones continuas de cargapuede calcularse directamenle mediante la ley de Coulomb en la forma

E = } . ~i'v r 2en donde dq = p dV para una carga distribuida en un determinado volumen,dq =o dA para una carga distribuidaen una superficie, ydq =}, dL para unacarga distribuida a 10 largo de una linea.

2. E I f1ujoelectrico c p de un campo electrico constante a traves de un area A esel producto del componente del carnpoelectrico perpendicularal area, multi-plicado par el area:

c p = [fiA = EA cos 8= E.AEn general para un campo eiectrico que puede variac en el espacio. el flujoa traves de un elemento de area dA es

d$=E,ii dA=E cos 8 dA=En dA3. El flujo neto a traves de una superficie cerrada es igual a 41rk veces la carga

neta dentro de la superficie. resultado conocido como ley de Gauss:$"010= P . E n dA=411'kQlnl.m.

La ley de Gauss puede utilizarse para determinar el campo electriccen distri-buciones de carga de gran simetria.

4. La constante de Coulomb k se escribe frecuentemente en funci6n de la perrni-tividad del espacio libre Eo :

1k=--411'foEn Iuncion deesta constants. 1a ley de Coulomb puede escribirse en la forma

y la ley de Gauss:4 > " < 1 0 =~ En dA=_1_ Q l n rn>Js Eo

5. E 1 carnpoelectrico en distintas distribuciones de carga tiene los siguientes valoresE 2k}' 0r=--- sen "0r en la mediatriz de una carga lineal finita

1 A xE=---=zk-, 211'1:0 r r cerea de una carga lineal fin itaenel eje de una carga anular

en e J eje de un disco de carga

E =-(J-=21rkl1" 2(:0 cerca de un plano infinite de cargaE , =0 r < R en el interior de una corteza cilindrica de carga


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aR 1 A=-.-=~- for 2 1 t E o r r > R en el exterior de una corteza cilindrica de cargapR2 1 A=-=~ ..~.--

2for 21teo rr 2: R en e l exterior de un cilindro solido de carga

r ~ R en e l interior de un cllindro s6lido de carga_ 1 QEr~----

4 1 1 ' o r Z r> R en el exterior de una cortezaesferica de carga,=0 r < R en el interior de una corteza esf~rica de carga

1 nE =-- ...2!L r 2: R, 4 ' I I ' " fa r

Revisi6n 651

en ei exterior de una esfera s6licla de carga. 1 nE = . . . . . . 2 : ! L r r sR

r 41tfo R 36. En una superficie portadora de una densidad de carga superficial a, el compo-nente del campo electrico perpendicular a la superficie es discontinuo en elvalor a/ fo:

en el interior de una esfera s6lida de carga

E n l - E n ] = _Cl_Eo

7. En equilibrio electrosradco, la carga electrlca neta sabre un conductor resideen su superficie. El campo eU~ctrico justa fuera de la superficie de un conduc-tor es perpendicular a la superficie y vale aleo' en donde (J es la densidad decarga superficial en el punta considerado del conductor.

Sugerencias bibliograficasReichardt, Hans: "Gauss, The New Encylcop.aedia Britani-ca, 1968. vol. 19. pag. 698.Una bibliogrllf!a e l1 dos paginas del matematico .aleman, unode los mas grllndes de todos los tiempos. quierl reso/Vio COllmgestritl problemas de astr0l10mill )/ geodeslll -as! como deeiectromagnetismo.

RevisionA . Objerivos: Una vez estudiado este capitulo deben poseer-

51 ! los siguientes conoclrnlentos:1. Ser capaz de enunciar la ley de Coulomb y de utilizar-la para calcular elcampo elcctrico produddo por una car-ga lineal, una carga anular y un disco de carga,2. Ser capaz de establecer la ley de Gauss y de ufilizarlapara determinar elcampo electrico debidoa un plano infi-nito de carga, una distribuci6n de caIlla esh?ritamente simemea y una distribud6n de carga cilindricamenre sirnetrica.3. Saber demostrar que el campoellktrico en la superfl-cie exterior de una superficie conductora I;'S f1/Eo .

B. Definir. explicar 0 simplemente identificar:Densidad de carga volumlcaDensidad de carga superficialDensidad de carga linealFlujo electricoLey de GaussPermitividad del espacio libreSuperficie gaussianaEquilibrioelectrostfl!icoEmisi6n de campoAngulo s6lidoEstereorra dian


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652 Captrulo 19 Campo e[ectrko II: Distribuciones continuas de carga

C. Verdadero 0 falso: Si la afirmaci6n es verdadera, explicarper que 10 es. Si es falsa, dar un contraejemplo, e.s decir,un ejernplo que conrradiga la aHrmaci6n.1. Si no existe ninguna carga en una region del espario,1 '1 campo elktrko debe ser cera en todos los puntas deuna superfide que rodea Ia region citada.2. L a . ley de Gauss es valida s610 enel caso de distribucio-nes de carga sirnetricas.3. E I campo electrico en 1' 1 interior de una corteza esfericauniformernente cargada es cero.4. El campo electrico en 1 '1 interior de un conductor enequilibrio elecrrostatico es slernpre cera.

ProblemasNivel J19-1 Cakulo del campo electrico mediante la leyde Coulomb1. Una carga Lineal uniforme de densidad }-..=3,5 nC/m sedistribuye desde .%"=0 a x=5 m . (a) LCual es la carga totallDeterminar 1 '1 campo electrico sobre el eie x en (b ) x =6 m,(c) x=9 rn, y (d) x=250 m. (e) Determinar 1' 1 campo enx""250 m usando la aproximaci6n de que se trata de una car-ga punrual en 1' 1origen y comparar el resultado con 1' 1obreni-do exactamente en (d).2. Dos planes de carga verticales I' infinitos son paralelos yestan separados entre S I por una distanda d=4 m. Determi-nar el campo eliktrico a la izquierda de los planes, a su dere-cha y entre ambos cuando (a) cada plano posee una densidadde carga superficial uniforme (1=+ 3",C/m' y (b) el planolzqulerdo tiene una densidad de carga (1=+ 3 /iC/m' y el de-recho Q=-3",C/m'. Dibujar las lineas de campo electrlcoencada caso.3. Una carga de 2,75 ",C esta uniformernente distribuida sa-bre un anillo de radio 8,5 em. Determinar elcampo electncosobre eleje en (a ) 1.2 em, (b ) 3,6 an y (e) 4,001 desdeel cen-tro del. anillo. (d) Determiner el campo en 4,0 m can la apro-ximaci6n de que 1'1 anlllo es una carga puntual en el orlgeny compararel resultado con el obtenido en (c) .4. Un disco de radio 2,5 ern es portador de una densidad decarga superficial uniforme de 3,6 I.C/ml Utlltzando aproxi-rnaciones raz onables deterrn in a r 1 '1 campo electrico sobre eleje a dlstancla de (a ) 0,01 cm, (b ) 0,04 em, (e) 5 my (d ) 5 cm.5. Con 1' 1 disco de carga del problema 4, calcular exactamen-tee! campo electrleo sabre el eje a distanc:ia de (a ) 0 , 04 ern'I (b) 5m y comparar los resultados can los correspondientesa las partes (b ) y (c) del problema 4.6. Una carga lineal unilorme se exriende desde x=-2,5 ema x= + 2,5 cm y posee una densidad de carga lineal ]..=4,5 nC/m. (a) Determinar la carga total. Hallar el campoelectrico sobre eleje y en (b) y=4cm, (cl y=12 em, y (d)y=4,5 m. (el DetenninaI el campo en y=4,S m suponiendoque la.carga es pun!uaJ y comparar el resultado con 1' 1obteni-do en (d).7. Un disco de radjo a se encuen!ra sobre eJ plano yz . can sueje a 10 largo del eje .r yes portador de una densidad de c.argasuperficial unifonne o. Determinar 1 '1 valor de .x parael cualE.= ~/2f.

5. E I resultado E=Oen 1' 1 interior de un conductor enequilibria puede dedueirse a partir de la ley de Gauss.6. Si la carga neta sobre un conductor es cero.Ta densi-dad decarga debe ser cera en tados los puntos de la su-perficie.7. E I campo elect rico e s discontinue en todos los puntasdonde la densidad de carga es discantinua.8 . La mitad del campo eleclrico en un punto [usto en 1 '1exterior de Ja superficie de un conductor se debe a Ja car-ga situada en la superficie y en la vecindad proxima de di-cho punto.

8. Un anillo de radio a con un centro en e! origen y su eje ill1 0 largo deleje .r posee una carga total Q. Detenninar E , en(a) x=0,2a, (b) x=0.5a, Ic ) x=0,7a, (d) x=a y (e)x=2a. If )Utilizar los resultados obtenidos para representar E . en fun-d6n de x para ambos valores positive y negarivo de x.9 . Repetir 1' 1 problema 8 para un disco d e d en si da d de cargasuperficial uniforme 0".19-2 ley de Gauss10. Considerernos un campo electrico uniforme E=(2 kN/C)i.(al lCual es el flujo de este campo a traves de un cuadradode 10 em de lado cuyo plano es paralelo al plano yzl (b )LCual es el fluja que atraviesa 1 '1 mismo cuadrado si la normala su plano forma un .angul.o de 300 can 1' 1 eje x111. Una sola carga pun rual q= + 2 J . L C esta en el origen. Unasuperficie esferica de 3.0 m de radio tiene su centro en 1' 1 ejex en eJ punto .r= 5 m. (a ) Dibujar las Lfneas de fuerza corres-pondientes a la carga puntual. tHay Hneas que entran en lasuperficie esferica? (b ) LCuill es el nurnero nero de lineas quesalen de Ia superficie esferica contando losque entran comonegativos1 (c) LCUa] es 1 '1 flujo neto del campo electrico debi-do a la carga puntual que atraviesa la superficie esferical12. Un campo electrico vale E= (200 N/C)i para x > a yE=(-200 N/C)i para x - c 0. Un cilindro circular recto de20 em de longitud y 5 em . de radro tiene su centro en elorigeny su eie esta situada a 10 l argo del eje x de modo que una delas caras esta en x= +10 em y la otra en x= -10 em, (a )LCufll es el flujo salienre que atraviesa cada cara] (b ) LCuales 1' 1 Ilujoque arraviesa la parte lateral del cilindro] (c) LCuales 1' 1 Flujo neto saliente que atraviesa tcda la superficie cilin-drica? (d) lCual 15 la carga neta en e I interior del cilindrol13. Una. carga pun tual positive q esta en 1' 1centro de uncubcde arista L. Se dibujan saliendo de lacarga puntual un granmimero N de l1neas de fuerza. (a ) LCuantas de estas lineas pa-sana traves de la superficie del cuba? (b) LCuantas lineas pa-san a leaves de cada cara (admitlendose que ninguna ell' ellascorta las aristas 0 vertices? (c) Leual es 1 '1 f1ujo nero hacia fue-fa del campo ehktricoatrave:s de la superficie cubical (d) Uti-lizar 1' 1 razonamiento de simetria para ballar el flujo de ! cam-po elect.rico que atraviesa unacara del cubo. (e)LAlguna deestas respues'tas variana 5 i la carga estuviera en el interior delcubo perc no en su central14. Medidas cuidadosas del c.ampo elect.rko en la superficiede una caja negra indican que 1' 1Hujo salientI' neto a travesde la superficie de la caja 1' 5 6,0 kN ml/e. (a) LCual es Ia


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carga nera en el interior de la cajal (b) S i el f1ujo saliente neroa traves de la superficie de la raja fuesl? cera, tpodrla obtener-se I" ccneluslen de que no hay ninguna carga en el interiorde la cajal LPor que a par que n0715. Una carga puntual q= +2 IIC esta enel centro de una es-fera de 0,5m de radio. ( . 1 7 ) Hallar el area superficial de la esfe-ra. (b ) Hallar e! valor del campo e!eclrico en los puntas situa-des en la superficie de la esfera. (e ) LCmill es el flujo del campoelktrieo deb ida a la carga puntual a. t raves de la superficie dela esfera1 (d) LVariarla la respuesta dada a la parte (e) si semoviese la carga puntual de modo queestuviese dentro de laesIera pero no en el central (e) Leual es el Hujo netoquc atra-viesa un cube de 1 rn de aristaque circunscribe la esferal16. Dado que la I.ey de Newton de la gravedad y la ley deCoulomb poseen la misma dependenciacon la inversa delcuadrado de la distancia, es posible determinar una expresionanaloga a la ley de Gauss para los campos gravitatorios. EIcampo gravitatorio g es la fuerza por unidad de rnasa paraun a masa testigo fIlo . Par tanto, para una masa In en e! ori-gen,el campo gravitatorio g en una posicion res

Gm r& = - - - ; ; : -Calcularel flujo del campo gravitalorio a, traves de una su-perficie esferica de radio r centrada en e! origen y demostrarque Ia ecuaci6n analoga gravitatoria de Ja ley de Gauss esI f l . . . . . =- 4 ."C I 1 'l "' , . .. .. _19-a Cikulo del campo e1ectrko mediante la ley de Gauss17. Una correza esferica de radio 6 em posee una densidad decarga superficial uniforme 0"=9 nC/m'. (a) LCuil es la cargatotal sabre la conezat Determinar el campo electrico en (b )r""'2cm, (cl r=5,9 em. (dJ r=6,1 em y ( 1 ' 1 1"=10 em.18. Una esfera de radio 6 em posee una densidad de cargavolfunica uniforms 1'=450 nC/m', ( 1 1 ) lCuales la carga to-tal de la esfera7 Determinar el campo electrico en (b ) r=2 ern,(c ) r=5.9 em, (d) r=6, 1em y (el r=10 em.19. Una capa cilindrica de Um de longitud y 6 em de ra-dio posee una densidad de carga superficial unilorme 0"=9 nC/m'. (a) LCual es la carga total sobre la corteza] Deter-minar el campo elect rico en (b) r=2 em, (c) r=5,9 em, (d)r=6,1 em y (e) r=10 em.20. Un ciUndro de longitud 12 D1 Yradio 6 em posee una den-sidad de carga volurnica uniforme 1'=300 nC/m'. (a) LCuflles la carga total del cilindro] Determinar { O J campo electricoen (b ) r=2 ern, (c) r=5,9 em, (d ) r=6,1 cm y (e) ,.=10 em.21. Una corteza esferica de radio R, posee una carga total qlunlformernente distribuida en su superficie _Una segunda cor-tez.a esf~rica mayor de radio R, conrentrica con la anteriorpose!! una carga q, uniformemente distribJ..J.ida en su superfi-o e . (a ) UIiJizar la ley de Gaus.5 para ha/Jar e.1campo electricoen las regiones r < R" R, < r < R, y r > R,. (b ) LCual de-bera. ser e.1coelente de las cargas q,lq. y 5U signo relativopara que eI campo electrko sea cera para r > R ,7 (c) Hacerun esquema de las lineas de fuerza para el caso indicado enla pa.rte (b).22. Consideremos dos corteza.s cilindricas concentricas infi.-nilamente largas. La corteza interior tiene un radio R, y po-see unadensidad de carga superficial uniform.eo" mien.trasque la exterior liene un radjo R 2 y una de!1lsidad decarga su-perficial uniforme 11 2 (a) Utilizar [a ley de Gauss para hallarel campo electrico en las regiones r < RI' R, < r < R, y r> R,. (b) LCual debera ser el cocienle 0,10",yel signo relati-

Problemas 6:>3

vo de ambas para que el campo electrico sea ceroccando r> R ,7 lC U a! es entonces el campo electrico entre las corte-LaS? (c) Hacer un esquema de las Ilneas de fuerza en el casoindicado en la parte (b).23. Sobre el plano yz tenernos una. carga superficial no uni-forme En el origen, [a densidad de carga superficial es0" =3.10 p.CI m'. En el espacio existen otras disrribueiones decarga, Justo ala derecha del origen, el componente z del cam-po electrlco es E.=4,65X1()1 N/C. LCual es el valor de E ,justo a la izquierda del origen 119-4 Carga y campo en lasuperficie de los conductores24. Una moneda esta en el interior de un campo ehktrico ex-terno de valor 1,6 kN/C cuya direcd6n es perpendicular asus caras, (a ) Hallar las densidades de carga en cada cara dela moneda suponiendo que son planas. (b) Si el radio de lamoneda es 1 em, lcual es la carga total en una cara725_ Un bloque metalico sin carga tiene caras cuadradas de12 em de lado. 5e coloca dentro de un campo electrico exter-no que es perpendicular a sus caras ..LCual es el valor del cam-po e.h~ctrico, si la carga total inducida sabre una de 1a.5carasdel bloque es 1,2 nC726. Una carga de 6 nese coloca uniformemenle sabre unahoja cuadrada de material no conductor de 20 em de lado si-tuado enel plano y~. (0) L Cuales la densidad de carga ,,1 (b )LCua! es el valor del campo decmco a la derecha y a la iz-quierda de la hoja] (e) Se ccloca la misma carga sobre un blo-que cuadrado conductor de 20 em de lade y 1 mm de espesor.i.Cutii es la densidad de carga 07 (Admitir que la carga se dis-trihuye par 51 mlsma de modo uniforme ell las superficies delbloque cuadrado.) (d ) LCual es el valor del campo eleclrico[usto a la derecha y a la lzquierda de cada cara del bloque727. Una corteza conductora esfen.ca con una carga neta cerotiene un radio interior a y un radio exterior b. 5e coloca unacarga puntual q enel centro de Ia cavidad. (a ) Utilizar la leyde Gauss y las propledades de losconductores en equilibriopara hallar el campoelectrico en cada una de las regionesr < a, a < r < by b < r, (b ) Dibujar IasIineas de fuerza paraeste caso. (c) Deterrninar la densidad de caega en la superfioeinrerna (r=o) y en la superficie externa (r= b ) de laeorteza,19-5 Deduccien matematica de 1 0 3 ley de Gauss (Opcronal)No se proponen problemas para esta seccion.Nivel II28. E1campo electrico justa por encima de la superflcle de laTierra, medido experimental mente es de 150 N/C, dirigidohacia abaio. ~Que carga total sobre la Tierra esta implicadaen esta medida?29. En una regi6n particular de la atm6sfera terrestre, !it' hamedicloel campo electrico sobre [a superficie de la Tierra re-sultando ser de 150 N IC a una a Itura de 250 m y de 170 N Iea 400 m, en ambos casas dirigido hada abajo. Cakular ladensidad de carga volumica de la atm6sfera suponiendo quees uniforme entre 250 y 400 m. (Puede despreciarse la curva-tura de la Tierra_ tPor que?)30. Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme},= -1,5 , ,"C/m es parale!a al eje y en .;c= -2 m. Un. . cargapuntuaf de 1,3 if.Cesta localizada en ;r=l m, y=2 m. Deter-minar el campoelectrico en x=2 m, y=1,5 rn.3L Una esfera s6Hda de 1,2 m de di.ametro con su centro so-bre el eje;r en ;r=4 m, transporta una carga volumka unifor-


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654 Capitulo 19 Campo electrico JI : Distrlbuciones continuas de carga

me de densidad p=5I1C1m'. Una corteza esferica concentri-Co l can la esfera tiene un diarnetro de 2,4 m y una densidadde carga superficial uniforme 0=-1,5 jtC /m" , Caleular 1 0 1magnitud y direccion del campo electrico en (0 ) x=4.5 rn .y=O; (b) .1:=4.0 rn, y=l,l m; y (c) :c=2,0 m, y=3,0 m.32. Dos planes infinitos de carga son paralelos entre si y pa-ralelos al plano yl. Uno de elias corresponde a x=-2 m ysu densidad superficial de carga es 17=-3,5 jtC/m l EI otroc o r r e s p o n d s a :c=2 m y 0=6,0 jtC'm~ Determinar 1 '1 cam-po electnco para (a) .r < -2 m, (b) -2 m < x < 2 m y (c)X > 2 m,33. Un modelo at6mico posee una carga puntual nuclearpositiva+ Z e incluida en una esfera electronics rigida de ra-dio R de carga total - 2 1 ' , uniformemente distribuida pOTtoda 1 0 1 esfera. (a ) En un campo electrico extemo nu lo , Ld6n-de I'sta 1 0 1 posicion de equilibria de 1 0 1 carga puntual nuclear l(b ) Si no hay campo electrico externo, td6nde esta 1 0 1 posicionde equiJibrio de 1 0 1 carga nuclear puntual, respecto O I l centrode la esfera electronica cargada negativamente7 (c) I.Cual es1 '1 momenta dipolar elecrrico inducido par el campo E o paraeste modelo at6mico134. Demostrar que el campo E , sabre el eie de una c ar g aanular de radio a tiene sus valores miiximo y minima en.r== + a . 1 2 y x=-afJi. Representar E , en funci6n de .rpara ambos valores positive y negative de x .35. Una carga puntual positiva de magnitud 2,5 I'C, se en-cuentra en el centro de una cortez a conductora esferica sincarga, de radio interior 60 em y de radio exterior 90 cm. (a)Determinar las densidades de carga sobre las superficies inte-rior y exterior de 1 0 1 corteza y 1 0 1 carga total sabre c a d a super-ficie. (h) Determinar el campo electrico en cualquier punto,(c) Repartir (a ) y (b ) para el caso en que una carga neta de-3,5 IIC se situa sabre 1 3 corteza.36. Una lamina conductora euadrada con lades de 5 m esportadora de una carga neta de 80 p.c. (a) Determinar la densi-dad de carga sabre cada cara de la lamina y 1 '1 campo electri-co Justo en 1 '1 exterior de una cara de la lamina. (h ) La lamina51 ' sltua 3 la derecha de un plano infinito no conductor, carga-do con una densidad de 2,0 p.Cm' y de modo que las carasde 1 3 lamina son parale!as al plano. Determinar 1 '1 campoelectrico sabre cada cara de la lamina lejos de los bordes y 1 0 1densidad de carga sobre cada cara.37. (al Una carga lineal I i n r e a de densidad de carga lineal Aesta situada sobre el I'll' x desde x=O a x=a. Dernostrar que1 '1 componente y del campo electrico en un punto sabre 1 '1 ejey viene dado por

x X IIE=--- sen 91=---- ---::==-:--.jlf~ 4 ' l r E o Y y'+alen donde 0 1 es 1 '1 angulo subtendido por 1 0 1 carga lineal en 1 '1punto del campo. (h ) Dernostrar que si 1 0 1 carga lineal 5 1 ' ex-tiende desde x=-b a x=n, el componente y del campo elec-trice en un puntc sobre 1 '1 eje y viene dado por

E= A (sen 81+ sen (2) 4 7 l 'E o ,Yen donde sen O,=bJ\y +&1 .38. 5uponer que se pincha un pequefio orificio a traves de lapared de una corteza esferica delgada uniforrnernente carga-da, cuya densidad de carga superficial 1'5 0, Determinar elcampo elect rico pr6ximo al centro del orificio.39. Un plano infinite de carga de densidad superficial01=3"C m' es paralelo al plano Xl en y=-0,6 m Un

segundo plano infinito de densidad superficial de cargaC 7 : = - 2 "C/m" 1 '5 paraielo O Il plano ilZ en x=1 m. Una esfe-ra de radio 1mcon su centro en 1 '1 plano xy en 1 0 1 intersecci.6nde los planes cargados (x = 1 m, iI=-0,6 m) posee una densi-dad de carga superficial 0,=-3 "C/ml Deterrninar 1 0 1 mag-nitud y direcci6n del campo electrico sabre el eje . x en (tl)x=O.4 m y (b) x=2.5 m40. Una corteza cilindrica mfimtamente larga, coaxial conel eje y tiene un radio de 15 em. Posee una densidad superfi-cial y uniforme de carga 17=6 ."C/m'. Una corteza esFhicade radio 25 cm esta centrada sabre 1 '1 eje x en :c=5 0 cm yposee una densidad superficial y uniforme de carga 0=-12 I'Cfm". Calcular la magnitud y direcelon del campoelect rico en (a) el origen; (b) );=20 cm,y=-lO em: y (c ) x=50 cm. y=20 em,41. Una corteza esfenca no conduclora y maciza de radio in-terior a y de radio exterior b posee una densidad p de cargavolumlca uniforme. Calcular la carga total y 1 '1campo electri-co en todos los puntos.42. Un plano infinite situado en el plano de coordenadas xzposee una densidad de carga superficial uniform!' 17,=65 nCmI Un segundo plano infinite. portador de una den-stdad de carga uniforme 17,=45 nC/m1 corta el plano .r z en1 '1 eje z y forma un ingulo de 300 con el plano Xl; como indicala Figura 19-36. Determinar 1 '1 campo electrico en 1 '1 plano xyen (tl) x =6 m. y=2 m, y (b) x=6 rn, y=5 m.

Figura 19-36 Cargas superficiales uniformes sabre el plano xzy sobre un plano que forma un angulo de 30 can 1 '1 anterior.(Problema 42).

.1 1 +

Figura 19-37 Problema 43

43. Un anillo de radio R rransporta una densidad de cargapositiva unilorme A. En la Figura 19-37 se muestra un puntaP que 51' encuentra en 1' 1 plano del anillo pero que no es sucent ro. Consldera r dos elementos del an illa , de longi tudes 51y 5jCindicados en la figural y que se eneuentran a las distan-cias 'lY r,del punta P. (a ) ,Cua) es la relad6n entre las car-gas de estes elementos? [Cual de elias genera un campo ma-yor en el punto P7 (b ) LCuil E'S la direction del campo debido


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a estes elementos en el punta PI [CUllI es la direccion delcampo electrico total enel punto PI (c) Suponer que eicarnpoelectrico debido a una carga puntual varia en la forma 11 r enlugar de 1 1 r'. LCuM serla el campo eleetrico en el pun to Pdebido a los elementos que se muestran1 (d) lQue diferenciasexistirian en las respuestas dadas si el punto P se encontraraen el interior de una cortez a con una distribuclon de cargaes-ferica y en la que 1' 1 area de loselemenros fuera 5, y 5.144. Un disco de radio 30 ern es portador de una. densidad decarga uniforme II. (a) Comparar la aproximaci6n E=1I/2focan la expresi6n exacta del campo eJedrico sobre el eje deldisco expresandoel termine despreciado como un porcentajede ol2~opara las distancias x=O,l, x=0,2 y x= 3 em. (b )LA que distancia el termino despreciado es el 1 par ciento de0/2f.,145. Una carp lineal serniinfinita de densidad uniforme ). estasabre el eje x desde x=a hasta x= ce _Hallar tanto E, comoE. en un pun to situado sobre 1' 1 eje v -46. Un plano infinito paralelo al plano de coordenadas yz enr= m transports una densidad de carga superficial unifor-me 0=2 jl-C/m'. Una carga lineal infinita de densidad uni-forme ).=4 p.C/m pasa por el origen formando un .angulo de45 can ei eje x en el plano xy. Una esfera de densidad de car-gaovolumtca p=-6 p.C/mJ y radio 0,8 m esta centrado sa-bre '1 eje x en x=l m, Calcular la rnagnltud y la dlreccien delcampo electrico enel plano :ry en x=1,5m, Y'" 0,5 m.Mvel11147. Una ccrteza cilindrica no conductora, gruesae infinita-mente larga, de radio interior a y radio exterior b, posee unadensiclad de carga volumlca uniforme p. Determinar elcam-poelectrico en todos sus puntos,48. Una esfera salida no conductora de radio R posee unadensidad de carga volumica proporcionala la distancia desdeel centro: p=Ar para r ~ R. p=O para r > R . siendo A unaconstante. (a) Hallar la carga total sumando las cargas en cor-eezas de espesor dr y volumen 47fr dr, (b) Hallar el campoeie

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Cap19 - Campo Electrico I