Cap 29 - Campos Magneticos Produzidos Por Correntes

8/15/2019 Cap 29 - Campos Magneticos Produzidos Por Correntes

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Capítulo 29:

Campos MagnéticosProduzidos por Correntes


2/22

Lei de Biot-Savart;

Cálculo do Campo Produzido por uma Corrente;

Força Entre duas Correntes Paralelas;

Lei de Ampère;

Solenóides e Toróides;

Uma Bobina percorrida por Corrente como um Dipolo

Magnético.

Índice

Cap. 29: Campos MagnéticosProduzidos por Correntes


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A Lei de Biot-Savart

Cap. 29: Geração de B por i

Cargas em movimento geram Campo Magnético

0 = 4x10-7 T.m/A;

O vetor r aponta do elemento de corrente em direção ao ponto onde o campo deveser determinado; O vetor ds é um infinitesimal de comprimento orientado na direção da corrente.

2

0

r

r ˆvdq

4

Bd

Lei de Biot-Savart

2

0

r

r ˆ

4

sid Bd

Ilustração das variáveis da Lei de Biot-Savart e da regra da mão direita, usada para determinar adireção e o sentido do campo magnético gerado por uma corrente elétrica


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Fio Percorrido por uma Corrente


Campo Magnético de um fio infinito

2

0

r

r ˆ

4

sid Bd

2

0

r

)(

4

senidsdB

0

2

0

2

0

r

)(

42

r

)(

4

sendsi senids B

r

s

r

R sen

cos

180

0

0

2

180

0

2

0

4

1

)(R/4

d sen R

i

d sen R sen

seni

B

s Rtg

d sen

Rds

2

1

180

0

0 )cos(

4

R

i B

R

i B

2

0

R

i B

4

0

Campo Magnético de meio fio infinito em x = 0 (x = 0 até )


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Fio Percorrido por uma Corrente


Campo Magnético de um

fio infinito

2

0

r

r ˆ

4

sid Bd

2

0

r

)(

4

senidsdB

R

i B

2

0


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Corrente em um Arco de Circunferência


2

0

r

)(

4

senidsdB

O ângulo entre ds e r é sempre 90° r é constante (r = R).

rd ds

)(R 4R 4

)90( 02

0i f

i Rd

seni B

f

i

Para uma volta completa ( varia de 2 até 0).

R 2

0i

B

Campo Magnético gerado

Por uma espira.


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Corrente em um Arco de Circunferência


Exemplo 29-1) pg. 238

A figura abaixo mostra um fio percorrido por uma corrente i. Dois segmentosretilíneos assim como um arco de circunferência com ângulo central de /2 radcompõe a forma do fio. Determine o campo magnético no ponto C.

O campo gerado no ponto C serácomposto por 3 contribuições.

R 24

10

3

i B B

O campo gerado pelos segmentosretilíneos 1 e 2 é nulo pois o ângulo entrea corrente e o vetor r é 0°.

2

0

r

)(

4

senidsdB 0

21 B B

O campo gerado pelo arco decircunferência constitui 1/4 do valor do

campo de uma espira.

321 B B B B

R 8

0i

B


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A figura ao lado mostra dois fios longos percorridos por correntes i 1 e i 2. Determine omódulo do campo magnético total no ponto P, para i 1 = 15 A, i 2 = 32 A e d = 5,3 cm.

T i

B 510

1 108

dcos452

R 2

0

i B

O campo gerado no ponto P serácomposto por 2 contribuições.

21 B B B

O campo de cada fio será:

T i

B 420

2 10708,1

dcos452

Como o ângulo entre B1 e B2 é 90°,

temos: 22

2

1 B B B

T B 4

1089,1

25

2

1

B

B

arctg


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Forças Geradas por Correntes Paralelas


Dois fios paralelos percorridos por correntesi a e i b, sentem a ação de uma força.

d

i Li F

ba

ba

2

0

O campo gerado sobre o fio b pela correntei a.

d

i B a

a

2

0

Para um elemento dl do fio b, temos:

ab Bl d i F d

90 sen LBi F abba

Correntes paralelas se atraem e correntesantiparalelas se repelem.


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Exemplo de aplicação da força gerada por correntesparalelas: O Canhão Eletromagnético.

Uma corrente elétrica elevada provoca a

vaporização de um fusível.

A corrente nos trilhos gera um campo magnéticoque faz com que os gás (fusível vaporizado) sofra aação de uma força.

A força faz com que o gás seja arremessado contra oprojétil, acelerando-o em direção ao exterior.

Forças Geradas por Correntes Paralelas


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Lei de Ampère


Nos problemas em que a corrente apresenta alguma simetria o campo magnético

pode ser determinado usando a Lei de Ampère.

int0i sd B

Lei de Ampère

int0cos i Bds

é o ângulo entre um infinitesimal da curvaAmperiana e o campo magnético local geradopelas correntes localizadas no interior da curva.

Posicione a mão direita com os dedosapontando no sentido de integração. Umacorrente que flui no sentido do polegar recebeo sinal positivo, enquanto que uma corrente nosentido oposto recebe o sinal negativo.


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Lei de Ampère


Campo Gerado por um Fio Longo

int0cos i Bds

Escolher uma forma geométrica que delimitao caminha de integração na qual o campo éconstante, ou apresente uma dependência bemconhecida (neste caso uma circunferência).

O ângulo entre B e ds é constante, 0°.

int00cos ids B

r

i B

2

0

Campo Magnético gerado

por um fio longo


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Lei de Ampère


Campo no Interior de um Fio Longo

int0cos i Bds

Nem toda a corrente i contribuirá com ocampo Magnético a uma distância r do centro.

O ângulo entre B e ds é constante, 0°.

2

2

02

R

ir r B

tot J J

int

22

int // Rir i

2

2

int

R

ir i

2

0

2 R

ir B

Campo Magnético geradoNo interior de um fio longo


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Lei de Ampère



A figura mostra a seção de reta de um cilindro condutor oco de raio interno a = 2,0 cm eraio externo b = 4,0 cm. O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel, e omódulo da densidade de corrente na seção reta é dado por J = cr2, com c = 3,0 x 106 A/m2 e r em metros. Qual é o campo magnético B em um ponto situado a 3 cm de distância doeixo central do cilindro?

int0cos i Bds

Cálculo da corrente:

r

a

rdr cr dAn J i 2ˆ 2int

2

)(

4

2 444

int

ar cr ci

r

a

2

)(2

44

0

ar cr B

r

ar c B

4)( 440

T B 5102

Sentido da corrente para fora do papel:

O sinal de negativo indica que o sentido

de que o campo é oposto ao sentido decircuitação adotado.


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Solenóides e Toróides


Solenóide ou Bobina: Dispositivo composto por um condutor enrolado em forma de

espiras muitos próximas. Podem ser formados por uma ou mais camadas de fios

enrolados.


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Cap. 29: Geração de B por iSolenóides e Toróides

Campo no Interior de uma Bobina

Escolher uma curva Amperiana adequada.

int0i sd B

int0i sd B sd B sd B sd B

a

d

d

c

c

b

b

a

As integrais de c até b assim como de a até d se anulam pois o campo é perpendicularao caminho de integração. A integral de d até c, que delimita a região externa do

solenóide é nula, pois nessa região o campo magnético é zero.

Ni sd B sd B

d

c

b

a

0

Nids B

h

0

0

h

Ni

B

0

ni B

0

N = número de espiras.

h = comprimento da bobina. n = número de espiras por unidade de comprimento


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Toróide: solenóide cilíndricoque foi encurvado até as

extremidades se tocarem,

formando um anel.

int0i sd B

Por simetria usamos uma circunferência para descrever a simetria do campo nointerior do toróide.

Nird B0

2

0

r Ni

B

2

0

Campo Magnético

no interior do Toróide



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Um solenóide tem comprimento L = 1,23 m e um diâmetro interno d = 3,55 cm e conduzuma corrente i = 5,57 A. É formado por 5 camadas de espiras cada uma com 850 espiras.Qual o valor de B no centro do solenóide?

Calcular a densidade linear de espiras do solenóide.


ni B0

mespiras L N n /3,345523,1

)850(5

/

mT ni B 2,240


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r é cte; i é cte; é cte;

r é sempre perpendicular a corrente i ( = 90°).

Solenóides como um Dipolo Magnético

cos B B x

Campo Magnético de uma Espira ao Longo do Eixo X

2

0

r

)(

4

senidsdB

dsisen

dB2

0

r

)90(

4

Devido à simetria do problema, as componentes Br se cancelam aos pares.Restam apenas as componentes B x do campo.

2

0

r

2

4

Ri B

222

x Rr 22cos x R

R

r

R

2222

0

xR )x(R 2

RiR B

x

2/322

2

0

)x(R 2

Ri

B x


20/22


Para x >> R, temos:



2/322

2

0

)x(R 2

Ri B

x

Campo Magnético gerado por uma espira aolongo do eixo x.

3

2

0

x2

Ri B

x

Considerando uma bobina de N espiras:

3

2

0

x2

R Ni B

x

3

0

x2

A Ni B

x

3

0

x2

x

B NiA


21/22


Relembrando o torque de uma bobina:



Bsen

B

NiA

Agora podemos calcular o momento dipolar magnético de outra forma:conhecendo o campo gerado pela bobina B x !

3

0

x2

x

B

0

3x2

x

B

Campo já existente emalguma região doespaço!

Campo gerado pela bobinaao longo do eixo x.

d


22/22

Lista de Exercícios:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 21, 28, 31, 33, 37, 41, 43, 47,

48, 53, 55, 59, 63, 69, 87

A Lei de Biot-Savart


Referências

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física:Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3.

TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.

SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física:Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.

Documents

Cap 29 - Campos Magneticos Produzidos Por Correntes