Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Matematika 2Integral Lipat Tiga

Beny Nugraha, MT, M.Sc

05

FAKULTAS TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Definisi

• Integral lipat tiga (triple integrals) merupakan integral biasa/tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian diintegralkan kembali (lakukan iterasi integral sebanyak 3x).

• Notasi dari integral lipat tiga adalah sebagai berikut:

Definisi

• Bentuk di atas adalah bentuk tak tentu dari integral lipat tiga, di mana bisa dilihat bahwa integeral tersebut tidak memiliki batas atas dan batas bawah

Definisi

• Bentuk tentu dari integral lipat tiga dapat dinotasikan sebagai berikut:

• Bentuk di atas mempunyai tiga buah batas bawah (x1, y1, dan z1) dan tiga buah batas atas (x2, y2, z2).

Bentuk Tak Tentu

• Apabila terdapat integral lipat tiga tak tentu:

• Maka penyelesaiannya:1. Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap x dengan menggangap

variabel y dan z konstan.2. Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap y dengan

menggangap variabel x dan z konstan.3. Hasil pada langkah 2 kemudian diintegralkan terhadap z

dengan menggangap variabel x dan y konstan.4. setiap hasil pengintegralan ditambah dengan konstanta

sembarang c (c1, c2, dan c3).

Bentuk Tak Tentu

• Ilustrasi dari langkah penyeselaian di atas adalah sebagai berikut:

• Dapat disimpulkan bahwa penyelesaian integral lipat tiga sama dengan penyelesaian integral lipat dua, dimulai dari bagian dalam, ke bagian luar.

Bentuk Tak Tentu

• Contoh:1. Selesaikan

Jawab:

Bentuk Tak Tentu

• Contoh:2. Selesaikan

Jawab:

Bentuk Tentu

• Apabila terdapat integral lipat tiga bentuk tentu berikut:

• Langkah penyelesaiannya:1. Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap z

(dengan menggangap x dan y konstan), dihitung nilainya dengan mensubstitusikan batas atas z = z2 dan batas bawah z = z1.

Bentuk Tentu

2. Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap x, kemudian dihitung nilainya dengan batas atas x = x2 dan batas bawah x = x1.

3. Dari hasil langkah 2 diintegralkan kembali ke y kemudian dihitung nilainya dengan batas atas y = y2 dan batas bawah y = y1.

Bentuk Tentu

• Ilustrasi dari langkah penyelesaian di atas adalah:

• Dapat disimpulkan bahwa langkah penyelesaian bentuk tentu dengan tak tentu hampir sama, bedanya hanya di bentuk tentu ada batas bawah dan batas atas.

Bentuk Tentu

• Contoh:1. Selesaikan

Jawab:

Bentuk Tentu

• Contoh:2. Selesaikan

Jawab:

Bentuk Tentu

Jawab:

Bentuk Tentu

• Contoh:3. Jika diketahui sebuah bidang yang dibatasi oleh y ≤ z ≤ x + 2 ,

0 ≤ y ≤ 3x , dan − 2 ≤ x ≤ 5, tentukan volume bidang tersebut.Jawab:

Bentuk Tentu

• Contoh:4. Hitung Integral lipat tiga f (x, y, z) = 2xyz dalam daerah pejal R

yang dibatasi oleh tabung z = 2 – ½ x2 dan bidang-bidang z = 0, y = x dan y = 0 !Jawab:Ilustrasi dari batas-batas di atas adalah sebagai berikut:

Sehingga batas-batasnya adalah:

Bentuk Tentu

Dari batas-batas tersebut, maka bentuk integral lipat tiga tentu-nya adalah sebagai berikut:

Penyelesaian:

Bentuk Tentu

PR!!!!

Hitung:1.

2.

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc