Aula 3: 19 de março 3-1

Curso: Relatividade 01/2018

Aula 3: 19 de março

Profa. Raissa F. P. Mendes

Todos já vimos mapas de Mercator, em que a Groenlândia é do tamanho da América do Sul e aAntártida é gigantesca! Mas ninguém confundiria as distâncias em um mapa de Mercator com asdistâncias reais na superf́ıcie da Terra. Um mapa de Mercator é uma projeção da geometria do globonuma folha de papel, que tem uma geometria diferente. Da mesma forma, um diagrama espaço-temporal é a projeção de uma seção bidimensional do espaço-tempo, com a geometria resumida emds2 = −(cdt)2 + dx2, em um quadro, com geometria ds2 = dx2 + dy2.

Exemplo: Na figura abaixo, vamos pensar: Qual lado dos triângulos ABC e A′B′C ′ é o “maior”?Qual é o “menor”? Quais são os comprimentos nas unidades da grade? (|AB| = 5, |BC| = 3,|AC| = 4) Qual é o menor caminho entre A e C? (A reta.) Qual é o menor caminho entre A′ e C ′?(O que segue de A′ para B′ para C ′.)

3.11 Dilatação temporal

Imaginem a situação: num certo instante, um observador no trem sincroniza seu relógio com orelógio da estação, que marca 0:00. Ele pergunta: quando o relógio dele marcar ct = 1m, quantotempo vai marcar o relógio na estação (note que ele vai comparar com um relógio que interceptasua linha de mundo em B; as linhas de mundo desses relógios são retas verticais). Da discussãoda aula passada, sabemos que os dois observadores concordam no intervalo espaço-temporal entreesses dois eventos, mas eles podem diferir em como decompor esse intervalo em seus conteúdos detempo e espaço. Temos que ∆s2 = −c2∆t2 + ∆x2 = −(ctB)2 + x2B = −c2∆t′2 = −c2t′2B. Mas

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xB = vtB, pela descrição do movimento de O′ por O. Logo, temos ctB = ct

′B/√

1− (v/c)2. Emgeral:

∆t =∆t′√

1− (v/c)2. (3.6)

Por exemplo, quando o relógio do observador no trem marcar 10s, ele verá o relógio na estaçãomarcando mais que isso: se v/c = 0.7 (φ ≈ 35o), ele verá o relógio da estação marcando cerca de14s! Do ponto de vista dos observadores na estação, o relógio em movimento está andando maisdevagar: o tempo marcado por relógios em movimento é dilatado.

Mas, calma! Alguém poderia dizer: do ponto de vista do observador no trem, os relógios na estaçãonão estão andando mais rápido? Essa conclusão estaria em choque com o prinćıpio P1, pelo qualdeveŕıamos ser capazes de analisar a situação do ponto de vista do observador O′ e concluir que,do ponto de vista dele, o relógio de O corre mais devagar. O que há de errado com esse racioćınio?

Note que a questão de “qual é a taxa em que os relógios estão andando” só pode ser resolvidacomparando os mesmos dois relógios em ocasiões distintas, e se os relógios têm uma velocidaderelativa constante entre si, eles só podem estar juntos uma vez. Na outra ocasião, um dos relógiosé comparado com um outro relógio no referencial O. Isso gera uma assimetria no experimento(e no resultado). Agora, para O dizer que o relógio de O′ está batendo mais devagar, ele temque ter certeza que seus dois relógios estão sincronizados. Do ponto de vista de O, os relógiosestão sincronizados, e a conclusão é válida. Mas de acordo com O′, os relógios de O não estãosincronizados! O relógio de O em B está indicando 14s, mas O′ considera que esse relógio estásincronizado com o relógio de O em x = 0 no evento E, que está marcando menos de 10s! Estámarcando, na verdade, t = 10

√1− v2/c2 = 7.1s. O′ conclui que o relógio de O anda de t = 0 a

t =√

1− v2/c2 ≈ 0.7 enquanto o seu bate de t′ = 0 a t′ = 1. A conclusão é simétrica. A raiz doaparente paradoxo é a quebra da noção de simultaneidade.

A dilatação temporal é testada diariamente em experimentos que envolvem part́ıculas relativ́ısticasinstáveis, como experimentos de raios cósmicos ou colisores de part́ıculas. Por exemplo, múons sãocriados quando raios cósmicos interagem com as part́ıculas na atmosfera; cerca de 10km acima da

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superf́ıcie. Eles têm velocidades alt́ıssimas, de v/c ≈ 0.9999. Os múons são instáveis e têm umameia vida τ ≈ 2 × 10−6s. Eles chegam à superf́ıcie? Bom, se distância = velocidade x tempo,eles tipicamente poderiam percorrer apenas uma distância de 0.6 km e não chegariam à superf́ıcie.Mas, eles chegam (!), e a explicação está relacionada ao efeito de dilatação temporal. Do ponto devista dos observadores na Terra, o relógio interno do múon bate mais devagar devido à sua altavelocidade: sua meia vida, no referencial da Terra, é 2 × 10−6s ×

√1− 0.99992 ≈ 0.14ms e nesse

tempo ele pode percorrer uma distância de mais de 40 km! Mas, e no referencial do múon? Dodiagrama abaixo (com v/c = 0.95, φ = 43.53o), podemos ver o que acontece: do ponto de vista domúon, a distância entre ele e a Terra é menor que 10km! Vamos discutir em mais detalhes esseefeito de contração espacial.

3.12 Contração espacial

Começar com demonstração com régua. Como medir uma régua em movimento? Digamos, tocandoas duas extremidades da régua instantaneamente, simultaneamente. Demonstrar!

A figura mostra uma régua que está em repouso num referencial O′, que se move com velocidade vem relação a O. Qual é o comprimento da régua em O′? É a raiz do intervalo entre os eventos A eC! Por outro lado, o tamanho da régua como medido por O é a raiz do intervalo entre os eventosA e B!

O evento C tem coordenadas t′C = 0, x′C = L. Para calcular suas coordenadas em O usamos o

intervalo entre C e a origem: ∆sAC = −(ctC)2 + x2C = L2. Mas sabemos que o eixo x′ equivale àlinha ct = (v/c)x. Dáı encontramos que xC = L/

√1− (v/c)2 e ctC = L(v/c)/

√1− (v/c)2. Mas o

que queremos, para determinar o tamanho da régua no referencial O, são as coordenadas do ponto

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B. Temos que a reta BC tem inclinação v/c relativa ao eixo t. Temos que

xC − xBtC − tB

= v.

Mas tB = 0. Logo, xB = xC − vtC = L√

1− (v/c)2. O observador O atribui um tamanho menorà régua que o observador em movimento. Ele diz que a régua contrai quando em movimento.Note que, na raiz da questão, temos novamente a quebra da noção de simultaneidade! Qual é ainterpretação do resultado de O dada por O′. O toca as duas extremidades da régua ao mesmotempo, de acordo com a sua noção de simultaneidade. Para O′, qual extremidade foi tocadaprimeiro? A extremidade da direita foi tocada primeiro, e depois a da esquerda. Não é de seadmirar que O diga que a régua em movimento é mais curta que a régua parada! (Note que quandoo observador em O toca as duas extremidades, ele vê o relógio de O′ em uma das extremidadesmarcando mais que o outro. Se fosse uma pessoa deitada viajando perto da velocidade da luz, eleveria a cabeça mais velha que os pés! Creepy! Note que nesse caso o efeito é pequeno, ∆t′BC =(v/c)(L/c), mesmo para velocidades altas!) Qualquer objeto ocupa um volume no espaço-tempoquadridimensional; diferentes observadores extraem conteúdos diferentes de tempo e espaço.

Note que o comprimento de uma régua orientada perpendicularmente à velocidade relativa de doisreferenciais é a mesma quando medida em ambos os referenciais. Isso está relacionado ao fatode que dois eventos que são simultâneos em um referencial também são simultâneos em qualquerreferencial que se move numa direção perpendicular a sua separação espacial no referencial original.

Situação: Atrás dos trilhos, há um muro e, 1m acima dos trilhos, como medido na estação, eupinto uma linha azul horizontal. Quando o trem passa, um passageiro se debruça pela janela comum pincel molhado em acima dos trilhos, como medido no trem, deixando uma linha vermelhana parede. Pergunta: a linha vermelha fica abaixo ou acima da linha azul? Se a regra fosseque direções perpendiculares ao movimento são contráıdas, então a pessoa na estação prediria quea linha vermelha estaria embaixo, enquanto a pessoa no trem diria que a linha azul deve estarembaixo. Mas os dois não podem estar certos! O único jeito é se as linhas coincidirem: Dimensõesperpendiculares à velocidade não são contráıdas.

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3.12.1 Paradoxo da vara no celeiro

Imaginem uma vara de 3m de comprimento, que é carregada por um atleta a uma velocidadev = 0.7c (φ = 35o). Pelo efeito de contração espacial, no referencial do solo a vara possui umtamanho L = 3

√1− 0.72 ≈ 2.14m. Vamos pensar agora que existe um celeiro com 2.14m de

comprimento. Inicialmente a porta da frente do celeiro está aberta e a de trás, fechada. O atletaentra com a vara pela porta da frente. No instante em que o a ponta dianteira da vara toca a portade trás do celeiro, a porta da frente fecha e, por um momento, a vara está inteiramente contidano celeiro. Logo em seguida, a porta de trás abre e o atleta segue viagem. Do ponto de vista doatleta, a vara tem 3m e o celeiro tem L = 2.14

√1− 0.72 ≈ 1.53m de comprimento. A vara nunca

pode caber no galpão! Como explicamos o aparente paradoxo?

-2 2 4 x

-4

-2

2

4

ct

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3.13 Classificação de eventos, futuro, passado e causalidade

Se o intervalo entre dois eventos é positivo (a separação espacial domina sobre a separação tem-poral), vamos dizer que esses eventos estão separados por um intervalo tipo-espaço. Se ∆s2 < 0,vamos dizer que os dois eventos estão separados por um intervalo tipo-tempo. Se ∆s2 = 0,dizemos que estão separados por um intervalo tipo-luz ou nulo. Se fixamos um evento A noespaço-tempo, então os eventos que estão separados por um intervalo tipo-luz de A se localizamnum cone cujo vértice é A. Esse é chamado o “cone de luz de A”. Todos os eventos dentro do conede luz são separados por um intervalo tipo-tempo de A e todos os eventos localizados fora do conede luz de A são separados por um intervalo tipo-espaço. Mais tarde, vamos argumentar que nadapode se mover a uma velocidade maior que a velocidade da luz. Então, os eventos dentro do conede luz passado de A são aqueles que podem ter influenciado A (seu passado absoluto). Os eventosdentro do cone de luz futuro são aqueles que A pode influenciar (seu futuro absoluto)

Por que estamos falando de futuro ou passado absolutos? Porque se dois eventos A e B sãoseparados por um intervalo tipo tempo, ou seja, ∆s2AB < 0, e se tA < tB em um referencial, entãot′A < t

′B em qualquer outro referencial inercial. Isso pode ser facilmente visto das transformações

de Lorentz6. Elas implicam que t′B− t′A = γ[(tB− tA)−v/c2(xB−xA)]. Agora, o fato de o intervaloentre A e B ser negativo implica que c∆t > ∆x (se ambas as diferenças são positivas). Portanto,∆t′ = γ(∆t − v/c2∆x) > γ∆x/c(1 − v/c) > 0. O mesmo não acontece se A e B estão separadospor um intervalo tipo espaço. Nesse caso, ∆x > c∆t e c∆t′ < 0 se v/c > c∆t/∆x.

3.13.1 Causalidade implica v < c

O segundo postulado da RE diz que existe uma velocidade invariante. Ele não diz nada sobre umavelocidade máxima! Por que, então, dizemos que nada pode viajar mais rápido que a velocidade

6Um argumento alternativo. Suponhamos tB > tA e ∆s2 = −c2∆t2 + ∆x2 < 0. Queremos mostrar que isso

implica que tB′ > tA′ . Suponhamos que tB′ = tA′ . Isso implicaria que ∆s′2 = ∆x′2 < 0, o que é uma contradição.

Portanto, tB′ 6= t′A. Agora, a relação entre as coordenadas de O′ e de O deve ser uma função cont́ınua da velocidade.Para velocidades pequenas, devemos ter tB′ > tA′ . Se existisse alguma velocidade para que tB′ < tA′ , haveria umaoutra velocidade tal que tB′ = tA′ , o que é imposśıvel. Logo tB′ > tA′ .

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da luz?

Essa ideia de uma velocidade limite vem de duas previsões da teoria, que a inércia de um corpo tendea infinito quando a velocidade do corpo tende à velocidade da luz e que causalidade (a sucessão decausa e efeito) é violada se podemos enviar um sinal a velocidades superiores à velocidade da luz.

Se dois eventos E1 e E2 são separados por um intervalo tipo espaço, não existe um ordenamentotemporal absoluto entre eles. Portanto, se um sinal viaja de E1 para E2 em um referencial, é posśıvelencontrar outro referencial em que E1 e E2 sejam simultâneos, de modo que o sinal pareceria sepropagar a velocidade infinita e outros em que E1 acontece depois de E2, de forma que o sinal“viajaria para o passado”.

A menos que se coloque restrições sobre o tipo de propagação (por exemplo, só acontece em umreferencial), isso é uma fonte potencial de paradoxos: pode acontecer que dois eventos são separadospor um intervalo tipo-tempo mas, mesmo assim, a causa precede o efeito.

Exemplo: anti-telefone. Suponha que, num certo referencial inercial K, um táquion seja emitidono evento E0 (t0 = 0, x0 = 0) e recebido em E1. É sempre posśıvel encontrar um referencial K

′ emque t′0 = 0, x

′0 = 0 e t

′1 < 0. Agora, no evento E1, imagine que um outro táquion, que viaja para

o futuro com respeito a K ′ e para o passado com respeito a K, seja enviado rumo à origem. Elealcança a origem espacial num tempo t2 < 0. Podemos pensar num experimento de forma que E0cause E1, que, por sua vez, causa E2. Portanto, E0 causa E2, o que é um paradoxo, já que, como osdois eventos estão separados por um intervalo tipo tempo, E2 precede E0 em todos os referenciais.Isso só acontece porque permitimos a propagação de táquions em todos os referenciais!

Referência: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0107091.pdf.

Comentar também: Singularidades nuas são objetos que a prinćıpio existem em RG e queviolariam causalidade. Mas achamos que não existem na Natureza, que as condições para formá-lasnão são satisfeitas em processos f́ısicos (conjectura da censura cósmica).

https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0107091.pdf

3.13.2 Velocidade de propagação de outras ondas

Existem outras ondas que não exigem um meio para se propagar? Precisam viajar com a velocidadeda luz? No caso do elétron (ou outras part́ıculas massivas), as leis da mecânica quântica relativ́ısticapodem ser escritas de forma que sejam iguais em todos os referenciais inerciais e, ao mesmo tempo,permitam que o elétron viaje a velocidades diferentes em referenciais diferentes. E part́ıculas nãomassivas? Não temos nenhum candidato no modelo padrão, mas fora sim: fotinos, etc. Elesprecisam viajar na mesma velocidade da luz! Se houvesse duas velocidades invariantes, isso levariaa contradições sem fim. Portanto, todos os sinais governados por leis que exigem que viajem comuma velocidade fixa (sem massa e repouso ou meio subjacente) devem viajar à velocidade da luz.A velocidade da luz é mais fundamental para a relatividade que a própria luz!

3.14 Unidades naturais

Na maior parte do nosso curso vamos trabalhar em unidades tais que c = G = 1, então tempoe distância terão a mesma dimensão, massa e distância também. É fácil recuperar os fatores dec e G por análise dimensional! Por exemplo, mais pra frente, vamos ver que o raio do horizontede eventos de um buraco negro de relaciona com a sua massa da forma R = 2M . Onde estão osfatores de G e c para que essa expressão faça sentido?

3.15 Tempo próprio e o paradoxo dos gêmeos

Por toda a discussão anterior, chegamos à conclusão que o tempo, como medido por relógios ideais,é algo “pessoal”, diferente para diferentes observadores que se movem no espaço-tempo ao longo delinhas de mundo distintas. Isso é bem ilustrado pelo paradoxo dos gêmeos, no qual um dos gêmeos(Alice) permanece sempre em repouso e o outro (Bernardo) faz uma viagem relativ́ıstica de ida evolta a um planeta distante. O intervalo de tempo entre a partida e a chegada de Bernardo, comomedido pela Amanda é simplesmente a diferença entre a coordenada t dos dois eventos. Comocalculamos o tempo entre esses dois eventos como medido pelo relógio do Bernardo? Ou seja, comocalculamos o tempo medido por um observador acelerado? Se A e B são dois eventos próximos,definimos o tempo próprio entre eles como o intervalo de tempo medido por um observador inercialque passa pelos dois eventos. É uma quantidade invariante, pois está diretamente relacionada aointervalo: ds2 = −(cdt′)2 = −(cdτ)2. Agora, qualquer linha de mundo pode ser aproximada poruma sucessão de movimentos com velocidade constante. Assim, definimos o tempo próprio ao longode uma linha de mundo tipo tempo qualquer como

τAB =

∫ BAdτ =

1

c

∫ BA

[c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2]1/2 =∫ BAdt[1− ~V 2/c2]1/2.

Para casa: Ler a discussão do Schutz sobre o paradoxo dos gêmeos.

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Aula 4: 21 de março 4-1

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4.16 Vetores

Para falar sobre dinâmica no espaço-tempo de Minkowski, precisamos generalizar a noção Euclide-ana de vetores, e falar sobre quadri-vetores e tensores.

Para lembrar: Um espaço vetorial (real) é uma coleção de objetos que podem ser somados, emultiplicados por números reais, de uma forma linear [(a + b)(V + W ) = aV + bV + aW + bW ].O espaço vetorial tem um vetor nulo. Outras operações, como produto escalar, exigem estruturaalém da básica em um espaço vetorial.

O nosso quadri-vetor protot́ıpico é o vetor deslocamento. Vamos definir o vetor ∆~x que, no referen-cial O, possui componentes ∆~x→O (∆t,∆x,∆y,∆z). Ou ∆~x→O {∆xα}, onde ı́ndices gregos vãorepresentar 0, 1, 2 e 3, com x0 = ct, x1 = x, etc. Usaremos a notação do Schutz, com a seta sobreos vetores (no Carroll, não se usa seta). Note que o vetor é um objeto geométrico. Assim como umvetor no plano tem componentes diferentes em sistemas cartesianos relacionados por uma rotação,um quadri-vetor tem componentes diferentes em referenciais distintos, mas o vetor é independentedo sistema de coordenadas. Em um referencial Ō, ∆~x→Ō {∆xᾱ}, com um apóstrofo no ı́ndice paraindicar o referencial. Quais são as novas componentes? São dadas pelas transformações de Lorentz.Podemos escrever, por exemplo, ∆x0̄ = ∆x0/

√1− v2 − v∆x1/

√1− v2. Uma forma alternativa é

escrever (como uma combinação linear)

∆x0̄ =

3∑β=0

Λ0̄β∆xβ,

onde {Λ0̄β} é uma coleção de quatro números: Λ0̄0 = 1/√

1− v2, Λ0̄1 = 1/√

1− v2, Λ0̄2 = Λ0̄3 = 0. Omesmo vale para ∆x1̄, etc., então escrevemos

∆xᾱ =

3∑β=0

Λᾱβ∆xβ.

Agora Λᾱβ é uma coleção de 16 números. Podemos pensar na expressão acima simplesmente comouma multiplicação matricial. Λ é chamada matriz de transformação de Lorentz. A razão dos ı́ndicesem cima e embaixo vai ficar clara depois. Por enquanto, vamos usá-la para definir a convençãode soma de Einstein: sempre que uma expressão contém um ı́ndice sobrescrito e o mesmo ı́ndicesubscrito, uma soma estará impĺıcita. Então temos

∆xᾱ = Λᾱβ∆xβ.

Dilatação temporalContração espacialParadoxo da vara no celeiro

Classificação de eventos, futuro, passado e causalidadeCausalidade implica v