Aula 06 Fenomenos de Transporte 6

8/17/2019 Aula 06 Fenomenos de Transporte 6

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Prof. Dr. Elilton [email protected]


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Escoamento Incompressível de Fluidos não Viscosos: Equações de

Bernoulli.

Todos os fluidos de importância na engenharia tem

viscosidade, independente do campo de escoamento. Ocorre que no

escoamento de fluidos viscosos, em uma região de escoamento, as

forças viscosas são desprezíveis comparadas as forças inerciais e/ou

pressão.Nessas regiões, as tensões de atrito também se cancelam com

as forças viscosas o que torna sua resultante desprezível.


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Equações da Quantidade de Movimento

-Equações de Navier-Stokes -

Navier e Stokes desenvolveram equações diferenciais que

descrevem o escoamento de fluidos e que permite determinar os campos

de velocidade e pressão num escoamento. [Veja Fox Cap.6 pág.212, Sexta Edição]

Estas equações estabelecem que mudanças no momento e

aceleração de uma partícula fluida são o produto das mudanças na

pressão e forças viscosas dissipativas atuando dentro do fluido.


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Estas equações são bastante simplificadas quando aplicadas ao

escoamento incompressível com viscosidade constante. Sob estas

condições, as equações reduze-se a:


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Se as forças viscosas resultantes forem muito pequenas

comparadas com as forças inerciais e/ou pressão, o último termo daequação de Navier-Stokes é desprezível. Isto vale somente se o inverso

do Número de Reynold for pequeno (1/Re).

Portanto, regiões de escoamento sem viscosidade são regiões de

alto número de Reynold – o oposto de regiões de escoamento lento.

Nessas regiões, a equação de Navier-Stokes perde seu termo viscoso ese reduz a Equação de Euler.


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A equação (1) é a equação do movimento de Navier-Stokes com

seu termo viscoso.

Eq.(1)

Quando aplicado a um fluido com viscosidade desprezível o

termo referente a viscosidade é cancelado, tornando-se a Eq.(2).

Eq.(2)


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A Eq.(2) é chamada de Equação de Euler e é aplicada em

regiões com forças viscosas desprezíveis.

A equação de Euler é simplesmente a equação de Navier-Stokes

com o termo viscoso ignorado, ela é uma aproximação equação de

Navier-Stokes.

Devido à condição de não escorregamento nas paredes sólidas, as

forças de atrito não são desprezíveis em uma região de escorregamentomuito próxima da parede sólida.


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Nesta região, chamada camada limite, os gradientes de

velocidade normais à parede são suficientemente grandes para

modificar o pequeno valor de 1/Re.

Figura 1


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Explicação alternativa

Uma explanação alternativa é que comprimento de escala

característicos do corpo (L) não é mais o comprimento apropriado dentro

de uma escala limite e deve ser substituído por um comprimento de

escala muito menor associado com a distância da parede (δ).

Quando definimos o número de Reynold com essecomprimento menor (δ), Re deixa de ser um valor alto, e o termo

viscoso na equação de Navier-Stokes não pode ser desprezado.


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Um argumento similar pode ser apresentado na esteira de um

corpo, onde os gradientes de velocidade são relativamente grandes e os

termos viscosos não são desprezíveis comparados com os termos

inerciais.

Figura 1

Um argumento similar pode

ser apresentado na esteira de umcorpo, onde os gradientes de

velocidade são relativamente

grandes e os termos viscosos não

são desprezíveis comparados comos termos inerciais.


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A aproximação da Equação de Euler é apropriada em regiões

de alto número de Reynolds do escoamento, onde as forças viscosas

resultantes são desprezíveis, muito distante das paredes e esteiras.

Quando desprezar o termo viscoso da Equação de Navier-Stokes?

Para que possamos entender quando desprezar o termo viscoso da

Equação de Navier-Stokes, vamos pegar um elemento da esteira

mostrada na Figura (1) e a presentar na Figura (2).


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δ


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δ

µ pode ser desprezado na

Equação de Navier-Stokes

tornando-se a Equação de Euler.

Tornando-se a equação de Euler

δ

µ não pode ser desprezado na

Equação de Navier-Stokes

tornando-se a Equação de Euler.


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Explicação:

Quando o comprimento da camada limite for grande, com

comprimento, (L), as forças inerciais serão muito grandes e irão

sobrepor as forças viscosas. Dessa forma, o número de Re será grande e

o inverso será pequeno (1/Re). Dessa forma, o termo viscoso na equação

de Navier-Stokes poderá ser desprezado tornando-se a equação de Euler.


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Quando o comprimento da camada limite for muito pequeno,

com comprimento (δ), então as forças viscosas vão sobrepor as forças

inerciais. Dessa forma, o número de Reynold será pequeno e o inverso

(1/Re) terá valor grande. Dessa forma, o termo viscoso da equação de

Navier-Stokes não poderá ser desprezível.

δ


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O termo que é desprezado na aproximação da equação de Euler

da equação de Navier-Stokes é o termo que contém as derivadas de

ordem mais alta, da velocidade. [Leia informações adicionais nas anotações].

A aplicação da Equação de Euler num elemento de volume na

direção da linha de corrente, como mostrado na figura (3) obtemos a

expressão abaixo:


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Para escoamento em regime permanente e desprezando forças decampo, a equação de Euler na direção da linha de corrente reduz-se a:

A qual indica que uma diminuição na velocidade é

acompanhada por um aumento na pressão e vice-versa.


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Equação de Bernoulli

A dedução da equação de Bernoulli pode ser obtida a partir da

dedução da equação de Euler que foi aplicada para uma linha de

corrente. A partir da Eq.(3) temos:

Como o regime é permanente, V = cte , então:


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Se uma partícula fluida desloca-se de uma distância ds, ao

longo de uma linha de corrente então:


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Após multiplicar a equação por ds podemos escrever:

A integração dessa equação fornece:

Para aplicar essa expressão, devemos conhecer a relaçãoentre a pressão e a massa específica. Para o caso especial de

escoamento incompressível, ρ =cte a equação acima torna-se a

Equação de Bernoulli.


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Equação de Bernoulli

Restrições:

(1) Escoamento permanente;

(2) Escoamento incompressível;

(3) Escoamento sem atrito;

(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.

A equação de Bernoulli é uma equação útil e poderosa pois relaciona as

variáveis de pressão com aquela de velocidade e de elevação ao longo de uma linha

de corrente. Então ela fornece resultados corretos apenas quando aplicada a uma

situação de escoamento onde todas as quatro restrições são razoáveis.


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Fim da aula

Próxima aula exercícios de aplicação

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