As Equações de Boussinesq

8/16/2019 As Equações de Boussinesq

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Laboratório de Mecânica de PavimentosProf. J. T. Balbo

As Equações de Boussinesq

1. Introdução

J. Boussinesq publicou em 1885 o trabalho “Application des Potentiels a l´Etudede l´Equilibre et du Mouvement des Solides Elastiques”. Desde então, suasequações que apresentavam as interelações entre forças de contato sobre ocontorno de um sólido semi-infinito foram utilizadas bem como expandidas paraoutras formas geométricas de aplicação de forças, tendo inclusive servido defundamento para o estabelecimento da Teoria Elástica de Sistemas de Camadasproposta por Burmister em 1945.

As equações de Boussinesq tratam-se de uma particularização da Teoria daElasticidade formalizada por Cauchy em 1822, sendo ainda hoje de grandeaplicação a diversos estudos relacionados à Engenharia Geotécnica.

Para fundamentar a dedução de Boussinesq, recordar-se-á neste texto osconceitos envolvidos na Teoria de Cauchy, apresentando-se inicialmente a basede equacionamento da Teoria da Elasticidade.

Espera-se que a transposição de sistemas de coordenadas apresentada no textoseja de fácil intelecção aos leitores bem como a ampliação da Teoria deBoussinesq para cargas aplicadas em áreas circulares (por integração) sejaposteriormente estudada por meio das referências aqui ao final indicadas.

2. Teoria da Elasticidade Linear

Na formulação da Teoria da Elasticidade admite-se um estado de equilíbriodinâmico no qual o semi-espaço elástico pode estar sujeito a dois tipos de ações:forças externas e internas.

As forças externas ou forças de superfície são aquelas distribuídas ouconcentradas sobre a superfície do meio elástico tais como pressões de contato epressões hidrostáticas.

As forças internas são também chamadas de forças de volume, como as forçasgravitacionais e de inércia.

As forças internas, em diversas situações se tornam inexpressivas face às açõesexternas ao meio elástico (caso genérico das estruturas de pavimentos). Para oestudo do equilíbrio dos semi-espaços elásticos, sob condições de carregamentoestático, as forças internas são desprezadas e as forças de superfície são


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decompostas em componentes de tensão paralelas a eixos coordenadospreestabelecidos.

Para a análise elástica-linear dos semi-espaços são assumidas as seguinteshipóteses:

(a) o material é homogêneo.(b) o material é isotrópico.(c) as tensões ficam caracterizadas por duas propriedades do material: seu

módulo de deformação e seu coeficiente de Poisson, sendo que o materialobedece à Lei de Hooke Generalizada.

A Lei de Hooke Generalizada relaciona as tensões Às deformações sofridas emum ponto qualquer do material.

A partir de tais hipóteses as equações de equilíbrio de um semi-espaço elástico

podem ser obtidas conforme apresenta-se na sequência. Seja P um ponto de umsemi-espaço elástico sob um determinado estado de solicitações causadoexclusivamente pela ação de forças de superfície. Assuma-se tal ponto como umelemento infinitesimal da matéria de dimensões dx, dy e dz (figura 1).

As Equações Gerais de Equilíbrio Estático são definidas pelos somatórios deações, considerada cada uma das direções (x,y,z), resultando nas seguintes:

• Para a direção x:

-σx.dy.dz -

τxy.dx.dz -

τxz.dx.dy +

[σx+(∂σx/∂x).dx].dy.dz + [τxy+(∂τxy/∂y).dy].dx.dz +

[τxz+(∂τxz/∂z).dz].dx.dy + fx.dx.dy.dz = 0

dividindo-se a equação de equilíbrio acima por (dx.dy.dz), chega-se à equação deequilíbrio para a direção x:

∂σx/∂x + ∂τxy/∂y + ∂τxz/∂z + fx = 0 [1]Utilizando-se do mesmo procedimento de equilíbrio para as direções y e z,obtém-se, analogamente, as seguintes equações, respectivamente:

∂τyx/∂x + ∂σy/∂y + ∂τyz/∂z + fy = 0 [2]

e


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∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y + ∂σz/∂z + fy = 0 [3]


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Figura 1 Tensões nas faces de um elemento da matéria


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As Equações de Compatibilidade de Deslocamentos e Deformações são deduzidastendo-se por princípio que os deslocamentos planares que ocorrem em um dosvértices do ponto (paralelepípedo elementar) devem ser compatíveis com asdeformações que surgem neste mesmo vértice (figura 2)

Figura 2 Deslocamentos no plano x-y

Generalizando-se para as três dimensões do elemento, o deslocamento total doponto P será devido aos deslocamentos sofridos nos três planos que o contém (x-y, x-z, y-z), sendo as deformações sofridas funções dos deslocamentos u, v, w;as funções-deslocamento serão:

u = u(x,y,z)

v = v(x,y,z)

w = w(x,y,z)

Tais funções devem, por definição, ser contínuas, pois suas derivadas primeirasrepresentam as deformações sofridas, conforme indicadas pelas equações que seseguem:

εx = ∂u/∂x [4]


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εy = ∂v/∂y [5]

εz = ∂w/∂z [6]

γ xy =

∂u/

∂y +

∂v/

∂x [7]

γ xz = ∂u/∂z + ∂w/∂x [8]

γ yz = ∂v/∂z + ∂w/∂y [9]

Tomando-se a hipótese de linearidade entre deformações e tensões (o materialobedece à Lei de Hooke Generalizada), as seguintes equações são necessárias:

εx = (1/E) . [σx - ν.(σy+σz)] [10]

εy = (1/E) . [σy - ν.(σx+σz)] [11]

εz = (1/E) . [σz - ν.(σx+σy)] [12]

γ xy = (1/G) . τxy [13]

γ xz = (1/G) . τxz [14]

γ yz = (1/G) . τyz [15]

sendo E o módulo de deformação (ou módulo de Young ou módulo deelasticidade), ν o coeficiente de Poisson e G o módulo de elasticidade transversaldo material, denotado pela relação entre E e ν, conforme indicada:

G = E/2.(1+ ν)

Desta forma ficam estabelecidas 15 relações para a solução do equilíbrio ecompatibilidade de deformações em um semi-espaço elástico, homogêneo eisotrópico, sujeito à ação de forças externas de superfície (note que as forçasvolumétricas não são consideradas na dedução). Esta teoria foi a base deformulação da Teoria de Boussinesq para o cálculo de deslocamentos,deformações e tensões em semi-espaços elásticos (maciços homogêneos).

Para acompanhar-se a formulação proposta por Boussinesq é conveniente arepresentação das equações [1] a [9] em sistema de coordenadas polares, cujarepresentação gráfica das tensões de superfície é aquela da figura 3.


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Figura 3 Tensões nas faces de um elemento (em coordenadas polares)

As equações de equilíbrio e compatibilidade reescritas em termos de coordenadaspolares resultam em:

∂σr/∂r + (1/r) . ∂τrθ /∂θ + ∂τrz/∂z + (σr-σθ)/r = 0 [16]


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∂τrz /∂r + (1/r) . ∂τθz /∂θ + ∂σz/∂z + τ rz/r = 0 [17]

∂τrθ /∂r + (1/r) . ∂τθ /∂θ + ∂σθz/∂z + 2 . τ rθ /r = 0 [18]

εr = ∂u/∂r [19]εθ = u/r + ∂v/ (r.∂θ) [20]

εz = ∂w/∂z [21]

γ rθ = ∂u/(r.∂θ) + ∂v/∂r – v/r [22]

γ rz = ∂u/∂z + ∂w/∂r [23]

γ zθ = ∂v/∂z + ∂w/(r.∂θ ) [24]

Considerada uma situação de assimetria não torcional (τrθ = τθz = 0), taisequações seriam reduzidas a:

∂σr/∂r + ∂τrz/∂z + (σr-σθ)/r = 0 [25]

∂τrz /∂r + ∂σz/∂z + τ rz/r = 0 [26]

εr = ∂u/∂r [27]

εθ = u/r [28]

εz = ∂w/∂z [29]

Se é tomada uma função de tensões (φ) com a seguinte forma:

[∂2 /∂r2 + (1/r).(∂ /∂r) + ∂2 /∂z2] . [∂2φ /∂r2 + (1/r).(∂ φ /∂r) + ∂2φ /∂z2] =

= ∇2∇2φ


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sendo

∇2 = ∂2 /∂r2 + (1/r).(∂ /∂r) + (1/r2). ∂2 /∂θ2 + ∂2 /∂z2 ∗

as equações [25] e [26] podem ser rescritas da seguinte forma:

σr = ∂ /∂z . [ ν . ∇2φ - ∂φ2 /∂r2] [30]

σθ = ∂ /∂z . [ ν . ∇2φ - (1/r) . ∂φ /∂r] [31]

σz = ∂ /∂z . [(2 - ν) . ∇2φ - ∂φ2 /∂z2] [32]

τrz = ∂ /∂z . [(1 - ν) . ∇2φ - ∂φ2 /∂z2] [33]As equações de compatibilidade entre deslocamentos e deformações resultariamem:

u = - [(1 + ν)/E] . (∂φ2 /∂r.∂z)

ou

u = - (1/2G) . (

∂φ2 /

∂r.

∂z) [34]

e

w = [(1 - ν)/G] . ∇2φ - (1/2G) . (∂φ2 /∂z2) [35]

3. Teoria de Boussinesq

A Teoria de Boussinesq apresenta uma solução para o caso de uma força aplicadaconcentradamente no contorno (superfície) do semi-espaço elástico. Pararesolver matematicamente as equações, Boussinesq tomou partido de funçõesem séries polinomiais no estabelecimento de uma função de tensões φ.

Considerando a carga aplicada concentradamente sobre a superfície do semi-espaço elástico, a função de tensões poderia ser escrita sob a forma:

∗ é o operador de Laplace em coordenadas cilíndricas


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φ = B . (r2 + z2)1/2 [36]

sendo B uma constante a ser ajustada de modo a satisfazer as condições decontorno do campo de tensões. Substituindo [36] nas equações [30] a [33],obtém-se:

σr = B . [(1 - 2 ν) . z . (r2 + z2)-3/2 - 3r2z . (r2 + z2)-5/2] [37]

σθ = B . (1 - 2 ν) . z . (r2 + z2)-3/2 [38]

σz = - B . [(1 - 2 ν) . z . (r2 + z2)-3/2 + 3z3 . (r2 + z2)-5/2] [39]

τrz = - B . [(1 - 2 ν) . r . (r2 + z2)-3/2 + 3rz2 . (r2 + z2)-5/2] [40]

Tais tensões tendem ao infinito quando o ponto considerado se aproxima doponto de aplicação de cargas. Para atender a esta condição o semi-espaçoelástico foi admitido como um volume esférico com a força atuante sobre asuperfície esférica (figura 4).


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Figura 4 Semi-espaço esférico com carga concentrada na superfície

Em coordenadas polares, tem-se:

σr = A/R3

[41]

σt = (∂σR/∂R) . R/2 + σr = - 1/2 . (A/R3 ) [42]

onde

A = constante

R = (r2 + z2)1/2

Convertendo a distribuição de tensões em coordenadas cilíndricas e integrando-se com relação à coordenada z no intervalo de z = 0 até z = +∞, as tensõesresultam em:

σr = (A/2) . [1/r2 – (z/r2) . (r2 + z2)-1/2 - z . (r2 + z2)-3/2] [43]

σθ = - (A/2) . [1/r2 – (z/r2) . (r2 + z2)-1/2] [44]

σz = (A/2) . z . (r2 + z2)-3/2 [45]

τrz = - (A/2) . r . (r2 + z2)-3/2 [46]

Na superfície do semi-espaço elástico a condição de contorno a ser imposta será

em z = 0 que σθ = τrz = 0. Assim pode-se estabelecer a seguinte relação entreas constantes A e B:

equação [40] = equação [46] = 0

de onde chega-se a:

A = 2B . (1 - 2 ν) [47]

Substituindo-se [47] em [43] e [44], obtém-se:

σr = B . {(1 - 2 ν) . [1/r2 – (z/r2) . (r2 + z2)-1/2] – 3r2z . (r2 + z2)-5/2} [48]


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σθ = B . (1 - 2 ν) . [-(1/r2) + (z/r2) . (r2 + z2)-1/2 + z. (r2 + z2)-3/2] [49]

σz = - 3B . z3 . (r2 + z2)-5/2 [50]

τrz = - 3B . r . z2

. (r

2

+ z

2

)

-5/2

[51]

As equações [48] a [51] satisfazem à condição σz = σrz = 0 para z = 0.

A constante B é determinada de maneira que as forças distribuídas sobre asuperfície esférica sejam estatisticamente equivalentes à força P atuando sobre adireção z (vertical).

A componente em z das forças sobre a superfície será (figura 4):

Z = - (τrz . sen ϕ + σz . cos ϕ) = 3Bz2 . (r2 + z2)-2 [52]A soma de todas as forças de superfície decompostas na direção z será dada por: π /2 π /2

Z’ = 2π Z . r . (r2 + z2)1/2 . dϕ = 6πB cos2ϕ . senϕ . dϕ = 2πB[53] 0 0

Assim, como P deve ser igual a Z’, tem-se:

B = P/2π [54]

As tensões procuradas serão portanto:

σr = (P/2π) . {(1 - 2 ν) . [1/r2 – (z/r2) . (r2 + z2)-1/2] – 3r2z . (r2 + z2)-5/2} [55]

σθ = B(P/2π) . (1 - 2 ν) . [-(1/r2) + (z/r2) . (r2 + z2)-1/2 + z. (r2 + z2)-3/2] [56]

σz = - 3(P/2π) . z3 . (r2 + z2)-5/2 [57]

τrz = - 3(P/2π) . r . z2 . (r2 + z2)-5/2 [58]

As equações [55] a [58] servem-se para o cálculo das tensões em qualquerponto do semi-espaço elástico, devidas a uma carga concentrada P aplicadasobre sua superfície.

Quanto aos deslocamentos, as equações [27] a [29] serão rescritas da seguintemaneira:


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∂u = εr . ∂r [27]

u = εθ . r [28]

∂w = εz . ∂z [29]

Como se tem

[σr σθ σz τrz

εθ = (1/E) . [σθ - ν . (σr + σz)] ,

então:

u = (r/E) . [σθ - ν . (σr + σz)] [59]

Substituindo-se [55], [56] e [57] em [59], tem-se:

u = [(1 - 2 ν) . (1 + ν) / (2πEr)] . {z . (r2 + z2)-1/2 – 1 + [1/(1 - 2 ν] . r2z (r2 + z2)-3/2} [60]

Sabe-se que:

∂w/

∂z =

εz = (1/E) . [

σz -

ν . (

σr +

σθ)] [61]

Substituindo-se [55], [56] e [57] em [61], tem-se, e por sua vez integrando-seem relação a z, chega-se a:

w = (P/2πE) . [(1 + ν) .z2 . (r2 + z2)-3/2 + 2 . (1 - ν2) . (r2 + z2)-1/2 ] [62]

A equação [62] serve-se ao cálculo do deslocamento na direção vertical de umdado ponto no semi-espaço elástico, sob a ação de uma força concentrada emsua superfície.

Bibliografia Consultada

Yang, N.C. Design of Functinal Pavements. Mc-Graw-Hill, New York, 1972.

Timoshenko, S.P.; Goodier, J.N. Teoria da Elasticidade. 3ª edição, GuanabaraDois, Rio de Janeiro, 1980.

De Zagottis, D.L.Intro d ução à Teo ria d a s Estru tu ra s . Capítulos 25 a 36: Elasticidade –Elementos Finitos, EPUSP, São Paulo, 1986.

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