Apuntes

Universidad Andrs Bello

Electricidad

Luis Alvarez Thon

A A A

&

Edicin 2014Magnetismo

L U I S A LVA R E Z THON

E L E C T R I C I DAD YMAGN E T I SMOFM F - 1 4 4 ( 2 0 1 4 )

D E PA R TAMENTO D E C I E N C I A S F S I C A SU N I V E R S I DAD ANDR S B E L L O

2014 Luis Alvarez Thon

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.en_US.

Contenido

1. Matemticas del curso 91.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Operadores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Electrosttica 312.1. Carga elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3. Principio de Superposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4. Campo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5. Distribuciones continuas de carga . . . . . . . . . . . . . . 482.6. Flujo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7. La ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.8. Aplicaciones de la ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 66

3. El potencial electrosttico 793.1. Definicin de potencial electrosttico . . . . . . . . . . . . 803.2. Significado fsico del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3. Potencial elctrico de cargas puntuales . . . . . . . . . . . 823.4. Potencial elctrico de distribuciones continuas de carga . . 833.5. Energa potencial electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . 833.6. Relacin entre potencial y campo elctrico . . . . . . . . . 843.7. Potencial y campo elctrico uniforme . . . . . . . . . . . . 853.8. Clculo de potencial elctrico de distribuciones continuas 873.9. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.10. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.11. Dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4. Corriente elctrica 1074.1. Corriente elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2. Densidad de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3. La ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4. Conexin de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5. Potencia elctrica y energa disipada . . . . . . . . . . . . 1144.6. Ampermetros y voltmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5. Circuitos 1215.1. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2. Corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3. Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6. Magnetismo 1376.1. Campo magnticos y fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.2. Fuerza magntica sobre un conductor con corriente . . . . 138

6 luis alvarez thon

6.3. Torque sobre una espira con corriente . . . . . . . . . . . 1436.4. La ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.5. La ley Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.6. Flujo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.7. Induccin magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.8. Ley de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.9. Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.10. Inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.11. El transformador y la ley de Faraday . . . . . . . . . . . . 161

ndice alfabtico 175

IntroduccinEstos son apuntes complementarios para el curso de Electricidad y

Magnetismo (FMF-144). Estos estn basados en varios libros de textoy otras fuentes de informacin. Si bien existe una buena cantidad deexcelentes libros de texto, a veces el alumno se ve sobrepasado por lagran cantidad de informacin y no sabe distinguir lo que es ms relevante.Estos apuntes siguen, en estricto rigor, el orden de materias que aparecenen el syllabus del curso.

Debo recalcar que el objetivo de estos apuntes no es reemplazar losexcelentes libros de texto disponibles en la biblioteca, sino que tienencomo objetivo guiar al alumno a consultar esos textos. La bibliografatentativa es la siguiente:

Fsica Universitaria; Vol. 2, Sears - Zemansky Young; Edit. Pearson,Edicin: 2004 (edicin 11).

Fsica, Vol. 2, Raymond A. Serway Edicin: 2005, Thomson.

Fsica, Vol. 2, Paul Tipler Edicin: 1995, Revert.

Fsica General, F. Bueche, 10a edicin, McGraw Hill, 2007.

El primer capitulo del curso tiene como objetivo refrescar y reforzarlos conocimientos de matemticas que se necesitan en este curso.

Al final de cada captulo se propone una lista de problemas pararesolver. Estos problemas han sido seleccionados cuidadosamente de cadalibro de texto de la bibliografa, de tal manera que sean del nivel de estecurso.

CAPTULO1Matemticas del curso

Este captulo tiene como objetivo cubrir, en forma especfica, las tc-nicas y mtodos, justos y necesarios, para resolver problemas bsicos deelectromagnetismo.

1.1 VectoresMuchas cantidades en fsica e ingeniera son tratadas como vectores

porque tienen asociadas un magnitud y una direccin; la velocidad, fuer- Una cantidad escalar no tiene direcciny es especificada por un solo valor conuna unidad apropiada.

za, momentum angular, campo elctrico o magntico son algunos ejem-plos de vectores. En cambio cantidades tales como tiempo, temperaturao densidad slo tienen magnitud y son llamadas escalares. Una cantidad vectorial tiene magnitud

y direccin.Esto quiere decir que un vector es todo aquello que tiene magnitudy direccin? Bueno, hay que reconocer que esta definicin no es lams correcta pues usted podra preguntarse: acaso un auto tienemagnitud y direccin?, eso convierte a un auto en un vector?. Unmatemtico dira: un vector es un elemento de un espacio vectorial.

En trminos simples, un espacio vectorial en un conjunto de co-sas para las cuales se ha definido la operacin de adicin y tambinla operacin de multiplicacin por un escalar.

Figura 1.1: Todos los vectores de la fi-gura son iguales porque tienen la mis-ma direccin y largo.

Un piloto de avin necesita conocer la velocidad del viento antes dedespegar, es decir, es necesario conocer la rapidez y la direccin del vien-to. Puesto que la direccin es parte de la informacin, la velocidad esuna cantidad vectorial, la cual se define como una cantidad fsica quees especificada completamente por un nmero (y sus unidades) ms unadireccin.

Un vector puede ser representado grficamente mediante una flechay un largo proporcional a su magnitud. Adems los vectores pueden serrepresentados en dos o tres dimensiones. Si dos o ms vectores tienen lamisma direccin y magnitud entonces ellos son iguales (ver figura 1.1). Nohay diferencia donde empieza la cola del vector, aunque por convenienciase prefiere localizarla en el origen de coordenadas.

Nombre del vector

Direccin del vector

Magnitud del vector

El vector se dibuja a travs de lapgina, pero representa la velocidadde la partcula en este punto.Figura 1.2: El vector velocidad ~v tienemagnitud y direccin.

Simblicamente un vector se representa por medio de una letra conuna flecha arriba, ~A y el largo (magnitud) como A =

~A. Por ejemplo,la magnitud del vector velocidad en la figura 1.2 es v = |~v| = 5.0m/sy esta es la rapidez del objeto. La magnitud del vector aceleracin ~a seescribe a.

10 electricidad y magnetismo fmf-144 (2014)

En la mayora de los libros de texto, un vector ~A se representa conel smbolo en negrita A y la magnitud mediante A. Por lo tanto, enesos textos, hay que tener cuidado de no confundir A con A.un error muy comn es omitir la flecha sobre la letra que repre-senta un vector. Esto es imperdonable y conduce a uno de los peoreserrores: tratar un vector como si fuera un escalar.

1.1.1 Operaciones con vectoresEn esta representacin grfica, la adicin de vectores1 1 La adicin de dos vectores solo tiene

sentido fsico si ellos son de la mismaclase, por ejemplo si ambos son fuerzasactuando en dos o tres dimensiones.

~C = ~A+ ~B

consiste en colocar la cola del vector ~B en la punta del vector ~A. Elvector ~C es entonces representado por una flecha dibujada desde la coladel vector ~A hasta la punta del vector ~B. Esta forma de sumar vectoresse llama regla del tringulo. (Fig. 1.3).

Figura 1.3: Adicin de dos vectoresmostrando la relacin de conmutacin.

La figura 1.3 tambin muestra la regla del paralelogramo que consisteen trasladar los dos vectores hasta formar un paralelogramo de tal maneraque el vector resultante ser aquel formado por la diagonal que parte delas dos colas hasta el punto donde se encuentran las dos puntas. Adems,esto demuestra grficamente que la adicin de vectores es conmutativa,es decir ~A+ ~B = ~B + ~A.

La generalizacin de este procedimiento para la adicin de tres o msvectores es clara y conduce a la propiedad de asociatividad de la adicin(ver figura 1.4), por ejemplo

~A+ ( ~B + ~C) = ( ~A+ ~B) + ~C

La sustraccin de dos vectores es muy similar a la adicin (ver figura1.5), es decir,

~A ~B = ~A+ ( ~B)donde ~B es un vector de igual magnitud pero en direccin exactamenteopuesta al vector ~B. La sustraccin de dos vectores iguales, ~A+ ( ~A),da como resultado el vector nulo ~0, el cual tiene magnitud cero y no tieneasociada ninguna direccin.

matemticas del curso 11

Figura 1.4: Adicin de tres vectoresmostrando la propiedad de asociativi-dad.

Figura 1.5: Sustraccin de dos vectores.


Figura 1.6: Multiplicacin del vector ~Apor un escalar ( > 0).

La multiplicacin de un vector por un escalar da como resultado unvector en la misma direccin que el original pero de una magnitud pro-porcional (ver figura 1.6). La multiplicacin por un escalar es asociativa,conmutativa y distributiva con respecto a la adicin. Para vectores arbi-trarios ~A y ~B y escalares arbitrarios y se cumple

() ~A = ( ~A) = ( ~A)

( ~A+ ~B) = ~A+ ~B

(+ ) ~A = ~A+ ~A

1.1.2 Vector resultanteEn este curso utilizaremos con frecuencia la regla del paralelogramo

para encontrar la fuerza resultante de dos o ms fuerzas. En la figura1.7 se muestran dos fuerzas arrastrando un bote a lo largo de un canal.Podemos intuir que el efecto combinado de las dos tensiones combinadasser una fuerza a lo largo de la direccin de movimiento del bote. Es tilenfatizar que ambos vectores representados en la figura estn aplicadosal mismo cuerpo y al mismo tiempo. El punto ms importante aqu esque la fuerza resultante ~R es una fuerza imaginaria, la cual es equivalentea las dos tensiones en forma combinada.

Figura 1.7: Las dos fuerzas. ~T1 y ~T2son representadas a escala y la direc-cin mostrada por las flechas. La resul-tante de las dos tensiones es represen-tada por ~R y se obtiene al completar elparalelogramo. ~R es equivalente a ~T1 y~T2, pero no tiene una existencia inde-pendiente.

A

B

O

Figura 1.8: La lnea de accin de unafuerza. Aunque las cuerdas estn ata-das en el punto A y el punto B, las fuer-zas pueden ser representadas actuan-do en el punto O. Esto es as porqueuna fuerza acta igualmente en cual-quier punto de su lnea de accin.

Es interesante preguntarse por qu la regla de paralelogramo funcionapara fuerzas. La lnea de accin de una fuerza puede ser descrita como unalinea imaginaria de longitud indefinida y que coincide con la direccin de


la fuerza. Una fuerza puede ser aplicada a un cuerpo rgido con el mismoefecto en cualquier punto a lo largo de su lnea de accin. El concepto delnea de accin es til para simplificar representaciones (Fig. 1.8).

C

Figura 1.9: El peso es una fuerza distri-buida, pero puede ser reemplazado porsu resultante con el propsito de sim-plificar los clculos. Notar que en estecaso la gravedad acta en C que esun espacio vaco y es el centro de gra-vedad.

Otro ejemplo interesante de fuerza resultante es el peso de un cuerpo.El peso de un cuerpo se distribuye a travs de todo el cuerpo, pero esms conveniente representar ese peso por medio de una sola fuerza. Porejemplo, la figura 1.9 representa el peso de una anillo. Otro ejemplo esla fuerza de reaccin que un plano ejerce para soportar un cuerpo. Estafuerza est distribuida sobre la superficie inferior del cuerpo. Usualmentereemplazamos esta fuerza distribuida por la fuerza normal. (Fig. 1.10).

Figura 1.10: La superficie de reaccin yla fuerza normal. La reaccin de la su-perficie es una fuerza distribuida peropuede ser reemplazada, por convenien-cia, por la fuerza normal ~N .

1.1.3 Vectores base y componentesLos vectores en dos dimensiones pueden ser representados como pares

ordenados de nmeros reales (a, b) y que obedecen ciertas a las reglasde un espacio vectorial, que veremos ms adelante. Los nmeros a yb son llamados componentes del vector. El vector ~A = (a, b) puede serrepresentado geomtricamente mediante una flecha que va desde el origenhasta el punto (a, b).

Figura 1.11: Las componentes del vec-tor ~A son la proyecciones en los ejescoordenados.

La extensin a tres dimensiones es directa. Un vector ~A puede serrepresentado mediante tres nmeros Ax,Ay y Az (ver figura 1.12)

Figura 1.12: En tres dimensiones, lascomponentes cartesianas del vector ~Ason la proyecciones en los ejes coorde-nados.


~A = (Ax,Ay,Az)

Aunque ~A podra representar cualquier cantidad vectorial (momen-tum, campo elctrico, etc.), existe un cantidad vectorial, el desplaza-miento desde el origen de coordenadas al punto (x, y, z), es denotadopor el smbolo especial ~r y se llama vector posicin. Entonces tenemos laeleccin de referirnos al desplazamiento ya sea como el vector ~r o las lascoordenadas del punto final (x, y, z):

~r (x, y, z)

En esta etapa es conveniente introducir vectores unitarios a lo largode cada uno de los ejes coordenados. Estos vectores se denotan i, j yk apuntando a lo largo de los ejes cartesianos x, y y z respectivamente(ver figura 1.13). Sea ~A = (Ax,Ay,Az) entonces Axi es un vector conmagnitud igual a |Ax| en la direccin x. Un vector ~A (en tres dimensiones)puede ser entonces escrito como una suma de tres vectores, cada unoparalelo a un eje de coordenadas diferente (ver figura 1.14):

Figura 1.13: Los vectores unitarios,i, j, k, de un sistema de coordenadascartesianas tridimensionales.

~A = Axi+Ay j +Az k

Esto significa que estos vectores unitarios sirven como una base, oun conjunto completo de vectores en el espacio Euclidiano. Es decircualquier vector puede ser expresado como una combinacin linealde ellos. Los vectores base se pueden escribir tambin como

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)

Figura 1.14: El vector ~A es la suma vec-torial de los tres vectores Ax i, Ay j yAz k, a lo largo de los ejes coordenados.

Podemos considerar la adicin y sustraccin de vectores en trminosde sus componentes. La adicin de dos vectores ~A y ~B se encuentrasimplemente sumando sus componentes, o sea

~A+ ~B = Axi+Ay j +Az k+Bxi+By j +Bz k

= (Ax +Bx)i+ (Ay +By)j + (Az +Bz)k


y la sustraccin:

~A ~B = Axi+Ay j +Az k (Bxi+By j +Bz k)= (Ax Bx)i+ (Ay By)j + (Az Bz)k

cuidado!: No sumar magnitudes de vectores.Si un vector es la suma de dos vectores, la magnitud del vector

suma no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectoresoriginales. Por ejemplo, la magnitud del vector 3 i es 3 y la magnituddel vector 2 i es 2, !pero la magnitud del vector (3 i) + (2 i) = ies 1, no 5!.

1.1.4 Igualdad de vectoresEn la figura 1.1 describimos grficamente la igualdad de vectores. Aho-

ra que que ya hemos definido un vector en forma analtica, podemos decirque un vector es igual a otro vector si y solo si todas las respectivas com-ponentes de los vectores son iguales. Es decir si ~A = Axi+Ay j +Az k y~B = Bxi+By j +Bz k, entonces ~A = ~B si

Ax = Bx y Ay = By y Az = Bz

1.1.5 Magnitud de un vector en trminos de sus compo-nentes

La magnitud ~A de un vector ~A, en tres dimensiones, se puede deducir

de la figura 1.14, donde podemos aplicar el teorema de Pitgoras dos veces ~A = A =A2x +A2y +A2zUn vector nulo ~A = 0 significa que todas sus componentes son nulas

Ax = Ay = Az = 0, por lo tanto su magnitud es cero.

1.1.6 El vector unitarioComo ya se explic, los vectores i, j y k tienen magnitud la unidad.

Sin embargo, estos no son los nicos vectores unitarios. Es a veces tilencontrar un vector unitario que tenga una direccin especificada. Su-pongamos que queremos encontrar un vector unitario en la direccin delvector ~A. Esto es muy simple, el vector unitario (A) se obtiene dividiendoel vector por su magnitud:

A =~A

A2x +A2y +A2z=

~A ~APor definicin, un vector unitario tiene magnitud 1 y no tiene unidades.

Supongamos que r es un vector unitario con direccin de 36.0 (sen-tido antihorario, desde la direccin +x en el plano xy). El hecho de que


un vector unitario tenga magnitud 1 y sin unidades, significa que si unomultiplica un vector unitario por un escalar, el vector resultante tieneuna magnitud igual al valor del escalar y con las mismas unidades. Porejemplo, si multiplicamos el vector r por 5.0m/s, obtenemos un vec-tor velocidad (5.0m/s) r que tiene una magnitud de 5.0m/s y apuntaen la misma direccin que r. Entonces en este caso (5.0m/s) r significa(5.0m/s) haciendo un ngulo de 36.0 con el eje x.

1.1.7 Un vector no tiene signoConsideremos el vector

~v = (8 106 i+ 0 j,2 107 k)m/s

Es este vector positivo, negativo o cero?. Ninguna de las descripcioneses apropiada. La componente x de este vector en positiva, la componentey es cero y la componente z es negativa. Los vectores no son positivos,negativos o cero. Sus componentes pueden tener signo, pero esto no sig-nifica nada cuando consideramos el vector como un todo. Por otro lado,la magnitud de un vector |~v| es siempre positiva.

1.1.8 Cambio en una cantidad: la letra griega Frecuentemente necesitaremos calcular el cambio en una cantidad. Por

ejemplo, podremos desear saber el cambio de la posicin de un objetoen movimiento o el cambio de sus velocidad durante cierto intervalo detiempo. la letra griega (la d por diferencia) es usada para denotar elcambio en una cantidad ya sea escalar o vectorial. Por ejemplo cuando laaltura de un nio cambia de 1.1m hasta 1.2m, el cambio es h = +0.1m,es un cambio positivo. Si el saldo de su cuenta bancaria pasa de $150000a $130000, la variacin es negativa (saldo) = $20000.

Para el caso vectorial, ponemos como ejemplo los vectores de posicin(figura 1.15)

~r1 = 3 i 2 j y ~r2 = 5 i+ 2 j

Figura 1.15: Vector posicin relativo,~r2 ~r1.


el cambio de ~r1 a ~r2 se denota como ~r = ~r2 ~r1

~r = (5 i+ 2 j) (3 i 2 j) = 2 i+ 4 j

es decir hay una variacin de +2m en la direccin x y una variacin de+4m en la direccin y.

La cantidad ~r = ~r2~r1 tambin representa el vector posicin relati-vo, es decir la posicin de un objeto relativo a otro. En la figura 1.15 elobjeto 1 est en la posicin ~r1 y el objeto 2 en la posicin ~r2. Queremosconocer las componentes del vector que apunta de desde el objeto 1 alobjeto 2. Este es el vector ~r = ~r2 ~r1. Notar que la forma es siemprefinal menos inicial.

1.1.9 Multiplicacin de vectoresPodemos definir el producto punto o producto escalar entre dos vec-

tores ~A y ~B como Producto escalar~A ~B = ~B ~A = AB cos

donde A y B son las longitudes de ~A y ~B, y es el ngulo formado porlos dos vectores. De acuerdo a esta definicin los productos punto de losvectores unitarios i, j y k son

i i = j j = k k = 1

i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0as se puede demostrar fcilmente que

~A ~B = (Axi+Ay j +Az k) (Bxi+By j +Bz k)= AxBx +AyBy +AzBz

Esta es una expresin muy til para encontrar el ngulo entre dos vecto-res:

cos =~A ~BAB

Alternativamente, la magnitud de un vector tambin se puede definircomo

A =~A ~A

Hemos definido el producto punto de dos vectores, el cual es una canti-dad escalar. Hay otra definicin muy til del producto entre dos vectorescuyo resultado es un vector. Definimos el producto cruz o producto vec-torial de ~A y ~B Producto vectorial

~A ~B = AB sin ndonde es el ngulo (< 180) entre ~A y ~B y n es un vector unitarioperpendicular al plano formado por los dos vectores. Como consecuencian es perpendicular a ~A y a ~B, y es paralelo a ~A ~B. La direccin de nes la misma que el avance de un tornillo de rosca derecha si ~A es rotadohacia ~B. En la figura 1.16 se muestran dos formas de usuales de ilustrar


Figura 1.16: El producto cruz ilustradode dos maneras: regla de la mano dere-cha y regla del tornillo de rosca derecha.El vector unitario n es perpendicular a~A y a ~B y es paralelo a ~A ~B.

el producto cruz: regla de la mano derecha y regla del tornillo de roscaderecha.

Ya que sin = 0 si = 0, tenemos que para vectores paralelos ~A ~B =0 y en especial ~A ~A = 0. Tambin se cumple que

~A ~B = ~B ~A

Si nos referimos a la figura 1.13 podemos aplicar las dos propiedadesanteriores a los vectores unitarios i, j y k:

i i = j j = k k = 0

i j = k j i =ki k = j k i = jj k = i k j =i

Tambin existe una ley distributiva

~A ( ~B + ~C) = ~A ~B + ~A ~C

El producto cruz de ~A y ~B en trminos de i, j y k est dado por:2 2 Este es un buen ejercicio.

~A ~B = (Axi+Ay j +Az k) (Bxi+By j +Bz k)= (AyBz AzBy)i+ (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx)k

Esto se puede escribir en forma ms compacta mediante el determinante

~A ~B =

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz


errores comunes en multiplicacin vectorial:

1. El producto punto de dos vectores es un escalar y no un vector

2. El producto cruz de dos vectores en un vector y no un escalar.

1.1.10 Operaciones ilegales con vectoresAunque el lgebra vectorial es similar a las operaciones ordinarias de

los escalares, hay ciertas operaciones que no son legales (y carentes designificado) para vectores:

Un vector no puede ser igual a un escalar.

Un vector no puede ser sumado o restado de un escalar.

Un vector no puede estar en el denominador de una expresin. Esdecir no se puede dividir por un vector (sin embargo se puede dividirun vector por un escalar).

Figura 1.17: Operaciones vectorialesprohibidas.

1.1.11 Componentes de un vector en una direccinHemos puesto este tpico en una seccin aparte para enfatizar la im-

portancia de encontrar la componente de un vector en una direccin de-terminada. Por ejemplo si tomamos el vector ~A = Axi + Ay j + Az k,entonces la componente escalar de este vector en la direccin i es obvia-mente Ax, lo que es equivalente a efectuar el producto punto

~A i =(Axi+Ay j +Az k

) i = Ax

(a)

(b)

Figura 1.18: (a) La componente escalarde ~A en la direccin del vector unitariou es ~A u. (b) La componente vectorialde ~A en la direccin del vector unitariou es ( ~A u)u.

Esta componente no es otra cosa que la proyeccin de vector ~A sobre eleje x (ver figura 1.12). En el caso general, la proyeccin del vector ~A enla direccin de un vector unitario u

~A u = ~A |u| cos

donde es el ngulo entre los dos vectores. Puesto que u es un vectorunitario, |u| = 1, entonces

~A u = ~A cos

Si nos referimos a la figura 1.18 vemos claramente que ~A cos es la

proyeccin del vector ~A en la direccin u. Podemos distinguir dos proyec-ciones: la proyeccin escalar, ~A u y la proyeccin vectorial, ( ~A u)u, enla direccin u.


1.1.12 Campos vectoriales y escalaresDurante el curso vamos a trabajar con conceptos tales como campo

elctrico, campo magntico, densidad de corriente, etc. Todos ellos soncampos vectoriales. Un campo vectorial en el espacio de dos (o tres)dimensiones, es una funcin ~F que asigna a cada punto (x, y) (o (x, y, z))un vector en dos (o tres) dimensiones dado por ~F (x, y) (o ~F (x, y, z)). Esposible que esto no parezca tener sentido, pero la mayora de la gente yaha visto, por ejemplo, un esquema de las lneas de campo magntico dela tierra (ver figura 1.19).

N

S

Figura 1.19: Las lneas del campo mag-ntico terrestre.

La notacin estndar para la funcin ~F es,

~F (x, y) = P (x, y)i+Q(x, y)j

~F (x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j +R(x, y, z)k

Por ejemplo, en la figura 1.20 se muestran los campos vectoriales:

~F (x, y) = yi+ xj y ~F (x, y) = cos(x2 + y)i+ (1+ x y2)j

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

- 2 - 1 0 1 2

- 2

- 1

0

1

2

~F (x, y) = yi+xj ~F (x, y) = cos(x2+ y)i+(1+xy2)j

Figura 1.20: Las lneas de campo parados campos vectoriales en dos dimen-siones.

Por otro lado, la figura 1.21 ilustra un ejemplo en tres dimensiones co-rrespondiente a un campo con simetra radial:

~F (x, y, z) = ~r = xi+ yj + zk

- 2

0

2

- 2

0

2

- 2

0

2

Figura 1.21: Las lneas del campo vec-torial radial ~F (x, y) = xi+ yj + zk.

Un campo escalar es un nombre elegante para una funcin del espacio,es decir, una funcin que asocia un nmero real con cada posicin en unespacio. En otras palabras es una funcin que tiene diferente valor en ca-da punto de un espacio, por ejemplo, en tres dimensiones = (x, y, z).Formalmente, escalar es una palabra usada para distinguir el campo deun campo vectorial. Ejemplos simples de campos escalares incluyen lapresin, P (x, y, z), en cada punto de un fluido o la distribucin de tem-peratura, T (x, y, z), a travs de un material.

La representacin grfica de P (x, y, z) o T (x, y, z) no es posible debidoa que no podemos dibujar una funcin en cuatro dimensiones, pero spodemos dibujar un campo escalar del tipo z = f(x, y). Hay dos formasde representar un campo escalar del tipo z = f(x, y). Una forma esdibujando en tres dimensiones (diagrama de contorno) y la otra en dos


dimensiones mediante curvas de nivel, cuya forma algebraica es f(x, y) =k para todos los valores posibles de k.

La figura 1.22 ilustra un ejemplo donde se ha dibujado una montaaen tres dimensiones y las curvas de nivel en dos dimensiones.

Representacinen relieve

Representacin encurvas de nivel

Figura 1.22: Representacin de unacampo escalar (altura de la superficiede la montaa) en 3D y curvas de nivelen 2D. Cada curva de nivel es del tipo

f (x, y) = k

con k = 0, 20, 40, 60, 80.

Un ejemplo ms matemtico sera considerar la funcin paraboloidehiperblico

z = (x, y) = x2 y2

cuyas grficas en 3D y curvas de nivel, se muestran en la figura 1.23.

Figura 1.23: Representacin del campoescalar (x, y) = x2 y2. A la izquier-da la grfica en 3D y a la derecha lascurvas de nivel.


1.1.13 Funciones vectoriales en tres dimensionesAnteriormente definimos el vector posicin, como un vector que va

desde el origen de coordenadas hasta un punto dado (x, y, z)

~r = xi+ yj + zk

Ahora, si el punto (x, y, z) se mueve en el transcurso del tiempo, entonces~r(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k es una funcin vectorial del tiempo. La fun-cin ~r(t) traza una curva en el espacio cuando t vara. Podemos denotarun punto en el espacio como ~r(x, y, z) = ~r(x(t), y(t), z(t)) = ~r(t). Lavelocidad del punto se obtiene por diferenciacin vectorial

~v(t) = ~r(t) =dx

dti+

dy

dtj +

dz

dtk

Una aplicacin interesante es la segunda ley de Newton

md2~r

dt2= ~F (x, y, z)

EJEMPLO 1.1

La fuerza que acta sobre una partcula de carga q movindose a una velocidad ~v en un campo magntico ~Bes ~F = q~v ~B. Determinar la ecuacin de movimiento de la partcula si ~B = Bk, donde B es una constante.Solucin: No necesitamos saber lo que es una carga o un campo magntico para resolver este problema. Lasegunda ley de Newton dice

md2~r

dt2= m

d~v

dt= ~F

md~v

dt= q~v ~B

ahora necesitamos calcular ~v ~B sabiendo que ~v = vxi+ vy j + vz k y ~B = Bk

~v ~B =

i j k

vx vy vz

0 0 B

= vyBi vxBj + 0kas la ecuacin de movimiento queda

m

(dvxdt

i+dvydtj +

dvzdtk

)= q(vyBi vxBj)

de esta manera obtenemos tres ecuaciones diferenciales acopladas

mdvxdt

= qvyB ; mdvydt

= qvxB ; mdvzdt

= 0 (?)

primero se resuelve para ~v(t) y luego para ~r(t). Usted puede comprobar que las expresiones siguientes sonsoluciones de ()

x(t) = a cos qBtm

y(t) = a sin qBtm

z(t) = bt

donde a y b son constantes que dependen de los valores iniciales de ~r(t) y ~v(t). Esta trayectoria correspondea una hlice con velocidad uniforme en la direccin z.


1.1.14 Diferencial de un vectorEn la seccin anterior vimos que para obtener la velocidad a partir

de vector posicin tenemos que tomar las derivadas de cada componente.Al igual que en el caso de funciones escalares, tambin podemos definirel diferencial de un vector. Supongamos que el vector ~A depende de unavariable u, entonces la derivada de ~A respecto a u es

d ~A

du=dAxdu

i+dAydu

j +dAzdu

k

En esto usamos la nocin de que un pequeo cambio ~A en el vector ~A(u)es el resultado de un pequeo cambio u. De aqu definimos el diferencialde ~A como3 3 Notar que d ~A es tambin un vector.

d ~A =d ~A

dudu

Un ejemplo es el cambio infinitesimal del vector posicin de una partculaen un tiempo infinitesimal dt

d~r =d~r

dtdt = ~vdt

Si el vector ~A depende de ms de una variable, digamos u, v , escribi-mos ~A = ~A(u, v). Entonces

d ~A = ~A

udu+

~A

vdv

1.2 Operadores vectorialesMs adelante nos encontraremos campos vectoriales y escalares conti-

nuos y nos veremos en la necesidad de considerar sus derivadas y tam-bin la integracin de cantidades (campos) a lo largo de lineas, sobresuperficies y a travs de volmenes en el campo. En esta seccin nos con-centraremos en la definicin de operadores diferenciales vectoriales y suspropiedades.

1.2.1 Gradiente de un campo escalarConsideremos una sala donde la temperatura puede variar de un lugara otro (por ejemplo a lado de una ventana la temperatura puede sermenor). Es decir, la temperatura en la sala depender de las coordenadas(x, y, z). Como la temperatura es un escalar, la expresamos como:

T = T (x, y, z)

Ahora si deseamos saber como vara la temperatura ante un cambio infi-nitesimal de la posicin (x, y, z) escribimos el diferencial de T

dT =T

xdx+

T

ydy+

T

zdz

y notemos que esta expresin se puede escribir como el producto puntode vectores


dT =

(T

xi+

T

yj +

T

zk

) (dxi+ dyj + dzk) (?)

El trmino dxi+dyj+dzk no es otra cosa que d~r, el vector que representaun incremento o desplazamiento desde (x, y, z) a (x + dx, y + dy, z +dz). El otro trmino del segundo miembro de (?) es el gradiente de latemperatura y es representado por el smbolo T . Entonces podemosescribir (?) como

dT = T d~rUsando la definicin de producto punto, lo anterior tambin se puedeescribir como

dT = |T | |d~r| cos Ahora, si fijamos la magnitud de d~r en algn valor especfico (por ejemplo,en uno) entonces el mayor valor que puede tomar dT es cuando T yd~r son paralelos (cos = 1). Esto nos dice que la direccin del vectorgradiente representa la direccin del incremento ms rpido (mximapendiente) de la temperatura. Adicionalmente, la magnitud del gradiente,|T |, es el incremento ms rpido en la direccin de mxima pendiente.

El gradiente aparece frecuentemente en aplicaciones fsicas. En me-cnica clsica, si V (x, y, z) representa la energa potencial, entonces elcampo de fuerza correspondiente est dado por

~F (x, y, z) = V (x, y, z)

En electricidad y magnetismo (este curso) veremos que si V (x, y, z) repre-senta el potencial electrosttico, entonces la intensidad del campo elc-trico correspondiente est dado por

~E(x, y, z) = V (x, y, z)

En el caso general de una funcin f(x, y, z) el gradiente en coordenadascartesianas es El gradiente es un vector, es por eso

que algunos libros de texto se escribe~f para enfatizar su naturaleza.f(x, y, z) = fx i+

f

yj +

f

zk

f es un vector que expresa como vara la funcin f en la proximidadde un punto. Por supuesto que debemos asumir que f(x, y, z) es diferen-ciable, de lo contrario f no existira.

Si omitimos la funcin f , podemos definir el operador nabla Gradiente como el operador nabla .

= xi+

yj +

zk

que aplicado a una funcin f no da f .El vector gradiente tiene dos interpretaciones geomtricas importantes:

C A SO 1: Consideremos dos puntos P yQ sobre una superficie f(x, y, z) =C, con C constante tal como muestra la figura 1.24. Los dos puntos estna una distancia d~r uno del otro. Al movernos del punto P al Q no haycambios en f (df = 0), pues f(P ) = P (Q) = C. Entonces tenemos que

df = f d~r = 0


Para que esto ocurra debe tenerse que f debe ser perpendicular a d~r.En otras palabras, f es un vector normal a la superficie f(x, y, z) = Cen cada punto.

Figura 1.24: El vector gradiente es per-pendicular a la superficie f (x, y, z) = Ccuando el vector d~r est sobre la super-ficie.

CA SO 2: Si ahora permitimos que d~r nos lleve desde la superficie C1hasta la superficie adyacente C2 (ver figura 1.25), tenemos que la variacinde f es

df = C1 C2 = C = f d~r

Figura 1.25: El vector gradiente.

Si mantenemos fijo el valor de df

|d~r| = df|f | cos y entonces se ve que |d~r| toma un valor mnimo (camino ms corto)cuando nos movemos en forma paralela a f (cos = 1).Por otro lado, para un valor fijo de |d~r|

df = |f | |d~r| cos


el cambio en la funcin escalar f es maximizado al elegir d~r paralelo af (ver el caso anterior de la temperatura T ). Es decir f es el mximovalor que podra tomar df .

Esto identifica a f como un vector que tiene la direccin del mximoincremento de f .

Finalmente, para reforzar el caso 2 con otro ejemplo, podemos fijarnosen la figura 1.26a donde se ha representado, en 3D, una funcin de dosvariables f(x, y). El sentido del vectorf en un punto es el sentido en quedebemos movernos a partir del punto para hallar el incremento ms rpidode la funcin f . Si colocramos una bolita en el punto donde calculamosel gradiente, entonces la bolita tendra mxima velocidad en la direccinnegativa de f . En la figura 1.26b representa mediante vectores en elplano xy el gradiente de f . En especial, en el punto (x1, y1), la superficiese eleva bruscamente.

Direccin de lamxima pendiente

(a) (b)

Figura 1.26: La funcin escalar f (x, y)est representada por la superficie en3D en (a). En (b) se representa la fun-cin vectorial f .


PROBLEMAS1.1 (a) Cules son las componentes del vector ~E en trminos del ngulo ?; (b) Cules son las componentesdel vector ~E en trminos del ngulo ?

1.2 Dibujar cada uno de los siguientes vectores y luego encontrar sus componentes x e y.(a) ~v = (10m/s,direccin y negativa)(b) ~a = (20m/s2, 30bajo el eje x positivo)(c) ~F = (100N, 36.9 sentido antihorario desde el eje y positivo)Sol.: (a) 0m/s,10m/s; (b) 17m/s2,10m/s2; (c) 60N, 80N1.3 Dibujar cada uno de los siguientes vectores, dibujar un ngulo que especifique la direccin del vector,luego encontrar la magnitud y direccin.(a) ~A = 4i 6j(b) ~r = (50i+ 80j)m(c) ~v = (20i+ 40j)m/s(d) ~a = (2.0i 6.0j)m/s2Sol.: (a) 7.2; 56 bajo el eje +x; (b) 94m; 58 sobre el eje +x; (c) 45m/s; 63 sobre el eje x; (d) 6.3m/s2;18 a la derecha del eje y.1.4 Para los tres vectores de la figura de abajo se cumple que ~A + ~B + ~C = 1 j. (a) Expresar ~B en suscomponentes; (b Encontrar la magnitud y direccin de ~B.

Sol.: (a) 4 i+ 3 j; (b) 5.0; 37 sobre el eje x.1.5 Dados los puntos M (1, 2, 1),N(3,3, 0) y P (2,3,4). Encontrar (a) ~RMN ; (b) ~RMN + ~RMP ; (c)|~rM |; (d) RMP ; (e) |2~rP 3~rN |Sol.: (a) 4i 5j k; (b) 3i 10j 6k; (c) 2.45; (d) 0.14i 0.7j 0.7k; (e) 15.561.6 Una excursionista comienza un viaje al caminar primero 25.0, km hacia el sureste desde su vehculo. Sedetiene y levanta su tienda para pasar la noche. En el segundo da, camina 40.0, km en una direccin 60.0 alnoreste, punto en el que descubre una torre de guardabosque.(a) Determine las componentes del desplazamiento de la excursionista para cada da.(b) Determine las componentes del desplazamiento resultante de la excursionista para el viaje total.Sol.: (a) (17.7 i 17.7 j) km; (20.0 i+ 34.6 j) km; (b) (37.7 i+ 16.9 j) km1.7 Un controlador de trfico areo observa dos aeronaves en la pantalla de su radar. La primera est a unaaltitud de 800m, 19.2 km de distancia horizontal y 25.0 al suroeste. La segunda est a una altitud de 1100m,17.6 km de distancia horizontal y 20.0 al suroeste. Cul es la distancia entre las dos aeronaves? (Coloque eleje x al oeste, el eje y al sur y el eje z vertical.)Sol.: 2.29 km


1.8 Encontrar el ngulo entre los vectores: ~a = i+ 2j + 3k y ~b = 2i+ 3~j + 4kSol.: 0.12 rad

1.9 Mostrar que los siguientes vectores forman los lados de un triangulo rectngulo:

~A = 2i j + k ~B = i 3j 5k ~C = 3i 4j 4k

1.10 Dos vectores ~A y ~B tienen magnitudes exactamente iguales. Para que la magnitud de ~A+ ~B sea 100veces mayor que la magnitud de ~A ~B, cul debe ser el ngulo entre ellos?Sol.: 1.15

1.11 Un campo vectorial ~S es expresado en coordenadas rectangulares como

~S(x, y, z) = 125(x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2

[(x 1)i+ (y 2)j + (z + 1)k]

(a) Evaluar ~S en P (2, 4, 3). (b) Determinar un vector unitario que de la direccin de ~S en P . (c) Especificar lasuperficie f(x, y, z) cuando

~S = 1.Sol.: (a) 5.95i+ 11.90j + 23.8k; (b) 0.218i+ 0.436j + 0.873k; (c)

(x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2 = 125

1.12 Considere el campo vectorial ~G = yi 2.5xj + 3k y el punto Q(4, 5, 2). Encontrar (a) ~G(~rQ) (~G en Q);(b) la componente escalar de ~G(~rQ) en la direccin ~a = 13 (2i+ j 2k); (c) la componente vectorial de ~G(~rQ)en la direccin ~a; (d) el ngulo entre ~G(~rQ) y ~a.Sol.: (a) ~G(~rQ) = 5i 10j + 3~k; (b) 2; (c) 1.333i 0.667j + 1.333k; (d) 99.91.13 Los tres vrtices de un triangulo estn localizados en A(6,1, 2), B(2, 3,4) y C(3, 1, 5). Encontrar:(a) ~RAB ~RAC ; (b) Un vector unitario perpendicular al plano del triangulo.Sol.: (a) 24i+ 78j + 20k; (b) 0.286i+ 0.928j + 0.238k

1.14 En el captulo siguiente veremos que dos cargas de distinto signo q1 y q2 se atraen con una fuerza demagnitud

F = ke|q1| |q2|r2

donde r es la distancia entre las cargas y ke es una constante. En la figura se muestran dos cargas positivas +qy una carga negativa Q que puede moverse libremente y que se encuentra inicialmente en reposo. Si las doscargas q estn fijas, encontrar el vector fuerza sobre Q.

Sol.: ~FQ = 2ke qQx(x2+(d/2)2)3/2 i

1.15 Cuatro cargas puntuales idnticas, cada una con carga +q, estn fijas en las esquinas de un cuadrado delado L. Una quinta carga Q est situada a una distancia z a lo largo de una lnea perpendicular al plano delcuadrado y que pasa a travs del centro del cuadrado. Demuestre que la fuerza ejercida por las cuatro cargas+q sobre la carga Q es:

~FQ = 4keqQz[z2 + L2/2]3/2

k


1.16 Demuestre qued

dt(~u ~v) = d~u

dt ~v+ ~u d~v

dt

1.17 El potencial electrosttico producido por el momento dipolar ~ localizado en el origen y dirigido a lolargo del eje x est dado por

V (x, y, z) = x(x2 + y2 + z2)3/2

(x, y, z 6= 0)

Encontrar la expresin de campo elctrico asociado a este potencial.Sol.: ~E = i

[3x2

(x2+y2+z2)5/2

(x2+y2+z2)3/2

]+ j

[3xy

(x2+y2+z2)5/2

]+ k

[3xz

(x2+y2+z2)5/2

]

1.18 El potencial electrosttico, en coordenadas cilndricas, para cierta configuracin de cargas est dado porla expresin

V () =V0

2pi (2pi ) 2pi

Donde V0 y son constantes. Encontrar el campo elctrico ~E mediante la relacin

~E = (rV

r+

1r

V

+ z

V

z

)Sol.: V0

(2pi)r

CAPTULO2Electrosttica

Era muy conocido por los antiguos griegos que al frotar un trozo dembar se electrificaba al ser frotado con piel y a la vez poda atraerpequeos objetos. De hecho la palabra "electricidad" viene del vocabloGriego mbar (elektron).

En tiempos modernos, estamos acostumbrados a tratar con el trminoelectricidad. Las fuerzas elctricas son las que sostienen el mundo mate-rial. Estas fuerzas enlazan los electrones y ncleos para formar tomos,a su vez los tomos son enlazados a otros tomos para formar molculas.

El objetivo de la electrosttica es estudiar las fuerzas y otros efectosque se producen entre los cuerpos que poseen carga elctrica en reposo,adems de los campos elctricos que no cambian en el tiempo.

2.1 Carga elctricaQu es la carga elctrica?

Lo que podemos decir es que hay dos tipos de carga, las cuales se designancomo positiva (+) y negativa (). Cuando frotamos una varilla de vidriocontra un pedazo de seda, la varilla de vidrio queda electrificada ocargada y llamamos a esa carga positiva. Ahora si frotamos una varillade goma contra un pedazo de piel, entonces la varilla queda con carganegativa (Fig. 1.1).

Goma

Piel de gato

VidrioSeda

Figura 2.1: La varilla de goma quedacargada negativamente al ser frotadacon piel. La varilla de vidrio queda car-gada positivamente al ser frotada conseda.

Tambin se puede comprobar experimentalmente (Figura 2.2) que car-gas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.

Pero cual es el origen la carga elctrica?

La materia est constituida de tomos. Cada tomo consiste de un ncleo,que contiene protones y neutrones, y este ncleo est rodeado por un


Goma

Goma

Vidrio

Goma

(a) (b)

Figura 2.2: Comprobacin de que car-gas iguales se atraen y cargas distintasse repelen.

cierto nmero de electrones. La figura 2.3 muestra esquemticamente untomo de Litio (Li). En el lado izquierdo est el tomo de litio neutro(carga cero), que consiste en un ncleo de tres protones (+) y cuatroneutrones (carga cero), y tres electrones () movindose alrededor delncleo. En el medio est el mismo tomo con un electrn de menos, porlo tanto, el ion litio (Li+) tendr una carga neta de +1e. En el ladoderecho se ha agregado un electrn al tomo y tendremos el ion (Li)con una carga en exceso de 1e.

Figura 2.3: Esquema de un tomo de li-tio neutro Li y los iones Li y Li+. Loselectrones no tienen trayectorias defini-das as que las curvas azules en la fi-gura slo tienen carcter esquemtico.Sea positivo, done un electrn.

La fuerza de repulsin o atraccin entre dos cuerpos cargados depende-r de la cantidad neta de carga que posean. Por carga neta se entiendela carga en exceso (positiva o negativa) que un cuerpo posee comparadocon el mismo cuerpo neutro.

Carga positiva Carga neutra Carga negativa

Figura 2.4: Un cuerpo neutro poseela misma cantidad de cargas negativasque positivas. En un cuerpo con unacarga neta, alguno de los dos tipos decargas est en exceso.

electrosttica 33

2.1.1 Cuantizacin de la cargaLos experimentos demuestran adems que la carga est cuantizada.

Esto quiere decir que la carga viene en mltiplos enteros de una cargaelemental (e). Por ejemplo si un cuerpo tiene una carga neta Q, entoncesnecesariamente se cumple que

Q = Ne

donde N = 1, 2, 3, es un nmero entero y e es la carga fundamental,que tiene un valor de 1.602 1019 C. Donde la unidad de carga es lla-mada Coulomb (C). Esto quiere decir que no puede haber una carga ms Coulomb (C) es la unidad de carga.pequea que 1.602 1019 C.

Notar que la unidad de carga elctrica (1 Coulomb) es una cantidadextremadamente grande, ya que son necesarios 6 1018 electronespara completar una carga de 1.0 C. Por ejemplo, si dos cargas deun Coulomb cada una estn separadas un metro, entonces aplicandola ley de Coulomb, la fuerza de repulsin es aproximadamente 9109 N. Esto es alrededor de un milln de toneladas!.

Para darse una idea del tamao de las partculas que constituyen untomo, se muestran en la tabla, las masas de los electrones, protones yneutrones junto con sus respectivas cargas.

Partcula Masa (kg) Carga (C)

electrn 9.11 1031 1.602 1019 (e)protn 1.673 1027 +1.602 1019 (+e)neutrn 1.675 1027 0

Tabla 2.1: Masas y cargas de las part-culas que forman un tomo.

EJEMPLO 2.1: Carga de electronesCual es la carga total de 75.0 kg de electrones?Solucin: La masa de un electrn es 9.11 1031 kg, de tal maneraque una masa M = 75 kg contiene

N =M

me=

75 kg9.11 1031 kg = 8.3 10

31electrones

La carga de de un electrn es e = 1.602 1019C, por lo tanto lacarga de N electrones es

Q = N(e) = 8.3 1031 (1.602 1019 C) = 1.32 1013 C


2.1.2 Ley de conservacin de la cargaEsta ley establece que la carga neta de un sistema aislado permanece

constante.Si un sistema parte con un nmero igual de cargas positivas y nega-

tivas, no se puede hacer nada para crear un exceso de carga negativa opositiva en el sistema a menos que traigamos una carga desde afuera delsistema (o quitar alguna carga del sistema). De la misma forma, si algnsistema parte con una cierta carga neta (+ o ), por ejemplo +100e,el sistema tendr siempre +100e, a menos que se le permita al sistemainteractuar con el exterior.

2.1.3 Tipos de materialesLas fuerzas entre dos objetos cargados pueden ser muy grandes. La

mayora de los objetos son elctricamente neutros; tienen igual cantidadde cargas positivas que negativas.

Los metales son buenos conductores de carga elctrica, mientras quelos plsticos, madera, y goma no lo son (se les llama aislantes). La cargano fluye muy fcilmente en los aislantes comparado con los metales.

Los materiales estn divididos en tres categoras, dependiendo cuanfcilmente permitan el flujo de carga (ej. electrones) a los largo de ellos.Estos son: Tipos de materiales.

Conductores - por ejemplo los metales.

Semiconductores - el silicio es un buen ejemplo.

Aisladores - por ejemplo: goma, madera, plstico.

Si un conductor est cargado negativamente (exceso de electrones), loselectrones tienen la libertad de moverse libremente, y como cargas deigual signo se repelen, entonces los electrones van a tender a alejarseentre si. En consecuencia, los electrones se van a distribuir por todo elconductor para estar, en lo posible, lo ms espaciados entre ellos.

Goma Vid

rioMa

dera

Aire s

eco

Silicio

Germa

nioAg

uaCa

rbono

Mercu

rioHie

rroAlu

minio

Plata

Cobre

Habilidad de conduccin creciente

Aislantes Semiconductores Conductores

Respecto al agua hay que tener cuidado en afirmar que es conductora.Estrictamente el agua (H2O) no es conductora. En agua de la llaveno es pura, sino que lleva disueltos gases (CO2) o sales minerales(cloruros, sulfatos, nitratos, calcio, magnesio, hierro, etc), y eso haceque sea conductora.

electrosttica 35

2.1.4 Modos de cargar un objetoHay tres maneras de cargar un objeto. Estas son:

1. Por friccin: esto es til para cargar aisladores.

2. Por conduccin: es til para cargar metales y otros conductores. Si unobjeto cargado toca a un conductor, una cantidad de carga ser trans-ferida entre el objeto y el conductor, de tal manera que el conductorquedar cargado con el mismo signo que la carga del objeto.

3. Por induccin: tambin es til para cargar metales y otros conductores.La figura de abajo muestra un ejemplo de como cargar una esferametlica por el mtodo de induccin:

(a) (b) (c)

(d) (e)

Tierra

Figura 2.5: (a) Una esfera conductoray aislada. (b) Se acerca una barra car-gada negativamente y las cargas en laesfera se polarizan, pero la esfera siguesiendo neutra. (c) Se conecta un cable atierra y las cargas negativas fluyen ha-cia la tierra. (d) Se desconecta el cabley la esfera queda cargada positivamen-te y la tierra negativamente. (d) Se ale-ja la barra y las cargas positivas en laesfera se distribuyen uniformemente ensu superficie.


2.2 Ley de CoulombCharles Coulomb (17361806) se las arregl para medir las magnitudes delas fuerzas elctricas entre dos objetos cargados. Coulomb confirm quela magnitud de la fuerza elctrica entre dos pequeas esferas cargadas esproporcional al inverso del cuadrado de la distancia de separacin r, esdecir

F 1/r2

Si las cargas son q1 y q2, entonces la magnitud de la fuerza est dada por:Figura 2.6: La fuerza de atraccin entredos cargas depende de la separacin delas dos cargas.F = ke

|q1| |q2|r2

donde ke es llamada la constante de Coulomb:

ke = 8.9875 109 N.m2/C2

Tambin esta constante se puede expresar como

ke =1

4pi0

donde 0 = 8.85421012 C2/N.m2 es la permitividad del espaciovaco.

Ahora, sabemos que la fuerza es un vector, as que la forma correctade formular la ley de Coulomb en forma vectorial es1 1 El vector r12 apunta de 1 a 2 y

el smbolo ~F12 significa fuerza 1 sobre2, pero en otros libros de texto la fuer-za sobre la carga q2 tambin se escribesimplemente ~F2.

~F12 = keq1q2r2

r12

Segn la figura 2.7-(a), r = r12 es la distancia entre las cargas, r12 es unvector unitario que apunta desde la carga q1 a la q2 y ~F12 es la fuerza sobrela carga q2 debido a la carga q1. Puesto que esta fuerza debe obedecer alla tercera ley de Newton entonces debe cumplirse que ~F12 = ~F21

~F12 = keq1q2r2

r12 = ~F21(a) (b)

Figura 2.7: Repulsin y atraccin dedos cargas. El vector unitario r12 apun-ta en la direccin de la fuerza que ejerceq1 sobre q2. En ambos casos se cumplela tercera ley de Newton ~F12 = ~F21.

Recordemos que en la seccin 1.1.6 vimos que dado un vector ~A, unvector unitario en la misma direccin que ~A se obtiene como A = ~A/A.En la ley de coulomb aparece vector unitario r12, el cual se puede obtenercomo

r12 =~r12r12

=~r12r

Entonces la ley de Coulomb se puede escribir de forma alternativa

~F12 = keq1q2r2

(~r12r

) r12

de tal manera que~F12 = ke

q1q2r3

~r12

electrosttica 37

pregunta:Quin descubri la ley de Coulomb?

respuesta:Sorpresa! NO fue Charles Coulomb; fue Henry Cavendish!. Henry

Cavendish (17311810) fue un cientfico brillante, pero tambin era muyretrado, solitario, misgino y excntrico. Tambin fue el primero en de-terminar el valor de la constante de gravitacin universal (G). El des-cubri que el agua es un compuesto molecular y no un elemento (comose pensaba). El tambin determin la ley de fuerzas para cargas elctri-cas (F = kq1q2/R2). Sin embargo, Cavendish raramente publicaba sushallazgos. As que aos ms tarde, fue Coulomb quien recibi todos loscrditos al descubrir la ley de fuerza elctrica.

estrategia de resolucin de problemas de fuerzas:

Identificar las cargas puntuales u objetos que pueden ser modela-dos como cargas puntuales.

Hacer un mono: dibujar un sistema de coordenadas y colocarlas cargas puntuales en sus respectivas coordenadas. Dibujar lasdirecciones (flechas) de las fuerzas sobre cada carga. Debe consi-derar si las fuerzas son repulsivas o atractivas.

Calcular distancias entre cargas y tambin ngulos involucradosimportantes.

Cuando sea posible, efectuar una adicin grfica de las fuerzas.Esto le ayudar a determinar el tipo de solucin.

Calcular las magnitudes de las fuerzas: F = ke |q1||q2|r2

Escribir cada fuerza en sus componentes (Fx, Fy, Fz ). Para ellodeber considerar algn ngulo. El mono le ayudar a determi-nar cul componente es positiva o negativa.

Sumar cada fuerza (componente a componente) para obtener lafuerza total sobre alguna carga.

No olvidar que las unidades deben ser compatibles (distancia enmetros [m] y fuerza en Newton [N]).


EJEMPLO 2.2

Fuerza sobre la carga 2

Las cargas y coordenadas de dos partculas fijasen el plano xy son: q1 = +3.0C, x1 = 3.5 cm,y1 = 0.5 cm, y q2 = 4.0C, x2 = 2.0 cm,y2 = 1.5 cm. Encontrar la magnitud y direccinde la fuerza electrosttica sobre q2.

Solucin: De acuerdo al esquema, claramente q2ser atrada por q1. Primeramente, encontramosla distancia entre los dos puntos:

r =(x2 x1)2 + (y2 y1)2

=(2.0 3.5)2 + (1.5 0.50)2

= 5.59 cm=5.59102 m

luego encontramos la magnitud de la fuerza sobre q2

F = ke|q1| |q2|r2

=

(8.9 109 N.m

2

C2

)(3.0 106 C)(4.0 106 C)

(5.59 102 m)2 = 34N

Puesto que q2 es atrada por q1, la direccin de la fuerza es la misma que el vector ~r que apunta de q2 haciaq1. Ese vector es:

~r = ~r21 = (x1 x2)i+ (y1 y2)j = (5.5 cm)i+ (1.0 cm)jy su direccin (ngulo formado con el eje x):

= arctan(1.0+5.5

)= 10.3 (ngulo bajo el eje x positivo)

La fuerza en forma vectorial se escribe:

~F = F r21 = 34N (5.5)i+ (1.0)j5.59 = (33.45i 6.08j) N

otra forma: Habiendo calculado la magnitudde la fuerza, es ms fcil obtener el vector fuerzaconsiderando el ngulo de la figura. Sabemosque la fuerza va en la direccin de ~r21, entoncesexpresamos ~F en funcin de sus componentes:

~F = F cos iF sin~j

Notar que hemos colocado un signo menos en lacomponente y de la fuerza porque eso lo sabemos

de la figura. A partir del grfico obtenemos

~F = 34 5.55.59 i 341.05.59 j = (33.45i 6.08j) N

electrosttica 39

Cul es el ngulo que esta fuerza forma con el eje x? Eso lo podemos calcular efectuando el producto puntoentre ~F y el vector unitario i:

~F i =~F 1i cos

33.45 = 34 cos = arc cos(33.45/34) = 10.3

Este resultado no nos dice exactamente si el ngulo est por debajo de eje x. Para ello hay que guiarse porla figura.

Notar que en la solucin hemos usado los valores absolutos de las cargas y la direccin de la fuerza lahemos determinado a mano. Puesto que nos estn pidiendo ~F12, podemos resolver este problema enforma alternativa usando

~F12 = keq1q2r3

~r12

Primero obtenemos ~r12

~r12 = (5.5 cm)i+ (1.0 cm)j = (5.5 102 m)i+ (1.0 102 m)j

Adems r3 = (5.59 102 m)3 = 1.746 104 m3 entonces

~F12 =

(8.9 109 N.m

2

C2

)(3.0 106 C)(4.0 106 C)

1.746 104 m3(5.5 102 m i+ 1.0 102 m j)

= 33.5 i 6.1 j

Aqu hemos dejado que las matemticas funcionen, pues hemos usado las cargas con sus respectivossignos y no hemos hecho ninguna consideracin acerca de la direccin de la fuerza.


2.3 Principio de SuperposicinQue pasa si tenemos muchas cargas y queremos calcular al fuerza

ejercida sobre una de ellas debido al resto de las cargas?La ley de Coulomb se aplica a cada par de cargas puntuales. Cuando

dos o ms cargas estn presentes, la fuerza neta sobre cualquiera de lascargas es simplemente la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre esacarga por el resto de las cargas. Por ejemplo si tenemos 3 cargas, la fuerzaresultante (~F3) sobre la carga q3 debido a q1 y q2 ser La fuerza sobre q3 es la suma de las

otras dos cargas sobre ella.

~F3 = ~F13 + ~F23

En general si tenemos N cargas, entonces la fuerza sobre i-sima cargadebido al resto de las cargas es2 2 La expresin j 6= i significa sumar so-

bre todos los valores de j excepto cuan-do j = i.

~Fi = keqi

Nj 6=i

qj

r2jirji = keqi

Nj 6=i

qj

r3ji~rji

EJEMPLO 2.3

Tres cargas estn configuradas de acuerdo a la figura. Encontrar al fuer-za sobre la carga q3 asumiendo que q1 = 6.0 106 C, q2 = q1 =6.0 106 C , q3 = +3.0 106 C y a = 2.0 101 m.Solucin: Usando el principio de superposicin, la fuerza sobre q3 es

~F3 = ~F13 + ~F23 = ke

(q1q3r213

r13 +q2q3r223

r23

)La tarea complicada aqu es encontrar los vectores unitarios r13 y r23.De acuerdo a la figura, el vector ~r13 apunta desde la carga q1 hacia lacarga q3:

~r13 =

2a cos i+

2a sin j

as, si dividimos este vector por su mdulo (

2a) obtenemos el vector unitario r13

r13 = cos i+ sin j =

22 (i+ j)

Puesto que cos = sin =

22 . El vector r23 es ms fcil, pues ste apunta en la direccin positiva de x:

r23 = i

As la fuerza total es:~F3 = ke

q1q3r213

2

2 (i+ j) + keq2q3r223

i

y sabiendo que r13 =

2a y r23 = a, obtendremos finalmente:

~F3 =keq1q3(

2a)2

2

2 (i+ j) +keq2q3a2

i =keq1q3a2

2

4 (i+ j) +keq2q3a2

i

electrosttica 41

Si reemplazamos los valores numricos, obtendremos ~F3 (en unidades de Newton):

~F3 = 2.615i+ 1.429j

La magnitud de ~F3 es(2.615)2 + 1.4292 3.0N.

Una forma alternativa de resolver este problema es primero calcular las magnitudes de cada una de laslas fuerzas F = ke |Q1||Q2|r2 y luego calcular sus componentes.

EJEMPLO 2.4

Ahora un problema ms difcil. En la figura se muestran dos cargas positivas+q y una carga negativa Q que puede moverse libremente y que se encuentrainicialmente en reposo. Si las dos cargas q estn fijas:a) Determinar el periodo de movimiento de la carga Q.Solucin: puesto que las dos cargas positivas atraen a Q, esta carga sedesplazar a lo largo del eje x. Una vez que pase hacia el lado negativo, vol-ver a ser atrada hacia el lado positivo, y as sucesivamente, de manera queQ comenzar a moverse de una lado para otro describiendo un movimientooscilatorio.

La magnitud de la fuerza ejercida por una de las cargas q sobre Q ser

FqQ = keqQ

r2

donde r =x2 + (d/2)2. Puesto que por simetra la fuerza resultante, debido a las dos cargas q, ser en la

direccin horizontal, debemos entonces calcular la componente horizontal de FqQ

Fx = FqQ cos = keqQ

r2cos

donde es el ngulo entre la lnea qQ y el eje horizontal, es decir cos = xr =x

x2+(d/2)2

Fx = keqQ

r2x

r= ke

qQ

x2 + (d/2)2x

x2 + (d/2)2= ke

qQx

(x2 + (d/2)2)3/2

pero, en la expresin anterior Fx es la fuerza debido a una sola carga, por lo tanto, la magnitud de la fuerzatotal sobre Q ser el doble

2keqQx

(x2 + (d/2)2)3/2

Ahora, para describir el movimiento de Q, usamos la segunda ley de Newton (F = ma = md2xdt2 )

2keqQx

(x2 + (d/2)2)3/2= md

2x

dt2

donde m es la masa de Q y se ha introducido el signo () debido que la fuerza sobre la carga Qacta como restauradora (como en un resorte). Lamentablemente esta es una ecuacin diferencial difcil deresolver, pero podemos hacer una aproximacin razonable si suponemos que x es pequeo comparado con


d (x d), entonces (x2 + (d/2)2)3/2 es aproximadamente igual (0 + (d/2)2)3/2 = (d/2)3, por lo tantopodemos escribir

16keqQxd3

= md2x

dt2 d

2x

dt2+

16keqQxmd3

= 0

Si definimos 2 = 16keqQmd3 , nuestra ecuacin queda:

d2x

dt2+ 2x = 0

Esta es la ecuacin de movimiento de un oscilador armnico, cuya solucin se conoce y el periodo T = 2pi/

T =2pi

=pi

2

md3

keqQ

b) Cual ser la rapidez de Q cuando est en el punto medio de las dos cargas q, si inicialmente es soltadaa una distancia a d desde el centro?Solucin: La rapidez ser mxima en el punto medio de oscilacin y est dada por

vmax = A

donde A es la amplitud mxima que en este caso es a

vmax = a =

16keqQmd3

a = 4akeqQ

md3

electrosttica 43

2.4 Campo elctricoLa presencia de una carga elctrica produce una fuerza sobre todas las

otras cargas presentes. La fuerza elctrica produce una accin a distan-cia; los objetos cargados pueden influenciar a otros sin tocarlos.

Figura 2.8: La presencia de una cargaproduce perturbaciones a su alrededor.

Viendo la figura 2.8, la ley de Coulomb nos permite calcular la fuerzaejercida por la carga q2 sobre la q1. Si acercamos la carga q2 hacia q1entonces la magnitud de la fuerza sobre q1 se incrementar. Sin embargo,este cambio no ocurre instantneamente (ninguna seal se puede propagarms rpidamente que la luz). La cargas ejercen una fuerza sobre las otrasmediante perturbaciones que ellas generan en el espacio que las rodean.Estas perturbaciones se llaman campos elctricos. Cada objeto cargadogenera un campo elctrico que influencia el espacio alrededor.

Figura 2.9: Una carga de prueba q0 enpresencia del campo elctrico generadopor la carga Q.

El campo elctrico ~E generado por una carga Q puede ser medido po-niendo una carga de prueba q0 en alguna posicin (ver figura 2.9). La car-ga de prueba sentir una fuerza elctrica de magnitud F = keq0Q/r2.Entonces se define el campo elctrico ~E a una distancia r de la carga Qcomo

~E ~F

q0Definicin de campo elctrico.

2.4.1 Campo elctrico de cargas puntualesQueremos encontrar el campo elctrico ejercido por una carga puntual

positiva q. Como en la figuras 2.10 y 2.11, si ponemos una carga de pruebaq0 a una distancia r de q, la fuerza sobre q0 es

~F = keqq0r2r

(a) (b)

Figura 2.10: Si q > 0, la carga de prue-ba ser repelida y en el punto P habrun campo elctrico en la misma direc-cin que ~F .

(a) (b)

Figura 2.11: Si q < 0, la carga de prue-ba ser atrada y en el punto P habrun campo elctrico en la misma direc-cin que ~F .

Entonces, de acuerdo a la definicin, ~E = ~F/q0


~E = keq

r2r

La unidad de campo elctrico debera ser fuerza por unidad de carga(N/C), pero por razones que se explicarn ms adelante la unidad elegidaes V/m (Volt/metro).

En la definicin anterior se supone que las cargas que generan elcampo permanecen fijas en su posicin cuando se acerca la carga deprueba q0. Para evitar perturbaciones a estas cargas, se usan cargasde prueba muy pequeas. De hecho, ~E se puede definir en formaoperacional:

~E = lmq00

~F

q0

El principio de superposicin tambin es aplicable al campo elctrico.Dado un conjunto de cargas puntuales q1,q2,q3 . . . qN , el campo elctricoen un punto P de espacio localizado a distancias r1,r2,r3 . . . rN de lascargas, est dado por:

~E = ~E1 + ~E2 + ~E3 + ~EN =Ni=1

~Ei = ke

Ni=1

qir2iri

EJEMPLO 2.5Dos cargas puntuales q1 = +12 nC y q2 = 12 nC estn separadas. Esta combinacin de dos cargas de igualmagnitud y signo opuesto se llama dipolo elctrico. Encontrar el campo elctrico resultante en (a) y (b).cul es la direccin del campo elctrico resultante producido por la dos cargas en punto a lo largo del eje y?

b a

c

d

Solucin:(a) Los campos elctricos en a son mostrados en la figura siguiente. La magnitud de ambos campos es

E1 = E2 = ke|q1|r2

= (8.99 109 N.m2/C2) (12 109 C)

(5.0 102 m)2 = 4.32 104 N/C

En componentes:~E1 = 4.32 104 i N/C ~E2 = 4.32 104 i N/C

as el campo total en a es~Ea = ~E1 + ~E2 = 8.64 104 i N/C

electrosttica 45

b a

b a

(b) De acuerdo a la figura anterior

E1 = ke|q1|r2

= (8.99 109 N.m2/C2) (12 109 C)

(4.0 102 m)2 = 6.74 104 N/C

E2 = ke|q2|r2

= (8.99 109 N.m2/C2) (12 109 C)

(14 102 m)2 = 5.50 103 N/C

En componentes:~E1 = 6.74 104 i N/C ~E2 = +5.50 103 i N/C

as el campo total en b es~Eb = ~E1 + ~E2 = 6.2 104 i N/C

(c) Los dos campos elctricos se muestran en el punto c de la figura. Tambin se muestran las componentes xe y de los campos. El punto c es equidistante de las cargas y |q1| = |q2| entonces E1 = E2. Las componentesy de los campos son iguales en magnitud y en direccin opuestas y la suma de ellas es cero. las componentesx son igual en magnitud y apuntan en la direccin +x, entonces el campo resultante es en la direccin +x.Este resultado es vlido para cualquier punto del eje y.

a

c c

2.4.2 Lineas de fuerza de cargas puntualesLa magnitud de un campo elctrico en el espacio que rodea a una

fuente de cargas est directamente relacionada a la cantidad de cargade la fuente e inversamente proporcional a la distancia desde la fuentede cargas (F Q/r2). La direccin del campo elctrico est siempredirigida en la direccin que una carga de prueba positiva se movera sise coloca en el espacio que rodea a la fuente de cargas. Puesto que elcampo elctrico es un vector, este puede ser representado por flechas.Para un punto dado en el espacio, la flecha apunta en la direccin delcampo elctrico y su longitud es proporcional a la magnitud del campoelctrico en ese punto. En la figura 2.12 las longitudes de las flechas sonms largas en las cercanas de la carga puntual y son ms cortas cuandola distancia a la carga puntual es mayor.

Para representar la naturaleza vectorial del campo elctrico, es msconveniente tratar de visualizarlo mediante lineas de fuerza de campo


Figura 2.12: Vectores representando elcampo elctrico en algunos puntos delespacio.

elctrico. En vez de dibujar una infinidad de flechas de vectores en elespacio que rodea a la carga, es quizs ms til dibujar un patrn dealgunas lneas que parten de la carga y se extienden hasta el infinito.Estas lneas, tambin llamadas lineas de campo elctrico, apuntan en ladireccin que acelerara una carga de prueba positiva colocada en esalnea (Fig. 2.13). Es decir, las lneas se alejan desde una carga positiva yse acercan hacia una carga negativa. Un diagrama como el de la figura2.13 podra incluir un infinito nmero de lneas, pero por razones devisualizacin se limita el nmero de ellas.

Figura 2.13: Lneas de fuerza para losdos tipos de cargas puntuales.

Hay dos reglas para las lneas de campo:

1. La direccin del campo elctrico es, en todas partes, tangente a laslneas de campo y van en el sentido de las flechas en las lneas.

2. La magnitud del campo es proporcional al nmero de lneas de cam-po por unidad de rea que pasan a travs de una pequea superficienormal a las lneas. En el caso de las cargas puntuales, la magnituddel campo elctrico es mayor cerca de la carga (hay mayor densidadde lneas). La figura 2.14 muestra un ejemplo donde un campo elctri-co penetra dos superficies. La magnitud del campo elctrico es mayor

electrosttica 47

en la superficie A (hay mayor densidad de lneas por unidad de reaatravesando la superficie) que en la B.

Figura 2.14: La densidad de lneas esuna indicacin de la magnitud del cam-po elctrico.

En la figura 2.15 se muestra una carga puntual y donde se ve que magni-tud del campo elctrico disminuye con la distancia y tambin se ve quela cantidad de lneas de campo que atraviesan la misma rea disminuye.

Figura 2.15: La magnitud del campoelctrico disminuye en la proporcin1/r2 con la distancia r. La densidad delneas que atraviesan una misma reatambin disminuye .

Las lineas de campo correspondientes a dos cargas puntuales idnticasse muestran en la figura 2.16. A la izquierda se muestran dos cargaspositivas y a la derecha una carga positiva y otra negativa:

Figura 2.16: Lneas de campo de doscargas puntuales.

Finalmente la figura 2.17 muestra una carga puntual y las lneas decampo elctrico en presencia de tres conductores (ver seccin 3.9). Losconductores (neutros) se polarizan y como consecuencia se producen li-neas de campo elctrico debido a los conductores.

+

+++ + + + + +

+ + +

+

+

+

++

+ + + + +++

Figura 2.17: Lneas de campo de unacarga puntual en presencia de tresconductores. La configuracin produceadems una polarizacin electrostticaen los conductores, los que a su vez ge-neran campos elctricos.


2.5 Distribuciones continuas de cargaHasta el momento hemos vivido en el maravilloso mundo de las car-

gas puntuales (o distribuciones discretas de cargas). Como ya sabemos lacarga est siempre cuantizada, donde la cantidad ms pequea de cargaes 1.602 1019 C. El espacio total cubierto por cualquier carga es muypequeo comparado con la distancia entre dos cargas. Hasta el momentohemos idealizado la situacin y hemos supuesto que la carga puntual ocu-pa la extensin de un punto (volumen cero). Sin embargo en la realidadlos cuerpos cargados ocupan un volumen finito y no pueden ser conside-rados como un punto.En una distribucin de carga continua, todas las cargas estn muy prxi-mas las unas a las otras. Supongamos que tenemos un volumen como enla figura 2.18 y queremos calcular ~E en el punto P exterior. Tomamos unelemento de volumen V con carga q, entonces el campo en el punto Pdebido a esta pequea carga es:

Figura 2.18: Campo elctrico en P ge-nerado por una carga puntual q enuna distribucin continua de carga.

~E = keqr2r

donde r es la distancia desde el elemento de carga q al punto P . Ahora,si nos imaginamos que dividimos el volumen total en muchos cubitosde volumen V , el campo en P ser aproximadamente igual a la sumade pequeas contribuciones (Fig. 2.19):

Figura 2.19: Dividimos la distribucincontinua de carga en pequeas contri-buciones q, cada una de las cuales re-presenta en forma aproximada una car-ga puntual. El campo elctrico en P esaproximadamente igual a la suma vec-torial de los campos generados por cadaq.

~E keni=1

qir2i

ri

Usando las herramientas del clculo integral podemoshacer qi 0 (qi dq) entonces obtenemos unresultado exacto:

~E = ke lmqi0

qir2i

ri = ke

dq

r2r

~E = ke

dq

r2r

electrosttica 49

2.5.1 Densidades de cargaEn la prctica es conveniente describir la distribucin de cargas en

funcin de densidades de carga , pues la carga puede estar distribuida enuna lnea, superficie o volumen.

Densidad volumtrica de carga = lmV0 qVCm3

Densidad superficial de carga = lmS0 qSCm2

Densidad lineal de carga = lml0 qlCm

En el caso de que la densidad carga sea uniforme

=qV

=q

V= constante

donde q es la carga total y V el volumen total de la distribucin.

La forma analtica de las distribuciones de carga sepueden usar para encontrar la carga total. Por ejem-plo, puesto que dq = dV , se integra y se obtiene

q =

VdV

aqu es variable, as que no puede salir fuera de la integral. Simi-larmente, para una distribucin superficial y una lineal:

q =

SdS q =

Ldl

As el campo elctrico puede escribirse, por ejemplo, en funcin de

~E = ke

volr

r2dv


2.5.2 Aplicaciones de campo elctrico de distribucionescontinuas

A continuacin algunos problemas de clculo de campo elctrico debidoa distribuciones continuas de carga. Estos son ejemplos que aparecen entodos los libro de texto, pero que son muy ilustrativos.

EJEMPLO 2.6: Campo producido por una barra cargada

Una barra de longitud L y densidad lineal positiva de carga .Calcular el campo elctrico en un punto P sobre el eje x a unadistancia x0 de uno de los extremos de la barra.

Solucin: De acuerdo a la figura, dividimos la barra en N pequeossegmentos de carga q cada uno de los cuales puede ser modelado como una carga puntual. Sabemos comocalcular el campo de elctrico de una carga puntual. Adems, como es positiva, el campo elctrico en P ,debido a q, apuntar hacia la izquierda. Tomamos un pequeo segmento xi de la barra con carga q ycalculamos el campo elctrico debido al segmento i es

~Ei = keqx2i

i

Recordar que el campo apunta hacia la izquierda (de ah elsigno ). Suponemos que la densidad de carga es uniforme,entonces reemplazamos q = xi

~Ei = kexix2i

i

Para encontrar ~E debemos sumar las contribuciones de cada uno de los N segmentos de la barra:

~E =Ni=1

~Ei = keNi=1

xix2i

i = keNi=1

xix2i

i

Por supuesto que mientras mayor sea el nmero de segmentos mejor ser la aproximacin. En el lmiteN el campo es

~E = ke Lx0(x0 + L)

i

En realidad la solucin exacta se obtiene por medio de integracin. Esto se obtiene hacien-do N , entonces cada segmento se convierte en un elemento infinitesimal x dxy la variable de posicin discreta xi se convierte en la variable continua de integracin x.La suma desde i = 1 hasta i = N es reemplazada por los lmites de integracin x = x0

hasta x = x0 + L

~E = kex0+L

x0

dx

x2i = ke

( 1x

)x0+Lx0

i = ke(

1x0 1x0 + L

)i = ke L

x0(x0 + L)i

La magnitud de ~E es:E = ke

L

x0(x0 + L)

electrosttica 51

Notar que si en vez de se hubiera dado Q, entonces

E = keQ

l

L

x0(x0 + L)= ke

Q

x0(x0 + L)

Si el punto P est muy alejado del extremo de la barra, entonces x0 L y x0 + L x0

E ke Qx20

que no es otra cosa que la magnitud del campo elctrico de una carga puntual.

EJEMPLO 2.7: Anillo cargado uniformemente

En la figura el anillo tiene una carga uniforme total Qy hay que encontrar el campo elctrico en un punto Pdel eje z.Solucin: Lo primero que hay que preguntarse es:Cual es la direccin de ~E?. Por simetra debera apun-tar en la direccin positiva del eje z.En el dibujo hemos dividido el permetro del crculoen N segmentos de carga q. Hemos elegido una cargapuntual q que genera un campo ~Ei en el puntoP . Pero al otro lado del anillo hay otro elemento de

carga que generar un campo elctrico de igual magnitud en el punto P de tal manera que el campo total enP deber ser la suma de los dos campos. Si analizamos las componentes de estos campos, veremos que lascomponentes horizontales (paralelas al plano xy) se van a cancelar y solamente las componentes paralelas aleje z van a sobrevivir. As podemos decir a priori que el campo elctrico en P debe apuntar hacia +z.

(Ei)z = Ei cos = keqr2

cos = keqR2 + z2

zR2 + z2

=kezq

(R2 + z2)3/2

donde hemos usado el hecho de que la distancia desde de carga q al punto P es r =R2 + z2 (es constante).

Para obtener el campo total en P debemos sumar las N contribuciones

Ez =Ni=1

(Ei)z =Ni=1

kezq(R2 + z2)3/2

=kez

(R2 + z2)3/2

Ni=1

q Q

Ez =kezQ

(R2 + z2)3/2

Notar que no fue necesario usar clculo integral para obtener este resultado.

El campo elctrico es cero en el centro del anillo (z = 0). Por otro lado, si z est muy alejado del centrodel anillo entonces R2 + z2 z2 y entonces Ez keQ/z2, es decir, el anillo se comporta como unacarga puntual.


EJEMPLO 2.8: Alambres finitos e infinitosUna alambre no conductor de longitud l , densidad de carga uniforme y carga total Q se extiende a lo largodel eje x (ver figura). Calcular el campo elctrico en un punto P , localizado a una distancia y del centro delalambre.

Solucin: Primero dividimos la barra en N segmentos de longitud x cada uno con una carga q. Segn lafigura de la izquierda, la contribucin al campo elctrico en P , debido al segmento x con carga q = xi,es

Ei = keqr2

=kexix2i + y

2

Ahora debemos usar argumentos de simetra para resolver este problema ms fcilmente. De acuerdo a lafigura de la derecha la componente horizontal del campo en P debe anularse porque dado una carga q enx > 0, existe otro q en x < 0. Por lo tanto el campo resultante debe apuntar en la direccin de +y. Lamagnitud de Ey ser

(Ei)y = Ei cos =kexix2i + y

2y

x2i + y2=

keyxi(x2i + y

2)3/2

que queda expresada en trminos de la nica variable discreta x. Para calcular el campo total en P sumamoslas contribuciones de los N segmentos:

Ey =Ni=1

(Ei)y =Ni=1

xi(x2i + y

2)3/2= key

Ni=1

xi(x2i + y

2)3/2

Si N (segmentos muy pequeos, x 0), se puede demostrar que

Ey = 2ke

y

L/2y2 + (L/2)2

electrosttica 53

Por medio de integracin directa podemos justificar el resultado anterior:

Ey = key

L/2

L/2

dx

(x2 + y)3/2= 2key

L/2

0

dx

(x2 + y)3/2

Esta no es una integral fcil; la podemos buscar en una tabla de integrales, o hacer el cambio de variables:

x = y tan dx = y sec2 d

y al sustituir:

Ey = 2keysin y2

= 2kesin y

= 2ke

y

L/2y2 + (L/2)2

alambre finito

Partiendo de este resultado anterior, podemos calcular el campo debido a un alambre infinito. Solo debemoshacer pi o L

Ey =2key

alambre infinito

EJEMPLO 2.9: Disco cargadoUn disco cargado uniformemente de radio R con carga total Q yace en el plano xy. Encontrar el campoelctrico en un punto P a lo largo de eje z cono se muestra en la figura.

Solucin: Para resolver este problema vamos a dividir el disco en N anillos de ancho r y radio ri (i =1, 2, 3, . . . N). En la figura de la izquierda, elegimos convenientemente un anillo de ancho infinitesimal ry con carga q. Cualquier punto del anillo se encuentra a una distancia (ri2 + z2)1/2 del punto P . Lasimetra del problema nos dice que el campo elctrico apunta en la direccin +z. El anillo tiene una cargaq = (2pirir).

Por otro lado, la figura de la derecha es un anillo de radio R y cargado uniformemente con carga totalQ, y de acuerdo al problema 2.7 el campo elctrico a una distancia z del centro es:

Ez =keQz

(R2 + z2)3/2

Si aplicamos el resultado anterior a nuestro anillo de radio ri y carga q = (2pirri), obtenemos Ez:

(Ei)z =ke(2pirir)z(r2i + z

2)3/2


Para obtener el campo elctrico total, debemos sumar la contribucin de los N anillos

Ez =Ni=1

(Ei)z =Ni=1

ke(2pirir)z(r2i + z

2)3/2= 2pikez

Ni=1

rir(r2i + z

2)3/2

El resultado exacto es cuando N , pero no podemos dar aqu una expresin simple para esta suma.Simplemente vamos a dar el resultado, que se obtiene mediante integracin

Ez =

20

[1 z

R2 + z2

], z > 0

20

[1 z

R2 + z2

], z < 0

Los dos resultados se deben a que el punto P puede estar arriba o abajo del disco.

El resultado anterior se justifica por medio de integracin al pasar de variables discretasa variables continuas, ri r, r dr. Integramos desde r = 0 hasta r = R

Ez = kepiz

R

0

2rdr(r2 + z2)3/2

= kepiz(2)[

1r2 + z2

]R0= 2kepiz( 1

R2 + z2 1|z| )

Ez = 20 (z

|z| z

R2 + z2)

Con los dos posibles valores de |z| existen dos soluciones:

Ez =

20

[1 z

R2 + z2

], z > 0

20

[1 z

R2 + z2

], z < 0

Es interesante analizar el resultado anterior a grandes distancias, es decir z R. Expandimos en serieel trmino 1 z

R2+z2, aprovechando el hecho de que R/z es pequeo. Efectivamente, si x 1, la

expansin en serie (1+ x)n = 1+ nx+ n(n 1)x2 + puede ser cortada y (1+ x)n 1+ nx, lo cualpermite aproximar

Ez 2012R2

z2=

QpiR2

40R2

z2=

14pi0

Q

z2= ke

Q

z2

que tiene la forma del campo elctrico de una carga puntual.

electrosttica 55

EJEMPLO 2.10: Plano infinitoImaginemos un plano infinito que coincide con el plano yz y que tiene una densidad superficial uniforme decarga y queremos calcular el campo en un punto P (x, 0, 0), es decir a una distancia x del plano (el planocoincide con la hoja).

Solucin: Este problema puede resultar bastante complicado, incluso usando las herramientas del clculointegral. Vamos a resolver este problema aprovechando que ya hemos resuelto el problema de disco cargado.Recordemos que para un disco con densidad de carga superficial y radio R tenemos

Edisco =

20

[1 z

R2 + z2

]Si el radio del disco es muy grande, entonces podemos usar este resultado para obtener el campo elctricode un plano infinito. En efecto si hacemos R

Eplano = lmR

Edisco = lmR

20

[1 z

R2 + z2

]=

20Este resultado nos dice que la magnitud del campo elctrico es directamente proporcional a la densidadde carga , es decir, a ms carga mayor ser el campo. Ms interesante es el hecho de que el campo esindependiente de la distancia x al plano y eso quiere decir que el campo elctrico es el mismo en todos lospuntos del espacio.


2.6 Flujo elctricoYa hemos visto que los campos elctricos pueden ser representados

geomtricamente mediante las lneas de campo elctrico. Ya vimos quelas lneas indican la direccin del campo elctrico y las densidad de laslneas indican la magnitud del campo.

Vamos a introducir una nueva cantidad matemtica llamada flujo decampo elctrico, la cual medir el nmero de lneas que pasan a travsde una superficie.

Figura 2.20: Lneas de campo elctricouniforme atravesando en forma perpen-dicular a una superficie de rea A.

Para ilustrar el concepto, consideremos un campo elctrico uniforme~E y que es perpendicular a una superficie de rea A tal como muestra lafigura anterior. Queremos definir una cantidad que de cuenta del nmerode lneas de campo que atraviesan esa superficie. Usamos la letra paradefinir el flujo elctrico (un escalar)

EA

es decir, es simplemente la magnitud del campo uniforme multiplicadopor el rea. Esta es la definicin ms sencilla de flujo elctrico. Las unidadse desprende fcilmente de la definicin: [] =

[NC .m2

].

Ahora consideremos el mismo campo elctrico uniforme ~E y suponga-mos que la superficie est inclinada en un ngulo como se muestra enla figura 2.21. Claramente el nmero de lneas atravesando el rea A sermenor (el flujo ser menor). El rea efectiva que ver el campo serA = A cos , entonces el flujo es

Normal

Figura 2.21: Las lneas de campo queatraviesan la superficie disminuye de-bido a la inclinacin del plano.

= EA = EA cos

De esta expresin, vemos que el flujo ser mximo cuando = 0 y se-ra mnimo (cero) cuando = pi/2. Pero la expresin anterior se puedeescribir como un producto punto

= ~E ~A

donde ~A es un vector perpendicular a la superficie y de magnitud A. Aveces tambin es conveniente escribir lo anterior como

= A~E n

donde n es un vector unitario perpendicular a la superficie, de tal maneraque ~A = An. Poco ujo Mucho ujo

Figura 2.22: Analoga para ilustrar ladisminucin de flujo solar debido ala inclinacin de los paneles solares.

Una manera de ilustrar lo anterior es mediante una analoga con pane-les solares. En la figura 2.22 los dos paneles tienen exactamente la mismarea y el brillo del sol es exactamente el mismo en ambos paneles. Lo quehace la diferencia es el ngulo de incidencia. En el panel de la derecha losrayos del sol son perpendiculares a la superficie y por lo tanto el flujo esmayor.

La definicin de flujo puede aplicarse a cualquier campo vectorial. Porejemplo, supongamos que tenemos un campo vectorial que represente

electrosttica 57

el movimiento de un fluido. Este campo vectorial lo denotamos por ~vsea y se mide en centmetros por segundo. Si ~A es el rea orientada, encentmetros cuadrados, de una superficie sumergida en el agua (ver figura2.23), entonces las unidades de ~v ~A son

cms cm

2 =cm3s

es decir, volumen por unidad de tiempo.

Fluido

Figura 2.23: El flujo a travs de la figu-ra de rea ~A es ~v ~A. Si ~v es la velocidadde un fluido, el flujo es el volumen defluido que atraviesa la figura, por uni-dad de tiempo.

Consideremos el caso general, donde ~E no es uniforme y atra-viesa una superficie sin simetra como se muestra en la figura 2.24. Imagi-nemos que dividimos la superficie en pequeos pedazos de rea Ai. Aquhemos dibujado un vector ~Ai perpendicular al trozo de rea infinitesi-mal Ai. El campo elctrico ~E atraviesa la superficie Ai formando unngulo con ella. El flujito a travs de esta superficie es:

Figura 2.24: Un elemento de superficieAi atravesado por el campo elctrico.

= ~E ( ~A)iEl flujo a travs de cualquier otro pedazo de superficie se calcula de lamisma manera. El flujo total a travs de toda la superficie es igual a lasuma de los flujos a travs de cada una de las pequeas superficies3 3 Esta es una aproximacin. Estricta-

mente deberamos escribir

Ni=1

~E ( ~A)i =Ni=1

~E ( ~A)i

Donde hemos supuesto que hemos dividido la superficie total en N pe-queos pedazos de rea.

En estricto rigor, la expresin anterior se escribe enforma exacta por medio de una integral de superficie.

=S

~E d ~A

Hay que notar que la superficie puede ser abierta o cerrada. En elcaso de una superficie cerrada el flujo se anota:

=S

~E d ~A


En una superficie cerrada, el flujo puede ser positivo, negativo o cero.

Un caso especial es cuando dentro de la superficie cerrada no hayninguna carga. Si tenemos un campo elctrico cualquiera, que atra-viesa esa superficie, entonces el nmero de lneas que entran en esasuperficie es igual al nmero de lneas que salen de ella.

De ese modo, el flujo neto (nmero de lineas neto) ser cero, noimportando la naturaleza del campo que atraviesa la superficie.

EJEMPLO 2.11: Flujo a travs de un cubo

Ejemplo para ilustrar la idea anterior: dado un campo elc-trico uniforme calcular el flujo a travs de la superficie deun cubo.Solucin: Como se puede ver en la figura el campo elctri-co es uniforme. El flujo total a travs del cubo es la sumadel flujo a travs de cada cara:

= 1 +2 +3 +4 +5 +6

Como las caras son planas, usamos la definicin bsica deflujo nos da

= ~E ~A1 + ~E ~A2 + ~E ~A3 + ~E ~A4 + ~E ~A5 + ~E ~A6

Notar que los vectores ~A1, ~A2, ~A5 y ~A6 son perpendiculares a ~E, por lo tanto

~E ~A1 = ~E ~A2 = ~E ~A5 = ~E ~A6 = 0

luego solo las caras 3 y 4 contribuyen al flujo

= ~E ~A3 + ~E ~A4

Todas las caras tienen la misma rea as que A3 = A4, adems ~A3 y ~A4 apuntan en direccin contraria,luego

~E ~A3 = E cospi A3 = EA3Por otro lado

~E ~A4 = E cos 0A4 = EA4

electrosttica 59

As tenemos finalmente el resultado esperado:

= EA3 +EA4 = 0

El resultado anterior se puede obtener tambin mediante clculo integral:

=S1

~E d ~A+S2

~E d ~A+ +S6

~E d ~A

Notar que en las caras 1, 2, 5 y 6 el campo elctri-co es, en todas partes, perpendicular a la superfi-cie, en otras palabras ~E es perpendicular al vectornormal d ~A, por lo tanto ~E d ~A = 0. Eso signifi-ca que el flujo a travs de estas caras es cero. So-lo nos queda analizar las caras 3 y 4. En la cara 4el campo elctrico es paralelo a d ~A4, por lo tanto~E d ~A4 = E cos 0A4 = EdA4. Por otro lado en lacara 3 el campo y d ~A3 estn opuestos y forman unngulo de 180 entre si. En este caso

~E d ~A3 = E cos 180dA3 = EdA3

El flujo total es entonces:

= 0+ 0+S3EdA3 +

S4EdA4 + 0+ 0 = E

S3dA3 +E

S4dA4 = EA+EA = 0

EJEMPLO 2.12: Flujo a travs de una semi-esfera

entrando

Vista desde abajo

Ahora tenemos un hemisferio de radio R que esatravesado por un campo elctrico uniforme comose muestra en la figura. Encontrar el flujo elctri-co.

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