Apunte 01 de Ingenieria de Control

8/20/2019 Apunte 01 de Ingenieria de Control

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Ingeniería de Control I

1.- Introducción a los sistemas de control

Introducción

El control automático ha desempeñado un papel fundamental en el avance de la ingeniería y

la ciencia, es parte importante e integral de los modernos procesos industriales y de

manufactura. Prácticamente, cada aspecto de las actividades de nuestra vida diaria está

afectado por algún tipo de sistema de control. Los sistemas de control se encuentran en gran

cantidad en todos los sectores de la industria tales como control de calidad de los productos

manufacturados, líneas de ensamble automático, control de máquina-herramienta, sistemas

de transporte, sistemas de potencia, robótica, en la guía y navegación de proyectiles así como

de naves espaciales, barcos y aviones etc., aun el control de inventarios y los sistemas

económicos y sociales se pueden analizar a través de la teoría de control automático.

Pero los sistemas de control no están limitados a la ciencia y la industria. Podemos encontrar

sencillos sistemas de control en los sistemas de calefacción de las casas, por ejemplo, incluso

los sistemas de entretenimiento, como los DVD’s o reproductores de CD, cuentan con un

sistema de control integrado.

Ha sido parte fundamental en el desarrollo de la tecnología, ya que posibilita obtener un

óptimo desempeño de sistemas autónomos. Por ejemplo la velocidad y precisión que podía

alcanzar un ser humano con respecto a la de una máquina.

Debido a que los avances de la teoría y la práctica del control automático aportan los medios

para obtener un desempeño óptimo de los sistemas dinámicos, tales como mejorar la

productividad y eliminar muchas de las operaciones repetitivas y rutinarias, los ingenieros y

científicos deben tener un buen conocimiento de este campo.

1.1. Conceptos generales

Un sistema automático de control es un conjunto de componentes físicos conectados o

relacionados entre sí, de manera que regulen o dirijan su actuación por sí mismos, es decir

sin intervención de agentes exteriores (incluido el factor humano) capaces de realizar una


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operación dada o de satisfacer una función deseada, corrigiendo además los posibles errores

que se presenten en su funcionamiento.

Un sistema es un conjunto de elementos interrelacionados sometido a una serie de estímulos

o señales de entrada ante los que responde mediante una serie de señales de salida.

Figura 1.1 Representación de un sistema de control

La entrada representa una respuesta deseada y la salida representa una repuesta real. Existen

dos factores que hacen que la salida sea diferente a la entrada. El primero se conoce como

respuesta transitoria, el cual está presente cuando existe un cambio instantáneo de la entrada

con respecto al cambio gradual de la salida. Después de la respuesta transitoria, un sistema

físico aproxima su respuesta en estado estable, en donde trata de aproximarse a la respuesta

deseada.

La precisión puede ser el segundo factor que puede ocasionar que la salida sea diferente a la

entrada. Esta diferencia es conocida como error en estado estable y en ocasiones depende de

las características físicas del dispositivo que se desea controlar.

1.1.1 Definiciones básicas

En el estudio de la ingeniería de control, se emplean una serie de conceptos que es necesario

definir:

Planta, proceso o sistema: Es la realidad física que se desea controlar (por ejemplo,

un horno de calentamiento controlado, reactor químico, amplificador operacional,

vehículo espacial, velocidad de un tren de laminación, etc.).

Variable de entrada: es una variable del sistema tal que una modificación de su

magnitud o condición puede alterar el estado del sistema.

Variable de salida: es una variable del sistema cuya magnitud o condición se mide.


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Perturbaciones: es una señal que tiende a afectar el valor de la salida de un sistema.

Si la perturbación se genera dentro del sistema se la denomina interna, mientras que

una perturbación externa se genera fuera del sistema y constituye una entrada.

Control realimentado: Operación que se realiza sobre la planta, con la que se

consigue que a pesar de las perturbaciones, el sistema siga una entrada de referencia.

Normalmente esto se consigue comparando la señal de salida con la señal deseada

(se suele trabajar con la diferencia de ambas señales) y actuando en consecuencia.

Controlador o compensador: Ley matemática que rige el comportamiento del

sistema. Si una ley de control funciona aunque uno se haya equivocado en el modelo,

se dice que esa ley es robusta.

Servosistema: Sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapié a

la capacidad del sistema de seguir una referencia.

Regulador: Sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapié a la

capacidad del sistema de rechazar las perturbaciones. En los reguladores la referencia

prácticamente no cambia, es una señal continua y si cambia, lo hace lentamente.

Sistema en lazo cerrado: La variable controlada se mide y se utiliza esa medición

para modificar la entrada sobre la planta. Esa medida se lleva a cabo normalmente

por un sensor.

Sistema en lazo abierto: La variable controlada o de salida no se mide, ni se utiliza

para modificar la entrada. La entrada a la planta no es función de la salida como

ocurría en lazo cerrado. Se emplea normalmente cuando las perturbaciones sobre el

sistema son pequeñas y se posee un buen modelo de planta. También se utiliza este

tipo de sistemas si la señal de salida del sistema es imposible o muy difícil de medir.

Como ejemplos se podrán citar una lavadora de ropa o el arranque de motores de

estrella a triángulo. Si el sistema en lazo abierto cumple las especificaciones

necesarias, resulta más sencillo y barato construirlo que un sistema en lazo cerrado.


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Figura 1.1: Sistema de control en lazo cerrado a) y en lazo abierto b)

1.2. Clasificación de los sistemas de control

Son muchas las clasificaciones posibles de realizar; aquí se presentan algunas de mayor

interés.

De acuerdo a la acción de control: Variable que activa el sistema a controlar.

De lazo abierto: Acción de control independiente de la salida; para su buendesempeño se requiere de una buena calibración; si el proceso a controlar es estable,

no hay riesgo de inestabilidad.

De lazo cerrado: Se compara la entrada y la salida y usa la diferencia (error) como

acción de control; se requiere por tanto de una realimentación, la cual genera

posibilidad de inestabilidad.

De acuerdo a la fuente de energía del elemento que genera la acción de control:

Neumáticos (Aire a presión).

Hidráulicos (Aceite o agua a presión).

Eléctricos - Electrónicos (Electricidad).

De acuerdo a como se genera la acción de control a partir del error:

Todo - Nada (ON - OFF).


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Proporcional (P), Integral (I), Proporcional Integral (PI), Proporcional Derivativo

(PD), Proporcional Integral Derivativo (PID).

Adelanto y/o Atraso de Fase.

De acuerdo a la función:

Servomecanismo de Posición. El funcionamiento del mecanismo es el siguiente:

existe un controlador al que el usuario introduce como dato una referencia de

posición (posición deseada para la pieza móvil). El controlador actúa sobre un motor

eléctrico que, a través de un husillo, mueve la pieza. Para calcular la tensión a aplicar

al motor, el controlador compara en cada instante la posición real de la pieza con la

posición pedida y en función de la diferencia entre las posiciones aplica más o menos

tensión, en uno u otro sentido. Cuando la pieza alcanza la posición pedida, el error

es cero y por tanto el controlador deja de aplicar tensión al motor., figura 1.3.

Figura 1.3: Servomecanismo de posición.

Regulador: Busca mantener constante la salida, principalmente ante cambios debidos

a disturbios; por ejemplo, los sistemas de control de tensión y frecuencia de los

sistemas de generación; el sistema de control de temperatura, la figura 1.4 muestra

un regulador de temperatura.


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Figura 1.4: Regulador de temperatura

De acuerdo a las propiedades del proceso controlado:

Parámetros Concentrados - Distribuidos.

Determinístico - Estocástico.

Continuo - Discreto (Flujo del producto).

Estático - Dinámico.

Variante - Invariante.

Lineal - No lineal.

De acuerdo a la aplicación industrial:

De Procesos: temperatura, flujo, presión, PH, nivel, densidad, composición,

viscosidad, color, etc.

De Manufactura: Producción de partes: autos, equipos domésticos, etc.

De acuerdo a la estrategia de control:

Directo (feedforward) - Realimentado (feedback).

Serie - Paralelo.

Centralizado - Distribuido

Cascada, selectivo, etc.

De acuerdo a las señales involucradas en el sistema de control.

Monovariable (SISO), si el sistema controla una sola variable de entrada y salida.

Multivariable (MIMO), si tiene múltiples entradas y salidas.


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Sistema de control análogo, discreto, de datos muestreados o digital, dependiendo

del tipo de señal presente en el sistema.

Tipos de señales:

Señal de tiempo continuo: Una señal continua es una señal "suave" que está definida

para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los números reales.

Señal análoga: Señal de tiempo continuo con un rango continuo de amplitud; por

ejemplo, la salida del sistema de control. Ver figura 1.5

Figura 1.5: Señal análoga

Señal de tiempo discreto: Una señal discreta es una señal discontinua que está

definida para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de losnúmeros enteros.

Figura 1.6: Señal de datos discretos

Señal de datos muestreados: Señal de tiempo discreto en un rango continuo de

valores; por ejemplo, el muestreo de una señal análoga. Ver figura 1.7.

Figura 1.7: Señal de datos muestreados


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Así, a partir del tipo de señal presente en el sistema, los sistemas se clasifican en:

Sistemas análogos: Sólo contienen señales análogas; se describen mediante

ecuaciones diferenciales.

Sistemas discretos: Sólo contienen señales discretas; se describen mediante

ecuaciones de diferencia.

Sistemas de datos muestreados: Tienen señales discretas y señales de tiempo

continuo.

Sistemas digitales: Se incluyen señales de tiempo continuo y señales digitales en

forma de código numérico.

1.3.

Representación en diagrama de bloquesUn sistema de control puede tener varios componentes que muestren las funciones que cada

uno de estos realizan en un sistema de control.

Los sistemas de control se pueden representar en forma de diagramas de bloques para

describir las partes que conforman a un sistema, en los que se ofrece una expresión visual y

simplificada de las relaciones entre la entrada y la salida de un sistema físico.

Debido a que se puede calcular la respuesta de una función de transferencia, es deseable

representar otros sistemas más complicados por la interconexión de numerosos subsistemas

como una sola función de transferencia.

La representación por diagramas de bloques; están compuestos por bloques, sumadores,

puntos de reparto, flechas y las señales o variables.

Las variables se representan por medio de flechas y están en el dominio

transformado: Representan la dirección de las señales; esta dirección corresponde a

la información de control, no de potencia.

Un sumador es usado para mostrar la adición o sustracción de señales. Un sumador

puede tener una infinidad de señales de entrada, pero una única salida.

Una unión o bifurcación indica que una señal se distribuye por varios caminos.


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(a)

(b) (c)

Figura 1.8.- (a) Diagrama de bloques, (b) Punto suma, (c) Punto derivación o bifurcación

1.4. Ejemplos de sistemas de control

Se presentan a continuación unos ejemplos de sistemas de control de lazo cerrado.

- Sistema de control de velocidad: Para el caso en que se quiera controlar la velocidad de un

coche mediante un sistema en lazo cerrado, la variable de referencia es la velocidad deseada

del coche, el motor del coche es el actuador, la planta es el coche en sí, posibles

perturbaciones pueden ser la aparición de una cuesta, la actuación del viento, etc., la salida

del sistema es la velocidad real del coche, y el sensor, un velocímetro, mide dicha velocidad.

- Sistema de control de temperatura: Otro caso es el control de la temperatura de una

habitación. La variable de referencia es la temperatura deseada de la habitación, los

actuadores son los radiadores (o el aparato de aire acondicionado), la ley de control es el

termostato, y las perturbaciones son las calorías que entran y salen de la habitación o que

generan las personas u otros equipos que no sean los actuadores. El sensor que mide la

temperatura de la habitación puede ser un simple termómetro.

- Sistema de control de posición: Ahora se quiere controlar un péndulo como el de la Figura

1.9, para que se mantenga en un estado de equilibrio vertical. Las perturbaciones son

cualquier fuerza que intente sacar el péndulo de su posición de equilibrio. Si se trabajase en

lazo abierto no se podría saber en qué posición se encontraría el péndulo en cada momento,

y nunca se podría alcanzar el objetivo. Es imprescindible, para este caso, utilizar un sistema

de control en lazo cerrado.


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Figura 1.9: Péndulo simple invertido

Diagrama de bloques de un Sistema de control de Tensión: Ver figura 1.10.

Figura 1.10.- sistema de control de Tensión

Diagrama de bloques de un Sistema de control de velocidad: Ver figura 1.11.

Figura 1.11.- Sistema de control de velocidad

1.5. Análisis

Analizar un sistema es determinarle sus características de funcionamiento que cuantifiquen:

La velocidad de respuesta

Su exactitud permanente

El grado de estabilidad


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Se considerarán tres pasos generales para el análisis de un sistema de control:

1.

Obtener una idea cualitativa de su funcionamiento; básicamente se logra obteniendo

los elementos y señales del bucle típico y observando la secuencia de eventos, luego

de una variación en la entrada deseada o del disturbio.

2. Establecer un modelo matemático que represente al sistema:

En una representación entrada-salida, los diferentes componentes del sistema se

representan por funciones de transferencia y se interconectan construyéndose así

un diagrama de bloques o un gráfico de flujo de señal. (Control clásico)

En una representación del estado interno del sistema utilizando variables de

estado. (Control moderno)

3. Analizar el sistema mediante:

á: é í

:{

1.6. Diseño

Diseñar un sistema de control, es obtener uno que cumpla determinadas especificaciones de

funcionamiento; las especificaciones de funcionamiento son los límites, rangos o cotas de

las características. Esto se logra ajustando el controlador.

En el enfoque clásico, el diseño más usual es por análisis; con cuatro pasos generales:

1. Conocer las especificaciones y expresarlas en términos matemáticos.

2. Analizar el sistema; mediante tanteos con la guía de un método de compensación,

ajustar el controlador hasta cumplir con las especificaciones.

3. Verificar el funcionamiento mediante simulación digital para incluir dinámicas no

modeladas, no linealidades, perturbaciones, etc., realizar reajustes.

4. Ajuste en sitio, realizar reajustes.


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En el enfoque moderno, el diseño se realiza por un procedimiento analítico, lo que se conoce

como Síntesis.

En resumen podemos decir que:

1. Los sistemas de control han sido de gran impacto para el desarrollo de nuestra sociedad

ya que han permitido:

Automatizar tareas humanas repetitivas, tediosas y/o peligrosas.

Trabajar con tolerancias muchos menores, mejorando la calidad de los productos.

Disminuir costos de producción en mano de obra e insumos.

Mejorar la seguridad de operación de las máquinas y procesos.

2. Los sistemas de control tienen vastas áreas de aplicación en:

Industrias del transporte, incluyendo la aeroespacial; procesos químicos y biológicos;

sistemas mecánicos, eléctricos y electromecánicos; agroindustria, industrias de

procesos y de manufactura; sistemas económicos, políticos y sociales.

3. Los encontramos en nuestra cotidianidad :

Desde la nevera hasta el sistema de control de combustión electrónica de los

automóviles y así como en nuestro propio cuerpo: control de la temperatura corporal,

presión arterial, equilibrio,...

El simple acto de señalar con el dedo es un sistema de control.

Ahora bien, su aplicación requiere de varias tecnologías como la informática, la eléctrica, la

electrónica y las comunicaciones; también exige buena fundamentación matemática y

conocimientos del proceso a controlar.

De lo anterior se deriva que los sistemas de control sean un área multidisciplinar y

transversal a las ingenierías y a otras ciencias.

2.- Transformadas de Laplace

2.1. Introducción

El propósito de las transformadas de Laplace es crear modelos matemáticos a partir de

diagramas esquemáticos de sistemas físicos. A medida que avancemos, veremos que en cada

caso el primer paso en la creación de un modelo matemático consiste en aplicar las leyesfísicas fundamentales de la ciencia e ingeniería. Por ejemplo, cuando realizamos un modelo


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de redes eléctricas, se aplican inicialmente la ley de ohm y las leyes de Kirchhoff, que son

las leyes básicas de las redes eléctricas.

2.1. Transformadas de Laplace como operador matemático

Las transformadas de Laplace son una herramienta matemática empleada principalmente

para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. En este sentido supone una

importante simplificación de las ecuaciones porque con su empleo se consigue:

transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas

transformar funciones de tipo seno, coseno o exponencial en cocientes de

polinomios.

En relación a lo anterior, en la asignatura de Ingeniería de Control se aplicaran las

transformadas de Laplace a ecuaciones diferenciales y a señales de entrada. De este modo,

se podrá obtener, en el dominio de Laplace, cual es la respuesta de un sistema a una

determinada entrada o excitación. Las transformadas de Laplace también constituyen el

primer paso hacia el estudio de un sistema en el dominio de la frecuencia.

2.2. Transformada de Laplace de funciones comunes

Para todas las funciones presentadas, se supone que son nulas para < 0.2.2.1. Función exponencial

ℒ− 1

2.2.2. Función escalón unitario

ℒ1 1 2.2.3. Función rampa unitaria

ℒ 1 2.2.4. Funciones seno y coseno


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ℒ sin ℒ cos

2.3. Teoremas

2.3.1. Teorema de la diferenciación real

Sea 0 ∀ < 0 para la que existe transformada de Laplace ℒ Entonces

ℒ [ ] 0

2.3.2. Teorema del valor final

lim→∞ lim→ 2.3.3. Teorema del valor inicial

Sea 0 ∀ < 0 ℒ. Se supone que existe transformada deLaplace para

y su derivada. Entonces

ℒ+ [ ] 0+ El límite de la anterior expresión para → ∞ es

lim→∞∫ [ ] −∞ lim→∞ 0+ Si

es de orden exponencial, el primer miembro es cero cuando

tiende a infinito. Por

tanto

0+ lim→∞ 2.3.4. Teorema de la integración real

Sea 0 ∀ < 0. Se supone que existe transformada de Laplace para , ℒ

. Entonces existe la transformada de Laplace de su integral y vale


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ℒ [ ∫ ] 1 ∫ |= Si el valor inicial de la integral es cero o bien se realiza la transformada de Laplace sobre la

integral definida de con límite inferior en 0, entonces:ℒ [ ∫ ] es decir, que la transformada de Laplace de la integral supone una división por de latransformada de la función original.

Tablas de Transformadas de Laplace

Como paso previo a la obtención del modelo de un sistema dinámico, es necesario conocer

una herramienta matemática de vital importancia para obtener la función de transferencia de

un sistema lineal: la transformada de Laplace. En el desarrollo del curso se usaran tablas de

transformadas de Laplace. En la tabla 2.1 puede observarse la transformada de Laplace de

algunas funciones básicas

1 1 2 ó ó 1 3 − 1 4 1 5 ! + 6 1 1 − 1 7 sin 8 cos

9 − 1 10 − sin 11 − cos 12 − − 13 − cos sin 14 1 (− −) 1 Tabla2.1: Transformadas de Laplace de algunas funciones básicas


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2.4. Transformada inversa de Laplace

Es posible obtener la transformada inversa de Laplace de una función realizando una

integración compleja o bien haciendo coincidir la función de la que se quiere hallar la

transformada inversa de acuerdo a alguno de los patrones conocidos de transformadas de

funciones.

Así, si se quiere obtener la transformada de Laplace de una función del tipo

será más sencillo descomponer la anterior función en esta otra

cuya transformada inversa es un seno más un coseno.

Este procedimiento será el habitual para la obtención de la transformada inversa de una señal

de respuesta.

2.4.1. Descomposición en fracciones simples

A continuación se verán algunos ejemplos de obtención de la transformada inversa de

cocientes de polinomios.

Ejemplo 1. Polos reales

2 1 3 2 2 1 2 1 Se ensaya una solución del tipo

2 1 con lo que

2 2 1

Igualando coeficientes encontramos los valores de y , los cuales son:


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3 1 Por tanto puede escribirse como:

3 2 1 1 Cuya transformada inversa es

3− Ejemplo 2. Polos reales con grado del numerador igual o mayor que el del denominador

6 13 7 3 2 Se realiza la división comprobándose que resulta

3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 Su transformada inversa es

3 3− Este ejercicio teórico carece de sentido físico dado que la respuesta está compuesta de un

impulso unitario, y aún peor, la derivada de un impulso. En realidad, la respuesta de un

sistema ante una entrada del tipo impulso, pulso o senoide se expresará como un cociente de

polinomios donde el grado del numerador siempre será menor que el del denominador.

En caso contrario la respuesta tendrá carácter impulsional, lo que no es natural.

Ejemplo 3. Polos complejos conjugados

3 5 4 13 En este caso se busca un patrón correspondiente a la transformada de una exponencial por

un seno o coseno. De este modo se puede escribir como

3 5 2 3 3 2 2 3 113 3 2 3


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Cuya transformada inversa es

3−

cos 3 11

3 −

sin 3

Ejemplo 4. Polos complejos conjugados más polo real

3 15 2 10 1 Se ensaya una solución del tipo

2 10 1

con lo que

2 10 3 15 resolviendo igualando coeficientes obtenemos 1, 5 2, con lo que

puede escribirse como

1 1 3 2 3 1 3 2 1

cuya transformada inversa es

− cos3 2− sin 3 2− Ejemplo 5. Polos reales múltiples

5 2

Se ensaya una solución del tipo 2 2 2 el cual origina la ecuación 4 4 2 5 resolviendo queda 1, 4 1, con lo que l ecuación puede escribirsecomo


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1 2 4 2 1 2 Teniendo en cuenta que

ℒ− 1 − ℒ− 1 2 −

obtenemos la función en el tiempo

− 4− 2 − 2.4.2. Descomposición en fracciones simples empleando Matlab

El paquete de cálculo matemático Matlab dispone de una función (residue) que realiza la

descomposición en fracciones simples de un cociente de polinomios. Para entender esta

función se definen:

residuos como los coeficientes de cada una de las fracciones simples

polos los valores que hacen cero los denominadores de las fracciones simples y

ceros los valores que hacen cero los numeradores de las fracciones simples

A continuación se muestran algunos ejemplos extraídos directamente de la ventana de

comandos de Matlab.

Ejemplo 1

num = [2 5 3 6]; % Vector fila con los coeficientes del numerador

den = [1 6 11 6]; % y otro con los coeficientes del denominador

printsys(num,den,'s') % Los muestra como cociente de polinomios en s

num/den =

2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6

-----------------------

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

[r,p,k] = residue(num,den)

% Calcula los residuos, los polos y el polinomio independiente

r =

-6

-4

3

p =

-3-2


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20

-1

k =

2

es decir

2 6 3 4 2 3 1 % residue también realiza la función inversa

[num,den] = residue(r,p,k)

num =

2 5 3 6

den =

1 6 11 6

Ejemplo 2

El inconveniente de la función residue es que la descomposición no es inmediata cuando se

trata de polos complejos conjugados

num = [2 5];

den = [1 2 10];

[resid polos k] = residue(num,den)

resid =

1.00 - 0.50i

1.00 + 0.50i polos =

-1.00 + 3.00i

-1.00 - 3.000ik =

[]

lo que obliga a realizar cálculos posteriores para la obtención de la respuesta temporal.

Así, si se denomina r al primer residuo y p al primer polo, se tendrá que para cada par de

polos conjugados las fracciones simples expresadas en sus partes reales e imaginariasresultarían

ℜ ℑ ℜ ℑ ℜ ℑ ℜ ℑ cuya transformada inversa es

ℜ ℑℜ

ℑ

ℜ ℑℜ

−ℑ

2ℜℜ cosℑ 2ℑℜ sinℑ


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la respuesta temporal obtenida de la fórmula anterior es

2− cos3 − sin3 Ejemplo 3

Otra función bastante útil es tf2zp que proporciona el conjunto de ceros, polos y la ganancia

que corresponden a un cociente de polinomios.

num = [4 16 12]; den = [1 12 44 48 0]; [z, p k] = tf2zp(num,den)

% Calcula los ceros, polos y ganancia del cociente de polinomios

z =

-3

-1

p = 0

-6

-4

-2

k =

4

lo que significa que

4

16 12 12 44 48 4 3

1

6 4 2

Esta función también tiene su inversa zp2tf, aunque para llamarla es preciso que sus

parámetros (ceros, polos y ganancias) estén dispuestos en columnas

% Los argumentos de la funci¶on inversa han de ser columnas

p = [0 -2 -4 -6]'; z = [-1 ; -3]; k = 4;

[num den] = zp2tf(z, p,k);

printsys(num,den,'s')

num/den =

4 s^2 + 16 s + 12

----------------------------

s^4 + 12 s^3 + 44 s^2 + 48 s

2.4.3. Ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo


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Se parte de un sistema como el de la figura siguiente donde las ecuaciones diferenciales que

marcan la evolución del sistema son lineales y cuyos coeficientes son invariantes en el

tiempo; el sistema está excitado por una señal de entrada variable en el tiempo. En esta

situación, la respuesta del sistema puede obtenerse resolviendo en el dominio del tiempo la

ecuación diferencial aplicada a la entrada. Esto entraña cierta dificultad, no existiendo en

algunas circunstancias un procedimiento sistemático para su resolución.

Figura 2.1: Respuesta de un sistema a una excitación

Sin embargo, en el dominio de Laplace puede obtenerse la respuesta del sistema como el

producto de la transformada de la ecuación diferencial multiplicado por la transformada de

la señal de excitación. Una vez obtenida la respuesta en el dominio de Laplace, puede

antitransformarse para obtener la correspondiente respuesta temporal.

A continuación se plantearán diferentes casos en los que se emplean transformadas de

Laplace para resolver ecuaciones diferenciales.Evolución de la velocidad de un motor

En este ejemplo se hallará la evolución de la velocidad de un motor de corriente continua al

que se le aplica una entrada escalón de valor en la corriente de inducido. El motor partede velocidad cero.

Las ecuaciones simplificadas de un motor de corriente continua indican que el par generado

es proporcional a la intensidad de la corriente del inducido Por otro lado la ecuación mecánica para un accionamiento donde existe un rozamiento yuna inercia es

Aplicando la transformada de Laplace queda


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Ω Ω donde y Ω son respectivamente las transformadas de Laplace de y .Adelantándonos a las funciones de transferencia, puede verse que en el dominio de Laplace

existe una relación entre excitación y respuesta, dada por

Ω Considerando una entrada se obtiene una respuesta

Ω

1

cuya respuesta en el tiempo es

1 − Por tanto los pasos a seguir para obtener la respuesta de un sistema a una determinada

excitación son:

1.

Obtener la función de transferencia a partir de la ecuación diferencial delsistema2. Hallar la transformada de Laplace de la excitación

3. Obtener la respuesta en el dominio de Laplace multiplicando ambas funciones

4. Hallar la transformada inversa de la función de respuesta para obtener la evolución

temporal

Resolución de ecuación diferencial con condiciones iniciales no nulas

Las transformadas de Laplace permiten transformar una derivada en una multiplicación por

la variable compleja y una integral en una división por s. En relación a la derivada, laanterior afirmación se cumple sólo si en 0 se anula la función a la que se aplica laderivada. En caso contrario, sigue siendo posible el hallar la transformada de Laplace de la

derivada, aunque aparece un término adicional.

Como ejemplo, se tiene el sistema

̈ 3̇ 2 0 con 0 y ̇0


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Su transformada de Laplace será

3 2 0

con lo que

3 3 2 2 1 2 finalmente en función del tiempo queda

2 − − Sistema muelle-amortiguador

Hallar la evolución temporal de la posición en vertical del sistema de la figura siguiente, que

parte de una posición inicial de 1 y de una velocidad inicial de ascenso de 2/.

Figura 2.2: Respuesta de un sistema muelle-amortiguador

La única dificultad añadida de este ejemplo estriba en identificar a la gravedad como señal

de entrada. Se resuelve simplemente considerándola como una función escalón que se aplica

a partir de 0. Para simplificar, se considerará un valor de gravedad igual a g= 10 ⁄ .Con esto, la ecuación diferencial del movimiento resulta

2̈ 4̇ 10 10 con 0 1 y ̇0 2 Aplicando la transformada de Laplace queda

10 2 5 y en función del tiempo

2 −

cos2 3−

sin2

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