Apresentação do PowerPointjucienebertoldo.com/wp-content/uploads/2020/05/M9...MATEMÁTICA – 9.° ANO 4 r O gráfico de uma função de 2.º grau é uma PARÁBOLA com concavidade

MATEMÁTICA – 9.° ANO 1

MARCELO CRIVELLA

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

TALMA ROMERO SUANE

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS

SUBSECRETARIA DE ENSINO

KATIA REGINA DAS CHAGAS MOURA

GERÊNCIA DE ENSINO FUNDAMENTAL

SILVIA MARIA SOARES COUTO

ORGANIZAÇÃO

CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL

DALTON DO NASCIMENTO BORBA

ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA

NELSON GARCEZ LOURENÇO

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

AGRADECIMENTOS ESPECIAIS(IMAGENS DA CAPA)

MOANA MARTINS E EQUIPE

ORQUESTRA SINFÔNICA JUVENIL CARIOCA

MULTIRIO

CONTATOS E/SUBE

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Telefones: 2976-2301 / 2976-2302

EDIGRÁFICA

IMPRESSÃO

FÁBIO DA SILVA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR

DESIGN GRÁFICO


1- No plano cartesiano apresentado a seguir, as coordenadas

da casa e da árvore são, respectivamente,

(A) (2, 3) e (1, –2).

(B) (2, 3) e (–2, 1).

(C) (3, 2) e (1, –2).

(D) (3, 2) e (–2, 1).

2- Qual das funções a seguir é polinomial de 1.º grau?

(A) 𝒚= 21

(B) 𝒚 = 𝓍³ – 7

(C) 𝒚 = 2𝓍 + 3

(D) 𝒚 = 𝓍² – 3𝓍 + 1

4- Um estacionamento cobra R$ 5,00 por estadia, mais

R$ 1,50 por hora de estacionamento.

Sendo 𝒚 o valor pago, por 𝒙 horas, pelo veículo estacionado,

a função que expressa essa situação é:

(A) 𝒚 = 5 + 1,5 𝓍

(B) 𝒚 = 5 – 1,5 𝓍

(C) 𝒚 = 5𝓍 + 1,5

(D) 𝒚 = 6,5

3- No começo do ano passado, o foguete fabricado no

Brasil, VS-30/Orion, lançou com sucesso o experimento

atmosférico europeu ICI-4. O lançamento foi realizado da

base de Andoya, na Noruega.

Leia a figura:

GABARITO: B

GABARITO: C

GABARITO: C

GABARITO: A

altura

. –4 –3 –2 –1

0

1 2 3 4 5

–1

–2

–3

1

2

3

4

5

𝒙

𝒚 Podemos afirmar que a altura

alcançada, quando ele percorrer 2

mil metros (para 3 = 1,7) será de

(A) 1 000 m.

(B) 1 500 m.

(C) 1 700 m.

(D) 3 400 m.


FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2.º GRAU (FUNÇÃO QUADRÁTICA)

A figura, apresentada a seguir, representa um terreno retangular com uma piscina ao centro. Em volta da piscina, o terreno será gramado.

Para calcular a área a ser gramada, precisamos calcular a área total do

terreno e retirar a medida da área do espelho d’água da piscina.

Sendo assim,

a área total da figura é: x∙2x = 2x²;

a área do espelho d’água da piscina (retângulo azul) é: 3∙(x – 5).

Com essas informações, podemos determinar a área a ser gramada da

seguinte maneira:

2x² – 3∙(x – 5), ou seja, 2x² – 3x + 15

Indicando essa área por 𝒚, teremos:

𝒚 = 2x² – 3x + 15

A função definida por 𝒚 = 2x² – 3x + 15 é um exemplo de função polinomial

de 2.o grau (ou função quadrática).

Uma função polinomial de 2.º grau é toda função do tipo

ou

com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0, e é definida para todo 𝓍 que

seja um número real.

𝒚 = ax² + bx + c

Leia os exemplos:

a) 𝒚 = x² – 6𝓍 + 3

sendo a = 1, b = – 6 e c = 3

b) 𝒚 = – x² + 8

sendo a = – 1, b = 0 e c = 8

c) 𝒚 = – 2x² – 6x

sendo a = – 2, b = – 6 e c = 0

f(x) = ax² + bx + c

2𝓍

𝓍

𝔁 – 5

3

Muito legal!!!!

ESPELHO D’ÁGUA


O gráfico de uma função de 2.º grau é uma PARÁBOLA com concavidade (abertura da parábola) voltada para cima ou para baixo.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU

http

://ww

w.m

useuvirtu

alb

rasil.c

om

.br

Ponte JK, que liga o Lago Sul, Paranoá e São Sebastião ao Plano

Piloto em Brasília. Possui três arcos em forma de parábola.

Para entender o gráfico da função de 2.o grau, acompanhe o seguinte

exemplo:

A bola de basquete faz a seguinte trajetória até a cesta (Veja a

imagem). Essa curva representa o gráfico de uma função de 2.º grau

e chama-se PARÁBOLA.

http

://ww

w.in

epac.rj.g

ov.b

r

Passarela do Samba – Sambódromo - RJ

Essas imagens são de

construções formadas por curvas

conhecidas como parábolas.


Para construir o gráfico de uma função polinomial de 2.º grau, podemos fazer o mesmo que na função

polinomial de 1.º grau:

atribuímos valores para 𝓍 e encontramos o correspondente em 𝒚, formando pares ordenados (x , y);

localizamos esses pontos no plano cartesiano;

ligamos esses pontos por meio de uma linha curva denominada parábola.

Exemplos:

– 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

– 1

– 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(1, 0) (3, 0)

(4, 3)

(0, 3)

(–1, 8) (5, 8)

(2, –1)

𝓍

𝒚

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU

𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 3 𝒚 (𝔁, 𝒚)

Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 4(–1) + 3

𝒚 = 1 + 4 + 3 𝒚 = 8 (–1, 8) A

Para 𝓍 = 0 𝒚 = (0)² – 4(0) + 3

𝒚 = 0 – 0 + 3 𝒚 = ___ (0, ___) B

Para 𝓍 = 1 𝒚 = (1)² – 4(1) + 3

𝒚 = ___ (___,___) C

Para 𝓍 = 2 𝒚 = (2)² – 4(2) + 3

𝒚 = ___ (___,___) D

Para 𝓍 = 3 𝒚 = (3)² – 4(3) + 3

𝒚 = ___ (___,___) E

Para 𝓍 = 4 𝒚 = (4)² – 4(4) + 3

𝒚 = ___ (___,___) F

Para 𝓍 = 5 𝒚 = (5)² – 4(5) + 3

𝒚 = ___ (___,___) G

O vértice da parábola de uma função

quadrática é o ponto máximo ou o ponto

mínimo da curva (depende da

concavidade).

3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

𝒚 = 1 – 4 + 3

𝒚 = 4 – 8 + 3

𝒚 = 9 – 12 + 3

𝒚 = 16 – 16 + 3

𝒚 = 25 – 20 + 3

Observe os pares

ordenados (𝒙, 𝒚) no

plano cartesiano. A

união deles formou a

parábola.

O vértice encontra-

se, exatamente, no

lugar em que a

parábola faz a curva.

Vértice da parábola

A

B

C

D

E

F

G

3

0

–1

0

3

8

𝒚 = 𝒙² – 4𝒙 + 3 A) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 4x + 3.

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJklPo_LUaZNnetG3k

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJklPo_LUaZNnetG3k


B) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = x² – 2x + 1.

𝒚 = x² – 2x + 1 𝒚 (𝔁, 𝒚)

Para 𝓍 = –1 𝒚 = (–1)² – 2(–1) + 1

𝒚 = 1 + 2 + 1 𝒚 = 4 (–1, 4)

Para 𝓍 = 0 𝒚 = (0)² – 2(0) + 1

𝒚 = 0 – 0 + 1 𝒚 = 1 (0, ___)

Para 𝓍 = 1 𝒚 = (1)² – 2(1) + 1 𝒚 = 1 – 2 + 1

𝒚 = 0 (1, ___)

Para 𝓍 = 2 𝒚 = (2)² – 2(2) + 1

𝒚 = 4 – 4 + 1 𝒚 = _____ (2, ___)

Para 𝓍 = 3 𝒚 = (3)² – 2(3) + 1

𝒚 = 9 – 6 + 1 𝒚 = _____ (___, ___)

Complete a tabela acima.

Observe os pares ordenados (x, 𝒚) no

plano cartesiano. Marque os pontos

determinados por esses pares.

Ligando-os, construiremos a parábola.

As coordenadas do

vértice da parábola

são (1, 0).

1

0

1 1

4 3 4

– 2 – 1 0 1 2 3 4

– 1

1

2

3

4

5

(1, 0)

(0, 1) (2, 1)

(– 1, 4) (3, 4)

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJklK-wrnXduGZST3t

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJklK-wrnXduGZST3t


1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 7

– 8

– 9

– 1 0 1 2 3 4 5 6

C) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 6𝓍 – 8.

𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 8 𝒚 (𝒙, 𝒚)

Para 𝒙 = 0 𝒚 = – (0)² + 6(0) – 8

𝒚 = – 0 + 0 – 8 𝒚 = –8 (0, –8)

Para 𝒙 = 1 𝒚 = – (1)² + 6(1) – 8

𝒚 = – 1 + 6 – 8 𝒚 = –3 (1, –3)

Para 𝒙 = 2 𝒚 = – (2)² + 6(2) – 8

𝒚 = – 4 + 12 – 8 𝒚 = 0 (2, ___)

Para 𝒙 = 3 𝒚 = – (3)² + 6(3) – 8

𝒚 = – 9 + 18 – 8 𝒚 = 1 (3, ___)

Para 𝒙 = 4 𝒚 = – (4)² + 6 (4) – 8

𝒚 = – 16 + 24 – 8 𝒚 = _____ (4, ___)

Para 𝒙 = 5 𝒚 = – (5)² + 6 (5) – 8

𝒚 = – 25 + 30 – 8 𝒚 = _____ (___, ___)

Para 𝒙 = 6 𝒚 = – (6)² + 6 (6) – 8

𝒚 = – 36 + 36 – 8 𝒚 = _____ (___, ___)

Complete os valores

que estão faltando

na tabela!!!

As coordenadas do


são (___, ___).

0

1

0 0

–3 5 –3

–8 6 –8

3 1

Localize, no plano cartesiano, os

pontos (𝒙, 𝒚). Depois, trace a

parábola!!!

𝒚

𝒙


D) Construindo o gráfico da função definida por 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2.

𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 – 2 𝒚 (𝓍, 𝒚)

Para 𝓍 = –1 𝒚 = – (–1)² + 2(–1) – 2

𝒚 = – 1 – 2 – 2 𝒚 = –5 (–1, –5)

Para 𝓍 = 0 𝒚 = – (0)² + 2(0) – 2

𝒚 = – 0 + 0 – 2 𝒚 = –2 (0, ___)

Para 𝓍 = 1 𝒚 = – (1)² + 2(1) – 2

𝒚 = – 1 + 2 – 2 𝒚 = _____ (1, ___)

Para 𝓍 = 2 𝒚 = – (2)² + 2(2) – 2

𝒚 = – 4 + 4 – 2 𝒚 = _____ (___, ___)

Para 𝓍 = 3 𝒚 = – (3)² + 2(3) – 2

𝒚 = – 9 + 6 – 2 𝒚 = _____ (___, ___)

Lembre-se de completar

os valores que estão

faltando na tabela,

localizar os pontos no

plano cartesiano e traçar

a parábola!!!

–2

–1 –1

–2 2 –2

–5 3 –5

As coordenadas do


são (___, ___). 1 –1

– 2 – 1 0 1 2 3 4

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6


x 𝒚 = x² – 3 𝒚 (x, 𝒚)

–2 𝒚 = (–2)² – 3

𝒚 = 4 – 3

1 (–2, 1)

–1

0

1

2

AGORA,

É COM VOCÊ!!!

1- Complete a tabela:

2- Localize os pares ordenados da atividade anterior no

plano cartesiano apresentado a seguir. Depois, trace a

parábola:

(–1, –2)

(0, –3)

(1, –2)

(2, 1)

𝒚 = (–1)² – 3

𝒚 = 1 – 3

𝒚 = 0² – 3

𝒚 = 0 – 3

𝒚 = 1² – 3

𝒚 = 1 – 3

𝒚 = 2² – 3

𝒚 = 4 – 3

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3

– 1

– 2

– 3

3

2

1 –2

–3

–2

1

𝒚

x


𝓍 𝒚 = – 𝓍² + 2𝓍 + 3 𝒚 (𝓍, 𝒚)

–1 𝒚 = – (–1)² + 2(–1) + 3

𝒚 = – 1 – 2 + 3

0 (–1, 0)

0

1

2

3




parábola:

3 (0, 3)

4 (1, 4)

3 (2, 3)

0 (3, 0)

𝒚 = – 0² + 2∙0 + 3

𝒚 = 0 + 0 + 3

𝒚 = – (1)² + 2∙1 + 3

𝒚 = – 1 + 2 + 3

𝒚 = – (2)² + 2∙2 + 3

𝒚 = – 4 + 4 + 3

𝒚 = – (3)² + 2∙3 + 3

𝒚 = – 9 + 6 + 3

– 2

– 2

1

2

3

4

– 1 0 1 2 3

– 1

𝒚

x


𝓍 𝒚 = 𝓍² + 2𝓍 – 3 𝒚 (𝓍, 𝒚)

–3 𝒚 = (–3)² + 2(–3) – 3

𝒚 = 9 – 6 – 3

0 (–3, 0)

–2

–1

0

1




parábola:

–3 (–2, –3)

–4 (–1, –4)

–3 (0, –3)

0 (1, 0)

𝒚 = (–2)² + 2(–2) – 3

𝒚 = 4 – 4 – 3

𝒚 = (–1)² + 2(–1) – 3

𝒚 = 1 – 2 – 3

𝒚 = 0² + 2∙0 – 3

𝒚 = 0 + 0 – 3

𝒚 = 1² + 2∙1 – 3

𝒚 = 1 + 2 – 3

– 3 – 2 – 1 0

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

1 2

𝒚

x

a) As coordenadas do vértice desta parábola são (___,___). – 1 – 4


𝓍 𝒚 = 𝓍² – 4𝓍 + 4 𝒚 (𝓍, 𝒚)

0 𝒚 = (0)² – 4(0) + 4

𝒚 = 0 – 0 + 4

4 (0, 4)

1

2

3

4




parábola:

1 (1, 1)

0 (2, 0)

1 (3, 1)

4 (4, 4)

𝒚 = (1)² – 4(1) + 4

𝒚 = 1 – 4 + 4

𝒚 = (2)² – 4(2) + 4

𝒚 = 4 – 8 + 4

𝒚 = (3)² – 4(3) + 4

𝒚 = 9 – 12 + 4

𝒚 = (4)² – 4(4) + 4

𝒚 = 16 – 16 + 4 – 1 0 1 2 3 4 5

– 1

1

2

3

4

5

6

2 0

𝒚

x

a) As coordenadas do vértice desta parábola são (__,__).


● Se a > 0 concavidade voltada para “cima”.

● Se a < 0 concavidade voltada para “baixo”.

CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DE 2.º GRAU)

a) Quanto à concavidade da parábola:

Beatriz, observe que,

nas páginas 5 e 6, as

parábolas estão com as

concavidades voltadas

para cima.

Percebi, Vanessa! Mas, nas

parábolas das páginas 7 e 8,

as concavidades estão

voltadas para baixo.

Para saber em que direção a

concavidade está, basta

olhar o sinal do coeficiente de

𝓍². O valor de a!!!

Procure, no dicionário, o significado de concavidade. Escreva aqui.

__________________________________________________________________________________________________________________


b) Quanto às coordenadas do vértice:

● Se a > 0 o vértice é o ponto de mínimo (ponto mais baixo).

● Se a < 0 o vértice é o ponto de máximo (ponto mais alto).

A abscissa (x) do vértice, representada por 𝑥𝑣, pode ser calculada

pela seguinte fórmula:

A ordenada (𝒚) do vértice, representada por 𝑦𝑣, pode ser calculada,

substituindo-se o 𝓍 encontrado na função dada. Observe este exemplo:

𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎

Determinar as coordenadas do vértice da função

𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 4

𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎 =

− −6

2 ∙ 1 =

6

2= ______

𝑦𝑣 = ____ 2 − 6 _____ + 4 = ____ − ____ + 4 = ______

V(3, –5)

Com isso, determinamos,

exatamente onde a parábola

“faz” a curva.

O vértice dessa parábola se

localiza nas coordenadas

(3, –5).

3

3 3 9 18 – 5

E, nesse outro, o

ponto de máximo

é dado pelo maior

valor no eixo 𝒚.

A ordenada (𝒚) do vértice também pode ser encontrada pela fórmula:

𝑦𝑣 =

−∆

4𝑎

Nesse gráfico, o

ponto de mínimo

é dado pelo menor

valor no eixo 𝒚.

= b² – 4ac

= (–6)² – 4∙1∙4

= 36 – 16

= 20

𝑦𝑣 =−20

4 ∙ 1= −5

Mas, para isso, teremos que calcular o valor do delta .

Procure, no dicionário, o significado de mínimo e máximo. Escreva aqui:

___________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________


I. Se > 0 a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.

II. Se = 0 a parábola tangencia o eixo x em um ponto.

III. Se < 0 a parábola não toca no eixo x.

c) Quanto ao discriminante ( = b² – 4ac):

< 0

A parábola não

toca no eixo 𝓍.

= 0

A parábola

toca o eixo 𝒙 ,

apenas, em um

ponto.

> 0

A parábola corta o

eixo 𝒙 em dois

pontos distintos.

O discriminante () é o

mesmo que utilizamos na

fórmula de Bháskara

(equação de 2.º grau).


I II II II

– 1 1 2 3 4 5

– 1

0

1

2

3

4

5

6 y

x

– 1 1 2 3 4 5

– 1

0

1

2

3

4

5

6 y

x

– 1 1 2 3 4 5

– 1

0

1

2

3

4

5

6 y

x

– 1 1 2 3 4 5

– 1

0

1

2

3

4

5

6 y

x

– 1 1 2 3 4 5

– 5

0

– 4

– 3

– 2

– 1

1

6 y

x

– 1

1 2 3 4 5 0

5

6 y

x

– 1

– 2

– 4

3

– 5


AGORA,

É COM VOCÊ!!!

1- Sabendo-se que o gráfico de cada função quadrática é

uma parábola, determine a concavidade de cada uma delas

(para cima ou para baixo):

a) 𝒚 = x² + 7x + 6 _______________________________

b) 𝒚 = – 2x² + x – 3 _______________________________

c) 𝒚 = – x² + 5 _______________________________

d) 𝒚 = 3x² – 4x – 1 ______________________________

e) 𝒚 = x² + 9x – 7 ______________________________

2- Determine as coordenadas do vértice da parábola que

representa cada uma das funções quadráticas:

a) 𝒚 = x² – 10x + 9

b) 𝒚 = 𝔁² + 2x – 8

c) 𝒚 = x² – 2x + 1

d) 𝒚 = – x² + 9

a>0 concavidade para cima.

a<0 concavidade para baixo.

a<0 concavidade para baixo.



V(5, –16)

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−𝟐

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙𝒗 = −𝟏

V(1, 0)

V(0, 9)

V(–1, –9)

𝒚𝒗 = 𝔁² + 2𝔁 – 8

𝒚𝒗 =(–1)² + 2(–1) – 8

𝒚𝒗 = 𝟏 − 𝟐 − 𝟖 𝒚𝒗 = −𝟗

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−(−𝟐)

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙𝒗 = 𝟏

𝒚𝒗 = 𝒙² – 2𝔁 + 1

𝒚𝒗 =(1)² – 2(1) + 1

𝒚𝒗 = 𝟏 – 𝟐 + 𝟏

𝒚𝒗 = 𝟎

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−𝟎

𝟐 ∙ (−𝟏)

𝒙𝒗 = 0

𝒚𝒗 = – 𝐱² + 9

𝒚𝒗 = – 0² + 9

𝒚𝒗 = 𝟎 + 𝟗 𝒚𝒗 = 𝟗

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−(−𝟏𝟎)

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙𝒗 = 𝟓

𝒚𝒗 = 𝒙² – 10𝔁 + 9

𝒚𝒗 = (5)² – 10(5) + 9

𝒚𝒗 = 𝟐𝟓 − 𝟓𝟎 + 𝟗 𝒚𝒗 = −𝟏𝟔


4- Determine a existência e a quantidade de pontos em que a

função quadrática intercepta o eixo das abscissas (eixo x).

a) 𝒚 = 𝒙² – 7𝒙 + 6 b) 𝒚 = 2𝒙² + 5𝒙 + 3

c) 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 10 d) 𝒚 = 𝒙² + 14𝒙 + 49

= b² – 4ac

= (–7)² – 416

= 49 – 24

= 25

Resposta:

Intercepta em dois

pontos distintos.

= b² – 4ac

= (–6)² – 4110

= 36 – 40

= – 4

Resposta: Não

intercepta o eixo 𝒙.

= b² – 4ac

= 14² – 4149

= 196 – 196

= 0

Resposta:

Intercepta em um

único ponto.

= b² – 4ac

= 5² – 423

= 25 – 24

= 1

Resposta:

Intercepta em dois

pontos distintos.

3- Determine o ponto de mínimo ou o ponto de máximo em

cada um dos gráficos. Indique cada um desses pontos:

a) b)

_______________________ ____________________

c) d)

______________________ ______________________

– 1 0

1

2 3 4 5

2

3

– 1

– 2

– 3

1

0 – 2 – 3 – 4

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

1 – 1

3

2

1

– 1

0 – 1 1 2 3 4 5

6

5

4 – 1

– 1 – 2 – 3 – 4

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

0

Ponto de mínimo: (–2, –4)

Ponto de mínimo: (2, 1)

Ponto de máximo: (2, 2)

Ponto de máximo: (–2, –1)

Procure, no dicionário, o significado de interceptar. Escreva aqui.

___________________________________________________________________________________________________________________

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚


ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Os zeros ou raízes de uma função quadrática são os valores de x para os quais 𝒚 = 0 (os pontos que a parábola corta o eixo x).

Isso significa que, para achar os zeros de uma função quadrática, é só igualar a função a zero e resolver a equação de 2.º grau. Vamos ler

os exemplos:

Exemplo 1:

Determinar os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5𝔁 + 6:

Solução:

Igualando a função a zero:

x² – 5x + 6 = 0

a = 1

b = (–5)

c = 6

𝑥 = −(−5) ± 1

2 ∙ 1=

5 ± 1

2=

Resposta: Os zeros da função 𝒚 = 𝔁 ² – 5𝔁 + 6 são 2 e 3.

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

= (–5)² – 416

= 25 – 24

= 1

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎

𝑥′ =5 + 1

2=

6

2 = 3

𝑥′′ =5 − 1

2=

4

2 = 2

Exemplo 2:

Determinar os zeros da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9:

= 6² – 4(– 1)(– 9)

= 36 – 36

= 0

Solução:

Igualando a função a zero:

– 𝔁² + 6𝔁 – 9 = 0

a = (– 1)

b = 6

c = (– 9)

𝑥 = −6 ± 0

2 ∙ (− 1)=

−6 ± 0

−2=

Resposta: O zero da função 𝒚 = – 𝒙² + 6𝒙 – 9 é 3.

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑥 =−𝑏 ± ∆

2𝑎

𝑥′ =−6 + 0

−2=

−6

−2 = 3

𝑥′′ =−6 − 0

−2=

−6

−2 = 3

Igualando a função a

zero, teremos uma

equação de 2.º grau.

O que é mesmo função quadrática? Escreva aqui.

__________________________________________________________________________________________________________________


AGORA,

É COM VOCÊ!!!1- Determine os zeros de cada função

quadrática:

a) f(𝔁) = 𝔁 ² + 2𝔁 – 3

b) f(𝔁) = 5𝔁 ² + 20

c) f(𝔁) = 𝔁² – 8𝔁 + 16

d) f(𝒙) = 2𝒙² – 4𝒙

a = 1

b = 2

c = (–3)

∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = 𝟐² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ (−𝟑)

∆ = 𝟒 + 𝟏𝟐

∆ = 𝟏𝟔

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝒙 =−𝟐 ± 𝟏𝟔

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙 =−𝟐 ± 𝟒

𝟐

𝒙′ =−𝟐 + 𝟒

𝟐=

𝟐

𝟐= 𝟏

𝒙′′ =−𝟐 − 𝟒

𝟐=

−𝟔

𝟐= −𝟑

Resposta: –3 e 1

a = 5

b = 0

c = 20

∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = 𝟎² − 𝟒 ∙ 𝟓 ∙ 𝟐𝟎

∆ = 𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 ∆ = −𝟒𝟎𝟎

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝒙 =−𝟎 ± −𝟒𝟎𝟎

𝟐 ∙ 𝟓

Resposta: Essa função não possui zeros.

Não existe, em IR, raiz

quadrada de número

negativo.

a = 1

b = (– 8)

c = 16

∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = (−𝟖)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏𝟔

∆ = 𝟔𝟒 −64

∆ = 𝟎

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝒙 =−(−𝟖) ± 𝟎

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙 =𝟖 ± 𝟎

𝟐

𝒙′ =𝟖 + 𝟎

𝟐=

𝟖

𝟐= 𝟒

𝒙′′ =𝟖 − 𝟎

𝟐=

𝟖

𝟐= 𝟒

Resposta: 4

a = 2

b = (– 4)

c = 0

∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = (−𝟒)² − 𝟒 ∙ 𝟐 ∙ 𝟎

∆ = 𝟏𝟔 − 𝟎

∆ = 𝟏𝟔

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝒙 =−(−𝟒) ± 𝟏𝟔

𝟐 ∙ 𝟐

𝒙 =𝟒 ± 𝟒

𝟒

𝒙′ =𝟒 + 𝟒

𝟒=

𝟖

𝟒= 𝟐

𝒙′′ =𝟒 − 𝟒

𝟒=

𝟎

𝟒= 𝟎

Resposta: 0 e 2

Esta função quadrática

apresenta duas raízes

reais e diferentes.

Portanto, a mesma

corta em dois pontos

no eixo 𝔁.

Essa função

quadrática não

possui raízes reais.

Logo, a mesma não

toca no eixo 𝔁.

Esta função quadrática

apresenta duas raízes

reais e iguais. Logo,

toca em apenas um

ponto no eixo 𝔁.

Neste caso, a função quadrática apresenta duas raízes reais e

diferentes. Portanto, a mesma corta em dois pontos no eixo 𝔁.

𝔁 ² + 2𝔁 – 3 = 0

5𝔁 ² + 20 = 0

𝔁² – 8𝔁 + 16 = 0

2𝒙² – 4𝒙 = 0


2- Sendo 𝒚 = 𝔁² + 2𝔁 – 3, determine

a) os zeros da função (𝒚 = 0):

b) as coordenadas do vértice 𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎 𝑒 𝑦𝑣 =

−∆

4𝑎 :

a = 1

b = 2

c = – 3

Resposta : (– 1, – 4)

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−𝟐

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙𝒗 = −𝟏

𝒚𝒗 =−∆

𝟒𝒂

𝒚𝒗 =−𝟏𝟔

𝟒 ∙ 𝟏

𝒚𝒗 = −𝟒

∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = 𝟐² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ (−𝟑)

∆ = 𝟒 + 𝟏𝟐

∆ = 𝟏𝟔

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝒙 =−𝟐 ± 𝟏𝟔

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙 =−𝟐 ± 𝟒

𝟐

𝒙′ =−𝟐 + 𝟒

𝟐

𝒙′ =𝟐

𝟐= 𝟏

𝒙′′ =−𝟐 − 𝟒

𝟐

𝒙′′ =−𝟔

𝟐= −𝟑

Resposta: –3 e 1

𝒚𝒗 = 𝔁² + 2𝔁 – 3

𝒚𝒗 =(– 1)² + 2(– 1) – 3

𝒚𝒗 = 𝟏 − 𝟐 − 𝟑 𝒚𝒗 = −𝟒

ou

c) a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo?

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

d) Esboço do gráfico:

Ao marcamos os zeros da função e o ponto do vértice no

gráfico, ligamos esses pontos e descobrimos que a parábola

possui a concavidade voltada para cima. Ou podemos chegar

a essa conclusão visto que a > 0. 𝔁² + 2𝔁 – 3 = 0

– 4 – 1

3

2

1

– 2 – 3 0 1 2

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

𝒙

𝒚


3- Sendo 𝒚 = – x² + 4, determine




−∆

4𝑎:


________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

d) esboço do gráfico:

Resposta: –2 e 2

Resposta: (0, 4)

a = –1

b = 0

c = 4

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−𝟎

𝟐 ∙ (−𝟏)

𝒙𝒗 = 𝟎

𝒚𝒗 =−∆

𝟒𝒂

𝒚𝒗 =−𝟏𝟔

𝟒 ∙ (−𝟏)

𝒚𝒗 = 𝟒

𝒚𝒗 = – 𝒙² + 4

𝒚𝒗 = 0² + 4

𝒚𝒗 = 𝟒

ou

Resolvendo como uma equação incompleta... −𝒙2 + 𝟒 = 𝟎

−𝒙2 = −𝟒 ∙ −𝟏

𝒙² = 𝟒

𝒙 = ± 𝟒

𝒙′ = −𝟐 𝒙′′ = 𝟐

∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = 𝟎² − 𝟒 ∙ (−𝟏) ∙ 𝟒

∆ = 𝟎 + 𝟏6

∆ = 𝟏𝟔

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝒙 =−𝟎 ± 𝟏𝟔

𝟐 ∙ (−𝟏)

𝒙 =−𝟎 ± 𝟒

−𝟐

𝒙′ =−𝟎 + 𝟒

−𝟐=

𝟒

−𝟐= −𝟐

𝒙′′ =−𝟎 − 𝟒

−𝟐=

−𝟒

−𝟐= 𝟐

– 1 – 2 – 3 0 1 2 3

1

2

3

4

5

– 1

– 2

–3

– x² + 4 = 0

Ao marcamos, os zeros da função e o ponto do vértice no

gráfico, ligamos esses pontos e descobrimos que a parábola

possui a concavidade voltada para baixo. Ou podemos

chegar a essa conclusão visto que a < 0.

𝒙

𝒚


4- Sendo 𝒚 = 𝔁² – 4𝔁 + 5, determine




−∆

4𝑎:


_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________


Resposta: Essa função não possui zeros:

o valor do delta é negativo.

Resposta: (2, 1)

Como “a”, na sentença que define a função, é positivo, a

concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0).

a = 1

b = – 4

c = 5

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−(−𝟒)

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙𝒗 = 𝟐

∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = (−𝟒)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟓

∆ = 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎

∆ = −𝟒

𝒚𝒗 =−∆

𝟒𝒂

𝒚𝒗 =−(−𝟒)

𝟒 ∙ 𝟏

𝒚𝒗 = 𝟏

𝒚𝒗 = 𝒙² – 4𝒙 + 5

𝒚𝒗 = 2² – 42 + 5

𝒚𝒗 = 4 – 8 + 5

𝒚𝒗 = 1

ou

– 2 1 0 – 1 2 3 4

– 2

– 1

3

4

5

6

𝔁² – 4𝔁 + 5 = 0

2

1

𝒙

𝒚



________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________


5- Sendo 𝒚 = x² – 2𝒙 + 1, determine




−∆

4𝑎:

Resposta: 1

Resposta: (1, 0)

a = 1

b = –2

c = 1

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−(−𝟐)

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙𝒗 = 𝟏

∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = (−𝟐)² − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙1

∆ = 𝟒 − 𝟒

∆ = 𝟎

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝒙 =−(−𝟐) ± 𝟎

𝟐 ∙ 𝟏

𝒙 =𝟐 ± 𝟎

𝟐

𝒙 =𝟐

𝟐

𝒙 = 𝟏

𝒚𝒗 =−∆

𝟒𝒂

𝒚𝒗 =−𝟎

𝟒 ∙ 𝟏

𝒚𝒗 = 𝟎

𝒚𝒗 = 𝒙² – 2𝒙 + 1

𝒚𝒗 = 1² – 2∙1 + 1

𝒚𝒗 = 1 – 2 + 1

𝒚𝒗 = 0

ou

– 2 1 0 – 1 2 3 4

6

5

4

2

3

1

x² – 2𝒙 + 1 = 0

Como “a”, na sentença que define a função, é positivo, a

concavidade da parábola está voltada para cima (a > 0).

𝒙

𝒚


1- Qual das funções, apresentadas a seguir, é quadrática?

(A)𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙² + 5 (B) 𝒚 = 𝒙² + 7𝒙 – 1

(C) 𝒚 = 𝒙 – 3𝒙 + 5 (D) 𝒚 = – 4𝒙 + 9

2- A função 𝒚 = a𝔁² + b𝔁 + c terá a concavidade voltada para

cima se

(A) a = 0. (B) a for par.

(C) a for negativo. (D) a não for positivo.

3- A função definida por 𝒚 = 𝒙² – 6𝒙 + 8 tem, como zero(s),

(A) 6 e 8.

(B) 5 e –5.

(C) 2 e 4.

(D) 1 e 9.

GABARITO: B

GABARITO: D

GABARITO: C

4- O gráfico que representa uma função polinomial de 2.º

grau é:

(A) (B)

(C) (D)

GABARITO: A

– 2

4

– 1 1 2

– 4

– 3

– 2

0

– 1

1

2

3

– 2

1

1 2

– 4

– 3

– 2

0

– 1

1

2

3

– 1

0 1

– 5

– 3

– 2

– 1

– 4

– 1 – 2 – 3

– 2

– 1

5

4

3

2

1

0 1 – 1 – 2 – 3

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚

𝒙

𝒚


5- Podemos afirmar que são os zeros da função

(A) –3.

(B) –3 e 1.

(C) –1 e 4.

(D) 0.

6 – As coordenadas do vértice da parábola são

(A) (–3, –0).

(B) (–3, 1).

(C) (–1, –4).

(D) (0, –3).

Leia o gráfico e responda às questões 5, 6, 7 e 8: 7- O valor do coeficiente de x² é

(A) zero. (B) positivo.

(C) negativo. (D) irracional.

8- O valor de 𝒚 quando x = 0 é

(A) –3. (B) 0.

(C) 3. (D) 5.

9- Dada a função f(𝔁)= 3𝔁 2 – 10𝔁 + 3, assinale a única

opção verdadeira.

(A) f(0)= –10.

(B) O gráfico é uma reta crescente.

(C) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada

para cima.

(D) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada

para baixo.

Agora, justifique o motivo pelo qual as demais opções

são falsas.

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

______________________________________________

GABARITO: B

GABARITO: C

GABARITO: A

GABARITO: B

GABARITO: C

– 3 –2 –1 0 1 2

1

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

(A) f(0)= 3 . 0² – 10 . 0 + 3 = 3

(B) É uma função do 2.° grau, o gráfico é uma parábola. (D) Para ter concavidade voltada para baixo, o “a”

deveria ser negativo.

𝒙

𝒚


PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÃO DE 2.º GRAU

Leia o exemplo:

Certa maçã, lançada para cima, a partir do solo, tem sua

altura h (em metros) expressa em função do tempo t (em

segundos), decorrido após o lançamento, pela seguinte lei

de formação:

h(t) = 18t – 3t2

a) Qual a altura em que esta maçã se encontra, um

segundo após o lançamento?

b) Qual a altura máxima que pode ser atingida pela maçã?

t = 1 s

h(1) = 18∙1 – 3∙1²

h(1) = 18 – 3 = 15

Resposta: 15 m.

Altura máxima é dada pelo 𝒉𝒗 do vértice. Veja:

𝒕𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒕𝒗 =−𝟏𝟖

𝟐 ∙ (−𝟑)

𝒕𝒗 = 𝟑

𝒉𝒗 = 18t – 3t2

𝒉𝒗 = 18∙3 – 3∙32

𝒉𝒗 = 54 – 27

𝒉𝒗 = 27

Resposta: 27 m.

c) Qual o tempo que a maçã permanecerá no ar até tocar o

chão?

a = –3

b = 18

c = 0 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = 𝟏𝟖² − 𝟒 ∙ (−𝟑) ∙ 𝟎

∆ = 𝟑𝟐𝟒

t=−𝒃± ∆

𝟐𝒂

𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟑𝟐𝟒

𝟐 ∙ (−𝟑)

𝒕 =−𝟏𝟖 ± 𝟏𝟖

−𝟔

𝒕′ =−𝟏𝟖 + 𝟏𝟖

−𝟔=

𝟎

−𝟔= 𝟎

𝒕′′ =−𝟏𝟖 − 𝟏𝟖

−𝟔=

−𝟑𝟔

−𝟔= 𝟔

Para determinar essa distância, basta calcular o

intervalo entre os zeros da função:

18t – 3t2 = 0

Resposta: 6 s.

6 – 0 = 6


AGORA,

É COM VOCÊ!!!

1- Depois de estudar o comportamento de uma bola,

arremessada para o alto e para frente, um pesquisador

elaborou a seguinte lei de formação para seu movimento:

𝒚 = – 2𝒙2 + 8𝒙 em que 𝒚 é a altura (em metros) e 𝒙, o

alcance horizontal (em metros). Observe o gráfico que

descreve a trajetória da bola:

Determine:

a) Qual a altura máxima atingida pela bola?

– 2𝒙2 + 8𝒙 = 0 a = – 2

b = 8

c = 0 ∆ = 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄

∆ = 𝟖² − 𝟒 ∙ (−𝟐) ∙ 𝟎

∆ = 𝟔𝟒

𝒙 =−𝒃 ± ∆

𝟐𝒂

𝒙 =−𝟖 ± 𝟔𝟒

𝟐 ∙ (−𝟐)

𝒙 =−𝟖 ± 𝟖

−𝟒

𝒙′ =−𝟖 + 𝟖

−𝟒=

𝟎

−𝟒= 𝟎

𝒙′′ =−𝟖 − 𝟖

−𝟒=

−𝟏𝟔

−𝟒= 𝟒

b) Qual a maior distância horizontal alcançada pela bola?

Resposta: 4 metros.

Para determinar essa distância, basta calcular o intervalo

entre os zeros da função:

Para determinar a altura máxima, temos que calcular

o valor de 𝒚v:

𝒙𝒗 =−𝒃

𝟐𝒂

𝒙𝒗 =−𝟖

𝟐 ∙ (−𝟐)

𝒙𝒗 =−𝟖

−𝟒

𝒙𝒗 = 𝟐

𝒚 = – 2𝒙2 + 8𝒙

𝒚𝒗 = – 2∙22 + 8∙2

𝒚𝒗 = –2∙4 + 16

𝒚𝒗 = –8 + 16

𝒚𝒗 = 8

Resposta: 8 metros.

htt

p:/

/bra

inly

.com

.br/

𝒚

𝒙


1- Determine a área de cada retângulo:

a)

b)

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

ÁREA DO RETÂNGULO

Em 2014, o campo do Estádio do Maracanã foi todo

reformado. Para isso, precisou-se saber a área ocupada

pelo gramado.

O cálculo é bem simples!! Basta multiplicar a medida do

comprimento pela medida da largura. Observe:

A = 8 4

A = 32 cm²

A = 5 9,5

A = 47,5 cm²

AGORA,

É COM VOCÊ!!!

comprimento

larg

ura

htt

p:/

/glo

boesport

e.g

lobo.c

om

Sabendo-se que as dimensões do campo do Maracanã

possuem 105 m de comprimento por 68 m de largura,

qual a sua área?

A = 105 68 = 7 140 m²

Resposta: Sua área é de 7 140 m².

8 cm

4 c

m

5 cm

9,5

cm

ÁREA DO RETÂNGULO

A = base(b) x altura(h)

ou

A = b . h

Agora, vamos calcular?


ÁREA DO QUADRADO

O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados são congruentes

(possuem a mesma medida).

Para calcular a área da superfície da mesa quadrada, apresentada a seguir, é

só elevar ao quadrado a medida do seu lado. Leia:

ÁREA DO PARALELOGRAMO

Apresentadas as medidas da base e da altura do paralelogramo, podemos

calcular a sua área. Veja:

1- Determine a área de cada figura:

a)

b)

c)

AGORA,

É COM VOCÊ!!!

A = (5,2)²

A = 27,04 cm²

A = 8 ∙ 4,2

A = 33,6 cm²

A = (95,1)²

A = 9 044,01 cm²

htt

ps:/

/br.

pin

tere

st.

co

m

4,2 cm

8 cm

Mesa de

tampo

quadrado

Observando a figura, podemos

concluir que a área de um

paralelogramo é igual à área

do retângulo. Então,

A = base(b) x altura(h)

ou

A = b . h

https://1drv.ms/p/s!AniSCOufQKAJklROeJT95KxziagR


ÁREA DO LOSANGO

ÁREA DO TRAPÉZIO

A parte amarela da bandeira brasileira é formada por um losango. A sua área será dada

pela multiplicação de suas diagonais e o valor encontrado será dividido por dois. Veja:


a)

b)

c)

AGORA,

É COM VOCÊ!!!

A = (𝟕,𝟓 + 𝟓,𝟓)∙𝟓

𝟐

A = 32,5 cm²

A = 6,4 ∙ 4

𝟐

A = 12,8 cm²

A = (7 + 1)∙4

𝟐

A = 16 cm²

diagonal menor(d)

diagonal maior(D)

https://pt.wikipedia.org

Esta maquete de uma ponte foi construída pelos alunos da Universidade Católica de

Pelotas (UCPel). Se observarmos bem, a sua lateral possui o formato de um trapézio.

htt

p:/

/ww

w.u

cp

el.e

du

.br

Para calcularmos a área de um

trapézio, utilizamos a seguinte fórmula:

Observe o cálculo para a área do losango:

TRAPÉZIO

TRAPÉZIO

LOSANGO

𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝐷 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (𝑑)

2

ou


AGORA,

É COM VOCÊ!!!


a)

b)

c)

A = 𝟔 ∙ 𝟓

𝟐

A = 15 cm²

ÁREA DO TRIÂNGULO

As laterais das Pirâmides do Egito são formadas por triângulos. Leia

na imagem:

A = 𝟒 ∙ 𝟔,𝟓

𝟐

A = 13 cm²

A = 𝟔,𝟓 ∙ 𝟒,𝟐

𝟐

A = 13,65 cm²

Se quisermos calcular a área de triângulos, basta multiplicarmos a

medida de sua base pela medida de sua altura e dividir o resultado

por 2:

htt

p:/

/revis

tagalil

eu.g

lobo.c

om


3- Para a Copa do Mundo de 2018, na Rússia, foram

compradas gramas naturais para todos os 12 estádios.

Sabendo-se que cada campo possui as dimensões de 110 m

por 75 m, quantos metros quadrados de grama natural são

necessários para cobrir cada campo?

A = 110 75

A = 8 250

Resposta: 8 250 m² de grama.

2- João pretende construir pipas conforme esta figura:

Sabendo-se que a pipa possui o formato de um losango e

que suas diagonais medem 30 cm e 50 cm, quantos

centímetros quadrados de papel serão necessários, no

mínimo, para construir 10 pipas iguais a esta?

A = 𝟑𝟎 ∙𝟓𝟎

𝟐

A = 750 cm²

Logo: 750 x 10 = 7 500 cm²

Resposta: Para 10 pipas, serão necessários 7 500 cm²

de papel. h

ttp://w

ww

.dic

asm

iud

as.c

om

.br

http

://ww

w.b

9.c

om

.br/

OBMEP – NÍVEL 2

Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos

menores. As áreas de três deles estão indicadas na figura

dada. Qual é a área do retângulo ABCD?

(A) 80. (B) 84. (C) 86. (D) 88. (E) 91.

GABARITO: E

16

27 12

A

B C

D Área A= 4 x 4=16

Área C= 9 x 3= 27

Área D= 9 x 4= 36

Área ABCD= 16 + 12 +29 +36= 91


O = centro da circunferência

r = raio

d = diâmetro

a = arco

c= corda

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

A circunferência é formada por todos os pontos de um plano que estão localizados a

uma mesma distância r de um ponto fixo denominado centro da circunferência.

Essa distância constante r é denominada raio da circunferência.

Elementos da circunferência

CIRCUNFERÊNCIA

* O diâmetro mede o dobro do valor do raio:

d = 2r

* O diâmetro é a maior corda que pode

ser traçada em uma circunferência.

http://www.vocesabia.net

Se você observar,

a medida do

diâmetro é o dobro

da medida do

raio!!!

http://tilinbrinquedos.com.br

Existem diversos

objetos que nos

dão ideia de

circunferência!!!

Anéis

Pulseira Bambolê


C é o comprimento da circunferência;

é aproximadamente 3,14159... (usualmente consideramos = 3,14);

r é o raio da circunferência.

COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Observe esta praça:

Realizou-se um estudo para cercar esta praça que fica numa rotatória no centro

da cidade de Goiânia. Para tal, precisa-se conhecer o comprimento de seu

contorno.

Para realizar esse cálculo, utiliza-se a fórmula do comprimento da circunferência:

C = 2 r

Exemplos:

1- A Praça da cidade de Goiânia possui a forma

de um círculo, cujo raio é de 18 metros. De

quantos metros deverá ser o comprimento da

grade que irá cercá-la?

(Use = 3,14)

Resposta: A grade terá, aproximadamente,

113 m de comprimento.

2- Se uma circunferência possui 31,4 cm de

comprimento, quanto mede seu raio?

(Use = 3,14)

Resposta: Seu raio mede, aproximadamente,

5 cm.

C = 2 r

C = 2 3,14 18

C ≅ 113,04

C = 2 r

31,4 = 2 3,14 r

31,4 = 6,28r

r = 31,4/6,28

r ≅ 5

htt

p:/

/arq

cid

ad

e.b

log

sp

ot.

co

m.b

r


AGORA,

É COM VOCÊ!!!

1- Calcule o comprimento de uma circunferência quando

a) o raio mede 5 cm:

b) o raio mede 8 m:

c) o diâmetro mede 14 cm:

d) o diâmetro mede 30 m:

2- Qual o raio de uma circunferência que possui um

comprimento aproximado de 62,8 metros?

3- O ciclista Flávio está em treinamento dando voltas em torno

de uma pista circular. Sabendo-se que o raio dessa pista é de

60 m, quantos metros ele percorrerá em cada volta?

4- Bruno dará 10 voltas ao redor de uma praça circular que

possui diâmetro de 24 m. Quantos metros, aproximadamente,

ele percorrerá?

C = 2∙∙5 ≅ 31,4 cm

C = 2∙∙7 ≅ 43,96 cm

C = 2∙∙15 ≅ 94,2 m

C = 2∙∙8 ≅ 50,24 m C = 2∙∙60 ≅ 376,8 m

Resposta:

Aproximadamente 376,8 metros.

C = 2∙∙12 = 75,36 m

75,36 x 10 ≅ 753,6

Resposta: Aproximadamente 753,6 metros.

Vamos considerar o

valor de como 3,14.

2∙∙r = 62,8

2∙3,14∙r = 62,8

6,28∙r = 62,8

r = 62,8/6,28

r ≅ 10

http

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ria.c

olo

rir.com

60 m

Resposta:

Aproximadamente10 metros.


Para comemorar as Olimpíadas de 2016, no Brasil, a Casa da Moeda lançou, em 2012, a moeda de prata “ENTREGA DA BANDEIRA

OLÍMPICA”.

ÁREA DO CÍRCULO

Que moeda

linda!!!

Essa moeda possui um diâmetro de 40 milímetros. Para conhecermos a área de sua

face, é necessário utilizarmos a seguinte fórmula:

A = r²

A é a área do círculo;

é aproximadamente 3,14159... (usualmente consideramos = 3,14);

r é o raio do círculo.

Sendo o diâmetro da moeda de 40

milímetros, qual é a área de sua

superfície (face)?

Resposta: A área da face da moeda é

de, aproximadamente, 1 256 mm² (ou

12,56 cm²).

A = r²

A = 3,14 20²

A = 3,14 400

A = 1 256

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diâmetro = 40 mm

raio = 20 mm


AGORA,

É COM VOCÊ!!!

1- Calcule a área de um círculo quando

a) o raio mede 6 m:

b) o raio mede 7 cm:

c) o diâmetro mede 15 m:

d) o diâmetro mede 30 cm:

2- Qual o raio de um círculo que possui área aproximada de

31 400 cm²?

3- Esta figura mostra a imagem de satélite do furacão Katrina,

(28/08/2005). Sabendo-se que um furacão como esse pode

chegar a 1 000 km de diâmetro, podemos afirmar que a área

total que ele abrange será de quantos quilômetros quadrados,

considerando = 3,14?

A = ∙6² ≅ 113,04 m²

A = ∙7² ≅ 153,86 cm²

Raio de 7,5 m

A = ∙7,5² ≅ 176,625 m²

Raio de 15 cm

A = ∙15² ≅ 706,5 cm²

Raio de 500 km

A = ∙500²

A = 3,14∙250 000

A ≅ 785 000 km²

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ojo

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m

4- Paulo quer colocar piso em uma sala de formato circular

com 12 metros de diâmetro. Qual será o valor mínimo da

despesa de Paulo, se o metro quadrado do piso custa

R$ 32,50?

A = ∙6²

A = 113,04 m²

Custo = 113,04 ∙ 32,50 ≅ 3 673,80

Resposta: R$ 3.673,80

∙r² = 31 400

3,14∙r² = 31 400

r² = 31 400/ 3,14

r² = 10 000

r ≅ 100

Vamos considerar o

valor de como 3,14.

Resposta:

Aproximadamente 100 cm (ou 1 m) de raio.


Porcentagem é a razão centesimal representada por %

(lê-se “por cento”).

Exemplo:

a) 0,10 = 10

100= 10% b) 0,15 =

15

100 = 15%

PORCENTAGEM

Essa forma de representação (10%, 15%, 25%...)

chama-se taxa percentual.

Exemplos:

1- Calcular 20% de 500.

20% 𝑑𝑒 500 = 20

100𝑑𝑒 500 =

500 ∙ 20 ÷ 100 = 100

Resposta: 100.

2- Calcular 12% de 1 100.

12% 𝑑𝑒 1 100 = 12

100𝑑𝑒 1 100 =

1 100 ∙ 12 ÷ 100 = 132

Resposta: 132.

x

÷

x

÷

3- 15% de uma quantia correspondem a

90 reais. Qual é o valor desta quantia?

15% 𝑑𝑒 ? = 90 15

100𝑑𝑒 ? = 90

90 ∙ 100 ÷ 15 = 600

Resposta: 600 reais.

x

÷

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ibuic

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Observe: cem, cento, porcentagem.


2- A turma de Débora possui 40 alunos e 15% faltaram à

aula hoje. Qual a quantidade de alunos que compareceu

nesse dia?

3- Um produto que custa 600 reais foi vendido com um

desconto de 12%. Qual foi o valor do desconto?

15% de 40 =

40 ∙ 15 : 100 = 6 faltaram

Resposta: Compareceram 34 alunos.

AGORA,

É COM VOCÊ!!!

1- Determine:

a) 40% de 70:

b) 7% de 300:

c) 25% de 640:

d) 15% de 1200:

12% de 600 =

600 ∙ 12 : 100 = 72

Resposta: 72 reais de desconto.

Resposta: 28

Resposta: 21

Resposta: 160

Resposta: 180


6- Nas compras com cartão de crédito, as lojas pagam às

operadoras 5% do valor da nota. Quanto uma loja pagará se

a compra for de 840 reais?

7- A produção mensal de uma fábrica aumentou em 20%, o

que corresponde a 360 peças a mais. Quantas peças eram

produzidas anteriormente?

5% de 840 =

840 ∙ 5 : 100 = 42

Resposta: Pagará 42 reais.

20% de ? = 360

360 ∙ 100 : 20 = 1 800

Resposta: Eram produzidas 1 800 peças.

4- Comprei um carro por 20 mil reais. Depois, o vendi com um

acréscimo de 7%. Por quanto vendi o carro?

5- Uma conta de R$ 350,00 tem um acréscimo de 10% se for

paga com atraso. Qual será o valor dessa conta, se for paga

com atraso?

7% de 20 000 =

20 000 ∙ 7 : 100 = 1 400

Resposta: Vendi por 21 400 reais.

10% de 350 =

350 ∙ 10 : 100 = 35

Resposta: 385 reais.


JUROS

JURO COMPOSTO

Já o sistema de juro composto consiste na definição do percentual da

taxa de juros de acordo com cada período, sendo este novo valor

adicionado ao valor inicial, para que seja feito um novo cálculo no

período seguinte.

Em outras palavras: os juros compostos são os “juros sobre juros”.

Esse é o regime de juros mais comum no sistema financeiro.

Portanto, mais útil para os cálculos de situações cotidianas.

Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 foi aplicado por 3 meses,

a uma taxa de 10% ao mês, no sistema de juros compostos.

Observe:

Mês R$ 1.000,00

1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100

2 1 100 + 1 100∙10% = 1 210

3 1 210 + 1 210∙10% = 1 331 Pagamento realizado após três meses.

Definição

Juro ou juros (termo mais usado) é o rendimento que se obtém quando uma instituição financeira empresta dinheiro por um

determinado período. Os juros são para o credor (aquele que tem algo a receber), um acréscimo referente ao período que o capital

esteve emprestado.

Por outro lado, quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, geralmente terá que pagar um acréscimo pela utilização

do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do produto ou do bem. A esse acréscimo também dá-se o nome de juro.

Existem dois tipos básicos de juros:

JURO SIMPLES

O juro é simples quando a taxa é definida

tendo como base o valor inicial

emprestado, sem a incidência de juros

sobre juros.

Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00

foi aplicado por 3 meses, a uma taxa de

10% ao mês, no sistema de juros simples.

Observe:

Mês R$ 1.000,00

1 1 000 + 1 000∙10% = 1 100

2 1 100 + 1 000∙10% = 1 200

3 1 200 + 1 000∙10% = 1 300 Pagamento realizado após três meses


AGORA,

É COM VOCÊ!!!

1- As tabelas, apresentadas a seguir, apresentam os valores

obtidos em função do tempo em que foram investidos

R$ 2.000,00, a partir do mês de março. Leia:

Agora, responda:

a) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 1?

_______________________________________________

b) Qual o valor do juro mensal na tabela 1?

_______________________________________________

c) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 1?

_______________________________________________

d) Qual o valor aplicado, inicialmente, na tabela 2?

_______________________________________________

e) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 2?

_______________________________________________

f) Qual é a tabela que rendeu o maior juro até o mês de julho?

_______________________________________________

g) Com base no que você observou, complete as frases

abaixo com as expressões simples ou compostos:

Na tabela 1, incidem juros _______________.

Na tabela 2, incidem juros _______________.

R$ 2.000,00.

R$ 200,00 ao mês.

R$ 800,00.

R$ 928,20.

R$ 2.000,00.

Tabela 2.

simples

compostos

Valor (R$) Tempo

2.000,00 Março

2.200,00 Abril

2.400,00 Maio

2.600,00 Junho

2.800,00 Julho

Valor (R$) Tempo

2.000,00 Março

2.200,00 Abril

2.420,00 Maio

2.662,00 Junho

2.928,20 Julho

Tabela 1 Tabela 2


2- Leia esta propaganda:

Agora, responda:

a) Qual o valor desse carro à vista?

_______________________________________________

b) Qual é o valor de entrada, se esse carro for pago

parceladamente?

_______________________________________________

c) Qual o valor total a ser pago nas 30 parcelas?

_______________________________________________

d) Após pagar todas as parcelas e a entrada, qual o valor

total pago pelo carro?

_______________________________________________

3- O Banco “Poupa Bem” emprestou, à Dona Silvia,

R$ 3.000,00 com juros simples de 10% ao mês. Observe as

anotações de Dona Sílvia:

a) Qual o valor dos juros cobrados, por mês, pelo Banco

“Poupa Bem”?

_______________________________________________

b) Em quanto estará a dívida da cliente ao final de 10 meses?

_______________________________________________

Valor

emprestado R$ 3.000,00

1.º mês R$ 3.300,00

2.º mês R$ 3.600,00

3.º mês R$ 3.900,00

.

.

.

.

.

.

10.º mês ? R$ 60.000,00.

R$ 30.000,00.

30 000 . 0,02 . 30 + 30 000 = 48 000 R$ 48.000,00.

48 000 + 30 000 = 78 000 R$ 78.000,00.

R$ 300,00.

R$ 6.000,00.

Vende-se carro por

R$ 60.000,00

à vista ou entrada de 50%

e saldo em 30 parcelas

mensais, com taxa de 2%

ao mês sobre o valor

financiado no sistema de

juros simples. http://galeria.colorir.com

Professor(a), para a resolução dos problemas de juros, os cálculos poderão ser realizados

pela fórmula: (montante = capital x taxa percentual x tempo) ou pela tabela.


1- Na reta, apresentada a seguir, a letra que melhor representa

a localização da 31 é:

(A) A. (B) B.

(C) C. (D) D.

2- A única sentença que representa uma função quadrática é:

(A) 𝒚 = 2𝒙 – 7. (B) 𝒚 = 5𝒙² – 3𝒙 + 4.

(C) 𝒚 = 𝒙³ – 3𝒙 ² + 5𝒙. (D) 𝒚 = 2(3𝒙 – 4).

3- O lucro (𝒚), em reais, de uma pequena confecção é

calculado através da função 𝒚 = 𝒙² – 15𝒙, sendo 𝒙 o número

de peças produzidas. Se a confecção produzir 40 peças de

roupa, terá, de lucro,

(A) 800 reais. (B) 1 000 reais.

(C) 1 600 reais. (D) 2 400 reais.

4- A função polinomial de 2.º grau, definida por 𝒚 = 𝒙² + 3𝒙 – 4, tem

como zeros de função:

(A) – 4 e 1. (B) – 4 e 3.

(C) 1 e 3. (D) 3.

5- A Professora Penha escreveu, no quadro, a seguinte função:

f(𝒙) = 𝒙² – 16

Na construção do gráfico, o vértice ficou localizado no par ordenado:

(A) (8, 0). (B) (1, 6).

(C) (0, –16). (D) (– 3, 3).

6- A função representada por este gráfico possui:

(A) > 0 e a > 0

(B) < 0 e a > 0

(C) = 0 e a = 0

(D) = 0 e a < 0

GABARITO: C

GABARITO: B

GABARITO: B

GABARITO: A

GABARITO: C

GABARITO: A

0 1 2 3 4 5 6 7 8

A B C D

– 1

– 1

1

1

Y

X

0

O que significa função polinomial? Você se lembra? Escreva aqui.

________________________________________________________________________________________________________________


7- O gráfico que melhor representa a função 𝒚 = 𝒙 ² – 9 é:

(A) (B)

(C) (D)

8- Para colocar piso em uma sala, de formato retangular, com

6 m de comprimento e 3,5 m de largura, serão necessários,

no mínimo,

(A) 30 m² de piso. (B) 21 m² de piso.

(C) 9,5 m² de piso. (D) 2,5 m² de piso.

9- O comprimento de uma circunferência com 10 cm de raio é, em cm,

(A) 3,14. (B) 13,14.

(C) 31,4. (D) 62,8.

10- A circunferência, apresentada a seguir, possui raio de 7,5 cm. Com

essa informação, podemos afirmar que o segmento AB mede, em cm,

(A) 7,5. (B) 15.

(C) 20. (D) 75.

11- Diego aplicou, na poupança, 7 mil reais a uma taxa de 2% ao mês,

durante 10 meses. Quanto ele recebeu de juros simples ao final

desses 10 meses?

(A) 14 reais. (B) 140 reais.

(C) 1 400 reais. (D) 14 000 reais.

12- Quais os juros simples produzidos por um empréstimo de 5 mil

reais, durante 3 anos, a uma taxa de 15% ao ano?

(A) R$ 2.250,00. (B) R$ 3.000,00.

(C) R$ 5.550,00. (D) R$ 10.000,00.

A

B

GABARITO: D

GABARITO: B

GABARITO: D

GABARITO: B

GABARITO: C

GABARITO: A

( = 3,14)

Documents

Apresentação do PowerPointjucienebertoldo.com/wp-content/uploads/2020/05/M9...MATEMÁTICA – 9.° ANO 4 r O gráfico de uma função de 2.º grau é uma PARÁBOLA com concavidade