Apostila-Fenomenos de Transporte

5/20/2018 Apostila-Fenomenos de Transporte

1/168

Fenmenos

de

Transporte

PPrrooffaa..MMaarraaNNiillzzaaEEssttaanniissllaauuRReeiiss

11sseemmeessttrree22000088


2/168

Fenmenos de Transporte 01/2008

1

Disciplina: Fenmenos de Transporte

Cursos: Engenharia de Controle e Automao

Engenharia Eltrica

Prof a.: Mara Nilza Estanislau Reis

1 semestre 2008

Objetivos:

- Aprender os princpios bsicos da Mecnica dos Fluidos e da Transferncia de

Calor;- Analisar as distribuies de presso em fluidos em repouso;

- Analisar as distribuies de fora em corpos e superfcies submersas;

- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos;

- Analisar as maneiras atravs das quais o calor transmitido.

Ementa:

Mecnica dos Fluidos: Propriedades Fsicas; Equaes Gerais da Esttica, Cinemtica e

Dinmica dos Fluidos; Clculos de Presses Hidrostticas, de Foras sobre Superfcies

Submersas e de Perda de Carga; Medio de Viscosidade, Presso e Velocidade.

Transferncia de Calor: Conduo, Conveco, Radiao, Aplicaes. Transferncia de

Massa: Difuso, Coeficiente de Transferncia de Massa, Teoria da Camada Limite,

Aplicaes.


3/168


2

ndice

1. Introduo a Mecnica dos Fluidos.................................................................. 12

1.1. Definio............................................................................................. 121.2. Objetivo............................................................................................... 12

1.3. Aplicao............................................................................................. 12

2. Definio de um Fluido..................................................................................... 12

2.1. Introduo........................................................................................... 12

2.2. A Hiptese do Contnuo...................................................................... 13

2.3. Princpio da Aderncia........................................................................ 13

3. Mtodos de Anlise........................................................................................... 14

3.1. Sistema................................................................................................ 14

3.2. Volume de Controle............................................................................ 14

4. Dimenses e Unidades...................................................................................... 14

4.1. Introduo............................................................................................ 14

4.2. Sistemas de Dimenses....................................................................... 14

4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 15

5. Propriedades Fsicas dos Fluidos...................................................................... 16

5.1. Peso Especfico.................................................................................... 16

5.2. Volume Especfico.............................................................................. 17

5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 17

5.4. Massa Especfica ou Densidade Absoluta........................................... 18

5.5. Mdulo da Elasticidade Volumtrico.................................................. 19

5.5.1. Condies Isotrmicas............................................................. 19

5.5.2. Condies Adiabticas............................................................ 19

5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 19

6. Campo de Velocidade....................................................................................... 20

7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 21

7.1. Regime Permanente............................................................................. 21

7.2. Regime Transiente............................................................................... 21

7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 21

8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 21

8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 21


4/168


3

8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 22

8.3. Linhas de Tempo, Trajetrias, Linhas de Emisso e Corrente............ 23

8.4. Campos de Tenso............................................................................... 26

9. Viscosidade....................................................................................................... 27

9.1. Viscosidade Dinmica ou Absoluta: ()............................................. 27

9.2. Viscosidade Cinemtica: ()............................................................... 29

9.3. Nmero de Reynolds: (Re) ................................................................. 29

9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 30

10. Presso............................................................................................................ 32

10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 34

11. Fluidoesttica.................................................................................................. 34

11.1. A Equao Bsica da Esttica dos Fluidos........................................ 35

11.2. Presso Manomtrica........................................................................ 37

11.3. Presso Absoluta............................................................................... 38

11.4. O Barmetro de Mercrio................................................................. 38

11.5. Aplicao para a Manometria............................................................ 39

11.6. Tipos de Manmetros........................................................................ 41

11.6.1. Manmetros de lquido.......................................................... 41

11.6.2. Manmetros metlicos.......................................................... 43

12. Equilbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 43

12.1. Princpio de Arquimedes................................................................... 44

13. Fluidodinmica................................................................................................ 47

13.1. Sistema.............................................................................................. 47

13.2. Volume de Controle.......................................................................... 48

13.3. A Relao Entre as Derivadas do Sistema e a Formulao Para

Volume de Controle................................................................................... 48

13.4. Equao da Continuidade (de Conservao da Massa) Para um

Volume de Controle Arbitrrio..................................................................49

13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 50

13.4.2. Vazo Mssica e Vazo Volumtrica.................................... 51

13.5. 1aLei da Termodinmica Aplicada ao Volume de Controle............. 53

13.6. Equao de Bernoulli........................................................................ 55

13.6.1. A Equao de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 57


5/168


4

13.6.1.1. Visualizao Grfica da Equao de Bernoulli...... 57

13.6.2. Aplicaes da Equao de Bernoulli..................................... 59

13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 59

13.6.2.2. Medidores de Vazo............................................... 60

13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 62

13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 63

13.6.2.2.3. Placa de Orifcio...................................... 65

13.6.2.2.4. Presso de Estagnao............................. 68

13.7. Equao de Bernoulli Para Fluidos Reais Perda de Carga............. 68

13.7.1. Visualizao Grfica da Equao de Bernoulli Para Fluidos

Reais..................................................................................................69

13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 70

13.7.2.1. Perdas de Carga Contnuas..................................... 70

13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 74

13.8. Potncia Fornecida por uma Bomba................................................. 81

14. Transferncia de Calor.................................................................................... 86

14.1. Introduo.......................................................................................... 86

14.2. Modos de Transferncia de Calor..................................................... 86

14.2.1. Conduo............................................................................ 86

14.2.2. Conveco.......................................................................... 87

14.2.3. Radiao............................................................................. 87

14.3. Leis Bsicas da Transferncia de Calor............................................. 88

14.3.1. Conduo............................................................................ 89

14.3.2. Conveco.......................................................................... 92

14.3.3. Radiao............................................................................. 93

15. Conduo........................................................................................................ 96

15.1. Introduo Conduo...................................................................... 96

15.2. Propriedades Trmicas da Matria.................................................... 97

15.3. Conservao de Energia em um Volume de Controle....................... 98

15.4. Equao da Difuso de Calor............................................................ 101

15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 101

15.4.2. Coordenadas Cilndricas..................................................... 104

15.4.3. Coordenadas Esfricas....................................................... 104


6/168


5

15.4.4. Condies de Contorno e Condio Inicial........................ 105

15.5. Conduo Unidimensional em Regime Permanente......................... 108

15.5.1. Parede Simples.................................................................. 108

15.5.2. Resistncia Trmica........................................................... 109

15.5.3. Parede Composta................................................................ 113

15.5.4. Parede Composta: Srie-Paralelo....................................... 116

15.5.5. Resistncia de contato........................................................ 116

15.6. Conduo Unidimensional em Regime Permanente Sistemas

Radiais Cilindro.......................................................................................119

15.6.1. Distribuio de Temperatura.............................................. 119

15.6.2. Parede Cilndrica Composta............................................... 122

15.6.3. Espessura Crtica de Isolamento......................................... 125

15.7. Conduo Unidimensional em Regime Permanente

Sistemas Radiais Esfera...............................................................129

15.8. Conduo com Gerao de Energia Trmica........................ 130

15.8.1 Conduo com Gerao de Energia Trmica -

Parede Plana.......................................................................130

15.8.2 Conduo com Gerao de Energia Trmica

Sistemas Radiais................................................................. 133

16. Transferncia de Calor em Superfcies Expandidas Aletas......................... 134

16.1. Introduo.......................................................................................... 134

16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 136

16.3. Balano de Energia para uma Aleta.................................................. 137

16.4. Aletas com rea da seo transversal constante................................ 138

16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 143

17. Conduo Transiente....................................................................................... 146

17.1. Introduo.......................................................................................... 146

17.2. Mtodo da Capacitncia Global........................................................ 146

18. Conveco....................................................................................................... 148

18.1. Fundamentos da Conveco.............................................................. 148

18.2. As Camadas Limites da Conveco.................................................. 160

18.2.1. A Camada Limite Hidrodinmica......................................... 151

18.2.2. As Camadas Limites de Concentrao.................................. 152


7/168


6

18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 153

18.4. A Camada Limite Trmica................................................................ 156

EXERCCIOS RECOMENDADOS..................................................................... 158

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.................................................................. 159

Apndice A........................................................................................................... 160

Apndice B............................................................................................................ 164


8/168


7

Figuras

Figura 1 Elemento Fluido sob a Ao de Esforo Tangencial Constante. 12

Figura 2 Comportamento de (a) um Slido e (b) um Fluido, Sob a Ao deuma Fora de Cisalhamento Constante.

13

Figura 3 O Perfil de Velocidade Linear no Lquido entre Placas Paralelas 13

Figura 4 Conjunto Pisto-Cilindro. 14

Figura 5 Escoamento de um Fluido Atravs de um Tubo. 14

Figura 6 Determinao do Campo de Velocidades em um Ponto. 20

Figura 7 Exemplo de Escoamento Unidimensional. 22

Figura 8 Exemplo de Escoamento Bidimensional. 22Figura 9 Deformao de um Elemento de Fluido. 28

Figura 10 Exemplo para o Clculo do Nmero de Reynolds. 30

Figura 11 - Possvel Classificao da Mecnica dos Fluidos. 31

Figura 12 Exemplo do Clculo da Presso na Base de um Recipiente. 33

Figura 13 Fluida em Repouso. 34

Figura 14 Volume de Controle Infinitesimal. 35

Figura 15 Variao de Presso em um Fluido Esttico. 37

Figura 16 Exemplo do Clculo das Presses Absoluta e Manomtrica. 38

Figura 17 O Barmetro de Mercrio. 39

Figura 18 Variao de Presso em uma Coluna de Mltiplos Fluidos. 39

Figura 19 Ilustrao do exemplo acima, vasos comunicantes. 40

Figura 20 Manmetro de Lquido. 41



Figura 23 Tubo de Bourdon. 43

Figura 24 Manmetro de Diafragma. 43

Figura 25 Corpo Imerso em um Fluido Esttico. 43

Figura 26 Clculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 47

Figura 27 Conjunto Pisto-Cilindro. 48

Figura 28 Escoamento de um Fluido atravs de um Tubo. 48

Figura 29 Escoamento Unidimensional. 52

Figura 30 Linhas Energtica e Piezomtrica para Escoamento 58


9/168


8

Unidimensional em um Duto.

Figura 31 Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes

Delgadas.59

Figura 32 Escoamento Interno atravs de um Bocal Genrico mostrando o

volume de controle usado para anlise. 60

Figura 33 Tubo de Venturi. 62

Figura 34 Medio de presso esttica Tubo de Pitot. 63

Figura 35 Tubo de Pitot com fluido manomtrico. 64

Figura 36 (a) Geometria de orifcio e localizao de tomadas de presso

Placa de orifcio. (b) Placa de Orifcio.66

Figura 37 Medies simultneas das presses de estagnao e esttica. 68

Figura 38 Linhas Energtica e Piezomtrica para Escoamento de um Fluido

Real.69

Figura 39 - baco de Moody. 72

Figura 40 Determinao da Rugosidade Relativa. 73

Figura 41 Valores aproximados de k. 74

Figura 42 Comprimentos Equivalentes para Tubulaes de Ferro fundido e

Ao.75

Figura 43- Reduo de rea Bocal. 77

Figura 44 Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 78

Figura 45 Vlvula de gaveta. 79

Figura 46 Vlvula Globo. 80

Figura 47 Vlvula de Reteno. 80

Figura 48 Elevao de um Fluido com uma Bomba. 81

Figura 49 Conjunto elevatrio referente ao exemplo acima. 83

Figura 50 - Transferncia de calor. 86

Figura 51 Associao da transferncia de calor por conduo difuso da

energia provocada pela atividade molecular.87

Figura 52 Processos de transferncia convectiva de calor. (a) Conveco

natural. (b) Conveco forada.87

Figura 53 Troca radiativa entre uma superfcie e as suas vizinhanas. 88

Figura 54 Troca radiativa entre uma superfcie e as suas vizinhanas. 88

Figura 55 Transferncia de Calor em uma Parede Plana. 89


10/168


9

Figura 56 Transferncia Convectiva de Calor. 91

Figura 57 Troca Radiativa Lquida entre duas Superfcies. 94

Figura 58 Faixas de Condutividade trmica para vrios estados da matria. 97

Figura 59 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 102

Figura 60 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilndricas). 104

Figura 61 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esfricas). 105

Figura 62 Transferncia de Calor atravs de uma Parede Plana. 108

Figura 63 Circuito Trmico. 111

Figura 64 Transferncia de Calor atravs de uma Parede Plana. 113

Figura 65 Circuito trmico equivalente. 114

Figura 66 Parede Composta. 116

Figura 67 Circuitos Trmicos Equivalentes numa Parede Composta. 116

Figura 68 - Queda de temperatura devido resistncia trmica de contato. 117

Figura 69 Transferncia de Calor atravs de um Cilindro Oco. 119

Figura 70 Transferncia de Calor Atravs de uma Parede Cilndrica

Composta.121

Figura 71 Ilustrao do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 124

Figura 72 Parede Cilndrica Composta. 125

Figura 73 Comportamento das Resistncias Trmicas com r2. 128

Figura 74 Transferncia de Calor atravs de uma Casca Esfrica. 129

Figura 75 Conduo em uma parede plana com gerao uniforme de calor.

(a) Condies de contorno assimtricas. (b) Condies de contorno

assimtricas. (c) Superfcie adiabtica no plano intermedirio.

131

Figura 76 Transferncia de Calor em uma superfcie expandida. 134

Figura 77 Superfcie da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferncia de

Calor.132

Figura 78 Colocao de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferncia de

Calor.132

Figura 79 Trocadores de Calor com tubos aletados. 133

Figura 80 Configuraes de Aletas. 133

Figura 81 Balano de Energia em uma Superfcie Expandida. 134

Figura 82 Aletas com rea da Seo Transversal Constante. 139

Figura 83 Eficincia de aletas. 144


11/168


10

Figura 84 Montagem Representativa das Aletas a) Retang. b) Anulares. 146

Figura 85 Resfriamento de uma pea metlica quente. 147

Figura 86 Distribuio transiente de temperatura correspondente a

diferentes nmeros de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por

conveco.

148

Figura 87 - Transferncia convectiva de Calor. 148

Figura 88 Escoamento sobre uma Placa Plana. 149

Figura 89 - A camada limite fluidodinmica. 151

Figura 90 - Perfil de concentrao na camada limite. 152

Figura 91 Camada Limite. 153

Figura 92 Camada Limite Trmica. 156

Figura A1 Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos 166

Figura A2 Viscosidade Cinemtica de Alguns Fluidos Presso Atm. 167


12/168


11

Tabelas

Tabela 1 Sistemas de Unidades. 15

Tabela 2 Principais prefixos para unidades de Engenharia. 16Tabela 3 Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 71

Tabela 4 Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 76

Tabela 5 Coeficientes de Perda de Carga para Contrao e Expanso. 76

Tabela 6 Coeficiente de Perda de Carga para Reduo Suave da Seo. 77

Tabela 7 Comprimento Equivalente Adimensional para Vlvulas e

Conexes78

Tabela 8 Valores de h (W/m.K) 92

Tabela 9 Equaes de Taxa 96

Tabela 10 Lei de Fourier para os trs sistemas de coordenadas 96

Tabela 11 Resistncia trmica de contato em (a) Interfaces Metlicas sob

condies de vcuo e (b) Interface de Alumnio com diferentes fluidos

interfaciais

118

Tabela 12 Resistncia Trmica de interfaces slido/slido representativas 118

Tabela 13 Propriedade de Fluidos Gasosos 163


13/168


12

1. Introduo a Mecnica dos Fluidos

1.1. Definio: a cincia que estuda o comportamento fsico dos fluidos e as leis que

regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso

(Fluidoesttica) e em movimento (Fluidodinmica).

1.2. Objetivo:conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido o

meio produtor de trabalho.

1.3. Aplicao: mquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas),

aeronaves, automveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilao de

residncias, edifcios comerciais, sistemas de tubulaes, corpos flutuantes, medicina,etc.

2. Definio de um Fluido

2.1. Introduo: uma sustncia que se deforma continuamente sob a aplicao de

uma tenso de cisalhamento (fora tangencial), no importa sua intensidade (figura 1).

Os fluidos compreendem as fases lquida e gasosa (ou de vapor) das formas fsicas nas

quais a matria existe.

Figura 1 Elemento Fluido sob a Ao de Esforo Tangencial Constante.

A distino entre um fluido e o estado slido fica clara ao ser comparado seu

comportamento. Ao ser aplicada uma fora tangencial F (fig.2a) sobre um slido fixado

entre as duas placas, o bloco sofre uma deformao e se estabiliza no novo formato. No

regime elstico do material, ao cessar a aplicao da fora, o slido retorna forma

original. Repetindo a experincia para um fluido, ele se deformar continuamente,

enquanto existir uma fora tangencial atuando sobre ele (fig.2b).


14/168


13

Figura 2 Comportamento de (a) um Slido e (b) um Fluido, Sob a Ao de uma Fora

de Cisalhamento Constante.

1aSituao:

Figura 2a

Mantida a Ftconstante o slido deformar-se- at alcanar uma posio de equilbrio

esttico.

2aSituao:

Figura 2b

Sob a ao da Ft deforma-se continuamente, no se alcanando uma posio de

equilbrio esttico.

2.2. A Hiptese do Contnuo: Como o espao mdio entre as molculas que compem

o fluido bastante inferior s dimenses fsicas dos problemas estudados, considera-se

o fluido como uma substncia que pode ser dividida ao infinito.

2.3. Princpio da Aderncia: Os pontos de um fluido em contato com uma superfcie

slida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais esto em contato;

no h deslizamento naquelas fronteiras. (fig.3)

Figura 3 O Perfil de Velocidade Linear no Lquido entre Placas Paralelas Infinitas.


15/168


14

3. Mtodos de anlise

3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificvel; as fronteiras do sistema

separam-no do ambiente volta; no h transferncia de massa atravs das mesmas,

calor e trabalho podero cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 .

Figura 4 Conjunto Pisto-Cilindro.

3.2. Volume de controle:volume do espao atravs do qual o fluido escoa (arbitrrio),

a fronteira geomtrica chamada superfcie de controle, conforme mostrado na fig. 5.

Figura 5 Escoamento de um Fluido Atravs de um Tubo.

4. Dimenses e unidades

4.1. Introduo

Dimenses: so grandezas mensurveis (quantidades fsicas: podem ser primrias

(bsicas) e secundrias (derivadas)).

Unidades: so nomes arbitrrios dados s dimenses.

4.2. Sistemas de Dimenses

Lei da Homogeneidade dimensional: Todos os termos de uma expresso matemtica,

que, traduz um fenmeno fsico, devem possuir a mesma dimenso.

Exemplo:

200 at2

1Vxx ++=

( ) ( ) ) 22 ttL21ttLLL ++=


16/168


15

4.3. Sistema de Unidades

Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento,

etc.). Pases diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960,

instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronizao. Foram

definidas 7 grandezas bsicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente

eltrica, quantidade de matria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades.

A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as

grandezas eltricas). No entanto, alguns pases ainda adotam os antigos sistemas de

unidades. No Sistema Britnico, as grandezas bsicas so fora, comprimento,

temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundria.

SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente eltrica),

quantidade de matria e intensidade luminosa.

Tcnico ingls: F(fora), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura).

Tabela 1 Sistemas de Unidades.

SISTEMA

DE

UNIDADES

MASSA COMPRI-

MENTO

TEMPO TEMPE-

RATURA

CORRENTE

ELTRICA

QTE DE

MATRIA

INTENSI-

DADE

LUMINOSASI Kg m s K A mol cd

ABSOLUTO g cm s K

TCNICO utm m s K

INGLS slug ft s R

INGLS

TCNICO

lbm ft s R

Fora: 2sm1kg1N=

Fora: 2s

cm1g1dina=

Massaft

s1lbf1slug

2

=

No Apndice B so apresentados os fatores de converso entre os sistemas para as

diferentes grandezas.


17/168


16

A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos

pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa.

Tabela 2 Principais prefixos para unidades de Engenharia.

Fator

Multiplicativo

Prefixo Smbolo

109 Giga G

106 Mega M

103 Kilo k

10-1 Deci d

10-2 Centi c

10-3 Mili m

10-6 Micro

10-9 Nano n

10-12 Pico p

5. Propriedades fsicas dos fluidos

5.1. Peso especifico: ()

o peso do fluido contido em uma unidade de volume.

: Peso especfico [F/L3]

=

W W: Peso da substncia [F]

][LfluidodoVolume: 3

ggmmg

=

=

=

Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3)

DIM: [F / L3]


18/168


17

5.2. Volume especfico: ()

Inverso da massa especfica.

: Volume especfico [L

3

/M]

1=

=

m : Massa especfica ou densidade

absoluta [M/L3]

Unidades: (m3/ kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm)

DIM: [L3/ M]

5.3. Densidade relativa: (,d ou SG)

Razo entre a massa especfica de uma substncia e a massa especfica de uma

substncia de referncia. Para lquidos, o fluido de referncia a gua e, para os gases, o

ar. Quando se trabalha com densidades relativas de slidos, comum que a substncia

de referncia seja a gua.

: Densidade relativa [adimensional]

ref

SGd

=== : Massa especfica ou densidade absoluta [M/L3]

ref.: Massa especfica ou densidade absoluta da

substncia de referncia [M/L3]

=d = SG=padrofluido

fluido

=

padraofluido

fluido

DIM: [1]


19/168


18

5.4. Massa especfica ou densidade absoluta: ( )

Tambm conhecida como densidade absoluta, a quantidade de massa do fluido contida

em uma unidade de volume.

: Massa especfica [M/L3

]

=

m m: Massa do fluido [M]

][LfluidodoVolume: 3

Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3)

DIM: [M / L3]

A densidade dos gases variam bastante quando so alteradas sua presso, e/ou sua

temperatura. Ao contrrio, a densidade dos lquidos apresenta pequenas variaes com

alteraes de presso e temperatura, so, em sua maioria, considerados incompressveis.

Na Tab. A.1 (Apndice A), so apresentados valores de massa especfica para alguns

fluidos, a 20C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variao da

massa especfica da gua e do ar com a temperatura, para a presso de 1 atm.

5.5. Mdulo da Elasticidade Volumtrico: ()

Razo entre uma variao de presso e a correspondente variao de volume por

unidade de volume.

: Mdulo de elasticidade volumtrico

=

/

P P: Variao de presso [F/L2]

][LVolumedeVariao: 3

][LVolume: 3

O sinal negativo indica que um aumento de presso corresponde a uma reduo de

volume.

Unidades: (N/m2; kgf / m2; lbf / ft2)

DIM: [F / L2]


20/168


19

Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substncia a

medida da variao relativa de volume decorrente de aplicao de presso. O mdulo de

compressibilidade de lquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases,

o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compresso.

5.5.1. Condies isotrmicas: T = constante

P.V. = constante P1V1= P2V2

1

2

2

1

P

P

V

V=

P.dV + V.dP = 0

P.dV = - V.dP

PPdP

VdV

=

=

5.5.2. Condies adiabticas:

P.Vk= constante

k = Cp/ Cv

P1.V1k= P2.V2

k

Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0

P.k.dV + V.dP = 0

kPkP

dP

V

dV

=

=

5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C)

Inverso do mdulo de elasticidade volumtrico.

1=C C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F]

: Mdulo de elasticidade volumtrico

[F/L2]

Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf)

DIM: [L2/F]


21/168


20

6. Campo de velocidade

Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume

de fluido mostrado na Fig. 6.

Figura 6 Determinao do Campo de Velocidades em um Ponto.

A velocidade instantnea do fluido no ponto C igual velocidade instantnea do

volume infinitesimal que passa pelo ponto C no instante de tempo em questo.

O campo de velocidade, Vr

, funo das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa

representao do campo de velocidades dada por:

( )tzyxVV ,,,rr

=

O vetor velocidade, Vr

, pode ser expresso em termos de suas trs componentes

escalares. Chamando estas componentes nas direes x, y e z de, respectivamente, u, v e

w, o campo de velocidades pode ser escrito como:

kwjviuV ++=r

,

onde: ( ) ( ) ( )tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu ===

Exemplo:

Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine:

(a) As dimenses de cada campo de velocidade

(b) Se est em regime permanente ou no

(1) [ ]iaeV bx =r

(2) jbxiaxV 2 +=r


22/168


21

(3) jbxiaxV =r

(4) ( ) jbyitaxV 2+=r

(5) ( ) ( )kz

yxaV 1 321

22 +=r

Resoluo:

(1) Unidimensional ( ( )xVV rr

= ), regime permanente ( )tVV rr

.

(2) Unidimensional ( ( )xVV rr

= ), regime permanente ( )tVV rr

.

(3) Bidimensional ( )yxVV ,rr

= , regime permanente ( )tVV rr

.

(4) Bidimensional ( )yxVV ,rr

= , regime no permanente ( )tVV rr

= .

(5) Tridimensional ( )zyxVV ,,rr

= , regime no permanente ( )tVV rr

= .

7. Regime permanente e transiente

7.1. Regime Permanente:As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento,

no variam com o tempo. A definio matemtica do movimento permanente :

0=

t

, onde representa uma propriedade qualquer do fluido.

7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo.

7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o mdulo e o sentido do

vetor velocidade so constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas

espaciais, atravs de toda a extenso do campo.

8. Escoamentos uni, bi, tridimensional.Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o

nmero de coordenadas necessrias para se definir seu campo de velocidades.

8.1. Escoamento unidimensional:

Exemplo:

Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seo

transversal constante mostrado na Fig. 7.


23/168


22

Figura 7 Exemplo de Escoamento Unidimensional.

A partir de uma certa distncia da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela

equao:

=2

max 1R

ruu

Como o campo de velocidades depende apenas da distncia radial r, o escoamento

unidimensional.

8.2. Escoamento bidimensional:

Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o

canal considerado infinito na direo do eixo dos z, o campo das velocidades ser

idntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqentemente, o campo de

velocidades funo somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento ,

portanto, bidimensional.

Figura 8 Exemplo de Escoamento Bidimensional.


24/168


23

8.3. Linhas de tempo, trajetrias, linhas de emisso e linhas de corrente:

Na anlise de problemas de mecnica dos fluidos, freqentemente vantajoso obter

uma representao visual de campo de escoamento. Tal representao provida de

linhas de tempo, de trajeto, de emisso e de corrente.

Se num campo de escoamento uma quantidade de partculas fluidas adjacentes forem

marcadas num dado instante, elas formaro uma linha no fluido naquele instante, esta

linha chamada de linha de tempo.

Uma linha de trajeto o caminho ou trajetria traada por uma partcula fluida em

movimento. Para torn-la visvel, temos que identificar uma partcula fluida, num dado

instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia

de exposio prolongada do seu movimento subseqente. A linha traada pela partcula

uma trajetria.

Por outro lado, poderamos preferir concentrar a ateno em um lugar fixo do espao e

identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partculas fluidas que passam

por aquele ponto. Aps um curto perodo, teramos uma certa quantidade de partculas

fluidas identificveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado

por um local fixo no espao. A linha em que une as partculas fluidas, num ponto fixo

no espao, definida como linha de emisso.

As linhas de corrente so aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que,

num dado instante, so tangentes direo do escoamento em cada ponto do campo.

Como as linhas de corrente so tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo,

no pode haver escoamento atravs delas.

No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece

constante com o tempo e, em conseqncia, as linhas de corrente no variam de um

instante a outro. Isto implica que uma partcula localizada numa determinada linha de

corrente permanecer sobre a mesma. Alm disso, partculas consecutivas passando

atravs de um ponto fixo do espao estaro sobre a mesma linha de corrente e,

subseqentemente permanecero nela. Ento num escoamento permanente, trajetrias e

linhas de emisso e de corrente so linhas idnticas no campo de escoamento.

A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for

transiente. Neste caso, as trajetrias, as linhas de emisso e as linhas de corrente no

coincidem.


25/168


24

Exemplo:

Considere o campo de escoamento

= jbiaxtV , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As

coordenadas so medidas em metros. Para a partcula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1)

no instante t = 0, trace a trajetria durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s.

Compare esta trajetria com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos

instantes t= 0, 1 e 3 segundos.

Resoluo:

Partindo do princpiodt

dxu= e

dt

dyv= , ento:

dtdxaxtu == , =

tx

x

dtatxdx

0

.0

2

0 2

1ln at

x

x=

e

22

1,02

1

0 3tat exexx ==

e tambm, bdt

dyv == , =

ty

y

bdtdy00

, tybtyy 310 +=+=

ty

ex t

31

321,0

+=

=Regio a ser plotada no plano xy.

Temos queu

v

dx

dy

s

= .

Logo:axt

b

dx

dy= .

Aplicando equaes diferenciais temos:x

dx

at

bdy

x

x

y

y =

00

ou

+=

00 ln x

x

at

byy .

Substituindo os valores de a, b, x0e y0,

+=3

ln15

1x

ty .

Para t=1

+=3

ln151x

y

t=2

+=3

ln5,71x

y

t=3

+= 3ln51

xy


26/168


25

Exemplo:

O campo de velocidade

= jbyiaxV , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como

representando o escoamento numa curva em ngulo reto. Obtenha uma equao para as

linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro

quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0).

Resoluo:

A inclinao das linhas de corrente no plano xy dado por:

u

v

dx

dy=

Para

= jbyiaxV , faamos u = ax e v = -by, logo:

xa

yb

u

v

dx

dy

.

.==

Para resolvermos esta equao diferencial, separamos as variveis e integramos:

= xdx

a

b

y

dy

+= cxa

by lnln c = constante

+= cxy ab lnlnln ln c= constante


27/168


26

Portanto: ab

cxy

=

Para o campo de velocidade dado, as constantes ae bso fixas. As linhas de corrente

so obtidas definindo valores diferentes para a constante de integrao c.

Como a = b = 1 sec-1, ento 1=b

a, e a equao das linhas de corrente dada por:

x

ccxy == 1 ou

y

cx=

Para c= 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y.

A equaox

cy= a equao da hiprbole.

As curvas esto mostradas para diferentes valores de c.

8.4. Campo de Tenso

Tanto foras de superfcie quanto foras de campo so encontradas no estudo da

mecnica dos meios contnuos. As foras de superfcies atuam nas fronteiras de um

meio atravs de um contato direto. As foras desenvolvidas sem contato fsico e

distribudas por todo o volume do fluido so denominadas foras de campo. As foras

gravitacionais e eletromagnticas so exemplos de foras de campo.

A fora gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, dada por dVg ,

onde a massa especfica (massa por unidade de volume) e g a acelerao local da

gravidade. Segue-se que a fora de campo gravitacional g por unidade de volume e

gpor unidade de massa.

O conceito de tenso nos d uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as

foras atuantes na fronteiras do meio so transmitidas atravs deles. Ento campo de


28/168


27

tenses seria a regio atravs da qual as foras atuantes seriam transmitidas atravs de

toda extenso do material.

Como a fora e a rea so ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de

tenso no ser vetorial. O campo de tenses normalmente chamado de campo

tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um

tensor de 2 ordem.

Dividindo a magnitude de cada componente da fora pela a rea , xA , e tomando o

limite quando xA se aproxima de zero, definimos as trs componentes da tenso

mostradas abaixo:

x

z

x

y

x

x

A

F

A

F

A

F

xxxA

xy

A

xy

A

xx

limlimlim

000

===

Utilizamos o ndice duplo para designar tenses. O primeiro ndice (neste caso x) indica

o plano no qual a tenso atua (neste caso a superfcie perpendicular ao eixo x). O

segundo ndice indica a direo na qual a tenso atua. Tambm necessrio adotar uma

conveno de sinais para a tenso. Uma componente da tenso positiva quando o seu

sentido e o plano no qual atua so ambos positivos ou ambos negativos.

9. Viscosidade

9.1. Viscosidade Dinmica ou Absoluta: ()

Propriedade que determina o grau de resistncia do fluido fora de cisalhamento, ou

seja, a dificuldade do fluido em escoar.

Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior

move-se a velocidade constante (u), sob a influncia de uma fora aplicada Fx.


29/168


28

Figura 9 Deformao de um Elemento de Fluido.

A tenso tangencial ou tenso de cisalhamento do elemento fluido dada por:

dAy

dFx

Ay

FxAy

yx ==

0lim

A taxa de deformao igual a:

dt

d

tt

=

0lim

A distncia entre os pontos M e M dada por:

tVl = (a)

Para pequenos ngulos, yl= (b)

Igualando-se (a) e (b),

dy

du

dt

d

y

u

t ==

Para fluidos Newtonianos, a tenso tangencial proporcional taxa de deformao, ou:

dy

du

dy

duyxyx = .

A constante de proporcionalidade a viscosidade absoluta ou dinmica do fluido, .

DIM: [F.t / L2= M/L.t]

Unidades: (N.s/m2; kgf.s /m2; lbf.s /ft2)

Os fluidos mais comuns, como a gua, o ar e a gasolina, so newtonianos em condies

normais.


30/168


29

Se considerarmos as deformaes de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo,

glicerina e gua, verificaremos que eles iro se deformar as taxas diferentes sob a ao

da mesma tenso de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistncia

deformao muito maior do que a gua. Dizemos, ento, que ela muito mais viscosa.

A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos . O

comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos apresentado na Fig.

A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura,

enquanto que os lquidos apresentam comportamento inverso.

9.2. Viscosidade Cinemtica: ()

Razo entre a viscosidade dinmica e a massa especfica.

: Viscosidade cinemtica [L2/t]

= : Viscosidade dinmica [Ft/L2]

: Massa especfica ou densidade absoluta

[M/L3]

DIM: [L2/t]

Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s)

Uma unidade comum para a viscosidade cinemtica o Stokes, sendo 1 Stokes =

1cm2/s.

9.3. Nmero de Reynolds: (Re)

Nmero adimensional, obtido pela razo entre as foras de inrcia e as foras viscosas.

Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido.

Re: Nmero de Reynolds [adimensional]

: Massa especfica ou densidade absoluta

[M/L3]

**Re

LV= V*: Velocidade do fluido [L/t]

L*: Comprimento caracterstico [L]


31/168


30

= Viscosidade dinmica [F.t/L2]

DIM: [1]

O nmero de Reynolds o adimensional mais importante da Mecnica dos Fluidos. Ele

determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no

interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transio do escoamento laminar

para turbulento 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor 5x105. Deve-

se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, velocidade e ao

comprimento caracterstico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a

velocidade V* a velocidade mdia no interior do tubo e L*, o seu dimetro. Para

escoamentos sobre placas planas, V* a velocidade da corrente livre e L*, o

comprimento da placa.

Figura 10 Exemplo para o Clculo do Nmero de Reynolds.

Como a viscosidade absoluta da glicerina 1500 vezes superior viscosidade da gua,

para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo dimetro, tenham

comportamentos semelhantes (mesmo nmero de Reynolds), a velocidade da glicerina

deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da gua.

9.4. Tipos de escoamento:

-

Escoamento laminar ( em tubulaes Re2300

)- Escoamento turbulento (Re > 4000)


32/168


31

Figura 11 Possvel Classificao da Mecnica dos Fluidos.

O escoamento compressvel ou incompressvel definido a partir de um parmetro

chamado nmero de Mach, que definido como sendo a razo da velocidade do

escoamento (V) pela velocidade do som (S) do meio.

S

VMa=

Exemplo:

Um eixo com dimetro externo de 18 mm gira a 20 rotaes por segundo dentro de um

mancal de sustentao estacionrio de 60 mm de comprimento. Uma pelcula de leo

com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque

necessrio para girar o eixo de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do leo que se

encontra na folga anular, em (Pa.s)

Resoluo: Para calcular a viscosidade do leo devemos utilizar a frmula de tenso

de cisalhamento:

dy

du.=

Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual

possamos trabalhar:

Mecnicados Fluidos

Fluido noviscoso = 0

Fluido viscoso 0

Compressvel IncompressvelMa < 0,3

LaminarRe 2300

TurbulentoRe > 4000


33/168


32

smru

sradrrot

rrot

rpsW

13,1

/6,125..2.2020

..21

20

max ==

=

60..

230

.

max

max

max

ndu

dnu

ru

ou

=

=

=

Devemos calcular agora a rea de contato entre o fluido e o material:

26

33

10.39,3

10.60.10.18

..

mA

A

LDA

=

=

=

Pelo torque, podemos tirar a fora:

NF

F

rF

rF

4,010.9

0036,0

.

3

=

=

=

=

Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinmico fazendo analogia

fora:

2

3

3

.0208,0

13,1.10.39,3

10.2,0.4,0

m

sN

du

dy

A

F

=

=

=

, ondey

u

dy

du max=

10. Presso

Fora exercida em uma unidade de rea.

P: Presso [F/L2]

A

FP= F: Fora [F]

A: rea [L2]

Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2= psi; mmHg)

DIM: [F / L2]


34/168


33

A presso uma varivel dinmica muito importante na Mecnica dos Fluidos. Um

escoamento s possvel se houver um gradiente de presso. Para gases ideais, a

presso pode ser relacionada densidade e temperatura atravs da seguinte expresso:

TRnP =

Onde: n: quantidade de matria [mol]

R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K

DIM:

Tkmol

LF

..

.

T: temperatura absoluta do gs [T]

Se, ao invs do nmero de moles, for considerada a massa m do gs, a equao

pode ser reescrita na forma:

mRTP =

Onde R a constante especfica de cada gs, relacionada constante universal dos gases

atravs da massa molecular do gs MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema

Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns.

M

RR=

A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinmicas de gases comuns na condio

padro ou standard.

A presso atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser

calculada da maneira mostrada a seguir:

Figura 12 Exemplo do Clculo da Presso na Base de um Recipiente.


35/168


34

A presso na superfcie do fluido igual a P0.

A fora na superfcie do fluido dada por AP0

A fora exercida pela coluna de fluido devida ao seu peso:

( ) ghAgAhgmgFfluido ==== A fora na base do recipiente , ento, obtida como a soma da fora na superfcie do

fluido e do peso da coluna de fluido:

ghAAPF

FFF fluidoerfcie

+=

+=

0

sup

A presso na base do recipiente dada pela razo entre a fora e a rea da base:

A

FF

A

FP fluidoerfcie

+== sup

ghPA

ghAAPP

+=

+= 0

0

Para condies pr-fixadas, P0, e g so constantes.

Assim, a presso funo apenas da altura da coluna de lquido h.

10.1. Lei de Pascal:

No interior de um fluido em repouso, a presso constante em cada ponto.

Figura 13 Fluido em Repouso.

11. Fluidoesttica

a parte da Mecnica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso.

A condio de velocidade nula do fluido denominada condio hidrosttica. Em um

problema de hidrosttica, o objetivo principal , em geral, a determinao da

distribuio de foras ou presses em um elemento fluido.


36/168


35

11.1. A equao bsica da esttica dos fluidos:

Dois tipos genricos de foras podem ser aplicados a um fluido: foras de corpo e foras

de superfcie. As foras de corpo, tambm chamadas de foras de campo, so as foras

desenvolvidas sem contato fsico com o fluido, distribudas por todo o seu volume. o

caso das foras gravitacionais e eletromagnticas. De uma maneira geral, a nica fora

de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecnica dos Fluidos

a fora gravitacional, ou o peso. As foras de superfcie so aquelas que atuam nas

fronteiras de um meio, atravs do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, s

podero estar presentes foras normais superfcie (por definio, o fluido a

substncia incapaz de resistir a foras de cisalhamento sem se deformar). A nica fora

de superfcie a ser considerada , portanto, a fora de presso.

Seja um volume fluido infinitesimal, de dimenses dx, dy e dz, como mostrado na Fig.

14.

dx

dy

dz

y

x

z

Figura 14 Volume de Controle Infinitesimal.

A fora total atuando no elemento dada por:

SSC FdgdmFdFdFd rrrrr

+=+= .

A fora lquida de presso dada pela soma da fora de presso em cada uma das faces

do elemento. A fora de presso atuando na face esquerda do elemento :

jdzdxdy

y

PpFd L .

2

=

r

A fora de presso na face direita dada por:

( )jdzdxdyy

PpFd R .

2

+=

r


37/168


36

A fora lquida de presso dada pela soma das foras de presso em todas as faces do

elemento,

( ) jdzdxdyy

Ppidzdy

dx

x

Ppidzdy

dx

x

PpFd S .

2.

2.

2

+

++

=

r

( ) ( )kdydxdzz

Ppkdydx

dz

z

Ppjdzdx

dy

y

Pp .

2.

2.

2

++

+

++

dzdydxkz

Pj

y

Pi

x

PFd S ..

=

r

A fora total dada, portanto, por:

dzdydxkz

Pj

y

Pi

x

PgdmFdgdmFd S ..

..

+=+=

rrrr

Como

dzdydxddm .... == ,

( ) =

+= dPgdzdydxk

z

Pj

y

Pi

x

PgdzdydxFd

rrr........

A 2 Lei de Newton estabelece que:

admFd rr

.=

Para um elemento fluido em repouso, a acelerao deve ser nula e o somatrio de todas

as foras deve ser zero. Assim,

( ) 0. = Pgr

Esta uma equao vetorial, que pode ser decomposta em trs equaes escalares,

0=+

xgx

P 0=+

ygy

P 0=+

zgz

P

Para simplificar a equao, conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor

gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z

apontado para cima )( kgg =r

, as equaes podem ser reescritas como:

0=

P 0=

y

P 0=

z

P

Se o fluido puder ser considerado incompressvel, a diferena de presso entre doispontos do fluido ser diretamente proporcional diferena de altura entre eles (Fig.15).


38/168


37

Concluses:

1. No h variao de presso na direo horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer,

situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, esto submetidos

mesma presso;

2. A presso varia na direo vertical, sendo esta variao devida ao peso da coluna

fluida (Equao Fundamental da Hidrosttica);

3. No limite para z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz= Pn=

Px, ou seja, a presso em um ponto de um fluido esttico independente da

orientao (Lei de Pascal).

Se o fluido puder ser considerado incompressvel, a diferena de presso entre dois

pontos do fluido ser diretamente proporcional diferena de altura entre eles -

Equao Fundamental da Hidrosttica(Fig.15).

Figura 15 Variao de Presso em um Fluido Esttico.

Os valores de presso devem ser estabelecidos em relao a um nvel de referncia. As

maneiras de se expressar a presso variam, portanto, com o nvel de referncia adotado.

Quando o nvel de referncia zero (vcuo), as presses so denominadas absolutas.

Quando o nvel de referncia a presso atmosfrica local, as presses so

denominadas presses manomtricas ou efetivas.

11.2. Presso Manomtrica:

Presso medida tomando-se como referncia o valor da presso atmosfrica (Patm).

Patm= 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2= 1,0332 kgf/cm2= 10,332 m.c.a. =

760 mmHg

ghPP CB +=


39/168


38

A presso manomtrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos.

Se P>Patm, Pman> 0

Se P


40/168


39

Figura 17 O Barmetro de Mercrio.

hghP

ghP

P

ghPP

PPPP

atm

A

E

EA

AA

atmA

==

=

=

+=

==

vcuo0

repouso)emfluidomesmonoaltura(mesmaisobrospontos'

Portanto, a presso atmosfrica pode ser medida a partir da altura de uma coluna lquida

de mercrio.

mmHgatmmmHgh 7601760 ==

11.5. Aplicao para a Manometria:

( )

121212

1212

PP

g

PPzz

zzgPP

=

=

=

Uma variao na elevao equivalente a uma variao de presso.

Figura 18 Variao de Presso em uma Coluna de Mltiplos Fluidos.


41/168


40

1) ( )5445 zzgPP m =

2) ( )4334 zzgPP g =

3) ( )3223 zzgPP a =

4) ( )2112 zzgPP o =

Agrupando as equaes acima temos:

( ) ( ) ( ) ( )5443322115 zzgzzgzzgzzgPP mgao +++=

Exemplo:

1) Determine a presso manomtrica no ponto a, se o lquido A tem densidade

relativa dA= 0,75, e o lquido B, dB=1,20. O lquido em volta do ponto a

gua e o tanque esquerda est aberto para a atmosfera.

Figura 19 Ilustrao do exemplo acima, vasos comunicantes.

Resoluo:Para calcular a presso no pontoa, devemos calcular a diferena de presso

do ponto em aberto (Patm), at chegar em a.

Primeiramente faremos algumas transformaes para simplificar os clculos:

1 pol = 25,4 mm

36 pol = 0,914 m

15 pol = 0,381 m

10 pol = 0,254 m5 pol = 0,127 m

P1

P

P2

P336 ol

dB=1,20

dA=0,75


42/168


41

Calculamos as diferenas de presso:

PaPa

PhgPa

hgPPa

PaP

hgSGPP

hgPP

PaP

hgSGPP

hgPP

PaP

hgSGP

hgPP

oh

oh

Apadof

A

Bpadof

B

atmBpadrof

atmBatm

81,831.707,340.5.254,0.81,9.10.1

3..

..3

07,340.5127,0.81,9.75,0.10.147,274.63

...23

..32

47,274.6381,0.81,9.20,1.10.160,759.102

...12

..21

60,759.10914,0.81,9.20,1.10.11

...1

..1

3

34

34

3

32.

32

3

21.

21

3

1.

1

2

2

=+=

+=

=

==

=

=

==

=

=

==

=

=

Temos ento como presso no ponto a:

PaPa 81,831.7=

11.6. Tipos de Manmetros:

11.6.1. Manmetros de lquido: So tubos transparentes e curvos, geralmente em

forma de U, que contm o lquido manomtrico. Para medio de altas presses,

utilizam-se fluidos com altos pesos especficos, como o mercrio. No caso de menores

presses, utilizam-se fluidos com menores pesos especficos, como gua ou leo.

Figura 20 Manmetro de Lquido.


43/168


42

BA

BatmB

AatmA

BA

pp

ghpp

ghpp

hh

=

+=

+=

=


BbatmB

AaatmA

BA

ghpp

ghpp

pp

+=

+=

=


AaBbmanC

BbatmB

AaCA

BA

ghghp

ghpp

ghpp

pp

=

+=

+=

=

,


44/168


43

11.6.2. Manmetros metlicos: So instrumentos usados para medir as presses dos

fluidos atravs de um tubo metlico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que

cobre um recipiente metlico. So os manmetros mais utilizados em aplicaes

industriais.

Figura 23 Tubo de Bourdon. Figura 24 Manmetro de Diafragma.

12. Equilbrio dos Corpos Flutuantes

Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de

uma fora igual ao peso do volume do fluido deslocado.

As densidades dos lquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de

flutuao de um densmetro.

Se um corpo est imerso ou flutua em um fluido, a fora que nele atua denomina-se

empuxo de flutuao. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em

repouso.

Figura 25 Corpo Imerso em um Fluido Esttico.

O empuxo vertical no cilindro elementar de volume d dado por:


45/168


44

( ) ( )

( ) ==

++=

=

gddAhhgdF

dAghPdAghPdF

dAPdAPdF

atmatm

12

12

12

O empuxo total obtido integrando-se dF, ou seja,

=== ggddFF

12.1. Princpio de Arquimedes:

Todo corpo imerso em um fluido em equilbrio recebe, por parte do fluido, um

empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado

pelo corpo.

O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido.

Corpo Imerso:

E = peso do volume de fluido deslocado

gW

gE

corpocorpo

corpofluido

=

=

Corpo Flutuante:

E = peso do volume de fluido deslocado

gWgE

corpocorpo

deslocadofluido

==


46/168


45

Situaes Possveis:

Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilbrio:

corpofluido

WE

=

=

Corpo Afunda

fluidocorpo

EW

>

>

Corpo Fica Parcialmente Imerso

corpofluido

WE

>

>

O ponto de aplicao do empuxo chamado Centro de Flutuao ou de Carena (C).

Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado.


47/168


46

Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilbrio:

O centro de flutuao coincide com o centro de gravidade do corpo.

Corpo Afunda

O centro de flutuao coincide com o centro de gravidade do corpo.

Corpo Fica Parcialmente Imerso

O centro de flutuao est localizado abaixo do centro de gravidade do corpo.

Quando o corpo est em equilbrio, E e W possuem a mesma linha de ao. Se o corpo

for afastado da condio de equilbrio, pode ocorrer uma das seguintes situaes:

Corpo imerso


48/168


47

Se for aplicado um afastamento do equilbrio no corpo, ele permanecer na nova

posio. Assim, E e W estaro sempre na mesma linha de ao. Nesta situao, o corpo

est em equilbrio indiferente.

Corpo flutuante

Figura 26 Clculo do Metacentro de um Corpo Submerso.

Se o corpo for inclinado de um pequeno ngulo (Fig. 26b), o volume da parte de

fluido deslocado ir se alterar, provocando uma mudana na posio do centro de

flutuao do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' ir

interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro.

Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haver um momento

restaurador, que tender a retornar o corpo para a sua posio de equilbrio inicial. Neste

caso, o corpo se encontra em equilbrio estvel.

Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tender a afastar

o corpo ainda mais da posio de equilbrio inicial. Neste caso, o corpo est em

equilbrio instvel.

13. Fluidodinmica

Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de

controle, figuras 27 e 28.

13.1. Sistema:

Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou

mveis, mas no se verifica transporte de massa atravs deles.


49/168


48

Figura 27 Conjunto Pisto-Cilindro.

13.2. Volume de Controle:

Volume arbitrrio do espao, atravs do qual o fluido escoa. O contorno geomtrico do

volume de controle denominado Superfcie de Controle. A superfcie de controle pode

ser real ou imaginria, e pode estar em repouso ou em movimento.

Figura 28 Escoamento de um Fluido atravs de um Tubo.

13.3. A relao entre as derivadas do sistema e a formulao para volume de

controle:

As leis da Mecnica so escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre

quando h uma interao entre o sistema e suas vizinhanas. No entanto, em muitos

problemas de Mecnica dos Fluidos, mais comum a anlise dos problemas utilizando-

se a formulao de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite

que as leis da Mecnica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma

propriedade extensiva arbitrria qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds

estabelece que:

==)( )(sistemamassa sistema

ddmNsistema

(N) uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa.

() uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura.


50/168


49

+

= SCCsistema

AdVdtdt

dN

Onde:

.sistdtdN : a taxa de variao total de qualquer propriedade extensiva arbitrria do

sistema.

C

dt : a taxa de variao com o tempo, da propriedade extensiva arbitrria, (N),

dentro do volume de controle.

: a propriedade intensiva correspondente a N (=N por unidade de massa).

d : um elemento de massa contido no volume de controle.

C

d : a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de

controle.

SC

AdV : a vazo lquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela

superfcie de controle.

AdV : a vazo em massa atravs do elemento de rea Ad .

AdV : a vazo em massa da propriedade extensiva, N, atravs da rea Ad .

nV rr : o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal rea.

13.4. Equao da continuidade (de conservao da massa) para um volume de

controle arbitrrio:

Se este teorema for aplicado equao de conservao da massa,MNsistema= 1==

dm

dM

( ) +

=

SCC

sistema

dAnVdtdt

dM rr

Como a massa no varia no interior do sistema,

0=

sistemadt

dM


51/168


50

( ) 0=+

SC

CdAnVd

t

rr

Onde:

cosunV =rr

Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de rea

dado por:

cos. AdVAdVrrrr

= , onde o ngulo entre o vetor velocidade e o vetor normal rea.

Como o vetor normal rea sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma

entrada de tubulao tem = 180e uma sada de tubulao tem = 0

Na entrada de uma tubulao, unV =rr

, e, na sada, unV =rr

Para um volume de controle fixo,

( ) =entradasadaSC

uAuAdAnV rr

Como o volume de controle fixo,

0=+

entradasadaC uAuAddtd

ou

0=+

entradasada

Cmmd

dt

d&&

13.4.1. Casos especiais:

Em algumas situaes, possvel simplificar a equao de conservao da massa.

Para escoamento em regime permanente, no h variao das propriedades do

escoamento com o tempo. Assim, a equao escrita como:

0=SC

AdV

Ou, para um escoamento com um nmero finito de entradas e sadas, esta equao

dada por:


52/168


51

0=entradasada

mm && , lembrando que o produto escalar dentro da integral positivo para

sadas e negativo para entradas.

Para um fluido incompressvel, a massa especfica no varia com o tempo ou com a

posio. Assim, a equao de conservao da massa pode ser escrita como:

( ) 0=+

SC

CdAnVd

t

rr

sadaentrada =

A integral de d em todo o volume de controle simplesmente o volume. Como ele

no varia ao longo do tempo, a equao de conservao da massa para fluidos

incompressveis dada por:

0=SC

AdV

Definindo-se a vazo volumtrica Q por:

=SC

AdVQ

a equao de conservao da massa pode ser escrita, para um nmero finito de entradas

e sadas, como:

0= entradasada

QQ

A velocidade do escoamento varia em uma dada seo. Define-se a magnitude da

velocidade mdia em uma seo como sendo a razo entre a vazo volumtrica e a rea

da seo, ou:

==SC

AdVAA

QV 1r

13.4.2. Vazo Mssica e Vazo Volumtrica:

Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por

apenas uma coordenada espacial s, funo do tempo, ou seja, por s(t).


53/168


52

Figura 29 Escoamento Unidimensional.

Seja m a massa fluida ocupando a rea A no instante de tempo t:

=m&

A vazo mssica, definida como sendo a taxa de variao da massa com o tempo, dada

por:

( )dt

d

dt

dmm

==

&

Aplicando-se a regra da cadeia,

( )dt

d

dt

dmm

==

&

Mas:

( ) Au

dt

dsAAs

dt

d

dt

d===

Assim:

dt

duAm

+=&

DIM: [M/t]

Para escoamento incompressvel, 0=dt

d.

uAm =&

A vazo volumtrica, ou a taxa de variao do volume com o tempo, dada por:

uAdt

dQ =

=

DIM: [L3/t]

A vazo mssica e a vazo volumtrica podem ser relacionadas pela expresso:

Qm =&


54/168


53

13.5. 1aLei da Termodinmica aplicada ao volume de controle:

A primeira lei da Termodinmica uma afirmao da conservao da energia. Sua

formulao para sistema :

..

..

sistsist dtdEWQ =

Onde:.

Q : a taxa de transferncia de calor trocada entre o sistema e a vizinhana. A

conveno de sinais adotada estabelece que a taxa de calor positiva quando o calor

adicionado ao sistema.

.W : a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio

sobre o sistema (negativa).

E: a energia total do sistema, dada por:

==)()( sistemasistemaM

deedmE

e = a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cintica e a

energia potencial do sistema (por unidade de massa).

ugz

V

e

UmgzmVE

++=

++=

2

2

1

2

2

As formulaes para sistema e volume de controle so relacionadas por:

+

= SCCsistema

AdVdtdt

dN

==C sistema

ddnNsistema)(

A fim de deduzir a formulao para volume de controle, da primeira lei da

termodinmica, estabelecemos:N = E

N = . M

dm

dE=

=e

+

=

SCC

sistemaAdVede

tWQ

r

..

no instante t0:


55/168


54

Csist

WQWQ

=..

.

..

O termo.

Wtem um valor numrico positivo quando o trabalho realizado pelo volume

de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobreo volume decontrole de sinal oposto ao realizado pelovolume de controle.

outroscisalnormaleixo WWWWW.....

+++=

=SC

normal AdVpW.

+

=

+++

SCC

outroscisal

SC

eixo AdVedet

WWAdVpWQ ....

( ) ++

= SCC

AdVpedet

WQ r

..

AdVugzV

det

WQSCC

rr&&

++++

=

2

2

Sendo:

1

=

importante ressaltar que a deduo da equao est alm do escopo desta disciplina.

Para maiores informaes, recomenda-se consultar os livros de Mecnica dos Fluidos

sugeridos. Na equao, eixoW.

qualquer taxa de trabalho de eixo (potncia) realizado

sobre ou pelo volume de controle, outrosW.

qualquer taxa de trabalho no considerada,

como trabalho produzido por foras eletromagnticas.

Exemplo:

Ar entra em compressor a 14 psia, 80F com velocidade desprezvel e

descarregado a 70 psia, 500F, com velocidade de 500 ps/s, se a potncia fornecida ao

compressor for 3200 hp e a vazo em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferncia

de calor.

Resoluo: Para calcular a taxa de transferncia de calor precisamos recorrer

seguinte frmula:


56/168


55

AdVugzV

det

WQSCC

rr&&

++++

=

2

2

Levando agora em considerao as duas superfcies de controle e o regime

permanente:

( )

++++

+++= 1222

22

2221111

21

111 22 pugz

VAVpugz

VAVWQ &&

Colocando a vazo mssica em evidncia

( ) ( ) ( )

+++

= 11221212

21

22

2 ppuuzzg

VVmWQ &&&

h = entalpia especfica = u + p

( ) ).(() 1211122212 TTCpupuhhh p =++==

01=V 21 ZZ =

OBS.: Cp tabelado,Rlbm

BtuCpar

= 24,0 eRlbm

ftlbfRar

= 3,53

s

ftlbfHP

= 5501 e ftlbf

Btu=

778

1

T (R) = 460 + T (F)

Substituindo os parmetros acima na equao (A) temos:

( ) WTTCV

mQ p &&& +

+= 12

22

2

( )s

BTU,

s

lbm

Rlbm

BTU,

s

ftQ 7122612053995923990

2

50002

22

+=&

s

BTUQ 6.

10.49,2=

13.6. Equao de Bernoulli:

Muitas vezes, deseja-se aplicar a equao de conservao da energia para o escoamento

em regime permanente de um fluido incompressvel no interior de uma tubulao, com

apenas uma entrada e uma sada de massa. Para esta situao, a equao da energia pode

ser simplificada.

AdVugzVdet

WQSCC

rr&&

++++

=

2

2

(A)


57/168


56

Adotando-se as hipteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de

trabalho realizadas, a equao se reduz a:

AdVugzV

WQ

SC

rr&&

+++= 2

2

Chamando a entrada da tubulao de (1) e a sada da tubulao de (2), e considerando

que, em uma dada seo, a energia interna (u), a presso e a distncia vertical (z) no se

alteram, a equao pode ser dada por:

( )( ) ( ) 112

122

22

22221111

2222

AdVV

AdVV

mugzmugzWQAA

rrrr&&&&

++++++=

No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressvel, a vazo mssica se conserva.

( ) 1121

22

22111212

1222

dAVVdAVVmuugzgzWQAA

+++= &&&

Definindo-se o coeficiente de energia cintica de forma que:

VdAV

VdAV

AA

=

22

22

Onde:

: o fator de correo da energia cintica

Pode-se escrever a equao da energia de uma forma mais compacta:

mVV

ppuugzgzWQ &&&

+++=

22

21

1

22

2121212

Para escoamento em regime turbulento, aproximadamente igual unidade. Para

escoamento em regime laminar, = 2.

Dividindo-se a equao pela vazo mssica, tem-se:

+++= 22

21

1

22

2121212

VV

ppuugzgzm

W

m

Q&

&

&

&

Reescrevendo-se a equao,

( )m

Quu

m

WVpgz

Vpgz

&

&

&

&

+=

++

++ 12

22

222

21

111 22

Os termos entre parnteses do lado esquerdo da equao representam a energia

mecnica por unidade de massa em cada seo transversal do escoamento. O termo

.

m

W&

representa a potncia de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido


58/168


57

(Hs) e o termo

.

12 )( m

Quu

& representa a converso irreversvel de energia mecnica na

seo (1) em energia trmica no desejada e a perda de energia por transferncia de

calor.

13.6.1. A Equao de Bernoulli para fluidos ideais:

Para escoamentos de fluidos incompressveis para os quais se pode desprezar os efeitos

de atrito (fluidos ideais), tm que:

.

12 )( m

Quu

&=

A equao de Bernoulli pode ser dada ento por:

sHV

pgzV

pgz =

++

++

22

22

222

21

111

Quando, alm disso, no h nenhuma potncia de eixo, toda a energia mecnica se

conserva. A equao dada por:

++=

++

22

22

222

21

111

Vpgz

Vpgz

==

++ HVpgz

2

2

constante Equao de Bernoulli para fluidos ideais

A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressvel

em regime permanente constante.

13.6.1.1. Visualizao grfica da equao de Bernoulli:

Muitas vezes, conveniente representar o nvel de energia de um escoamentopor meios grficos. Cada termo na equao de Bernoulli, na forma apresentada tem

dimenses de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais

so:

:g

P

Energia de Presso por unidade de peso do fluido ou carda devida presso

esttica local.

z: Energia de Posio por unidade de peso do fluido ou carga de elevao.


59/168


58

g

V

2

2

: Energia Cintica por unidade de peso do fluido ou carga devida presso

dinmica local.

H: Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento.

Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecnica total se conserva.

A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha

energtica representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equao de

Bernoulli, a altura da linha energtica permanece constante para o escoamento sem

atrito, quando nenhum trabalho realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezomtrica

representa a soma das alturas de carga devidas elevao e presso esttica. A

diferena entre as alturas da linha energtica e da linha piezomtrica representa a altura

de carga dinmica (de velocidade).

Figura 30 Linhas Energtica e Piezomtrica para Escoamento Unidimensional em um

Duto.

Linha Energtica:g

Vgpz

22++

Linha Piezomtrica:g

Pz

+ .


60/168


59

13.6.2. Aplicaes da Equao de Bernoulli:

13.6.2.1. Teorema de Torricelli:

Seja um recipiente de paredes delgadas com a rea da superfcie livre constante,

contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente atravs de um orifcio

lateral.

Figura 31 Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas.

A aplicao da equao de Bernoulli para fluidos ideais conduz a:

g

Vz

g

P

g

Vz

g

P21

11

22

22 ++=++

Para escoamento turbulento, assume-se 1 = 2 = 1

A equao da Continuidade estabelece que a vazo volumtrica seja constante, ou seja,

2211 VAVAQ ==

No entanto, 21 AA >> . Pode-se considerar, portanto, 01=V .

Como o jato de sada livre presso atmosfrica, atmPPP == 21 .

Alm disso, hzz = 21

Portanto,

g

Vh

2

22=

ghV 22 =

Teorema de Torricelli: A velocidade de um lquido jorrando por um orifcio atravs de

uma parede delgada igual velocidade que teria um corpo em queda livre de uma

altura h..


61/168


60

13.6.2.2. Medidores de vazo:

Freqentemente, necessrio medir a vazo que passa por uma tubulao. Existem

diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medio, divididos principalmente em

duas classes: instrumentos mecnicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos

mecnicos medem a vazo real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os

dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a acelerao de uma

corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genrico.

Figura 32 Escoamento Interno atravs de um Bocal Genrico mostrando o volume de

controle usado para anlise.

A separao do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formao deuma zona de recirculao, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A

corrente principal do escoamento continua a se acelerar aps a garganta, formando uma

vena contractana seo 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seo do

tubo. Na vena contracta, a rea de escoamento mnima e a velocidade mxima.

A vazo terica pode ser relacionada ao gradiente de presso atravs da aplicao da

equao de Bernoulli para fluidos ideais e da equao de conservao de massa. A

equao de Bernoulli estabelece que

g

Vz

g

P

g

Vz

g

P

22

21

111

22

222

++=++

Como z1 = z2, a equao se reduz a:

g

V

g

P

g

V

g

P

22

21

11

22

22

+=+

Assim, considerando-se escoamento turbulento, 1= 2=1 e:


62/168


61

=

21

2221 2

VVPP

=

2

2

21

22

21 12V

VVPP

As velocidades 1V e 2V podem ser relacionadas atravs da equao de conservao de

massa,

2211 AVAV =

Ou

1

2

2

1

A

A

V

V=

Assim,

=

1

2

22

21 12 A

AVPP

A velocidade terica (ideal) 2V , portanto, dada por:

( )

=

2

1

2

212

1

2

A

A

PPV

A vazo volumtrica terica dada, portanto, por:

22AVQ=

( )2

2

1

2

21 .

1

2A

A

A

PPQ

=

No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equao anterior para o clculo davazo atravs do medidor. A rea do escoamento real na seo 2 desconhecida quando

a vena contracta pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade no podem ser

considerados uniformes na seo. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes

quando os contornos medidos so abruptos. Finalmente, a localizao das tomadas de

presso influencia a leitura da presso diferencial.

A equao terica ajustada pela definio de um coeficiente de descarga emprico tal

que:


63/168


62

( )tdAC

A

A

PPQ ..

1

2

2

1

2

21

=

Deve ser observado que no clculo da vazo real a rea que deve ser utilizada a rea

da garganta, e no a rea do escoamento na seo 2.

So apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazo,

medidos com distribuies de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na

entrada do medidor.

13.6.2.2.1. Tubo de Venturi:

O tubo de Venturi um dispositivo utilizado para medio da vazo ou davelocidade em uma tubulao. Consiste em uma reduo da seo do escoamento,

provocando um aumento de velocidade e uma queda na presso. Em geral, os medidores

so fundidos e usinados com pequenas tolerncias, de modo a reproduzir o desempenho

de projeto. A perda de carga total baixa. Dados experimentais mostram que os

coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995 para altos nmeros de Reynolds

(maiores que 2.105). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para medir a vazo em massa

com cerca de 1% de erro. Para menores nmeros de Reynolds, a literatura dosfabricantes deve ser consultada.

A diferena de presso entre um ponto no escoamento e um ponto no

estrangulamento medida atravs de um lquido manomtrico, como mostrado na fig.

33.

Figura 33 Tubo de Venturi.

Aplicando-se a equao de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (fluido A),

2

22

21

21

1 22 zg

V

g

Pzg

V

g

P

AA++=++


64/168


Documents

Apostila-Fenomenos de Transporte