Analitik Geometri zetiAnalytic Geometry Summary

with English foreward

David Pierce

Mays Gzden geirilmi Nisan

Matematik BlmMimar Sinan Gzel Sanatlar niversitesi

stanbuldpierce@msgsu.edu.tr

http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

ngilizce nsz

These notes are a summary of a course in analytic geometrygiven to first-year students in the mathematics department ofMimar Sinan Fine Arts University, Istanbul, in the secondthe springsemester of .

The notes are divided into paragraphs, which are numberedserially. Each paragraph is further labelled as a definition,a remark, or a theorem. A few theorems are given explicitproofs. Most proofs are omitted. These proofs may have beengiven in class, or they may have been left as exercises. Otherexercises were given in class, but these are not included here.

The course aims to avoid two failings of contemporary pre-sentations of analytic geometry: () the logical foundations ofthe subject are not clear, and () conic sections are not ex-plained as such. The first is a failure of honesty: honesty toour students and ourselves about what we assume, and whatwe can actually prove. The second is a failure to share theliberating power of mathematics, replacing it with rote mem-orization. If students are going to learn the parabola, hyper-bola, and ellipse, they ought to know what the names reallymean.

Foundations

When Descartes invented analytic geometry, he had AncientGreek mathematics as a foundation. He did not draw twoperpendicular lines in a plane and use them to establish aone-to-one correspondence between points in the plane andordered pairs of numbers. He did introduce the practice,which we follow today, of naming lengths by minuscule Latinletters: known lengths from the beginning of the alphabet,and unknown lengths from the end. By introducing a unitlength, Descartes showed that lengths could be manipulatedalgebraicallythey could be added and multipliedwith fullgeometric justification.

Students today will come to a course in analytic geome-try with some knowledge of the ordered field of real numbers.They can conceive this ordered field as an unbounded straightline. An analytic geometry textbook will use pairs of real num-bers to coordinatize a plane in the manner referred to above.Then the book will give a rule for expressing the distance be-tween two points of the plane so coordinatized. The rule willbe justified by a vague reference to the Pythagorean Theorem.

This justification is inadequate, if what is meant by thePythagorean Theorem is Proposition of Book i of EuclidsElements. This proposition is that the square on the hy-potenuse of a right triangle is equal to the squares on thetwo legs. This means the two small squares can be cut intopieces and rearranged to form the large square. This processhas no obvious connection to adding the so-called squares oftwo real numbers. We can make the connection in two ways.

. We can develop the set of ordered pairs of real numbersinto an inner product space. Here we define the notionsof length and angle, and we prove that they have the

properties that we want.. Alternatively, we can use geometry to give an infinite

straight line the structure of an ordered field.Following Descartes, we take the latter approach in the presentcourse. The students have already had a course in which theythemselves demonstrate, at the board, the contents of Book iof Euclids Elements. That book then is the logical foundationof the notes below.

We need a theory of proportion, so that, after choosing aunit length, we can define the product a b of two lengths by

1 : b :: a : a b.Descartes presumably relies on the theory developed in Booksv and vi of the Elements. By this theory, in the figure, as-

A B

C

D

E

suming DE AC, thenBA : BD :: BC : BE. ()

In particular, if AB = 1, BC = a, and BD = b, then we defineBE = a b.

Euclids theory of proportion relies on the so-called Archi-medean Axiom: that of any two lengths, some multiple ofeither exceeds the other. (Moreover, some multiple of the dif-ference of the lengths exceeds the greater.) David Hilbert de-velops a theory of proportion without using this axiom. First

he defines multiplication as Descartes does; but he must as-sume that angle ABC is right. He proves commutativity andassociativity of multiplication by means of what he calls Pas-cals Theorem, though it was known to Pappus of Alexandria.Then he defines

a : b :: c : d ad = bc. ()

I have preferred to proceed more historically, though withoutusing the Archimedean Axiom. I make () the definition ofproportion, assuming angle ABC in the figure is right. It takessome work to show that the same proportion holds, regardlessof the angle. Instead of Pascals or Pappuss Theorem, ourmain tool is Proposition i. of the Elements and its converse(here incorporated into Theorem below). This gives us (),but on the understanding that the product of two lengths isan area. The product of three lengths is likewise a volume.Ultimately, by defining a unit length like Descartes, we canrepresent areas and volumes by lengths; but there seems to beno need to do this until we do coordinatize the plane, and wewant to use an equation like

y = mx+ b

to define a straight line. (Even then, without defining a unit,we could say m is a ratio, not a length.)

We make explicit that a length is a congruence-class of linesegments. For Euclid, our line segments are straight lines, andcongruence of them is equality. In general, the measure ofa magnitude can be understood as its equality-class. We donot follow Archimedes in assuming that the circumference ofa circle has a ratio to its diameter. For us, is just the doubleof the measure of a right angle.

Conic sections

Many textbooks today tell you that the parabola, hyperbola,and ellipse can be obtained by cutting a right cone with aplane. But they define each of these curves by means of anequation, or else they derive the equation from a focus anddirectrix, and they usually do not bother to show you that theproperty expressed by the equation can actually be proved forthe appropriate conic section. Hilbert and Cohn-Vossen proveit beautifully, but using right cones only. Apollonius proves itfor arbitrary cones, and I take his approach here. I look at theconic sections as soon as possible, because they are beautifulin themselves, and because they show the power of analyticgeometry to encode beauty in equations. My approach thenasks the student to think in three dimensions near the begin-ning of the course. But there is reason for it: to see how athird dimension illuminates two.

indekiler

Orantlar

. Denklik bantlar . . . . . . . . . . . . . . . . . Uzunluklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alanlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Koni kesitleri

. Paraboller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hacimler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aretli uzunluklar ve elipsler . . . . . . . . . . .

Eksenler

. Eksenler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dik eksenler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uzaklk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dik eksenlere gre koni kesitleri . . . . . . . . . . Kutupsal koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . Uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektrler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kaynaka

ekil Listesi

Bir bant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orantllk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralellik ve orantllk . . . . . . . . . . . . . . Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orta orantl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dikdrtgenlerin eitlii . . . . . . . . . . . . . . Paralellik ve orantllk . . . . . . . . . . . . . .

Koninin eksen geni ve taban . . . . . . . . . Bir koni kesiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koninin eksen geni ve tabanlar . . . . . . . . ki orta orantl . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konide hiperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol . . . . . . . . . . . 2ay2 = 2ax x2 elipsi . . . . . . . . . . . . .

Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kinci dal ile 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol . . . Paraboln yeni ap . . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln yeni ap . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln benzer genleri . . . . . . . . . . . Kosins tanm . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosins Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . y2 = x x2/2a koni kesitleri . . . . . . . . . . . x2/4 y2 = 1 koni kesitleri . . . . . . . . . . . .

Hiperboln odaklar ve dorultmanlar . . . . . Elipsin odaklar ve dorultmanlar . . . . . . . . Odak ve dorultman . . . . . . . . . . . . . . . Hiperboln dmerkezlilik . . . . . . . . . . . . . Elipsin dmerkezlilik . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometri (gen lmesi) . . . . . . . . . . Alarn ls . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koni kesitinin kutupsal denklemi . . . . . . . . Dmerkezlie gre koni kesitleri . . . . . . . . . emberler ve doru . . . . . . . . . . . . . . . . 4-yaprakl gl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-yaprakl gl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8- ve 5-yaprakl gller . . . . . . . . . . . . . . . Gller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limasonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemniskat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ekil Listesi

Orantlar

. Denklik bantlar

Tanm . Doal saylar, 1, 2, 3, . . . . Bunlar N kmesinioluturur:

N = {1, 2, 3, . . . }.

(Bu ifadede = iareti aynl gsterir, yani N ve {1, 2, 3, . . . }ayn kmedir.)

Sz . lkokuldan bildiimiz gibi iki doal say toplanabilir vearplabilir, ve doal saylar sralanr.

Tanm . Sral ikililer,

(a, b) = (x, y) a = x & b = y

zelliini salar. Tm A ve B kmeleri iin

A B = {(x, y) : x A & y B}.

Tanm . Bir A kmesinin yansmal, simetrik, ve geili 2-konumlu R bants, A kmesinin denklik bantsdr. Akmesinin b elemannn R bantsna gre denklik snfveya R-snf,

{x A : x R b}

kmesidir. Bu denklik snf iin

[b]

ksaltmas kullanlabilir (ama Teorem ten sonra kullanlma-yacak).

Teorem . R, A kmesinin denklik bants olsun, ve b A,c A olsun. O zaman

[b] = [c] veya [b] [c] = .

Tanm . N N kmesinin bants,

(k, ) (x, y) ky = x

tanmn salasn.

Teorem . NN kmesinin bants, denklik bantsdr.

Tanm . N N kmesinin (k, ) elemannn -snf,

k

veya k/ pozitif kesirli saysdr. Pozitif kesirli saylar,

Q+

kmesini oluturur.

Bu kmeye denklik snf demek, bir gelenektir. Kmeler kuramndaher kme bir snftr, ama her snf kme deildir. rnein {x : x / x}snf, kme olamaz.

Orantlar

Teorem . Aadaki eitlikler, Q+ kmesinin toplama vearpma ilemleri iin iyi tanmdr:

k

+

m

n=

kn+ m

n,

k

mn

=am

n.

Yani

k

=

k

&

m

n=

m

n

= kn+ mn

=kn + m

n&

km

n=

km

n.

Ayrca Q+ aadaki tanma gre sralanr:

k

0 ve a > 0 ise

2ay2 = 2ax x2

denklemi, dikey kenarnn uzunluu olan, yanlamasnakenarnn uzunluu 2a olan elipsi ( eksiklik) ta-nmlar (ama ordinatlarn apa asn seilmeli). ekil ebakn. Hiperboldeki gibi elipsin merkezi, yanlamasna kena-rnn orta noktasdr. Hiperbol ve elips, merkezli koni kesi-tidir.

Koni kesitleri

b

b

b

2a

xy

ekil : 2ay2 = 2ax x2 elipsi

Teorem . Teorem de koni kesitinin GF ap F noktas-nn tesine uzatlrsa ve AB dorusunun uzatlmasn keserse,hiperboln yerine elips kar.

Sz . imdi her koni kesiti ya parabol ya hiperbol ya daelipstir. Pergeli Apollonius bu adlar vermitir. Parabol olma-yan her koni kesiti merkezlidir.

. aretli uzunluklar ve elipsler

Eksenler

. Eksenler

Tanm . Dzlemde iki doru bir O noktasnda kesisin.Dorularn birine x ekseni, dierine y ekseni densin, ve Onoktasna balang noktas densin.

Teorem . Xy eksenleriyle donatlm dzlemde her A nok-tas iin x ekseninde bir ve tek bir B iin, y ekseninde birve tek bir C iin, ABOC paralelkenardr. Tam tersine b vec iaretli uzunluk olmak zere, herhangi bir (b, c) sral ikilisiiin, x ekseninde bir ve tek bir B iin, y ekseninde bir ve tekbir C iin, dzlemde bir ve tek bir A iin

OB = b,

OC = c,

ve ABOC paralelkenardr.

Tanm . Teorem de b, A noktasnn x koordinatdr,ve c, A noktasnn y koordinatdr. ekil teki gibi B nok-tasna b yazlabilir, ve C noktasna c yazlabilir.

Sz . ekil daki koordinatlar (b, c) olan nokta hiperbol-deyse, koordinatlar (b,c), (2ab, c), ve (2ab,c) olannoktalar da hiperboldedir.

Eer A zaten bir eksendeyse ABOC paralelkenar dejenere olacaktr.rnein A, x eksenindeyse B, A noktasdr ve C, O noktasdr.

A Cc

B

b O

x

y

ekil : Koordinatlar

Teorem . Denklemi 2ay2 = 2ax + x2 olan hiperbol ve-rilsin, ama yeni st eksenleri seilsin. Eer

s ekseni, x eksenidir, ve t ekseni, hiperboln merkezinden geer ve y eksenine pa-

ralel ise,o zaman yeni st eksenlerine gre hiperboln denklemi,

2at2 = s2 a2.

Teorem . aretli uzunluklarn oran

a : b :: c : d ad = bc

kuralna gre tanmlanabilir. Oranlarn toplam

(a : c) + (b : c) :: (a+ b) : c

kuralna gre tanmlanabilir.

Sz . imdi oranlar saylar gibi kullanabiliriz.

Tanm . a : a oran1

. Eksenler

x

y

bb

2aO

bb

b

b

b2a b

c

c

ekil : kinci dal ile 2ay2 = 2ax+ x2 hiperbol

olarak yazlsn, ve a : b oran

a

b

veya a/b biiminde yazlsn. O zaman hiperboln

2ay2 = 2ax+ x2

denklemi

y2 = x+

2ax2

biiminde yazlabilir. Bu denkleme Apollonius denklemi di-yelim. Teorem e gre, farkl eksenlere gre, hiperboln

2ay2 = x2 a2

denklemi de vardr; bu denklem

x2

a2 y

2

a/2= 1

Eksenler

biiminde yazlabilir. Bu denkleme merkez denklemi diye-lim.

. Dik eksenler

Teorem . Parabolde apa paralel olan her doru, yeni biraptr. ekil deki gibi

A

B

C

D EF

H

G

a a x a

c b b

s x a st

y b

ekil : Paraboln yeni ap

) ABC erisi, ap FE ve kesi A olan parabol,) BD ve CE ordinat,) FA = AD, ve) BG FE, CH BF

olsun. Aadaki iaretli uzunluklar tanmlansn:

AD = a,DB = b,

AE = x,EC = y,

BH = s,HC = t,

FB = c.

. Dik eksenler

Paraboln dikey kenarnn uzunluu ise

m

=

c2

b2

olsun. O zamany2 = x

olduundant2 = ms.

Teorem . Paraboln bir (ve tek bir) ap iin ordinatlarapa diktir (yani Tanm teki gibi paraboln ekseni ve tekbir ekseni vardr).

Teorem . Hiperboln merkezinden geen ve hiperbol kesenher doru, hiperboln yeni bir apdr. ekil deki gibi

) ABC erisi, merkezi D olan ve ap DF olan hiperbol,) BE ve CF ordinat,) DG : DA :: DA : DE,) CH BG, HK DA, HL BE

olsun. Aadaki iaretli uzunluklar tanmlansn:DF = x,FC = y,

DH = s,HC = t,

DE = c,EB = d,

DA = a,GE = e,

DB = f,GB = g.

(ekil a bakn.) Hiperboln dikey kenarnn uzunluu ve2b2 = a ise

x2

a2 y

2

b2= 1

olduundans2

f 2 t

2

g2c/e= 1.

Teorem . Hiperboln bir (ve tek bir) ap iin ordinatlarapa diktir, yani hiperboln bir (ve tek bir) ekseni vardr.

Eksenler

A

B

C

D E FG

H K

L

ekil : Hiperboln yeni ap

. Uzaklk

Sz . Dik genle x2 = a2 + b2 denkleminin zm bulu-nabilir.

Tanm . x2 = a2 + b2 denkleminin (pozitif) zma2 + b2.

Tanm . Eksenler verilirse, koordinatlar (a, b) olan noktaifadesinin yerine (a, b) noktas diyebiliriz.

Teorem . Eksenler dik ise (a, b) noktasnn (c, d) noktasn-dan uzakl

(a c)2 + (b d)2.

. Uzaklk

df

s dfs

ccfs

dg

t

e

egt

dgt

ekil : Hiperboln benzer genleri

Tanm . Eksenler dik ve a 6= c ise ucu (a, b) ve (c, d) olandorunun eimi

b da c.

Sz . Tanm te eksenlerin dik olmas gerekmez ama nor-maldir.

Teorem . Paralel dorularn eimleri ayndr. Dik eksenegre, a 6= c ise (a, b) ve (c, d) noktalarndan geen usuz do-runun noktalar,

y =d bc a (x a) + b

Eksenler

denklemini salayan noktalardr. Eimi e/f olan ve (a, b) nok-tasndan geen usuz dorunun noktalar,

y =e

f (x a) + b

denklemini salayan noktalardr. y eksenine paralel olan ve(a, b) noktasndan geen usuz dorunun noktalar,

x = a

denklemini salayan noktalardr.

Sz . u anda Descartesn ortaya koyduu uylam uygun-dur:

Tanm . Bir birim uzunluu seilirse,

1

olarak yazlabilir. Eer a b = c 1 ise, o zaman ab alan colarak anlalabilir. Bu ekilde alan, hacim, oranher ey biruzunluk olur. zel olarak eim, bir harf ile yazlabilir.

Teorem . Dik eksenlere ve birim uzunluuna gre y ekse-nine paralel olmayan dorunun denklii

y = mx+ b

biiminde yazlabilir, ve bunun gibi her denklem, eimi m olanve (0, b) noktasndan geen doruyu tanmlar. Benzer ekildea 6= 0 veya b 6= 0 ise (yani a2 + b2 6= 0 ise)

ax+ by + c = 0

denklemi bir doru tanmlar, ve her dorunun denklemi bu e-kilde yazlabilir.

. Uzaklk

Tanm . ekil de BAC dik ise

cos =b

c.

Burada , BAC asnn eitlik snf olarak anlalabilir, ve

A c B

C

ab

ekil : Kosins tanm

cos, ann kosinsdr. Dik ann ls

2.

O zamancos

2= 0,

ve geni a ise

cos = cos( ).Teorem (Kosins Teoremi). ekil de

a2 = b2 + c2 2bc cos.

Tanm . Dik eksenlere gre

(a, b) (c, d) = ac+ bd,(a, b) =

(a, b) (a, b) =a2 + b2.

(a, b) noktas, (0, 0) balang noktasndan (a, b) noktasna gi-den ynl doru olarak anlalabilir.

Eksenler

A c B

C

a

b

A c B

C

ab

A c B

C

ab

ekil : Kosins Teoremi

Teorem . Dik eksenlere gre (a, b) ve (c, d) arasndaki a ise

(a, b) (c, d) = (a, b) (c, d) cos .

Teorem (CauchySchwartz Eitsizlii).

(ac+ bd)2 6 (a2 + b2) (c2 + d2).

Tanm (mutlak deer). |a| ={

a, eer a > 0 ise,

a, eer a < 0 ise.

Teorem . Dik eksenlere ve birim uzunluuna gre (s, t)noktasnn ax+ by + c = 0 dorusuna uzakl

|as+ bt+ c|a2 + b2

.

. Dik eksenlere gre koni kesitleri

Tanm . a 6= 0 ise

a

= 0.

. Dik eksenlere gre koni kesitleri

Sz . imdi > 0 ve a 6= 0 ise, dik eksenlere gre,

y2 = x 2a

x2

Apollonius denklemi, ekseni x ekseni olan ve kesi balangnoktas olan

a < 0 durumunda hiperbol,

a = durumunda parabol,

a > 0 durumunda elipsi

tanmlar. ekil ye bakn.

Sz . > 0 ve a 6= 0 (ve a 6= ) olsun, ve

b > 0, 2b2 = a

olsun. O zaman dikey kenar olan, yanlamasna kenar 2|a|olan merkezli koni kesitlerinin merkez denklemi

x2

a2 y

2

b2= 1.

ekil e bakn.

Tanm . x2/a2 y2/b2 = 0 denklemi, x2/a2 y2/b2 = 1hiperboln asimptotlarn tanmlar. Yani hiperboln asimp-totlar, y = (b/a)x dorulardr.

Teorem . y2 = x + (/2a)x2 hiperboln asimptotlarnndenklemi

y =

2a (x a).

Eksenler

a = 1/2a = 1

a =

a = 1

a = 1/2

ekil : y2 = x x2/2a koni kesitleri

Tanm . Denklemi y2 = x olan paraboln odak noktas(

4, 0

)

ve dorultman dorusu

x+

4= 0.

Teorem . Denklemi y2 = x olan paraboln noktalar,odak noktasna ve dorultmana uzakl ayn olan noktalardr.

Tanm . Denklemi x2/a2 y2/b2 = 1 olan hiperbolnodak noktalar

(a2 + b2, 0),

. Dik eksenlere gre koni kesitleri

aa

b

b

ekil : x2/4 y2 = 1 koni kesitleri

(srasyla) dorultman dorular

x = a2

a2 + b2

,

ve dmerkezlilii a2 + b2

a.

ekil e bakn. Ayrca 0 < b < a ise denklemi x2/a2+y2/b2 =1 olan elipsin odak noktalar

(a2 b2, 0),

(srasyla) dorultman dorular

x = a2

a2 b2

,

ve dmerkezlilii a2 b2a

.

ekil e bakn.

Eksenler

bb bb

b

b

aa

b

b

a2 + b2

a2 + b2

ekil : Hiperboln odaklar ve dorultmanlar

Sz . ekil daki gibi merkezli koni kesitinin merkezi A,ve (merkezin ayn tarafnda olan) kesi B, ve oda C ise,ve dorultman, koni kesitinin eksenini D noktasnda keserse,tanma gre koni kesitinin dmerkezlilii AC : AB, ama

AC : AB :: AB : AD,

dolaysylaBC : BD :: AC : AB,

ve sonu olarak koni kesitinin dmerkezlilii BC : BD.

Teorem . Merkezli koni kesitinin noktalar, bir odak nok-tasna ve ona karlk gelen dorultman dorusuna uzaklklar-nn orannn dmerkezlilik olduu noktalardr. Yani ekil ve de (CB = C B ve BD = BD olduundan) aadakikoullar denktir:

E noktas koni kesitinde,

. Dik eksenlere gre koni kesitleri

bb

b

b

bb bb b2 a2

a

b2 a2

a

b

b

aa2b2

aa2b2

ekil : Elipsin odaklar ve dorultmanlar

A B CDbb

AB CDb b

ekil : Odak ve dorultman

CE : EF :: CB : BD,

C E : EF :: CB : BD.

Sz . BC : BD :: AB : AD :: BB : DD olduundanmerkezli koni kesitinin E noktalar iin (ve sadece bu noktalariin)

C E CE : EF EF :: BB : DD.

Elipste EF + EF = FF = DD, dolaysyla

CE + C E = BB.

Eksenler

bb b

AB BC C

D D

E

FF

ekil : Hiperboln dmerkezlilik

bb b

AB BC C D D

EF F

ekil : Elipsin dmerkezlilik

. Dik eksenlere gre koni kesitleri

OA

B

C

D

E

ekil : Trigonometri (gen lmesi)

Hiperbolde E, soldaki daldaysa EF EF = DD, dolaysyla

C E CE = BB.

. Kutupsal koordinatlar

Tanm . Sayfa deki ekil de BAC dik ise

sin =a

b, tan =

a

c, sec =

b

c,

cos =c

b, cot =

c

a, csc =

b

a.

Sz . ekil daki emberin yarap birim ise

sin = CD =1

2DE, tan = AB, sec = OB.

Latincede tangens, tangent-, dokunan, teet demektir; secans, secant-, kesen demektir; sinus, koy, krfez demektir.

Latince sinus un matematiksel kullanl, Arapadan yanleviridir. Arapada

Eksenler

x

y

OA

BC

DE

ekil : Alarn ls

cayb, koy, krfez demektir; ciba, sins demektir.

Tanm . ekil da BOD ve COE dorular birbirine dikise ve AOB = ise

AOC = +

2, AOD = + , AOE = +

3

2.

Herhangi a ls iin

= 2 = 4 = Dzlemde O olmayan herhangi F noktas iin OF = r veAOF = ise F noktasnn kutupsal koordinatlar

(r, ) veya (r, ).F noktasnn dik koordinatlar (x, y) ise

sin =y

r, tan =

y

x, sec =

r

x,

cos =x

r, cot =

x

y, csc =

r

y.

Bir erinin noktalarnn kutupsal koordinatlarnn salad birdenklem, erinin kutupsal denklemidir.

. Kutupsal koordinatlar

p r cos

re =

r

p+ r cos

b

b

ekil : Koni kesitinin kutupsal denklemi

Teorem . Dzlemde O olmayan bir noktann dik koordi-natlar (x, y) ve kutupsal koordinatlar (r, ) ise

r2 = x2 + y2, x = r cos ,

tan =y

x, y = r sin .

Teorem . ember olmayan, oda (0, 0) olan, dorultmanx + p = 0 olan, dmerkezlii e olan, koni kesitinin kutupsaldenklemi

r =ep

1 e cos . ()

(ekil e bakn.) Karlk gelen dik denklem,

(1 e2) x2 + y2 = 2e2px+ e2p2.

Sz . e = 1/p durumunda () denklemi

r =1

1 e cos olur. Baz durumlar ekil de grnr.

Eksenler

r =1

1 e cos

e = 0e = 16/25

e = 4/

e = 1

e = 5/4

e = 25/16

ekil : Dmerkezlie gre koni kesitleri

r = 1

r = cos

r = sec

O

AB

C

ekil : emberler ve doru

. Kutupsal koordinatlar

Teorem . (ekil e bakn.)

r = cos kutupsal denklemi, merkezi (1/2, 0) olan veyarap 1/2 olan emberi tanmlar.

r = sin kutupsal denklemi, merkezi (0, 1/2) olan ve ya-rap 1/2 olan emberi tanmlar.

r = sec kutupsal denklemi, x = 1 dorusunu tanmlar.

r = csc kutupsal denklemi, y = 1 dorusunu tanmlar.Sz . ekil te OA : OB :: OB : OC, ama OB = 1,dolaysyla

OA OC = 1.Teorem . (ekiller , , , ve ye bakn.) Her ndoal says iin

r = cos(n) ve r = sin(n)

kutupsal denklemlerinin her biri,

n saysnn ift olduu durumda 2n-yaprakl gl ta-nmlar.

n saysnn tek olduu durumda n-yaprakl gl tanm-lar.

Sz . ekil de grnen eriler, a {

0, 14, 12, 34, 1, 5

4, 32

}

durumlarndar = a+ cos

kutupsal denklemi tarafndan tanmlanr. Bu erilerin her bi-rine limason denebilir (Franszcada limaon, salyangoz de-mektir); a = 1 durumunda eri kardiyoid (, kalpekli demektir).

Eksenler

b

= /4 = 3/4r = cos(2)

r = 1

ekil : 4-yaprakl gl

. Kutupsal koordinatlar

b

= /6

= /6

= /2

r = 1

r = cos(3)

ekil : 3-yaprakl gl

Eksenler

r = cos(4) r = cos(5)

ekil : 8- ve 5-yaprakl gller

r = sin r = sin(2) r = sin(3)

r = sin(4) r = sin(5) r = sin(6)

ekil : Gller

. Kutupsal koordinatlar

ekil : Limasonlar

Eksenler

b b

ekil : Lemniskat

Teorem . (1, 0) noktalarna uzaklklarnn arpm birimolan noktalarn yeri,

r2 = 2 cos(2)

kutupsal denklemi tarafndan tanmlanr. (ekil a bakn.)

Sz . Teorem da tanmlanan eriye lemniskat denir.Eski Yunanca , erit, kurdele demektir. (adaYunanca vardr; talyanca cordola vardr. BunlarEski Yunanca kelimesinden gelir.)

. Uzay

Tanm . Tanm daki gibi xy eksenleri verilmi ise, on-larn O kesiim noktasndan geen ve onlarn dzleminde ol-mayan z ekseni eklenebilir.

Teorem . Xyz eksenleriyle donatlm uzayda, Teoremdeki gibi her A noktas iin x ekseninde bir ve tek bir Biin, y ekseninde bir ve tek bir C iin, z ekseninde bir ve tekbir D iin

. Uzay

AB dorusu, yz dzlemine paraleldir, AC dorusu, xz dzlemine paraleldir, AD dorusu, xy dzlemine paraleldir.

Tam tersine b, c, ve d iaretli uzunluk olmak zere, herhangibir (b, c, d) sral ls iin, x ekseninde bir ve tek bir B iin,y ekseninde bir ve tek bir C iin, dzlemde bir ve tek bir Aiin

OB = b,

OC = c,

OD = d,

ve yukardaki paralellik koullar salanr.

Tanm . Teorem de b, A noktasnn x koordinat-dr; c, A noktasnn y koordinatdr; ve d, A noktasnn zkoordinatdr. Koordinatlar (b, c, d) olan nokta ifadesininyerine (b, c, d) noktas diyebiliriz.

Teorem . Xyz eksenleri dik ise (a, b, c) noktasnn(d, e, f) noktasndan uzakl

(a d)2 + (b e)2 + (e f)2.

Teorem . Eer

a2 + b2 6= 0, c 6= 0, d 6= 0

ise, o zaman dik xyz eksenlerine gre

y2 + z2 = d2x2

denklemi, bir dik koninin yzeyini tanmlar, ve

ax+ by = c

denklemi, koniyi kesen bir dzlemi tanmlar. Bu ekilde birkoni kesiti belirtilir.

Dejenere durumda A zaten bir eksendedir.

Eksenler

Sz . Teorem kullanarak Teorem teki koni ke-sitinin zelliklerini kantlanabilir. zel olarak kesitin rastgelenoktasnn ordinatnn ve karlk gelen absisin uzunluklar bu-lunabilir ve onlarn ilikisi belirtilebilir. Ama Teorem tekikoni diktir, ve Teorem ve deki koniler dik olmayabilir.

. Vektrler

Sz . Tanm de vektrler tanmladk. Bu tanm, uzaydada geerlidir.

Teorem . Ya xy dzleminde ya da xyz uzaynda herAB

ynl dorusu iin, bir ve tek bir C noktas iin

AB =

OC.

Tanm . Teorem sayesinde OC vektr ifadesinin

yerine C vektr diyebiliriz. Ayrca bir vektr iin

~c

gibi bir ifade kullanlabilir: dzlemde ~c bir (c1, c2) noktasnbelirtir; uzayda bir (c1, c2, c3) noktasn belirtir. Vektrler top-lanabilir ve oaltlabilir:

(a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3),

a (b1, b2, b3) = (ab1, ab2, ab3).

Ayrca birbirini arpabilir, ama sonu bir uzunluk, yani birskalerdir:

(a1, a2, a3) (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3.

. Vektrler

Dzlemde benzer tanmlar kullanlr. Ya dzlemde ya dauzayda

~a =~a ~a.

ki vektrn as vardr: nokta olarak vektrler A ve B isevektrlerin as

AOB.

Eer ~a ve ~b vektrleri birbirine dik ise (yani as /2 ise),

~a ~b

ifadesi kullanlabilir. Vektrler paralel ise (yani as 0 veya ise)

~a ~bifadesi kullanlabilir.

Teorem . Dik eksenlere gre bir ~a vektrnn uzunluu

~a,

ve ~a ve ~b vektrlerinin as ise

~a ~b = ~a ~b cos .

zel olarak~a ~b ~a ~b = 0.

Sz . Teoremin kant, Kosins Teoremini (yani Teoremyi) kullanr. Soyut bir i arpm uzaynda Teorem ,uzunluklarn ve alarn tanmdr.

Teorem . Dik xyz eksenleriyle donatlm uzayda, sfrolmayan bir ~a vektrne dik olan ve bir ~b noktasndan geendzleminin denklemi

~a (x, y, z) = ~a ~b.

Eksenler

Sz . Uzayda bir dzlemin denklemi, a2+b2+c2 6= 0 olmakzere

(a, b, c) (x, y, z) = d veya ax+ by + cz = d

biiminde yazlabilir.

Teorem . Dik xyz eksenleriyle donatlm uzayda, bir ~cnoktasnn bir ~a (x, y, z) = ~a ~b dzlemine uzakl

|~a (~c~b)|~a .

Kant. Eer~b~c ve ~a vektrlerinin as ise istediimiz uzak-lk

~c~b |cos |,yani (Teorem a gre)

|~a (~c~b)|~a .

Sz . Teoremde dzlemin denklemi ax + by + cz = d venokta (s, t, u) ise istenen uzaklk

|as+ bt+ cu d|a2 + b2 + c2

.

Sz . Eer ~a, ~b, ve ~c noktalar verilirse, sfr olmayan bir ~diin verilmi noktalardan geen dzlem

~d (x, y, z) = ~d ~a veya ~d (

(x, y, z) ~a)

= 0

biiminde yazlabilir. O zaman ~d vektr,{

(~b ~a) (x, y, z) = 0(~c ~a) (x, y, z) = 0

()

. Vektrler

yani{

(b1 a1) x+ (b2 a2) y + (b3 a3) z = 0(c1 a1) x+ (c2 a2) y + (c3 a3) z = 0

dorusal denklem sisteminin sfr olmayan bir zmdr.

Tanm . Uzayda

~a~b =(

a2 a3b2 b3

,

a1 a3b1 b3

,

a1 a2b1 b2

)

.

Burada

a bc d

= ad bc.

Teorem . Uzayda

~a~b ~a, ~a~b ~b.

Ayrca ~a ve ~b vektrlerinin as ise

~a~b = ~a ~b sin ,

dolaysyla~a ~b ~a~b = ~0.

Sz . Sonu olarak () sisteminin bir zm,

(~b ~a) (~c ~a).

Sz . Uzayda ~a (x, y, z) = b ve ~c (x, y, z) = d dzlemleriparaleldir (veya ayndr) ancak ve ancak

~a ~c.

Eksenler

Dzlemler parelel deilse, bir doruda kesiir. Bu durumdadoru ~a ~c vektrne paraleldir. Doru bir ~e noktasndangeerse, dorunun her noktas

~e+ t (~a~b)

biiminde yazlabilir. imdi ~a~b = ~f olsun. Dorunun para-metrik denklemi

(x, y, z) = ~e+ t ~f.

Bu denklem

x = e1 + f1t

y = e2 + f2t

z = e3 + f3t

biiminde yazlabilir. Buradan iki dzlemin denklemleri kar,ve her birinde, deikenlerin biri grnmez. rnein f1f2f3 6= 0ise

x e1f1

=y e2f2

=z e3f3

.

. Vektrler

Kaynaka

[] Apollonius of Perga. Apollonii Pergaei Qvae Graece Exs-tant Cvm Commentariis Antiqvis, volume I. Teubner,. Edited with Latin interpretation by I. L. Heiberg.First published .

[] Apollonius of Perga. Conics. Books IIII. Green LionPress, Santa Fe, NM, revised edition, . Translatedand with a note and an appendix by R. Catesby Tali-aferro, with a preface by Dana Densmore and William H.Donahue, an introduction by Harvey Flaumenhaft, anddiagrams by Donahue, edited by Densmore.

[] Archimedes. The Two Books On the Sphere and the Cy-linder, volume I of The Works of Archimedes. Camb-ridge University Press, Cambridge, . Translated intoEnglish, together with Eutocius commentaries, with com-mentary, and critical edition of the diagrams, by RevielNetz.

[] Carl B. Boyer. A History of Mathematics. John Wiley &Sons, New York, .

[] Gler elgin. Eski YunancaTrke Szlk. Kabalc, s-tanbul, .

[] Ren Descartes. The Geometry of Ren Descartes. DoverPublications, Inc., New York, . Translated from the

French and Latin by David Eugene Smith and Marcia L.Latham, with a facsimile of the first edition of .

[] Thomas Heath. A History of Greek mathematics. Vol. II.Dover Publications Inc., New York, . From Aristarc-hus to Diophantus, Corrected reprint of the original.

[] D. Hilbert and S. Cohn-Vossen. Geometry and the imagi-nation. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y.,. Translated by P. Nemnyi.

[] H. I. Karaka. Analytic Geometry. M V [MatematikVakf], [Ankara], n.d. [].

[] Morris Kline. Mathematical Thought from Ancient to Mo-dern Times. Oxford University Press, New York, .

[] Henry George Liddell and Robert Scott. A Greek-EnglishLexicon. Clarendon Press, Oxford, . Revised andaugmented throughout by Sir Henry Stuart Jones, withthe assistance of Roderick McKenzie and with the coope-ration of many scholars. With a revised supplement.

[] Alfred L. Nelson, Karl W. Folley, and William M. Borg-man. Analytic Geometry. The Ronald Press Company,New York, .

[] Sevan Nianyan. Szlerin Soyaac: ada TrkeninEtimolojik Szl. Adam Yaynlar, stanbul, rd edi-tion, . The Family Tree of Words: An EtymologicalDictionary of Contemporary Turkish. Geniletilmi gz-den geirilmi (expanded and revised).

Kaynaka

[] klid. elerin Kitabndan Birinci Kitap. MatematikBlm, Mimar Sinan Gzel Sanatlar niversitesi, stan-bul, th edition, Eyll . klidin Yunanca metni vezer ztrk & David Piercein evirdii Trkesi.

[] Pappus. Pappus Alexandrini Collectionis Quae Super-sunt, volume II. Weidmann, Berlin, . E libris manuscriptis edidit, Latina interpretatione et commentariisinstruxit Fridericus Hultsch.

[] J. T. Pring, editor. The Pocket Oxford Greek Dictionary.Oxford University Press, .

[] Ivor Thomas, editor. Selections Illustrating the History ofGreek Mathematics. Vol. I. From Thales to Euclid. Num-ber in Loeb Classical Library. Harvard UniversityPress, Cambridge, Mass., . With an English transla-tion by the editor.

[] R. S. Underwood and Fred W. Sparks. Analytic Ge-ometry. Houghton Mifflin Company, Boston, .

[] M. Vygodsky. Mathematical Handbook: Higher Mathema-tics. Mir Publishers, Moscow, . Translated from theRussian by George Yankovsky. Fifth printing .

Kaynaka