ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR CAMPURAN TERGENERALISIR

ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR

CAMPURAN TERGENERALISIR

Wahyuning Widiyastuti

Abstract

We will develops a technique for finding robust maximum

likelihood estimates of the model parameters in generalized

linear mixed models. The asymptotic properties of the robust

estimates lies in the presence of outliers, and these estimates also

compared to the ordinary classical estimates. By starting from a

natural class of robust estimators for generalized linear models

based on the notion of likelihood, we define robust deviances

that can be used for stepwise model selection as in the classical

framework. The binomial models are treated in detail.

Application to real data and a sensitivity analysis show that the

inference obtained by means of the new techniques is more

reliable than that obtained by classical estimation and testing

procedures.

Key words : Generalized linear models, Mixed models, Maximum

likelihood

Abstrak

Akan dibangun teknik untuk mencari estimasi Maksimum

Likelihood Robust dari Model Linear Campuran yang

Tergeneralisir. Sifat asimtotis dari estimator robust diselidiki

dalam kehadiran outlier, estimasi ini juga dibandingkan

dengan estimasi klasik yang biasa. Dengan berawal dari model

asli estimator robust untuk model linear yang tergeneralisir,

kita akan mendefinisikan alat yang robust yang dapat kita

gunakan untuk menyelesaikan model yang klasik. Model

Binomial akan diperlakukan secara detail. Aplikasi untuk data

yang nyata dan analisis sensitifitas menunjukkan bahwa dapat

digeneralisir teknik baru ini lebih reliable daripada model

klasik untuk mendapatkan estimasi klasik dan teknik

prosedur.

ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

34 Journal of Mathematic Teaching

1. Pendahuluan

Pendekatan analisis regresi merupakan analisis yang

digunakan untuk mempelajari bentuk ketergantungan Antara satu

peubah tak bebas dengan satu atau lebih peubah bebas, yang

didalamnya terdapat asumsi-asumsi pokok yang mendasari. Misal

diberikan model regresi linear Y = Xβ + ε dengan Y dan ε adalah

vector-vektor random berdimensi n x p dan β berdimensi p, yaitu

parameter yang diestimasi. ε diasumsikan berdistribusi Normal

independen dengan mean nol dan variansi berhingga σ2.

Dalam prakteknya terjadi antara lain sebaran data yang

normal, tetapi mengandung pengamatan yang merupakan outlier.

Adanya data yang merupakan outlier dapat memberikan pengaruh

terhadap hasil analisisnya, seperti terjadinya koefisien regresi yang

seharusnya signifikan menjadi tidak signifikan. Dengan kondisi

demikian ini dikatakan bahwa parameter-parameter dalam model

yang diestimasi bersifat tidak tegar terhadap outlier, artinya nilai

estimasinya dapat dipengaruhi secara kuat oleh adanya data yang

merupakan outlier.

Data yang merupakan outlier adalah suatu penyimpangan

atau keganjilan dan menandakan suatu data yang sama sekali tidak

tipikal dibandingkan dengan data yang lain. Penolakan begitu saja

terhadap outlier bukanlah prosedur yang bijaksana, karena

adakalanya suatu outlier memberikan informasi yang tidak dapat

diberikan oleh data yang lain. Prosedur yang bersifat robust

ditujukan untuk mengakomodasi adanya data outlier dan sekaligus

meniadakan pengaruhnya terhadap hasil analisis tanpa terlebih

dahulu mengadakan identifikasi terhadap data yang tidak cocok

dengan model. Prosedur ini lebih bersifat otomatis dalam

menanggulangi data outlier. Karenanya diperlukan metode estimasi

parameter yang bersifat tegar untuk mengatasi outlier, dimana nilai

dugaannya tidak banyak dipengaruhi oleh perubahan kecil dalam

data. Robust dapat diartikan sebagai suatu analisis yang tidak terlalu

tergantung secara kritis pada asumsi distribusi tertentu. Prosedur

analisis statistic yang kita harapkan adalah prosedur yang

menghasilkan keluaran cukup baik, meskipun beberapa asumsinya

tidak terpenuhi secara sempurna.


35 Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

Model Linear Campuran Tergeneralisir (Generalized Linear

Mixed Model) berguna dalam analisis dari data outlier. Model ini

berguna untuk mengakomodasi disperse berlebih yang sering

teramati diantara respon distribusi normal. Biasa diasumsikan

bahwa efek random mempunyai distribusi normal multivarian yang

komponen variansinya diestimasi dari data. Aplikasi untuk model

statistik linear merupakan kejadian yang relative dibutuhkan saat ini,

artinya sebagai alat matematika, model linear campuran

tergeneralisir membantu dalam memahami aspek khususnya

prosedur analisis yang berkaitan dengan model linear terutama

analisis data. Maksimum Likelihood analisis berdasar pada distribusi

bersama likelihood yang dapat berguna untuk mengestimasi

parameter-parameter efek acak maupun efek tetap dalam model

linear campuran tergeneralisi, ini membutuhkan teknik integrasi

numeric untuk menghitung log-likelihood, persamaan skor, dan

elemen informasi matrik. Meskipun demikian, kegunaan model linear

campuran tergeneralisir terbatasi untuk model yan relative

simple,dengan ditemukan bahwa model ini tidak mudah dipecahkan

untuk masalah lebih rumit yang mengandung integral berdimensi

tinggi dengan jumlah yang tidak terbatas. Untuk menghindari

masalah perhitungan seperti ini, beberapa pendekatan Bayesian

disarankan untuk memperumum sampel.

Dalam penulisan ini akan dibangun Maksimum Likelihood

Robust melalui algoritma Newton Raphson untuk mendekati estimasi

maksimum Likelihood Robust akan dibandingkan dengan estimasi

Maksimum Likelihood eksak atau estimasi Maksimum Likelihood

klasik untuk model sederhana. Nantinya ditemukan bahwa estimasi

Maksimum Likelihood Robust menurunkan sifat dari estimasi

Maksimum Likelihood eksak.

Analisis klasik dari model linear campuran tergeneralisir

dapat sangat sensitive terhadap outlier, dengan menganggap analisis

maksimum likelihood robust dari model linear campuran

tergeneralisir dalam bingkai kerja Maksimum Likelihood. Estimasi

Maksimum Likelihood Robust dengan parameter regresi dan

komponen variansinya dalam model linear campuran tergeneralisir

mengandung spesifikasi dari distribusi posterior efek acak. Ini

mungkin untuk mendekati distribusi posterior yang dimaksud



dengan menghaslkan gambaran acak dari distribusi dengan tidak

membutuhkan spesifikasi dari distribusi posterior.

Sifat asimtotis estimator Maksimum Likelihood Robust

diselidiki dibawah kondisi regular. Estimator Maksimum Likelihood

Robust terlihat konsisten dan berdistribusi asimtotis dengan mean

vector dan covarian matrik tertentu. Simulasi dilakukan untuk

menggali perilaku sampel dari esimasi maksimum likelihood robust

dengan adanya outlier. Hasil simulasi mengindikasikan bahwa tidak

seperti maksimum likelihood robust berguna untuk menurunkan

bobot titik yang berpengaruh dalam data ketika mengestimasi

parameter pada model linear campuran tergeneralisir. Untuk itu

dalam penulisan ini akan dibahas mengenai analisis robust dari

model linear campuran yang tergeneralisir, dibahas pula mengenai

penduga maksimum likelihood robust, yang merupakan estimasi

parameter yang bersifat robust, sebagai alternative pemecahan

adanya data yang merupakan outlier.

Permasalahan dirumuskan bagaimana bentuk dan

karakteristik estimator maksimum likelihood robust serta

membandingkannya dengan estimasi maksimum likelihood klasik

Tulisan ini bertujuan menjawab permasalahan yang telah

dikemukan sebelumnya, yaitu menaksir estimator maksimum

likelihood robust, serta membandingkan estimasi maksimum

likelihood robust dengan estimasi maksimum likelihood klasik.

Sehingga diharapkan dapat memberikan manfaat dalam memperkuat

pengetahuan tentang teori estimasi. Dapat memberikan informasi

bagi penulis lain, khususnya untuk masalah yang relevan dengan

tulisan ini.

2. Model Linear Tergeneralisir

Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), model linear

tergeneralisir merupakan perluasan dari proses pemodelan linear

yang mengijinkan penentuan model dari suatu data yang

berdistribusi Normal seperti Poisson, Binomial, Multinomial dan

lainnya. Uji hipotesis yang diterapkan dalam model linear

tergeneralisir tidak memerlukan asumsi kenormalan dari variable

responnya ataupun kehomogenan variansi. Sehingga dengan dmikian

model linear tergeneralisir tak hanya dapat digunakan pada variable



respon yang berdistribusi selain Normal dan variansi yang tak

konstan/homogeny. Misalnya data yang berbentuk cacah akan lebih

cocok dianalisa sebagai variable random yang berdistribusi Poisson

pada konteks model linear tergeneralisir.

Komponen-komponen dalam model linear tergeneralisir, yaitu :

1. Variabel dependennya, y1,y2,…,yn dengan mean E(y) = μi

diasumsikan merupakan bagian dari distribusi keluarga

eksponensial.

2. Sekumpulan parameter β(px1) dan variable independen xi(px1)

y dengan penjelas x1,…,xp merupakan suatu Model Linear

Tergeneralisir bila memenuhi kondisi berikut :

(i) Distribusi setiap elemen yi dari Y dengan i = 1,…,n nilai xi1,…,xip

diketahui, menjadi anggota keluarga eksponensial, dengan

bentuk umum

untuk fungsi tertentu a( ), b( ) dan c( )

Jika diketahui, maka fungsi tersebut merupakan anggota

keluarga eksponensial dengan parameter kanonik θ.

(ii) Vektor xi mempengaruhi yi dalam bentuk predictor linear μ,

sehingga untuk setiap I, berlaku

Harga harapan dari setiap observasi dapat diekspresikan

sebagai suatu fungsi yang diketahui dari predictor linearnya

yaitu E(Yi) = μi = g(ηi), Fungsi g( ) dikenal sebagai fungsi link.

Beberapa Teorema penunjang yang akan dikemukakan, yaitu

sebagai berikut :

Teorema 2.1 (Teorema Limit Pusat)

Jika X1, X2, … , Xn sampel random dari suatu distribusi dengan mean µ

dan variansi

,yc

a

byexp i

iii

p

1

ijji x



σ2 > 0, maka limit distribusi adalah normal baku

untuk

Definisi 2.2

Barisan {Zn}, untuk dikatakan konvergen hamper pasti

(almost surely = a.s) atau konvergen dengan probabilitas satu ke Z

jika untuk setiap s S dan untuk

Zn(s) konvergen ke Z, kecuali mungkin pada W S dengan P(W) = 0.

Secara singkat

ditulis untuk atau . Jadi Zn

konvergen ke

Z untuk , artinya untuk setiap ε > 0 dan s Wc(komplemen

W) terdapat N(ε,s),

sehingga untuk semua n N(ε,s) berlaku

Teorema 2.3

Misal Qn(ω,β) fungsi terukur pada ruang ukuran Ω dan untuk setiap

ω ϵ Ω Qn(ω,β) adalah sampel log likelihood dikenal juga sebagai

regresi jumlah kuadrat, maka terdapat

fungsi terukur , sedemikian hingga Qn ( ω, ) =

untuk setiap ω ϵ Ω. Jika untuk

n

nX

Z

n

1t

T

n

)1,0(N~ZZd

n n

n

n

ZZs.a

n n

1ZZPnn

n

)s(Z)s(Zn

n̂ n̂ nn

n

ˆ,Qinf

0)ˆ,(Q),(Qs.a

nnn



semua β ϵ Θ, Qn ( ω, ) equikontinu, dan mempunyai sifat

teridentifikasi minimal secara tunggal , untuk n = 1, … , maka

untuk

Bukti

Ambil ε > 0 sebarang.

Karena ada dan teridentifikasi secara tunggal, maka

terdapat barisan

)(Q)(Qmin *

nnnN

n cn

dengan adalah

komplemen dari Nn dan ,

sedemikian hingga kompak, Qn ( ω, ) dan tidak

dibutuhkan untuk konvergen kesetiap limit sehingga

untuk semua tetapi berhingga untuk n, yang mana secara tidak

langsung berlaku bahwa terdapat beberapa n0(ε) sedemikian hingga

untuk semua n ≥ n0(ε) berlaku maka

sehingga untuk semua n cukup besar.

3. Robust

Menurut Huber, “Robustness” (ketegaran) berarti

ketidakpekaan terhadap perubahan-perubahan kecil dari asumsi-

asumsi. Dan secara umum arti dari robust menyatakan suatu analisis

yang tidak terlalu tergantung secara kritis pada asumsi distribusi

tertentu.

Pertama kali yang perlu diperhatikan adalah ketegaran

distribusi, yaitu bentuk distribusi yang sebenarnya menjadi dasar

n̂

*n

0s.a*

nn n

)(ˆn n̂

cnN

cnN

)(n

n̂*n

0n

0n

2)ˆ,(Q),(Q nnn

nn Nˆ



yang sedikit menyimpang dari model yang diasumsikan, hal ini

penting dan baik untuk dipahami. Beberapa prosedur statistik klasik

memperlihakan sangat kurangnya ketegaran distribusi. Pencilan

(outlier) memberikan sebuah contoh diantaranya. Selain

pengamatan (data) yang ekstrim atau outlier, factor-faktor yang

mempengaruhi ke”robust”an/ketegaran antara lain : tidak atau

kurang terpenuhinya asumsi-asumsi standar stokastik, misalnya :

independensi, distribusi identic, keacakan(random) dan lain-lain.

4. Outlier

Tidak semua pengamatan akan mempunyai pengaruh atau

peran yang sama dalam pencocokan estimasi dan analisis yang

mengikutinya. Adalah diluar kebiasaan dalam regresi linier bahwa

terdapat satu atau lebih kasus di dalam suatu analisis dengan

pengamatan yang menyimpang dari model yang sesuai, saat dimana

sebagian besar dari data yang ada kelihatan cocok dan baik.

Setiap kumpulan data pada umumnya akan memiliki nilai-

nilai yang ekstrim, akan tetapi tidak selalu bahwa suatu nilai yang

ekstrim tersebut adalah suatu outlier. Tetapi suatu pengamatan

dengan nilai ekstrim merupakan kandidat utama untuk outlier.

Outlier didefinisikan sebagai pengamatan yang mempunyai nilai

sisaan mutlak yang cukup besar jika dibandingkan dengan

pengamatan yang lain dalam kumpulan data. Outlier

diidentifikasikasi secara subyekif sebagai sebuah observasi yang

menmbulkan “kejutan” pada nilainya relative terhadap anggota-

anggota sampel yang lain. Outlier bukanlah sebuah nilai ekstrim yang

sederhana tetapi dia mempunyai suatu bentuk pemrosesa. Outlier

sangatlah relative dan perlakuan outlier pada dasarnya bergantung

pada asumsi distribusi yang mendasarinya. Untuk mendeteksi

adanya outlier dapat dilakukan dengan melalui plot residual. Dengan

membuat plot residual terhadap fitted value maka data yang

menrupakan outlier akan dapat diidentifikasi karena terletak jauh

dari pola data umumnya. Cara ini adalah pendekatan kasar dalam

mendeteksi adanya

5. Model Linear Campuran Tergeneralisir

Model linear campuran tergeneralisir merupakan pengembangan

model linear klasik. Pengembangan ini berdasarkan pada suatu



penemuan bahwa distribusi Normal termasuk dalam keluarga

distribusi yang lebih luas, yaitu keluarga eksponensial.

Diasumsikan observasi yi mempunyai distribusi yang termasuk

dalam keluarga eksponensial dengan fungsi densitas seperti :

untuk beberapa fungsi a, b, dan c

Bentuk kanonik parameter

dengan

adalah kolom ke-i dari matrik X untuk efek tetap dan

adalah kolom ke-i dari matrik Z untuk efek acak

Kita juga mengasumsikan bahwa vector efek acak u berdistribusi

normal dengan rata-rata 0 dan variansi σ2 atau

u ~ N ( 0 , σ2 )

6. Model Campuran Biner

Anggap model campuran biner dengan 1 efek random dan 1 efek

tetap

~ independen Bernoulli (pij), dengan i = 1,…,n dan j = 1,…,k

uj ~ independen N ( 0 , σ2 )

dengan uj efek random dari model biner campuran

Dalam model ini,

),y(c

)(a

))(by(exp),,uy(f i

iiiiuyi

uzx Ti

Tii

Tix

Tiz

uy ij

ij

ij

ijp1

plog

jij ux



Perhitungan persamaan dapat berbentuk

dengan

)u,(uYE ijij

)uxexp(1

)ux(exp

jij

jij

)u,(uYVar 2ijij

])uxexp(1[

)ux(exp

2jij

jij

0y)u,(qx)x()u,()u,(

)u,(yE

n

1i

iii

i

iic

0y)u,(qx)x()u,())u,(r(En

1i

k

1j

iiiijc

)u,(

)u,(y)u,(r

ij

ijij

ij

ij

ij

ij1

)u,(

n

1i

k

1j

ijijijijc x)x()u,(u))u,(r(Enk

1)u,(q



Distribusi fu dalam u ~ fu(u ) dipilih N ( 0 , σ2Ik)

Persamaan iterasi Newton Raphson adalah

dengan :

u = ( u1, … , uk )T

W(β,U) = diagonal ( Wij) dengan Wij = )x()u,( ijij

Vektor d(β,U) dengan elemen u)))u,(r(E))u,(r(d ijcijcij

D(β,u) = diagonal ( Dij )

dengan Dij = ij

ij

d

u))u,(r(E))u,(r( ijcijc

ij

Selanjutnya

n

1i*jij

jij*

uxexp(1

)uxexp(1u

1

N

1s

)s()m()s()m(T)m()1m( X)u,(D)u,(WXN

1

N

1s

)s()m()s()m(T )u,(d)u,(WXN

1

ij

ij

ij

ij

ij'cijc

ij

p

p

r)r()r(



sehingga

Selanjutnya

)r(rp2

1)r()p1(p ij

'cijijij

'cijij

y

ijuyijc

ij

ijc

ij

)y(f)r(u)r(E

y

ijuy

ij

ijcijuyijc

ij

)y(f)r()y(f)r(

u))u,(r(E)u,)(r( ijcijc

ij

u)r(rE)p1(pu)r(E ijcijijijijc

ij

ij

ij

ij dD

)p1(pp

r)r( ijij

ij

ij

ij'c

ijijijijij

'c rp

2

1)p1(p)r(

u)r(Ep2

1u)r(E)p1(pu)r(E ij

'cijij

'cijijijc

ij



u)r(rE)p1(p ij'cijijij

Maka estimasi dari σ2 menjadi

7. Analisis Data Guide

Untuk mengevaluasi hasil dari maksimum likelihood robust,

studi simulasi kecil dilakukan dengan kehadiran dari outlier.

Bagaimanapun, obyek utama dari studi ini adalah untuk menggali

tampilan dari teknik robust dalam kasus dari outlier. Metode robust

diharapkan lebih efisien dari metode klasik ketika data

terkontaminasi dengan outlier. Estimasi klasik sering berpengaruh

besar oleh outlier semacam ini. Disini sangat penting untuk

diperhatikan bahwa dalam kasus model biner campuran, respon y

adalah biner, dan outlier dapat muncul hanya melalui nilai x.

))u,(r(E)u,)(r( ijc

ij

ijc

ij

u)r(rE)p1(pu)r(E))u,(r( ijcijijijijcijc

ij

u)r(E)p1(p)r(rp2

1)r()p1(p ij

'cijijij

'cijijij

'cijij

u)r(rE)p1(pu)r(rEp2

1ij

'cijijijij

'cijij

u)r(rE)r(rp2

1)u)r((E)r()p1(p ij

'cijij

'cijijij

'cij

'cijij

N

1s

)s(T)s()1m(2 uuk

1

N

1



Diselidiki juga keberadaan daerah gambaran dari estimasi,

seperti yang diperoleh maksimum likelihood robust, yang memadai

untuk memperbolehkan teori normal prosedur inferensi dalam

sampel dari ukuran yang cukup. Hasil dari teorema memberikan

jawaban asimtotis untuk pertanyaan ini, tetapi dibawah kondisi

campuran yang sulit diverifikasi secara empiris. Jadi untuk

menyelidiki jika kedatangan dari normalitas adalah cukup sederhana

seperti dampak merugikan teori normal inferensi parametrik.

Digunakan interval z untuk menemukan interval konfidensi baik β.

Disini maksimum likelihood robust memberikan alasan cakupan baik

dalam campuran biner maupun poisson. Maksimum likelihood

robust juga menampilkan hasil lebih baik dari metode klasik.

Preisser dan Qaqish (1999) menganalisa himpunan data yang

menarik dari GUIDE ( Guidelines of Urinary Incontenance Discussion

and Evaluation) studi. Tujuan dari studi ini adalah untuk

mengidentifikasi faktor diantara keterbatasan urin laki-laki dan

perempuan dari umur 76 ke atas diperkirakan respon mereka

dengan pertanyaan apakah suatu individu dalam kelompok umur

tersebut menganggap adanya ketergangguan dari masalah urine

dalam aktivitas sehari-hari atau mengganggu mereka dalam hal lain.

Dalam studi ini, 137 pasien dari 38 praktek medis diselidiki. Respon

variable biner yij = 1 jika pasien ke j dari praktek medis i

“terganggu/bothered” oleh pengeluaran urine mereka, dan 0 jika

mereka tidak terganggu. Prediktornya antara lain “gender” yaitu laki-

laki atau perempuan, “umur/age” menunjukkan umur 76 tahun ke

atas, “weekacc” berarti berapa banyak urine yang dikeluarkan pasien

dalam rata-rata minggu, “severe” mempunyai kategori 1 jika hanya

menciptakan kelembaban ketika pasien mengeluarkan urine,

kategori 2 jika ini menyebabkan kebasahan pada pakaian dalam

mereka, kategori 3 jika menetes sampai μpaha, kategori 4 jika ketika

mengeluarkan urine sangat banyak sampai menyebabkan lantai

menjadi basah, dan predictor “toilet/kamar kecil” menunjukkan

berapa sering selama sehari pasien biasa ke kamar kecil untuk

mengeluarkan urine.



Maka modelnya μij = E(Yij) dengan predictor umur =

10

)76ahunumurdalamt( , acc per hari =

7

gguminaccper,

“severe/berapa parah keluaran urine pasien”, “toilet/kamar kecil”

dan variable indicator gender.

Dengan menganalisis data GUIDE menggunakan model dengan

independent besyarat dan mean bersyarat untuk pasie ke j dari

praktek medis ke i terspesifikasi oleh logit (μij) = iTij uX , efek acak

εi diasumsikan i.i.d N ( 0 , σ2 )

Dengan hipotesis

Ho : σ2 = 0

H1 : σ2 > 0

Tingkat signifikansi α = 0,05

Kita dapatkan bahwa dari maksimum likelihood robust

diperoleh hasil yang lebih mewakili daripada maksimum likelihood.

Tidak seperti estimasi Maksimum Likelihood Robust, estimasi

Maksimum Likelihood tampak terpengaruh oleh beberapa

pengamatan dasar dalam data. Prediktor berat dan acc per hari

ditemukan signifikan secara tinggi baik oleh Maksimum Likelihood

dan Maksimum Likelihood Robust. Tetapi predictor perempuan dan

kamar kecil signifikan hanya oleh metode Robust Maksimum

Likelihood. Adanya outlier memberikan efek harga parameter β

menjadi lebih kecil, sehingga nilai x tidak begitu berpengaruh

terhadap y.

Berikut ini perbandingan estimasi parameter dengan

menggunakan estimasi Robust Maksimum Likelihood dan Maksimum

Likelihood



Tabel 1 : Nilai estimasi parameter

Parameter RML MLE

Intercept -3,0553 -3,2930

Female -0,7753 -0,6723

Age -0,9756 -0,6406

Dayacc 0,4918 0,4154

Severe 0,8128 0,8285

Toilet 0,1078 0,1108

σ2 1,7305 1,2179

Berikut adalah hasil selengkapnya iterasi dari perhitungan estimasi

robust maksimum likelihood

Tabel 2 : Hasil iterasi

Iterasi Intercept Female Age Dayacc Severe Toilet

1 1,0058 -1,6459 76 2,3315 1,8124 1,1078

2 -2,5691 -0,7783 76 1,3901 1,2171 1,0003

3 -3,0568 -0,7556 76 0,7928 0,8129 0,9878

4 -3,0557 -0,7592 77 0,5918 0,8024 0,6062

5 -3,0553 -0,7453 77 0,5116 0,7072 0,4478

8. Penutup

Dari pembahasan dapat diambil kesimpulan mengenai

analisis robust dari model linear campuran tergeneralisir

mengindikasikan tujuan maksimum likelihood robust yaitu berguna

untuk mengestimasi parameter model linear campuran tergeneralisir

dengan menurunkan bobot pengamatan yang berpengaruh dalam

data. Outlier umum dalam data dan analisis robust sering dipinjam

untuk menghadapi outlier ini. Hasil simulasi menguatkan

kemampuan dari maksimum likelihood robust untuk mewakili

pendekatan inferensi yang benar pada koefisien regresi dalam model

linear campuran tergeneralisir. Sanjoy Sinha telah mengembangkan

riset dengan menggunakan maksimum likelihood robust untuk studi

simulasi.



Didapatkan bentuk estimasi maksimum likelihood robust

untuk parameter β dan Σ dari model linear campuran tergeneralisir

dengan menggunakan iterasi adalah sebagai berikut :

Adaya outlier memberikan efek harga parameter β menjadi

lebih kecil, sehingga nilai x tidak begitu berpengaruh terhadap y.

Cara diatas tidak mendorong untuk menghilangkan outlier, disini

hanya menyajikan suatu analisis yang robust dalam model linear

campuran tergeneralisir. Jika ditemukan outlier, hendaknya

meninjau kembali pada data yang diperolehnya, untuk dapat

menjelaskan dari mana outlier berasal dan mungkin mengoreksi data

yang menyebabkan sumber outliernya, kemudian meneruskan untuk

mengambil keputusan selanjutnya.

Metode ini dapat dikembangkan lebih lanjut. Baik sebagai

perluasan dari metode robust maksimum likelihood, maupun sebagai

metode pembanding yang lebih baik. Pengembangan model ini

adalah model dengan variabel respon tidak hanya yang termasuk

dalam keluarga eksponensial, tetapi variable respon yang tidak

diketahui distribusinya.

1)m()m(T)m()1m( yXU,DU,WXE

yU,d)U,(WXE )m()m(T

N

1s

)s(u

)1m( )u(flnN

1



Daftar Pustaka

Bain, L.J. and Englehardt, M. 1992. Introduction To Probability and

Mathematical Statistics. Duxbury Press, California

Cantoni, E., and Rochetti, E. 2001, Robust Inference for Generalized

Linear Models, Journal of the American Statistical Association,

96, 1022-1030

Dudewicz, E. J and Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern.

Terjemahan. R. K Sembiring. Penerbit ITB Bandung

McCullagh, P. and Nelder, J. A. 1989, Generalized Linear Models, 2nd

edn, London. Chapman and Hall

Documents

ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR CAMPURAN TERGENERALISIR