AIHR AIIH XXIII CONGRESO LATINOAMERICANO DE HIDRÁULICA CARTAGENA DE INDIAS COLOMBIA, SEPTIEMBRE 2008

INCERTIDUMBRE ASOCIADA CON EL BALANCE

HÍDRICO DE LARGO PLAZO

Oscar David Álvarez1, Jaime Ignacio Vélez2, Germán Poveda2 1 Postgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia. Posición actual: Estudiante de Doctorado, Grupo de Investigación en Hidrogeología, Universidad Politécnica de

Valencia. osdaalvi@gmail.com. 2 Profesor Asociado, Postgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos, Facultad de Minas, Universidad

Nacional de Colombia, Sede Medellín, Colombia. jivelezu@unalmed.edu.co, gpoveda@unalmed.edu.co.

RESUMEN: Se ha desarrollado una metodología analítica para la cuantificación de la incertidumbre en la estimación del caudal medio usando la metodología del balance hídrico de largo plazo, aplicada a la red de drenaje de Colombia. Para su aplicación se debe disponer de estimativos de campos de incertidumbre de los campos de precipitación y evapotranspiración, y la incertidumbre en la estimación del área de la cuenca desde un Modelo Digital de Elevaciones (MDE), para éste último propósito se utilizó el método de Frolov y Maling, incorporado en el software HidroSIG. La estimación de la incertidumbre para la precipitación se realiza mediante una aproximación indicadora. Se calculan expresiones matemáticas para representar la incertidumbre en la estimación de los campos de evapotranspiración real y potencial en Colombia, usando la expresión de la propagación estadística de los errores, para los métodos de Cenicafé, Turc modificado, Thornwaite, Penman aproximado, Morton, Turc y Choudhury. Se encuentra que la incertidumbre asociada con la estimación del caudal exhibe un escalamiento simple con respecto al área de la cuenca. Se observa que la incertidumbre en la medición del área depende de la resolución del MDE, lo cual es importante en cuencas pequeñas que están representadas por pocos píxeles. PALABRAS CLAVES: Incertidumbre, balance hídrico, Colombia, HidroSIG. ABSTRACT: An analytical method to quantify the uncertainty associated with the long term water balance equation is developed. It requires estimating the long term average annual rainfall and evapotranspiration and their associated uncertainty fields. A Digital Elevation Model, DEM, is used within HidroSIG for a automatic watershed extraction and estimation of the main river basin geomorphologic features. The DEM is also used to estimate the uncertainty associated with drainage area, using the methods proposed by Frolov and Maling. Precipitation uncertainty was modeled using an indicator approach. Mathematical expressions are developed to quantify the estimation uncertainty in actual and potential evapotranspiration fields using the statistical propagation of errors. Uncertainty maps are estimated for the methods introduced by Cenicafé, modified Turc, Penman, Morton, Turc, and Choudhury, over the geography of Colombia. Results show that both the mean annual river flow and its uncertainty exhibit simple scaling with respect to drainage area. Furthermore, the uncertainty associated with drainage area depends on the DEM resolution, which points out the need to have very high resolution DEMs for small river basins. KEYWORDS: Uncertainty, water balance, Colombia, HidroSIG.

INTRODUCCIÓN En este trabajo se calculan los balances hídricos de largo plazo para algunas cuencas instrumentadas en Colombia y se ha desarrollado un método para estimar la incertidumbre asociada con la estimación del caudal medio de largo plazo, proveniente de los campos de entrada al balance de largo plazo (precipitación y evapotranspiración real promedio anual) y de la medición del área de la cuenca desde un Modelo Digital de Elevaciones, MDE. Esta capacidad ha quedado incorporada en el Atlas Hidrológico de Colombia, contenido en HidroSIG (Poveda et al., 2007a y 2007b). INFORMACIÓN UTILIZADA Y LA CUANTIFICACIÓN SU INCERTIDUMBRE Topografía. Se utilizó un MDE del GTOPO30, el cual tiene una resolución espacia de 30 segundos de arco, equivalentes aproximadamente a 900 m. Se ha considerado que la incertidumbre asociada al MDE tiene dos componentes, una relacionada con su construcción y se encuentra documentada en la página web del USGS (http://edc.usgs.gov/products/elevation/gtopo30/gtopo30.html), tiene que ver con la confiabilidad de la topografía digital empleada para ensamblar el mosaico; y otra generada durante el procedimiento de remuestreo del MDE, el cual se usa para transformar la resolución del MDE de 900 m a 4 km Ambos mapas se presentan en la Figura 2. Temperatura, Punto de Rocío, Presión Atmosférica y Humedad relativa. Para estas variables se utilizó la información empleada por Barco y Cuartas (1998), junto con los resultados que las relacionan con la altitud (ver Figura 2). Para dichas ecuaciones se desarrollaron expresiones de propagación de incertidumbre usando la ecuación de propagación estadística de los errores. Las incertidumbres estimadas se relacionan fuertemente con el remuestreo del MDE. Las expresiones de propagación de incertidumbre han sido presentadas detalladamente por Álvarez (2007). Brillo solar. Para la estimación se usaron 263 estaciones con promedios mensuales del Manual de Radiación Solar en Colombia (Rodriguez y Gonzalez, 1992). Usando herramientas de la geoestadística, se calcularon los variogramas experimentales y se ajustaron una regionalizaciones isotrópicas a partir de dos estructuras imbricadas: (i) un efecto pepita con meseta C0 y (ii) un modelo de variograma lineal acotado con meseta C1 y rango a. Los ajustes mensuales se presentan en la Tabla 1. Se estimaron doce campos mensuales y un campo promedio anual mediante la interpolación espacial usando kriging con deriva externa, KDE, y utilizando como deriva el campo de precipitación estimado por Álvarez (2007). Lo anterior se sustenta en que dicho campo está correlacionado fuertemente con la nubosidad presente en la zona de estudio, lo cual se relaciona directamente con la cantidad de horas en las que el sol proporciona radiación directa que, a su vez, representa la energía disponible para ser usada en el proceso de evapotranspiración. La incertidumbre estimada para este campo corresponde a la asociada con el procedimiento de estimación usando el algoritmo de kriging con deriva externa, es decir la desviación estándar de estimación para el sistema de kriging. Los campos estimados se muestran en la Figura 2. Radiación neta. El campo de radiación neta se ha estimado con el procedimiento propuesto por Morton, el cual involucra variables asociadas, como temperatura del aire, brillo solar, etc (Barco y Cuartas, 1998). Así, dado que se involucraron variables inciertas, debe cuantificarse la propagación de la incertidumbre en el cálculo del valor de la radiación neta para cada una de las celdas del campo estimado. Para lo anterior se usó la expresión de la propagación estadística de los errores para cada una de las expresiones analíticas involucradas en la metodología. El desarrollo de la metodología se presenta en detalle en Álvarez (2007) y los campos se muestran en la Figura 3. Información de caudal. La información de caudal fue extraída del trabajo de Barco y Cuartas (1998), el cual presenta datos promedios anuales para 390 cuencas de todo el país (ver Figura 1).

Tabla 1. Parámetros de regionalización ajustados para el brillo solar

Mes Ene Feb Mar Abril Mayo Jun Jul Ago Sept Oct Nov Dic Año C0

[h2/d2] 0.6 0.5 0.3 0.4 0.3 0.4 0.85 0.5 0.4 0.4 0.4 0.6 0.45

C1 [h2/d2] 11 13 13.2 7.5 6 8.5 8 7.5 5.7 6 9 11 8

a [Km] 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500 2500

Precipitación. Se ha usado el campo de precipitación estimado por Álvarez (2007), el cual se ha modelado mediante una aproximación no paramétrica para la cuantificación de la incertidumbre local (ver figura 3). La metodología se basa en la estimación de la función de probabilidad acumulada local condicional, fpac, para cada píxel empleando la transformación indicadora de la información proveniente de las estaciones y la estimación de probabilidades condicionales para cada píxel del campo de información secundaria extraído de la información de la TRMM. De ésta manera, se obtienen campos de probabilidad de no excedencia de cierto umbral de precipitación estimada para cada píxel mediante el algoritmo de kriging indicador colocalizado bajo la hipótesis de Bayes-Markov (Almeida y Journel, 1994). Dichos campos conforman una fpac discreta, a partir de las cuales se estima el la varianza local de la precipitación. La estimación de las fpac se realiza por regiones. Los modelos de fpac locales regionales no pueden ensamblarse directamente, puesto que los umbrales de precipitación difieren por regiones, así, la obtención de sus campos de precipitación media y de varianza se ha realizado regionalmente y, posteriormente, se ensamblaron promediando los valores de los píxeles colocalizados. Evapotranspiración. En este estudio se emplearon métodos de estimación propuestos por Cenicafé, Turc modificado, Thornwaite, Penman y Morton para estimar la evapotranspiración potencial; mientras que para estimar la evapotranspiración real se usaron las ecuaciones de Turc, Choudhury, Coutagne y Budyko. Barco y Cuartas (1998) y Vélez, Poveda y Mesa (2000) muestran en detalle las expresiones matemáticas de cada método de estimación. Las estimaciones de evapotranspiración se han realizado fundamentalmente aplicando operaciones de superposición algebraicas entre campos con incertidumbres asociadas. Para estimar la incertidumbre de la aplicación de la superposición se usa la ecuación de propagación de errores estadísticos. Las ecuaciones de propagación de la incertidumbre se presentan en detalle en el trabajo de Álvarez (2007) Los campos estimados se presentan en las Figuras 4 y 5.

Figura 1. Validación de la estimación del caudal medio de lago plazo (derecha), para 390 estaciones de registro de caudales localizadas ene el mapa (izquierda). Los resultados se presentan en ejes en escala

logarítmica.

Figura 2.Modelo digital de elevaciones y campos de temperatura del aire y brillo solar, junto con sus

campos de incertidumbre de estimación asociada METODOLOGÍA Modelo de balance hídrico de largo plazo. Tomando un volumen de control formado por las columnas de agua y suelo dentro de una cuenca hidrográfica, y suponiendo que el borde inferior de la columna de suelo es un estrato impermeable y el borde superior es el tope de la columna atmosférica, al aplicar la ecuación de conservación de la masa (de agua), se tiene que:

Figura 3. Campos de radiación solar y precipitación, junto con su incertidumbre asociada.

)()()()( tRtEtPdt

tdS−−=

(1)

donde S(t) es el almacenamiento de agua en la cuenca, P(t) es la entrada por precipitación, E(t) es la evapotranspiración y R(t) es la escorrentía. Si la ecuación (1) se integra para largos períodos de tiempo, (t→∞) puede considerarse que el cambio del almacenamiento de agua en el volumen de control es nulo, por lo cual EPR −= , donde las barras denotan los promedios a largo plazo para la R(t), P(t) y E(t). Los campos estimados para la escorrentía en Colombia se muestran en la Figura 7. Así, el caudal promedio anual de largo plazo, Q , se estima integrando sobre el área de la cuenca, como:

)( EPAQ −= (2) donde A es el área de la cuenca. La aproximación a partir de campos representados en formato raster será:

( )∑ ∆−≈ji

jijiji EPQ,

,,,

(3)

Figura 4. Campos de evapotranspiración e incertidumbre de estimación para las metodologías de Cenicafé,

Thornwaite, Penman y Turc.

Figura 5. Campos de evapotranspiración e incertidumbre de estimación para las metodologías de Turc

modificado, Morton, Choudhury y Coutagne.

donde i,j denota la posición de la matriz del píxel de análisis y ∆ representa el área de cada píxel. En adelante se omite el uso de las barras, en el entendido que se trata de valores promedios de largo plazo. Cuantificación de la incertidumbre para la estimación de la escorrentía. Usando la expresión para la propagación de la incertidumbre en la ecuación 2, suponiendo independencia entre P y E se tiene:

22EPR SSS += (4)

donde SR representa la incertidumbre de la escorrentía, SP es la incertidumbre de la precipitación y SE es la incertidumbre de la evapotranspiración. Los campos estimados para SR se muestran en las Figuras 8 y 9. Estimación de la incertidumbre del caudal promedio anual. Aplicando la ecuación de propagación de la incertidumbre sobre la ecuación (3), y asumiendo independencia entre P y E, se tiene que:

222222)( EPAQ SASASEPS ++−= (5) donde SQ es la incertidumbre asociada con la estimación del caudal medio anual, SA es la incertidumbre asociada con la estimación del área de la cuenca, SP es la incertidumbre asociada con la precipitación promedio para la cuenca, SE es la incertidumbre de la evapotranspiración promedio para la cuenca. Las incertidumbres asociadas con la precipitación y evapotranspiración promedio para la cuenca de análisis, se obtienen a partir de la integración sobre el área de la cuenca de la incertidumbre de las celdas dentro de de la cuenca en los campos estimados, por lo cual, realmente se trata de incertidumbres promedio. Incertidumbre en la estimación del área de la cuenca. Para cuantificar la incertidumbre asociada con la estimación del área de la cuenca se utilizó la aproximación de Frolov y Maling (1969) para estimar el error en la estimación del área de un polígono rasterizado. En éste caso el polígono es la divisoria de la cuenca extraída automáticamente a partir de información topográfica, lo cual se hizo usando el algoritmo de corrección de MDE y extracción automática de la red de drenaje existente en HidroSIG (Ramirez, 2002; Poveda et al., 2007a y 2007b). La Figura 6 presenta un esquema general del problema. La varianza del error en el área estimada depende de la suma de los errores individuales en cada celda de la divisoria. Entonces el porcentaje de error en la estimación se estima mediante:

14/2

32/1 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= β

β

γαε N

K

(6)

donde α=0.0619 es un coeficiente, β=2 es un exponente que depende de la correlación entre los errores individuales de medición para las celdas que representan la divisoria de la cuenca y γ=0.794 (Goodchild y Moy, 1977). Además, N representa el número de celdas del MDE que hay dentro de la cuenca. Ahora, K3 depende del índice de compacidad de la cuenca. Con base en los resultados de Mantilla (1999), el trabajo de Álvarez (2007) demuestra que para cuencas de Colombia:

π

03.0

392.3 AK =

(7)

Figura 6. Esquema de modelación computacional de la cuenca y su divisoria. A partir de éste esquema se

estimas las características morfométricas asociadas, incluyendo el área.

ANÁLISIS DE RESULTADOS Campos de Evapotranspiración. A continuación se discuten las características más importantes encontradas en los campos de evapotranspiración y sus campos de incertidumbre asociados. Métodos de Cenicafé y Thornwaite. Éstos métodos estiman la evapotranspiración potencial empleando variables que se calculan a partir de la información topográfica, así el campo obtenido y su campo de incertidumbre asociada solo capturan la variación espacial representada en el MDE y su campo de incertidumbre asociado respectivamente. Como puede observarse en la Figura 3, la incertidumbre generada en el proceso de remuestreo del MDE se propaga al aplicar éstas metodologías y se mantiene completamente su patrón de variación espacial. Los valores más inciertos de evapotranspiración se presentan en las zonas elevadas en las cordilleras, donde los valores del modelo de elevaciones original pueden llegar a variar bastante localmente. Método de Turc modificado. En Colombia, esta metodología depende de dos variables: temperatura media del aire en superficie y radiación neta, puesto que el factor de corrección por humedad relativa no es importante en la mayor parte del país. Puede verse en la Figura 3 que el campo de evapotranspiración obtenido refleja el comportamiento espacial del campo de radiación en las zonas menos elevadas del territorio, mientras que en las zonas altas, el patrón de comportamiento espacial de la evapotranspiración es similar al de la temperatura. Para el campo de incertidumbre de estimación que se muestra en la Figura 3, el patrón de comportamiento espacial está dictado por el campo de la incertidumbre en la radiación neta, especialmente en las zonas bajas. Así, la incertidumbre que se propaga, en este método, proviene principalmente de aquella asociada con el procedimiento de interpolación del campo de brillo solar.

Método de Penman aproximado. El campo estimado (Figura 3), muestra un patrón espacial similar al presentado en el campo de radiación neta en las zonas bajas del país, mientras que en las regiones elevadas muestra un patrón de variación espacial similar a los campos de temperatura y presión atmosférica. Igualmente, en el campo de incertidumbre puede verse la influencia marcada del campo de incertidumbre de la radiación.

Método de Morton. La Figura 4 presenta el campo estimado. Es notoria la influencia del campo de radiación solar en el comportamiento espacial de la evapotranspiración para todo el territorio. Con respecto al comportamiento espacial de la incertidumbre, es evidente la mayor influencia del campo

de radiación, a pesar de que las demás variables aportan bastante a la incertidumbre propagada, especialmente en las zonas elevadas. Comparativamente, el método de Morton es el que mayor grado de incertidumbre presenta para la estimación de la evapotranspiración potencial.

Método de Turc. Se observa que la evapotranspiración estimada está muy influenciada por la topografía en los lugares donde predomina la limitación de energía. Lo anterior tiene que ver con que la ecuación de Turc involucra un parámetro que se evalúa empleando el campo de temperaturas. Por otro lado, en las zonas en donde se presenta exceso de energía disponible, el patrón espacial de la evapotranspiración real es similar al que se presenta en el campo de precipitación. Los lugares con mayor incertidumbre presentan precipitación muy baja junto con gran cantidad de energía disponible, por lo cual se evapora casi todo lo que llueve. La incertidumbre de la estimación de la precipitación es preponderante sobre la aportada por la temperatura. Método de Choudhury. En la Figura 4 se puede observar que la variabilidad espacial de la evapotranspiración real está influenciada fuertemente por la radiación neta en las zonas donde se presenta disponibilidad suficiente de energía. Es notorio que la integración del campo de precipitación, como información secundaria para la interpolación del brillo solar, ha influido fuertemente en las características espaciales de variación de la radiación neta y en el campo de evapotranspiración estimado, especialmente en las zonas lluviosas, donde se espera que la radiación se vea bastante atenuada por la nubosidad. Con respecto a la incertidumbre de estimación puede decirse que es notoria la influencia del campo de incertidumbre asociado con la radiación neta. Ésta metodología incorpora un alto nivel de incertidumbre en la estimación, en especial sobre regiones secas del territorio colombiano, y en aquellas zonas en las cuales no se disponen registros de brillo solar. Balances hídricos de largo plazo. Los estimativos de los caudales medios de largo plazo son aceptables, usando los métodos de estimación de evapotranspiración de Turc, Cenicafé, Penman, Thornwaite y Coutagne, puesto que el error relativo entre los caudales estimados mediante la ecuación de balance de largo plazo y los datos de los promedios de caudal de las estaciones se encuentra entre el 20% y el 25 % (ver Figura 1). Para los métodos de Turc modificado y Morton se obtuvieron los mayores errores relativos con respecto del caudal medio aforado en las estaciones. En particular, el método de Turc modificado ha arrojado un error cercano al 40%, lo que indica que no es apropiado.

Incertidumbre para la escorrentía. Todos los campos de incertidumbre asociados con la estimación de la escorrentía son semejantes entre sí, y sus patrones de comportamiento espacial son análogos a aquellos de incertidumbre de la precipitación. La incertidumbre en la estimación de la precipitación es mucho mayor que la incertidumbre relacionada con la estimación de la evapotranspiración. Esto quiere decir que la principal fuente de incertidumbre en la estimación de la escorrentía y, por supuesto, del caudal medio anual se relaciona con el procedimiento de estimación espacial del campo de precipitación. Para el propósito de analizar la incertidumbre de la escorrentía, resulta mucho más útil considerar la estimación del coeficiente de variación, en términos de la desviación estándar, con respecto al valor medio de la escorrentía. En la Figura 5 se observa que los mayores coeficientes de variación se presentan en las regiones más secas de Colombia, así como en la región Caribe, en las zonas más elevadas de las cordilleras y en algunas regiones en la Amazonía y Orinoquía. Ésta característica se presenta básicamente porque en dichas zonas la escorrentía estimada resultan ser pequeña con respecto a la incertidumbre que se propaga debido a la operación algebraica entre los campos. Además, las estimaciones de los campos se restan, mientras que las incertidumbres se suman al cuadrado. En términos del coeficiente de variación los campos de escorrentía menos inciertos corresponden a los estimados mediante los campos de evapotranspiración de Turc modificado,

Thornwaite, Coutagne y Cenicafé, que son metodologías que involucran un menor número de variables y operaciones algebraicas entre campos de variables de entrada.

Incertidumbre para el caudal medio anual. Se han realizado dos experimentos prácticos. En el primero de ellos se ha asumido que el área de la cuenca es conocida y, por lo tanto, no involucra incertidumbre en el cálculo del caudal medio. Se han empleado las áreas proporcionadas por IDEAM, la cuales se encuentran consignadas en el trabajo de Vélez, Poveda y Mesa (2000), y se asumieron como áreas reales, sin error de medición. El segundo experimento consiste en estimar el área de la cuenca, A, en el MDE, y cuantificar su influencia sobre la incertidumbre del caudal medio. Con base en la ecuación (5) se estimó la incertidumbre en el área de las 390 cuencas seleccionadas sobre el territorio colombiano. En la Figura 10 se presentan los resultados en forma de diagramas de dispersión con respecto al área y sobre ejes en escala logarítmica. Se encontró que, bajo las hipótesis adoptadas en éste análisis, la incertidumbre estimada para el caudal medio anual, SQ, escala simplemente con el área de la cuenca A, de la forma βαASQ = . Para todos los campos de evapotranspiración estimados y el campo de precipitación estimado mediante kriging indicador, se han estimado valores de los prefactores de α≈0.025 y exponentes de β≈0.98. Se observa que los valores para los exponentes y prefactores estimados, son similares a los presentados por Mantilla (1999) para el escalamiento del caudal medio con al área de la cuenca, de la forma βαAQ = , con α=1.00 y β=0.03. Los resultados obtenidos considerando la incertidumbre en la medición del área se presentan en diagramas de dispersión de la incertidumbre estimada con respecto al área de la cuenca, en escala logarítmica para ambos ejes (Figura 11). De nuevo se concluye que al incluir la incertidumbre de medición del área, la incertidumbre en la estimación del caudal medio también escala simplemente con el área de la cuenca. Para este experimento se incrementó el nivel de incertidumbre del caudal medio simulado, puesto que el valor del prefactor aumenta de α=0.025 a α=0.028. Al contrario, el valor del exponente de escalamiento disminuye de 0.98 a 0.95, lo cual indica que mientras aumenta el área, menor es la contribución de la incertidumbre de medición del área sobre la incertidumbre del caudal medio. CONCLUSIONES

Los campos de evapotranspiración heredan patrones de variación espacial asociados directamente con las variables involucradas en las estimaciones, lo cual es especialmente evidente en los métodos que se basan en ecuaciones ajustadas y calibradas con información topográfica o de precipitación, en especial métodos como Cenicafé, Thornwaite o Turc. Igualmente, la incertidumbre asociada con los procedimientos de manejo de la información en el MDE es una fuente de incertidumbre importante, debido a que muchas de las variables incluidas en el análisis se han estimado a partir de dicha variable. Su influencia se hace importante en las zonas montañosas en las cuales la variación local de la altitud es más significativa. Por otro lado, cuando se integran campos interpolados a partir de información puntual, la incertidumbre asociada a dicha estimación suele ser considerable con respecto a otras fuentes de información. En el caso particular del campo de radiación es evidente que la incertidumbre asociada con la interpolación del brillo solar es preponderante sobre la asociada a las demás variables. Finalmente, se encontró que el método de Morton es el que genera mayor grado de incertidumbre, debido a dos factores. Primero, el procedimiento de estimación de la radiación empleado en este trabajo propaga la incertidumbre proveniente de muchas fuentes. Segundo, las variables involucradas dentro de los cálculos son

altamente no lineales, entonces ciertas fuentes de incertidumbre pueden llegar a amplificarse muy rápidamente. Las mejores estimaciones para el caudal medio de largo plazo, con base al criterio de error relativo con respecto del caudal calculado a partir de los registro en las estaciones, se calcularon empleando el campo de precipitación estimado mediante kriging indicador y los campos de evapotranspiración asociados a los métodos de Turc, Choudhury y Cenicafé. Considerando las diferentes expresiones para la cuantificación de la incertidumbre, el campo de precipitación, los diferentes campos de evapotranspiración y sus incertidumbres, es posible concluir que la mayor fuente de incertidumbre en la estimación del caudal medio de largo plazo proviene de la interpolación espacial del campo de precipitación. Además, considerando que la ecuación de estimación del balance hídrico de largo plazo es lineal con P y E, se tiene que la ecuación de propagación de incertidumbre para el caudal medio es similar al cálculo de una magnitud vectorial (ver ecuaciones 4 y 5). Esto denota la importancia de la magnitud de las incertidumbres de las variables. Consecuentemente la variable que influye mayormente en el incremento de la incertidumbre del caudal medio es la precipitación, puesto que su incertidumbre de estimación es mucho mayor que la asociada con la evapotranspiración. El cálculo de la incertidumbre asociada con la estimación del área de la cuenca depende exclusivamente del número de celdas mediante las cuales se representa y de una relación entre el perímetro y el área de la cuenca, la cual puede adoptarse a partir de la forma de la ley de Hack asociada con el coeficiente de compacidad. La incertidumbre asociada con la medición del área de la cuenca, para un MDE con un tamaño de celda de 4 km, es considerable para las cuencas con áreas menores de 100 km2, mientras que, para cuencas mayores, es casi despreciable si se compara con los aportes de P y E. Un resultado que se destaca es que la incertidumbre en la estimación del caudal medio usando la ecuación de balance hídrico de largo plazo, ehibe escalamiento simple con el área, independientemente de la consideración de la incertidumbre en la estimación del área de la cuenca. Además, los coeficientes y prefactores de las leyes de escalamiento potencial son similares a los obtenidos para la relación entre el caudal medio y el área de la cuenca (Mantilla, 1999; Poveda et al, 2007a). En el análisis que se ha presentado se ha asumido independencia estadística entre la precipitación y la evapotranspiración real. A pesar de que dicha hipótesis no es correcta, se considera apropiada en el sentido de que se pueden estimar los límites inferiores de la incertidumbre asociada con el caudal medio. Es evidente que un trabajo futuro consiste en proponer una metodología para la estimación de dicha correlación. AGRADECIMIENTOS A Cenicafé, EPM, IDEAM, CVC y LBA por el suministro de información hidrológica. A COLCIENCIAS por el apoyo al trabajo de J. I. Vélez y G. Poveda a través del programa GRECIA. BIBLIOGRAFÍA Almeida, A.S. y Journel, A.G. (1994) “Joint simulation of multiple variables with a Markov type corregionalization model”. Mathematical Geology 26(5), p. 565-588. Álvarez, O. D. (2007) “Cuantificación de la incertidumbre en la estimación de campos hidrológicos. Aplicación al balance hídrico de largo plazo”. Tesis de Maestría. Postgrado en aprovechamiento de Recursos Hidráulicos. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.

Barco, O. J. y Cuartas, L. A. (1998) “Estimación de la evaporación en Colombia”. Trabajo Dirigido de Grado, Ingeniería Civil, Facultad de Minas, Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Frolov, Y. S. y Maling, D. H. (1969) “The accuracy of area measurements by point counting techniques”. Cartographic Journal 6, p. 21-35. Goodchild, M. F. y Moy, W. S. (1977) “Estimation from grid data: The map as a stochastic process”. En: Proceeding of the Commission on Geographical Data Sensing and Processing (Tomlinson, R.F., ed.), Moscú. Mantilla, R. I. (2000) “Análisis multiescala de propiedades morfométricas y caudales máximos de cuencas hidrográficas de Colombia”. Trabajo Dirigido de Grado. Ingeniería Civil. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Poveda, G., Vélez, J. I., Mesa, O.J., y co-autores (2007). “Linking Long-term Water Balances and Statistical Scaling to Estimate River Flows along the Drainage Network of Colombia”. Journal of Hydrologic Engineering, ASCE, 12 (1), 4-13. Rodríguez, H. y González, F. (1992). “Manual de radiación solar en Colombia”. H. Rodríguez y F. González Editores. Bogotá. Vélez, J. I., Poveda, G., y Mesa, O. J. (2000) “Balances Hidrológicos de Colombia”. Serie de Publicaciones del Posgrado en Recursos Hidráulicos, No. 16, 150 p.

Figura 7. Campos de escorrentía media anual para Colombia.

Figura 8. Campos de incertidumbre (desviación estándar) para la escorrentía media anual en Colombia.

Figura 9. Campos de incertidumbre (coeficiente de variación) para la escorrentía media anual en Colombia.

Figura 10. Experimento 1, resultados de la cuantificación de la incertidumbre para el caudal medio anual sin

considerar la incertidumbre en la medición del área de la cuenca.

Figura 11. Experimento 2, resultados de la cuantificación de la incertidumbre para el caudal medio anual

considerando la incertidumbre en la medición del área de la cuenca.