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⑧次元定理
１１４!１１９
次元定理
n次元線形空間Vからm次元線形空間Wへの線形変換 に対して、次式が成立する。
!
dimIm! + dimKer! = n = dimV証明
： の一次独立なベクトル
： を満たす Vのベクトル（このようなVの要素ａが存在する）
p = dimIm!
c1,c2,...cp Im!
a1,a2,...ap ! (a1) = c1,! (a2) = c2,...! (ap ) = cp
x !V " (x) ! Im"
# " (x) =$1c1 +$2c2 +!+$pcp ：と表すことができる。
cj =! (a j )
a j
( j = 1!p)
( j = 1!p)
V
W
!
定理５．１：
0
Im!
Ker!
y = x ! ("1a1 +"2a2 +!+"pap )
# (y) =# (x) ! "1# (a1) +"2# (a2) +!+"p# (ap ){ }
=# (x) ! "1c1 +"2c2 +!+"pcp{ } = 0
このとき、とおくと、
したがって、
y ! Ker"
b1,b2,...bq Ker!
y = "1b1 + "2b2 +!+ "qbq
を の基底とすれば
とおくことができる。
x = y + (!1a1 +!2a2 +!+!pap )
= ("1b1 + "2b2 +!+ "qbq ) + (!1a1 +!2a2 +!+!pap )
# K < b1,b2,...bq ,a1,a2,...ap >
⇨ Vは、 で張られた空間である。
b1,b2,...bq ,a1,a2,...ap
次に、 が一次独立であることを示す。
b1,b2,...bq ,a1,a2,...ap
x1a1
+ x2a2
+!+ xpap + y1b1
+ y2b2
+!+ yqbq = 0
次の一次結合を考える。
により写像する。 であるから、
!
! (bj ) = 0
x1! (a1) + x2! (a2) +!+ xp! (ap ) = 0
x1c1
+ x2c2
+!+ xpcp = 0
すなわち、
は一次独立だから、
c1,c2,!cp
x1
= x2
=!= xp = 0
したがって、
y1b1
+ y2b2
+!+ yqbq = 0
b1,b2,!bq は一次独立だから、
（＊）
式（＊）において、 であるから、 は一次独立である。
x1
= x2
=!xp = y1
= y2
=!= yq = 0
y1
= y2
=!= yq = 0
a1,a2,...ap ,b1,b2,...bq
! p + q = n
例題５．１：行列の標準形
（ｍ，ｎ）行列Ａに対して、
となるm次正則行列P、n次正則行列Qが存在することを示せ。ここで、 である。上の形を行列の標準形という。
PAQ =Er 0
0 0
!
" #
$
% &
r = rankA
証明
A = a1 a2 ! an[ ]
!A(x) = Ax : K
n" K
m
Im!A
= Ax = x1a1 + x2a2 +!+ xna
n
# Im!A
= K < a1,a2,!an>
この部分空間の次元は、 であるから、 の中に一次独立なものが 個存在する。これを、 とする。
r = rankA
a1,a2,!an
r
a1,a2,!ar
（!）
（!）x はK の要素からなるn 次元列ベクトルの全体（K上の線形空間）
e1 =
1
0
!
0
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
, e2 =
0
1
!
0
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
, " en
=
0
0
!
1
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
の基本列ベクトル
定理５．１（次元定理）より となる（ｎ!ｒ）個の一次独立なベクトル が存在する。
b1,b2,! bn!r
Ab1 = 0, Ab2 = 0,!Abn!r
= 0
定理５．１の証明からわかるように、 は一次独立である。したがって、これらのベクトルを並べてできる行列Ｑはｎ次正則行列である。
e1,e2,!er;b1,b2,!bn!r
Q = e1e2! er b
1b2! bn!r[ ]
" AQ = Ae1
Ae2! Aer Ab
1Ab
2! Abn!r[ ]
= a1a2! ar 0 0 ! 0[ ]
Ae1 = a1 a2 ! an[ ]
1
0
"
0
!
"
# # # #
$
%
& & & &
= a1, Ae2 = a2, ! Aer
= ar
Kn
に一次独立なベクトルを付け加えて、次のようなm次正則行列を作る。
a1,a2,...ar
P!1
= a1a2... a
rc1c2... c
m!r[ ]
P!1 Er 0
0 0
"
# $
%
& ' = a
1a2... ar 0 0 ... 0[ ]
( AQ = a1a2... ar 0 0 ... 0[ ] = P!1 Er 0
0 0
"
# $
%
& '
PAQ =Er 0
0 0
"
# $
%
& ' すなわち、
問題５．１：
行列 について次の問に答えよ。
A =
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
① Ａを表現行列とする線形写像 の像の基底と次元を求めよ。② の基底を拡張して、３次正則行列Ｐを作れ。③ の核の基底と次元を求めよ。④ の像に対応する基本ベクトルと核の基底から４次正則行列Qを作れ。⑤ を計算せよ。
!A
!A
!A
Im!A
P!1AQ
!A(x) = Ax
A = a1 a2 a3 a4[ ] a1 =
1
2
3
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
a2 =
2
3
4
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
a3 =
3
4
5
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
a4 =
4
5
6
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
!A(x) = Ax
A = a1 a2 a3 a4[ ] a1 =
1
2
3
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
a2 =
2
3
4
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
a3 =
3
4
5
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
a4 =
4
5
6
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
a1a2a3a4
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
!
a1a2a3a4
1 2 3 4
0 "1 "2 "3
0 "2 "3 "4
!
a1a2a3a4
1 0 "1 "2
0 1 2 3
0 0 0 0
①
掃き出し法による変形
! a3
= "a1
+ 2a2
a4
= "2a1
+ 3a2
したがって、 の像の次元は２であり、基底は である。
!A
a1,a2
!A(x) = Ax = a1 a2 a3 a4[ ]
x1
x2
x3
x4
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
= x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4
⇨ は の一次結合で表される！！
a1,a2,a3,a4
Im!A
= K < a1,a2,a3,a4 >
!A(!x) = A
!x = (!a
1,!a
2,!a
3,!a
4) t(x
1,x
2, x
3, x
4)
= x1
!a
1+ x
2
!a
2+ x
3
!a
3+ x
4
!a
4
= x1
!a
1+ x
2
!a
2+ x
3("!a + 2
!a
2) + x
4("2!a
1+ 3!a
2)
= (x1" x
3" 2x
4)!a
1+ (x
2+ 2x
3+ 3x
4)!a
2
!
A(x)
②
したがって、例えば次のように選べばよい。
③
!Ax = 0 x =
x1
x2
x3
x4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
x1
x2
x3
x4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
= 0 (
1 0 )1 )2
0 1 2 3
0 0 0 0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
x1
x2
x3
x4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
= 0
* x1 ) x3 ) 2x4 = 0, x2 + 2x3 + 3x4 = 0
x1
x2
x3
x4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
=
x3 + 2x4
)2x3 ) 3x4x3
x4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
= x3
1
)2
1
0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
+ x4
2
)3
0
1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
! Ker"A
=<
1
#2
1
0
$
%
&
&
&
&
'
(
)
)
)
)
,
2
#3
0
1
$
%
&
&
&
&
'
(
)
)
)
)
>
２次元
P = a1 a2 b[ ] =
1 2 b1
2 3 b2
3 4 b3
!
"
# # #
$
%
& & &
1 2 b1
2 3 b2
3 4 b3
= 'b1 + 2b2 ' b3 ( 0
b1 = 0, b2 = 0, b3 = 1 ) P =
1 2 0
2 3 0
3 4 1
!
"
# # #
$
%
& & &
④ の像の基底：
!A
a1
=
1
2
3
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
a2
=
2
3
4
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
基本ベクトルを とすると、
e1,e2
Ae1 = a1, Ae2 = a2
! e1 =
1
0
0
0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
, e2 =
0
1
0
0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
核の基底は であるから
Q = e1e2b1b2[ ] =
1
0
0
0
0
1
0
0
1
!2
1
0
2
!3
0
1
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
b1 =
1
!2
1
0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
, b2 =
2
!3
0
1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
⑤
AQ = Ae1
Ae2
Ab1
Ab2[ ] = a
1a20 0[ ]
= a1a2e3e4[ ]
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
!
"
# # # #
$
%
& & & &
= a1a2b[ ]
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
!
"
# # #
$
%
& & &
= P
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
!
"
# # #
$
%
& & &
' P(1AQ =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
!
"
# # #
$
%
& & &
練習問題６：６．１： 行列 に対して、複素数 を対応
させる写像をTとする。
a !b
b a
"
# $
%
& '
a + bi
① を求めよ② を求めよ
Ta !b
b a
"
# $
%
& ' +
c !d
d c
"
# $
%
& '
(
)
*
+
,
-
Ta !b
b a
"
# $
%
& '
c !d
d c
"
# $
%
& '
(
)
*
+
,
-
Ta !b
b a
"
# $
%
& ' +
c !d
d c
"
# $
%
& '
(
)
*
+
,
- = Ta + c !(b + d)
b + d a + c
"
# $
%
& '
(
)
*
+
,
- = (a + c) + (b + d)i
Ta !b
b a
"
# $
%
& '
c !d
d c
"
# $
%
& '
(
)
*
+
,
- = Tac ! bd !(bc + ad)
bc + ad ac ! bd
"
# $
%
& '
(
)
*
+
,
- = (ac ! bd) + (bc + ad)i
①②
６．２：平面内の直線 を考える。 に関して、点 の対称点を とする時、 となる行列Ａが存在することを示せ。
! : ax + by = 0
!
x
y
!
" #
$
% &
! x
! y
"
# $
%
& '
! x
! y
"
# $
%
& ' = A
x
y
"
# $
%
& '
直線 ⇨ 直線 上の点 はベクトル に直交する。点 の対称点が であるということは ベクトル が直線 に直交（ベクトル に平行）していてその２点の中点 が直線 上にあることである。
!
!
!
A =1
a2
+ b2
!a2
+ b2 !2ab
!2ab a2 ! b
2
"
#
$
%
&
'
X =
! x " x
! y " y
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
, A =
a
b
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
) X *A =
! x " x
! y " y
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
*
a
b
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
=
0
0
b( ! x " x) " a( ! y " y)
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= 0
) b( ! x " x) " a( ! y " y) = 0
a( ! x + x) + b( ! y + y) = 0
+ b2 ( ! x " x) + a 2 ( ! x + x) + aby + aby = 0 ) ! x =("a 2 + b2)x" 2aby
a 2 + b2
abx + a 2 ( ! y " y) + abx + b2 ( ! y + y) = 0 ) ! y ="2abx + (a 2 " b2)y
a 2 + b2
中点が直線上にあることから
したがって、
! : ax + by = 0 ! (a ,b) t(" ,#) = 0 (x, y) = (! ,")
t(a,b)
t(x, y) t(x ', y ')
t(x ! x ', y ! y ')
t(a,b)
t(x + x ', y + y ')(1/2)
⑨固有値と固有ベクトル
１２０!１２５
【行列の対角化】固有値と固有ベクトル
A =
a11
a12! a
1n
a21
a22! a
2n
!
an1
an2! a
nn
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
：n次正方行列
n次正方行列Ａに対して、 を満たす が存在するとき、 はＡの固有値と呼ばれる。また、 は に属する固有ベクトルと呼ばれる。
Ax = !x
x ! 0
!
x
!
このとき、連立一次方程式 は０でない解 を持つ。
(!En" A)x = 0
x
定理１．１： がＡの固有値であるための必要十分条件は次式が満たされることである。
!
! " a11
"a12
! "a1n
"a21
! " a22! "a
2n
!
"an1
"an2
! ! " ann
= 0
!A(") = "E
n# A
!A(") = 0
!A(") = "
n# (a11 + a22 +!+ a
nn)"
n#1+!+ (#1)
nA
trA = a11 + a22 +!+ ann
!A(0) =
#a11 #a12 ! #a1n
#a21 #a22 ! #a2n
!
#an1 #a
n2 ! #ann
= (#1)n
A
：固有多項式（ｎ次式）：固有方程式
：トレース、Ａの対角成分の和：定数項
定理１．２：正則行列Ｐに対して、次式が成り立つ。
!A(") = !
P#1
AP(")
証明：
!En" P
"1AP = !P
"1E
nP " P
"1AP = P
"1(!E
n" A)P
#P
"1AP(!) = P
"1!E
n" A P = P
"1P !E
n" A = !E
n" A = #
A(!)
定理１．３：異なる固有値に属する固有ベクトルは一次独立である。
証明： 数学的帰納法で証明。
ｍ＝１の時は明らかに成立する。ｍ＝ｋのとき成立すると仮定する。 は互いに異なる固有値であるとし、各固有値 に属する固有ベクトルを とする。 がなりたっている。
!1,!2,...!k ,!k +1
!i
xi
Axi = !ixi
とおく。両辺に、Ａを掛ける。
２つの式の差をとる。
仮定により は一次独立だから、
x1,x2,...x k
a1(!k +1 " !1) = a2 (!k +1 " !2) =!= ak (!k +1 " !k ) = 0
固有値はそれぞれ異なるので、 したがって、
a1
= a2
=!= ak = 0 ak +1= 0
a1x1 + a2x2 +!akx k + ak +1x k +1 = 0
A(a1x1 + a2x2 +!+ akx k + ak +1x k +1) = a1!1x1 + a2!2x2 +!ak!kx k + ak +1!k +1x k +1 = 0
!k +1(a1x1 + a2x2 +!+ akx k + ak +1x k +1) = a1!k +1x1 + a2!k +1x2 +!ak!k +1x k + ak +1!k +1x k +1 = 0
a1(!k +1 " !1)x1 + a2 (!k +1 " !2)x2 +!+ ak (!k +1 " !k )x k + ak +1(!k +1 " !k +1)x k +1 = 0
# a1(!k +1 " !1)x1 + a2 (!k +1 " !2)x2 +!+ ak (!k +1 " !k )x k = 0
定理１．４：固有値 に対して
は、 の線形部分空間である。これを に属する固有空間という。
!
!
Kn
V (!) = x :Ax = !x{ }
証明：
x1,x2 !V ("),# ! K
A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = "x1 + "x2 = " (x1 + x2)
A(#x1) =#Ax1 =#"x1 = " (#x1)
とする。
線形部分空間の条件が満たされている。
例題１．１：固有値が複素数の場合
A =2 !1
1 2
"
# $
%
& ' 正方行列 の固有値と固有ベクトルを求めよ。
①
②
：固有値
! " 2 1
"1 ! " 2= (! " 2)2 +1= 0
! = 2± i
! = 2+ i
i 1
"1 i
#
$ %
&
' (
x1
x2
#
$ %
&
' ( =
0
0
#
$ %
&
' (
ix1 + x2 = 0
)x1
x2
#
$ %
&
' ( = x1
1
"i
#
$ %
&
' (
! = 2" i
x1
x2
#
$ %
&
' ( = x1
1
i
#
$ %
&
' (
問題１．１：次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。
A =1 !2
2 1
"
# $
%
& ' A =
1 1 1
0 2 2
0 0 3
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
① ②
! "1 2
"2 ! "1= (! "1)2 + 2
2= (! "1+ 2i)(! "1" 2i), ! = 1± 2i
! = 1+ 2i :2i 2
"2 2i
#
$ %
&
' (
x1
x2
#
$ %
&
' ( = 0, 2ix1 + 2x2 = 0,
x1
x2
#
$ %
&
' ( = x1
1
"i
#
$ %
&
' (
! = 1" 2i :x1
x2
#
$ %
&
' ( = x1
1
i
#
$ %
&
' (
①
②
! "1 "1 "1
0 ! " 2 "2
0 0 ! " 3
= (! "1)(! " 2)(! " 3) = 0, ! = 1,2,3
! = 1 : x2 + x3 = 0, x2 + 2x3 = 0, x3 = 0 # x2 = x3 = 0
t1 0 0[ ]
! = 2 : x1 " x2 " x3 = 0, x3 = 0
t1 1 0[ ]
! = 3 : 2x1 " x2 " x3 = 0, x2 " 2x3 = 0
t3 4 2[ ]
例題１．２：
正方行列 の固有値と固有ベクトルを求めよ。
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
' ( 2 (1 (1
(1 ' ( 2 (1
(1 (1 ' ( 2
= (' (1)2 (' ( 4)
' = 1,4
' = 1
(1 (1 (1
(1 (1 (1
(1 (1 (1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
x1
x2
x3
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
=
0
0
0
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
, x1 + x2 + x3 = 0
x1
x2
x3
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
=
(x2 ( x3
x2
x3
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
= x2
(1
1
0
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
+ x3
(1
0
1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
固有値が の場合
!1
1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
,
!1
0
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
固有ベクトル：
! = 4
2 "1 "1
"1 2 "1
"1 "1 2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
=
0
0
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
2 "1 "1 0
"1 2 "1 0
"1 "1 2 0
1 "2 1 0
0 3 "3 0
0 "3 3 0
1 0 "1 0
0 1 "1 0
0 0 0 0
固有値が のとき、
掃き出し法による
⇩
⇩
!
"
#
$＝!"%＝!＋２"
&＝#ー"
'＝$＋２(
(＝%／２)＝&＋%
x1! x
3= 0
x2! x
3= 0
x1
x2
x3
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
= x1
1
1
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
1
1
1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
固有ベクトル
⑩行列の対角化
１２６!１３３
＊対角行列、対角化可能
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
正方行列 は対角化可能で、対角化すると
対角行列 になる。
P!1
AP =
1 0 0
0 1 0
0 0 4
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
説明：
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
正方行列 の固有値と固有ベクトルは、
! = 1 :
x1
x2
x3
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
= s
(1
1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
+ t
(1
0
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
! = 4 :
x1
x2
x3
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
= t
1
1
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
x1 =
!1
1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
, x2 =
!1
0
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
, x3 =
1
1
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
そこで、 とする。
P = x1x2x3[ ]
AP = Ax1
Ax2
Ax3[ ] = x
1x24x
3[ ]
= x1x2x3[ ]
1 0 0
0 1 0
0 0 4
!
"
# # #
$
%
& & &
= P
1 0 0
0 1 0
0 0 4
!
"
# # #
$
%
& & &
' P(1
AP =
1 0 0
0 1 0
0 0 4
!
"
# # #
$
%
& & &
とする。
：対角行列
したがって、上のような行列Pが存在する場合には、対角行列 が作れるので行列Ａは対角化可能である。
P!1
AP
一般に、 が対角行列となるようなＰが存在するとき、すなわち、次式が成り立つとき、Ａは対角化可能であるという。
P!1
AP
P!1
AP =
"1
! 0
0 "2! 0
"
0 0 ! "n
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
（＊１）
定理２．１：行列Ａが正則行列Ｐで＊１のように対角化されているとしよう。正則行列
の列ベクトル表示において、各 は固有値 に属する固有ベクトルである。
P = x1x2! x
n[ ] （＊２）
x j
! j
証明： （＊１）より
AP = P
!1
! 0
0 !2! 0
"
0 0 ! !n
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
AP = x1x2! x
n[ ]
!1
! 0
0 !2! 0
"
0 0 ! !n
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
= !1x1
!2x2! !
nx
n[ ]
（＊２）を代入して
AP = Ax1 Ax2 ! Axn[ ]
Ax1 = !1x1,Ax2 = !2x2,!Axn
= !nx
n
であるから、
定理２．２：ｎ次の正方行列が対角化可能であるための必要十分条件は、一次独立なｎ個の固有ベクトルが存在することである。
証明： 定理２．１により、行列Ａが（＊１）のように対角化可能であるとする。Ｐの各列ベクトルは固有ベクトルで、Ｐが正則だから、これら列ベクトルは一次独立である。
一次独立なベクトル で
なるものが存在したとする。このとき、 とおくと、行列式についての定理６．１よりＰは正則で次式が成り立つ。
x1, x2,!xn
Ax1 = !1x1,Ax2 = !2x2,!Axn
= !nx
n
P = x1x2! x
n[ ]
AP = Ax1
Ax2! Ax
n[ ]
= !1x1
!2x2! !
nx
n[ ] = P
!1
! 0
0 !2! 0
"
0 0 ! !n
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
( P)1
AP =
!1
! 0
0 !2! 0
"
0 0 ! !n
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
系２．１：ｎ次の正方行列Ａに対して、一次独立なｎ個の固有ベクトルが存在しないならば、Ａは対角化可能でない。
! 「次元定理」例題５．１より、次式を満たすｎ次正方行列Ｐ，Ｑは存在する。
PAQ =Er 0
0 0
!
" #
$
% & (r = rankA)
例題２．１：対角化可能でない行列
A =
1 0 0
0 1 1
1 0 1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
正方行列 が対角化可能であるかどうか調べよ。
! "1 0 0
0 ! "1 "1
"1 0 ! "1
= (! "1)3 = 0
! = 1
0 0 0
0 0 "1
"1 0 0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
=
0
0
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
x1 = x3 = 0
x =
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= t
0
1
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
固有値は だけである。
解は である。
固有ベクトルは１つだけしかない。
したがって、正方行列Ａは対角化できない。
問題２．１：次の行列が対角化できるかどうか判定して、対角化できる場合は対角化せよ。
A =
2 0 1
0 1 0
1 0 2
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
A =
1 0 0
0 1 0
1 0 1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
① ②
! " 2 0 "1
0 ! "1 0
"1 0 ! " 2
= (! " 2)2 (! "1) " (! "1) = (! "1)2 (! " 3) = 0
! = 1, ! = 3
! = 1 :
"1 0 "1
0 0 0
"1 0 "1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= 0 ) x1 + x3 = 0
*
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
=
x1
x2
"x1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= x1
1
0
"1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
+ x2
0
1
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
! = 3 :
1 0 "1
0 2 0
"1 0 1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= 0 ) x1 " x3 = 0, x2 = 0
*
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
=
x1
0
x1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= x1
1
0
1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
x1 =
1
0
!1
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
, x2 =
0
1
0
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
, x3 =
1
0
1
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
P = x1 x2 x3[ ] =
1 0 1
0 1 0
!1 0 1
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
AP = Ax1 Ax2 Ax3[ ] = (1x1 (2x2 (3x3[ ]
= x1 x2 x3[ ]
(1 0 0
0 (2 0
0 0 (3
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
= P
(1 0 0
0 (2 0
0 0 (3
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
= P
1 0 0
0 1 0
0 0 3
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
①
! "1 0 0
0 ! "1 0
"1 0 ! "1
= (! "1)3 = 0
! = 1
! = 1 :
0 0 0
0 0 0
"1 0 0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= 0 ) x1 = 0
*
x1
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
=
0
x2
x3
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= x2
0
1
0
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
+ x3
0
0
1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
②
固有ベクトルが２つしかないので対角化可能ではない。
実対称行列の対角化＊実対称行列：正方行列Ａの成分がすべて実数で対称 対称行列：＊直交行列：ｎ次実正方行列Ｐが直交行列とは、
tA = A
tPP =P
tP = E
n
定理３．１：Ｐはｎ次直交行列とする。
①②③ Ｐの列ベクトル は正規直交系、すなわち、
④ すべての列ベクトル に対して、
P = ±1
tP = P
!1
x1,x2,...xn
(xi ,x j ) = !ij (i, j = 1,2,...n)
x
Px = x
証明：
t PP = En ! P2
= 1 ! P = ±1
t PP = En = P"1P ! tP = P"1
P = x1 x2 ... xn[ ]
t PP = En #
tx1
tx2
!
txn
$
%
& & & &
'
(
) ) ) )
x1 x2 ... xn[ ] = En
t PP( )ij
=txix j = (xi ,x j ) = *ij
Px2
=t(Px)Px=
tx(
t PP)x=txx = x
2
①②③
④
定理３．２：ｎ次の実対称行列Ａの固有値はすべて実数である。証明
!
x !
：Ａの固有値
： に属する固有ベクトル（複素数と考える）
Ax = !x
x =
x1
x2
!
xn
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
, x =
x 1
x 2
!
x n
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
Ax = 'x ( tx Ax=
tx ('x) =' t
x x
A=tA ( t
x Ax =(tx A)x=
t(tAx )x=
t(Ax
___
)x=t('x
___
)x =' tx x
) ' tx x ='
tx x ( ' = ' ( ' ：実数
定理３．３：ｎ次の実対称行列Ａの異なる固有値に属する実固有ベクトルは直交する。
証明：行列Ａの異なる固有値：それぞれ に属する実固有ベクトル。
!1, !2
x1, x2 !1, !2
であるから
!1(x1,x2) = (!1x1,x2) = (Ax1,x2)=t(Ax1)x2 =(
tx1
tA)x2
=tx1
tAx2=
tx1(Ax2)=
tx1(!2x2) = !2 (x1,x2)
" (!1 # !2)(x1,x2) = 0
!1 # !2 $ 0 (x1,x2) = 0
定理３．４：ｎ次の実対称行列Ａは直交行列Ｐにより対角化される。証明 数学的帰納法によって証明する。
① ｎ＝１のときは明らかに成立する。② ｎ＝ｋで成立すると仮定する。即ち、ｋ次の実対称行列は直交行列で対角化 できると仮定する。ｋ＋１次の実対称行列を考える。
!1
x1
Ax1
= !1x1
：Ａの実固有値： に属する固有ベクトル（実ベクトル）
!1
：第１列が であるような正則行列（第２列以降は問わない）
P x1
Ｐは正則行列であるから、Ｐの列ベクトルは一次独立である。そこで、グラム・シュミットの直交化法でこれら列ベクトルから正規直交系 をつくる。次に、これを列ベクトルとする行列Ｑを作る。
e1,e2,...ek ,ek +1
Q = e1e2... ek ek +1[ ]
Ｑは直交行列で、
Ae1
= !1e1
tQAQ=t QA e1 e2 ... ek ek +1[ ] =
tQAe1tQAe2 ...
tQAektQAek +1[ ]
= !1(t Qe1)
tQAe2 ...tQAek
tQAek +1[ ]
!1(t Qe1) = !1
te1
te2
!
tek +1
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
e1 = !1
te1e1
te2e1
!
tek +1e1
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
= !1
1
0
!
0
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
=
!10
!
0
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
： の第１列。
tQAQ
したがって、
tQAQ =!1*
0 B
"
# $
%
& '
!1t0
t*
tB
"
#
$
%
&
' =t(t QAQ)=t QtAQ=
t QAQ =!1 *
0 B
"
# $
%
& '
( * = 0,tB = B ：ｋ次の実対称行列
⇨ 仮定により直交行列Rで対角化できる。
t RBR = R!1BR =
"2 O
!
O "k +1
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
Q1 =1 0
0 R
#
$ %
&
' (
tQ1 =1 0
0t R
#
$ %
&
' ( =
1 0
0 R!1
#
$ %
&
' ( = Q1
!1
t(QQ1)AQQ1 =
t Q1(t QAQ)Q1 =
1 0
0t R
#
$ %
&
' (
"1 0
0 B
#
$ %
&
' (
1 0
0 R
#
$ %
&
' (
="1 0
0t RBR
#
$ %
&
' ( =
"1 O
"2!
O "k +1
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
とおく。
したがって、k＋１次実対称行列も対角化できた。
⑪行列の三角化
１３４!１４３
例題３．１：２次の直交行列２次の直交行列Ｐは、次の形で与えられることを示せ。
解答：
P =a b
c d
!
" #
$
% &
tPP = E2 '
a2
+ c2
ab + cd
ab + cd b2
+ d2
!
"
#
$
%
& =1 0
0 1
!
" #
$
% &
' a2
+ c2
= 1, b2
+ d2
= 1, ab + cd = 0
(
)
*
*
*
+
,
-
-
-
とおく。
a
c
!
" #
$
% & ,
b
d
!
" #
$
% &
a
c
!
" #
$
% & =
cos'
sin'
!
" #
$
% &
b
d
!
" #
$
% & =
cos(' ± ( / 2)
sin(' ± ( / 2)
!
" #
$
% & =
)sin'
cos'
!
" #
$
% & ,
sin'
) cos'
!
" #
$
% &
は直交する単位ベクトルであるので、
とおけば、
P =cos! "sin!
sin! cos!
#
$ %
&
' ( ,
cos! sin!
sin! " cos!
#
$ %
&
' (
したがって、
P =cos! "sin!
sin! cos!
#
$ %
&
' ( ,
cos! sin!
sin! " cos!
#
$ %
&
' (
＜直交行列＞
幾何学的意味：
!"!!!!!
y’
y
!
!
!"!!!!!
y’
y
!
!
2
! "#
回転 鏡像
x = r cos! , y = r sin!
" x = r cos(# +! ) = r(cos# cos! $ sin# sin! )
= x cos# $ y sin#
" y = r sin(# +! ) = r(sin# cos! + cos# sin! )
= xsin# + y cos#
%" x
" y
&
' (
)
* + =
cos# $sin#
sin# cos#
&
' (
)
* +
x
y
&
' (
)
* +
x = r cos! , y = r sin!
" x = r cos(# $! ) = r(cos# cos! + sin# sin! )
= x cos# + y sin#
" y = r sin(# $! ) = r(sin# cos! $ cos# sin! )
= xsin# $ y cos#
%" x
" y
&
' (
)
* + =
cos# sin#
sin# $ cos#
&
' (
)
* +
x
y
&
' (
)
* +
例題３．２：２次対称行列の対角化
正方行列 を直交行列によって対角化せよ。
A =2 1
1 2
!
" #
$
% &
解答：
! " 2 "1
"1 ! " 2= (! " 2)2 "1= (! "1)(! " 3) = 0
! = 1, 3
! = 1
"1 "1
"1 "1
#
$ %
&
' (
x1
x2
#
$ %
&
' ( = 0, x1 + x2 = 0 )
1
"1
#
$ %
&
' (
! = 3
1 "1
"1 1
#
$ %
&
' (
x1
x2
#
$ %
&
' ( = 0, x1 " x2 = 0 )
1
1
#
$ %
&
' (
：固有値
：固有ベクトル
正規直交化
1
!1
"
# $
%
& ' (
1
2
1
!1
"
# $
%
& ' ,
1
1
"
# $ %
& ' (
1
1
"
# $ %
& ' ! 1 1[ ]
1
2
1
!1
"
# $
%
& ' 1
2
1
!1
"
# $
%
& ' =
1
1
"
# $ %
& ' (
1
2
1
1
"
# $ %
& '
P =1
2
1 1
!1 1
"
# $
%
& ' , P
!1AP=
tPAP =
1
2
1 !1
1 1
"
# $
%
& '
2 1
1 2
"
# $
%
& ' 1
2
1 1
!1 1
"
# $
%
& '
=1
2
1 !1
3 3
"
# $
%
& '
1 1
!1 1
"
# $
%
& ' =1
2
2 0
0 6
"
# $
%
& ' =
1 0
0 3
"
# $
%
& '
例題３．３：対称行列の対角化
正方行列 を直交行列によって対角化せよ。
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
解答： 行列Ａは行列 によって対角化できる。 （例題１．２）
P =
!1 !1 1
1 0 1
0 1 1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
P!1
AP =
1 0 0
0 1 0
0 0 4
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
ただし、このＰは直交行列でない。以下、直交行列による対角化を行う。
Ａの固有値 に属する固有ベクトル からグラム・シュミットの直交化法で正規直交系 を作る。
! = 1
x1, x2
e1, e2
x1 =
!1
1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
, x2 =
!1
0
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
!1
1
0
"
#
$$
%
&
'' ,
!1
0
1
"
#
$$
%
&
'' ,&
1
1
1
"
#
$$
%
&
''
＜固有ベクトル＞
e1 =1
x1
x1 =1
2
!1
1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
b2 = x2 ! (x2 ( e1)e1 =
!1
0
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
!1
2
!1
1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
= !1
2
1
1
!2
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
) e2 =1
b2
b2 =1
6
1
1
!2
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する（定理３．３）から
e3
=1
x3
x3
=1
3
1
1
1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
Q =
!1
2!1
6
1
31
2!1
6
1
3
02
6
1
3
"
#
$
$
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
'
'
,tQAQ = Q!1AQ =
1 0 0
0 1 0
0 0 4
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
問題３．１： 次の行列を直交行列で対角化せよ。
A =
1 2 0
2 1 0
0 0 1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
A =
1 0 2
0 '1 0
2 0 1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
① ②
! "1 "2 0
"2 ! "1 0
0 0 ! "1
= (! "1) (! "1)2 " 4( ) = (! +1)(! "1)(! " 3) = 0
! = "1,1, 3
! = "1
"2 "2 0
"2 "2 0
0 0 "2
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= 0 ) x1 + x2 = 0, x3 = 0 )
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
x1
"x1
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
= x1
1
"1
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
! = 1
0 "2 0
"2 0 0
0 0 0
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= 0 ) x1 = 0, x2 = 0 )
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
0
0
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= x3
0
0
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
! = 3
2 "2 0
"2 2 0
0 0 2
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= 0 ) x1 " x2 = 0, x3 = 0 )
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
x1
x1
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
= x1
1
1
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
①
x1 =
1
!1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
, x2 =
0
0
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
, x3 =
1
1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
e1 =1
2
1
!1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
, e2 =
0
0
1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
, e3 =1
2
1
1
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
( P =1
2
1 0 1
!1 0 1
0 2 0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
tPAP = P
!1AP =
1
2
1 !1 0
0 0 2
1 1 0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
1 2 0
2 1 0
0 0 1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
1
2
1 0 1
!1 0 1
0 2 0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
=1
2
!1 1 0
0 0 2
3 3 0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
1 0 1
!1 0 1
0 2 0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
=1
2
!2 0 0
0 2 0
0 0 6
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
=
!1 0 0
0 1
0 0 3
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
これらのベクトルは直交している。
②
! "1 0 "2
0 ! +1 0
"2 0 ! "1
= (! +1) (! "1)2 " 4( ) = (! +1)2(! " 3) = 0
! = "1, 3
! = "1
"2 0 "2
0 0 0
"2 0 "2
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= 0 ) x1 + x3 = 0 )
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
x1
x2
"x1
#
$
% % %
&
'
( ( (
= x1
1
0
"1
#
$
% % %
&
'
( ( (
+ x2
0
1
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
! = 3
2 0 "2
0 4 0
"2 0 2
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= 0 ) x1 " x3 = 0, x2 = 0 )
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
x1
0
x1
#
$
% % %
&
'
( ( (
= x1
1
0
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1 =
1
0
"1
#
$
% % %
&
'
( ( (
, x2 =
0
1
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
, x3 =
1
0
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
e1 =1
2
1
0
"1
#
$
% % %
&
'
( ( (
, b2 =
0
1
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
" 0 1 0[ ]1
2
1
0
"1
#
$
% % %
&
'
( ( (
1
2
1
0
"1
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
0
1
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
= e2, e3 =1
2
1
0
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
P =1
2
1 0 1
0 2 0
"1 0 1
#
$
% % %
&
'
( ( (
,tPAP = P
"1AP =
1
2
1 0 "1
0 2 0
1 0 1
#
$
% % %
&
'
( ( (
1 0 2
0 "1 0
2 0 1
#
$
% % %
&
'
( ( (
1
2
1 0 1
0 2 0
"1 0 1
#
$
% % %
&
'
( ( (
=1
2
"1 0 1
0 " 2 0
3 0 3
#
$
% % %
&
'
( ( (
1 0 1
0 2 0
"1 0 1
#
$
% % %
&
'
( ( (
=1
2
"2 0 0
0 "2 0
0 0 6
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
"1 0 0
0 "1 0
0 0 3
#
$
% % %
&
'
( ( (
行列の三角化三角行列 ：対角成分より上側あるいは下側の成分がすべて０の行列上三角行列：対角成分より下の成分がすべて０である行列下三角行列：対角成分より上の成分がすべて０である行列
定理４．１：ｎ次正方行列Ａは、正則行列によって三角化される。すなわち、 が上三角行列になるような正則行列Ｐが存在する。
P!1
AP
数学的帰納法によって証明する。証明① ｎ＝１のときは明らかに成立する。② ｎ＝ｋで成立すると仮定する。即ち、ｋ次正方行列は正則行列で三角化 できると仮定する。ｋ＋１次正方行列Ａを考える。
はＡの固有値とし、 は に属する固有ベクトルとする。
!1
!1
x1
Ax1
= !1x1
を第一列とする正則行列をＱとする。
x1
Q = x1| * ! ! !*( )
Ｑの列ベクトルは一次独立であるからグラムシュミットの直交化法で、これら列ベクトルから正規直交系 を作ることができる。
とする。
Aa1
= !1a1
は正規直交系であるから、
(ai ,a j ) = !ij
a
1,.....a
k+1
!Q = a
1,.....a
k+1( )
a
1,.....a
k+1
したがって、
! Q !1 =
ta1
"
ta k +1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
!!
Q "1A!
Q =!
Q "1A a1,a2,...a k +1( ) =!
Q "1Aa1,!
Q "1Aa2,...!
Q "1Aa k +1( )= #1
!
Q "1a1,!
Q "1Aa2,...!
Q "1Aa k +1( )ところで、
Ｂはｋ次正方行列だから、次のように正則行列Ｒを使って三角化できる。
ここで、 と置く。
(!
Q Q1)!1A(
! Q Q1) = Q1
!1(!
Q !1A!
Q )Q1 =1 0
0 R!1
"
# $
%
& '
(1 *
0 B
"
# $
%
& '
1 0
0 R
"
# $
%
& '
=(1 *
0 R!1B
"
# $
%
& '
1 0
0 R
"
# $
%
& ' =
(1 *R
0 R!1BR
"
# $
%
& ' =
(1 *
"
0 (k +1
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
!1
! Q "1a
1= !
1
ta1
"
"ta k +1
#
$
%
%
% %
&
'
(
(
( (
a1
=
!1
0
"
0
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
)!
Q "1A!
Q =!1*
0 B
#
$ %
&
' (
!Q!1 !Q =
ta
1
"ta
k+1
"
#
$$$
%
&
'''
a1# a
k+1( ) =ta
1a
1#
ta
1a
k+1
" # "ta
k+1a
1#
ta
k+1a
k+1
"
#
$$$
%
&
'''
!
R!1
BR =
"2
*
!
0 "k+1
#
$
%%%
&
'
(((
Q1=
1 0
0 R
!
"#$
%&
例題４．１：行列の三角化
正方行列 を三角化せよ。
A =0 !1
1 2
"
# $
%
& '
解答：
! 1
"1 ! " 2= ! (! " 2) +1= (! "1)2 = 0 # ! = 1
! = 1
1 1
"1 "1
$
% &
'
( )
x1
x2
$
% &
'
( ) = 0 # x1 + x2 = 0 #
x1
x2
$
% &
'
( ) = x1
1
"1
$
% &
'
( )
P =1 0
"1 1
$
% &
'
( )
P"1
AP =1 "1
0 1
$
% &
'
( )
固有値を求める。
固有ベクトルは一つなので対角化はできない。この固有ベクトルを一つの列ベクトルとする正則行列Ｐを作る。
＊行列の多項式
の多項式：
正方行列Ａの多項式（行列多項式）：
!ＥはＡと同じ次数の単位行列
!
f (!) = a0!m
+ a1!m"1
+!+ am"1! + am
f (A) = a0Am
+ a1Am"1
+!+ am"1A + amE
定理４．２：フロベニウスの定理ｎ次正方行列Ａの固有値を とすると、行列多項式 の固有値は、 である。
!1,!2,...!n
f (A)
f (!1), f (!2),...f (!n )
証明：
P!1
AP =
"1
*
"2
!
O "n
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
Ａの三角化 を考える。
P!1AkP = P!1A(PP!1)A(P!P!1
)A(PP!1)AP = (P!1AP)k
=
"1 *
"2"
O "n
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
k
=
"1
k*
"2
k
"
O "n
k
#
$
%
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
(
P!1 f (A)P = f (P!1AP) =
f ("1) *
f ("2)
"
O f ("n )
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
したがって、 の固有値は である。
f (A)
f (!1), f (!2),...f (!n )
定理４．３：ケーリー・ハミルトンの定理ｎ次正方行列Ａに対して次式が成り立つ。
!A (A) = O
!A(") = "E
n# A = (" # "1)(" # "2)! (" # "
n)
証明：
行列Ａの三角化 を考える。
B = P!1
AP =
"1
*
"2
!
O "n
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
B! "1E =
0 *
"2 ! "1!
O "n ! "1
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
, B! "2E =
"1 ! "2 *
0
!
O "n ! "2
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
, "
" B! "nE =
"1 ! "n *
"2 ! "n
!
O 0
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
を作る。
行列Ａの固有多項式に含まれる固有値を行列Aに置き換えると零行列になる
さらにかけ算を続けると０の列ベクトルが増えて行き、となる。
(B! "1E)(B! "2E) =
0 *
"2 ! "1!
O "n ! "1
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
"1 ! "2 *
0
!
O "n ! "2
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
=
0 0 * *
0 0 * *
" " ! *
0 0 0 ("n ! "1)("n ! "2)
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
ところで、
!A (") # (" $ "1)(" $ "2)! (" $ "n )
% !A (A) = (A$ "1E)(A$ "2E)! (A$ "nE)
% !A (B) = (B$ "1E)(B$ "2E)! (B$ "nE) = O
!A (A) = !A (PBP$1) = P!A (B)P
$1
% !A (A) = O
(B! "1E)(B! "2E)! (B! "nE) = O
例題４．２：ケーリー・ハミルトンの定理
に対して、 を求めよ。
A =1 !1
1 1
"
# $
%
& '
A4,A
!1
!A(") =
" #1 1
#1 " #1= (" #1)2 +1= "2 # 2" + 2
$ !A(A) = A
2 # 2A + 2E = 0
A4
= A2A2
= (2A# 2E)(2A# 2E) = 4(A2 # 2A + E)
= 4(#2E + E) = #4E
2E = 2A# A2
= A(2# A)
$ A#1
= 1#1
2A =
1 0
0 1
%
& '
(
) * #1
2
1 #1
1 1
%
& '
(
) * =1
2
1 1
#1 1
%
& '
(
) *
1
2A
!1 をかける。
問題４．１：
正方行列 に対して、 を求めよ。
A =
0 1 0
0 0 1
!1 0 0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
A100,A
!1
固有方程式：
!A(") =
" #1 0
0 " #1
1 0 "
= "3 +1= 0
$ !A(A) = A
3+ E = 0
A99
= (A3)33
= (A3
+ E) #E( )33
= (#E)33
= #E
$ A99
= #E $ A100
= AA99
= #A
A3
+ E = 0 A2
+ A#1
= 0
$ A#1
= #A2
= #
0 1 0
0 0 1
#1 0 0
%
&
' ' '
(
)
* * *
0 1 0
0 0 1
#1 0 0
%
&
' ' '
(
)
* * *
=
0 0 #1
1 0 0
0 1 0
%
&
' ' '
(
)
* * *
練習問題７７．１：次の行列の固有値、固有ベクトルを求めて対角化せよ。
A =1 !1
1 1
"
# $
%
& ' A =
1 1 3
1 1 0
1 0 1
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
A =
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
① ② ③
①
!E " A =! "1 "11 ! "1
= (! "1)2 +1= (! "1) + i( ) (! "1) " i( ) = 0
# ! = 1± i
!1 = 1+ i
i 1
"1 i
$
% &
'
( )
x1
x2
$
% &
'
( ) =
0
0
$
% & '
( ) * ix1 + x2 = 0, " x1 + ix2 = 0 # x1 =
x1
x2
$
% &
'
( ) = t
1
"i
$
% &
'
( )
!2 = 1" i
"i 1
"1 "i
$
% &
'
( )
x1
x2
$
% &
'
( ) =
0
0
$
% & '
( ) * " ix1 + x2 = 0, " x1 " ix2 = 0 # x2 =
x1
x2
$
% &
'
( ) = t
1
i
$
% & '
( )
P = x1 x2( ) * AP = !1x1 !2x2( ) = x1 x2( )!1 0
0 !2
$
% &
'
( ) = P
!1 0
0 !2
$
% &
'
( )
# P"1
AP =!1 0
0 !2
$
% &
'
( ) =
1+ i 0
0 1" i
$
% &
'
( )
!E " A =
! "1 "1 "3"1 ! "1 0
"1 0 ! "1= (! "1)3 " 3(! "1) " (! "1) = (! "1) (! "1)2 " 4( ) = (! " 3)(! "1)(! +1) = 0
! = 3, ! = 1, ! = "1! = 3
2 "1 "3"1 2 0
"1 0 2
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= 0 )2 "1 "3"1 2 0
"1 0 2
*2 "1 "30 3/2 "3/20 "1/2 1/2
*2 0 "40 3/2 "3/20 0 0
+ x1 " 2x3 = 0, x2 " x3 = 0 ) x1 = x3
2
1
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
= s
2
1
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
! = 1
0 "1 "3"1 0 0
"1 0 0
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= 0 )0 "1 "3"1 0 0
"1 0 0
*"1 0 0
0 "1 "3"1 0 0
*"1 0 0
0 "1 "30 0 0
+ x1 = 0, x2 = "3x3 ) x2 = x3
0
"31
#
$
% % %
&
'
( ( (
= s
0
"31
#
$
% % %
&
'
( ( (
! = "1
"2 "1 "3"1 "2 0
"1 0 "2
#
$
% % %
&
'
( ( (
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= 0 )"2 "1 "3"1 "2 0
"1 0 "2*
"2 "1 "30 "3/2 3/2
0 1/2 "1/2*
"2 0 "40 "3/2 3/2
0 0 0
x1 = "2x3, x2 = x3 +x3 =
x1
x2
x3
#
$
% % %
&
'
( ( (
= x3
"21
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
= s
"21
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
P =
2 0 "21 "3 1
1 1 1
#
$
% % %
&
'
( ( (
) P"1
AP =
3 0 0
0 1 0
0 0 "1
#
$
% % %
&
'
( ( (
②
③
!E " A =
! "1 "2 "3 "4
"1 ! " 2 "3 "4
"1 "2 ! " 3 "4
"1 "2 "3 ! " 4
=
! "1+1 0 0 "4 " ! + 4
0 ! " 2+ 2 0 "4 " ! + 4
0 0 ! " 3+ 3 "4 " ! + 4
"1 "2 "3 ! " 4
=
! 0 0 "!
0 ! 0 "!
0 0 ! "!
"1 "2 "3 ! " 4
= ! !2(! " 4) " 2!
2" 3!
2( ) " !3 = !4"10!
3= !
3(! "10) = 0
第４行を各行から引く
したがって、固有値は
! = 0,10
! = 0
"1 "2 "3 "4"1 "2 "3 "4"1 "2 "3 "4"1 "2 "3 "4
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
x1
x2
x3
x4
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
= 0 ) x1
+ 2x2
+ 3x3
+ 4x4
= 0 * x =
"2x2" 3x
3" 4x
4
x2
x3
x4
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
= s
"21
0
0
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
+ t
"30
1
0
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
+ u
"40
0
1
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
! = 10 :
9 "2 "3 "4"1 8 "3 "4"1 "2 7 "4"1 "2 "3 6
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
x1
x2
x3
x4
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
= 0
9 "2 "3 "4"1 8 "3 "4"1 "2 7 "4"1 "2 "3 6
)
10 0 0 "100 10 0 "100 0 10 "10"1 "2 "3 6
)
1 0 0 "10 1 0 "10 0 1 "1"1 "2 "3 6
)
1 0 0 "10 1 0 "10 0 1 "10 "2 "3 5
)
1 0 0 "10 1 0 "10 0 1 "10 0 "3 3
)
1 0 0 "10 1 0 "10 0 1 "10 0 0 0
* x1 = x4 , x2 = x4 ,x3 = x4 ,x4 = x4 x =
x4
x4
x4
x4
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
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1
1
1
1
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
P =
!2 !3 !4 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
( P!1
AP =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 10
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
７．２：次の対称行列を直交行列で対角化せよ。
2 !1 !1
!1 2 !1
!1 !1 2
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
1 !1 1 !1
!1 1 !1 1
1 !1 1 !1
!1 1 !1 1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
① ② ③
! " 2 1 1
1 ! " 2 1
1 1 ! " 2
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
= !3 " 6!2 + 9! = ! (! " 3)2
) ! = 0, 3
! = 0
"2 1 1
1 "2 1
1 1 "2*
"2 1 1
0 "3/2 3/2
0 3/2 "3/2*
"2 1 1
0 "1 1
0 1 "1*
"2 0 2
0 "1 1
0 0 0
) x1 = x3, x2 = x3
x = x3
1
1
1
+
,
-
- -
.
/
0
0 0
①
*
! = 3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
( x1
+ x2
+ x3
= 0 ) x =
*x2* x
2
x2
x3
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
= x2
*11
0
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
+ x3
*10
1
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
*
b
1b
2, b
3と は直交しているので、 が直交するようにする。 b
2, b
3
a1=
1
3
1
1
1
!
"
##
$
%
&& , b
2=
'1
1
0
!
"
##
$
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&& ( a
2=
1
2
'1
1
0
!
"
##
$
%
&&
b3=
'1
0
1
!
"
##
$
%
&& ' '1 0 1( )
'1
1
0
!
"
##
$
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&&
1
2
'1
1
0
!
"
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$
%
&&
1
2=
1
2
'1
'1
2
!
"
##
$
%
&& ( a
3=
1
6
1
1
'2
!
"
##
$
%
&&
P =
1
3'
1
2
1
6
1
3
1
2
1
6
1
30 '
2
6
!
"
#######
$
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&&&&&&&
P'1
AP =
0 0 0
0 3 0
0 0 3
!
"
##
$
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&&
②
! 0 0 "10 ! "1 0
0 "1 ! 0
"1 0 0 !
= !! "1 0
"1 ! 0
0 0 !+
0 ! "10 "1 !"1 0 0
= !4 " 2!2 +1= (! "1)2 (! +1)2
# ! = ±1
! = "1
"1 0 0 "10 "1 "1 0
0 "1 "1 0
"1 0 0 "1
$
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
# x1 = "x4 , x2 = "x3 x =
"x4
"x3
x3
x4
%
&
'
'
'
'
(
)
*
*
*
*
= x3
0
"11
0
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&
'
'
'
'
(
)
*
*
*
*
+ x4
"10
0
1
%
&
'
'
'
'
(
)
*
*
*
*
! = 1
1 0 0 "10 1 "1 0
0 "1 1 0
"1 0 0 1
$
1 0 0 "10 1 "1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
# x1 = x4 , x2 = x3 x =
x4
x3
x3
x4
%
&
'
'
'
'
(
)
*
*
*
*
= x3
0
1
1
0
%
&
'
'
'
'
(
)
*
*
*
*
+ x4
1
0
0
1
%
&
'
'
'
'
(
)
*
*
*
*
x1 =
0
!11
0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
, x2 =
!10
0
1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
, x3 =
0
1
1
0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
, x4 =
1
0
0
1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
直交していることは明らか
P =1
2
0 !1 0 1
!1 0 1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
P!1
AP =
!1 0 0 0
0 !1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
*
*
③
1 !1 1 !1!1 1 !1 1
1 !1 1 !1!1 1 !1 1
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
(
) !1 1 !1 1
1 ) !1 1 !1!1 1 ) !1 1
1 !1 1 ) !1
=
) 0 0 )0 ) ) 0
0 0 ) )1 !1 1 ) !1
= )) ) 0
0 ) )!1 1 ) !1
! )0 ) )0 0 )1 !1 1
= ) )2 () !1) ! )2 ! )2 ! )2{ } = )3 () ! 4)
) = 0, 4
) = 0
!1 1 !1 1
1 !1 1 !1!1 1 !1 1
1 !1 1 !1
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
(
!1 1 !1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
( x1 ! x2 + x3 ! x4 = 0
* x =
x1
x2
x2
x4
+
,
- - - -
.
/
0 0 0 0
=
x2 ! x3 + x4
x2
x3
x4
+
,
- - - -
.
/
0 0 0 0
= x2
1
1
0
0
+
,
- - - -
.
/
0 0 0 0
+ x3
!10
1
0
+
,
- - - -
.
/
0 0 0 0
+ x4
1
0
0
1
+
,
- - - -
.
/
0 0 0 0
) = 4
3 1 !1 1
1 3 1 !1!1 1 3 1
1 !1 1 3
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
(
4 0 0 4
0 4 4 0
0 0 4 4
1 !1 1 3
"
#
$ $ $ $
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&
' ' ' '
(
4 0 0 4
0 4 4 0
0 0 4 4
0 !1 1 2
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
(
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 !1 1 2
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
(
1 0 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 2 2
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
(
1 0 0 1
0 1 0 !10 0 1 1
0 0 0 0
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
( x1 = !x4 , x2 = x4 , x3 = !x4 * x =
x1
x2
x3
x4
+
,
- - - -
.
/
0 0 0 0
=
!x4
x4
!x4
x4
+
,
- - - -
.
/
0 0 0 0
= x4
!11
!11
+
,
- - - -
.
/
0 0 0 0
*
*
x1 =
1
1
0
0
!
"
# # # #
$
%
& & & &
, x2 =
'10
1
0
!
"
# # # #
$
%
& & & &
, x3 =
1
0
0
1
!
"
# # # #
$
%
& & & &
, x4 =
'11
'11
!
"
# # # #
$
%
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2
1
1
0
0
!
"
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& & & &
b2 =
'10
1
0
!
"
# # # #
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' '1 0 1 0( )1
2
1
1
0
0
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"
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!
"
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1
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1
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0
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2
'11
2
0
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"
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'11
2
0
!
"
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& & & &
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1
0
0
1
!
"
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' (1 0 0 1)1
2
1
1
0
0
!
"
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!
"
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& & & &
1
2
1
1
0
0
!
"
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' (1 0 0 1)1
6
'11
2
0
!
"
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"
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1
6
'11
2
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"
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=1
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'11
3
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"
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12
1
'11
3
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"
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$
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b4 =
'11
'11
!
"
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$
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' ('1 1 '1 1)1
2
1
1
0
0
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!
"
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1
2
1
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0
0
!
"
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' ('1 1 '1 1)1
6
'11
2
0
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"
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!
"
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1
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'11
2
0
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' ('1 1 '1 1)1
12
1
'11
3
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"
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!
"
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1
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1
'11
3
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"
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=1
2
'11
'11
!
"
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P =
1/ 2 !1/ 6 1/ 12 !1/21/ 2 1/ 6 !1/ 12 1/2
0 2 / 6 1/ 12 !1/20 0 3/ 12 1/2
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
P!1
AP =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
７．３：次の行列は対角化できないことを示し、正則行列に よって三角化せよ。
1 !11 3
"
# $
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& '
0 0 1
0 1 0
!1 0 2
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
2 0 0 0
0 0 2 0
0 !2 4 0
0 0 0 2
"
#
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$
$
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&
'
'
'
'
① ② ③
1 !11 3
"
# $
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& ' (
) !1 1
!1 ) ! 3= )2 ! 4) + 4 = () ! 2)2
) = 2
1 1
!1 !1
"
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1 1
0 0
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1
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"
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P =1 0
!1 1
"
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!1=1 0
1 1
"
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* AP =2 !1!2 3
"
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& ' P
!1AP =
2 !10 2
"
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& '
①
固有ベクトルが一つで、対角化できない。
とする
②
0 0 1
0 1 0
!1 0 2
"
#
$
$ $
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&
'
' '
() 0 !10 ) !1 0
1 0 ) ! 2= () !1)3
) = 1
1 0 !10 0 0
1 0 !1
"
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'
' '
(1 0 !10 0 0
0 0 0
"
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'
' '
( x1 = x3 x = x1
1
0
1
"
#
$
$ $
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'
' '
+ x2
0
1
0
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
P =
1 0 0
0 1 0
1 0 1
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
P!1
=
1 0 0
0 1 0
!1 0 1
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
AP =
1 0 1
0 1 0
1 0 2
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
P!1
AP =
1 0 1
0 1 0
0 0 1
"
#
$
$ $
%
&
'
' '
固有ベクトルは２つ。
③
2 0 0 0
0 0 2 0
0 !2 4 0
0 0 0 2
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
(
) ! 2 0 0 0
0 ) !2 0
0 2 ) ! 4 0
0 0 0 ) ! 2
= () ! 2)) !2 0
2 ) ! 4 0
0 0 ) ! 2= () ! 2)4
) = 2
0 0 0 0
0 2 !2 0
0 2 !2 0
0 0 0 0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
(
0 0 0 0
0 1 !1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
( x2 = x3 ( x =
x1
x2
x3
x4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
=
x1
x2
x2
x4
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
= x1
1
0
0
0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
+ x2
0
1
1
0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
+ x4
0
0
0
1
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
P =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 1
0 0 1 0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
P!1
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 !1 1 0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
( AP =
2 0 0 0
0 2 0 2
0 2 0 4
0 0 2 0
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
P!1
AP =
2 0 0 0
0 2 0 2
0 0 2 0
0 0 0 2
"
#
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
固有ベクトルは３つ。
７．４：ケーリー・ハミルトンの定理を利用して次の行列 について を求めよ。
An
A
A =
0 1 1
0 1 1
0 0 1
!
"
#
# #
$
%
&
& &
A =
0 1 1
0 1 1
0 0 1
!
"
#
# #
$
%
&
& &
' (A()) =
) *1 *10 ) *1 *10 0 ) *1
= ) () *1)2 + ) = 0,1
(A(A) = A(A*1)2 = 0 ' A
3 * 2A2
+ A = 0 + A3
= 2A2 * A
An*3
A3
= An*3(2A
2 * A) ' An
= 2An*1 * A
n*2
An
+ An*2
= 2An*1
An*1
+ An*3
= 2An*2
An*2
+ An*4
= 2An*3
!
A6
+ A4
= 2A5
A5
+ A3
= 2A4
An
+ A3
= An*1
+ A4
! An= A
n"1+ A
4 " A3
A2=
0 1 2
0 1 2
0 0 1
#
$
%%
&
'
(( , A
3=
0 1 3
0 1 3
0 0 1
#
$
%%
&
'
(( , A
4=
0 1 4
0 1 4
0 0 1
#
$
%%
&
'
((
A4 " A
3=
0 0 1
0 0 1
0 0 0
#
$
%%
&
'
((
!An= A
n"1+
0 0 1
0 0 1
0 0 0
#
$
%%
&
'
(( = A
1+
0 0 n " 1
0 0 n " 1
0 0 0
#
$
%%
&
'
((
=
0 1 n
0 1 n
0 0 1
#
$
%%
&
'
((
７．５：３次正方行列Ａに対し次式を示せ。
!A(") = "
3# (a11 + a22 + a33)"
2+ (A11 + A22 + A33)" # A
!A(") =
" # a11 #a12 #a13
#a21 " # a22 #a23
#a31 #a32 " # a33
= (" # a11)(" # a22)(" # a33)
# a12a23a31 # a13a32a21 # a13a31(" # a22) # a12a21(" # a33) # a23a32 (" # a11)
= "3# (a11 + a22 + a33)"
2+ (a11a22 # a12a21) + (a22a33 # a23a32) + (a33a11 # a13a31)[ ]"
# (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 # a13a31a22 # a12a21a33 # a23a32a11)
= "3# (a11 + a22 + a33)"
2+ (A11 + A22 + A33)" # A
７．６：ｎ次正方行列Ａの固有値を、 とする時、 次を示せ。
① の固有値は、 である。② の固有値は、 である。③ の固有値は、 である。④ が正則ならば、 の固有値は である。
!1,!2,...!n
!A
!"1,!"2,...!"n
A +!En
!1 +",!2 +",...!n
+"
Am
!1m,!2
m,...!
n
m
A
A!1
!1"1,!2
"1,...!
n
"1
P
P!1
AP
P!1
AP =
"1
*
"2
!
0 "n
#
$
%
%
%
%
&
'
(
(
(
(
：正則行列：三角行列
P!1("A)P ="P
!1AP =
"#1 *
"#2!
0 "#n
$
%
&
&
&
&
'
(
)
)
)
)
P!1(A +"E)P =
#1 +" *
#2 +"
!
0 #n
+"
$
%
&
&
&
&
'
(
)
)
)
)
P!1(A
m)P = (P
!1AP)" (P
!1AP) = (P
!1AP)
m=
#1m
*
#2m
!
0 #n
m
$
%
&
&
&
&
'
(
)
)
)
)
P!1
A!1
P = (P!1
AP)!1
=
#1!1
*
#2!1
!
0 #n
!1
$
%
&
&
&
&
'
(
)
)
)
)
①
②
③
④
