4-1

บทที่ 4 กฎและทฤษฎีบทวงจร (Circuit Laws and Theorems)

ในบทที่แลวเราไดศึกษาวิธีการวิเคราะหวงจรสองวิธีหลักมาแลว ในบทนี้จะกลาวถึงกฎและทฤษฎีบทตางๆ ท่ีชวยในการทําใหวงจรที่ซับซอนลดรูปเปนวงจรที่งายขึ้น สงผลทําใหการวิเคราะหวงจรทําไดงายขึ้นดวย ในบทน้ีจะกลาวถึงกฎและทฤษฎีวงจรไฟฟา 4 หัวขอดังนี้

- การแปลงแหลงจาย (Source Transformation) - ทฤษฎีซุปเปอรโพสิชัน (Superposition Theorem) - ทฤษฎีวงจรสมมูลของเทวินินและนอรตัน (Thevevin & Norton Theorem) - การสงผานกําลังสูงสุด (Maximum Power Transfer)

4.1 การแปลงแหลงจาย (Source Transformation) ในบทที่ผานมาการวิเคราะหวงจรไฟฟาแบบเมชจะทําไดงายหากแหลงจายทั้งหมดคือแหลงจายแรงดัน ในทํานองเดียวกันสําหรับการวิเคราะหวงจรแบบโนด จะทําไดงายหากแหลงจายท้ังหมดเปนแหลงจายกระแส ถาในวงจรมีแหลงจายทั้งสองแบบ เราสามารถใชทฤษฎีในหัวขอนี้ทําการแปลงแหลงจายใหเปนอยางใดอยางหนึ่งได เพื่อใหงายตอการวิเคราะหวงจร การแปลงไปมาระหวางแหลงจายแรงดันอนุกรมกับตัวตานทานและแหลงจายกระแสขนานกับตัวตานทานสามารถกระทําได ใหพิจารณาวงจรสองวงจรในรูปท่ี 4.1

รูปท่ี 4.1 วงจรการแปลงแหลงจาย

4-2

เพื่อเปนการพิสูจนวาสองวงจรน้ีสามารถแทนกันได โดยการนําแหลงจายทั้งสองตอเขากับตัวตานทาน R ที่มีคาเทากัน ผลของกระแสท่ีไหลผาน R ตัวนั้นทั้งสองวงจรจะตองเทากันจึงจะสามารถแทนกันได ดังน้ันจากรูปวงจรที่ 4.2 การคํานวณกระแส I และ IR มีคาเทากันแสดงวาวงจรแหลงจายทั้งสองสามารถแทนกันได

(a) (b) รูปที่ 4.2 วงจรการพิสูจนการแปลงแหลงจาย

พิสูจน จากรูปท่ี 4.2(a) ใชหลักการ Mesh Analysis : 0=++− RiiRv ss

หาคา i : RR

vi

s

s

+= …………….. (4.1)

จากรูปที่ 4.2(b) ใชหลักการ Current Divider :

s

s

s

s

s

ssR R

vRR

RRR

iRi .

+=

+=

หาคา i : RR

vi

s

sR += …………….. (4.2)

จากสมการที่ (4.1) เทากับ (4.2) ทําใหทั้งสองวงจรแทนกันได ตัวอยางท่ี 4.1 จงทําการแปลงแหลงจายในรูปท่ี 4.3

รูปที่ 4.3

4-3

วิธีทํา จากรูปที่ 4.3(ก) ใชหลักการแปลงแหลงจายจะได RP = RS = 14 Ω

ARv

is

ss 2

1428

===

จากรูปที่ 4.3(ข) ใชหลักการแปลงแหลงจายจะได RS = RP = 12 Ω

VRiv pss 24122. =×== ตัวอยางท่ี 4.2 จากวงจรจงคํานวณหาคากระแส i วิธีทํา จากรูปใชหลักการแปลงแหลงจายแรงดัน 3V อนุกรมกับ 30 Ω จะไดวงจรใหมดังนี้

ทําการยุบตัวตานทานที่ตอขนานกัน 30Ω //20Ω = 12Ω

4-4

ใชหลักการแปลงแหลงจายกระแส 0.1A ขนานกับ 12Ω จะไดวงจรใหมดังน้ี

ทําการยุบตัวตานทานที่ตออนุกรมกัน และแรงดันที่ตออนุกรมกันจะไดวงจรใหม

คํานวณหาคากระแส i : AVi 224.017

8.3=

Ω= ตอบ

4.2 ทฤษฎีซุปเปอรโพสิชัน (Superposition Theorem) หลักการทฤษฎีซุปเปอรโพสิชันคือ ในการวิเคราะหวงจรหาคากระแสหรือแรงดันใดๆในวงจรไฟฟาท่ีมีแหลงจายมากกวาหนึ่งตัว ใหทําการจายแหลงจายทีละตัว แลวทําการคํานวณหาคากระแสหรือแรงดันในวงจรที่ตองการแลวทําการเก็บคาไว จากนั้นใหนําคากระแสหรือแรงดันที่เก็บไวนั้นๆท้ังหมดมารวมกัน คากระแสหรือแรงดันที่ไดจะมีคาเทากับเม่ือทําการจายแหลงจายพรอมกันทั้งหมด โดยมีหลักเกณฑวาแหลงจายท่ีไมจายจะตองใหแหลงจายมีคาเปนศูนย คือถาเปน

Voltage Source = VS = 0 (ใหทําการ short circuit )

Current Source = IS = 0 (ใหทําการ open circuit )

เฉพาะแหลงจายไฟฟาแบบอิสระเทานั้น (independent source)

4-5

ตัวอยางท่ี 4.3 จากวงจรจงคํานวณหาคากระแส i โดยใชหลักการ Superposition วิธีทํา หาคากระแส i1 : คือกระแสที่เกิดจาก source 6V

โดยให source 2A เปนศูนย(open circuit)

หาคา Ai32

)63(6

1 =+

=

หาคากระแส i2 : คือกระแสท่ีเกิดจาก source 2A

โดยให source 6V เปนศูนย (short circuit)

ใชหลักการ Current Divider หาคา

AAi32

)63()2)(3(

2 =+

=

ใชหลักการ Superpositon หาคา i

Aiii34

32

32

21 =+=+= ตอบ

4-6

4.3 ทฤษฎีวงจรสมมูลของเทวินินและนอรตัน (Thevevin & Norton Theorem) วิศวกรชาวฝรั่งเศสชื่อเทวินิน (Thevenin) ไดพัฒนางานตอจากเฮลมโฮลท (Helmholtz)

และตีพิมพหลักการของทฤษฎีบทเทวินินในป ค.ศ. 1883 (พ.ศ. 2426) โดยเปาหมายของการใชทฤษฎีนี้คือการลดรูปบางสวนของวงจรโดยการแทนที่ดวยแหลงจายสมมูล (Equivalent Source) และความตานทานสมมูล (Equivalent Resistance) วงจรสวนที่ลดและแทนที่แลวจะตออยูกับสวนท่ีเหลือของวงจร และจะทําใหสามารถหาคาของตัวแปรที่เราสนใจไดงายและสะดวกมากขึ้น

ทฤษฎีบทของเทวินินมีประโยชนมากในการลดรูปวงจรในกรณีที่ตองการหาคา กระแส แรงดัน หรือกําลังท่ีเก่ียวของกับองคประกอบของวงจรตัวใดตัวหนึ่ง โดยเฉพาะอยางยิ่งในกรณีที่องคประกอบนั้นเปนตัวแปรท่ีเปลี่ยนคาได เราจะลดรูปสวนอื่นของวงจร แทนดวยวงจรสมมูลเทวินิน และตอเขากับองคประกอบที่สนใจดังเดิม

ทฤษฎีบทของเทวินิน กลาวไวดังนี้ สําหรับวงจรไฟฟาเชิงเสนใดๆ ท่ีมีสองขั้วสามารถเขียนวงจรเสมือน(Equivalent Circuit) แทนวงจรไฟฟาน้ันไดเปน แหลงจายแรงดันตออนุกรมกับตัวตานทาน ดังรูปที่ 4.4

รูปที่ 4.4(a) แสดงวงจรไฟฟา A ตอกับวงจรไฟฟา B รูปที่ 4.4(b) แยกวงจรไฟฟา A ออกมาเพ่ือเขียนวงจรเสมือน(Equivalent Circuit)

รูปที่ 4.4(c) เขียนวงจรเทวินิน ที่ใชแทนวงจรไฟฟา A รูปที่ 4.4(d) แสดงวงจรเทวินินท่ีใชแทนวงจรไฟฟา A ตอกับวงจรไฟฟา B

(a) (b)

(c) (d) รูปที่ 4.4 วงจรเทวินิน

4-7

สรุปหลักการของ Thevenin งายๆดังนี้ วงจรไฟฟาใดๆท่ีมีขั้วสองขั้ว(เชนขั้ว A และ B วงจรไฟฟาน้ันเรียกวา Black Box) ตออยูกับโหลด (RL) เราสามารถแทนวงจรไฟฟานั้นไดดวยแหลงจายแรงดัน (Vth) และ ตัวตานทาน (Rth) ตออนุกรมกัน โดยคาท้ังสองหาไดโดยใชหลักการดังนี้

Rth คือ คา ค.ต.ท ที่ตอระหวางขั้ว A B โดยทําการ short circuit แหลงจายแรงดัน

และ open circuit แหลงจายกระแส (ใหทําการถอด RL ออกกอน)

Vth คือ แรงดันครอมระหวางขั้ว A B (ใหทําการถอด RL ออกกอน)

บางคร้ังเรียก Rth วา ROC (Open Circuit)

บางคร้ังเรียก Vth วา VOC (Open Circuit)

Vth

Rth

RL

Black Box

A

B

+

-

VABVth

Rth

RL

Black Box

A

B

+

-

VAB

ทฤษฎีบทของนอรตัน มีหลัการคลายกับวงจรเทวินินตางกันตรงท่ีแทนท่ีจะเปนแหลงจายแรงดันตออนุกรมกับตัวตานทาน เปนแหลงจายกระแสตอขนานกับตัวตานทาน

ทฤษฎีบทของนอรตัน กลาวไวดังน้ี สําหรับวงจรไฟฟาเชิงเสนใดๆ ที่มีสองขั้วสามารถเขียนวงจรเสมือน(Equivalent Circuit) แทนวงจรไฟฟานั้นไดเปน แหลงจายกระแสตอขนานกับตัวตานทาน ดังรูปท่ี 4.5

สรุปหลักการหาคาวงจร Norton ดังนี้ วงจรไฟฟาใดๆที่มีขั้วสองขั้ว(เชนขั้ว A และ B วงจรไฟฟาน้ันเรียกวา Black Box) ตออยูกับโหลด (RL) เราสามารถแทนวงจรไฟฟานั้นไดดวยแหลงจายกระแส (ISC) และ ตัวตานทาน (RSC) ตอขนานกัน โดยคาทั้งสองหาไดโดยใชหลักเกณฑดังน้ี

Rsc คือ คา ค.ต.ท ที่ตอระหวางขั้ว A B โดยทําการ short circuit แหลงจายแรงดัน

และ open circuit แหลงจายกระแส (ใหทําการถอด RL ออกกอน)

Isc คือ กระแสไหลผานระหวางขั้ว A B (ใหทําการถอด RL ออกกอนและทําการ short

circuit ระหวาง A B)

4-8

Isc Rsc RL

Black Box

A

B

+

-

VABIsc Rsc RL

Black Box

A

B

+

-

VAB

รูปท่ี 4.5 วงจรนอรตัน

ตัวอยางท่ี 4.4 จงใชทฤษฎีบทของเทวินิน ในการหาคากระแส i ผานตัวตานทาน R ในวงจรในรูป

วิธีทํา หาคา Vth หรือ Voc โดยทําการถอดโหลด R ออกจะไดวงจรดังนี้

จากวงจรขางตนหาแรงดันครอม R = 20 ohms จะเทากับ Vth ใชหลักการ Voltage Divider

VVV octh 4050205

20=×

+==

หาคา Rth โดยทําการ short circuit แหลงจายแรงดัน 50V ไดวงจรดังน้ี

Ω=++×

= 84205205

thR

4-9

ดังนั้นสามารถเขียนวงจรเทวินินแทนวงจรขางตน และตอกับ R ดังนี ้

ตัวอยางท่ี 4.5 จากวงจรจงเขียนวงจรเสมือน Thevenin และ Norton วิธีทํา คํานวณหาคา Vth หรือ Voc หรือ Vab โดยทําการถอดโหลดออก

ใชหลักการ KCL ท่ีโนด c:

024010

10=++

− cc vv

หาคําตอบ vc : Vvc 8−= Vvvvv ccab 84 −==+= Ω (เพราะ Vv 04 =Ω ) ดังนั้น VVVV octhab 8−===

จากวงจรหาคา Rth ดัดแปลงวงจรไดเปน

Ω=+

+= Rth 124010

)40)(10(4

4-10

สามารถเขียนวงจร Thevenin Equivalent Circuit ไดดังน้ี

ใหสังเกตข้ัวของแหลงจายแรงดัน

สามารถเขียนวงจร Norton Equivalent Circuit ไดดังนี้

เม่ือ Rsc = Rth

Ω−

==12

8VRv

ith

ocsc

ตัวอยางท่ี 4.6 จากวงจรจงเขียนวงจรเสมือนแบบ Norton

วิธีทํา จากวงจรหาคา Rsc ทําการ short circuit 15V

Ω=+= k Rsc 46//)48( คํานวณหาคา isc โดยทําการถอดโหลดออกและ short circuit ขั้ว a b

mA kk

Visc 25.1)48(

15=

+=

A128

12 N

4-11

สามารถเขียนวงจร Norton Equivalent Circuit ไดดังนี้

ตัวอยางท่ี 4.7 จากวงจรจงเขียนวงจรเสมือนแบบ Norton

วิธีทํา จากวงจรหาคา Rsc ทําการ short circuit 24V และ open circuit 3A

Ω== 312//4scR คํานวณหาคา isc โดยทําการถอดโหลดออกและ short circuit ขั้ว a b ใชหลักการ Superposition AVsc iii 324 +=

AAVisc 93424

=+Ω

=

4-12

สามารถเขียนวงจร Norton Equivalent Circuit ไดดังนี้

4.4 การสงผานกําลังสูงสุด (Maximum Power Transfer) ในวงจรสําหรับการประยุกตใชงานจํานวนมากตองการใหมีการสงกําลังที่มีจากแหลงจายไปยังตัวตานทานโหลดใหไดคาสูงสุด พิจารณาวงจร ในรูปที่ 4.6 ซึ่งตอเขากับตัวตานทานโหลด จากหัวขอท่ี 4.3 เราไดศึกษาวาเราสามารถแทนวงจร ดวยวงจรสมมูลเทวินินดังแสดงในรูปท่ี 4.7

รูปท่ี 4.6 วงจร A ตอกับตัวตานทานโหลด RL

4-13

รูปที่ 4.7 แทนวงจร A ดวยวงจรเทวินินและตอกับตัวตานทานโหลด RL

จากวงจรรูปที่ 4.7 สามารถคํานวณหาคากําลังไฟฟาที่โหลด RL ไดดังนี้

LtL

s RRR

vP

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= …………….(4.3)

ถานําสมการ(4.3) เขียนกราฟความสัมพันธระหวาง P และ RL ดังน้ี

จากกราฟจะสังเกตวาจะมีคากําลังสูงสุดอยูจุดเดียว ซึ่งจุดนี้คือ slope = 0 เพื่อหาเงื่อนไขที่ทําใหกําลังไฟฟาสูงสุด

0==LdR

dPSlope ……………… (4.4)

ดังนั้นจากสมการ (4.3) และ (4.4) จะได

0)(

)(2)(4 =

++−+

=Lt

LLtLts

L RRRRRRR

vdRdP

ดังนั้น 0)(2)( =+−+ LLtLt RRRRR แกสมการ Lt RR = ……………… (4.5)

เพราะฉะนั้นเงื่อนไขที่ทําใหกําลังไฟฟาสูงสุดคือ Lt RR = มีเพียงจุดเดียว

4-14

หาคากําลังสูงสุด (Power Maximum)

L

s

L

Ls

Rv

RRv

P4)2(

. 2

2

2

max == ……………… (4.6)

ตัวอยางท่ี 4.8 จงหาคาความตานทานโหลดที่จะทําใหโหลดในวงจรในรูป ไดรับกําลังสูงสุด และจงหาคากําลังสูงสุดนั้น

วิธีทํา จากวงจรหาคา Rth โดยทําการ short circuit 180V และถอด RL ออก

Ω== 25150//30thR

จากวงจรหาคา Vth ทําการถอด RL ออกและคํานวณโดยใชหลักการ Voltage Divider

VVVV octhab 150180.30150

150=

+===

ดังน้ันกรณีที่ตองการ Maximum Power Transfer Ω== 25tL RR ตอบ

หาคากําลังสูงสุด (Power Maximum)

WRv

PL

s 225254

1504

22

max =×

== ตอบ

4-15

แบบฝกหัดบทท่ี 4

1. สําหรับวงจรในรูปจงใชหลักการแปลงแหลงจาย หาคาความตานทาน RL ที่จะทําใหกระแส i มี คา 2 mA เม่ือแหลงจายที่ตออนุกรมกับ RL มีคาเทากับ 5V

2. พิจารณาวงจรในรูป จงใชทฤษฎีซุปเปอรโพสิชัน หาคาแรงดัน v

3. จงหาวงจรสมมูลเทวินินของวงจรในรูป ท่ีขั้ว a – b

4-16

4. จงหาวงจรสมมูลนอรตันของวงจรในรูป ที่ขั้ว a – b

5. ใหดูแบบฝกหัดในหนังสือภาษาอังกฤษเพิ่มเติม

Richard C. Dorf , “Electric Circuits”, 7th Edition , John Wiley & Son , inc.

ผศ.วิชัย ประเสริฐเจริญสุข 1 มิถนายน 2552