เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 1

บทท 3 เรขาคณตวเคราะห

เรขาคณตวเคราะห (Analytic Geometry) เปนคณตศาสตรแขนงหนงทกลาวถงจดบนระนาบ (point and plane) เรขาคณตวเคราะหจงแบงไดดงน 1. ระบบพกดฉาก ประกอบดวยเสนตรงสองเสน เสนหนงอยในแนวนอน เรยกวา แกน X อกเสนหนงอยในแนวตงเรยกวาแกน Y ทงสองเสนนตดกนเปนมมฉาก และเรยกจดตดวา จดกาเนด (origin point) ซงแบงเปน 4 จตภาค โดยทคาของ ( ),x y เปนจานวนจรง ซงจตภาคท I, II, III, IV เปน ( ) ( ), , , ,++ −+

( )( ), ,−− +− ตามลาดบ

2. การหาระยะทางระหวางจด 2 จด ถา ( )1 1 1,P x y และ ( )2 2 2,P x y เปนจด 2 จดในระนาบ

ระยะทางระหวางจด 1P และจด 2P หาไดโดย

( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + −

3. จดกงกลางระหวางสองจด ถา ( )1 1 1,P x y และ ( )2 2 2,P x y เปนจด 2 จดในระนาบและให

( ),M x y เปนจดกงกลางระหวางจด 1P และจด 2P เราสามารถหาจด M ไดดงน

( ) 1 2 1 2, ,2 2

x x y yM x y

+ + =

4. ความชน (Slope) 5. ระยะทางจากจดไปยงเสนตรง รายละเอยดของเนอหาจะไดศกษาดงจะกลาวตอไปน 3.1 เสนตรงทมทศทางและโปรเจคชน เสนตรงทมทศทาง (directed lines) หมายถง เสนตรงทสามารถชบอกทศทางทเปนบวกได

บทนยาม 3.1.1 ให และ เปนจดทอยบนแกน X ระยะทางทมทศทาง จาก A ไปยง B

ซงเขยนแทนดวย จะมคาเทากบ ให และ เปนจดทอยบนแกน Y ระยะทางทมทศทาง จาก C ไปยง

D ซงเขยนแทนดวย จะมคาเทากบ

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 2

0AB> และ 0CD> 0AB< และ 0CD<

รปท 3.1.1

บทนยาม 3.1.2 ถา และ เปนจดทอยบนแกน X ระยะทางทไมมทศทาง (undirected distance) หรอระยะทาง (distance) ระหวาง A และ B ซงเขยนแทนดวย จะมคาเทากบ

ถา และ เปนจดทอยบนแกน Y ระยะทางทไมมทศทาง

(undirected distance) หรอระยะทาง (distance) ระหวาง C และ D ซงเขยนแทนดวย

จะมคาเทากบ

บทนยาม 3.1.3 ถาให เปนจดใดๆ และ L เปนเสนตรงใดๆ ในระนาบ ภาพฉาย (projection) ของจด บนเสนตรง L คอ จดตดของของเสนตรง L กบเสนตรงทลากผานจด ไปตงฉากกบเสนตรง L เขยนแทนดวยสญลกษณ กบเสนตรง L

บทนยาม 3.1.4 ถาให เปนสวนของเสนตรงใดๆ และ L เปนเสนตรงใดๆ ในระนาบ ภาพฉาย (projection) ของสวนของเสนตรง บนเสนตรง L คอ สวนของเสนตรง เมอ และ เปนภาพฉายของจด และ บนเสนตรง L ตามลาดบ เขยนแทนดวยสญลกษณ

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 3

Pr Loj P P′= 1 2 1 2Pr Loj PP P P′ ′=

รปท 3.1.2

รปท 3.1.3

ถาให ( )1 1 1,P x y และ ( )2 2 2,P x y เปนจดใดๆ บนระนาบ ใชสญลกษณ 1Pr Xoj P และ 1Pr Yoj P

แทนโปรเจคชนของ 1P บนแกน X และ Y ตามลาดบ เพราะฉะนน พจารณาจากรป จะไดวา

( )1 1 1Pr ,0Xoj P M x=

( )1 1 1Pr 0,Yoj P N y=

และจะไดวา ( )2 2 2Pr ,0Xoj P M x=

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 4

( )2 2 2Pr 0,Yoj P N y=

เพราะฉะนน ความยาวของ 1 2 1 2 2 1 1 2Pr Xoj PP M M x x x x= = − = − และความยาวของ

1 2 1 2 2 1 1 2Pr yoj PP N N y y y y= = − = −

3.2 ระยะระหวางจดสองจด

ถาให ( )1 1 1,P x y และ ( )2 2 2,P x y เปนจดใดๆ บนระนาบ ดงรป

รปท 3.2.1

จากหวขอทผานมา จะไดวา 1PQ =ความยาวของ 1 2 2 1Pr Xoj PP x x= −

และ 2P Q =ความยาวของ 1 2 2 1Pr yoj PP y y= −

จากทฤษฎบทพทาโกรส (Pythagoras’ Theorem) จะไดวา

2 2 2

1 2 1 2PP PQ P Q= +

2 2

2 1 2 1x x y y= − + −

หรอ ( ) ( )2 22

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + −

( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + −

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 5

เพราะฉะนนระยะทางระหวางจด 1 2PP คอ

( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 1PP x x y y= − + −

ตวอยาง 3.2.1 จงหาระยะทางระหวางจด ( )4,3A − และ ( )2,5B

วธทา กาหนดให ( ) ( )1 1, 4,3x y = −

( ) ( )2 2, 2,5x y =

เพราะฉะนน

( )( ) ( )2 2

2 4 5 3AB = − − + −

2 26 2= +

36 4= +

40=

2 10=

นนคอ ระยะทางระหวางจด A และ B เทากบ 2 10 หนวย � 3.3 จดแบงและจดกงกลางของสวนของเสนตรง ถาให ( )1 1 1,P x y และ ( )2 2 2,P x y เปนจดใดๆ บนระนาบพกดฉาก และเปนจดปลายของสวนของ

เสนตรงทผานจด 1P และ 2P โดยแบงสวนของเสนตรง 1 2PP ออกเปนอตราสวน 1

2

PPr

PP= เรยก r วา อตราสวน

ของการแบง (ratio of division)

ทฤษฎบท 3.1.1 ให และ เปนจดใดๆ บนระนาบพกดฉาก จะไดระยะทาง

ระหวางจด และ มคาเทากบ

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 6

1

2

0PP

rPP

= > 1

2

0PP

rPP

= <

รปท 3.3.1

รปท 3.3.2

จากรปท 3.3.2 และจากสามเหลยมคลาย 1 1PT P และ 2 2PT P จะไดวา

1 1 1

2 2

PP PTr

PP PT= =

เพราะวา 1 1 1PT x x= − และ 2 2PT x x= − เพราะฉะนน

1

2

x xr

x x

−=−

หรอ 1 2

1

x rxx

r

+=+

ในทานองเดยวกน จากสามเหลยมคลาย 1 1PT P และ 2 2PT P จะไดวา

11 1

2 2

PTPPr

PP PT= =

เพราะวา 1 1T P y y= − และ 2 2 2T P y y= − เพราะฉะนน

1

2

y yr

y y

−=−

หรอ 1 2

1

y ryy

r

+=+

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 7

ในกรณท P เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง 1 2PP จะได

1

2

1PP

rPP

= =

ดงนน จะไดวา ( )1 2

1

2x x x= + และ ( )1 2

1

2y y y= +

ตวอยาง 3.3.1 จงหาพกดของจด P ทแบงสวนของเสนตรงจากจด ( )1 3, 1P − − ไปยงจด ( )2 6,2P ออกเปน

อตราสวน 1

2

5

2

PP

PP=−

วธทา เพราะวา 1

2

5

2

PPr

PP= =− แสดงวาจด ( ),P x y จะตองอยภายนอกสวนของเสนตรง 1 2PP ออกไป

ทางดานจด 2P ดงนนจากสตร จะไดวา

( )

1 2

53 6

3 15212

351 122

x rxx

r

− + − + − − = = = =

+ −+ −

และ

( ) ( )

1 2

51 2

1 524

351 122

y ryy

r

− + − + − − = = = =

+ −+ −

นนคอ พกดของจด P คอ ( )12,4

� ตวอยาง 3.3.2 จงหาพกดของจดกงกลางของดานทงสามของสามเหลยมทมจดมมอยทจด ( )3,6 ,A −

( ) ( )3,2 , 1,4B C−

วธทา สมมตใหจดกงกลางของดาน ,AB BC และ CA คอ จด ,D E และ F ตามลาดบ จากสตร จะได พกดของจด D คอ ( )1 1,x y โดยท

( )1

13 3 3

2x = − − =−

( )1

16 2 4

2y = + =

พกดของจด E คอ ( )2 2,x y โดยท

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 8

( )2

13 1 1

2x = − + =−

( )2

12 4 1

2y = − =−

พกดของจด F คอ ( )3 3,x y โดยท

( )3

13 1 1

2x = − + =−

( )3

16 4 1

2y = − =

นนคอ พกดของจด ,D E และ F คอ ( ) ( )3,4 , 1, 1− − − และ ( )1,1− ตามลาดบ

� 3.4 ความชนของเสนตรง

ตวอยาง 3.4.1 จงหาความชนและมมเอยงของเสนตรงทผานจด ( )1 2,1P และ ( )2 4,3P

วธทา ให ( ) ( )1 1, 2,1x y = และ ( ) ( )2 2, 4,3x y =

จากทฤษฎบท 3.4.1 จะไดวา ความชนของเสนตรง L ทผานจด 1P และ 2P คอ

2 1

2 1

3 11

4 2

y ym

x x

− −= = =− −

บทนยาม 3.4.1 มมเอยง (angle of inclination) ของเสนตรง เขยนแทนดวยสญลกษณ อานวา แอลฟา (alpha) หมายถง มมบวก (คอมมทวดทวนเขมนาฬกา) ทเลกทสด ทวดจากแกน X ทางดานบวกไปยงเสนตรง ในกรณท ขนานกบแกน X เราจะได

บทนยาม 3.4.2 ความชน (slope) ของเสนตรง (ในทนเขยนแทนดวยสญลกษณ ) ทมมมเอยง คอ จานวนทมคา เทากบ นนคอ

ทฤษฎบท 3.4.1 ถา เปนเสนตรงทผานจด และ โดยท จะไดวา

ความชนของ

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 9

จาก tan 1m α= = และเพราะวา 0 180α≤ < จะไดวา 45α= �

นนคอ ความชนของเสนตรง L ทผานจด 1P และ 2P เทากบ 1 และมมเอยง เทากบ 45�

� 3.5 เสนขนานและเสนตงฉาก

3.6 มมระหวางเสนตรงสองเสน

บทนยาม 3.5.1 .ให และ เปนเสนตรงทมมมเอยง และ ตามลาดบ ถา เราจะกลาววา เสนตรง วา ขนานกบ (แทนดวยสญลกษณ )

ทฤษฎบท 3.5.1 ให และ เปนเสนตรงทมมมเอยง และ ตามลาดบ และมความชน และ ตามลาดบ (i) ถา จะไดวา ขนานกบ (ii) ถา ขนานกบ จะไดวา

บทนยาม 3.5.2 .ให และ เปนเสนตรงทมมมเอยง และ ตามลาดบ ถา (หรอ โดยท ความชน และ เปนความชนของ และ ตามลาดบ) เราจะกลาววา เสนตรง และ เปนเสนตรงเดยวกน

ทฤษฎบท 3.5.2 ให และ เปนเสนตรงทมความชน และ ตามลาดบ ถา

แลว ตงฉาก (แทนดวยสญลกษณ )

บทนยาม 3.6.1 .ให และ ทไมขนานกนและตดกนทจด มมบวกทจด โดยวดจาก ไปยง เราเรยกวา มมจาก ไปยง (angle from to )

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 10

มมทจด P หมายถง มมทมจดมมอยทจด P และวดโดยมทศทางทวนเขมนาฬกา ถาให θ เปนมมจาก

1L ไปยง 2L จะไดวา π θ− เปนมมจาก 2L ไปยง 1L สมมตให 1L และ 2L เปนเสนตรงทตดกน แตไมตงฉากกน และไมมเสนใดทขนานกบแกน Y ให 1α และ 2α แทนมมเอยง และ 1m , 2m เปนความชนของ 1L และ 2L ตามลาดบ ให θ เปนมมฉากจาก 1L ไปยง

2L เราจะพจารณามมระหวางเสนตรงสองเสนน 2 กรณ ดงน กรณท 1 1 2α α< พจารณาดงรป 3.6.1

รปท 3.6.1

จากรป 3.6.1 พบวา 2 1α α θ= + 2 1θ α α= −

จะไดวา ( )θ α α= −2 1tan tan

จากเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต จะได

2 1

2 1

tan tantan

1 tan tan

α αθ

α α

−=+ ⋅

นนคอ 2 1

2 1

tan1

m m

m mθ

−=+ ⋅

และสามารถหาคาตอบของ θ ไดโดยใชอนเวอรสของฟงกชน

แทนเจนต กรณท 2 2 1α α< พจารณาดงรป 3.6.2

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 11

รปท 3.6.2

จากรป 3.6.2 พบวา ( )1 2α α π θ= + −

1 2π θ α α− = −

จะไดวา ( ) ( )1 2tan tanπ θ α α− = −

จากเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต จะไดวา

1 2

1 2

tan tantan

1 tan tan

α αθ

α α

−− =

+ ⋅

1 2

1 2

tan1

m m

m mθ

−− =

+ ⋅

ดงนน 2 1

1 2

tan1

m m

m mθ

−=+ ⋅

หรอถา β แทนมมจาก 2L ไปยง 1L จะได β π θ= −

นนคอ ( ) 2 1 1 2

1 2 1 2

tan tan tan1 1

m m m m

m m m mβ π θ θ

− −= − =− =− =

+ ⋅ + ⋅

ตวอยาง 3.6.1 จงหาแทนเจนต (tangent) ของมมจากเสนตรง 1L ทผานจด ( )0,0 และ ( )3 ,1 ไปยง

เสนตรง 2L ทผานจด ( )0,0 และ ( )2, 2 3− −

วธทา ให 1m , 2m เปนความชนของ 1L และ 2L ตามลาดบ ให θ เปนมมฉากจาก 1L ไปยง 2L

จากโจทยจะได 1

1

3m = และ 2 3m =

ดงนน 2 1

1 2

tan1

m m

m mθ

−=+ ⋅

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 12

13

31

1 33

−

=+ ⋅

3 1

31 1

−

=+

1

3=

นนคอ คาของแทนเจนต (tangent) ของมมจากเสนตรง 1L ไปยงเสนตรง 2L ทกาหนดให เทากบ 1

3

� 3.7 สมการของเสนตรง 3.7.1 สมการในแบบ จด-ความชน (The point-Slope Equation) ถา L เปนเสนตรงทมความชน m และผานจด ( )1 1 1,P x y เพราะฉะนนสงททราบคอ จดใดๆ บน

เสนตรงเพยง 1 จด และความชนของเสนตรง L นนคอ สมการของเสนตรง L เขยนอยในรป ( )1 1y y m x x− = −

ตวอยาง 3.7.1 จงหาสมการของเสนตรงทผานจด ( )2, 3− และมความชน เทากบ 4

5−

วธทา กาหนดให ( ) ( )1 1, 2, 3x y = − และ 4

5m=−

จะไดสมการเสนตรงดงน

( ) ( )4

3 25

y x− − =− −

( )4

3 25

y x+ =− −

( )5 15 4 2y x+ =− − 5 15 4 8y x+ =− + 4 5 7 0x y+ + = นนคอ 4 5 7 0x y+ + = เปนสมการเสนตรงทตองการ � 3.7.2 สมการในแบบ จดสองจด (The Two-point Equation)

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 13

ถา L เปนเสนตรงทผานจด ( )1 1 1,P x y และ ( )2 2 2,P x y เพราะฉะนนสงททราบคอ จดใดๆ 2 จด

บนเสนตรง L

นนคอ สมการของเสนตรง L เขยนอยในรป ( )2 11 1

2 1

y yy y x x

x x

−− = −

−

ตวอยาง 3.7.2 จงหาสมการเสนตรงทผานจด ( )2,3− และ ( )1, 4−

วธทา กาหนดให ( ) ( )1 1, 2,3x y = − และ ( ) ( )2 2, 1, 4x y = −

จะไดวา

( )4 3

3 21 2

y x− −

− = ++

( )7

23x

−= +

( ) ( )3 3 7 2y x− =− +

7 3 5 0x y+ + = นนคอ 7 3 5 0x y+ + = เปนสมการเสนตรงทผานจด 2 จดทกาหนดให � 3.7.3 สมการในแบบความชน-จดตดแกน (The Slope-Intercept Equation) ถา L เปนเสนตรงทมความชน เทากบ mและตดแกน Y ทจด ( )0,b เพราะฉะนนสงททราบคอ

ความชนของเสนตรง L และจดตดแกน Y นนคอ สมการของเสนตรง L เขยนอยในรป y mx b= +

ตวอยาง 3.7.3 จงหาสมการและวาดรปเสนตรงทมจดตดแกน Y ทจด ( )0,3 และมความชน เทากบ 2

3−

วธทา กาหนดให 3b= และ 2

3m=−

จะไดวา

2

33

y x=− +

3 2 9y x=− + 2 3 9 0x y+ − = สมารถเขยนกราฟของสมการเสนตรง ดงน

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 14

นนคอ 2 3 9 0x y+ − = เปนสมการเสนตรงทตองการ � 3.7.4 สมการในแบบจดตดแกน (The Intercept Equation) ถา L เปนเสนตรงทมจดตดแกน X ทจด ( ),0a และจดตดแกน Y ทจด ( )0,b เพราะฉะนนสง

ททราบคอ จดตดแกน X และจดตดแกน Y

นนคอ สมการของเสนตรง L เขยนอยในรป 1x y

a b+ =

ตวอยาง 3.7.3 จงหาสมการเสนตรงทมจดตดแกน X ทจด ( )5,0− และจดตดแกน Y ทจด ( )0,2

วธทา จากโจทยกาหนดให 5a=− และ 2b= จะไดวา

15 2

x y− + =

2 5 10x y− + = 2 5 10 0x y− + − = 2 5 10 0x y− + = นนคอ 2 5 10 0x y− + = เปนสมการทตองการ

�

บทนยาม 3.7.1 .สมการทอยในรป โดยท และ เปนจานวนจรงใดๆ และ จะเทากบศนยทงสองตวไมได จะเรยกวาเปนสมการกาลงหนง (first degree equation) หรอสมการเชงเสน (linear equation) ของตวแปร และ

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 15

ตวอยาง 3.7.4 จงหาสมการของเสนตรงทแบงครงและตงไดฉากกบสวนของเสนตรงทมจดปลายอยท ( )2, 3P −

และ ( )4,5Q −

วธทา ความชนของสวนของเสนตรง PQ คอ

5 3 4

4 2 3m

+= =−− −

จดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ อยท ( )1 1,x y โดยท

1

2 41

2x

−= =− และ 1

3 51

2y− += =

ดงนนความชนของเสนตรงทตงไดฉากกบสวนของเสนตรง PQ คอ 2

1

1 3

4m

m=− =

จากสมการในรปแบบจด-ความชน จะไดสมการเสนตรงทตองการ ดงน

( )3

1 14

y x − = +

4 4 3 3y x− = + 3 4 7 0x y− + = นนคอ 3 4 7 0x y− + = เปนสมการเสนตรงทตองการ � 3.8 ระยะทางระหวางจดและเสนตรง (Distance between a Point and a Line) ให L เปนเสนตรงใดๆ ในระนาบพกดฉาก เพราะฉะนน จะตองขนานกบแกน X หรอแกน Y หรอไมขนานแกน X และแกน Y ให ( ),P x y เปนจดใดๆ นอกเสนตรง L และให d เปนระยะทางระหวางจด P และเสนตรง L ณ จด

Q ซงเปนโปรเจคชนของจด P บนเสนตรง L กรณท 1 ถา L ขนานกบแกน Y สมมตให สมการของ L คอ x a= เพราะฉะนน พกดของ Q คอ ( )1,a y จะไดวา

( ) ( )2 2

1 1 1d x a y y= − + −

1x a= −

ทฤษฎบท 3.7.1 เสนตรงทกเสนในระนาบพกดฉากจะตองมสมการในแบบสมการเชงเสนของสองตวแปร

ทฤษฎบท 3.7.2 กราฟของสมการเชงเสน โดยท จะเทากบศนยทงสองตว ไมได จะเปนเสนตรงในระนาบพกดฉาก

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 16

กรณท 2 ถา L ขนานกบแกน X สมมตให สมการของ L คอ y b= เพราะฉะนน พกดของ Q คอ ( )1 ,x b จะไดวา

( ) ( )2 2

1 1 1d x x y b= − + −

1y b= − กรณท 3 ถา L ขนานกบทงแกน X และแกน Y สมมตให สมการของ L คอ 0; 0, 0Ax By C A B+ + = ≠ ≠ จากสมการของ L จะไดวา

A C

y xB B

=− −

แสดงวาความชนของ A

LB

=−

ตวอยาง 3.8.1 จงหาระยะทางระหวางจด ( )1,3P − and เสนตรง : 3 4 10L x y− =

วธทา เขยนสมการเสนตรงใหอยในรปแบบมาตรฐาน จากสมการเสนตรงทกาหนดให คอ 3 4 10x y− = จะไดวา 3 4 10 0x y− − = จากทฤษฎบท 3.8.1

1 1

2 2

Ax By Cd

A B

+ +=

+

ซง 13, 4, 10, 1A B C x= =− =− =− และ 1 3y =

จะไดระยะทางระหวางจดกบเสนตรงทกาหนดใหเปนดงน

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 2

3 1 4 3 10

3 4d

− + − + −=

+ −

ทฤษฎบท 3.8.1 ระยะทาง ระหวาง และเสนตรง ทมสมการ

มคาเทากบ

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 17

3 12 10

9 16

− − −=

+

35

25

−=

35

5=

7= นนคอ ระยะทางระหวางจด P กบเสนตรง L ทกาหนดให คอ 7 หนวย �

ตวอยาง 3.8.2 จงหาระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทมสมการ 2 3 5x y+ = และ 2

23

y x=− +

วธทา เนองจากสมการ 2

23

y x=− + อยในรปแบบ ความชน – จดตดแกน Y

ดงนนจงทราบคาจดตดแกน Y คอ ( )0,2 ซงเปนคาของ 1x และ 1y

และเนองจากสมการ 2 3 5x y+ = จดใหอยในรปมาตรฐาน ไดดงน 2 3 5 0x y+ − = จะไดวา

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 2

2 0 3 2 5

2 3d

+ + −=

+

6 5

4 9

−=

+

1

13=

0.28≈ นนคอ ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทกาหนดใหประมาณ 0.28 หนวย � ถาหากทราบวาเสนตรง 2 เสนนนขนานกนกสามารถทจะใชทฤษฏบทตอไปนในการหาระยะทางระหวางเสนตรง 2 เสนนนได

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 18

เราทราบแลววาเสนตรง 2 เสนขนานกนกตอเมอความชนของเสนตรงทงสองเทากน จากทฤษฎบท 3.8.2

จะสงเกตเหนวาความชนของเสนตรง 1L และ 2L มคาเทากน คอ A

B− เพอใหเขาใจมากขนลองมาศกษาตวอยาง

3.8.3 ตอไปน ตวอยาง 3.8.3 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1 : 2 3 5L x y+ = และ 2 : 14 21 10L x y+ =

วธทา เนองจาก เสนตรง 1L และ 2L มความชนเทากน คอ 2

3−

แตสมประสทธของตวแปร x และ y ไมเทากน ดงนนตองทาสมประสทธใหเทากน โดยคณดวย 7 ในสมการเสนตรง 1L จะได 14 21 35x y+ = จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน จะได 1 : 14 21 35 0L x y+ − = และ 2 : 14 21 10 0L x y+ − = จะได 1 35C =− และ 2 10C =− ทาใหไดวา

( ) ( )2 2

31 10

14 21d

− +=

+

21

196 441=

+

21

637=

21

7 13=

3

13=

0.83≈ นนคอ ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทกาหนดใหประมาณ 0.83 หนวย �

ทฤษฎบท 3.8.2 ถาเสนตรง และเสนตรง เปนเสนตรงทขนานกน แลวจะไดวา ระยะทางระวางเสนตรง และ มคาเทากบ

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 19

แบบฝกหดบทท 3 1. จงหาจดกงกลางระหวางจด 2 จด

1.1 (1,-2) และ (4,2)

1.2 (-3,9) และ (5,-3)

1.3 (-2,-8) และ (4,3)

3. จงหาสมการเสนตรง ทมเงอนไขตามทกาหนดใหตอไปน

3.1 มความชน 2 มสวนตดแกน Y เปน 4 3.2 ผานจด (1,2) และมความชน 3

3.3 มสวนตดแกน X เปน 2 และมสวนตดแกน Y เปน 6 3.4 ผานจด (4,1) และ (7,4)

4. จงหาความชนของเสนตรงทมสมการเปน x + 2ky – 1 = 0 และเสนตรงมผลตางของสวนตด

แกน X กบสวนตดแกน Y เทากบ 3

5. จงหาสวนตดแกน X และสวนตดแกน Y ของเสนตรงทผานจด (-2,4) กบ (5,-1)

6. จงพจารณาวาเสนตรงคใดขนานกน เสนตรงคใดตงฉากกน

1 : 2 4 1 0− − =l x y 5 : 2 4 7 0+ − =l x y

2 : 7 1 0+ + =l x y 6 : 2 14 5 0− + =l x y

3 : 4 2 5 0+ + =l x y 7 : 2 8 0− + =l x y

4 : 7 9 0− − =l x y 8 : 21 3 1 0+ + =l x y

7. จงหาระยะทางระหวางจด (-2,4) กบ (1,-3)

8. จงหาระยะทางระหวางจด (-2,5) กบเสนตรง : 4 3 1 0+ + =l x y

9. จงหาระยะทางระหวางเสนขนาน 1 : 5 12 1 0− + =l x y กบ 2 : 10 24 1 0− + =l x y

2. จงหาความชนและความเอยงของเสนตรงทผานจด 2 จด ตอไปน

2.1 (2,3) กบ (5,7)

2.2 (1.5,3.5) กบ (5.0,-4.5)

2.3 (-2,-2) กบ (4,-4)