Минестерство образования Республики БеларусьУО «Витебский государственный технологический университет»

ТемаТема7. «Прямая в пространстве»

Кафедра теоретической и прикладнойматематики

разработана доц.Дуниной Е.Б.

Прямая линия в пространстве может быть получена в результатепересечения двух плоскостей, поэтому аналитически может бытьзадана системой двух уравнений

(7.1) 00

2222

1111

⎩⎨⎧

=+++=+++

DzCyBxADzCyBxA

Уравнения (7.1) называютсяобщими уравнениямипрямой.

7.1 Прямая как линия пересечения двухплоскостей.

Каждое из уравнений системы есть уравнение плоскости, аплоскости могут пересекаться лишь в том случае, когда ихнормальные векторы

),,(),,,( 22221111 CBAnCBAn rr

не коллинеарны.

В случае коллинеарности векторов их соответствующиекоординаты пропорциональны.

Следовательно, система двух уравнений определит прямую втом и только том случае, когда коэффициенты

111 ,, CBAне пропорциональны соответственно коэффициентам

,,, 222 CBA

т.е. когда ранг матрицы⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

222

111

CBACBA равен двум.

7.2 Уравнение прямой проходящей череззаданную точку, параллельно заданномувектору.

Положение прямой в пространстве вполне определено, еслизадана точка

),,( 0000 zyxM этой прямой и вектор

),,( pnmsr отличный от нулевого, параллельный прямой.

Возьмем на прямой переменную точку M(x,y,z).

Z

X

YО

S

M

M

0

rr0

Векторы sMM r,0

→−−

коллинеарны, поэтому при любом положении точки М на прямойбудет иметь место равенство

stMM r→−−

=0

где t –числовой множитель

Если→−−

MM 0совпадает понаправлению свектором sr

то t>0, в противномслучае t<0.Вектор sr

принято называть направляющимвектором прямой.

Из рисунка видно, →−−→−−→−

+= MMOMOM 00

(7.2) 0 strr rrr+=

или

Уравнение называют векторным уравнением прямой впространстве.Переходя от векторного уравнения прямой (7.2) к равносильнымему координатным уравнениям

(7.3)

0

0

0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

ptzzntyymtxx Уравнения (7.3) называются

параметрическимиуравнениями прямой.

Исключим параметр t , а затем приравняем правые части

(7.4) 000

pzz

nyy

mxx −

=−

=−

Уравнение (7.4) называется каноническим уравнениемпрямой.

Если ),,( pnmsr направляющий вектор прямой,

а α, β, γ –углы образуемые этим вектором с Ox, Oy,Oz соответственно, то направляющие косинусы этого вектора

sm

pnmm

=++

=222

cosα sn

pnmn

=++

=222

cosβ

sp

pnmp

=++

=222

cosγ

7.3 Уравнение прямой проходящей через дведанные точки.

Пусть даны две точки ),,( и ),,( 22221111 zyxMzyxMчерез которые проходит прямая. Принимая за направляющийвектор прямой вектор

),,( 12121221 zzyyxxMM −−−→−−

и учитывая (7.4) можем записать

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

−−

=−−

=−−

или(7.5)

12

2

12

2

12

2

zzzz

yyyy

xxxx

−−

=−−

=−−

Это уравнения прямой, проходящей через две заданныеточки.

7.4 Приведение общих уравнений прямой кканоническому виду.

Для того чтобы привести общее уравнение прямой

⎩⎨⎧

=+++=+++

00

2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

(7.6)

к каноническому виду, нужно определить координаты (a,b,c) какойлибо точки M0 лежащей на прямой и координаты направляющеговектора ),,( pnmsr прямой.

1. Для определения координат какой либо точки M0(x,y,z) лежащей на прямой, достаточно задать численное значениеодной из искомых координат, а затем из системы уравнений (7.6) найти соответствующие значения двух других координат.

2. Т.к. данная прямая есть результат пересечения двухплоскостей, то она перпендикулярна к каждому из нормальныхвекторов этих плоскостей

),,(),,,(

2222

1111

CBAnCBAn

r

r

Поэтому в качестве направляющего вектора ),,( pnmsr

можно взять любой вектор, перпендикулярный ,, 21 nnrr

например, их векторное произведение, т.е. положить

222

11121

CBACBAkji

nns

rrr

rrr=×=

где

22

11

22

11

22

11 ,n ,BABA

pCACA

CBCB

m =−==

Пример: Найти каноническое уравнение прямой

⎩⎨⎧

=+−+=−++

01420432

zyxzyx

Решение.

1. Положим, например, z=0, получим⎩⎨⎧

−=+=+

1242

yxyx

Умножим второе уравнение на -2 и сложим два уравнения 63 =− x и .2−=xПодставив .2−=x в первое уравнение, найдем y

62422

==+−

yy

и .3=yТаким образом, одна из точек, принадлежащих прямой имееткоординаты (-2,3,0)

2. Запишем координаты направляющих векторов

)4,1,2(),3,2,1( 21 −== nn rr

Полагая

kji

kjikji

nns

rrr

rrr

rrr

rrr

31011

213132

41232121

−+−

=+−

−−

=−

=×=124241

получим m=-11, n=10, p=-3.

Каноническое уравнение примет вид

3103

112

−=

−=

−+ zyx

7.5 Угол между двумя прямыми.

Углом между двумя прямыми в пространстве назовемлюбой из двух углов, образованных прямыми, проведеннымичерез произвольную точку пространства параллельно данным.

Пусть даны две прямые, заданные их каноническими уравнениями

,1

10

1

10

1

10

pzz

nyy

mxx −

=−

=− .

2

20

2

20

2

20

pzz

nyy

mxx −

=−

=−

За угол φ между прямыми, можно взять угол между ихнаправляющими векторами

21 и ss rr

ϕcos2121 ssss rrrr=Т.к.

22

22

22

21

21

21

212121

21

21cospnmpnm

ppnnmmssss

++++

++±== rr

rr

ϕто

Для нахождения острого угла между прямыми, числительправой части следует взять по модулю.

Условие параллельности прямых. Если прямые параллельны, то их направляющие векторы

),,( и 22221111 pnms),p,n(ms rr

коллинеарны, а проекции пропорциональны. Поэтомунеобходимое и достаточное условие параллельности прямыхзапишется в виде

2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

==

Условие перпендикулярности прямых. Если прямые перпендикулярны, то угол между направляющимивекторами

21 и ss rr

равен 900 , а скалярное произведение их равно нулю

021 =ss rr и 0212121 =++ ppnnmm

7.6 Угол между прямой и плоскостью.

Пусть даны плоскость 0=+++ DCzByAx

и прямая1

0

1

0

1

0

pzz

nyy

mxx −

=−

=−

sn

Улом φ между прямой иплоскостью называется угол, образованный даннойпрямой и плоскостью.

Рассмотрим угол междунормальным векторомплоскости и направляющимвектором прямой

snsnsn rr

rrrr

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∧

ϕϕπ sin2

cos),(cos

(7.7) sin21

21

21

222

111

pnmCBA

CpBnAm

++++

++=ϕили

Если прямая параллельна плоскости, то векторы

перпендикулярны, а их скалярное произведение равно нулю

sn rr и

(7.8) 0 и 0 111 =++= CpBnAmsnrr

Выражение (7.8) называется условиемпараллельности прямой и плоскости.Если прямая перпендикулярна к плоскости, то векторы

sn rr и коллинеарны. Поэтому условие перпендикулярностипрямой к плоскости запишется в виде

(7.9) 111 pC

nB

mA

==

7.7 Определение общих точек прямой и плоскости.

Для определения общих точек прямой

(7.10) 000

pzz

nyy

mxx −

=−

=−

и плоскости (7.11) 0=+++ DCzByAxуравнения (7.10),(7.11) надо решить совместно, считая x,y,zнеизвестными.

Полагая tpzz

nyy

mxx

=−

=−

=− 000

запишем уравнение прямой в параметрической форме

(7.12) .,,

0

0

0

ptzzntyymtxx

+=+=+=

Подставляя значения x,y,z из (7.12) в (7.11) получим

.0)()()( 000 =++++++ DptzCntyBmtxAВыражение перепишем в виде

(7.13) 0)(000 =++++++ CpBnAmtDczByAxВозможны три случая:

,0≠++ CpBnAm1. тогда

CpBnAmDCzByAxt

+++++

−= 000

имеет определенное конечное значение. Подставив это значениев уравнение (7.12), получим единственную точкупересечения прямой с плоскостью.

,0=++ CpBnAm2. Если но

,0000 ≠+++ DczByAxто уравнение (7.13) не имеет решения.

Прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью.

0=++ CpBnAm3. Если и

0000 =+++ DczByAx

то любое значение t будет решением (7.13). В этом случаепрямая лежит в плоскости.

7.8 Условие расположения двух прямых в однойплоскости.

При каком условии прямые

1

1

1

1

1

1

pzz

nyy

mxx −

=−

=− и

2

2

2

2

2

2

pzz

nyy

mxx −

=−

=−

будут лежать в одной плоскости?

),,( и ),,( 22221111 pnmspnms rrВектора

направляющие векторы прямых. Точки ),,(M и ),,( 22221111 zyxzyxM

принадлежат первой и второй прямой соответственно.

Z

X

YО

s

s1

2

M

M

1

2

Если прямые лежат водной плоскости, товекторы

→−−

2121 ,, MMss rr

компланарны.

Следовательно для того чтобы прямые лежали в однойплоскости, необходимо и достаточно чтобы смешанноепроизведение векторов

2121 ,, ssMM rr→−−было равно нулю.

В координатах это условие запишется так:

(7.14) 0

222

111

121212

=−−−

pnmpnmzzyyxx

Причем, если выполнено условие (7.14) и ,2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

==

то прямые параллельны.

Если выполнено условие (7.14), но ,2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

≠≠

то прямые пересекаются.

Пример:

Проверить лежат ли в одной плоскости следующие прямые

,1

23

12

1 −=

−=

− zyx .0

12

21

1 −=

−=

+ zyx

Решение.

Направляющие векторы прямых ).0,2,1(),1,3,2( 21 ss rr

)1,2,1(),2,1,1( 21 −MMлежат на первой и второй прямой соответственно.

Точки

Тогда вектор

).1,1,2(21 −−→−−

MMСогласно (7.14) вычислим определитель

044314021132112

≠=+++−=−−

Следовательно прямые не лежат в одной плоскости.

7.9 Расстояние между двумя прямыми впространстве.

Даны две прямые

1

1

1

1

1

1

pzz

nyy

mxx −

=−

=−

и .2

2

2

2

2

2

pzz

nyy

mxx −

=−

=−

Требуется определить кратчайшее расстояние междуними.

1. Если прямые пересекаются, выполняется условие(7.14) и

,2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

≠≠ то кратчайшее расстояние между нимиравно нулю.

2. Если прямые параллельны2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

==

и выполняется условие (7.14), то расстояние между ними можнонайти как расстояние от точки до прямой.

3. Если прямые не лежат в одной плоскости, то этоскрещивающиеся прямые. Для них

0

222

111

121212

≠−−−

pnmpnmzzyyxx

Очевидно, что кратчайшее расстояние между ними будет равнорасстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через первую и вторую прямую.

Направляющие векторы прямых ).,,( и ),,( 22221111 pnmspnms rr

Вектор

222

11121

pnmpnmkji

ssn

rrr

rrr=×=

будет общей нормалью плоскостей. Искомое расстояние d между прямыми будет равно абсолютнойвеличине проекции вектора

),,( 12121221 zzyyxxMM −−−→−−

на нормаль nr

(7.15) 21

21n n

nMMMMПрd r

r

r

→−−

→−−⋅

==

Пример:

Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми

,21

14

24

−+

=−−

=+ zyx

.55

35

45

−−

=−−

=+ zyx

Решение.

Точки )5,5,5(),1,4,4( 21 −−− MM лежат на прямых, тогда

).6,1,1(21 −→−−

MM Вычислим определитель

09534212

611

222

111

121212

≠−=−−−−

−=

−−−

pnmpnmzzyyxx

т.е. данные прямые не лежат в одной плоскости.

Направляющие векторы прямых

).5,3,4(),2,1,2( 21 −−−− ss rr

nrВектор перпендикулярный к обеим прямым, определим как

kji

kjikji

ssn

rrr

rrr

rrr

rrr

22

3412

5422

5321

534212

21

−+−=

=−−

+−−

−−−−−

=−−−−=

=×=

)2,2,1( −−nr ).6,1,1(21 −→−−

MMИтак и

Тогда искомое расстояние

.339

99

)2(2)1(

)2(621)1)(1(222

21

21n

==−

=

=−++−

−⋅+⋅+−−=

⋅==

→−−

→−−

n

nMMMMПрd r

r

r