7 Integral by Part

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

บทที่ 7 เทคนิคการอินทิเกรตทีละสวน

จากวิธีการหาคาอินทิกรัลของฟงกชันตาง ๆ ไปแลวหลายประเภท แตก็มีบางฟงกชันที่สําคัญที่ยังไมสามารถหาคาอินทิกรัลไดโดยวิธีการดังกลาว จึงมีวิธีการอินทิเกรตแบบตาง ๆ เพื่อที่จะทําฟงกชันที่สําคัญสามารถหาคาอินทิกรัลได ซ่ึงเราเรียกวา เทคนิคการอินทิเกรต

(Techniques of Integration) มีหลายวิธีเชน เทคนิคการอินทิเกรตทีละสวน เทคนิคการอินทิเกรตโดยการแทนคาดวยฟงกชันตรีโกณมิติ เทคนิคการอินทิเกรตโดยการแยกเปนเศษสวนยอย

การอินทิเกรตทีละสวน (Integration by parts)

ถา ( )xfu = และ ( )xgv = เปนฟงกชันสองฟงกชันใด ๆ ที่สามารถหาอนุพันธไดแลว จากหลักการดิฟเฟอเรนเชียลของผลคูณ

( ) vduudvuvd +=

เมื่อทําการอินทิเกรตทั้งสองขางจะได

( ) ∫∫∫ += vduudvuvd

∫∫ +=+ vduudvCuv

หรือ ∫∫ +−= Cvduuvudv

เนื่องจากทางดานขวามือ ยังคงมีอินทิกรัลอยูอีก ซ่ึงเมื่ออินทิเกรตแลวจะมีคาคงตัวของการอินทิเกรตเกิดขึ้นอีกหนึ่งตัว ดังนั้นในขั้นตอนนี้จึงยังไมจําเปนตองบวกดวย คาคงตัว จะได

∫ ∫−= vduuvudv


2

เรียกวา สูตรของการอินทิเกรตทีละสวน เพื่อจะชวยใหการอินทิเกรตที่ยุงยากงายขึ้นกวาเดิมมาก ซ่ึงลักษณะของตัวถูกอินทิเกรต ที่ใชเทคนิคของการอินทิเกรตทีละสวน มีลักษณะดังนี้

1. ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูปผลคูณทั่วไป เชน ∫ ∫ ∫ xdxedxxexdxx xx sin,,cos 2 เปนตน

2. ตัวถูกอินทิเกรตที่มีฟงกชันลอการิทึมประกอบอยู เชน ∫ ∫ xdxxdxx ln,ln3 เปนตน

3. ตัวถูกอินทิเกรตที่มีฟงกชันตรีโกณมิติผกผันประกอบอยู เชน

∫ ,arctan xdx ∫ xdxx arcsin เปนตน

4. ตัวถูกอินทิเกรตที่อยูในรูปผลคูณของ xx nm sectan หรือ xecx nm coscot เมื่อ

m เปนจํานวนคูบวก และn เปนจํานวนคี่บวก เชน ∫ ,sectan 32 xdxx

∫ xdxecx 34 coscot เปนตน

5. ตัวถูกอินทิเกรตที่มีฟงกชันตรีโกณมิติที่มีเลขยกกําลังเปนจํานวนเต็มบวก เชน

∫ ,sin 2 xdx ∫ xdx3sec เปนตน

นอกจากนั้นเทคนิคของการอินทิเกรตทีละสวน ใชในการพิสูจนเกี่ยวกับสูตรลดทอน

(Reduction Formula)

หลักการเลือก u และ dv

เปนการพิจารณาตัวถูกอินทิเกรต ซ่ึงแบงออกเปน 2 สวน เพื่อใหเขากับลักษณะของสูตรของการอินทิเกรตทีละสวนที่จะตองใช โดยสวนหนึ่งเปน u และอีกสวนหนึ่งเปน dv และ dv

ควรเปนพจนที่ซับซอน แตสามารถอินทิเกรตหา v ไดงาย และพจนที่เหลือจะเปน u โดยเมื่อหาอนุพันธแลว จะไดพจนที่ดูงายขึ้น


3

ตัวอยางการเลือก u และdv จากตัวถูกอินทิเกรตในรูปลักษณะที่ตาง ๆ กันดังนี้

1. ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูปผลคูณฟงกชันพหุนามกับฟงกชันตรีโกณมิติ ใหเลือก u เปนฟงกชัน พหุนาม และที่เหลือเปนdv เชน

dxxx n∫ sin เลือก nxu = และ xdxdv sin=

dxxx n∫ 3cos เลือก 2xu = และ xdxdv 3cos=

2. ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูปผลคูณฟงกชันพหุนามกับฟงกชันเอกซโพเนนเชียล ใหเลือก u เปนฟงกชันพหุนาม และที่เหลือเปนdv เชน

dxex xn∫ เลือก nxu = และ dxedv x=

3. ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูปผลคูณฟงกชันพหุนามกับฟงกชันลอการิทึม หรือตัวถูกอินทิเกรตเปนฟงกชันลอการิทึมอยางเดียว ใหเลือก u เปนฟงกชันลอการิทึม และที่เหลือเปนdv เชน

dxxx n∫ ln เลือก xu ln= และ dxxdv n=

dxx∫ ln เลือก xu ln= และ dxdv =

4. ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูปผลคูณฟงกชันพหุนามกับฟงกชันตรีโกณมิติผกผันหรือตัวถูกอินทิเกรตเปนฟงกชันตรีโกณมิติผกผันอยางเดียวใหเลือก u เปนฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน และที่เหลือเปนdv เชน

dxxx∫ arccos เลือก xu arccos= และ xdxdv =

dxx∫ arctan เลือก xu arctan= และ dxdv =


4

5. ตัวถูกอินทิเกรตอยูในรูปผลคูณฟงกชันเอกซโพเนนเชียลกับฟงกชันตรีโกณมิติ จะเลือก u เปนฟงกชันเอกซโพเนนเชียลหรือฟงกชันตรีโกณมิติก็ได และที่เหลือเปนdv เชน

dxxe x∫ cos เลือก xeu = และ xdxdv cos=

หรือ dxxe x∫ cos เลือก xu cos= และ dxedv x=

การหาคาอินทิกรัลของการอินทิเกรตทีละสวน มีขั้นตอนดังนี้

1. เลือก u และdv

2. หาdu โดยนํา u มาหาอนุพันธ และหา v โดยนํา dv มาทําการอินทิเกรต

3. แทนคา vduu ,, และdv ที่ไดจากขอ 1 และ 2 ในสูตรสําหรับการอินทิเกรตทีละสวน คือ

∫ ∫−= vduuvudv

4. หาคาอินทิกรัลของ ∫vdu หรือบางกรณี ∫vdu นั้น อาจจะใชเทคนิคของการอินทิเกรตทีละ

สวนอีก ก็ใหทําการอินทิเกรตไปเรื่อย ๆ จนกวาจะไดคาอินทิกรัล

5. ในการอินทิเกรตทีละสวน ถามีคาอินทิกรัล ∫udv เกิดขึ้นทางดานขวาใหนํามารวมกับ ∫udv

ที่มีอยูทางดานซายทุกครั้ง

6. ใหใสคาคงตัว c ที่คําตอบสุดทายของการหาคาอินทิกรัล


5

ตัวอยาง 1 จงหาคาของ ∫ xdxx 3sin

วิธีทํา ให xu = และ xdxdv 3sin=

ดังนั้น dxdu = และ ∫ −== xxdx v 3cos313sin

แทนคาในสูตร ∫ ∫−= vduuvudv

จะได ∫ xdxx 3sin ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−= dxxxx 3cos

313cos

31

∫+−= xdxxx 3cos313cos

31

( )∫+−= xxdxx 33cos913cos

31

cxxx ++−= 3sin913cos

31


6

ตัวอยาง 2 จงหาคาของ ∫ dxex x42

วิธีทํา ให 2xu = และ dxedv x4=

ดังนั้น xdxdu 2= และ ∫ == xx edxe v 44

41


จะได ∫ dxex x42 ( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= xdxeex xx 2

41

41 442

∫−= dxxeex xx 442

21

41 ( )1

พิจารณา ∫ dxxe x4 โดยทําการอินทิเกรตทีละสวนอีกครั้ง นั่นคือ

ให xu = และ dxedv x4=

ดังนั้น dxdu = และ ∫ == xx edxe v 44

41


จะได ∫ dxxe x4 ∫−= dxexe xx 44

41

41

( )∫−= xdexe xx 4161

41 44

144

161

41 cexe xx +−=

แทนคาใน ( )1 ได

∫ dxex x42 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−= 1

4442

161

41

21

41 cexeex xxx

14442

21

321

81

41 cexeex xxx −+−=

cxxe x +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

81

21

41 24 ( เมื่อ 12

1 cc −= )


7

ตัวอยาง 3 จงหาคาของ ∫ xdxln

วิธีทํา ให xu ln= และ dxdv =

ดังนั้น dxx

du 1= และ ∫ == xdx v


จะได ∫ xdxln ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= dxx

xxx 1ln

∫−= dxxx ln

cxxx +−= ln ตัวอยาง 4 จงหาคาของ ∫ xdxarctan

วิธีทํา ให xu arctan= และ dxdv =


du1

12 +

= และ ∫ == xdx v


จะได ∫ xdxarctan ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= dx

xxxx

211arctan

( )( )( )∫+

⋅+

−=x

xdx

xxx2

11

arctan2

2

( )∫ +

+−=

2

2

11

21arctan

xxdxx

cxxx ++−= 21ln21arctan


8

ตัวอยาง 5 จงหาคาของ ∫ xdxx ln

วิธีทํา ให xu ln= และ xdxdv =


du 1= และ ∫ ==

2

2xxdx v


จะได ∫ xdxx ln ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= dx

xxxx 12

ln2

22

∫−= xdxxx21ln

2

2

cxxx+−=

4ln

2

22

ตัวอยาง 6 จงหาคาของ ∫ −− dxee xx cos2

วิธีทํา ให xeu −= และ dxeedv xx −−= cos ดังนั้น dxedu x−−= และ ( )∫ ∫ −−−− −== xxxx ededxee v coscos

xe −−= sin


จะได ∫ −− dxee xx cos2 ( )( )∫ −−− −−−−= dxeeee xxxx sinsin

∫ −−− −−= dxeeee xxxx sinsin

( )∫ −−− +−= xxxx edeee sinsin

ceee xxx +−−= −− cossin


9

ตัวอยาง 7 จงหาคาของ ∫ xdxe x cos

วิธีทํา ให xeu = และ xdxdv cos=

ดังนั้น dxedu x= และ ∫ == xxdx v sincos


จะได ∫ xdxe x cos ∫−= xdxexe xx sinsin ( )1

พิจารณา ∫ xdxe x sin โดยทําการอินทิเกรตทีละสวนอีกครั้ง นั่นคือ

ให xeu = และ xdxdv sin= ดังนั้น dxedu x= และ ∫ −== xxdx v cossin


จะได ∫ xdxe x sin ( )∫ −−−= dxexxe xx coscos

∫+−= xdxexe xx coscos

แทนคาใน ( )1 ได

∫ xdxe x cos ( )∫+−−= xdxexexe xxx coscossin

∫−+= xdxexexe xxx coscossin

∫∫ + xdxexdxe xx coscos xexe xx cossin +=

∫ xdxe x cos2 ( )xxe x cossin +=

∫ xdxe x cos ( ) cxxe x ++= cossin21


10

ตัวอยาง 8 จงหาคาของ ∫ xdx3sec

วิธีทํา ให xu sec= และ xdxdv 2sec= ดังนั้น xdxxdu tansec= และ ∫ == xxdx v tansec 2


จะได ∫ xdx3sec ( )∫−= xdxxxxx tansectantansec

∫−= xdxxxx sectantansec 2

( )∫ −−= xdxxxx sec1sectansec 2

∫ ∫+−= xdxxdxxx secsectansec 3

∫ xdx3sec2 ∫+= xdxxx sectansec

xxxx tanseclntansec ++=

∫ xdx3sec cxxxx +++= tansecln21tansec

21


11

ตัวอยาง 9 จงหาคาของ ∫ xdxx sectan 2

วิธีทํา เนื่องดวย ∫ xdxx sectan 2 อยูในรูป ∫ xdxx nm sectan โดย 2=m เปนจํานวนคู

และ 1=n เปนจํานวนคี่ จึงทําใหอยูในรูปกําลังตาง ๆ ของ xsec ดังนี้

∫ xdxx sectan 2 ( )∫ −= xdxx sec1sec 2

∫ ∫−= xdxxdx secsec 3

ซ่ึง ∫ xdx3sec สามารถหาคาอินทิกรัลดวยวิธีการอินทิเกรตทีละสวนจากตัวอยาง 8 ดังนั้น

∫ xdxx sectan 2 xxxxxx tanseclntansecln21tansec

21

+−++=

∫ xdxx sectan 2 cxxxx ++−= tansecln21tansec

21

ตัวอยาง 10 จงหาคาของ ∫ dxex x 23

วิธีทํา อินทิกรัลนี้ไมอยูในหลักการเลือก u และ dv จะตองพิจารณาใหเหมาะสมนั่นคือ เลือก

dv ที่สามารถอินทิเกรตไดงาย จะไดดังนี้

ให 2xu = และ dxxedv x 2

=

ดังนั้น xdxdu 2= และ ( )∫ ∫ ===222

21

21 2 xxx exdedxxe v


จะได ∫ dxex x 23 ( )∫−= xdxeex xx 221

21 222

( )∫−= 22 22

21

21 xdeex xx

ceex xx +−=22

21

21 2


12

ตัวอยาง 11 จงหาคาของ ( )∫

+dx

e

xex

x

21

วิธีทํา ให xu = และ ( )

dxe

edvx

x

21+

=

ดังนั้น dxdu = และ ( ) ( ) ( )∫ ∫ ++=+=−−

11122 xxxx ededxee v

1

1+

−=xe


จะได ( )∫

+dx

e

xex

x

21

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−

+−= dx

eeX

xx 11

1

∫ ++

+−= dx

eeX

xx 11

1

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+

+−= dx

ee

eX

x

x

x 11

1

∫∫ +−+

+−= dx

eedx

eX

x

x

x 11

( )∫ +

+−+

+−=

11

1 x

x

x eedx

eX

cexe

X xx

++−++

−= 1ln1


13

ตัวอยาง 12 จงแสดงวิธีหาสูตรลดทอน ∫ ∫ −−= dxexnexdxex xnxnxn 1

และหาคา ∫ dxex x3 โดยใชสูตรลดทอน

วิธีทํา ให nxu = และ dxedv x= ดังนั้น dxnxdu n 1−= และ ∫ == xx edxe v


จะได ∫ dxex xn ( )∫ −−= dxnxeex nxxn 1

∫ −−= dxexnex xnxn 1 เปนสูตรลดทอน

และหาคา ∫ dxex x3 โดยใชสูตรลดทอนไดดังนี้

∫ dxex x3 ∫−= dxexex xx 23 3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= ∫ dxxeexex xxx 23 23

∫+−= dxxeexex xxx 63 23

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−= ∫ dxexeexex xxxx 63 23

cexeexex xxxx +−+−= 663 23


14

ตัวอยาง 13 จงแสดงวิธีหาสูตรลดทอน

∫ ∫ −− −+= xdx

nnxx

nxdx nnn 21 cos1sincos1cos

สําหรับ 2≥n และหาคา ∫ xdx4cos โดยใชสูตรลดทอน

วิธีทํา ให xu n 1cos −= และ xdxdv cos= ดังนั้น ( ) xdxxndu n sincos1 2−−−= และ ∫ == xxdx v sincos


จะได ∫ xdxncos ( )( )∫ −− −−−= xdxxnxxx nn sincos1sinsincos 21

( )∫ −− −+= xdxxnxx nn 221 sincos1sincos

( ) ( )∫ −−+= −− dxxxnxx nn 221 cos1cos1sincos

( ) ( )∫ ∫−−−+= −− xdxnxdxnxx nnn cos1cos1sincos 21

( )∫∫ −+ xdxnxdx nn cos1cos ( )∫ −− −+= xdxnxx nn 21 cos1sincos

∫ xdxn ncos ( )∫ −− −+= xdxnxx nn 21 cos1sincos

∫ xdxncos ∫ −− −+= xdx

nnxx

nnn 21 cos1sincos1

เปนสูตรลดทอน

และหาคา ∫ xdx4cos โดยใชสูตรลดทอนไดดังนี้

∫ xdx4cos ∫+= xdxxx 23 cos43sincos

41

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= ∫ dxxxxxx 03 cos

21sincos

21

43sincos

41

cxxxxx +++=83sincos

83sincos

41 3


15

หมายเหตุ การหาคาอินทิกรัลโดยวิธีการอินทิเกรตทีละสวนนี้ บางกรณีสามารถใชวิธีลัดจะทําใหไดคําตอบเร็วขึ้น ซ่ึงรูปแบบของวิธีลัดไดอาศัยหลักการจากสูตรของการอินทิเกรตทีละสวนนั่นเอง แตเพื่อใหสะดวกและงายขึ้นดังนี้ กรณี 1 มีขั้นตอนดังนี้

1. เลือก u และdv ใสในตารางที่มี 2 หลัก โดยหลัก 1 คือ u และหลัก 2 คือ

dv (ฟงกชันของdv ที่เลือกมานั้น เขียนโดยไมตองใส dx )

2. หาอนุพันธของฟงกชัน u ในหลัก 1 ลงไปเรื่อย ๆ จนไดศูนย และอินทิเกรตฟงกชัน dv ในหลัก 2 ลงไปเรื่อย ๆ ใหเทากับจํานวนครั้งที่หาอนุพันธของฟงกชัน u (ถาอนุพันธของฟงกชัน u ที่หาไปเรื่อย ๆ ไมไดศูนย ใหพิจารณากรณี 2)

3. เขียนเครื่องหมายของแตละแถวดังนี้ แถว 1 เขียนเครื่องหมายเปน + แถว 2 เปน – แถว 3 เปน + แถว 4 เปน – โดยสลับเครื่องหมาย + และ – ในลักษณะเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนถึงแถวสุดทายที่อนุพันธของฟงกชันเปนศูนย

4. คําตอบที่ไดคือ ผลคูณทแยงของฟงกชัน u ในแถว 1 กับผลการอินทิเกรตฟงกชัน dv

ในแถว 2 โดยคิดคาตามเครื่องหมายในแถว 1 แลวรวมกับผลคูณทแยงของอนุพันธฟงกชัน u ในแถว 2 กับผลการอินทิเกรตฟงกชัน dv ในแถว 3 โดยคิดคาตามเครื่องหมายในแถว 2 และรวมกับผลคูณทแยงในลักษณะเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จนสิ้นสุดตาราง


16

ตัวอยาง 14 จากตัวอยาง 2 จงหาคาของ ∫ dxex x42 โดยวิธีลัด

วิธีทํา

u dv + 2x xe 4 - x2 xe 4

41

+ 2 xe 4

161

- 0 xe 4

641

ดังนั้น ∫ dxxe x4 cexeex xxx ++−= 4442

642

162

41

cexeex xxx ++−= 4442

321

81

41

cxxe x +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

81

21

41 24

ตัวอยาง 15 จงหาคาของ ∫ xdxx 2cos3 โดยวิธีลัด


u dv + 3x x2cos - 23x x2sin

21

+ x6 x2cos41

−

- 6 x2sin81

−

+ 0 x2cos161

ดังนั้น ∫ xdxx 2cos3 cxxxxxxx +−−+= 2cos1662sin

862cos

432sin

21 23

cxxxxxxx +−−+= 2cos832sin

432cos

432sin

21 23


17

กรณี 2 มีขั้นตอนดังนี้

1. เลือก u และdv ใสในตารางที่มี 2 หลัก โดยหลัก 1 คือ u และหลัก 2 คือ dv (ฟงกชันของdv ที่เลือกมานั้น เขียนโดยไมตองใส dx )

2. หาอินทิเกรตฟงกชัน dv ในหลัก 2 ลงไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งถึงฟงกชันที่อินทิเกรตไดมีรูปแบบซ้ํากับฟงกชัน dv ที่ไดเลือกไวในแถว 1 และหาอนุพันธของฟงกชัน u ในหลัก 1 ลงไปเรื่อย ๆ ใหเทากับจํานวนครั้งที่หาอินทิเกรตของฟงกชัน dv

3. เขียนเครื่องหมายของแตละแถวเปน + และ – โดยสลับกันไปเรื่อย ๆ เชนเดียวกับกรณี 1

4. คําตอบที่ไดคือ ผลคูณทแยงของฟงกชันรวมกันไปเรื่อย ๆ เชนเดียวกับกรณี 1 และใหรวมกับการอินทิเกรตผลคูณของอนุพันธของฟงกชัน u กับผลการอินทิเกรตของฟงกชัน dv ในแถวสุดทายดวย โดยเขียนเครื่องหมายเปน + เสมอ และใสเครื่องหมายอินทิกรัล ในผลคูณสุดทายนี้ดวย แลวจัดรูปใหไดคําตอบตามที่ตองการ

หมายเหตุ ถาหากทดลองแลวไมสามารถใชกรณี 1 และ 2 ไมไดก็ใหทําการอินทิเกรตทีละสวนโดยวิธีตรงตามสูตร


18

ตัวอยาง 16 จากตัวอยาง 7 จงหาคาของ ∫ xdxe x cos โดยวิธีลัด


u dv + xe xcos - xe xsin + xe xcos−

+

ดังนั้น ∫ xdxe x cos ( )∫ −++= xdxexexe xxx coscossin

∫−+= xdxexexe xxx coscossin

∫∫ + xdxexdxe xx coscos xexe xx cossin +=

∫ xdxe x cos2 ( )xxe x cossin +=

∫ xdxe x cos ( ) cxxe x ++= cossin21


19

ตัวอยาง 17 จงหาคาของ ∫ xdxe x 3sin2 โดยวิธีลัด


u dv + xe 2 x3sin - xe 22 x3cos

31

−

+ xe 24 x3sin91

−

+

ดังนั้น ∫ xdxe x 3sin2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−= ∫ xdxexexe xxx 3sin

943sin

923cos

31 222

∫∫ + xdxexdxe xx 3sin943sin 22 xexe xx 3sin

923cos

31 22 +−=

∫ xdxe x 3sin9

13 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= xxe x 3sin

323cos

31 2

∫ xdxe x 3sin2 cxxe x +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 3sin

323cos

133 2


20

แบบฝกหัด

จงหาคาอินทิกรัลตอไปนี้

1. ∫ xdxx 2sin 2. ∫ xdxx cos2

3. ( )∫ + dxxx 12cos 4. ∫ dxxx2

sin

5. ∫ nxdxx cos 6. ∫ nxdxx sin

7. ∫ nxdxx cos2 8. ∫ nxdxx sin2

9. ∫ − dxex x2 10. ∫ xdxx ln4

11. ∫ xdxarcsin 12. ∫ dxxarc sec

13. ∫ xdx2arccos 14. ∫ θθθ de 2sin3

15. ∫ xdxx arctan 16. ∫ xdxx arcsin

17. ∫ xdxx 2sec 18. ∫ xdxx 2tan

19. ( )∫ dxxlnsin 20. ( )∫ + dxx 32ln

21. ∫ + dxxx 1 22. ∫ xdxxx tansec

23. ∫ xdxxecx 2cot2cos 24. ( )∫+

dxx

xe x

21

25. ( )∫ dxx 2ln 26. ( )∫ +

+ dxxx

11ln

27. ∫−

dxx

x2

3

1 28. ∫ + dxxx 123

29. ∫ bxdxe ax sin

30. จงแสดงวิธีหาสูตรลดทอน ∫ ∫ −− −+= xdx

nnx

nxdx nnn 21 sin1cossin1sin สําหรับ

2≥n และหาคา ∫ xdx3sin โดยใชสูตรลดทอน


21

คําตอบแบบฝกหัด

1. Cxxx ++− 2sin412cos

21

2. Cxxxxx +−+ sin2cos2sin2

3. ( ) ( ) Cxxx++++ 12cos

4112sin

2

4. Cxxx+−

2cos2

2sin4

5. Cn

nxxn

nx++

sincos2

6. Cn

nxxn

nx+−

cossin2

7. Cnxn

xnxn

nxn

x++− sinsin2cos2 2

32

8. Cnxn

xnxn

nxn

x+−+ coscos2sin2 2

32

9. ( ) Cxxe x +++− − 222

10. Cxxx+−

25ln

5

55

11. Cxxx +−+ 21arcsin 12. Cxxxarc +−− 1sec

13. Cxxx +−− 241212arccos

14. Cee +− θθ θθ 2cos1322sin

133 33

15. ( ) Cxxx +−+21arctan1

21 2

16. Cxxxx+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

21

4arcsin

41

2

17. Cxxx ++ coslntan

18. Cxxxx +−+2

coslntan2

19. ( ) ( )( ) Cxxx +− lncoslnsin21

20. ( ) ( ) Cxxxx +++−+ 32ln2332ln


22

21. ( ) ( ) Cxxx ++−+ 25

23

11541

32

22. Cxxxx ++− tanseclnsec

23. Cxxecxecx+−+− 2cot2cosln

412cos

2

24. Cx

e x+

+1

25. ( ) Cxxxxx ++− 2ln2ln 2

26. ( )[ ] Cxx +−++ 21ln12

27. ( ) Cxxx +−−−− 23

222 1321

28. ( ) ( ) Cxxx++−+ 2

522

32

21

1521

3

29. ( ) Cba

bxbbxae ax+

+

−22

cossin

30. Cxxx +−− cos32cossin

31 2

Documents

7 Integral by Part