6. La Integral

8/18/2019 6. La Integral

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La Integral

MODULO VIIILA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

TEMA N º 1: La Integral Indefinida

Competencia: el estudiante comprende y aplica con independencia el concepto defunción Primitiva, Integral Indefinida y sus propiedades, a fin de encontrar la recíprocade la Derivada, con ayuda de métodos generales de integración.

1. Mentefat!.

.

*

.

". Definii!ne#

a. El trabajo de Derivar funciones consistió en que dada una función f(x) se

encuentre una función f`(x). Ahora se trata de que dada una función f`(x) se

encuentre la función f(x) que le corres!onda. "in e#bargo co#o distintas funciones !ueden tener una #is#a derivada el !roble#a !ro!uesto tiene

soluciones #$lti!les !or eso !recisare#os as%&

b. 'na función (x) se dice que es la Primitiva de f(x) si se cu#!le que))! x f x ( = . Es decir el !roceso de encontrar la ri#itiva de una

función es hallar la función cu*a derivada es conocida. A este !roceso se lo

lla#a Antiderivación o Integración.

Ejemplos:

a. (x)+ x

,

es la primitiva de f(x) + ,x- puesto "ue #$%)& '%

(Ing. o+insón ca+rera óme-

Derivada.

Inversa

MÉTODOS

GENERALES DE

INTEGRACIÓN

INTEGRAL

INDEFINIDA

INTEGRALE

SINMEDIATA

S

/s la recíproca de la derivada

PRIMITIVA

FUNCIONES

PROPIEDA

DES DE LAINTEGRAL


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La Integral

b. (x)+ xn es la primitiva de f(x) + nxn/, ya "ue 0(x) + nxn/+ f(x)c. (x) + sen x es la primitiva de f(x) + cos x0 ya "ue 0(x) + cos x + f(x)

d. (x) + 1 x +ln es la primitiva de f(x) + x

1 ya "ue 0(x)+ )

12

1 x f

x x==+

e. 3i (x) es la primitiva de f(x) tam+ién lo es de (x)21 , para 31 ∈ , puesto

"ue es verdad "ue ( ) )2)!!) x f x ( 1 x ( =+=+

$. Integrale# In%ediata#

Como consecuencia de lo afirmado en el 4ltimo p5rrafo se vio "ue una función f(x) puede tener infinitas primitivas "ue se diferencian 4nicamente por una constante. 6lcon7unto de todas las primitivas de f(x) se llama Integral Indefinida de f(x) y serepresenta por ∫ dx x f ) .3i (x) es la primitiva de f(x) , entonces se escri+e "ue ∫ += 1 x ( dx x f )) , donde C 3∈ es la constante de Integración, constante 6r+itraria o simplemente Par5metro.

8a+iendo conocido las derivadas de las funciones f5cilmente se puede reconocer "ue:1. 1 xdx xn nn +=∫

−1. 0 por"ue ................

'. 1 xdx senx +−=∫ cos 9 por"ue ................. 1 xdx

x+=∫ ln

19 por"ue ................

6sí mismo, se pueden o+tener las siguientes fórmulas Integrales, a partir de las fórmulasde sus respectivas derivadas:

1. 1 axadx +=∫ 0 por"ue ( ) a1 ax =+ !'. 1 xdx x +=∫

−ln

1 0 por"ue ................

. 1 a

adxa

x x +=∫ ln 0 por"ue ................

;. 1 xdx senx +−=∫ cos. 1 senxdx x +=∫ cos

. 1 e1 e

edxe x

x x +=+=∫ ln 0

(.

tan)tan1cos

1 ''

1 xdx xdx x

+−=+=∫ ∫

12. 0tan1

1'

1 xarcdx x

+=+∫

11. .

1

1

'1 senxarcdx

x

+=

−

∫


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La Integral

c. La integral indefinida del Diferencial de cierta función es igual a la función

incre#entada una constante arbitraria.

1 x ( xd( +=∫ ))

d. La integral indefinida de la su#a algebraica de dos o #4s funciones es

igual a la su#a algebraica de sus integrales.

( ) ∫ ∫ ∫ ±=± dx x g dx x f dx x g x f ))))

e. El factor constante sale fuera del signo de la Integral.

∫ ∫ = dx x f 5 dx x f 5 ).). f. ro!iedad de la linealidad. De la co#binación de las dos $lti#as

!ro!iedades resulta la siguiente #4s general.

( ) ∫ ∫ ∫ ±=± dx x g bdx x f adx x g b x f a ).).).).

6lgunos e7emplos de integración aplicando las propiedades indicadas:

1. =−+=−+−+

= ∫ ∫ ∫ ∫ −

−

dx xdx xdxdx x

x x x

x

x x x x f ''

:

:

:

:

':':

0':

)

1

x

x xdx

x

x x x++−=

−+ −

∫ '

:

':

':'

:

:

:

'.

( ) =−+−=−+−=

− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

'

'

.

.

111

x

dx x

x

dx x

x

dx x

x

dxdx x x x

xdx

x

x

1 x x x x

dx x

dx

x

dx

x

dxdx

x

x+−++−=−+−=

−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ln

'

1

1''

. 1 x1 x

dx xdx x x +=+== ∫ ∫ ='

=

'

'

=

'

'

=

;. 1 1 dxdx x x

x

x

+

=+

= ∫ ∫

'.

'ln

1

'

'

. ?étodos enerales de Integración.

a. M&t!d! de la De#!%'!#ii(n .

(=Ing. o+insón ca+rera óme-


4/10

La Integral

?uc@as funciones, antes de integrar permiten descomponerlas, para luego aplicar las propiedades de la suma y del producto. /7emplos:

1.

1 xe x

senxdxdxedx x x

dx senxe x x x x +++=−+=−+

∫ ∫ ∫ ∫ cos'

')'

''

'. 1 x

xdx x

dx x

dx x

x++=−=

−∫ ∫ ∫

ln'

''''

.

1 x f dx x f

x f general en1 xdx

x+=+−=

− ∫ ∫ )ln))

,01;ln;

1

1;

1 !

;.

( ) =+−−=+−− ∫ ∫ ∫ ∫ dx xdx x senxdxdx x x x senx '

' )1'ln)1'ln

( ) 1 x xdx x x senx x x ++−−=+− −−∫ '

=1')1

='

;ln;.cos;.

). M&t!d! del Ca%)i! de Varia)le.

/n ocasiones, una integral aparentemente difícil se reduce a una integral conocida si sesustituye parte de la función por una nueva varia+le. /n tal caso, tam+ién la diferenciad% de+e sustituirse tam+ién por la diferencial de la nueva varia+le.

?uc@as funciones, antes de integrar permiten descomponerlas linealmente, para luegoaplicar las propiedades de la suma y del producto. /7emplos:

1.

dxdu xu sustitu*ó se1 x sen senudu

u xdx 00

1

1

coscos ==+===∫ ∫

'. ∫ ∫ −=+=== −− ':01

1

1 '' xun sustitució1 eeduedxe xuu x

.

∫ ∫ ∫ +=+===+ ':0

'

''

'

'' xt n sustitució1 t

dt t tdt

t dx x

;..cos0:var

''.cos.

''

dt xdxt senxiablede1a#bio

1 x sen

1 t

tdt dx x senx

==

+=+==∫ ∫

enerali-ando para la sustitución ( ) .0) ! dt dx x f t x f == se o+tienen las siguientesintegrales, generali-a+les para cual"uier función ) x f :

(>Ing. o+insón ca+rera óme-


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La Integral

•

[ ] [ ] [ ]

.101

))!.)0

1)!.)

11

−≠++

=++

==++

∫ ∫ ∫ n1 n x f

dx x f x f 1 n

t t d t dx x f x f

nn

nnn

• 0.)ln.

)

)!1 x f dx

x f

x f +=∫

• 0.)!)) 1 e1 dx x f e x f x f +=+∫

• 0.ln

)!)

) 1 a

adx x f a

x f x f +=∫

• 0.)cos)!) 1 x f dx x f x senf +−=∫ • 0.))!)cos 1 x senf dx x f x f +=∫

• 0.)tan)cos

)!'

1 x f dx x f

x f +=∫

• 0.)tan

)

)!'

1 x f cdx

x f sen

x f +−=∫

•0.)

)1

)!

'1 xarcsenf dx

x f

x f +=

−∫

•0.)arctan

)1

)!'

1 x f dx x f

x f +=+

∫

Por e7emplo 1 x xdx x x

x+−=

−−

∫ ;ln;;

'

. M&t!d! de Integrai(n '!r *arte#.

3ean )) xv * xu dos funciones deriva+les. Diferenciando la función ).) xv xu setiene:

udvduvvud += .). , de donde duvvud udv .). −= y al integrar la 4ltima igualdadmiem+ro a miem+ro:

∫ ∫ ∫ −= duvvud udv .). , de donde es verdad la egla de Integración por partes:

∫ ∫ −= duvvuudv ..

/7emplos:

1. ∫ = Acos xdx x si se toma

===

⇒

==

∫ senxdx xvdxdu

xdxdv

xu

coscos, entonces

∫ ∫ ++=−= 1 x xsenx senxdx xsenx xdx x coscos

'. ∫ = Adx xe x si se toma

===

⇒

==

∫ x x x edxevdxdu

dxedv

xu, entonces

∫ ∫ +−=−= 1 e xedxe xedx xe x x x x x

((Ing. o+insón ca+rera óme-


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La Integral

B+serve el siguiente e7emplo de integración:

1 1 dx

dx

dx x

x x

x

x

x

x

x

x +

+−=++−=

+=

+=

+−

−

−

∫ ∫ ∫ ''1

ln'ln

1'1ln

'ln

1

'1

'

'

1'

'

1'

. a+la de algunas Integrales

6lgunas Integrales o+tenidas de las elementales.

1. 1 a

xarcsen

xa

dx+

=

−∫ ''

'. 1 a x

a x

aa x

dx+

+−

=−∫ ln'

1''

. 1 a xarc

aa x xdx +

=

−∫ sec1

''

;. 1 xa

xa

a xa

dx+

−+

=−∫ ln'

1''

. 1 a

xarcsen

a xa

xdx xa +

+−=−∫ ''

'''''


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La Integral

dx x sen .. '∫

'

. x

sen

dx∫

dxbaxc ).'tan. −

∫ dx

x.

:1

1.

'−∫

dxa x x

..

1.

'−∫

( ) dx x x

..'

1.

−∫

dx x x '.;1. −∫

dx x

x x

.1'


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La Integral

dx x.arccos.∫ dx x x .cos..∫ dx x x .ln..∫

dx

x

x.

ln.:

∫ dx x x x .ln).1.

' +−∫ dxe x

x ... ' −∫

dx senx x ... '∫

dx x

x.

ln.

'

'

∫ dx

x

senx x.

cos

..

:∫

dx x .arctan..∫ dxbxe

ax.cos..∫

dxe xarccos.∫

dx x x .1ln.'++∫

dx x

x.

cos.

'∫ dx x).cosln.∫

CEFCFB D/ 6/63

1. Calcula el 5rea del recinto limitado por las rectas x * '= , 2= * , '= x , ;= x .Comprue+e el resultado mediante la fórmula geométrica correspondiente.

'. Calcule el 5rea del recinto limitado por 012=+ x * , 2= * , '= x . >= x .. Calcula el 5rea limitada por la par5+ola 0' x * = y las rectas , 2= * , '= x . . 8alla el 5rea del tri5ngulo formado por los e7es coordenados y la tangente en un

punto cual"uiera a la @ipér+ola de la ecuación 1= x*(. 8alle el volumen de la región limitada por la curva , xe * −= el e7e BG, el e7e BH y

la recta = x al girar alrededor del e7e BG12. 8alle el volumen engendrado al girar alrededor del e7e % los recintos limitados por

las gr5ficas "ue se indican: ,'1

x * = y ,1) = x g

11. 8alle el volumen engendrado al girar alrededor del e7e % los recintos limitados por las gr5ficas "ue se indican: ,1' −= x * y ,1) ' x x g −=

12'Ing. o+insón ca+rera óme-


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La Integral

TA,LA+ DE ALGUNA+ INTEGRALE+ INDEFINIDA+

6. #unciones racionales

3im+ología: bax 6 +=

)1)1

1)1

1∫ −≠+= + n 6

nadx 6 nn Para 1−=n ver form. '

∫ = .ln1

)' 6 a 6

dx

).


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La Integral

∫ −= .ln1

)1> x

6

b x6

dx

∫

+−= .ln

1)1(

'' 6

ax

x

6

b x6

dx

∫

−+−= .'

'ln

1)'2

'

''

6

xa

6

ax

x

6

b x6

dx

( )∫ ∑ ≥

−−=

−

=− .1

)ln

1)'1

1

1

1 nix

xa1

x

6

b x6

dx n

ii

iii

nnn

∫ +−= .ln1

)'''' x

6

b

a

bx 6 x

dx

∫

−+−= .ln

'11)'

'''' x

6

b xab 6 ba

6 x

adx

∫

−++−= .ln1'

'

1)'; ;''' x

6

b xab 6 b 6 ba 6 x

dx

( )∫ ∑ ≥

−+

−−

−−==

−

−

+ .'ln)1

)1)'

'1

1

1' n

x

6 na

x

6

6 i

xa1

b 6 x

dx n

ii

iii

nnn

∫

−−−= .

'

'ln

1)'<

'

''

x

6

x

a6

x

6 a

b 6 x

dx

∫

−++−= .

'

ln1

)'='

''

;'

x

a6

x

6

6

xa

x

6 a

b 6 x

dx

∫

−+−+−= .

;

''

;ln<

1)'>

'

'

'

';'

x

a6

x

6

6

xa

6

xa

x

6 a

b 6 x

dx

( ) ( )( )∫ ∑ ≥

++

+−+

−−

−−=+

=−

−

++ .ln'

11

')'

)1)'(

'

'

''1

'

'

1' n

x

6 ann

x

a6 n

x

6 a

6 i

xa1

b 6 x

dx n

ii

iii

nnn

∫ ∑−+

=−−

−−

−+−+ −−−

−='

21

1

'1)1

)1)2

n#

ii#

ii#i

n#n#n# xi#

a 6 1

b 6 x

dx

12;Ing. o+insón ca+rera óme-

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