Aplicaciones de la integral multiple

8/15/2019 Aplicaciones de la integral multiple

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOCALCULO II

TRABAJO DE INVESTIGACION Página 2

ContenidoPRESENTACION ................................................................................................. 3

INTRODUCCION ................................................................................................. 4

OBJETIVOS .......................................................................................................... 5

MARCO TEORICO............................................................................................... 6

CONCLUSIONES ............................................................................................... 20

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 21





RESENTACIONEl presente informe contiene el desarrollo del tema Integrales Dobles y Triplesaplicado a la Ingeniería Civil, el cual fue realizado con bastante dedicación y esmero,dicho informe ha sido elaborado con el propósito de mostrar lo bueno y practico quees buscar la relación y la utilidad que proporciona este curso “Calculo II” en nuestravida futura como Ingenieros Civiles.

Finalmente toda la información se puede apreciar en este informe el cual será llevadoa exposición, como fines futuros para poder hacer uso de estos conocimientos en unproyecto futuro.

Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el queestaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII existía pocadiferencia entre ser un físico o un matemático.

partiendo de este principio, utilizamos esta poderosa herramienta para calcular elvolumen de un solido, la elasticidad e inelasticidad de un cuerpo, momentos estáticosde un sólido en el espacio, centro de masa de un sólido del espacio, entre otros.

En la ingenieria civil, las integrales multiples ocupan un espacio importante, debido aque son el principio matematico para calcular deflexiones en una viga, flechasmáximas en vigas en las ramas de Análisis estructural o mecánica de materiales





INTRODUCCIÓNEl uso de integrales ya sean simples dobles o triples es una de las mejores herramientasmatemáticas aplicables en el soporte y análisis teórico de las diversas áreas de laingeniería civil como la hidráulica, la ingeniería estructural, la programación lineal, latoma de decisiones, la estadística, la mecánica de suelos, la mecánica de sólidos,debido a que mediante estas integrales lograremos cálculos muy precisos ypotencialmente ventajosos para el área de trabajo en el que se van a aplicar.







MA RCO TEORICOINTEGRAL MULTIPLEUna integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real

Existe el método de doble integración para encontrar de flexiones en una viga, que diceque la doble integral de la ecuación de momento, o la triple integral de la ecuación decortante te entregan las deflexiones e a lo largo de una viga, claro que a esa integralaún hay que dividirla entre la inercia del área transversal y el módulo de elasticidad delmaterial, con esto se pueden determinar las áreas de vigas para obtener una deflexiónY en el punto X, y dimensionar el área o escoger el material.

Con estas fórmulas se llega a la fórmula de las flechas máximas en vigas, cuando estastienen cargas repartidas, pero si quieres encontrar la deflexión en un punto x de la vigaesta se obtiene por el método de doble integración (Álvarez, 2004).

También varias cuestiones de análisis estructural provienen de integrales, como elesfuerzo, incluso la inercia y los momentos se pueden resolver por métodos queincluyen integrales, recuerda que todo en este mundo tiene una explicaciónmatemática.

En mecánica de materiales y analisis estructural haces muchas aplicaciones indirectas(porque ya muchas se han ido estandarizando con fórmulas pero sus orígenes son conestas integrales) y mas a fondo cuando haces analisis de mecánica del medio continuo,

y estudios mas profundos en el comportamiento estructural en el que tienes que aplicarcalculo multivariable etc, para optimización del comportamiento, de esfuerzos depesos, se aplican métodos con bases en integrales multivariadas y dobles, algunos endinámica estructural, pero pos para no ir tan lejos, chécate la deducción de algunasecuaciones de mecánica de materiales.





Además las integrales dobles te sirven para encontrar áreas y las triples volúmenes o

sólidos de revolución. (Burgos, 1993)

Integrales triples: Cálculo de las coordenadas del centro de masas de un sólido.

También tienen aplicación en hidráulica cuando sacas centros de gravedad en presas,y la presión de líquidos, centros de masa y momentos de inercia y en general existenmuchas aplicaciones.





En la generación de sistemas de vacío y de resistencia de materiales. También se ve

mucho en física, estática y resistencia de la columna, para determinar los centros degravedad yd emás complicaciones.

MECANICA DE MATERIALES:Méto do de Doble Integración. Es el más general para determinar deflexiones. Se puedeusar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en

vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerzacortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente ydeflexión de una viga por medio del cálculo integral.

El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión entoda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

(Nakos, 1999)

Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largode la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarseen función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una vigaprismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemosentonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez eintegrar respecto a ‘x’. Planteamos:





Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones defrontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muypequeña, es satisfactoria la aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la rectatangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.





Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’

medida desde un extremo de la viga.El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de lascondiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse ladeflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente,es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, porejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:

x = LA→ y = 0

Y, debido al apoyo en ‘B’ :

x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’ :





x = LA→ y = 0

x = LA → θ = 0

EN EL ANALISIS ESTRUCTURALEn nuestra propuesta de enfoque estructural funcional del tratamiento del Cálculo

Integral, éste será tratado en primera instancia en el desarrollo de la teoría de la IntegralDefinida, y con posterioridad se irá generalizando dicho enfoque de invariante por elpropio estudiantado y se aplicará al desarrollo de las restantes variantes (integral doble.triple, de línea, y de superficie). A continuación describiremos nuestro invariante yla lógica de su aplicación a las distintas variantes descritas.

Componentes relativas al enfoque estructural-funcional de la teoria de integracion:

1.- Definición de integral.

2.- Teorema de Newton - Leibnitz.3.- Teorema sobre el cambio de variable en la integral.

Después de tratada la teoría de la integral definida, se va generalizando y aplicando elanterior sistema aquí obtenido, a las restantes variantes.

Este proceso no lo mostraremos en la primera componente del sistema (definición deintegral), pues las ideas que permiten dicho proceso de generalización descansan en el





enfoque estructural - funcional del concepto general de integral desarrollado por la

Dra. H. Hernández que presentando sus respectivas componentes.

Aplicación del invariante a la variante de las Integrales Múltiples.

Se debe llevar a los estudiantes a generalizar el TEOREMA DE NEWTON-LEIBNITZque en esencia refiere que:

Siendo F(x) una primitiva de f(x) (la derivada de F(x) esf(x) )

Para ello se referirá que al pasar a la teoría bidimensional se produce un cambiocuantitativo que origina un cambio cualitativo, se produce una negación dialéctica, sevuelve sobre el mismo punto, pero sobre un nivel cualitativamente superior. Se

aprovechará entonces la analogía con la derivación, en la cual la expresión sedetermina calculando la derivada parcial respecto a y considerando a x constante, yderivando con posterioridad respecto a x la expresión así obtenida. Lo anterior conducede forma natural al concepto de integral iterada de segundo orden (se integra primero

respecto a una variable considerando la otra constante y después respecto a la restante),quedando sólo por precisar los límites de integración en que se debe evaluar dichaintegral iterada. Tomando una región de integración regular respecto a y:

y teniendo en cuenta que los puntos a y b en que se evalúa la primitiva en el Teoremade Newton - Leibnitz, son los extremos de la región de integración o lo que es lomismo, estos puntos constituyen la frontera de dicha región, resultaría natural evaluarla integral iterada en la frontera de la región de integración. Basado en la heurística

anterior, que debe ser desarrollada a través del trabajo grupal estudiantil,

en la que el docente jugaría el rol de facilitador, se obtiene el Método de cálculo de laintegral doble para regiones regulares respecto a la variable y:

De forma análoga se obtiene la expresiónequivalente para regiones regulares con respecto





a x. El cálculo de integrales sobre regiones que no sean regulares respecto a ninguna

de las variables se lleva a cabo tomando una partición de dicho región en subregionesregulares respecto a x o respecto a y, aplicándose con posterioridad la propiedad deaditividad de la integral con respecto a la región de integración. Los métodos decálculo de la integral triple son análogos a los descritos para la integral doble.

El teorema del cambio de variable (tercera componente del enfoque estructuralfuncional de la teoría de integración) debe ser generalizado aquí también, de la integraldefinida a la integración múltiple. El señalado teorema en el caso de la integral definidaen esencia refiere que:

Si pretendemos en la integral doble introducir el cambio de

variable e inducir en este caso su expresión, debemos

hallar la forma del elemento matemático que generalice a , siendo natural en estecaso considerar como tal al módulo del siguiente jacobiano (determinante dela matriz jacobiana):

(Este tipo de generalización fue vistaya por el estudiante cuando se estudióel proceso de extensión de la derivada de una función definida de forma implícita poruna ecuación, a la derivada parcial de una función definida de forma implícita por unsistema de ecuaciones, en la cual, las derivadas ordinarias son sustituidas por losrespectivos jacobianos). En consecuencia, el teorema sobre la transformacion decoordenadas en la integral doble, en esencia nos aportaría la siguiente expresión:







deformarse mas allá de lo permitido, lo que llevarían el colapso de elementos de

terminación como cielos falsos o ventanales. No Obstante La deformación de una vigapuede expresarse en muchas deformaciones y no por la resistencia de dicho cuerpo.

Flecha de una viga

En coordinación de la flecha desde la posición no deformada. Se puede medir desdela superficie neutra de la viga deformada hasta la posición original de dicha superficie.La figura acoplada por la superficie neutra deformada se conoce como curva elásticade la viga

Momento flector de una viga

Es la suma algebraica de momentos de las fuerzas externas a un lado de una seccióncualquiera de la viga respecto a un eje que pasa por dicha sección.

∑M (AB)+∑M (BC)+∑M (CD)+∑(n...)

Aplicando la teoría de la estática, la figura se encuentra empotrada a una pared,produciendo un momento de nombre PL. Se procede hallar las reacciones que ejerce

la pared sobre la barra, lo que se consigue fácilmente, ya que la viga esta empotradacon un momento PL en sentido negativo aplicando a la barra una carga p hacia arriba.Por lo tanto el momento flector en la sección x es:

M = -PL + Px

La ecuación diferencial de la elástica es:

EId²y = Mdx²

Sustituyendo el valor de M tenemos:

EId²y = -PL + Px ec(a)dx²





Esta ecuación se integra fácilmente, obteniendo:

EIdy = -PLx + Px² + c1 ec(b)dx 2

Al obtener la primera integral nos arroja la ecuación de la pendiente. Pues la viga estaperfectamente empotrada, por tanto:(dy/dx)=0, sustituyendo en ella la condición parax=0 se tiene 0=0+0+c1 ó c1=0.

Integrando nuevamente la ecuación anterior se tiene:

EIy = -PLx² + Px³ + c2 ec(c)2 6

Se puede denotar que c2 es una segunda constante de integración. Aplicando la mismadefinición de la primera integral obtenemos que c2=0 ya que esta empotrado almuro, reemplazando en la ecuación se tiene que (y)x=0 vemos que 0=0+0+c2 ó c2=0.

Así pues las ecuaciones b y c con c1=c2=0 dan la pendiente (dy/dx) en un puntocualquiera x de la viga. El sentido es máximo en el extremo derecho x=L, bajo la cargaP, donde la ecuación c que se halla es:

EI(y)max= - PL³3

En la que el signo negativo indica que este punto esta, en la curva deformada pordebajo de la superficie. Si se desea calcular la magnitud de la flecha máxima en x=L,se suele representar por ∆:

∆max= PL³3EI

Criterio de los Signos

Se conservaran los criterios de signos de los momentos flectores adoptados. Losvalores E e I que aparecen en la ecuación anterior son indudablemente positivas, porlo que si M se expresara en sentido positivo para un cierto valor de X, (d²y/d²x) serápositivo. Con este criterio de signos de los momentos flectores es necesario considerar





la coordenada X positiva hacia la derecha a lo largo de la viga. Una vez aplicada estas

reglas de signos algebraicos puede integrarse la ecuación. Se puede decir que lasdeformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la sección de la viga,admitiendo que la viga es recta antes de la aplicación de las cargas.

Ley de Hooke

Esta ley propuesta por Hooke nos permite crear una relación entre la tensión y ladeformación unitaria como una constante, la cual se denota con el nombre de modulode elasticidad.

E= τ ε

E→Elasticidad (Kg/cm²)

τ→Tension (Kg/cm²)

ε→Deformacion Unitaria

Otra manera de calcular la tensión aplicada a la viga seria:

τ =MV

I

τ→Tension (Kg/cm²)

M→Momento Flector (Kg.cm)

V→Distancia desde la fribra neutra a la fibra más traccionada o comprimida (cm)

I→Inercia (cm4

)Método de la doble integración para el cálculo de la elástica o viga deformable

EI d²y = Mdx²

E: modulo de elasticidad del material





I: modulo de inercia de la sección respecto al eje neutro

M: momento de la viga

Es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llamarigidez a la flexión es totalmente constante a lo largo de viga.

Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeña, su cuadrado es despreciable frente a launidad, por lo que se puede denotar despejando EI de la formula inicial obtenemos:

d²y = M

dx² EIIntegramos la ecuación aplicando la atribución que EI es constante nos da:

EI dy = ∫ M dx + c1dx

De allí obtendremos la ecuación de la pendiente y que permite determinar la ecuaciónde la misma, M no es un valor del momento, sino la ecuación del momento flexión dex,y c1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo. Integrando de nuevola ecuación obtendremos

EIy = ∫ ∫ M dx dx + c1x + c2

Es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sucesiónde la viga. Si las condiciones de carga varían a lo largo de la vida, la ecuación demomentos también tendrá la variación correspondiente.

Esto permite una ecuación de momentos entre cada dos puntos sucesivos dediscontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma

en las cargas repartidas), lo que daría lugar a dos integraciones para cada tramo y, porconsiguiente, dos constantes para cada tramo también. La determinación de esasconstantes se hace muy laboriosa y se esta expuesto a errores. Afortunadamente, estascomplicaciones pueden evitarse escribiendo una única ecuación de momentos validapara toda la viga, pese a las discontinuidades de carga.

Curva elástica







CONCLUSIONES

Después de elaborado este informe se concluye que muchas de las teorías del diseñoestructural se basan en cálculo integral y diferencial, límites y todo lo que nos enseñanen cálculo de diseño estructural de estructuras metálicas y vienen desarrolladas lasfórmulas de las teorías de diseño.

Por otra parte es necesario aclarar que el cálculo de las integrales sirve en cualquierrama de la ingeniería solo para deducir ciertas fórmulas, sobre todo en en el análisis deestructuras civiles entendiendo que después de esas deducciones es necesario aprendera usar los resultados, no se usa en otros ámbitos, en los más cotidianos almenos.





BIBLIOGRAFIA- S. Álvarez Contreras, Estadística Aplicada. Teoría y Problemas. Editorial CLAGSA(2004).

- A. de la Villa, G. Rodrígez Sánchez et al, Cálculo I: Teoría y Problemas de AnálisisMatemático en una Variable, Tercera Edición, Ed. CLAGSA

(2007).

- A. de la Villa, Problemas de Algebra lineal con esquemas teóricos (3ª edición).Editorial CLAGSA (1994).

- B. Kolman, Álgebra lineal con aplicaciones y MATLAB. Prentice Hall (1999).

- J. Burgos, Álgebra Lineal. Ed. MacGraw-Hill (1993).

- G. Nakos, D. Joyner, Álgebra Lineal con aplicaciones. International ThompsonEditores (1999)

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