(6) - Introducción a La Geodesia

Topografía General Angela Suckel D’Arcangeli Ingeniería Civil e Ingeniería Civil Ambiental Académico

1 Departamento Ingeniería de Minas E-mail [email protected]

6. INTRODUCCION A LA GEODESIA.

CALCULO GEODESICO METODO DIRECTO.

Definiciones básicas:

- Topografía: Superficie física de la tierra.

- Geoide: Superficie equipotencial nivelada, también corresponde a una realidad física.

- Elipsoide: Superficie matemática o marco de referencia para los cálculos.

- Datums geodésicos: Punto de coincidencia entre Geoide y Elipsoide.

Universidad de La Serena



Elipsoides usados en Chile en Propiedad Minera:

• Elipsoide Internacional de 1924, Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela

1956 (PSAD-56).

"elipselademeridianodelcuadradadadexcentriciº1"61180067226700,0a/)ba(:e

"toachatamien"2971

999998231,2961a/)ba(:f

"polarsemieje"m946,911.356.6:b

"ecuatorialsemieje"m000,388.378.6:a

2222 =−

≈=−

Obs. 1: La Propiedad Minera nacional al norte de la latitud Sur 43º30’ está referida al PSAD-

56.

Obs. 2: La cartografía nacional a escala 1:50.000 al norte de la latitud Sur 43º30’ está referida

al PSAD-56.

• Elipsoide Sudamericano de referencia 1969, Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969

(SAD-69).

"elipselademeridiano

delcuadradadadexcentriciº1"03870066945416,0a/(:e )ba

"toachatamien"25,298

1250011223,298

1a/)ba(:f

"polarsemieje"m720,774.356.6:b

"ecuatorialsemieje"m000,160.378.6:a

2222 =−

≈=−




Obs. 1: La Propiedad Minera nacional al Sur de la latitud Sur 43º30’ está referida al SAD-69.

Obs. 2: La cartografía nacional a escala 1:25.000, está referida al SAD-69.

La cartografía nacional a escala 1:50.000 al sur de la latitud Sur 43º30’, está referida al

SAD-69.




6.1- CALCULO DE COORDENADAS GEOGRAFICAS POR METODO DIRECTO.

1.- Método de vinculación geodésica: Triangulación.

Vértice con coordenadas geográficas conocidas

Vértice por conocer

"meridianoelencurvaturadeRadio")msene1(/)e1(aRm

"normalgranoelipsoidealNormal")msene1/(aNm

.elipsoidedelpolarejesemib

.elipsoidedelecuatorialejesemia

2/)λλ(.m

2/)(m

λλΔλ

triángulo.delladoc'Δ

triángulo.delladob'geográficaLongitudλ

o. triánguldel lado a'geográficaLatitud

2/3222

2/122

21

21

12

BA12

CA

C-B

ϕ−−=

ϕ−=

=

=

+=λ

ϕ+ϕ=ϕ

−=

=ϕ−ϕ=ϕ

==

==ϕ

−

−




"elipselademeridianodeldadexcentricisegundalaes'e"donde,b/)ba('e

"elipselademeridianodeldadexcentriciprimeralaese"donde,a/)ba(e

2222

2222

−=

−=

- Condición angular de una triangulación en el elipsoide.

Teoría: θ + β + γ = 2R Práctica: θ + β + γ = 2R + ∈ ∠ )

∠ ) : Error de cierre angular ∈

∈ ∠ ) ⎜ ∠ ) ≤ Tolerancia ⇒ Compensación, ∈i = ± ⎜ ∈3

Si

i

i

i

''

scompensadoÁngulos'

∈+γ=γ∈+β=β∈+θ=θ

- Obtención de azimutes geodésicos.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λΔϕΔ−ϕλΔ

=αΔ+α2/cos)(Rm

mcosNmArctg2/

''1sencossen121F

F)''(2/secmsen''''

21

21

3

ϕϕ=

λΔ+ϕΔϕλΔ=αΔ−

0F)''(''900''Si 3 →λΔ⇒∠λΔ




- Determinación del cuadrante en que se encuentra el azimut geodésico

(α + Δα/2)

Cuadrante ( α + Δα/2) Δλ Δϕ

+ - I

+ + II II III

- + III I IV

- - IV

Azimut geodésico de la base α = αg A-B

αΔ+±α=α

β+α=α

θ−α=α

−−

−−

−−

º180gg:nObservació

'gg

'gg

BAAB

ABCB

BACA




- Obtención de distancias geodésicas.

Distancia geodésica de la base (dg ). A-B A-B

2/1222222

BA )2/cosRmmcosNm(dg λΔϕΔ+ϕλΔ=−

Obs. expresar en radianes. ϕΔλΔ y

Distancias geodésicas A-C (dg ) y B-C (dg

A-C B-C).

'sen/'sendgdg

'sen/'sendgdg

'sendg

'sendg

'sendg

BACB

BACA

CBBACA

γθ=

γβ=

θ=

γ=

β

−−

−−

−−−




- Obtención de Δϕ y Δλ A-C A-C

)"1sensecgcosAE3(gcosdg2KP

)K2/1gsenh(EdgP

E)gsendg(hKh

gsendgCK

gcosdgBh

a6)sene1()tg31(

E

)sene1("1sencossene2/3

D

"1sen)e1(a2tg)sene1(

C

"1sen)e1(a)sene1(

B

"1sena)sene1(

A

2ACA

2CA

2CA2

CA22

CA1

2CACA

CA22

CA

CACA

2A

22A

2

A22

AA2

22A

2A

22

2

2/3A

22

2/1A

22

ϕα+α=

+α−=

α−+=ϕ∂−

α=

α=

ϕ−ϕ+=

ϕ−ϕϕ

=

−ϕϕ−

=

−ϕ−

=

ϕ−=

−−−

−−

−−

−−

−−

)secgsen)Nm/dg(sen(senArcsen

PPD)(Kh"

CCACACA

CAAC

212

CA

ϕα=λΔϕΔ+ϕ=ϕ

++ϕ∂++=ϕΔ−

−−−

−

−




Obs. Argumento (dg /Nm) expresar en grados sexagesimales. A-C

CAAC

CAAC

−

−

λΔ+λ=λ

ϕΔ+ϕ=ϕCoordenadas geográficas de C a partir del vértice A.

Análogamente se obtienen las coordenadas geográficas de C, a partir de B.

CBBC

CBBC

'

'

−

−

λΔ+λ=λ

ϕΔ+ϕ=ϕ

Coordenadas geográficas definitivas del vértices C.

2/)'(

2/)'(

CCC

CCC

λ+λ=λ

ϕ+ϕ=ϕ

- Nivelación trigonométrica con transformación de distancia geodésica a distancia

horizontal.

"línealadecurvaturadeRadio"gsenRmgcosNm

RmNm

2/)ZZ(HM,)/HM1(/dgDH

hj)Zsen/DH(10

66,6Ztg/DHhiZZ

hj)Di(10

66,6HhiZZ

CA2

CA2

ACCACA

C2

CACA8CACAAAC

C2

CA8CAAAC

−−

−−

−−−−

−−

α+α=ρ

+=ρ−=

−+++=

−+++=




Para reducir dg a DH se requiere ZA-C A-C C, por lo que primero se debe calcular un Zc” de altitud

aproximada usando dg . A-C

)/HM1/(dgDH,2/)ZZ(HM

hj)Zsen/dg(10

66,6Ztg/dghiZ"Z

CACAA"C

C2

CAAC8CACAAAC

ρ−=+=

−+++=

−−

−−−

Altitud de C a partir del vértice A.

C2

CACA8CACAAAC hj)Zsen/DH(10

66,6Ztg/DHhiZZ −+++= −−−−

Altitud de C a partir del vértice B.

"CdedefinitivaAltitud"2/)'ZZ(Z

hj)Zsen/DH(10

66,6Ztg/DHhiZ'Z

CCC

C2

CBCB8CBCBBBC

+=

−+++= −−−−

2.- Método de vinculación geodésica: Radiación electrónica

La radiación electrónica constituye un método alternativo de densificación de vértices de la

red geodésica, ya que para su utilización en vinculaciones para mensuras de concesiones mineras,

se requiere autorización del Servicio Nacional de Geología y Minería. No obstante lo anterior,

constituye el método más usado.

Consiste en definir la posición de un vértice o H.M., midiendo el ángulo horizontal

comprendido entre la base geodésica y el vértice o H.M. a crear, conjuntamente con la medición

de la distancia inclinada y el ángulo zenital entre la estación de instalación y el vértice o H.M. a

crear.




• Operación de terreno.

Δ Vértice de coordenadas conocidas.

ο Punto creado para conocer coordenadas.

Instalado en A y orientado en B se mide en forma precisa el ángulo interior θ mediante

reiteraciones, y de la misma manera, se mide el ángulo exterior complementario a θ (β).

Conjuntamente se mide la distancia inclinada, los ángulos verticales en directo y tránsito,

la altura instrumental y altura de jalón, desde A hacia P y desde P hacia A.

Con aplicaciones en vinculaciones de mensuras a la Red Nacional, el número mínimo de

reiteraciones son cuatro, los errores angulares máximos admisibles son 17cc, la sumatoria de

ángulo interno y externo es de 400g ± 30cc La precisión instrumental y el error relativo al medir la

línea A-P, son las aplicables a la Poligonal electrónica.




Procedimiento de Cálculo.

- Condición angular de una radiación.

Teoría: θ + β = 4R Práctica: θ + β = 4R + ∈ ∠ )

∠ ) : Error de cierre angular ∈

∈ ∠ ) ⎜ ∠ ) ≤ Tolerancia ⇒ Compensación, ∈i = ± ⎜ ∈2

Ajuste de ángulo horizontal (θ)

θ’ = θ + εi si ε > 0 ⇒ εi < 0 β’ = β + εi si ε < 0 ⇒ εi > 0

∠ ) ∈

∠ ) ∈

- Obtención de azimutes geodésicos.

( )

0F)"("900"Si

"1sencossen121F

F)"(2/secmsen""

2/cosRmmcosNmtgArc)2/(

3

21

21

3

→λΔ⇒<λΔ

ϕϕ=

λΔ+ϕΔϕλΔ=αΔ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λΔϕΔ−

ϕλΔ=αΔ+α




Azimut geodésico de la base α = αg A-B

'gg BAPA θ+α=α −−

- Obtención de la distancia geodésica

A-P (dg A-P) a partir de la Di A-P.


RmNm

2/)ZZ(HM,HM1DHDg

ZsenDiDH

PA2

PA2

APPAPA

PAPAPA

−−

−−

−−−

α+α=ρ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

−=

=

- Obtención de Δϕ A-P y Δλ A-P.

2A

22A

2

A22

AA2

22A

2A

22

2

2/3A

22

2/1A

22

a6)sene1()tg31(

E

)sene1("1sencossene2/3

D

"1sen)e1(a2tg)sene1(

C

"1sen)e1(a)sene1(

B

"1sena)sene1(

A

ϕ−ϕ+=

ϕ−ϕϕ

=

−ϕϕ−

=

−ϕ−

=

ϕ−=

“Altitud de P a partir d

vértice A

el

.”

PA2

8PAPAAAP hjDi10

66,6ZcosDihiZZ −+⋅++= −−− P





)K2/1gsenh(EdgP

E)gsendg(hKh

gsendgCK

gcosdgBh

2APA

2PAPA

22

PA2

PA2

1

2PAPA

PA22

PA

PAPA

ϕα+α=

+α−=

α−+=ϕ∂−

α=

α=

−−−

−−

−−

−−

−−


PPD)(Kh"

PPAPAPA

PAAP

212

PA

ϕα=λΔϕΔ+ϕ=ϕ

++ϕ∂++=ϕΔ−

−−−

−

−

PAA

PAA

−ρ

−ρ

λΔ+λ=λ

ϕΔ+ϕ=ϕ Coordenadas geográficas de P a partir del vértice A.




Ejercicios de amarre geodésico usando cálculo por método directo para triangulación y radiación. 1.- Cálculo geodésico de una triangulación por el método directo.

Datos de la base

1.131,40080"71º08'06,4540"30º43'21,8B 616,93 932"71º08'49,1218"30º39'23,2A

(m) Altitud(Oeste) Longitud(Sur) LatitudVértice

Elipsoide Internacional de Referencia de

1924, Datum Sudamericano La Canoa, 1956.

p ngu s.

Desig. Observados Co os

3

379”30º41'22,5-m0,00672267e

m 9466.356.911, bm 00.378.388,06a

2

=ϕ=

==

1.- Com ensación de á los horizontale

mpensad1 37,5102g 37,5099g

89,9779g 89,9776g2 72,5128g g 72,5125g g 200,0009 Σ g 200,0000g




.- Cálculo de la Normal al Elipsoide.

m

.- Cálculo del Radio de Curvatura del Meridiano.

4.- Cálculo de Azimutes Geodésicos.

2

,)m sen e - a/(1 Nm 22 3256.383.980 = ϕ= 1/2

3

m,)m sen e - (1/)e - a(1 Rm 222 0056.352.187 = ϕ= 3/2

( )

1321

21

3

10x390667349,7"1sencossen121F

"83700258,21F)"(2/secmsen""

"4210,29'48º82/cosRm

mcosNmArctg)2/(

−−=ϕϕ=

=λΔ+ϕΔϕλΔ=αΔ−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λΔϕΔ−

ϕλΔ=αΔ+α

Azimut geodésico de la base α = αg A-B = 351º11’41,498”

"085,07'10º252'2gg

"998,00'56º285'3gg

"661,19'11º171g

ABCB

BACA

AB

=+α=α

=−α=α

=α

−−

−−

−




5.-

Distancia geodésica de la base A-B (dg A-B).

2/12 =

Distancias geodésicas A-C (dgA-C) y B-C (dgB-C).

Obtención de distancias geodésicas.

cosRmmcosNm(dg 22222BA λΔϕΔ+ϕλΔ=− m686,436.7)2/

'3sendg

'1sendg

'2sendg CBBACA −−− ==

Observación: 1’, 2’ y 3’ corresponden a los ángulos horizontales 1, 2 y 3 compensados.

m387,154.12'1sen/'3sendgdg

m068,217.13'1sen/'2sendgdg

BACB

BACA

==

==

−−

−−

.- Obtención de Δϕ A-C, Δλ A-C y Coordenadas Geográficas a partir de A.

6

152

A22

A2

8

A22

AA2

922

A2

A22

22

2/3A

22

22/1

A22

10x399703855,8a6

)sene1()tg31(E

10x148142768,2)sene1(

"1sencossene2/3D

10x507437947,1"1sen)e1(a2

tg)sene1(C

10x247162966,3"1sen)e1(a

)sene1(B

10x230980491,3"1sena

)sene1(A

−

−

−

−

−

=ϕ−ϕ+

=

−=ϕ−ϕϕ

=

−=−

ϕϕ−=

=−

ϕ−=

=ϕ−

=




72

2ACA

2CA

2CA2

4CA

22CA1

2CACA

CA22

CA

CACA

10x928418132,1P


10x596755197,1)K2/1gsenh(EdgP

5762066,117E)gsendg(hKh

2434898878,0gsendgCK

8198563,117gcosdgBh

−

−−−

−−−

−−

−−

−−

−=

ϕα+α=

−=+α−=

=α−+=ϕ∂−

−=α=

=α=

"6838,51'00º71

"5094,57'07º0

10x315028604,2sen


"7977,20'41º30

5759096,117PPD)(Kh"

CAAC

CA

3CA

CCACACA

CAAC

212

CA

=λΔ+λ=λ

−=λΔ

−=λΔ

ϕα=λΔ

−=ϕΔ+ϕ=ϕ

=++ϕ∂++=ϕΔ−

−

−

−−

−−−

−

−




7.- Obtención de Δϕ , Δλ

B-C B-C y Coordenadas Geográficas a partir de B.

A = 3,230969442 x 10-2

B = 3,247129654 x 10-2

C = -1,511396017 x 10-9

-8 D = -2,150871522 x 10

E = 8,422429204 x 10-15

h = -120,8540618 K = -0,2023408323 -∂ϕ = -121,0562664 P = 1,363970169 x 10-4

1 P = 7,563867878 x 10-8

2 -Δϕ” = -121,0565814 ϕ = ϕ + Δϕ = -30º41’20,7974” C B Δλ = -0º07’14,7241”

= 71º00’51,6839” λC

8.- Coordenadas Geográficas Definitivas del vértice C.

"6838,51'00º712/)'(

"7975,20'41º302/)'(

CCC

CCC

=λ+λ=λ

−=ϕ+ϕ=ϕ




9.- Determinación de altitud de C.

Datos: L a d o Altura Altura Angulo Dist. Altitud De A Instrum. Jalón Zenital Geodésica A 616,93 A C 1,34 2,00 99,9363 13.217,068 B 1.131,40 B C 1,42 2,00 102,6148 12.154,387 - Nivelación trigonométrica con transformación de distancia geodésica a distancia horizontal.


NmRm

2/)ZZ(HM,)/HM1(/dgDH

hj)Zsen/DH(10

66,6Ztg/DHhiZZ

hj)Di(10

66,6HhiZZ

CA2

CA2

ACCACA

C2

CACA8CACAAAC

C2

CA8CAAAC

−−

−−

−−−−

−−

α+α=ρ

+=ρ−=

−+++=

−+++=

m08,156.12)/HM1/(dgDH

m372,218.13)/HM1/(dgDH

2/)ZZ(HM

hj)Zsen/dg(10

66,6Ztg/dghiZ"Z

CBCB

CACA

A"C

C2

CACA8CACAAAC

=ρ−=

=ρ−=

+=

−+++=

−−

−−

−−−−




Altitud de C a partir del vértice A.

m13,641Z

hj)Zsen/DH(10

66,6Ztg/DHhiZZ

C

C2

CACA8CACAAAC

=

−+++= −−−−

Altitud de C a partir del vértice B.

m11,641'Z

hj)Zsen/DH(10

66,6Ztg/DHhiZ'Z

C

C2

CBCB8CBCBBBC

=

−+++= −−−−

Altitud Definitiva de C

m 641,122/)'ZZ(Z CCC =+= 2.- Cálculo Geodésico de una radiación por el método directo.

Datos de la Base:

Vértice Latitud (Sur) Longitud (Oeste) Altitud

A 30º00’04,9004” 70º37’28,6564” 945,67 B 30º01’36,2950” 70º36’02,1140” 950,03

θ = 252,5027g

β = 147,4967g




- Condición angular de una radiación.

Teoría: θ + β = 4R Práctica: θ + β = 4R + ∈ ∠ )

∠ ) : Error de cierre angular = 0,006g

∈ ∈ ∠ ) ≤ Tolerancia ⇒ Compensación, ∈i = ± ⎜ ∠ ) ⎜ ∈ 2 1. Ajuste de ángulo horizontal (θ)

g

g

4970,147'

5030,252'

i

i

=ε+β=β

=ε+θ=θ

2. Obtención de azimut geodésico de la base.

( ) "0187,30'29º392/cos)(Rm

mcosNmtgArc2/ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λΔϕΔ−

ϕλΔ=αΔ+α

1321

21

3

10x345235281,7''1sencossen121F

"28958414,43F)''(2/secmsen''''

−−=ϕϕ=

=λΔ+ϕΔϕλΔ=αΔ−

3. Azimut geodésico de la base α = αg = 320º30’51,6260” A-B

"3460,01'46º187'gg BAPA =θ+α=α −−




4. Obtención de la distancia geodésica A-P (dg A-P) a partir de la Di A-P.

Datos: m 2,05 hj ; m 1,07 hi ; 93,7514 Z; m 1.773,757 Di PAg

P-A ====


RmNm

2/)ZZ(HM,HM1DHDg

ZsenDiDH

PA2

PA2

APPAPA

PAPAPA

−−

−−

−−−

α+α=ρ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

−=

=

m 1.764,933 Dg

hjDi10

66,6ZcosDihiZZ

P-A

PPA2

8PAPAAAP

=

−+++= −−−




5. Obtención de Δϕ

A-P y Δλ A-P y coordenadas geográficas de P.

132

2APA

2PAPA

22

8PA

2PA

21

2PAPA

5PA

22PA

PAPA

152

A22

A2

8

A22

AA2

922

A2

A22

22

2/3A

22

22/1

A22

10x558306825,4P


10x643025415,2)K2/1gsenh(EdgP

79027256,56E)gsendg(hKh

10x355360547,8gsendgCK

79018903,56gcosdgBh

10x179940164,8a6

)sene1()tg31(E

10x120562355,2)sene1(

"1sencossene2/3D

10x468604277,1"1sen)e1(a2

tg)sene1(C

10x247489888,3"1sen)e1(a

)sene1(B

10x231088918,3"1sena

)sene1(A

−

−−−

−−−

−−

−−−

−−

−

−

−

−

−

−=

ϕα+α=

=+α−=

−=α−+=ϕ∂−

−=α=

−=α=

=ϕ−ϕ+

=

−=ϕ−ϕϕ

=

−=−

ϕϕ−=

=−

ϕ−=

=ϕ−

=




"7585,19'37º70

"8979,08'00º0

10x471625344,2


"1101,08'59º29

"7903,56'00º0

"79034095,56PPD)(Kh"

CPA

PA

3PA

PPAPAPA

PAAP

PA

212

PA

=λΔ+λ=λ

=λΔ

−=λΔ

ϕα=λΔ

−=ϕΔ+ϕ=ϕ

=ϕΔ

−=++ϕ∂++=ϕΔ−

−ρ

−

−−

−−−

−

−

−

6. Altitud de P.

m 1.118,72 Z

hjDi10

66,6ZcosDihiZZ

P

PPA2

8PAPAAAP

=

−+++= −−−




Ejercicios propuestos 1.- Cálculo geodésico de una radiación por el método directo. Datos:


A 30º46’16,3410” 71º10’28,8110” 1.023,40 B 30º46’19,1650” 71º08’30,4110” 1.059,80

Estación Pto. Alt. Ángulos Dist. Alt. Obs. Instr. Horizontal Zenital Incl. Jalon

A B 1,02 0,0000 P 176,2340 103,7584 2.283,376 2,00

B P 1,02 0,0000 B 223,7654

m04,888Z

Oeste"4516,49'11º71

Sur"4000,41'46º30

P

P

P

=

−=λ

−=ϕ

2.- Cálculo geodésico de una radiación por el método directo.

Datos:


A 30º16’19,1764” 71º16’50,2593” 419,43 B 30º16’15,1247” 71º17’51,1565” 355,28





A B 1,32 0,0000 P 389,9353 102,4807 1.633,875 2,00

B P 1,02 0,0000 B 10,0639

m28,355Z

Oeste"1327,51'17º71

Sur"4970,23'16º30

P

P

P

=

−=λ

−=ϕ

3.- Cálculo geodésico de una radiación por el método directo.

Datos:


A 29º32’44,3307” 71º03’12,5019” 1.243,08 B 29º33’38,1122” 71º03’09,6688” 1.110,97


A B 0,99 0,0000 P 289,1209 103,6300 367,590 2,00

B P 0,0000 B 110,8803




m13,221.1Z

Oeste"1934,59'02º71

Sur"7658,41'32º29

P

P

P

=

−=λ

−=ϕ

4.- Cálculo geodésico de triangulación por método directo. Datos:


A 30º18’06,8696” 71º16’02,3612” 612,91 B 30º16’46,3807” 71º15’40,2714” 462,29

Desig. Ángulos horizontales

1 49,7416g 2 111,9152g 3 38,3418g

Lado Altura Altura Angulo De A Instr. Jalón Zenital A C 1,01 3,20 103,4385 B C 1,09 3,20 101,2760

m37,419Z

Oeste"2593,50'16º71

Sur"1764,19'16º30

C

C

C

=

−=λ

−=ϕ




5.- Cálculo geodésico de triangulación por método directo. Datos:


A 31º10’57,5080” 71º37’03,5010” 375,27 B 31º09’10,7210” 71º35’06,0100” 648,38

Desig. Ángulos horizontales.

1 41,0677g 2 81,5303g

3 77,4009g Lado Altura Altura Angulo De A Instr. Jalón Zenital

A C 1,51 2,00 102,0369 B C 1,50 2,00 104,5360

m29,147Z

Oeste"8995,03'39º71

Sur"2593,27'07º31

C

C

C

=

−=λ

−=ϕ



30 Departamento Ingeniería de Minas E-mail [email protected] Universidad de La Serena

B B A A

6.- Cálculo geodésico de triangulación por método directo. 6.- Cálculo geodésico de triangulación por método directo. Datos: Datos:

Vértice Latitud Vértice Latitud (Sur) (Sur) Longitud (Oeste) Longitud (Oeste) Altitud Altitud

A 29ºA 29º21’01,6248” 21’01,6248” 70º56’04,4502” 70º56’04,4502” 922,41 922,41 B 29ºB 29º21’08,8043” 21’08,8043” 70º59’00,2404” 70º59’00,2404” 738,84 738,84

Desig. Ángulos horizontales. Desig. Ángulos horizontales. 1 48,5382g 1 48,5382g

2 73,4379g

3 78,0236g Lado Lado De A De A

Altura Altura Instr. Instr.

Altura Altura Jalon Jalon

Angulo Angulo Zenital Zenital

C C 1,49 2,00 97,7267 1,49 2,00 97,7267 C C 1,50 2,00 95,9902 1,50 2,00 95,9902

2 73,4379g

3 78,0236g

m08,149.1Z

Oeste"9688,12'57º70

Sur"67889,16'24º29

C

C

C

=

−=λ

−=ϕ


TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS A COORDENADAS UTM.

1222233

4

164422234

82

10Ko)cos'etg1(6

cosNm"1sinV

10Ko"1sincosNmIV

10Ko)cos'e4cos'e9tg5(24

cossin"1sinNmIII

10Ko2

"1sincossinNmII

KoSI

6sin0222625.04sin97619694.162sin03458.161075367.111136S

ϕ+ϕ−ϕ

=

ϕ=

ϕ+ϕ+ϕ−ϕϕ

=

ϕϕ=

=

ϕ−ϕ+ϕ−ϕ=

2022224255

5

2422224256

6

10Ko)sin'e58cos'e14tgtg185(120

cosNm"1sinp5B

10Ko)sin'e330cos'e270tgtg5861(720

cossinNm"1sinp6A

ϕ−ϕ+ϕ+ϕ−ϕ

=

ϕ−ϕ+ϕ+ϕ−ϕϕ

=




)lsexagesimasistemaelenlatitud(

normal)gran o elipsoide al normal la como definido también tical,primer ver elen curvatura de (radio )sine1(aNm

)linealdadexcentricisegunda(b

bae'2

)linealdadexcentriciprimera(b

bae

)1956PSADpolarejesemi(m946,911.356.6b

)1956PSADecuatorialejesemi(m000,388.378.6a

9996.0Ko

'E00,000.500N5BpVpIV'E

'N00,000.000.10N6ApIIIpIII'N

2/122

2

22

2

222

3

42

=ϕ

ϕ−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

=

=

=

±=++=

−=+++=

−



TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS A COORDENADAS U.T.M.

"0001,0p'E000.500E

'N000.000.10N'EEFE

5BVpIVp'E'NNFN

AIIIpIIpI'N

3

642

λΔ=±=

−=±=

++=

−=+++=

rtransformaaPuntodelLongitudcentralMeridianodelLongitud

/

m000.500EFm000.000.10NF

p

o

po

=λ=λ

λ−λ=λΔ

==

Ingreso a Tabla I (tabulación grados y minutos de latitud).

1.- Se toma el valor de I para grados y minutos. Δ1” se multiplica por el número de

segundos. El valor de II, se obtiene de igual forma. El valor de III, se obtiene sólo para

grados y minutos.

2.- Para obtención de p debe ubicarse la longitud del M.C. de acuerdo a la zona, para luego

reemplazar en la fórmula.

, se obtiene con / λ - λ / en el gráfico, generalmente tiende a 0. 3.- A6 o p

4.- Se efectúa el reemplazo en la expresión de N’ para luego obtener N.

5.- IV y V, se obtienen igual a I y II, considerando el signo de Δ1”.

6.- B se obtiene entrando con / λ - λ / al gráfico. B5 o p




7.- Se efectúa el reemplazo en la expresión de E’, para luego obtener E, considerando lo

siguiente:

(para puntos ubicados el Este M.C.) 'EEFE +=

' (para puntos ubicados al Oeste del M.C.) EEFE −=




EJEMPLO DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.

A partir de las coordenadas geográficas, determinar las coordenadas U.T.M.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

m9966,780.345'EEFEm0034,219.154'E

0016,0P0001962,40P0042,165.258'E

0016,0B0001962.40V0042.258165IV0118038,046''114337574,946''11

00103,0''182319,0''I012,40V438,174.258IV'27º33

BPVPIV'E

m141,183.297.6Nm859,816.702.3'N

0P167,2P81,449.3068,585.701.3'N

12731103,0P0A213132424,0P

33,973.5''356806712,0P33''33'39º1597333,0P

/º6933''33'39º70/'/'/0001,0P

81,449.3II668,585.701.3I1639926.046''119391208,35246''1101431.0''179748,30''1

167,2III646,449.3II729,232.701.3I

AIIIPIIPI'NNNF'N

'NNFN

33''33'39º70S46''11'27º33

3

5

53

42

4

63

2

642

=−==

++=

===

−=−=−=−=

==

++=

==

+++=

=

==

=λΔ=

=λΔ=−=λΔλΔ=

==

====

===

+++=

−=−=

=λ−=ϕ




CONVERGENCIA DE MERIDIANOS DESDE COORDENADAS GEOGRAFICAS

202445

5

12442222

2

222

004

53

10)tg2(15

CosSen''1SenPC

10)Cos'e2Cos'e31(3

CosSen''1SenXIII

bba'e

.C.M,10SenXII

''0001,0PCPXIIIPXIIC

⋅ϕ−ϕ⋅ϕ⋅⋅

=

⋅ϕ⋅+ϕ⋅⋅+ϕ⋅ϕ

=

−=

=λλ−λ=λΔ⋅ϕ=

λΔ⋅=++=

EJEMPLO:

W''554,36'52º70

S''605,51'52º29

=λ

=ϕ

g0392,1C97943718,2XIII

0025,4982XII6756554.0P

''554,6756''554,36'52º1

=

===

==λΔ




CONVERGENCIA DE MERIDIANOS DESDE COORDENADAS U.T.M.

O

6

m

53

K10

''1SenNtgXV

FqXVIqXVC

⋅⋅

ϕ=

++=

9996,0K

EEF'E'E000001,0q

O =

−==

5O

3042

5m

5

5

3O

1844222

3m

K10)tg3tg52(

''1SenN15tgqF

K10)Cos'e2Cos'etg1(

''1SenN3tgXVI

⋅ϕ+ϕ+⋅⋅

ϕ⋅=

⋅ϕ⋅−ϕ−ϕ+⋅⋅ϕ

=

EJEMPLO:

N = 6.692.873,218 m q = 0.181254788

E = 318.745,212 m Nm = 6.383.716,127

XV = 18.572,87426

XVI = 201,4542561

C = 3366,422387”

C = 1.0308 g




RELACIÓN ENTRE DISTANCIAS

1.- Distancia inclinada a distancia horizontal

ZSenDIDH =

2.- Distancia horizontal a distancia geodésica

gsenmgcosNmmNm

2HBHAHMHM1DHDG

22 αρ+αρ

=γ

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−=

3.- Distancia geodésica a distancia U.T.M.

DGKDUTM =

) q00003,0qXVIII1(KK 42O +−=

)KN/10()cos'e1(5,0XVIII'E000001,0q

9996,0K.C.calaenelMFactordees:K

Om622

O

O

ϕ+=

==


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(6) - Introducción a La Geodesia