54643999 Analisis Matricial de Estruturas Tipo Parrilla

8/12/2019 54643999 Analisis Matricial de Estruturas Tipo Parrilla

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL UNCP

ANLISIS ESTRUCTURAL II

1

ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUTURAS TIPO PARRILLA

Las estructuras tipo parrilla son estructuras reticulares sometidas a cargas queactan perpendicularmente a su plano. Podemos encontrar muchas de ellas enlas estructuras industriales, en losas de entrepiso con viguetas en dosdirecciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fbricassometidas a la accin del viento. Los nudos se suponen rgidos enconsecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsin, flexiny corte.

Para la determinacin de la matriz de rigidez los nudos se suponen rgidos y en

consecuencia las acciones principales sobre sus miembros son torsin, flexiny corte.

Esquema de una tpica parrilla

Para la deduccin de la matriz de rigidez de sus miembros utilizaremos elprincipio de superposicin; es decir, primero consideramos un elementosometido a flexin y corte; y luego el mismo elemento sometido a torsin. Lamatriz resultar la suma de estas dos matrices halladas.

1. ELEMENTO SOMETIDO A FLEXION Y CORTE, ORIENTADO EN ELEJE X:


2/34



2

1 columna:

Por Maney


3/34



3

2 Columna:

3 Columna:


4/34



4

Por Maney

4 Columna:

POR MANEY:


5/34



5

i

yj

i

yi

Z

M

Z

M

=

3232

22

3232

22

L

EI12

L

EI6

L

EI12

L

EI6

L

EI6

L

EI4

L

EI6

L

EI4

L

EI12

L

EI6

L

EI12

L

EI6

LEI6

LEI4

LEI6

LEI4

*

j

j

i

yi

2. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO SOMETIDO A TORSIONCuando se tiene un elemento prismtico sometido a torsin, se sabe que elgiro producido por ella esta dado por:

Donde:

= Giro relativo entre los extremos.= momento torsor = longitud =constante torsional. =mdulo de corte.


6/34



6

REPRESENTACION ESQUEMATICA DE UN ELEMENTO PRISMATICOSOMETIDO A TORSION

Cuando tenemos secciones circulares macizas o huecas, la constante torsional

es el momento polar de inercia.

Para secciones rectangulares, en cambio, podemos calcular con la siguienteformula:

Donde b y t son las dimensiones transversales del elemento.

De la ecuacin.

Hallando la matriz de rigidez del elemento, tenemos: Podemos despejar:

Por lo que la matriz de rigidez queda de la siguiente manera:


7/34


8/34



8

3. ELEMENTO SOMETIDO A FLEXION Y CORTE, ORIENTADO EN ELEJE Y:

1 COLUMNA:

Por Maney:


9/34



9

2 COLUMNA:

3 COLUMNA:


10/34



10

Por Maney

4 COLUMNA:

POR MANEY:


11/34



11

Obtenemos la siguiente matriz:

i

xj

i

xi

Z

M

Z

M

=

3232

22

3232

22

L

EI12

L

EI6

L

EI12

L

EI6

L

EI6

L

EI4

L

EI6

L

EI4

L

EI12

L

EI6

L

EI12

L

EI6

L

EI6

L

EI2

L

EI6

L

EI4

*

j

xj

i

xi

4. LA MATRIZ DE RIGIDEZ POR TORSIN ES:

yj

yi

M

M

=

L

GJ

L

GJ

L

GJ

L

GJ

*

yj

yi

Aplicando superposicin tenemos la matriz de rigidez de un elemento deparrilla orientado en el eje Y:


12/34



12

j

yj

xj

i

yi

xi

Z

M

M

Z

M

M

=

j

F

yjF

xiF

iF

yiF

xiF

Z

M

M

Z

M

M

+

3232

22

3232

22

L

EI12

0L

EI6

L

EI12

0L

EI6

0L

GJ00

L

GJ0

L

EI60

L

EI4

L

EI60

L

EI2

L

EI120

L

EI6

L

EI120

L

EI6

0L

GJ00

L

GJ0

L

EI60

L

EI2

L

EI60

L

EI4

.

j

yj

xj

i

yi

xi

w

w

5. ELEMENTO DE PARRILLA ORIENTADO ARBITRARIAMENTE

En la figura representamos la rotacin un elemento que es anlogo al caso quese estudi en el plano:

De donde tenemos que la matriz de transformacin :

=

100000

0000

0000

000100

0000

0000


13/34



13

Donde, como se vio:

j

yj

xj

i

yi

xi

ZM

M

Z

M

M

=

1000000000

0000

000100

0000

0000

*

j

yj

xj

i

yi

xi

ZM

M

Z

M

M

Recordamos que la matriz de rigidez referida a coordenadas generales sepuede obtener mediante el triple producto:

Forma general de la matriz de rigidez de un elemento de parrilla.


14/34



14

j

yj

yi

i

xj

xi

Z

M

M

Z

M

M

=

jF

yjF

yiF

iF

xj

F

xiF

Z

M

M

Z

M

M

+

322322

2

22

2

22

2

22

2

22

322322

2

22

2

22

2

22

2

22

L

EI12

L

EI6

L

EI6

L

EI12

L

EI6

L

EI6

L

EI6

L

GJ

L

EI4

L

EI4

L

GJ

L

EI6

L

GJ

L

EI2

L

EI2

L

GJ

L

EI6

L

EI4

L

GJ

L

GJ

L

EI4

L

EI6

L

EI2

L

GJ

L

GJ

L

EI2

L

EI12

L

EI6

L

EI6

L

EI12

L

EI6

L

EI6

L

EI6

L

GJ

L

EI2

L

EI2

L

GJ

L

EI6

L

GJ

L

EI4

L

EI4

L

GJ

L

EI6

L

EI2

L

GJ

L

GJ

L

EI2

L

EI6

L

EI4

L

GJ

L

GJ

L

EI4

.

j

yj

yi

i

xj

xi

w

w

6. EJEMPLOS DE APLICACIN

1. Resuelva matricialmente la estructura descrita a continuacin.


15/34



15

Ambos elementos tienen una seccin de 300 mm x 400 mm (b x h), el mdulode elasticidad vale 19 KN/mm2 y la relacin de Poisson 0.20.

SOLUCIN:

1. Clculos previos.

La constante torsional vale:

()

()

2. Fuerzas de empotramiento de cada elemento.

Elemento 1-2:


16/34



16

Elemento 1-3:

Reemplazando en la ecuacin orientado al eje X, para el elemento 1-2:


17/34



17

[

]

[

]

[

] [

]

Reemplazando en la ecuacin orientado al eje Y, para el elemento 1-3:

[

]

[

]

[

] [

]

Ensamblando las partes correspondientes al nudo libre (1) resulta:

Vector de fuerzas externas.


18/34



18

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos:

Clculo de las fuerzas internas:

Para el elemento 1-2:

[

]

[

]

[

] [

]


19/34



19

[

] [

]


[ ]

[

]

[

] [

]

[

] [

]

Diagramas:


20/34



20


21/34



21

VERIFICACIN CON EL PROGRAMA SAP 2000

DEFORMADA

DIAGRAMAS:


22/34


23/34



23

MOMENTO TORSOR2.- Resuelva completamente la parrilla mostrada, por el mtodo matricial de losdesplazamientos. Seccin 300*350 mm, E=19 KN/mm2, G=7.5 KN/mm2.


24/34



24

SOLUCION:

1. Clculos previos:

()

2. Momentos de empotramiento perfecto:

Elemento 1-2:


25/34



25

Elemento 4-1:

Elemento 1-3:

Reemplazando en la ecuacin (5) para el elemento 1-2 y 4-1:


26/34



26

[

]

[

]

[

] [

]

[

]

[

] [

]

Reemplazando en la ecuacin (6) para el elemento 1-3:


27/34


28/34



28

[

]

[

]

[

] [

]

[

] [

]


[

]

[

] [

]


29/34



29

[

] [

]

Para el elmento 1-3:

[

]

[

]

[

] [

]

[

]

[

]

Diagramas:


30/34



30


31/34



31

COMPROBACIN CON EL PROGRAMA SAP 2000

DEFORMADA

DIAGRAMAS


32/34



32

FUERZA CORTANTE


33/34



33

MOMENTO FLECTOR

MOMENTO TORSOR

CONCLUSIONES

El anlisis que se hizo a la estructura tipo parrilla, se basa en el principiode superposicin; de un elemento sometido a flexin y corte, y otrosometido a torsin, el cual por este principio fsico, nos dar la matriz derigidez de elemento total.

Los nudos en el elemento parrilla se suponen rgidos, por ende lasacciones principales sobre sus elementos sern 3; flexin, corte y

torsin.


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Los elementos tipo parrillas son utilizadas en estructuras como: puentes,losas armadas en dos direcciones, cierto tipo de cimentaciones yestructuras sometidas a la accin del viento.

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