tema analisis matricial basicos

8/19/2019 tema analisis matricial basicos

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Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural.

SESIÓN I SESIÓN I

TEMA I TEMA I

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REPASO REPASO

GENERAL GENERAL

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¿ Qué es una¿ Qué es una

Estructura ? Estructura ?

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En este curso :En este curso :

EstructuraEstructura describe un SistemaSistema cua !unción es trans"itir

cargas #uede estar !or"ada #or uno o varios ele"entos.

$$

%as cargas actuantes sobre laestructura generan !uer&as a'iales(

"o"entos !lectores( !uer&as cortantes(torsión etc. )solicitacionessolicitaciones* sobre los"ie"bros +ue la !or"an.

Estas solicitaciones #rovocan sobre cada uno de los"ie"bros una serie de e!ormacionese!ormaciones( +ue en sucon,unto dan origen a los es"la#amientoses"la#amientos de losdi!erentes #untos de la estructura.


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Conocer las características del siste"a es !unda"ental#ara #redecir el co"#orta"iento del "is"o ante las

acciones +ue sobre ella act-an( sean éstas de carga(des#la&a"ientos( ca"bios de te"#eratura etc.

A este co"#orta"iento lo lla"a"os RESP$ESTA elRESP$ESTA el

Sistema Estructural%Sistema Estructural% el #rocedi"iento #ara deter"inaresta res#uesta es conocido co"o An&lisis Estructural'An&lisis Estructural'

El o()eti*o el an&lisis estructuralan&lisis estructural

es eterminar esta res"uestaes eterminar esta res"uesta


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Moelos EstructuralesMoelos Estructurales( consisten en unaideali&ación( tanto de la geo"etría de la estructura( co"o

de las acciones( condiciones de a#oo co"#orta"ientodel "aterial con el +ue est/ construida la "is"a.Pueden ser !ísicos ó matem&ticos'matem&ticos'

00

El "odelo elegido debe ser ca#a& de re#roducir elco"#orta"iento do"inante del siste"a.


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1.+oniciones e e,uili(rio'+oniciones e e,uili(rio'

odo an/lisis estructural debe satis!acer las

siguientes condiciones4

Princi"ios (&sicos el An&lisis EstructuralPrinci"ios (&sicos el An&lisis Estructural

2.+oniciones e com"ati(ilia e e!ormaciones'+oniciones e com"ati(ilia e e!ormaciones'

Ti"os e An&lisisTi"os e An&lisis

1.An&lisis Lineal -el&stico.An&lisis Lineal -el&stico.

2.An&lisis No LinealAn&lisis No Lineal

3.An&lisis Pl&stico'An&lisis Pl&stico'


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An&lisis LinealAn&lisis Lineal

Basado en las 6i#ótesis de co"#orta"iento el/sticolineal de

los "ateriales constituentes. %os "is"os cu"#len la le de7oo8e. Considera el e+uilibrio sin +ue las de!or"aciones+ue su!re alteren dic6o e+uilibrio.

%a ,unta B )al igual +ue la C* se des#la&a en este an/lisisla estructura de!or"ada no a!ecta el e+uilibrio de las!uer&as.


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99

An&lisis LinealAn&lisis Lineal -continuaci/n.-continuaci/n.En este an/lisis es v/lido el "rinci"io e su"er"osici/n"rinci"io e su"er"osici/n.

%a estructura anterior es e+uivalente a resolverla dosveces4 #ri"ero con una !uer#a "untual P a#licada en el:odo( luego con la car0a 1 en el "ie"bro central(

Es igualEs igual aa

; ; ; ; 11

"/s"/s; ; 22


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1


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1111

An&lisis LinealAn&lisis Lineal -continuaci/n.-continuaci/n.

Conoce"os "uc6os "étodos #ara resolver estructuras conan/lisis lineal4

44.=étodo de los raba,os >irtuales.=étodo de los raba,os >irtuales.

22.=étodo de Cross.=étodo de Cross.5.=étodo de doble integración=étodo de doble integración

etc.etc.


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An&lisis No LinealAn&lisis No LinealEn este an/lisis se toma en cuenta la #osición de!or"ada

de la estructura. Por e,e"#lo( #ara la estructura con carga 13 P4

En un an/lisis lineal las ,untas B C (tienen des#la&a"ientos δ'( δ θ. %a

estructura est/ en e+uilibrio #ero seencuentra de!or"ada con una serie dedes#la&a"ientos.

?e observa sin e"bargo( +ue si el ele"ento A6A6 tiene unasolicitación interna de !uer&a a'ial( ésta se encuentradesviada de su #osición vertical original(+ue se su#one tienecuando 6ace"os an/lisis lineal. Es ecir:Es ecir:


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Posición originalPosición originaldel "ie"brodel "ie"bro ee

; ;

; ;

%a reacción interna ; en la ,unta B( no est& alineaa con su

o#uesta en la ,unta A. E'iste una e7centricia entre ellas.

Ello genera un "o"ento );@e* +ue no se to"ó en cuentaen el an/lisis lineal.

ó é í


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1$1$

ee

; ;

; ; Este "o"ento )R8eR8e* genera un giro des#la&a"ientos e7trase7tras a losiniciales(obtenidos al resolver la est/ticade la estructura #or los "étodosconvencionales a conocidos.

Igual ocurre con el "ie"bro 9+9+ conla viga central ) su !uer&a a'ial susdes#la&a"ientos verticales.

%os resultados obtenidos con la #ri"era solución )lla"ado

an/lisis de #ri"er orden* a no son los correctos.ebería resolverse nueva"ente el siste"a( #eroebería resolverse nueva"ente el siste"a( #eroconsiderando co"o cargas e'tras( a los "o"entosconsiderando co"o cargas e'tras( a los "o"entosgenerados #or estas e'centricidades.generados #or estas e'centricidades.

U i id d C óli A d é B ll P d d I i í E l


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Se intu3e ,ue "ara un ni*el e car0a consieraoSe intu3e ,ue "ara un ni*el e car0a consierao-P%1.% e(e resol*erse *arias *eces -con un an&lisis-P%1.% e(e resol*erse *arias *eces -con un an&lisis

lineal. asta ,ue con*er)an los resultaos -"orlineal. asta ,ue con*er)an los resultaos -"ore)em"lo e7centriciaes o(tenias i0uales a las ele)em"lo e7centriciaes o(tenias i0uales a las elan&lisis anterior.'an&lisis anterior.'

11

En este caso% el "rinci"io e su"er"osici/nEn este caso% el "rinci"io e su"er"osici/nNO SE P$E9E APLI+AR'NO SE P$E9E APLI+AR'

¿Por,ué entonces la ma3or;a e¿Por,ué entonces la ma3or;a elas *eces acemos un an&lisislas *eces acemos un an&lisislineal% si en realia ocurre lolineal% si en realia ocurre lo,ue se aca(a e escri(ir? ,ue se aca(a e escri(ir?

U i id d C tóli A d é B ll P t d d I i í E t t l


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Por,ue en la ma3or;a e los casos "ara el an&lisisPor,ue en la ma3or;a e los casos "ara el an&lisis

usual ,ue se reali#a -"ara el ise


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Est/ basado en el co"#orta"iento #l/stico( elasto#l/stico ó

rígido#l/stico de los "ateriales.

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An&lisis Pl&sticoAn&lisis Pl&stico

Por las características del "aterial( este #unto se #uedeseguir de!or"ando sin absorber "/s carga

?i el #órtico "ostrado se su#one deacero( #ara el estado de cargasindicado( se de!or"a tal co"o se dibu,a(al resolver cada "ie"bro( se tiene lassolicitaciones corres#ondientes)"o"entos( !uer&a a'ial etc.* ?u#óngase+ue en la ,unta C #ara la viga( se

alcan&a su "/'i"a resistencia( llegandoa la cedencia del "aterial.

Uni ersidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estr ct ral


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Para unas cargas P ( la estructura alcan&a lasPara unas cargas P ( la estructura alcan&a lassolicitaciones corres#ondientes( co"o #or e,e"#lo el diagra"asolicitaciones corres#ondientes( co"o #or e,e"#lo el diagra"ade "o"entos "ostrado en la !igura.de "o"entos "ostrado en la !igura.

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An&lisis Pl&sticoAn&lisis Pl&stico -continuaci/n.-continuaci/n.

?u#óngase +ue en la ,unta C( el "o"ento alcan&ado sea tal +ue?u#óngase +ue en la ,unta C( el "o"ento alcan&ado sea tal +ueel "aterial llegue a la cedencia.el "aterial llegue a la cedencia.

?in e"bargo( ésto no +uiere decir +ue la estructura cola#se( sino?in e"bargo( ésto no +uiere decir +ue la estructura cola#se( sino+ue se !or"a en C una articulación #l/stica los de"/s+ue se !or"a en C una articulación #l/stica los de"/s"ie"bros todavía est/n en ca#acidad de absorber "/s"ie"bros todavía est/n en ca#acidad de absorber "/s"o"ento."o"ento.

CC

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An&lisis Pl&sticoAn&lisis Pl&stico -continuaci/n.-continuaci/n.

En este caso tam"oco "ueen a"licarse los "rinci"iosEn este caso tam"oco "ueen a"licarse los "rinci"iose su"er"osici/n 3 la estructura e(e resol*erse "asoe su"er"osici/n 3 la estructura e(e resol*erse "asoa "aso% tomano en cuenta la istoria e las car0as'a "aso% tomano en cuenta la istoria e las car0as'

Cedencia del "aterial en CCedencia del "aterial en C)alcan&ada en la viga #ara una)alcan&ada en la viga #ara unacarga inicial o(Po*carga inicial o(Po*

Dor"ación de laDor"ación de la#ri"era articulación#ri"era articulación

Pl/stica )#ara o(Po*Pl/stica )#ara o(Po*

?e sigue au"entando las cargas ?e sigue au"entando las cargas

P. El #órtico traba,a co"o si tuvieraP. El #órtico traba,a co"o si tuvierauna articulación en Cuna articulación en C..

CC

El diagra"a deEl diagra"a de

"o"entos ca"bia"o"entos ca"biaau"entando )"enosau"entando )"enosen C en la viga*en C en la viga*

CC

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+onocias las caracter;sticas e la estructura% las+onocias las caracter;sticas e la estructura% laslimitaciones% el sistema e las car0as 3 los métooslimitaciones% el sistema e las car0as 3 los métoosa"lica(les se "uee =resol*er> ica estructura% es ecira"lica(les se "uee =resol*er> ica estructura% es ecirallar las solicitaciones internas e caa miem(ro as; comoallar las solicitaciones internas e caa miem(ro as; comolos es"la#amientos en los "untos e ma3or interés'los es"la#amientos en los "untos e ma3or interés'

2121

En conclusi/n :En conclusi/n :

+omo e)em"lo % resuel*a la estructura ,ue se muestra a+omo e)em"lo % resuel*a la estructura ,ue se muestra acontinuaci/n "or cual,uiera e los métoos ,ue ustecontinuaci/n "or cual,uiera e los métoos ,ue usteconoceconoce

Podría usarse el #rinci#io de los traba,os virtuales conPodría usarse el #rinci#io de los traba,os virtuales consu e'#resión4su e'#resión4

Universidad Católica Andrés Bello – Postgrado de Ingeniería Estructural


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2222

ParaPara P 5


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Universidad Católica Andrés Bello Postgrado de Ingeniería Estructural.

2323

66 ++

%ongitud BC%ongitud BC

En la de!or"ada del #órtico )"u e'agerada*( se #uedeEn la de!or"ada del #órtico )"u e'agerada*( se #uedeobservar +ue la longitud BC 6a reducido su ta"ao.observar +ue la longitud BC 6a reducido su ta"ao.)2.95 –2.$9


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2$2$

P 5


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?e observa +ue al ca"biar las condiciones geo"étricas de?e observa +ue al ca"biar las condiciones geo"étricas delos "ie"bros ca"bia ta"bién la "agnitud de loslos "ie"bros ca"bia ta"bién la "agnitud de losdes#la&a"ientos reacciones. ?in e"bargo #ara nuestrosdes#la&a"ientos reacciones. ?in e"bargo #ara nuestrose!ectose!ectos de diseode diseo estos ca"bios son "u #e+ueos(estos ca"bios son "u #e+ueos(#r/ctica"ente i"#erce#tibles.#r/ctica"ente i"#erce#tibles.

Obsérvese que en la viga BC la variaciónObsérvese que en la viga BC la variaciónen su longitud es de 2.572-2.567 = 0.005cmen su longitud es de 2.572-2.567 = 0.005cm

Una de!or"ación de


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2020

Es i"#ortante la relación entre las /reas e Inercias +ueEs i"#ortante la relación entre las /reas e Inercias +uetienen los "ie"bros entre sí. G #or su#uesto en "aor otienen los "ie"bros entre sí. G #or su#uesto en "aor o"enor grado("enor grado( toostoos los "ie"bros se de!or"an4los "ie"bros se de!or"an4

?e doblan )de!or"ación #or !le'ión ta"bién #or?e doblan )de!or"ación #or !le'ión ta"bién #orcorte*corte*

?e acortan o se alargan )de!or"ación #or !uer&a?e acortan o se alargan )de!or"ación #or !uer&a

a'ial*.a'ial*.

Por lo general lasPor lo general las de!or"acionesde!or"aciones #rovocadas #or#rovocadas #or la !uer&ala !uer&acortantecortante son insigni!icantes en co"#aración con lasson insigni!icantes en co"#aración con las

de!or"aciones debidas a la !le'ión( salvo #ara cierto ti#ode!or"aciones debidas a la !le'ión( salvo #ara cierto ti#ode estructuras co"o las vigas #ared.de estructuras co"o las vigas #ared. En el caso anterior seEn el caso anterior sedes#reció la de!or"ación #or corte.des#reció la de!or"ación #or corte.



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g g

22

E+uivale a anular el tér"ino t@d' en la !ór"ula de losE+uivale a anular el tér"ino t@d' en la !ór"ula de lostraba,os virtuales .traba,os virtuales .

Igual"ente en otras ocasiones lasIgual"ente en otras ocasiones las de!or"acionesde!or"aciones#rovocadas #or la#rovocadas #or la !uer&a a'ial!uer&a a'ial ta"bién son "uta"bién son "u#e+ueas no se alteran los valores de las solicitaciones#e+ueas no se alteran los valores de las solicitaciones des#la&a"ientos de "anera signi!icativa si no se des#la&a"ientos de "anera signi!icativa si no se

consideran( co"o el e,e"#lo anterior.consideran( co"o el e,e"#lo anterior.

Cuando se usan los #rogra"as co"erciales #ara resolver laCuando se usan los #rogra"as co"erciales #ara resolver laestructura( éstos consideran todas las de!or"aciones +ueestructura( éstos consideran todas las de!or"aciones +ue#uede su!rir la "is"a#uede su!rir la "is"a

?in e"bargo( en la solución "anual de estos #roble"as?in e"bargo( en la solución "anual de estos #roble"as"ientras "enos incógnitas se tengan ( es "/s sencillo el"ientras "enos incógnitas se tengan ( es "/s sencillo el#roceso de c/lculo.#roceso de c/lculo.



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g g

2525

?i el "ie"bro no se de!or"a a'ial"ente?i el "ie"bro no se de!or"a a'ial"ente Area Area ∞

Hue el "ie"bro no se dobla( es rígidoHue el "ie"bro no se dobla( es rígido Inercia Inercia ∞

Estas su#osiciones )des#reciar dic6as de!or"aciones*+ueEstas su#osiciones )des#reciar dic6as de!or"aciones*+uesi"#li!i+uen el c/lculo( e+uivalen a decir4si"#li!i+uen el c/lculo( e+uivalen a decir4

Por esa ra&ónPor esa ra&ón es usuales usual traba,ar con ele"entos en los +uetraba,ar con ele"entos en los +uesese des#recie la de!or"ación a'ialdes#recie la de!or"ación a'ial( o( o se des#reciese des#recie lala

de!or"ación #or !le'iónde!or"ación #or !le'ión ( ade"/s de la de corte( #or +ue( ade"/s de la de corte( #or +uese tiene la certe&a +ue dic6as de!or"aciones no ser/n dese tiene la certe&a +ue dic6as de!or"aciones no ser/n dei"#ortancia en los resultados !inales del c/lculo dei"#ortancia en los resultados !inales del c/lculo dedes#la&a"ientos solicitaciones(des#la&a"ientos solicitaciones(



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g g

2929

Con estas ideasCon estas ideasrecorde"os conce#tosrecorde"os conce#tos

i"#ortantesi"#ortantes



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?i bien no e'isten estructuras inde!or"ables en la vida?i bien no e'isten estructuras inde!or"ables en la vidareal en ocasiones se #ueden ignorar ciertasreal en ocasiones se #ueden ignorar ciertasde!or"aciones debido a +ue no considerarlas no a!ectade!or"aciones debido a +ue no considerarlas no a!ectanotable"ente el resultado.notable"ente el resultado.Ejemplo:Ejemplo:

?i la #ared +ue se "uestra se considera rígida( al a#licarle una

!uer&a sobre ella( no se a!ectar/ su #osición inicial.

DD

3


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?i al contrario se su#one no rígida( co"o esen realidad( ese ele"ento se de!or"ar/

sus #untos tendr/n #osiciones di!erentes alas originales.

DD

3131

;esolver la estructura signi!ica conocer co"o las !uer&as e'teriores;esolver la estructura signi!ica conocer co"o las !uer&as e'terioresse re#arten dentro del "ie"bro los e!ectos +ue generan( co"o lasse re#arten dentro del "ie"bro los e!ectos +ue generan( co"o las

de!or"aciones +ue ocasionan des#la&a"ientos en cada uno de susde!or"aciones +ue ocasionan des#la&a"ientos en cada uno de sus#untos#untos..

ara ello se establecer!n las ecuaciones de equilibrio "a

conocidas.#as $uer%as a&licadas no generan movimientode la misma



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?u#óngase una l/"ina rectangular inde!or"able(total"ente rígida.

?u#óngase ta"bién +ue su #osición est/ #er!ecta"entede!inida( #or+ue se conocen todas las coordenadas detodos sus #untos( con res#ecto a un siste"a de e,escartesianos '(

3232



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?on necesarias JA? las coordenadas ) de A( de B( de C ?on necesarias JA? las coordenadas ) de A( de B( de C otros * #ara ubicar la #osición de cual+uier otro #unto de esa otros * #ara ubicar la #osición de cual+uier otro #unto de esa

l/"inaKl/"inaK

Bastaría conocerBastaría conocer sólosólo ... las nuevas coordenadas de B... las nuevas coordenadas de B)'L )'LBB L LB *B *KK

Al des#la&ar la l/"inaAl des#la&ar la l/"ina

3333



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:o:o((

3$3$

#or+ue la l/"ina ta"bién #odría girar#or+ue la l/"ina ta"bién #odría girarade"/s de des#la&arse.ade"/s de des#la&arse.



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Bastaría conocer las coordenadas Bastaría conocer las coordenadas ''BB(( BB ade"/s el ade"/s el/ngulo/ngulo

θ

+ue !or"a la l/"ina con el e,e ' KKK+ue !or"a la l/"ina con el e,e ' KKK

33



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?i?i

Co"o la l/"ina es rígida ( las coordenadas de C se #uedeCo"o la l/"ina es rígida ( las coordenadas de C se #uede

relacionar con las coordenadasrelacionar con las coordenadas de B.de B.

''CC ' 'BB M%cosM%cosθ

CC BB M%senM%senθ

e igual !or"a se deter"inan las de A e igual !or"a se deter"inan las de A

siendo L la longitud BC de la lámina que siempre sesiendo L la longitud BC de la lámina que siempre se

mantiene constantemantiene constante.

3030

Por+uéPor+uéKK



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En este caso ( si en cada instante se conocen lasse conocen lascoordenadas 'coordenadas 'BB ( ( BB el /ngulo el /ngulo θ( se #uede decir +ue

cual+uier #unto de esa l/"inacual+uier #unto de esa l/"ina e'terno o interno tiene unatiene una#osición conocida#osición conocida(

Es decir( basta conocer estas coordenadasbasta conocer estas coordenadas )tres*( #ara

+ue la #osición de cual+uier #unto del siste"a estéde!inido.

a"bién #odrían darse las coordenadas de de A( #ero

no 6acen !alta( a +ue sus valores de#enden de los valores+ue tenga las coordenadas del #unto B.

33



38/62

CJJ;E:AA?CJJ;E:AA?NE:E;A%IOAA? E%NE:E;A%IOAA? E%?I?E=A?I?E=A

3535

%as coordenadas del #unto B el /ngulo%as coordenadas del #unto B el /ngulo θ( son las +ue( son las +uedescriben la #osición del siste"a describen la #osición del siste"a son inde#endientesson inde#endientesentre sí entre sí . ?e lla"an 4. ?e lla"an 4



39/62

?i se 6ubiese elegido A en ve& de B( éstas serían con?i se 6ubiese elegido A en ve& de B( éstas serían conθ

laslas CJJ;E:AA? NE:E;A%IOAA?CJJ;E:AA? NE:E;A%IOAA?. Igual. Igual

an/lisis se 6ace con ó con Can/lisis se 6ace con ó con C

Una ve& de!inidas las coordenadas generali&adas(Una ve& de!inidas las coordenadas generali&adas( laslasotras coordenadasotras coordenadas )las de C( etc.*)las de C( etc.* no sonno soninde#endientesinde#endientes

3939



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El elegir unas u otras( co"o coordenadasEl elegir unas u otras( co"o coordenadas

generali&adas( en realidad solo de#ende de lagenerali&adas( en realidad solo de#ende de laconveniencia en el instante de resolver el #roble"a.conveniencia en el instante de resolver el #roble"a.

%os resultados deber/n ser idénticos #ara cual+uiera%os resultados deber/n ser idénticos #ara cual+uiera

de los casos. G cual+uiera +ue sea la elección( generade los casos. G cual+uiera +ue sea la elección( generauna relación de de#endencia con el resto de lasuna relación de de#endencia con el resto de lascoordenadas de los de"/s #untos.coordenadas de los de"/s #untos.

$


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E,e"#lo de una ecuación de restricción 4E,e"#lo de una ecuación de restricción 4

''CC ' 'BB M % cosM % cos θ

CC BB M % senM % sen θ

%as ecuaciones +ue relacionan las%as ecuaciones +ue relacionan las CJJ;E:AA?CJJ;E:AA?

NE:E;A%IOAA?NE:E;A%IOAA? con lascon las EPE:IE:E?EPE:IE:E? sesella"anlla"an ECUACIJ:E? E ;E?;ICCI:ECUACIJ:E? E ;E?;ICCI:.

L

θ

$1$1



42/62

N;AJ? E %IBE;AN;AJ? E %IBE;A

Es el n-"ero de coordenadas generali&adas +ueEs el n-"ero de coordenadas generali&adas +ue

tiene un siste"a. En el caso anterior 6atiene un siste"a. En el caso anterior 6a trestresgrados de libertadgrados de libertad..

$2$2



43/62

Hué ocurre cuando la Estructura esHué ocurre cuando la Estructura es EDJ;=AB%EEDJ;=AB%EKK

Ga ' no se #uede deter"inar#or las relaciones geo"étricasiniciales de la l/"ina.

Igual ocurre con C

J con cual+uier otro #unto

Cada #unto re+uiere tener sus coordenadas de!inidas aCada #unto re+uiere tener sus coordenadas de!inidas a+ue la de!or"ación debida a la causa +ue sea( di!iere+ue la de!or"ación debida a la causa +ue sea( di!iereseg-n el #unto elegido.seg-n el #unto elegido.

$3$3



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N;AJ? E %IBE;A E: U:N;AJ? E %IBE;A E: U:?I?E=A EDJ;=AB%E 4?I?E=A EDJ;=AB%E 4

ieneiene in!initosin!initos grados de libertad. antos co"ogrados de libertad. antos co"o

#untos del siste"a se +uiera elegir.#untos del siste"a se +uiera elegir.

$$$$



45/62

Có"o se deter"inan las in$initasin$initas

CJJ;E:AA? NE:E;A%IOAA?del e,e"#lo de la !iguraK.... QQQQQQQ

?e si"#li!icar/ el #roble"a dividiendo el siste"a envarias #artes !initas unidas entre sí.

Cada una de estas #artes se le lla"ar/Cada una de estas #artes se le lla"ar/ =IE=B;J ó=IE=B;J ó

E%E=E:JE%E=E:J la unión entre los "ie"bros se la unión entre los "ie"bros sella"ar/lla"ar/ RU:A.RU:A.

$$



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Esta división de los "ie"bros es arbitraria. G de unaEsta división de los "ie"bros es arbitraria. G de una

buena elección de#ende +ue tan sencillo o co"#licadobuena elección de#ende +ue tan sencillo o co"#licado#ueda resolverse.#ueda resolverse.

Una elección4Una elección4

=ie"bro 1

=ie"bro 2

=ie"bro 3

=ie"bro $

=ie"bro

=ie"bro 0

Runtas

6 'iembros (elementos)6 'iembros (elementos)

7 *untas7 *untas

AA

BB

CC EE

DD

NN

$0$0



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Jtra elección4Jtra elección4

=ie"bro 1

=ie"bro 2

Runtas

Jtra elecciónJtra elección

=ie"bro 1=ie"bro 1

=ie"bro 2

=ie"bro 3=ie"bro 3

,untas ,untas

,untas ,untas

2 miembros2 miembros

+ *untas+ *untas

+ miembros+ miembros

, *untas, *untas

AA

BB

CC

AA

BB CC

$$



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Cual+uiera de los anteriores casos es v/lidoCual+uiera de los anteriores casos es v/lido

?in e"bargo( la elección "/s usual venta,osa es?in e"bargo( la elección "/s usual venta,osa esconsiderar ele"entos unidireccionales entre dos ,untas.considerar ele"entos unidireccionales entre dos ,untas.

En cual+uiera de los casos anteriores se cu"#le4En cual+uiera de los casos anteriores se cu"#le4

1*Estructura Ele"entos )"ie"bros* M Runtas1*Estructura Ele"entos )"ie"bros* M Runtas

2*%os ele"entos est/n conectados a través de las Runtas2*%os ele"entos est/n conectados a través de las Runtas

$5$5



49/62

Có"o se de!inen los Nrados de %ibertadNrados de %ibertad en el siste"adividido en "ie"brosK

E% :S=E;J E N;AJ? E %IBE;A EPE:EE% :S=E;J E N;AJ? E %IBE;A EPE:EE% :S=E;J E CJJ;E:AA?E% :S=E;J E CJJ;E:AA?

NE:E;A%IOAA? E: CAA RU:A %IB;E ENE:E;A%IOAA? E: CAA RU:A %IB;E E=J>E;?E.=J>E;?E.

JRJJRJ %A? RU:A? :J ?E CJ:?IE;A: PU:J?4%A? RU:A? :J ?E CJ:?IE;A: PU:J?4

E? U:AE? U:A PEQ$E?A L@MINAPEQ$E?A L@MINA HUE PUEE NI;A; HUE PUEE NI;A;

Por+ué K :o eran in!initosKPor+ué K :o eran in!initosK

$9$9



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?u#óngase en el e,e"#lo la?u#óngase en el e,e"#lo la terceraterceraelecciónelección reali&ada4reali&ada4

res "ie"bros 4 A T AB BCres "ie"bros 4 A T AB BC

Cuatro Runtas4 ( A ( B CCuatro Runtas4 ( A ( B C

%as ,untas C no se #ueden "over #or+ue est/n%as ,untas C no se #ueden "over #or+ue est/nrestringidas sus coordenadas #er"anecen conocidasrestringidas sus coordenadas #er"anecen conocidassie"#re.sie"#re.

Có"o se "ueven A BKCó"o se "ueven A BK


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11

El #unto A( se #uede "over en 'VEl #unto A( se #uede "over en 'V

El #unto A( se #uede "over en VEl #unto A( se #uede "over en VEl #unto A( #uede girar en &VEl #unto A( #uede girar en &V

Igual ocurre en la ,unta BIgual ocurre en la ,unta B

:o e'iste ninguna restricción #ara las "encionadas ,untas.:o e'iste ninguna restricción #ara las "encionadas ,untas.

?in e"bargo( si se des#recia la de!or"ación a'ial en?in e"bargo( si se des#recia la de!or"ación a'ial enel "ie"bro AB( o se dice +ue es rígido a se est/nel "ie"bro AB( o se dice +ue es rígido a se est/nintroduciendo condiciones. introduciendo condiciones. e +ué "anerae +ué "aneraKK



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e#endee#ende 4 co"o sean las restricciones internas4 co"o sean las restricciones internasde los "ie"bros.de los "ie"bros.

Posibilidad nW 1Posibilidad nW 1



Hue alguno de sus "ie"bros sea total"ente inde!or"able. EsHue alguno de sus "ie"bros sea total"ente inde!or"able. Ese+uivalente a su#oner +ue Ie+uivalente a su#oner +ue I ∞ )dos restricciones*)dos restricciones*

Esto es e+uivalente a su#oner +ue la rigide& a'ial es in!inita.Esto es e+uivalente a su#oner +ue la rigide& a'ial es in!inita.

XreaXrea ∞

)una restricción* )una restricción*

%os tres "ie"bros se de!or"an total"ente%os tres "ie"bros se de!or"an total"entesin restricciónsin restricción. )Caso anali&ado*. )Caso anali&ado*

Hue alguno de sus "ie"bros no #ueda de!or"arse a'ial"ente.Hue alguno de sus "ie"bros no #ueda de!or"arse a'ial"ente.

22



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:o e'isten restricciones en los:o e'isten restricciones en los"ie"bros #ara de!or"arse"ie"bros #ara de!or"arse

En este caso las ,untas A B #ueden 4En este caso las ,untas A B #ueden 4

a*a* es#la&arse de "anera +ue los "ie"bros +ue lleganes#la&arse de "anera +ue los "ie"bros +ue llegana ellas #uedan alargarse o acortarse.a ellas #uedan alargarse o acortarse.

b*b* Pueden girarPueden girar

δ''δ

θ

Igual #uede ocurrir con la ,unta BIgual #uede ocurrir con la ,unta B

E,e"#los4E,e"#los4

33



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En los des#la&a"ientos #osibles de las ,untas se observaEn los des#la&a"ientos #osibles de las ,untas se observa+ue en+ue en AA 6a tres #osibilidades de "ovi"iento al igual6a tres #osibilidades de "ovi"iento al igual+ue en B. %as longitudes de A( AB BC ca"bian+ue en B. %as longitudes de A( AB BC ca"biandes#ués de la de!or"ación.des#ués de la de!or"ación.

En este caso 6aEn este caso 6a 0 grados de libertad0 grados de libertad (δ'A'A (( δ'B'B (( δAA (( δBB((θ11 θ22 **

$$



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7a7a una restricciónuna restricción en cada "ie"bro 4en cada "ie"bro 4no #ueden de!or"arse a'ial"enteno #ueden de!or"arse a'ial"ente

1. La junta A no puede entonces moverse hacia arriba ni

hacia abajo porque signi!icar"a alargamiento #acortamiento de $A % no ha% de!ormaci#n axial.

&. La junta B solo puede moverse perpendicular a BC

por la misma raz#n ' no ha% de!ormaci#n axial.

((.) *l miembro AB tampoco se de!orma axialmente.




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%a ,unta AV #uede girar )%a ,unta AV #uede girar )θ11* de "anera inde#endiente* de "anera inde#endiente

%a ,unta BV #uede girar )%a ,unta BV #uede girar )θ22* de "anera inde#endiente* de "anera inde#endiente

%a ,unta AV #uede des#la&arse seg-n%a ,unta AV #uede des#la&arse seg-n δ11

%a ,unta BV #uede des#la&arse seg-n%a ,unta BV #uede des#la&arse seg-n δ22

+erpendiculares +erpendiculares

al miembroal miembro

*n su con!iguraci#n inicial *n su con!iguraci#n inicial

00



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%a ,unta A se #uede des#la&ar 6acia un%a ,unta A se #uede des#la&ar 6acia unlado )#or e,e"#lo a la i&+uierda*lado )#or e,e"#lo a la i&+uierda*

a"bién #uede girara"bién #uede girar

El "ie"bro AB debe ta"biénEl "ie"bro AB debe ta"bién"antener su longitud igual"antener su longitud igual

%a ,unta B se "ueve%a ,unta B se "ueve#er#endicular a BC#er#endicular a BC

G ta"bién giraG ta"bién gira

%a ,unta A se des#la&a a la i&+uierda%a ,unta A se des#la&a a la i&+uierda δ11 #or tanto la#or tanto la ,unta B se des#la&a a la i&+uierda la "is"a cantidad. ,unta B se des#la&a a la i&+uierda la "is"a cantidad.

1

2

3

$

$ des#la&a"ientos K

>ea"os los #osibles des#la&a"ientos>ea"os los #osibles des#la&a"ientos



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El des#la&a"ientoEl des#la&a"iento

δ

22 guarda unaguarda una

relación conrelación conδ11 igual a4igual a4

δ22 δ11 F cosF cos

ConclusiónConclusión δ22 dos com&onentes de des&la%amiento nonoinde&endientesinde &endientes. #uego este sistema solo tiene + grados de

#ibertad ( 6 menos 2 deδ22 )

δ2 BC

)en la estructura)en la estructura

sin de!or"ar*sin de!or"ar*

55



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;E?PUE?A4 grados de libertad.;E?PUE?A4 grados de libertad.

Posibilidad nW $Posibilidad nW $

Considere +ue AB es total"ente rígido) IConsidere +ue AB es total"ente rígido) I ∞* no se* no se

de!or"a a'ial"ente )Ade!or"a a'ial"ente )A ∞ *( #ero A BC se #ueden*( #ero A BC se #uedende!or"ar sin restricción..de!or"ar sin restricción..

;E?PUE?A4 3 grados de libertad.;E?PUE?A4 3 grados de libertad.

99

Considere +ue A BC no tienen ningunaConsidere +ue A BC no tienen ningunarestricción de de!or"ación( "ientras +uerestricción de de!or"ación( "ientras +ueAB no #uede de!or"arse a'ial"ente.AB no #uede de!or"arse a'ial"ente.)Area

∞

I valor !inito *



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Pueden e'istir restricciones de "ie"bros +ue esténPueden e'istir restricciones de "ie"bros +ue esténrelacionadas. E,e"#lo4relacionadas. E,e"#lo4

?i en este caso ning-n "ie"bro #uede de!or"arse?i en este caso ning-n "ie"bro #uede de!or"arsea'ial"ente( #odría decirse +ue 6a tres restricciones 4a'ial"ente( #odría decirse +ue 6a tres restricciones 4una #or "ie"bro.una #or "ie"bro. N.%. 3@1 –3 < KKKKN.%. 3@1 –3 < KKKK

?in e"bargo( la restricción del "ie"bro vertical?in e"bargo( la restricción del "ie"bro verticalsu#erior( no es inde#endiente de la del "ie"brosu#erior( no es inde#endiente de la del "ie"brovertical in!erior. Es la "is"a( es decir una esvertical in!erior. Es la "is"a( es decir una es su#er!luasu#er!lua

Por tanto en este caso 4Por tanto en este caso 4

solo 6a J?solo 6a J? restricciones e!ectivasrestricciones e!ectivas. N.%. 32 1. N.%. 32 1

0


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Articulaciones InternasArticulaciones Internas

Estructura de 0 ele"entos.Estructura de 0 ele"entos.

G 3 ,untas libresG 3 ,untas libres

N . % . E

3 @ 3

M c o n d i

c i ó

n a d i c i o

n a l

N . % . E

3 @ 3

M c o n d i c i ó

n a d i c i o

n a l

/.#.= 0 0101



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11.-EnEn siste"as #lanossiste"as #lanos se #ueden contabili&arse #ueden contabili&ar tres gradostres grados de libertad #or ,unta si no 6a restricciones.de libertad #or ,unta si no 6a restricciones.

CJ:C%U?I:CJ:C%U?I:

22.-EnEn siste"as es#acialessiste"as es#aciales se #ueden contabili&arse #ueden contabili&ar seisseisgradosgrados de libertad #or ,unta si no 6a restricciones.de libertad #or ,unta si no 6a restricciones.

33.-CadaCada restricción interna e!ectivarestricción interna e!ectiva eli"ina grados deeli"ina grados delibertad( a los calculados en 1 )#ara Alibertad( a los calculados en 1 )#ara A ∞* ó en 2 )I* ó en 2 )I ∞**

$$.-Una articulación interna au"enta los grados deUna articulación interna au"enta los grados de

libertad en la ,unta tantas veces co"o ele"entoslibertad en la ,unta tantas veces co"o ele"entosliberados #ara girar e'istan.liberados #ara girar e'istan.

0202

.-Se recomiendaSe recomienda estudiar el problema nº 1 de la guíaestudiar el problema nº 1 de la guía..

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