Transportasi - 1

MODEL TRANSPORTASI

PENDAHULUAN

Bagian ini menyajikan model transportasi dan berbagai variasinya. Sesuai dengan

namanya, model ini berkaitan dengan penentuan : a minimum cost plan for transporting a

single commodity from a number of sources ( e.g. factories) to a number destinations

(e.g. warehouses). Model ini dapat diperluas secara langsung untuk mencakup situasi-

situasi praktis dalam bidang pengendalian persediaan (inventory control), scheduling dam

reservoir levels, and many others.

Model transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linier yang dapat

dipecahkan oleh metoda simpleks biasa, Tetapi, strukturnya yang khusus memungkinkan

pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik transportasi, yang lebih

efesien dalam hal perhitungan.

Karakter khusus dari model ini adalah cenderung membutuhkan sejumlah pembatas dan

variable yang sangat banyak, juga kebanyakan koefisien aij dalam pembatas-

pembatasnya berharga nol, dan sedikit sekali koefisien yang berharga bukan nol terjadi

dalam suatu pola tertentu.

DEFINISI DAN APLIKASI MODEL TRANSPORTASI

Persoalan Transportasi membahas masalah pendistribusian suatu komoditas atau

produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (destination,

demand), dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi.

Ciri-ciri khusus persoalan transportasi ini adalah :

1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu. 2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang

diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.

4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu.

Asumsi dasar dari model ini adalah bahwa biaya transportasi di sebuah rute

tertentu adalah proporsional secara langsung dengan jumlah unit yang dikirim.

Definisi unit transportasi akan bervariasi bergantung pada jenis barang yang dikirim. Misalkan kita dapat membicarakan unit transportasi sebagai setiap balok baja yang

diperlukan untuk membangun jembatan. Atau kita dapat menggunakan beban truk dari

sebuah barang sebagai unit transportasi.

Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut :

Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan.

Transportasi - 2

Sumber Tujuan

a b

.

.

.

. . .

. . .

. .

.

.

Penjelasan model di atas :

Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ai , i =1,2,3,., m Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak bj, j = 1,2,3,.,n Jumalah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j adalah cij

Dengan demikian, maka formulasi LP-nya adalah sebagai berikut :

1. Jika Kebutuhan / Sumber sama dengan Kapasitas / Tujuan :

Fungsi Tujuan : z =

m

i

n

j

ijij XC1 1

Pembatas : (1)

n

j

ijx1

= a i ; i = 1,2,3, ., m.

(2)

n

j

ijx1

= b j ; j = 1,2,3, ., n.

x ij 0.

Jika Kebutuhan Lebih Kecil dari Kapasitas :

Fungsi Tujuan : z =

m

i

n

j

ijij XC1 1

Pembatas : (1)

n

j

ijx1

a i ; i = 1,2,3, ., m.

i = 1 j = 1

j = 2

j = 3

j = n

X11

X12

X1n

i = 2

X21

X22

X2n

i = m

Xm1

Xm2

Xmn

Transportasi - 3

(2)

n

j

ijx1

= b j ; j = 1,2,3, ., n.

x ij 0.

Jika Kebutuhan Lebih Besar dari Kapasias :

Fungsi Tujuan : z =

m

i

n

j

ijij XC1 1

Pembatas : (1)

n

j

ijx1

= a i ; i = 1,2,3, ., m.

(2)

n

j

ijx1

b j ; j = 1,2,3, ., n.

x ij 0.

Dalam persoalan transportasi tidak digunakan tabel simpleks, sebagai ilustrasi jika ada 2

sumber dan 3 tujuan ( m = 2 dan n = 3), maka pemecahannya dilakukan dengan

menggunakan tabel berikut :

Tabel-1 Matriks Persoalan Transportasi

Tujuan (j)

Sumber

(i)

1 2 3 Supply

1

C11

C12

C13

a1

2

C21

C22 C23

a2

Demand b1 b2 b3

Transportasi - 4

KESEIMBANGAN MODEL TRANSPORTASI

Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply (sumber) sama dengan

total demand (tujuan). Dengan kata lain :

ai = bj

Dalam persoalan yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu terpenuhi, atau denga

kata lain, jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada

jumlah yang diminta. Jika hal ini terjadi, maka model persoalannya disebut sebagai

model tidak seimbang (unbalanced). Namun, setiap persoalan transportasi dapat dibuat

seimbang dengan cara memasukkan variable artificial (semu). Jika jumlah demand

melebihi jumlah supply, maka dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply

kekurangan tersebut, yaitu sebanyak j bj i ai. Sebaliknya, jika supply melebihi jumlah demand, maka sibuat suatu tujuan

dummy untuk menyerap kelebihan tersebut, yaitu sebanyak i ai j bj. Ongkos transportasi per unit (cij) dari sumber dummy ke seluruh tujuan adalah

nol. Hal ini dapat dipahami karena pada kenyataannya dari sumber dummy tidak terjadi

pengiriman. Begitu pula dengan ongkos transportasi per unit (cij) dari semua sumber ke

tujuan dummy adalah nol.

METODE PEMECAHAN PERSOALAN TRANSPORTASI

Untuk memecahkan persoalan transportasi harus dilakukan langkah-langkah sebagai

berikut :

1. Tentukan Basic Feasible Solution 2. Tentukan entering variable dari variable-variabel nonbasis. Bila semua variable sudah

memenuhi kondisi optimum, STOP. Bila belum, lanjutkan ke langkah 3.

3. Tentukan leaving variable diantara variable-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi baru. Kembali ke langkah 2.

Transportasi - 5

Langkah 1 : Menentukan Basic Feasible Solution

Ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menentukan BFS, atara lain :

a. Metode pojok kiri atas-pojok kanan bawah (northwest corner) Mulai dari pojok kiri atas, alokasikan sebesar X11 = min (a1, b1), artinya : jika b1 < a1 maka X11 = b1 ; jika b1 > a1 maka X11 = a1. Kalau X11 = b1, maka selanjutnya yang

mendapat giliran untuk dialokasikan adalah X12 dan seterusnya.

b. Metode ongkos terkecil (least cost) Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengalokasian pada tempat yang

mempunyai satuan ongkos terkecil.

c. Metode Pendekatan Vogel (Vogels approximation method, VAM) Cara ini merupakan cara yang terbaik disbandingkan dengan kedua cara di atas.

Langkah-langkah pengerjaannya adalah :

1. Hitung penalty untuk tiap kolom dan baris dengan jalan mengurangkan elemen ongkos terkecil dari kedua terkecil.

2. Selidiki kolom/baris dengan penalty terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin pada variable dengan ongkos terkecil, sesuaikan supply dengan demand, kemudian

tandai kolom atau baris yang sudah terpenuhi. Kalau ada 2 buah kolom/baris yang

tepenuhi secara simultan, pilih salah satu untuk ditandai, sehingga suplly/demand

pada baris/kolom dengan suplly/demand sama dengan nol, tidak akan terbawa lagi

dalam perhitungan penalty berikutnya.

3. a. Bila tinggal 1 kolom/baris yang belum ditandai , STOP. b. Bila tinggal 1 kolom/baris dengan suplly/demand positif yang belum ditandai,

tentukan variable basis pada kolom/baris dengan cara ongkos terkecil.

c. Bila semua kolom/baris belum ditandai mempunyai suplly/demand sama dengan nol, tentukan variable-variabel basis yang berharga nol dengan ongkos

terkecil. Kemudian STOP.

d. Jika 3a, b dan c tidak terjadi, hitung kembali penalty untuk kolom/baris yang belum ditandai. Kembali ke nomor 2.

Contoh :

A. Metode Pojok Kiri Atas-Pojok Kanan Bawah (Northwest Corner)

Tujuan (j)

Sumber

(i)

1 2 3 Supply

1

C11

C12

C13

a1

2

C21

C22 C23

a2

Demand b1 b2 b3

Transportasi - 6

Contoh masalah transportasi:

1. Metode NWC

BFS (Basis) : X11=50; X12=40; X22=60; X32=10; X33=40

Biaya yang dikeluarkan : Z = (50 . 20) + (40 . 5) +( 60 . 20) + (10.10) + (40.19) = 3260

Transportasi - 7

2. Metode biaya terkecil

Basis : X12=90; X21=20; X23=40; X31=30; X32=20

Biaya yang dikeluarkan : (90 . 5) + (20 . 15) + (40 . 10) + (30 . 25) + (20 . 10) = 2400

3. Metode VAM Metode VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan. Langkah metode VAM: 1. Cari perbedaan dua biaya terkecil, yaitu terkecil pertama dan kedua (kolom

dan baris) 2. Pilih perbedaan terbesar antara baris dan kolom 3. Pilih biaya terendah 4. Isi sebanyak mungkin yang bisa dilakukan 5. Hilangkan baris / kolom yang terisi penuh 6. Ulangi langkah 1-5 sampai semua baris dan kolom seluruhnya teralokasikan.

Transportasi - 8

Transportasi - 9

Transportasi - 10

BFS (Basis) : X12=60; X13=30: X21=50: X23=10; X32=50 Setelah terisi semua, maka biaya transportasinya yang harus dibayar adalah 60(Rp 5,-) + 30(Rp 8,-) + 50(Rp 15,-) + 50(Rp 15,-) + 10(Rp 10,-) + 50(Rp 10,-) = Rp 1.890,-

Langkah 2 : Tentukan entering variable dan leaving variable

Metode Multiplier

Untuk tiap baris i dari table transformasi dikenal suatu multiplier ui, dan untuk kolom j

disebut multiplier vj sehingga untuk tiap variable basis xij di dapat persamaan :

ui + vj + cij Dari persamaan di atas kita dapat menghitung berapa penurunan ongkos transportasi per

unit untuk tiap varaibel nonbasis xij sebagai berikut :

cij = xij - ui - vj

Kriteria entering variable yaitu variable non basis yang memberikan penurunan ongkos

yang terbesar ( c paling negatif).

Kriteria leaving variable yaitu variable-variabel sudut loop yang bertanda - yang

nilainya paling kecil. Loop tersebut berawal dan berakhir pada variable nonbasis, dimana

tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh varaibel-variabel basis

dalam table transportasi.

Transportasi - 11

Contoh soal 1:

Sebuah perusahaan mempunyai warehouse di lokasi A, B dan C dengan kapasitas

berturut-turut 45, 60 dan 30 ton per hari. Daerah pemasarannya berada di lokasi X, Y dan

Z yang masing-masing mempunyai demand sebesar 25, 50 dan 40 ton sehari. Ongkos

transportasi dari masing-masing warehouse ke daerah pemasaran adalah sebagai berikut :

A ke X = $ 15 ; A ke Y = $ 13; A ke Z = $ 25

B ke X = $ 30 ; B ke Y = $ 10; B ke Z = $ 2

C ke X = $ 40 ; C ke Y = $ 35; C ke Z = $ 45

Pertanyaan :

1. Dengan memformulasikan persoalan di atas sebagai persaoalan transportasi, maka tentukan BFS dengan metode Northwest Corner, serta hitung total ongkosnya !

2. Apakah solusinya sudah optimal ? jika ya, mengapa ? jika tidak, bagaimana solusi optimalnya serta hitung total ongkosnya ?

Contoh soal 2:

Sebuah perusahaan memproduksi tepung tapioca, mempunyai 3 pabrik yang berlokasi di

Cianjur, Bandung, dan Cirebon, dan masing-masing mempunyai kapasitas produksi 45

ton, 30 ton, dan 10 ton perbulan. Tepung tapioca tersebut dipasarkan di 3 lokasi utama,

yaitu: Jakarta, Tasikmalaya, dan Bandung yang masing-masing membutuhkan 20 ton, 35

ton, dan 35 ton perbulan. Ongkos transportasi per ton (US$) dari Cianjur-Jakarta = 4,

Cianjur-Tasik = 8, Cianjur-Bandung = 13, Bandung-Jakarta = 18, Bandung-Tasik = 10,

Bandung-Bandung = 5, Cirebon-Jakarta = 12, Cirebon-Tasik = 2, Cirebon-Bandung = 6.

Pertanyaan:

a) Tentukan BFS dengan metode NWC, serta hitung total costnya

b) Apakah solusi sudah optimal? Jika ya mengapa? Jika tidak carilah solusi optimalnya

Jawaban:

Transportasi - 12

Matriks transportasi

To

From

V1 = 4 V2 = 8 V3 = 3

Jk Ts Bd Suply

U1 = 0 Cj 4

20

8

25

13

45

U2 = 2 Bd 18

10

(-) 10

5

20 (+) 30

U3 = 3 Cb 12

2

(+) X32

6

10 (-) 10

U4 = -3 Dummy 0

0

0

5 5

Demand 20 35 35 90

BFS dengan metode NWC

XB (basis) : X11 = 20 X33 = 10

X12 = 25 X43 = 5

X22 = 10

X23 = 20

a) TC = 20(4) + 25(8) + 10(10) + 20(5) + 10(6) + 5(0)

= 540

Cari entering variable (EV)

Kriteria Entering Variabel yaitu XN (variable non basis) dengan nilai paling negative.

= penurunan ongkos transportasi per unit.

Mencari dengan metode Multiplier (U dan V) diawal persoalan.

Definisikan U1 = 0

XB (basis) : X11 = U1 + V1 = C11 0 + V1 = 4 V1 = 4

X12 = U1 + V2 = C12 0 + V2 = 8 V2 = 8

X22 = U2 + V2 = C22 U2 + 8 = 10 U2 = 2

X23 = U2 + V3 = C23 2 + V3 = 5 V3 = 3

X33 = U3 + V3 = C33 U3 + 3 = 6 U3 = 3

Transportasi - 13

X43 = U4 + V3 = C43 U4 + 3 = 0 U4 = -3

XN (non basis) : X13 : 13 = C13 U1 V3

= 13 0 3 = 10

X21 : 21 = C21 U2 V1

= 18 2 4 = 12

X31 : 31 = C31 U3 V1

= 12 3 4 = 5

X32 : 32 = C32 U3 V2

= 2 3 8 = -9

X41 : 41 = C41 U4 V1

= 0 (-3) 4 = -1

X42 : 42 = C42 U4 V2

= 0 (-3) 8 = -5

Karena 32 paling negative, sehingga X32 terpilih sebagai EV.

Cari Leaving Variabel (LV)

Buat loop (putaran) yang dimulai dari entering variable dengan titik-titik pojok loop

adalah variable basis (XB)

Criteria LV yaitu sudut loop bertanda negative (-) dengan nilai XB paling kecil.

Sehingga X22 atau X33 menjadi LV, missal pilih LV: X22

To

From

V1 = 4 V2 = 8 V3 = 12

Jk Ts Bd Suply

U1 = 0 Cj 4

20

8

25

13

45

U2 = -7 Bd 18

10

5

30 30

U3 = -6 Cb 12

2

10

6

0 10

U4 = -12 Dummy 0

0

0

5 5

Demand 20 35 35 90

Transportasi - 14

Cari U dan V

XB : X11 V1 = 4

X12 V2 = 8

X32 U3 = -6

X33 V3 = 12

X23 U2 = -7

X43 U4= -12

Cari

XN : X13 : 13 = 13 0 12 = 1

X21 : 21 = 18 (-7) 8 = 21

X22 : 22 = 10 (-7) 8 = 9

X31 : 31 = 12 (-6) 4 = 14

X41 : 41 = 0 (-12) 4 = 8

X42 : 42 = 0 (-12) 8 = 4

b) Karena semua sudah positif maka solusi sudah optimal

Solusi optimal : X11 = 20, X12 = 25, X23 = 30, X32 = 10, X43 = 5

Total ongkos transportasi = 20(4) + 25(8) + 30(5) + 10(2) + 5(0)

= 450

Atau TC = 540 9(10) = 450