5 a) Les Similitudes

8/9/2019 5 a) Les Similitudes

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Introductions aux similitudes du plan

Pdsigne le plan habituel, les points sont les lments de P.

A et B tant 2 points du plan, AB dsigne la distance de A B : AB= ||AB

||

I Applications du plan vers lui-mme

1) Applications et transformations du plan

fest une application du plan Pvers lui mme signifie que tout point M du plan Pon associe

parfun seul point Mdu plan P ; on notef(M) ce point.

Si de plus pour tout point N de P, il existe un seul point M de P tel quef(M) = N,fest une

bijection de P vers P: on dit quefest une transformation du plan P .

2) Les similitudes planes

a) Dfinition

Soit kun rel strictement positif et soitfune application du plan vers lui-mme.

Lorsque pour tout couple de points (M, N) du plan, on a f(M)f(N) = kMN, on dit que

f multiple les distances par k et quefest une similitude de rapport k.

b) Exemples

l tant un rel non nul, les homothties de rapport l sont des similitudes de rapport |l|.

3) Les similitudes de rapport 1

a) Dfinition des isomtries

Soitfune application du plan vers lui-mme.

Lorsque pour tout couple de points (M, N) du plan, on a f(M)f(N) = MN, on dit que

f conserve les distances et quefest une isomtrie.

b) Consquence de la dfinition

Les isomtries sont les similitudes de rapport 1.

c) ExemplesId, les translations, les rotations et les symtries axiales sont des isomtries donc des

similitudes de rapport 1 ; les symtries centrales qui sont les rotations dangle plat et qui sont

les homothties de rapport -1 en sont un cas particulier.


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II Premires proprits des similitudesSoitfune similitude du plan P de rapport k( k ]0, +[) .Dans cette partie, M tant un pont quelconque du plan, nous noterons Mpour limage de ce

point M parf.

1 Effet sur lalignement de points, sur les milieux

ThormeSi A, B et C sont 3 points aligns dans cet ordre, alors A, B Et C sont aligns dans le

mme ordre. En particulier si B est le milieu de (A, C), B est le milieu de (A, B).

Dmonstration C AB B C

Aa)A, B et C sont aligns dans cet ordre AB + BC = AC

kAB + kBC = kACAB + BC= ACA, B et C sont aligns dans cet ordre

Finalement, on a lquivalence :A, B et C sont aligns dans cet ordre A, B et C sont aligns dans cet ordre

b) On va utiliser lquivalence prcdente :B est le milieu de AC A, B et C sont aligns dans cet ordre et AB = BC

A, B et C sont aligns dans cet ordre et kAB = kBC A, B et C sont aligns dans cet ordre et AB = BC

B est le milieu de ACFinalement on a lquivalence :B est le milieu de AC B est le milieu de AC

c) Lnonc du thorme est prouv par les deux quivalences obtenues en a) et b).

2 Effet sur les galits de vecteursnonc

Si A,B, C et D sont 4 points tels que CDAB alors D'C'B'A' .

DmonstrationA B C A

O

C D O

D B

On va utiliser la dernire quivalence vue dans la dmonstration du paragraphe prcdent.Soit O le milieu de (A, D), on sait que O est le milieu de (A,D).


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CDAB O est le milieu de (B, C) O est le milieu de (B, C) D'C'B'A'

3 Effet sur le produit scalaire

Pour tout triplet A, B et C du plan, ACABC'A'B'A' 2 k .

Do AB AC AB AC

Dmonstration

Elle rsulte de lexpression du produit scalaire :

)BCACAB(2

1ACAB

222 ; )C'B'C'A'B'A'(

2

1C'A'B'A'

222 .

Nous avons : AB = kAB et AC = kAC do AB2 = k2AB et AC2 = k2AC2 alors

)BCACAB(2

1

C'A'B'A'222

kkk )BCACAB(2

1

222

k do

ABAC= k2 ABAC o k20 et ainsiABAC= 0 ABAC = 0

4 Effet sur les angles gomtriquesPour tout triplet A, B et C du plan tel que AB et AC, on a lgalit des angles gomtriquesBAC et BAC.

DmonstrationSoit et les mesures dans [0 ; ] respectivement des angles gomtriques BAC etBAC.ABAC= k2 ABAC cela donne ABAC cos = k2ABAC cos d'o

kAB.kAC .cos = k2ABAC cos . Comme k,AB etAC sont des rels non nuls,cos = cos . o et sont dans [0 ; ] do et sont gaux.

5 Effet sur un repre orthogonal, sur les coordonnes dun point, dun vecteur

On suppose que les points O,I et J dfinissent un repre orthogonal dorigine O, R= (O, ), ji

o ji

OJetOI .

OI=kOI et OJ = kOJ , langle IOJ est un angle droit comme IOJ ; les points O, I et Jdfinissent un repre orthogonal dorigine O, R= (O, )',' ji

o 'J'O'etI'O'' ji

.

O

JM

O I I M J


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ThormeAvecx ety rels :a) Soit un point M de coordonnesx ety dans R, M a alors les mmes coordonnesx etydans le repre R.

b) Soit 2 points A et B du plan tels que jyix

AB , on a encore jyix

B'A' .

Dmonstration

On a .OM jyix

Soitx ety les coordonnes de M dans le repre orthogonal R : ''''M'O' jyix

.

OIOMod'0etOIio)(OM xiijijyixijyixi

OJOMod'OJet0o)(OM yjjjijyjixjjyixj

De la mme faon I'O'''M'O' xi

et J'O'''M'O' yj

o OI = kOI et OJ = kOJ,

ainsi 'M'O' i

=x k2 OI2 et 'M'O' j

=yk2 OJ2.

On a vu aussi que 'M'O' i

= k2OM i

et 'M'O' j

= k2 j

OM , cela donne :x k2 OI2 = k2x OI2 etyk2 OJ2 = k2y OJ2.Comme k2, OI2 et OJ2 sont non nuls, aprs simplification on obtient :x=x ety=y.La partie a) du thorme a t dmontre.

b) On a : jyix

AB . Soit le point M du plan de coordonnesx et y dans R, il est tel que

jyix

OM , soit OM= AB . On sait daprs le paragraphe 2 que M'O' = B'A' .Comme daprs la partie a) du thorme qui vient dtre dmontre, on a bien ''M'O' jyix

,

on obtient B'A' = '' jyix

.La partie b) du thorme a t dmontre.

ThormeN tant un point quelconque du plan, il existe un seul point M du plan tel quef(M) = N.

fest ainsi une transformation du plan P .

Dmonstration : SoitXet Yles cordonnes du point N du plan dans le repre R.M tant aussi un point quelconque du plan P , soitx et y les coordonnes de M dans le repreR. On sait que M=f(M) est le point du plan de coordonnesx ety dans le repre R, dolquivalence :f(M) = N (x=Xety=Y).Il en rsulte que le seul point M du plan tel que f(M) = N est le point de coordonnesXet Ydans R. Lnonc prcdent a bien t dmontr.


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6 Effets sur les cercles, les barycentres

a) Limage du cercle (C) de centre et de rayon r(avec rdans +*) est le cercle (C) de

centre =f() et de rayon kr.

Dmonstration

a) Pour tout M de (C),f(f(M) = kkrsoit M= krdo M(C).

b) Rciproquement : Pour tout N de (C),ftant une transformation du plan, soit le point M

tel que M =f(M) = N.

On a k r= N= M o M= kainsi k r= ksoit r= d'o

M (C) et N=f(M).

Conclusion : On a dmontr que (C) est lensemble de tous les pointsf(M) o M (C) ; (C)

est limage de (C) parf.

b) En faisant intervenir les cordonnes de points dans des repres orthogonaux (voir le

paragraphe prcdent), on montre que :

f conserve les barycentres de points (avec les mmes coefficients).

En particulier, limage dun segment parfest un segment, limage dune droite parfest une

droite.


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Oprations sur les similitudes du plan

Pdsigne le plan habituel, les points sont les lments de P.

A et B tant 2 points du plan, AB dsigne la distance de A B : AB= ||AB

||

1) Composition dapplications du plan vers lui-mme

g et h tant 2 applications du plan P vers lui-mme, la compose h suivie de g note gh

est lapplication du plan P vers lui-mme dfinie par : Pour tout point M, gh (M) = g(h(M)).

Compositions de similitudes

Sifet g sont 2 similitudes du plan de rapport ket l respectivement,fg est une similitude de

rapport kl.

Dmonstration : Pour tout couple (M, N) de points du plan, g(M)g(N) = l MN etf(g(M))f(g(N)) = kg(M)g(N) dof(g(M))f(g(N)) = k l MN soit

fg(M)fg(N) = kl MN.

2) Lidentit

Lapplication qui chaque point du plan associe lui-mme est appel la transformation

identit et est not id : Pour tout point M, id(M) = M.

On peut vrifier que pour toute applicationfde P,fid =f = idf.

La translation de vecteur nul, lhomothtie de rapport 1, toute rotation dangle nul sontgales la transformation identit.

3) Transformation rciproque

a) Dfinition et proprit gnrales

Soitfune transformation du plan,

f-1

est lapplication du plan P vers lui-mme qui tout point N du plan associe le seul point

M du plan tel quef(M)=N.

On dit quef-1

est lapplication rciproque defet on a lquivalence suivante pour tout couple

(M, N) de points du plan :f(M)=N M =f-1(N).

Ainsi pour tout point M du plan, le point N du plan dfini par N=f(M) est le point N du plan

tel quef-1

(N)= M (ce point N est unique) ; f-1

est aussi une transformation du plan etfest

aussi lapplication rciproque def.

On peut vrifier encore que sifet g sont deux applications du plan vers lui-mme,

fest une transformation du plan du plan dapplication rciproque g si et seulement si :

g f= id =fg.

b) Cas des similitudes

Sifest une similitude du plan de rapport k( avec kdans +*),fest une transformation du plandapplication rciproque une similitude de rapport 1/k.


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Dmonstration : On a vu quefest une transformation du plan.

Pour tout couple de points (M, N) du plan, soit M1 =f-1

(M) et N1 =f-1

(N).

ftant une similitude du plan de rapport k,f(M1)f(N1) = kM1N1, soit : MN = kf-1

(M) f-1

(N)

o 0< k, do (1/ k) MN = f-1(M) f-1(N).

Cest la preuve quef-1

est une similitude de rapport 1/k.

c) Quelques exemples

La transformation rciproque dune translation de vecteur v

est une translation de vecteur - v

.

La transformation rciproque dune rotation est une rotation de mme centre dangle oppos.

La transformation rciproque dune symtrie axiale est elle mme.

La transformation rciproque dune homothtie de rapport kest une homothtie de mme

centre et de rapport 1/k.

c) Associativit

Sif, g et h sont des applications du plan vers lui-mme,f (gh)=(fg) h.

Dmonstration

f, (gh), (fg), h sont des applications du plan vers lui-mme, il en est de mme de

f (gh) et (fg) h.

Pour tout point M du plan,

f (gh) (M) =f[ gh (M)]=f( g (h (M)) et (fg) h (M) = (fg) ( h(M)) =f(g(h(M)),

de cette faon :f (gh) (M) = (fg) h (M).

Cest la preuve quef (gh)=(fg) h.


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criture complexe dune similitudeLe plan P est muni du repre orthonorm direct R = (O, ji

, )dorigine O, dfini par les 3

points (O, I, J) : ji

OJetOI . chaque point ou vecteur est associ un seul complexe : laffixe de ce point ou vecteur.

I tablissement de lcriture complexe dune similitude

1 Deux exemples fondamentauxa et b 2 complexes tels que a0.

fest lapplication du plan P vers lui-mme qui tout point M daffixez associe le point Mdaffixeztel quez=az+b.g est lapplication du plan P vers lui-mme qui tout point M daffixez associe le point Mdaffixeztel quez=a z+b.

fet g sont alors deux similitudes du plan de rapport |a|.

Dmonstration, par exemple pour g

Soit 2 points quelconques M1 et M2du plan daffixes respectivementz1 etz2.

M1 = g(M1) et M2 = g(M2) ont respectivement pour affixesz1etz2.M1M2 a pour affixez2z1do M1M2= |z2z1|.M1M2 a pour affixez2z1do M1M2= |z2z1|.

z2z1= a z2+b(a z1+b) = a(z2z1) = a(z2z1) do |z2z1| = |a| |z2z1| soit|z2z1| = |a| |z2z1| ; cela donne M1M2 = |a| M1M2 .

2 RciproqueThorme

Soitfune similitude du plan de rapport k(k*+).Il existe alors un complexe a non nul de module ket un complexe btel que lon se trouve dansun des deux cas suivants : 1er cas : fest lapplication du plan P vers lui-mme qui tout point M daffixez

associe le point Mdaffixeztel quez=az+b.La relationz=az+b est appele lcriture complexe de la similitudef.

2me cas :fest lapplication du plan P vers lui-mme qui tout point M daffixezassocie le point Mdaffixeztel quez=a z+b.La relationz=a z+b est appele lcriture complexe de la similitudef.

Dmonstration

Pour tout M du plan, on note M son image parf.


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Soit 'IO''i

et 'JO''j

: R = (O, )',' ji

est un repre orthogonal du plan et les vecteurs

'et' ji

ont pour norme k1 = k, 1 tant la norme des vecteurs ji

OJetOI .

1er cas : langle orient ( 'i

, 'j

) est droit direct

M

'j

x

y

/ 2'

i

O i

j

y M

Oi

x

'i

a pour norme k, soit une mesure de langle orient ( i

, 'i

) : 'i

a ainsi pour affixe a, lecomplexe de module ket dargument : a = k ei

'j

a pour norme ket / 2 est une mesure de langle orient ( i

, 'j

) : 'j

a pour affixe le

complexe de module ket dargument / 2, gal k ei(+/2) = k eiei/2 = ik eiiaSoit blaffixe de O.

Pour tout point M du plan,soitzlaffixe de M : z =x + iy avecx ety rels,

soitzlaffixe de M,zest aussi laffixe du vecteur OM'.

x ety sont les coordonnes de M dans le repre R, on sait aussi quex ety sont aussi lescoordonnes de M =f(M) dans le repre R.

On a ''OO'M'O'OO'OM' jyix

o best laffixe du vecteur OO' , aest laffixe du

vecteur 'i

et iaest laffixe du vecteur 'j

.Lgalit vectorielle prcdente se traduit parz= b +xa+yia , soitz= b + a(x+ iy), soitencorez= b + az.

On est dans le cas ofest lapplication du plan vers lui-mme qui tout point M daffixezassocie le point M daffixeztel quez= az + b.


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2me cas : langle orient ( 'i

, 'j

) est droit indirect

x

'i

O i

Mj

-

y M y

Oi

x 'j

'i

a pour norme k, soit une mesure de langle orient ( i

, 'i

) : 'i

a ainsi pour affixe le

complexe de module ket dargument : a = k ei

'j

a pour norme ket / 2 est une mesure de langle orient ( i

, 'j

) : 'j

a pour affixele complexe de module ket dargument / 2, gal k ei(/2) = k eie -i/2 = -ik ei-iaSoit blaffixe de O.

Pour tout point M du plan,soitzlaffixe de M : z =x + iy avecx ety rels,

soitzlaffixe de M,zest aussi laffixe du vecteur OM'.

x ety sont les coordonnes de M dans le repre R, on sait aussi quex ety sont aussi lescoordonnes de M =f(M) dans le repre R.

On a ''OO'M'O'OO'OM' jyix

o best laffixe du vecteur OO' , aest laffixe du

vecteur 'i

et -ia est laffixe du vecteur 'j

.Lgalit vectorielle prcdente se traduit parz= b +xa+y(- ia) , soitz= b + a(xiy), soitencorez= b + a z

On est dans le cas ofest lapplication du plan vers lui-mme qui tout point M daffixezassocie le point M daffixeztel quez= a z + b.


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II Classification des similitudes

Pour tout point M du plan :

On notezM pour laffixe de M ,

Pour tout vecteur v

du plan, on notev

z pour laffixe de v

; A et B tant 2 points du plan, on

noteAB

z pour laffixe du vecteur AB .

1 Classificationpar lcriture complexe

Soitfune similitude du plan.

Lorsque son criture complexe estz=az+b, avec a* et b, on dit quefest unesimilitude directe.

Lorsque son criture complexe estz=a z+b, avec a* et b, on dit quefest unesimilitude indirecte.

2 Effet sur les angles orients

Soit fune similitude du plan. Pour tout point M, soit M=f(M).

Soit 4 point du plan A, B, C et D tels que AB et CD.On sait que AB et CD.

Thorme

Lorsquefest une similitude directe, langle orient )D'C',B'A'( est gal langle orient

)CD,AB( .

On dit quefconserve les angles orients.

Lorsquefest une similitude indirecte, langle orient )D'C',B'A'( est gal loppos de

langle orient )CD,AB( .

On dit que ftransforme les angles orients en leur oppos.

Dmonstration

Soit un argument du complexe

AB

CD

z

z

. On sait que est aussi une mesure de langle

orient )CD,AB( .

Cas ofest une similitude directe

Soit a* et btels quez= az + bsoit lcriture complexe def.On a bzazbzazbzazbzaz DD'CC'BB'AA' ;;; et ainsi

)( CDC'D' zzazz et )( ABA'B' zzazz doAB

CD

A'B'

C'D'

zz

zz

zz

zz

soit

AB

CD

B'A'

D'C'

z

z

z

z .


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est alors aussi un argument de

B'A'

D'C'

z

z

donc une mesure de langle orient )D'C',B'A'( .

Finalement les angles orients )D'C',B'A'( et )CD,AB( , qui ont donc une mme mesure,

sont gaux.

Cas ofest une similitude indirecte

Soit a* et btels quez= a z + bsoit lcriture complexe def.On a bzazbzazbzazbzaz DD'CC'BB'AA' ;;; et ainsi

)( CDC'D' zzazz et )( ABA'B' zzazz do )(AB

CD

AB

D

A'B'

C'D'

zz

zz

zz

zz

zz

zzC

,

soit : )(

AB

CD

B'A'

D'C'

z

z

z

z .

-est alors un argument de

B'A'

D'C'

z

z

donc une mesure de langle orient )D'C',B'A'( alors que

est une mesure de langle orient )CD,AB( .

Alors les 2 angles orients )CD,AB( et )D'C',B'A'( sont opposs.

3 Classification gomtrique

a) Daprs le paragraphe prcdent, on sait que :

Les similitudes du plan qui conservent les angles orients sont les similitudes directes ; lessimilitudes du plan qui transforment les angles orients en leur oppos sont les similitudes

indirectes.

En considrant aussi laction des similitudes sur les angles orients du plan, on peut vrifier

que :

La composition de 2 similitudes directes ou de 2 similitudes indirectes fournit une similitude

directe du plan.

La composition dans nimporte quel ordre dune similitude directe et dune similitude

indirecte fournit une similitude indirecte du plan.

b) Lien entre similitudes directes et indirectes

Soit s une symtrie axiale (symtrie par rapport une droite du plan) : On sait que s est une

similitude indirecte de rapport 1 et ss = Id

Soitfune similitude indirecte du plan, on sait quef1 = sfetf2 =fs sont 2 similitudes

directes du plan. Dautre part sf1 = s(sf) =(ss)f= Idf=fet

f2s= (fs)s=f(ss) =fId=f.

Finalement s tant une symtrie axiale, pour toute similitude indirectefdu plan, il existe deux

similitudes directesf1 etf2 telles quef= sf1 =f2s,.


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Figure du paragraphe II 2

A

C

B

C D

A

j

D

O i

B

Rappels concernant les arguments

Les arguments du complexe

AB

CD

z

zsont aussi les mesures de langle orient )CD,AB( .

Les arguments du complexe

B'A'

D'C'

z

zsont aussi les mesures de langle orient )D'C',B'A'( .


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Exercice

Soit le point A daffixe 1 et hlhomothtie de centre A et de rapport 2 ; soit rla rotation de

centre Oet dangle de mesure

1) Donner l'criture complexe des transformations h et r.

2) Soitf= hr. Trouver lcriture complexe de la transformationf.3) Soit g = rh. Trouver lcriture complexe de la transformation g.

4) Les transformationsfet g sont-elles les mmes ?

-----------------------------------------------------------------

Rsolution

h et rsont deux similitudes directes du plan de rapport 2 et 1 respectivement, en les

composant dans nimporte quel ordre, on obtient des similitudes directes de rapport 2.

1) a) On sait que h a pour criture complexe z= 2(z1)+1 soit z=2z1.

b) On sait que ra pour criture complexe z=ei

z soit z=i z.

2) Pour tout point M daffixez,

soitz1laffixe du point r(M)=M1 :z1 = iz et soitz2laffixe du point M2 = h(M1)=h(r(M)) :

z2 = 2z11 soitz2 = 2iz1.

f=hrest lapplication du plan vers lui-mme qui tout point M daffixez associe le point

M2daffixez2 avecz2 = 2iz1.

Lcriture complexe defest z=2iz1.


soitz3laffixe du point h(M)=M3 :z3 = 2z1 et soitz4laffixe du point M4 = r(M3)=r(h(M)) :z4 = iz3 soitz4 = 2izi.

g=rh est lapplication du plan vers lui-mme qui tout point M daffixez associe le point

M4daffixez4 avecz4 = 2izi.

Lcriture complexe de g est z=2izi.

4) Pour tout point M du plan daffixez,-1 et i tant distincts, 2iz1 2izi : Les affixes des 2 pointsf(M) et g(M) ne sont pas les

mmes do f(M) g(M) .

Les similitudes du planfet g ne sont pas les mmes.

Dans cet exemple, on a hrrh .

r(M) h(M)

j

M

O i


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4 Une application de la classification

Exercice

Soitf la rflexion daxe la droite la droite dquationy =x/2 + 5/4.

a) Reprsenter la droite

b) Donner lcriture complexe def.

________________________________________Rsolution

a)x/2 + 5/4 = 0 pourx= -4

52= -

2

5: contient le point A( -

2

5; 0).

0/2+5/4 = 5/4 : contient le point B( 0 ;4

5).

B

j

A O i

La droite est la droite passant par A et B.

b)fest la symtrie daxe , cest une similitude indirecte de rapport 1 ; son criture complexe

est donne par z=a z+b o a* et b.

A et B ont pour affixes respectiveszA = -5/2 etzB= 5i/4

f(A) = A etf(B)=B se traduit par les galits -5/2 = a ( -5/2) + b : L1

5i/4= a (-5i/4) +b : L2

L2L1 donne )4

5

2

5(

4

5

2

5iai : On multiplie par

5

4et on obtient : 2+i=a(2i) do

a= iii

ii

ii

i

i

5

4

5

3

12

)2(22

)2)(2(

)2)(2(

2

2

.

L1 donne alors b= - iiia 21-22

3

2

5-)

5

4

5

3(

2

5

2

5-

2

5

2

5 .

Finalementfest lapplication du plan vers lui-mme qui tout point M daffixez associe le

point M daffixe z tel que z= ( i5

4

5

3 ) z 1 + 2i.


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III Exemples

Les antidplacements sont les similitudes indirectes de rapport 1.

- La similitude du plan dcriture complexez =z est la symtrie daxe (O, i

), est un

antidplacement.

- Les symtries axiales (les rflexions) sont des antidplacements du plan.

Les dplacements sont les similitudes directes de rapport 1Avec bcomplexe, la transformation du plan, dcriture complexez = z+b, est la translationde vecteur daffixe b ; cest un dplacement.

Composition dune rotation et dune homothtie de mme centre

Soit kun rel non nul, un rel quelconque, et un point du plan daffixe w.La transformation h du plan dcriture complexezw =k(zw) est lhomothtie de centreet de rapport k; h est une similitude directe de rapport k.

La transformation rdu plan dcriture complexezw =ei(zw) est la rotation de mmecentre et d angle de mesure ; rest un dplacement du plan.

Compositions de h et r

Pour tout point M du plan daffixez :a) Soitz1laffixe de M1 = r(M) :z1 = e

i(zw)+w ; soitz2laffixe de M2 = h(M1)= h(r(M)) :

z2 = k(z1w)+w. Doz2 = kei

(zw) +w.

b) Soitz1laffixe de M1 = h(M) :z1= k (zw)+w ; soitz2laffixe de M2= r (M1),M2=r(h(M)) :

z2= ei

(z1w)+w. Doz2= ei

k

(zw) +w, ainsiz2=z2 et M2= M2 .

Finalement les 2 transformations hret rh sont les mmes : tout point M daffixez, ellesassocient le point M daffixezavecz= kei(zw) +w.

hrest une similitude directe de rapport k.

'

j

1

O i


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Exercice ( Composition dune rotation et dune homothtie de centres diffrents)Soit le point A daffixe 1 et hlhomothtie de centre A et de rapport 2 ; soit rla rotation decentre Oet dangle de mesure

1) Donner l'criture complexe des transformations h et r.

2) Soitf= hr. Trouver lcriture complexe de la transformationf.

3) Soit g = rh. Trouver lcriture complexe de la transformation g.4) Les transformationsfet g sont-elles les mmes ?

-----------------------------------------------------------------

Rsolution

h et rsont deux similitudes directes du plan de rapport 2 et 1 respectivement, en les

composant dans nimporte quel ordre, on obtient des similitudes directes de rapport 2.

1) a) On sait que h a pour criture complexez= 2(z1)+1 soitz=2z1.b) On sait que ra pour criture complexez=e

iz soitz=i z.

2) Pour tout point M daffixez,soitz1laffixe du point r(M)=M1 :z1 = iz et soitz2laffixe du point M2 = h(M1)=h(r(M)) :

z2 = 2z11 soitz2 = 2iz1.

f=hrest lapplication du plan vers lui-mme qui tout point M daffixez associe le pointM2daffixez2 avecz2 = 2iz1.Lcriture complexe defestz=2iz1.


soitz3laffixe du point h(M)=M3 :z3 = 2z1 et soitz4laffixe du point M4 = r(M3)=r(h(M)) :z4 = iz3 soitz4 = 2izi.

g=rh est lapplication du plan vers lui-mme qui tout point M daffixez associe le pointM4daffixez4 avecz4 = 2izi.Lcriture complexe de g estz=2izi.

4) Pour tout point M du plan daffixez,-1 et i tant distincts, 2iz1 2izi : Les affixes des 2 pointsf(M) et g(M) ne sont pas lesmmes do f(M) g(M) .Les similitudes du planfet g ne sont pas les mmes.

Dans cet exemple, on a hrrh .

r(M)

j

h(M)

M

O i

A


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tude complmentaire des similitudes

Le plan P est muni du repre orthonorm direct R = (O, ji

, )dorigine O.

chaque point ou vecteur est associ un seul complexe : laffixe de ce point ou vecteur.zM dsigne laffixe du point M.

1 Angle dune similitude directe

Thorme et dfinition

Soitfune similitude directe du plan, dcriture complexe z= az+b o a* et b.Soit un argument de a.

Pour tout couple (A ;B)de points distinctsdu plan, soit A=f(A) et B=f(B).

langle orient ( B'A';AB ) est constant : Il a pour mesure ; on dit que cet angle orient

( B'A';AB ) est langle de la similitude directef.

Dmonstration

A et B tant 2 points distincts du plan, les affixeszA etzB de ces points sont distincts ; A et Bsont aussi 2 points distincts du plan, les affixes zA etzB de ces points sont distincts .

zB= azB+b etzA= a zA+bdozBzA = a (zBzA) soit azz

zz

AB

A'B' ozBzA est

laffixe du vecteurAB etzBzAest laffixe du vecteur B'A' .

Finalement un argument de a, est aussi une mesure de langle orient ( B'A';AB ).2 Forme rduite dune similitude directeThorme

Soitfune similitude directe du plan, dcriture complexe z= az+b o a* et b.

Lorsque a=1,fest la translation de vecteur daffixe b.

Lorsque a 1, soit un argument de a et kle module de a : a= keif admet un seul point fixe , soit wlaffixe de ce point.

fest la compose dans un ordre indiffrent :de lhomothtie de centre et de rapport k,de la rotation de mme centre , dangle de mesure .Ce point est aussi appel le centre de la similitude directefet lcriture complexe def estaussi donne parzw = kei(zw).Dmonstration

Ce cas o a= 1 est dj connu.

On se place dans le cas o a1 : est un argument de a et kest le module de a : a= kei0 1a.

a) Soit M un point quelconque daffixez ;f(M) a pour affixe az+b.f(M) = M az+b =z b = (1a)zb / (1a) =z.


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Soit donc w = b / (1a) : west laffixe du seul point du plan qui est invariant parf; w est leseul complexe qui vrifie aw+b = w.

b) Soit M un point quelconque daffixez ;f(M) a pour affixez=az+b, comme w= aw+b.

Alorszw = a (zw) soitzw = kei (zw) : Ceci est lcriture complexe def. On sait quedaprs cette criturefest la compose dans un ordre indiffrent de lhomothtie de centrede rapport kavec la rotation de centre et dangle de mesure .

3 Similitude directe ou indirecte dfinie par les images de 2 points distinctsThorme

Soit A, B, A et B quatre points du plan tels que AB et AB.

Il existe une seule similitude directefdu plan telle que A =f(A) et B=f(B). Il existe une seule similitude indirectegdu plan telle que A = g(A) et B= g(B).

Dmonstration

Soit ,, etles affixes respectives des quatre points A, B, A et B : et.

et sont 3 complexes non nuls.

Dmonstration pour une similitude directe

On suppose quefest une similitude directe du plan telle que A =f(A) et B=f(B).Avec a complexe non nul et b complexe, soit lcriture complexe def:z=az+b .A =f(A) et B=f(B) donne = a+b et = ab.

Ainsi = a ( do a=

'' ; = a+b donne b=asoitb

''

fest ainsi lunique similitude directe du plan qui a pour criture complexe

z=

''z+

''

Rciproquement : Soitf la similitude directe dcriture complexe

z=

''z+

''

On a :

'' +

'' dof(A) = A. On a aussi les galits :

''+

''

''( ( )=

Cela prouve quef(B)=B.On a bien dmontr quef(A) = A et f(B)=B.

Conclusion : Avec les parties et , on a bien dmontr la partie du thorme concernantune similitude directe.

Dmonstration pour une similitude indirecte


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On suppose que g est une similitude indirecte du plan telle que A = g (A) et B= g (B).Avec a complexe non nul et b complexe, soit lcriture complexe de g :z=a z +b .A = g (A) et B= g (B) donne = a + b et= a b.

Ainsi = a ( do a=

''; = a +b donne b=a soit

b

''

gest ainsi lunique similitude directe du plan qui a pour criture complexe

z=

''z +

'' .

Rciproquement : Soit g la similitude indirecte dcriture complexe

z=

''z +

''

On a :

'' +

'' dof(A) = A. On a aussi les galits :

'' +

''

''( ) = ( ) =

Cela prouve que g(B)=B.On a bien dmontr que g(A) = A et g(B)=B.

Conclusion : Avec les parties et , on a bien dmontr la partie du thorme concernant

une similitude indirecte.

4 Application aux triangles semblablesThorme

Soit A,B et C 3 points non aligns. Soit un rel kstrictement positif et soit A, B et C 3points tels que AB = kAB, BC = kBC et AC = kAC.

Il existe une seule similitudeftelle que A=f(A), B=f(B) et C=f(C).Dmonstration

On peut remarquer que les 3 points A, B et C sont distincts 2 2, comme A, B et C ( parmultiplication des distances de points par k).

a) Dmonstration de lunicit de la similitude

Soientfet g 2 similitudes du plan telles quef(A)=A= g(A),f(B)=B= g(B) etf(C)=C= g(C).A, B et C tant non aligns,f(A) = A,f(B)=B etf(C) = C sont aussi 3 points non aligns.

Le rapport des similitudesf et g est le mmepuisquil est gal AB

B'A'= k.

Supposons quef g . Il existe alors un point M du plan tel quef(M) g(M).

On af(A)f(M) = kAM et g(A) g(M) = kAM dof(A)f(M) = g(A) g(M) soit :Af(M) = Ag (M).


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De la mme faon on a aussi Bf(M) = Bg (M) et Cf(M) = Cg (M).

Finalement les 3 points A, B et C, tant gale distance des 2 points distinctsf(M) et g(M),sont sur une mme droite : la mdiatrice de [f(M) ; g(M)].Cest absurdeparce que A, B et C ne sont pas aligns.

On en dduit que forcmentf= g.

b) Dmonstration de lexistence de la similitude

On sait quil existe une unique similitude directe g telle que A= g(A) et B= g(B).Comme AB = kAB, kest le rapport de cette similitude.Soit sla symtrie daxe la droite (AB), s est une similitude indirecte de rapport 1.

Si g(C)= C : On choisitf= g et on a automatiquement A=f(A), B=f(B) et C=f(C).

Si g(C) C : Soitf=sg ;fest une similitude indirecte du plan.

On a AC = kAC et Ag(C) = g(A) g(C) = kAC do AC = Ag(C) ; On a aussiBC = kBC et Bg(C) = g(B) g(C) = kBC do BC = Bg(C).

A et B sont sur la mdiatrice de (C, g(C)) do C= s (g(C)) = sg(C)=f(C).A= s(A) = s(g(A))=f(A) et B= s(B) = s(g(B))=f(B).

Dans tous les cas les 3 points A, B et C ont pour images par la similitudef, A, B et Crespectivement.

5 Similitudes ayant 2 points invariantsThormeSoit A et B 2 points distincts du plan etfune similitude du plan laissant A et B invariants.Alorsfest lidentit oufest la symtrie daxe (AB).Dmonstration

Soit sla symtrie daxe (AB), cest une similitude indirecte de rapport 1 laissant A et BinvariantsOn sait aussi que Id est une similitude directe laissant A et B invariants.

Comme daprs le paragraphe3, il nexiste que deux similitudes telles que A ait pour imageA et B ait pour image B, ces 2 similitudes sont s et Id.

Documents

5 a) Les Similitudes