Página 1 de 6

Universidad de Costa Rica

Proyecto MATEM

SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL

CÁLCULO

30 de agosto de 2017

1) Considere la función 푓 cuya gráfica se muestra a continuación:

Con base en la información y sabiendo que 푓 (푥) =( )

, determine 푓(푥). (7 puntos)

푓 (푥) =4푒

(푒 + 1) ⇒ 푓 (푥)푑푥 =4푒

(푒 + 1) 푑푥

Sea 푘 = 푒 + 1 ⟹ 푑푘 = 2푒 푑푥

2∫ ( )푑푥 = 2∫ 푑푢 =

2∫푘 푑푘 = 2 + 퐶 =

+ 퐶 = + 퐶

De acuerdo con la gráfica 푓(0) = 0 ⟹ + 퐶 = 0

⟹−1 + 퐶 = 0 ⟹ 퐶 = 1

Por tanto 푓(푥) = + 1.

y

x

Página 2 de 6

2) Considere la función 푓 cuya gráfica se muestra a continuación. Si 퐴(푥) = ∫ 푓(푡)푑푡, determine 퐴(2),퐴(4),퐴 (1) y 퐴 (3). (6 puntos)

퐴(2) = ∫ 푓(푡)푑푡 = 2 ∙ 2 = 4

퐴(4) = 푓(푡)푑푡 = 푓(푡)푑푡 + 푓(푡)푑푡 =

4 + ( )∙ = 10 퐴′(푥) = 푓(푥) 퐴 (1) = 푓(1) = 2 퐴 (3) = 푓(3) = 3

Página 3 de 6

3) Sean 푦 = 푒 ( ) y 푔(푥) = ∫ 10 푑푡( ) . Compruebe que 푦 = ( ) . (7 puntos)

푦 = 푒 ( ) ∙ 푔 (푥)

푔 (푥) = 10 ( )( )

− 10 ( )( )

Simplificando:

푔 (푥) = 10 ( )( )

−( )

=

(푥 + 1)( )

−( )

( ) − =

Por tanto

푦 = 푦 ∙( )

Página 4 de 6

4) Calcule las siguientes integrales: (4,5,4 y 7 puntos, respectivamente)

(a) ∫ 푑푥 = ∫ 푑푥 + ∫ 푑푥

arctan(푥) + + 퐶

(b) ∫( )

푑푥 = ∫ ⋅

( )푑푥

Sea 푘 = 푥 + 7 ⟹ 푑푘 = 3푥 푑푥 ∫ 푑푘

13

푘

푘푑푘 −

73

1

푘푑푘 =

∫푘 푑푘 − ∫푘 푑푘 =

+ + 퐶

+ + 퐶

(c) ∫ √푑푥 = ∫

( )푑푥

Sea 푘 = 푥 ⟹ 푑푘 = 3푥 푑푥

∫ √푑푥 = 푎푟푐푠푒푛(푘) + 퐶

푎푟푐푠푒푛(푥 ) + 퐶

Página 5 de 6

(d) ∫ |푥 + 푥 − 6|푑푥

∫ |푥 + 푥 − 6|푑푥 = ∫ −푥 − 푥 + 6푑푥 + ∫ 푥 + 푥 − 6푑푥

= − + 6푥 | + + − 6푥 |

+ = 45

Página 6 de 6

5) De acuerdo con la información adjunta, defina cada una de las integrales que determinan el área de la región sombreada (No es necesario calcularlas): (6 puntos)

∫ (2푥 − 푥 )푑푥

∫ (−푥 + 2− 푥 )푑푥

∫ (푥 + 푥 − 2)푑푥