24 Integral Iterada

CALCULO VECTORIAL

1

INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

CÁLCULO VECTORIAL

CAPÍTULO III INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

CÁLCULO VECTORIAL

• INTEGRAL ITERADA

•INTEGRAL DOBLE

• INTEGRAL TRIPLE

INTEGRAL ITERADA

REGION PLANA

CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO III

Rosa Ñique Alvarez 4

a b

y = g2(x)

y = g1(x)

R

≤≤≤≤

)()(:

21 xgyxgbxa

R

DESCRIPCIÓN DE LA REGION PLANA EN XY

CÁLCULO VECTORIAL INTEGRAL ITERADA

Integral iterada

∫ ∫∫ ∫ =

b

a

xg

xg

b

a

xg

xg

dxdyyxfdx

x

dyyxf ),(

constante:

),()(

)(

)(

)(

2

1

2

1



≤≤≤≤

)()(:

21 xgyxgbxa

R


c

d

x = h2(y)

x = h1(y)

R

≤≤≤≤

dycyhxyh

R)()(

: 21

DESCRIPCIÓN DE LA REGION PLANA EN XY


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CALCULO VECTORIAL

2

Integral iterada

∫ ∫∫ ∫ =

d

c

yh

yh

d

c

yh

yh

dydxyxfyddxyxf)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

),(

constante:y

),(



≤≤≤≤

dycyhxyh

R)()(

: 21

Conclusiones: Tipos integral iterada


∫ ∫∫ ∫ =

b

a

xg

xg

b

a

xg

xg

dxdyyxfdxdyyxf ),(),(.1)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

∫ ∫∫ ∫ =

d

c

yh

yh

d

c

yh

yh

dydxyxfyddxyxf)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

),(),(.2


EJEMPLO 1

Evaluar la siguiente integral iterada

dxdyy

exx y

∫ ∫−

−

2

0

4

0

22

4



SOLUCIÓN



dxdyy

ex

dxdyy

ex

x y

x y

∫ ∫

∫ ∫

−

−

−

−

2

0

4

0

2

2

0

4

0

2

2

2

4

4

4

2

y = 4 - x2

dxdyy

exx y

∫ ∫−

−

2

0

4

0

22

4


SOLUCION

−≤≤≤≤

24020

:xy

xR


dxdyy

exx y

∫ ∫

−

−2

0

4

0

22

4

2

4

yx −= 4

dydxy

exy y

∫ ∫−

−

4

0

4

0

2

4


SOLUCION: intercambio el orden de los diferenciales

≤≤−≤≤

4040:

yyxR





CALCULO VECTORIAL

3

Solución


4

2

y = 4 - x2

dxdyy

exx y

∫ ∫−

−

2

0

4

0

22

4

2

4

yx −= 4

dydxxy

e yy

∫ ∫

−=

−4

0

4

0

2

4

Solución:

( )141

4

44

82

0

4

0

2

4

0

4

0

22

0

4

0

2

2

2

−=−

−=

−

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

−

−−

edxdyy

ex

dyxdxy

edxdyy

ex

x y

yyx y



EJEMPLO 2

Evaluar la siguiente integral iterada

∫ ∫π π

0 x

xdydy

ysen



SOLUCIÓN

∫ ∫π π

0 x

xdydy

ysen



xdydy

ysen

x∫ ∫

π π

0

π

π

y = x

∫ ∫π π

0 x

xdydy

ysen


SOLUCION

≤≤≤≤

ππ

yxx

R0

:


xdydy

ysen

x∫ ∫

π π

0

π

π

x = yydxd

yysen y

∫ ∫

π

0 0


SOLUCION: intercambio el orden de los diferenciales

≤≤≤≤

πyyx

R00

:





CALCULO VECTORIAL

4

Solución


π

π

y = x

=∫ ∫π π

0 x

xdydy

ysen

π

π

x = y

∫ ∫π

0 0

y

ydxdy

ysen

Solución:

20

0 00

=

=

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

π π

ππ π

x

y

x

xdydy

ysen

ydxdy

ysenxdydy

ysen



ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

∫ ∫=b

a

xg

xg

dxydR)(

)(

2

1

)(Area



dxdyRb

a

xg

xg∫ ∫

=

)(

)(

2

1

)(Area



∫ ∫=d

c

yh

yh

dyxdR)(

)(

2

1

)(Area



ÁREA DE UNA REGIÓN PLANAyddxR

d

c

xh

xh∫ ∫

=

)(

)(

2

1

)(Area






CALCULO VECTORIAL

5

∫ ∫=b

a

xg

xg

dxydR)(

)(

2

1

)(Area


∫ ∫=d

c

yh

yh

dyxdR)(

)(

2

1

)(Area


ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA EJEMPLO 3

Calcular el área de la región R situada bajola parábola y = 4x - x2 sobre el eje X, ysobre la recta y = -3 x + 6.





−≤≤+−

≤≤21 463

21:

xxyxx

R

−≤≤

≤≤22

40

42:

xxy

xR

SOLUCIÓN: secciones verticales

−≤≤+−

≤≤21 463

21:

xxyxx

R

−≤≤

≤≤22

40

42:

xxy

xR



Solución: R = R1 U R2

2/15)(Area

)(Area4

2

4

0

2

1

4

63

22

=

+= ∫ ∫∫ ∫−−

+−

R

xdydxdydRxxxx

x



−≤≤+−

≤≤21 463

21:

xxyxx

R

−≤≤

≤≤22 40

42:

xxy

xR



2/15)(Area =R




CALCULO VECTORIAL

6


Solución: secciones horizontalesCÁLCULO VECTORIAL INTEGRAL ITERADA

R1

R2

Solución: secciones horizontales


≤≤

−+≤≤−−

434242

:2 yyxy

R

≤≤

−+≤≤−

30

4232:1

y

yxy

R


Solución: R = R1 U R2


2/15)(Area

)(Area4

3

42

42

3

0

42

32

=

+= ∫ ∫∫ ∫−+

−−

−+

−

R

ydxdydxdRy

y

y

y


≤≤

−+≤≤−

30

4232:1

y

yxy

R

≤≤

−+≤≤−−

434242

:2 yyxy

R




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