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2006-1-C D  EP2 A -1UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICOFACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICASCÁLCULO DIFERENCIAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

Semestre 2006-1  7 de diciembre de 2005 TIPO ' A'

NOMBRE:____________________________________________________ No. CUENTA _______________

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos  que componen elexamen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas. 

1)  Para la función , obtener su función inversa, el dominio y el

recorrido de ésta. Trazar la gráfica de ambas funciones.( ) 2

2 0

3 0

 x si x f x

 x si x

+ ≤⎧= ⎨

+ >⎩

 

15 PUNTOS

2)  Sin emplear la regla de L´Hópital, calcular los siguientes límites:

a)

3

0

1 1

1 1 x

 xlim

 x→

+ −

− + 

b)0 x

tan x sen xlimsen x tan x→

−  

c)( )

2

2 2

3 1

1 3 x

 x xlim

 x x→ ∞

− +

− − 

15 PUNTOS

3)  Calcular el ángulo de intersección que se forma entre las gráficas de2

2 y x= −   y  y x= .

15 PUNTOS

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4)  Obtener d yd x

  para las siguientes funciones:

a) ( )2sec 3 y ang x=  b) ( )3 22 x y x sen− = −   y

4

 

10 PUNTOS

5) Determinar el punto o los puntos donde se cumple el teorema de Rolle para la función

en el intervalo de( )2

2

2 1 0 2

6 9 2

 x x si x f x

 x x si x

⎧− + + ≤ <= ⎨

− + ≤ ≤⎩[ ]0, 4  

15 PUNTOS

6) Obtener las coordenadas cartesianas del punto de mayor ordenada para la curva dada por

2

96

96 16

 x t 

 y t 

=⎧⎨

= −⎩   t  

15 PUNTOS

7) Obtener los tres primeros términos no nulos del desarrollo en series de potencias de Maclurin para lafunción dada por ( ) tan f x ang x=  

15 PUNTOS

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SOLUCIÓN

1) f  D   =     (   ]   ( ), 2 3, f  R   = −∞ ∪ ∞  

( )12 2

3 3

 x si x f x

 x si x

−  − ≤⎧⎪= ⎨

− >⎪⎩

  (   ]   ( )1 , 2 3, f 

 D   −   = − ∞ ∪ ∞   1 f  R   −   =    

2) a)0

2

3 xlim f ( x )

→= −  

b)0

00

2 xlim f ( x )

→= =  

c)1

2 xlim f ( x )

→ ∞= −  

3)  108.5θ   = °  

4)  a)4

2'

9 1 y

 x x=

− 

b) ycos y x

 y x'  y

+

−=

2

3

3

4 

5) ,1   1 x y 2 02   3 x y 

ambos valores están dentro del intervalo.

6)  Las coordenadas cartesianas del punto son ( )144288 ,P  

7)  ( )535

24

3

2

1

153

531   x x x x

! x

! x

! xtanang x f    +−=+−==