2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije

7/25/2019 2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije

http://slidepdf.com/reader/full/2-nominalne-kamatne-stope-i-necjelobrojne-funkcije 1/15

INTERNACIONALNI UNIVERZITET

EKONOMSKI FAKULTET

Diplomaski rad

Nominalne kamatne stope i ne!elo"ro!ne #$nki!e

Mentor% St$dent%Dr&s Sead Re'i(



Tra)nik* !$li +,--& .odineS A D R Ž A J

UVOD +

1. KAMATE PLATIVE P PUTA GODIŠNJE /

2. RENTE KOJE SE ISPLAĆUJU P PUTA GODIŠNJE 03. RENTE KOJE SE ISPLAĆUJU U INTERVALIMA DUŽIM OD GODIŠNJIH 1

ZAKLJUČAK --

LITERATURA -+

UVOD

-



1. KAMATE PLATIVE P PUTA GODIŠNJE

+



Nadal!e* opet pretposta)imo da !e e#ekti)na kamatna stopa i #iksna& Neka !e p prirodan

"ro!* .ledat (emo transaki!e ko!e se od)i!a!$ p p$ta .odi'n!e $ !ednakim ra2maima d$l!ine

p3- & De#inirali smo $ -& po.la)l!$ nominaln$ kamatn$ stop$

( ) p

i kon)erti"iln$ 4plati)a5 p

p$ta .odi'n!e relai!om

( ) &6-

--

*-

*, t i p p

t t A p

A p ∀+=

+=

7o'to )ri!edi

( )

i p

i p

p

+=

+ --

* odnosno

( ) ( )

−+= --

-

p p

i pi

Veli8ine( ) pi mo9emo opisati i alternati)no& Zamislimo da d$9nik ko!i !e $2eo 2a!am $ i2nos$

- $ tren$tk$ , s)o!$ kamat$ 9eli platiti $ p !ednaki: o"roka $ tren$ima

&-*-

*&&&*+

**

- =−

p

p

p

p

p p

T)rdimo da !e $k$pni i2nos( ) pi * t!& s)aka ;rata; !e

( ) pi p-

Zaista* tada "i moralo )ri!editi 4i2!edna8a)an!em )ri!ednosti u t = 15

( )

( ) ii p

i p

j p p

j

p

=+ −

=∑ -

- 4-&-5

a pro)!era !e !ednosta)na

( )

( ) ==−=+ −

=∑ k j pi

p

i p

j p p

j

p

--

( )

( ( ) )( ) ( )

( )

( )

( )i

i

i

p

i

i

i

p

ii

p

i

p

p

p

p

p p

k p

p

k

p

=−+

=−+

−

+

=+∑−

= ----

--

---

-

--

,

/



Sad mo9emo 2amisliti i analo.ni mane)ar& Zamislimo da se kamata 9eli otplatiti $ p !ednaki:

o"roka* ali $ tren$ima&

-*&&&*

-*,

p

p

p

−

O2na8imo $k$pn$ otplat$ s( ) pd tako da !e s)aka ;rata;

!ednaka

( ) pd p

-

&

Ina8e* s!etimo se da !e* po na'o! anali2i* odnosno interpretai!i !ednakosti d = iv, d (1) = d %

Sad i2!edna8imo )ri!ednosti $ t = 0%

( )

⇒=

++++

−

d vvv pd p

p

p p

p -+-

&&&-

( ) ( ) ( )

( )⇒

−−=

−−

=

−

−

= p

p

p

p

p

p

p

p

d

d

p

d

v

v

p

d

v

v

p

d d

-3--

-

---

-

-

-

4-&+5

( ) ( )[ ] ( )

( )

p

iid pd

p

p

p p

+=−−=-

-- 3-

4-&/5

( )

d p

d p

p

−=

− --

4-&<5

d (p5

se 2o)e nomn!"n! #$%on&n! '!n&()!&*n!+ %!m!&n! $&o)! )"!&*!4kon)erti"ilna5 )),&! -o#n/0.

Uo8imo da s)ake od )eli8ina i* i(p)* d * d (p) de#inira ostale& I2 s)e.a 'to !e re8eno sli!ede(a

s:ema predsta)l!a ek)i)alatne na8ine pla(an!a kamate&

<



0

d

p

-

p

+

p

/ p

p -−

1

( )

p

d p ( )

p

d p ( )

p

d p ( )

p

d p ( )

p

d p

( )

p

i p ( )

p

i p ( )

p

i p ( )

p

i p ( )

p

i p

δ i

Pm/0 1.1

Neka je nominalna kamatna stopa 12% godišnje, plativa kvartalno. Tada je sadašnja

vrijednost od inosa 1 koji dospijeva a t godina jednak

( )( )

t

t t

t ii

<

<<<

,/*-<

-+*,-

<--

−−−

− =

+=

+=+

Pm/0 1.2

!a dani δ = 0, 1 na"ite vrijednosti#

i) i, i($) , i(12 ), i(2) , i(&')

ii) d, d ($) , d (12) , d (2) , d (&' )

ješenje#

( ) ( ) [ ] [ ]----5 3-*,33- −=−=−+= pr p p

e pe pi pii δ

( ) ( ) [ ] [ ] pr p p e pe pd pd ii 3-*,33-----5 −=−=−−= δ

p - < -+ =+ /0=

i(p)

,*-,=->-? ? ?

,* -,,<-@ ? ? ? ,* -,,,-<

d (p)

,* ,1=-0/ ,* ,1@>0, ? ? ? ? ? ? ,* ,111@0

=



Vri!edi i = i(1) i(2) i(&) . . . Uo8imo da !e !asno d4p5 i4p56 ∀ p 4!er

( )

p

d p

se pla(a rani!e ne.o

( )

p

i p

* a !ednak !e "ro! pla(an!a5& Kako !e d = i v i2 4-&-5 i 4-&+5 sli!edi da !e

( ) ( ) p p p vid

3-⋅= 4-&=5

Dal!e* s!etimo se da smo imali

vd ev −== − -*δ

( ) ( )-3

−=r p e pi δ

4-&05

a sad isto la.ano do"i!emo i2 4-&/5

( ) ( r p e pd 3- δ −= 4-&>5

Sad se mo9e anali2irati #$nki!a( ) &*,*- konst *e * * g

*

=≥

−=

−δ

δ

poka2$!e se da !e rast$(a i

to odma: po)la8i

( ) ( ) ( ) d d d d =⟩⟩⟩ -+/&&& 4-&@5

Dal!e* kako !e

δ

δ

=

−

∞→-lim *

*e *

i

δ

δ

=

−

∞→ *

*e * -lim

4o"o!e ide BLopitalo)im pra)ilom5

sli!edi

( )δ =

∞→

p

*ilim

*

( )δ =

∞→

p

*d lim

4pr)$ relai!$ 2namo otpri!e5 i kako s$ to limesi pada!$(e.*

odnosno rast$(e. ni2a to s$ n!i:o)i in#im$m* odnosno s$prem$m& Zakl!$8$!emo

( ) ( ) ( ) ( ) ⟩⟩⟩⟩⟩⟩= pd iiii &&&&&&/+-

δ ( ) ( ) ( ) d d d d =⟩⟩⟩ -+/&&& 4-&15

Dal!e*

0



( ) ( )

( ) ( )=

−+

−

−−

=−--

-

--

-----

p p

p p

i pd pid

( ) =

−+−

−= --

-

-

-

--

p p i pv p ( ) ( )=

−+

−

+− −

---

--- --

p p i pi p

( )

( ) ( ) pii

i

p p p

p -

--

-

-

---

--

-

=

−+−

+

+=

−

Dakle !e 4i2nenad$!$(e* neo)isno o i5

( ) ( ) pid p p

---=−

4-&-,5

>



0

p-

p-

&&&

p-

p-

&&&

p-

p

-

p

+ &&& - p

p -+ &&& n

2. RENTE KOJE SE ISPLAĆUJU P PUTA GODIŠNJE

U2mimo rent$ ko!a se ispla($!e p p$ta .odi'n!e* postn$merando* $ .odi'n!em i2nos$ -* tokom

n .odina* dakle $ inter)al$ ,* n6 dakle di!a.ram !e

Sada'n!a )ri!ednost !e

( )( ) n p

p

n ai

ia =

4+&-5

Naime* $plate3isplate $ tren$ima p

p

p p

-*&&&*

+*

- −

$ i2nos$

( )

p

i p

)ri!ede $ t - ta8no i 4)idi

-&-5& Tada $plata3isplata $ tim tren$ima $ i2nos$ 1+p $ tren$tk$ t = 1 )ri!ede ta8no i = i (p)&

Dakle* sit$ai!$ ko!$ imamo )idimo i2 sli!ede(e. di!a.rama

( ) pii 3

( ) pii 3 & & &

( ) pii 3

, - + n

Alternati)no* koriste(i osno)ne prinipe mo9emo do(i do !ednakosti 4+&-5

Naime*

@



( )

( )

−+

−=

−

−=

−

−==

−=∑

--

-

-

-

-

------

-

- p

n

p

n

p

n p

np

t

p

t

p

n

i p

v

v p

v

v

vv

pv

pa

( ) ( ) ( ) n p p

n

p

na

ii

ii

iv

iv =−=−= --

De#inii!a sim"ola( ) p

na !e analo.na& 7r)im prinipom do"i!emo

( )( ) n p

p

n ad

ia =

4+&+5

Zapi'imo i alternati)ne #orm$le ko!e smo do"ili p$tem

( )( )

*-

p

n p

ni

va

−=

4+&/5

( )( ) p

n p

nd

va

−= -

4+&<5

Napomena% Ukoliko se ispla($!e p p$ta .odi'n!e $ .odi'n!em i2nos$ * tada se s&)& s)i: $plata

do"i!e tako da se sa pomno9e !ednakosti 4+&-5* 4+&+5* 4+&/5 i 4+&<5&

Go' )idimo 4i2 di!a.rama5( ) ( ) p

n

p p

n ava

-

= i takoder

( )( ) ( ) == p

n

p

n aiia-&+&/

( ) ( ) = p

n

p p avi

-

( ) ( ) ( )

n p

n

p vad −= -<&+&/

4+&=5

Nasta)l!a!$(i dal!e do"i)amo

( )( )

( )

n

p

n

n

n aad via δ --&/&++&/&+

- ==−= 4+&05

Kad $ pret:odnim relai!ama $)a9imo sli!edi

( ) =∞→

p

pilim ( )

δ =∞→

p

pd lim

sli!edi

1



( ) =∞→

p

n p

alim ( )

( )

δ

n

n

p

n p

vaa −

==∞→

-lim

--&/&+

4+&>5

'to !e i int$nti)no !asno6 kad

∞→ p

isplate se kontin$ira!$& 4S!etimo se da !eδ

= ln(1 - i)& 5Lako "i do"ili i ak$m$lai!e a takoder i od.odene rente& Za )!e8ne ispod.odi'n!e rente

imamo%

( )( ) p

p

ia

-=∞

4+&@5

( )( ) p

p

d a

-=∞

4+&15

Spei!alno*( ) −∞ pa

( ) pa∞

( ) p

--,&- ==

'to !e opet i int$iti)no !asno&

-,



3. RENTE KOJE SE ISPLAĆUJU U INTERVALIMA DUŽIM OD GODIŠNJIH

O)d!e (emo opet prim!eniti te:nik$ ko!om smo i2)eli i2ra2e 2a sada'n!e )ri!ednosti( ) p

na i

( ) pna & Fiksira!mo N r ∈ i promotrimo seri!$ isplata ko!e se do.ada!$ s)aki: r .odina* dakle $

)remenskim ta8kama r* +r* /r* &&&* kr* N k ∈ #iksan&

Ide!a !e da i2nos ko!i se ispla($!e s)aki: r .odina* reimo * 2ami!enimo od.o)ara!$(im

i2nosom / ko!i "i se pla(ao s)ake .odine* ali tako da )ri!ednost "$de ista&

/ / ... / / ... / / / ... /

/

, - + &&& r r - 1 2r ...

kr

7o de#ini!i ak$m$lai!a $ tren$tk$$ t = r 4nakon r ?te isplate i2nosa / 5 )ri!edi%

. 0

/ / 0 . r

r

-* ==

pa !e s&)& 4s)i: k $plata $ i2nos$ H5 kr a/ ⋅

* t&!&

kr

r

a0

. v s =&&

4/&-5

4k r .odine postn$meranto renta $ i2nos$ r 0

.

5 &

--



Za )!e8n$ rent$ $ o)om sl$8a!$ imamo ( ) --

-&&

−+=⋅=

r

r i

.

i0

. v s

Nara)no* to se mo2e do"iti i prim!en!$!$Ji osno)ne prinipe&

Pm/0 3.1

upujemo rentu koja e se u godišnjem inosu 120 plaati u jednakim inosma na kraju

svakog kvartala tokom godina. 3dredite sadašnju vrijednost ako je godišnja kamatna stopa

12%.

a) e4ektivna

5) nominalna, plativa polugodišnje

6) nominalna, plativa kvartalno

d) nominalna, plativa mjese7no

R/00n/0

4a5

( )( ) ( )

=@*<=--

-+,-+,-+,&&=

<=<

<

= =

−===

i

v

i

ia

i

ia8 0

!er( ) ( )( --<1<1+*,--<

<3-< =−+= ii

4"5 O)o !e kao da imamo )remensk$ !edini$ +

-

.odine i e#ekti)n$ kamatn$ stop$ 0 po

!edinii )remena& U to! )remensko! !edinii imamo postn$merando rent$ $ i2nos$ 0, po

!edinii )remena ko!a se ispla($!e + p$ta po !edinii )remena tokom -, )remenski: !edinia&

( )( )

( )( ) -/*<<@,=1-+0*,*,0*,-

0,0,&& +

+

-,+

,- ====

−== ii

i

va8 0

45( ) /+*<<0

-/,K//,

+,

+, =

−=

i

v poa

-+



4d5 O)d!e mo9emo iskoristiti 4/&-5 pa imamo 4i2 perspekti)e re2$ltata45 i2 k)artalne

perspekti)e5

( ) ,@*<<=K-/,

0,

/

= poa0

ZAKLJUČAK

-/



LITERATURA

-& Adnan Ro)8anin* 9pravljanje 4inansijama, tree idanje* Ekonomski #ak$ltet $

Sara!e)$* I2da)a8ka d!elatnost* +,,0&

+& ranko Trkl!a* :inansijska matematika, tree idanje* Ekonomski #ak$ltet $ Sara!e)$*

I2da)a8ka d!elatnost* +,,@&

-<

Documents

2. Nominalne Kamatne Stope i Necjelobrojne Funkcije