MEKANIKA TEKNIK 2 (MN091221)

materi #1

Mohammad Nurul Misbah

POKOK BAHASAN

• Failure Theory ; maximum shearing stress, maximum distortion energy, maximum normal stress theory.

• Energy method; elastic strain energy for uniaxial stress, elastic strain energy in pure bending, elastic strain energy for shearing stress, deflection by the energy method, impact load, virtual work method, statically in determinate structure.

• Teori elastisitas; stresses and strain in 3D, generalized Hooke’s Law, compatibility equation, principle direction and principle stresses, von mises stress, effective stress.

POKOK BAHASAN (3)

• Teori pelat kaku; macam-macam pelat, persamaan keseimbangan elemen pelat (Kirchoff-Love plate theory), hubungan antara beban, gaya lintang dan momen lengkung, boundary condition, review persamaan differensial, penyelesaian homogen dan particular, penyelesaian Navier, penyelesaian Lévy.

• Membran; persamaan keseimbangan elemen membran, penyelesaian dengan deret Fourier.

POKOK BAHASAN (4)

• Simultaneous bending and stretching; persamaan keseimbangan elemen pelat dengan beban lateral dan dalam bidang.

• Stabilitas satu bidang pelat; buckling pembebanan aksial satu arah, buckling pembebanan aksial dua arah, buckling pembebanan geser dalam bidang, perhitungan buckling menurut klasifikasi.

• Stabilitas pelat berpenegar; macam mode of buckling, persamaan keseimbangan pelat berpenegar, penyelesaian persamaan keseimbangan pelat berpenegar, perhitungan buckling menurut klasifikasi, perhitungan sectorial moment of inertia.

DAFTAR PUSTAKA

• Szilard R, “Theory and analysis of plates, classical and numerical methods’, Prentice Hall Inc, Englewood Cliffs, New Jersey, 1974.

• Timoshenko, Gere, Bambang S,”Meknika Bahan”, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2000.

• Timoshenko, S.P, S.Woinowsky-Krieger,“Theory of plates and shells”, 2nd edition, McGraw-Hill Kogakusha Ltd., Tokyo, 1959.

• Hughes, O., “Ship structural design: a rationally-based, computer aided, optimization approach”, John Wiley & Sons, New York, 1983.

• BKI, “Rules for classification and construction of seagoing ships”,Vol.II: Rules for hull structure, 2006.

FAILURE THEORY

LATAR BELAKANG

• Ada perbedaan antara pembebanan saat menentukan kekuatan material dan pembebanan riil konstruksi.

• Pembebanan uji : beban satu mode (unimode) dan satu arah (uniaxial).

• Pembebanan riil biasanya beban kompleks, multimode dan multiaxial.

FAILURE THEORY

• Dicari beban resultan, yang disebut dengan tegangan utama.

• Tegangan utama dihitung dengan rumus Lingkaran Mohr.

LINGKARAN MOHR

• Sejauh ini tegangan yang dianalisa adalah tegangan pada potongan penampang (tegak lurus sumbu batang).

• Tegangan maksimum yang terjadi bisa jadi tidak pada arah potongan tersebut, tapi pada arah potongan yang lain.

• Tegangan bidang

tegangan yang bekerja pada bidang potongan.

LINGKARAN MOHR

Tegangan pada penampang (dalam 2-D)

Tegangan pada bidang (dalam 2-D)

’

’

Tegangan pada elemen 3 dimensi

x

y

z

x

y

z

xy

xz

zx

zy

yx

yz

Tegangan pada elemen 2 dimensi

x

y

x

y

xy

yx

y

yx

xy

x

Penamaan tegangan

• Tegangan diberi nama dengan 2 subskrip.• Subskrip pertama menunjukkan nama bidang dimana

tegangan bekerja.• Subskrip kedua menunjukka arah tegangan.• Contoh : xx : tegangan yang bekerja pada bidang x dan searah

sumbu x. xy : tegangan yang bekerja pada bidang x dan searah

sumbu y.• Untuk tegangan normal, bidang kerja dan arah dari

tegangan selalu sama, sehingga untuk memudahkan subskripnya ditulis satu saja, jadi x

Perjanjian tanda tegangan

• Tegangan bernilai positif jika bekerja pada bidang positif dan berarah positif, atau jika bekerja pada bidang negatif dan berarah negatif.

• Tegangan bernilai negatif jika bekerja pada bidang positif dan berarah negatif, atau jika bekerja pada bidang negatif dan berarah positif.

Tegangan di potongan miring

x

y

x1

x1y1

y

yx

xy

x

x1y1

Gaya-gaya di potongan miring

x

y

x1 A0 sec

x1y1 A0 sec

yA0 tan yx A0 tan

xy A0

xA0

x1y1

Persamaan keseimbangan gaya di potongan

0costansintansincossec 000001 AAAAA xyyxyxx

0sintancostancossinsec 0000011 AAAAA xyyxyxyx

Pada arah y1

Pada arah x1

Dengan menggunakan yxxy

Persamaan transformasi untuk tegangan bidang

2sin2cos22

cossin2sincos 221

xyyxyx

xyyxx

2cos2sin2

)(

)sin(coscossin)( 2211

xyyx

xyyxyx

Tegangan utama dan tegangan geser maksimum

• Nilai tegangan utama diperoleh dengan menurunkan persamaan transformasi terhadap sudut

yx

xyp

xyyxx

d

d

22tan

02cos22sin)(1

Tegangan utama

• Setelah harga 2 didapat, kita masukkan ke dalam persamaan transformasi, sehingga kita dapatkan nilai tegangan utama

2

2

1 22 xyyxyx

2

2

2 22 xyyxyx

Tegangan geser maksimum

xy

yxs

xyyxyx

d

d

22tan

02sin22cos)(11

• Harga 2 dimasukkan ke persamaan transformasi

2

2

21

2

2

maks

xyyx

maks

Lingkaran Mohr

• Salah satu cara mendapatkan nilai tegangan utama dan geser maksimum adalah dengan menggunakan Lingkaran Mohr

• Jika persamaan transformasi dikuadratkan dan di jumlahkan pada masing-masing ruas di dapat persamaan sbb.

2

2

2

2

112

2

1

2

2

22

xyyx

yxratarata

xyyx

yxyx

x

R

Persamaan lingkaran Mohr

2211

21 Ryxrataratax

2

x1y1

x1

R

rata-rata

Pembuatan lingkaran Mohr• Gambarlah satu set sumbu koordinat dengan x1

sebagai absis (positif ke kanan) dan x1y1 sebagai ordinat (positif ke bawah)

• Tentukan lokasi pusat lingkaran C di titik yang mempunyai koordinat x1 = rata-rata dan x1y1 = 0

• Tentukan lokasi titik A, yang menggambarkan kondisi tegangan bidang x dari elemen

• Tentukan lokasi titik B, yang menggambarkan kondisi tegangan di bidang y dari elemen

• Gambar garis dari titik A ke titik B, melalui pusat C.• Dengan pusat C, gambar lingkaran Mohr melalui A dan

B.

Contoh

x

y

x

y

xy

B

A

Contoh

x

y

x1

y1D’x1y1

D

x1

o

C p1

D (

A (

x

rata-rata =(x+ y)/2

(x- y)/2

B (

xy

x1y1

D’

S2

S1

x1y1

xy

2

1

P2 P1

x1