1  

Microstructure-­‐Properties:  I    Materials  Properties:  Strength  

27-­‐301  Lecture  3  

Profs.  A.  D.  Rolle3,    M.  De  Graef  

Microstructure   Properties  

Processing   Performance  

Last  modi9ied:  13th  Sep.  ‘15  

2   Objective  •  The  objec>ve  of  this  lecture  is  to  explain  to  you  how  the  material  property  

strength  is  controlled  by  disloca>ons  in  duc>le  materials.    •  Strength  is  defined  and  used  to  illustrate  the  rela>onship  between  materials  

proper>es  and  microstructure.  •  More  specifically,  this  lecture  explains  the  Taylor  Equa>on  [Saada,  Acta  

metall.  (1960)]  that  relates  yield  strength  to  disloca>on  content  of  a  material  (and  other  obstacles  to  disloca>on  flow):  

                     σy  =  M  α  G  b  √ρ  

•  Movies  of  disloca>ons  moving  under  stress  (discrete  disloca>on  dynamics  simula>ons):  look  at  

•  h3p://zig.onera.fr/DisGallery/  •  h3p://virtualexplorer.com.au/special/meansvolume/contribs/jessell/labs/

lab1a.html  

3   Notation  L,  l    specimen  length  ε      strain  G    (or  µ)    shear  modulus  b      Burgers  vector  magnitude  ρ      disloca>on  density  (  m  per  m3  ,  or  number  per  m2)  r      Par>cle  size  (radius)  f    ≡VV(α)    volume  frac>on  (of  precipitates)  σ      stress  (macroscopic)  τ    shear  stress  (cri>cal  value,  in  some  cases)  u    displacement  A    area  (cross  sec>on  of  specimen)  α      geometrical  constant  (of  order  0.5  )  φ    angle  between  disloca>on  and  line  perpendicular  to  the  obstacle  line  <L3>      mean  intercept  length  (of  precipitates)    λ    mean  spacing  (of  obstacles,  such  as  disloca>ons,  precipitates)  F    force  A    area  (cross  sec>on  of  specimen)  m    Schmid  factor  (func>on  of  crystal  orienta>on)  M    Taylor  factor  (func>on  of  orienta>on,  texture)  ∆2      nearest  neighbor  distance  λ, φ    angles  between  tensile  axis  and  slip  direc>on,  slip  plane  normal,  respec>vely  

4   Key  Concepts  

•  Stress,  yield  strength,  typical  values,  extreme  values  

•  Disloca>on  loops  between  obstacles,  obstacle  spacings  

•  Cri>cal  resolved  shear  stress,  rela>onship  to  shear  modulus,  yield/modulus  is  o]en  a  small  frac>on  (σy  ~  Y/1000)  especially  in  pure  metals  

•  Schmid  factors,  average  Taylor  factor  for  polycrystalline  materials  

Q&A  1  •  Give  examples  of  different  ways  to  measure  strength  Tensile  test,  torsion  test,  Hopkinson  bar  test  (dynamic),  creep  test  •  Why  do  disloca>ons  control  yield  strength?  Disloca>ons  control  yield  strength  because  plas>c  deforma>on  depends  on  disloca>on  slip,  the  resistance  to  which  depends  on  obstacle  spacing.  •  Explain  the  Orowan  bowing-­‐out  model  for  strength.  Disloca>ons  have  line  tension  (think  rubber  bands)  and,  under  shear  stress,  stretch  out  between  obstacles  un>l  they  contact  on  the  other  side.    The  strength  model  is  obtained  as  a  force  balance  between  the  line  tension  and  the  reac>on  force  from  the  obstacles.  •  Explain  the  difference  between  “cri>cal  resolved  shear  stress”  (CRSS)  and  yield  strength.  The  CRSS  is  the  shear  stress  required  to  move  disloca>ons  on  their  slip  plane  and  there  is  a  geometrical  factor  between  this  value  and  the  macroscopic  (or  far  field)  stress  that  must  be  applied  to  the  material.  •  Explain  how  par>cles  and  disloca>ons  control  the  CRSS  (via  Orowan  bowing-­‐out).  The  answer  to  this  is  the  same  as  for  the  Orowan  bowing  strength.  •  Why  does  strength  scale  with  elas>c  modulus?    Which  modulus?  How  does  modulus  relate  to  

mel>ng  point?  The  line  tension  of  disloca>ons  depends  on  both  shear  modulus  and  the  magnitude  of  the  Burgers  vector.    The  shear  modulus,  as  with  all  moduli,  scales  with  the  mel>ng  point.  •  What  is  the  difference  between  “single  slip”  (Schmid  factor)  and  “mul>ple  slip”  (Taylor  factor)?  The  standard  analysis  of  disloca>on  analyzes  the  resolved  shear  stress  on  a  single  slip  system,  which  is  quan>fied  with  the  Schmid  factor.    Deforming  a  polycrystal,  however,  means  that  each  grain  must  deform  like  the  overall  polycrystal,  which  requires  mul4ple  slip  systems  to  operate.    This  is  quan>fied  with  the  Taylor  factor  and  is  what  leads  to  the  von  Mises  criterion  for  duc>lity.  

5  

Q&A  2 •  Explain  what  the  Schmid  factor  is;  how  does  the  Schmid  factor  differ  from  the  Taylor  factor?  For  a  tensile  test  on  a  single  crystal,  the  Schmid  factor,  m,  is  the  ra>o  of  the  resolved  shear  stress  on  the  slip  system  to  the  applied  tensile  stress  (stress  boundary  condi>ons).    The  Taylor  factor,  M,  applies  to  deforma>on  of  a  grain  embedded  in  a  polycrystal  (strain  boundary  condi>ons)  and  is  the  ra>o  of  the  magnitude  of  the  applied  stress  to  the  cri>cal  resolved  shear  stress.    Generally  M>(1/m).  •  Why  is  the  square  root  of  the  disloca>on  density  important  to  strength?  Disloca>ons  represent  obstacles  to  flow  of  other  disloca>ons.    Consider  disloca>ons  that  thread  through  any  given  slip  plane:  the  distance  between  neighbor  pairs  of  disloca>ons  is  propor>onal  to  the  square  root  of  the  number  per  unit  area,  which  is  the  disloca>on  density.  This  is  quan>fied  with  the  Taylor  equa4on.  •  What  gives  rise  to  strain  hardening?    As  disloca>ons  move  through  crystals,  they  become  entangled  with  each  other  (see  the  movies  online)  and  deposit  disloca>on  line  length  which  increases  the  disloca>on  density,  which  in  turn  increases  the  flow  stress.  •  What  kinds  of  microstructure  give  high  strength  in  metallic  alloys?  Any  high  density  of  obstacles,  but  fine  precipitates  are  most  effec>ve.  •  What  is  the  Peierls  stress  and  why  does  it  explain  that  most  ceramics  are  very  strong  but  

bri3le?  The  Peierls  stress  is  the  intrinsic  resistance  to  disloca>on  mo>on  (not  discussed  in  this  lecture),  which  is  typically  high  in  ceramics.    Therefore  the  stress  intensity  at  the  >p  of  a  crack  cannot  be  relieved  by  disloca>on  mo>on,  which  allows  the  crack  to  propagate  under  load.  

6  

7   Strength  •  Strength  is  very  basic  to  the  value  of  a  structural  material.    We  

measure  it  in  terms  of  force  per  unit  area:  σ  =  F/A  •  Strength  means  resistance  to  irreversible  deforma>on  or,  if  you  

prefer,  the  upper  limit  of  elas>c  stress  that  is  safe  to  apply  to  a  material.  

•  Strength  is  highly  dependent  on  microstructure  because  it  is  propor>onal  to  the  difficulty  of  moving  disloca>ons  through  (and  between)  the  grains.  

•  Typical  values?    Most  useful  structural  metals  have  strengths  in  the  range  100-­‐1000  MPa;  ultra-­‐high  strength  steel  wire  can  be  produced  up  to  5,500  MPa!  

•  Engineers  are  o]en  taught  strength  as  being  related  to  (chemical)  composi>on.    Materials  engineers  study  strengthening  mechanisms  and  therefore  understand  how  to  control  strength.  

•  Strength  is  typically  measured  in  a  tension  test,  but  we  will  also  examine  this  test  when  we  discuss  duc<lity.  

8   Comparisons  

•  SOFT:  Lead  piping  (Roman!)  

•  HARD:  Comparison  of  high  strength  (pearli>c)  steels,  used  for  bridges,  tyre  cord    “Processing  and  mechanical  behavior  of  hypereutectoid  steel  wires,  D.  Lesuer  et  al.,  Metallurgy,  Processing  and  Applica>ons  of  Metal  Wires,  TMS,  1996.  

http://www.time-­‐travellers.org/Historian/Rome2001/romephotos.html  

www.brantacan.co.uk/ suspension.htm

9   Types  of  Strength  •  Elsewhere  in  the  course,  we  study  stress  and  strength  as  tensor  

quan>>es.    Here,  we  will  treat  them  as  scalar  quan>>es,  i.e.  a  single  number.  

•  There  are  different  modes  of  loading  materials:  –  Yield  Strength:  ambient  condi>ons,  low  strain  rate  –  Dynamic  Strength:  ambient  condi>ons,  high  strain  rate  –  Creep  Strength:  high  temperature  strength,  low  strain  rate  –  Torsion  Strength:  strength  in  twis>ng  –  Fa>gue  Strength:  alterna>ng  stresses  

•  The  strength  value  is  highly  dependent  on  the  loading  mode.    This  indicates  that  strength  has  both  complex  and  analy>cal  a3ributes.  

•  Each  type  of  strength  is  controlled  by  a  variety  of  strengthening  mechanisms.  

10   Yield  strength  •  A  yield  strength  is  a  boundary  between  elas>c  and  

plas>c  flow.    This  means  that  it  corresponds  to  a  threshold  of  some  kind  and  therefore  it  is  a  complex  property.  We  now  establish  that  it  is  directly  related  to  how  difficult  it  is  to  move  a  disloca>on  across  its  slip  plane.  

σ=0   σ elastic   plastic  Example:  tensile  stress  

σ=  σyield

11   Dislocation  Motion  •  Disloca>ons  control  most  aspects  of  strength  and  duc>lity  in  structural  (crystalline)  materials.  

•  Our  objec>ve  in  reviewing  the  characteris>cs  of  disloca>ons  is  so  that  we  can  understand  and  control  strengthening  mechanisms.  

•  The  strength  of  a  material  is  controlled  by  the  density  of  defects  (disloca4ons,  second  phase  par4cles,  boundaries).  

•  For  a  polycrystal,  for  which  we  have  to  average  the  Taylor  factors,  we  have  the  Taylor  Equa>on:  

                     σyield  =  <M>  τcrss  =  <M>  α  G  b  √ρ  

12   Dislocation  glide  •  Recall  the  effect  of  disloca>on  mo>on  in  a  crystal:  passage  

causes  one  half  of  the  crystal  to  be  displaced  rela>ve  to  the  other.    This  is  a  shear  displacement,  giving  rise  to  a  shear  strain.  

[Dieter]  

13   Dislocations  &  Yield  

[Dieter]  

•  Straight  lines  are  not  a  good  approxima>on  for  the  shape  of  disloca>ons,  however:  disloca>ons  really  move  as  expanding  loops.                

•  The  essen>al  feature  of  yield  strength  is  the  density  of  obstacles  that  disloca>ons  encounter  as  they  move  across  the  slip  plane.    Higher  obstacle  density  ⇒  higher  strength.  

14   Why  is  there  a  yield  stress?  

[Dieter]  

•  One  might  think  that  disloca>on  flow  is  something  like  elas>city:  larger  stresses  imply  longer  distances  for  disloca>on  mo>on.    This  is  not  the  case:  disloca>ons  only  move  large  distances  once  the  stress  rises  above  a  threshold  or  cri<cal  value  (hence  the  term  cri<cal  resolved  shear  stress).  

•  Consider  the  expansion  of  a  disloca>on  loop  under  a  shear  stress  between  two  pinning  points  (Frank-­‐Read  source).  

To  understand  these  shapes,  try  pulling  a  rubber  band  between  two  pencils  

15   Orowan  bowing  stress  

1

2

3

2r

λ

•  If  you  consider  the  three  consecu>ve    posi>ons  of  the  disloca>on  loop,  it  is    not  hard  to  see  that  the  shear  stress    required  to  support  the  line  tension  of    the  disloca>on  is  roughly  equal  for  posi>ons  1  and  3,  but  higher  for  posi>on  2.    Moreover,  the  largest  shear  stress  required  is  at  posi>on  2,  because  this  has  the  smallest  radius  of  curvature.    A  simple  force  balance  (ignoring  edge-­‐screw  differences)  between  the  force  on  the  disloca>on  versus  the  line  tension  force  on  each  obstacle  then  gives τmaxbλ =  (Gb2/2),  ⇔  τmax =  Gb/λ    where  λ  is  the  separa>on  between  the  obstacles  (strictly  speaking  one  subtracts  their  diameter),  b  is  the  Burgers  vector  and  G  is  the  shear  modulus  (Gb2/2  is  the  approximate  disloca>on  line  tension).  

16   Orowan  Bowing  Stress,  contd.  •  To  see  how  the  force  balance  applies,  

consider  the  rela>onship  between  the  shape  of  the  disloca>on  loop  and  the  force  on  the  disloca>on.  

•  Line  tension  =  Gb2/2  Force  resolved  in  the  ver>cal  direc>on  =  2cosφ Gb2/2  Force  exerted  on  the  disloca>on  per  unit  length  (Peach-­‐Koehler  Eq.)  =  τb  Force  on  disloca>on  per  obstacle  (only  the  length  perpendicular  to  the  shear  stress  ma3ers)  =  λτb  

•  At  each  posi>on  of  the  disloca>on,  the  forces  balance,  so    τ  =  cosφ Gb2/λb  

•  The  maximum  force  occurs  when  the  angle  φ  =  0°,  which  is  when  the  disloca>on  is  bowed  out  into  a  complete  semicircle  between  the  obstacle  pair:  τ  =  Gb/λ  

τ  

λ  

Gb2/2   Gb2/2  

φ  

τ  

λ  

Gb2/2   Gb2/2  

φ=0°  

17   Critical  resolved  shear  stress  •  It  should  now  be  apparent  that  disloca>ons  will  only  move  short  

distances  if  the  stress  on  the  crystal  is  less  than  the  Orowan  bowing  stress.    Once  the  stress  rises  above  this  value,  which  we  call  the  cri<cal  resolved  shear  stress,  then  any  disloca>on  can  move  past  all  obstacles  and  will  travel  across  the  crystal  or  grain.    This  explains  why  plas>c  deforma>on  is  highly  non-­‐linear.  

•  This  analysis  is  correct  for  all  types  of  obstacles,  including  second  phase  par>cles  (precipitates)  and  disloca>ons  (that  intersect  the  slip  plane).    For  weak  obstacles,  the  shape  of  the  cri>cal  configura>on  is  not  the  semi-­‐circle  shown  above  (to  be  discussed  later)  -­‐  the  disloca>on  does  not  bow  out  so  far  before  it  breaks  through  the  obstacle.    Since  it  is  commonly  the  case  that  the  cri>cal  resolved  shear  stress  is  less  than  the  Orowan  stress,  we  have  to  include  a  factor,  α<1,  in  the  Taylor  equa>on.  

18   Arrays  of  Obstacles  

[Hull  &  Bacon]  

•  In  reality,  obstacles  are  not  uniformly  distributed  and  so  there  is  a  spectrum  of  obstacle  strengths.    Again,  it  turns  out  that  this  makes  a  rela>vely  minor  difference  to  the  cri<cal  resolved  shear  stress,  τcrss,  which  can  be  es>mated  from  a  knowledge  of  the  average  obstacle  spacing,  λ,  the  Burgers  vector  magnitude,  b,  and  the  shear  modulus,  G,  of  the  material,  and  a  geometrical  factor,  α,  that  takes  account  of  the  flexibility  of  the  disloca>ons  and  the  finite  strength  of  obstacles  (i.e.  that  they  do  not  have  to  bow  out  to  the  maximum  stress  semi-­‐circular  posi>on:  

                             τcrss  =  αµb/λ.  

-­‐  What  is  this  distance,  λ?  For  disloca>ons  that  are  flexible  (or,  the  obstacles  are  strong),  we  need  the  nearest  neighbor  distance,  ∆2.  -­‐  The  geometrical  factor,  α,  is  generally  taken  to  be  0.5.    This  is  because  disloca>ons  break  through  obstacles,  on  average,  at  an  angle,  φ,  less  than  90°.  

19  Stereology:  Nearest  Neighbor  Distance  •  The  nearest  neighbor  distance  (in  a  

plane),  ∆2,  can  be  obtained  from  the  point  density  in  a  plane,  PA.  

•  The  probability  density,  P(r),  is  given  by  considering  successive  shells  of  radius,  r:  the  density  is  the  shell  area,  mul>plied  by  the  point  density  ,  PA,  mul>plied  by  the  remaining  frac>on  of  the  cumula>ve  probability.  

•  For  strictly  1D  objects  such  as  disloca>ons,  ∆2  may  be  used  as  the  mean  free  distance  between  intersec>on  points  on  a  plane.  

P(r)dr = 1 − P(r)dr0

r

∫[ ]PA2πrdrP(r)dr = 2πrPAe−πr

2PA

Δ 2 = rP(r)dr0

∞

∫Δ 2 =

12 PA

r  

dr  

Ref:  Underwood,  pp  84,85,185.  Not  examinable  

20   Dislocations  as  obstacles  

θ”

•  Disloca>ons  can  be  considered  either  as  a  set  of  randomly  oriented  lines  within  a  crystal,  or  as  a  set  of  parallel,  straight  lines.    The  la3er  is  easier  to  work  with  whereas  the  former  is  more  realis>c.  

•  Disloca>on  density,  ρ,  is  defined  as  either  line  length  per  unit  volume,  LV.    It  can  also  be  defined  by  the  areal  density  of  intersec>ons  of  disloca>ons  with  a  plane,  PA.  

•  For  randomly  oriented  disloca>ons,  use  standard  stereology,  along  with  the  rela>onship  between  points  and  average  free  distance  between  points:    λ ={LV/2})-­‐1  ≡  (2√{ρ/2})-­‐1.    λ  is  the  obstacle  spacing  in  any  plane.  

•  Straight,  parallel  disloca>ons:  use    ρ  =  LV  =  PA    where  PA  applies  to  the  plane  perpendicular  to  the  disloca<on  lines  only;  ∆2=(PA)-­‐1/2;    thus  λ =  1/√LV    ≡  1/√ρ    where  λ  is  the  obstacle  spacing  in  the  plane  orthogonal  to  the  disloca<on  lines  only.  

•  Thus,  we  can  write  τcrss  =  α µ  b  √ρ [Courtney]  

21   Single  Crystal  Deformation  •  To  make  the  connec>on  between  disloca>on  behavior  and  yield  strength  as  measured  in  tension,  consider  the  deforma>on  of  a  single  crystal.  

•  Given  an  orienta>on  for  single  slip,  i.e.  the  resolved  shear  stress  reaches  the  cri>cal  value  on  one  system  ahead  of  all  others,  then  one  obtains  a  “pack-­‐of-­‐cards”  straining.  

[Dieter]  

22   Resolved  Shear  Stress  •  Geometry  of  slip:  how  big  an    

applied  stress  is  required  for  slip?  •  To  obtain  the  resolved  shear  

stress  based  on  an  applied  tensile  stress,  take  the  component  of  the  stress  along  the  slip  direc>on  which  is  given  by  Fcosλ,  and  divide    by  the  area  over  which  the  (shear)  force  is  applied,  A/cosφ.    Note  that    the  two  angles  are  not  complementary  unless  the  slip  direc>on,  slip  plane  normal  and  tensile  direc>on  happen  to  be  co-­‐planar.    

 τ  =  F/A  cosλ cosφ = σ cosλ cosφ = σ m  ⇔  σ  =  τ / m  

Schmid  factor  =  m  

[Dieter]  

23   Critical  Resolved  Shear  Stress  •  The  experimental  evidence  of  Schmid’s  Law  is  that  there  is  a  

cri<cal  resolved  shear  stress.    This  is  verified  by  measuring  the  yield  stress  of  single  crystals  as  a  func>on  of  orienta>on.    The  example  below  is  for  Mg  which  is  hexagonal  and  slips  most  readily  on  the  basal  plane  (all  other  τcrss  are  much  larger).  

“Soft  orientation”,  with  slip  plane  at  45°to  tensile  axis  

“Hard  orientation”,  with  slip  plane  at  ~90°to  tensile  axis  

σ = τ/cosλcosφ

24   Polycrystal  Deformation  

[Dieter]  Note  varying  orientations  of  slip  planes  

•  Mul>ple  slip  is  needed  in  each  grain  in  order  to  have  the  grains  in  the  polycrystal  hang  together.  

•  Consider  how  a  polycrystal  deforms  with  slips  in  individual  grains,  each  of  which  has  a  different  orienta>on.  (a)  undeformed  (b)  single  slip,  leading  to  gaps  and  overlaps    (hypothe>cal)  (c)  crea>on  of  geometrically  necessary  disloca>ons  (d)  compa>ble  deformed  grains  

25   Polycrystals:  Taylor  factor  •  Again,  in  polycrystals,  each  grain  must  deform  in  mul<ple  slip,  meaning  that  

several  slip  systems  have  to  be  ac>ve  at  once  in  order  for  an  individual  grain  to  change  shape  in  the  same  way  as  the  bulk  material.  

•  Each  grain  has  a  Taylor  factor,  M,  which  is  analogous  to  (but  generally  larger  than)  the  reciprocal  of  the  Schmid  factor,  1/cosλcosφ = 1/m.    Just  as  for  the  Schmid  factor,  the  Taylor  factor  depends  on  the  orienta>on.  The  Taylor  factors  can  be  averaged  over  all  the  grains,  which  means  that  the  average  Taylor  factor,  <M>,  is  a  func>on  of  texture.  

•  For  a  polycrystal,  σyield  =  <M>  τcrss  =  M  α  G  b  √ρ  •  Typical  value  of  <Μ> = 3.1,  i.e.  the  apparent  hardness  of  the  polycrystal  is  

approximately  three  >mes  the  cri>cal  resolved  shear  stress.  This  ra>o  is  significantly  higher  than  the  average  of  the  reciprocal  Schmid  factors  for  the  same  set  of  orienta>ons.  

•  [not  examinable]  The  reason  that  the  Taylor  factor  (~  3)  is  larger  than  the  corresponding  reciprocal  Schmid  factor  (which  has  a  maximum  of  2)  is  because  the  stress  in  each  grain  has  to  take  very  specific  tensor  values  in  order  to  ac<vate  slip  on  mul<ple  systems,  and  the  magnitude  of  these  special  stress  states  is  larger  than  the  applied  (far  field)  stress.  

26   Work  Hardening  Equations  •  Where  does  the  stress-­‐strain  curve  come  from?    Why  does  the  flow  stress  

(cri>cal  resolved  shear  stress)  increase  with  strain?  •  As  slip  takes  place  in  a  crystal,  even  in  cases  where  only  one  slip  system  appears  

to  be  ac>ve  (macroscopically),  more  than  one  system  (or  set  of  disloca>ons)  is  in  fact  ac>ve.    Whenever  two  slip  systems  cross  each  other  (intersect),  the  disloca>ons  react  with  each  other,  leading  to  tangling.    This  tangling  up  of  disloca>ons  means  that  disloca>on  line  length  is  le]  behind  in  the  crystal,  thus  genera>ng  more  obstacles  to  disloca>on  mo>on  (and  raising  the  cri>cal  resolved  shear  stress).  

•  Work  hardening  is  s>ll  a  very  difficult  theore>cal  problem,  so  we  rely  on  empirical  descrip<ons  such  as  the  “power  law”  men>oned  earlier:  

                                                           σT = σyield + Kεn   !

•  Alterna>vely,  the  extended  Voce  hardening  law  (wri3en  in  terms  of  a  single  slip  system)  is  as  follows,  where  τ0, θ0, τ0+τ1  and  Γ  are  the  ini>al  CRSS,  the  ini>al  hardening  rate,  the  satura>on  CRSS,  and  the  accumulated  shear.  We  call  these  sorts  of  equa>ons  “cons>tu>ve  rela>ons”:  !

27   Summary  of  Plastic  Deformation  •  The  following  points  are  useful  as  a  summary  of  important  

features  of  plas>city  from  a  material  perspec>ve.      •  Single  crystal  behavior  reflects  the  anisotropy  of  the  crystal  

for  both  elas>c    (see  lecture  on  elas>city)  and  plas>c  behavior.  

•  Single  crystal  plas>c  behavior  is  controlled  by  disloca>on  movement;  deforma>on  twinning  can  supplement  disloca>on  glide,  however,  and  is  more  common  in  lower  symmetry  crystals.  

•  The  presence  of  disloca>ons  that  can  glide  at  low  (cri>cal  resolved)  shear  stresses  means  that  metals  yield  plas>cally  at  stresses  far  below  the  theore>cal  strength.      

28  

Plastic  Deformation  Summary,  contd.  •  There  is  a  cri>cal  shear  stress  for  disloca>on  flow  on  any  given  slip  system;  

this  phenomenon  is  known  as  Schmid's  Law.    The  response  is  elas>c  if  all  resolved  shear  stresses  are  less  than  the  cri>cal  value:      τelastic<  cosφ  cosλ σapplied  (or,  τelastic<  bσappliedn).  

•  Mechanical  tests  on  single  crystals  generally  ac>vate  only  one  slip  system  and  work  hardening  is  low.    The  slip  system  that  ac>vates  is  the  one  on  which  the  resolved  shear  stress  first  reaches  the  cri<cal  resolved  shear  stress.    This  means  that  the  system  with  the  largest  Schmid  factor  is  the  ac>ve  system.  

•  Larger  strains  in  single  crystal  tests,  or  coincidence  of  the  principal  stress  with  a  high  symmetry  axis  leads  to  mul>ple  slip  (slip  on  more  than  one  system);  in  this  case  the  stress-­‐strain  behavior  is  polycrystal-­‐like.  

•  A  polycrystals  can  be  thought  of  as  a  composite  of  single  crystals.    The  appropriate  model  for  this  composite  is  the  iso-­‐strain  model  (equivalent  to  the  affine  deforma>on  assump>on  discussed  previously  for  polymers).    By  averaging  the  stresses  (or  strains)  required  for  mul<ple  slip  in  each  crystal,  an  average  for  the  Taylor  factor,  can  be  obtained  whose  value  is  3.07  for  cubic  materials  deformed  in  tension  or  compression  with  {111}<110>  (or  {110}<111>)  slip  systems.  

29   Overall  Summary  

•  The  concept  of  strength  as  a  material  property    has  been  explored.  

•  An  illustra>on  of  the  dependence  of  structural  proper>es  on  microstructure  has  been  given.  

•  The  “Taylor  Equa>on”  that  relates  yield  strength  to  disloca>on  content  of  a  material  has  been  explained.  

•  Study  the  ques>ons  and  answers  provided  in  addi>on  to  the  notes  themselves.  

30   References  •  Materials  Principles  &  Prac>ce,  Bu3erworth  Heinemann,  Edited  

by  C.  Newey  &  G.  Weaver.  •  G.E.  Dieter,  Mechanical  Metallurgy,  McGrawHill,  3rd  Ed.  •  D.  Hull  and  D.  J.  Bacon  (1984).  Introduc>on  to  Disloca>ons,  

Oxford,  UK,  Pergamon.  •  T.  H.  Courtney  (2000).  Mechanical  Behavior  of  Materials,  

Boston,  McGraw-­‐Hill.  •  P.  Follansbee  (2013).    Fundamentals  of  Strength,  TMS.  •  Scholarly  ar>cle  about  work  hardening:  Kocks,  U.  F.  &  Mecking,  

H.,  'Physics  and  phenomenology  of  strain  hardening:  the  FCC  case',  Progress  in  Materials  Science,  48,  171-­‐273  (2003).  

Supplement  •  Following  slides  discuss  more  general  hardening  mechanisms,  

especially  par>cle  hardening.    The  development  is  based  on  Courtney’s  textbook  (2000).  

31  

Hardening  Mechanisms  •  More  disloca>ons:  work  hardening  accomplishes  this  (in  duc>le  materials).  •  Internal  Boundaries:  grain  boundaries  can  have  a  strong  strengthening  effect.    This  is  

classically  known  as  the  Hall-­‐Petch  effect.  •  Disloca>on  Boundaries:  at  large  strains  and  higher  temperatures,  low  angle  

boundaries  appear  as  a  subgrain  network  forms.    We  dis>nguish  this  microstructural  feature  from  the  first  two  categories  because  the  [la�ce]  misorienta>ons  are  much  smaller  (2-­‐5°)  than  grain  boundaries  (15+°)  and  they  are  dis>nct  from  sta>s>cally  stored  disloca>ons.  

•  Second  Phase  Par>cles:  whether  introduced  as  insoluble  par>cles  in  powder  compac>on,  or  as  precipitates  in  a  solid  state  reac>on,  second  phase  par>cles  are  generally  the  most  potent  strengthening  agent  in  prac>cal  high  strength  engineering  materials.    Iron-­‐base,  aluminum,  nickel,  >tanium  alloys  all  employ  second  phases  to  achieve  high  strength.  

•  Solutes:  solutes  in  a  crystal  act  as  obstacles  to  disloca>on  mo>on  through  their  elas>c  and/or  chemical  interac>ons  with  disloca>ons.    Most  solutes  are  weak  hardeners  except  for  the  (technologically)  important  class  of  inters>>al  solutes  that  induce  anisotropic  distor>ons  of  the  la�ce,  e.g.  tetragonal  distor>ons  of  C  in  Fe.  

32  

Particle  Hardening  •  If  the  obstacles  to  disloca>on  flow  are  primarily  par>cles  then  we  need  to  

adjust  the  rela>onship  as  follows.    Two  different  types  of  par>cle  strengthening  are  either  par>cle  cu�ng,  typical  of  an  underaged  condi>on,  or  bowing  around  (impenetrable)  par>cles,  typical  of  an  over-­‐aged  condi>on.    Trea>ng  the  la3er  first,  we  note  that  we  need  to  determine  the  obstacle  spacing  on  the  slip  plane,  Λ.    To  get  this  we  note  (from  Hull  &  Bacon)  that  for  precipitates  of  volume  Nb3  (N  is  the  number  of  atoms  per  par>cle),  then  the  average  area  on  a  sec>on  plane  (i.e.  slip  plane)  is  (π/6)1/3  (Nb3)2/3,  then  the  volume  frac>on  of  precipitates,  c,  must  be  equal  to  this  (stereological  standard  result),  giving  us:    

c  =    (π/6)1/3  (Nb3)2/3  /  Λ2,  i.e.  L  =  b  N1/3/√c  

•  The  Orowan  stress  then  follows  from  inser>ng  this  value  into  the  basic  looping  stress  equa>on:  

τ  =  Gb/λ  =    Gb/(b  N1/3/√c)  =  0.84  G  N-­‐1/3  √c.    

33  

Strengthening  from  Under-­‐Aged  Particles  

•  Returning  to  the  subject  of  under-­‐aged  par>cles,  which  are  penetrable,  we  need  to  be  able  to  es>mate  their  strength.    Again,  there  are  a  number  of  mechanisms  which  may  control  the  stress  required  for  penetra>on.    A  brief  list  is  as  follows.  

1)    Coherency  Hardening:    differences  in  density  between  the  par>cle  and  the  matrix  give  rise  to  elas>c  stresses  in  the  vicinity  of  the  par>cle.  2)    Chemical  Hardening:    crea>on  of  new  surface  when  a  par>cle  is  sheared  increases  the  area  of  the  interphase  boundary,  which  increases  the  energy  associated  with  the  interface  and  hence  an  addi>onal  force  must  be  exerted  on  the  disloca>on  to  force  it  through  the  par>cle.  3)    Order  Hardening:    passage  of  a  disloca>on  through  an  ordered  par>cle,  e.g.  Ni3Al  in  superalloys,  results  in  a  disordered  la�ce  and  the  crea>on  of  an>phase  boundaries.      4)    Stacking-­‐fault  Hardening:    a  difference  in  stacking  fault  energy  between  par>cle  and  matrix,  e.g.  Ag  in  Al,  increases  flow  stress  because  of  the  different  separa>on  of  par>al  disloca>ons  in  the  two  phases.  5)    Modulus  Hardening:    a  large  difference  in  elas>c  modulus  results  in  image  forces  when  a  disloca>on  in  the  matrix  approaches  a  par>cle.    Consider,  e.g.,  the  difference  between  silver  par>cles  (nearly  the  same  shear  modulus)  and  iron  par>cles  (much  higher  shear  modulus)  in  aluminum.  •  Unfortunately,  in  real  materials,  there  may  be  more  than  one  mechanism  that  could  be  operable  and  it  can  be  

hard  to  dis>nguish  between  them  because  there  are  only  subtle  differences  between  the  mechanisms  in  terms  of  dependence  on  par>cle  size  etc.  

34  

Solute  Hardening  •  Most  solutes  have  only  a  rather  weak  effect  on  strength.    In  other  words,  even  if  you  put  several  per  cent  of  a  

soluble  atom  into  another  element,  you  will  not  see  a  drama>c  increase  in  flow  stress.    You  must  use  second  phase  par>cles  for  that.    The  excep>on  to  this  statement  concerns  inters>>al  elements  in  bcc  metals,  for  which  the  la�ce  distor>on  is  non-­‐spherical.    There  is  not  space  to  delve  into  the  details,  but  the  energy  that  is  required  to  separate  a  disloca>on  from  an  inters>>al  solute  atom  is  appreciable.    These  remarks  can  be  quan>fied  by  going  back  to  the  first  equa>on,  i.e.  the  force  balance  between  the  forward  mo>on  and  the  resis>ng  force.    For  subs>tu>onal  solutes,  the  RHS,  i.e.  the  reac>on  force  from  the  solute  atoms  is  of  order  Gb2/120,  which  is  a  small  number.    This  means  that  they  are  weak  obstacles  are  disloca>ons  remain  nearly  straight  when  interac>ng  with  them  (fig.  5.2b).    Inters>>als  in  bcc,  however,  can  exert  forces  on  the  order  of  Gb2/5  to  Gb2/10,  which  are  large  values.    In  this  case,  the  disloca>ons  bow  out  significantly  between  the  atoms,  and  the  breaking  angle  deviates  significantly  from  180°.    In  this  case,  the  concentra>on  dependence  is  easy  to  obtain.    The  spacing  between  inters>>als  is  inversely  propor>onal  to  the  (square  root  of  the)  concentra>on,  and  so  we  can  insert  a  spacing  into  the  standard  formula  to  get  the  following,  where  g  is  a  constant  of  order  unity:  

τ  =  γGB(√c/b)  =  γG√c.    •  The  effec>ve  spacing  for  subs>tu>onal  solutes  is  much  larger  because  of  the  weak  interac>on:  L  ~  b/√(c{π-­‐f}).    

The  angle  π-­‐φ  ~  1°,  so  L  =  8b/√c.    Combine  that  with  the  small  force,  and  you  get  Eq.  5.22:  τ  =  Gε3/2  √c  /  700  

•  In  this  equa>on,  ε  is  a  parameter  that  is  derived  from  both  the  frac>onal  change  in  la�ce  parameter  with  concentra>on  (Eq.  5.14)  and  the  frac>onal  change  in  modulus  (Eqs.  5.18,  5.17).    However,  a  significant  degree  of  empiricism  is  s>ll  needed  via  Eq.  5.19  in  order  to  make  a  correla>on  with  experimental  data.    

35