7/26/2019 1 FUNCION

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1. FUNCION, DOMINIO, RANGO Y GRAFICA

Estudiaremos aqui una clase esecial de relaciones de un con!unto Aen un con!unto ". llamadas FUNCIONE# de A en $.

1. DEFINICION.% Dados dos con!untos no &ac'os A ( " ( una relaci)nf(AxB) entonces se *

F* E# FUNCI+NDE A EN "

ara cada - A. eiste un nico elementoyB tal que (x , y) f

1./E0EM2O#.%

#ean A341,/,56 , "3 4 a,7,c,d,e 618 F3491,78 , 9/,a8 , 95,d8 6 es una :unci)n de A en " 9 &er :i;ura.8ues cada elemento de A esta asi;nado a un nico elemento de", no es necesario cu7rir todo ".

f

A "

/8 No es :unci)n de A en " :3491,78 , 91,c8 , 9/,a8 , 95, e8

f A "

1.

2.

3.

a

b

c

d

1.

2.

3.

a

b

c

d

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ues se 7ien cada elemento xA tiene asi;nado un

elemento ( de " , este elemento ( no resulta 8 #i es :unci)n de A en " : 3 4 91,c8 , 9/, c8 , 95,c8 6 ues*

=3 1 est? asi;nado a solamente un elemento y=CB

=3 / est? asi;nado solamente un elemento y=CB

=3 5 est? asi;nado solamente un elemento y=CB

f A "

1.5O"#ER@ACION. #ea : una :unci)n de A en ", entonces1.% odo elemento de de A sin ececi)n de7e ser rimera

comonente de solamente un ar ordenado de : como en los

e!emlo s 918 ( 9>8.

1.

2.

3.

a

b

c

d

1.

2.3.

a

b

c

d

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/.% No ueden Ba7er dos ares ordenados di:erentes con la misma

RIMERA COMONENE.5.% ueden eistir &arios ares ordenadas con las mismas

#EGUNDA COMONENE como en el e!emlo 9>8.

>.% No es necesario que todo elemento y B sea la se;unda

comonente de al;n ar ordenado (x , y) f como en el

e!emlo 918 en el que los elementos c B y e B no

constitu(en la se;unda comonente de nin;n ar ordenado en

la FUNCI+N dada.

.%#i un elemento ( - " es la / comonente de un ar oedenado de: entonces el mismo elemento uede ser la se;undacomonente de &arios ares ordenados de la FUNCION :, comoen el e!emlo 9>8.

1.>NOACIONE#.%1. #i : es una FUNCION de A en " entonces se denota*

:: * A " ) A "

/. #i 9, (8 - : * A " entonces a la se;unda comonente ( se

le denota ( 3 :98 9que se lee : en ) : de 8 ( se dice quei8 Y es la IMAGEN de = &'a la :unci)n :.ii8 = es la REIMAGEN de ( &'a la :unci)n :.iii8 = es la &aria7le indeendiente.

f

A "x.

y= f(x)

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5.% se;n lo anterior una :unci)n f: AB resulta

f={(x , f(x))/xA }AxB

E2 DOMINIO de la :unci)n f :AB es el con!unto de todas las rimeras

comonentes de todas las rimeras comonentes de los elementos de : , en

este caso el con!unto A *

Dom f=A

E2 RANGO de la :unci)n f={(x)/xA}A x B es el con!unto de todas las

comonentes de los elementos de f , es decir es el con!unto de todas las

IMGENE# de : ( no necesariamente todo "*

Rang(f)={f(x)}B

Al con!unto " se llama CON0UNO DE 22EGADA de :.

El RANGO de : no siemre coincide con el con!unto de lle;ada " como en el

si;uiente e!emlo si;uiente *

1. E0EM2O.% sea A 3 4 1,/,5,> 6 , " 3 4a,7,c,d,e 6 . si : es la :unci)n :

3 491,a8 , 9/,78 , 95,c8 , 9>,c86 entonces*Dom : 3 A 3 41,/,5,> 6

Rang f= {a , b , c }B , B

f(1)=a pues(1,a) f ; a es laimagende1viaf

f(2)=b pues(2,b) f ; b es laimagende2viaf .

f(3)=c pues (3,c) f ; c es la imagende3viaf .

f(4)=c pues (4,c) f ; c eslaimagende 4viaf .

pues por notacin si(x , y ) f entonces y=f(x) .

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En este e!emlo tam7in se ilustra el BecBo que un solo

elemento yB uede ser la ima;en de &arios elementos xA

.

1.H DEFINICION.% Dada una :unci)n f: AB ( un su7con!unto

!A entonces se de:ine el CON0UNO IMAGENNE# 9&ia :8 al

con!unto*f(s)={ f(x)/x s }

que &iene a ser el con!unto de im?;enes corresondientes a los

elementos del con!unto #.

#e;n esta de:inici)n se tiene que el rang( f)=f(A)

IMAGEN DE ODO DOMINIO A &ia f .

1. ROIEDADE# DE2 CON0UNO IMAGEN.%

#e uede ro7ar que si "A , #A , f :A B entonces*

18 f("$#)= f(") f(#)

/8 f()=

58 no siemre se cumle que f("$#)=f(") f(#)

, como tal es el caso de f={(1,6),(2,6),(3,8)} ,

"{1 } , #= {2,3 } :" % #= , f(")={6} ,

f(#)= {6,8 } { f(")% f(#)=(6)y=f(& ) f(") con

4 f(")="#

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RUE"A DE 1*

y f("$#)y= f(& )paraalgun &"#

f(#)= {6,8 } f(x )={y= f(& ) f(")con &"y=f(& ) f(")con

y= f(& ) f(") f(#) ,con&"#

2as roiedades 9/8 9>8 se ueden ro7ar or el a7surdo.

Con :recuencia se de:ine una :unci)n mediante una re;la que ermite calcular

ara cualquier xDom f , su ima;en y=f(x) . or e!emlo* y=f(x )=x2

es una re;la que Bace corresonder a cada xDom f el elemento y='2

del con!unto de lle;ada.