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Mathematics for Statistics
1. 통계 기호 - Greek 문자
2. 지수와 로그
실수(real number), 양수(positive number), 은 양의 정수(integer)라 하다.
1) 지수 공식
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
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2) 상용로그 common log 공식 (지수의 역)
의 관계가 있으며 을 base (밑수), 을 power(승수)라 한다.
(1) (2)
(3) (4)
(5) - 밑이 e인 경우 이를 자연로그 natural log
(연습) ① ② ③
3. 감마합수, 수열과 조합
1) 감마함수
n이 정수인 경우 감마함수 (Gamma function)은 다음과 같이 정의된다.
(특수한 값)
, ,
,
,
xbba ax =⇒= log 1,0 ≠> aa 0>b
NMMN aaa logloglog += NMNM aaa loglog/log −=
MpM ap
a loglog = ba ba =log
logea = ln(a)
log410 = log10
0.4 = ln(10) =
∫∞
−− −==Γ0
1 )!1()( ndxexn xn
24!4)5( ==Γ 1)2( =Γ 1!0)1( ==Γ
...77245.1)21( ==Γ π π!
5.0)21( n
nn
n ""#
$%%&
' −=+Γ
...67893.2)31( =Γ
...62560.3)41( =Γ
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2) 조합(combination)과 순열(permutation)
순열은 서로 다른 n개의 개체 중 r 개를 뽑아 순서대로 정렬하는 경우의 수
조합은 서로 다른 n개의 개체 중 r 개를 뽑는 경우의 수
4. 시리즈
1) 산술 시리즈(arithmetic series) - 등차수열
(참고) ,
2) 기하 시리즈(geometric series) - 등비수열
, 단
알아 두면 유용한 합
!)(!Pr),(rnnnrnP−
==
!!)(!),(rrn
nnCrrnC−
==
순열, 조합
1) 1~9까지의 숫자로 서로 다른 3자리 숫자를 만들 수 있는 경우의 수?
2) 5명의 입사 지원자 중 2명을 임의 선발할 때 선발될 수 있는 가지 수?
3) 7명의 입사 지원자 중 여자 3명, 남자 4명이다. 여자에서 한 명, 남자에서 2명을 선발할 때 만들어질 수
있는 경우의 수?
!
))1(2(21))1((...)2()( dnandnadadaa −+=−+++++++
)1(21...21 +=+++ nnn 2)12(..5.31 nn =−++++
등차 수열
(1)
(2)
�
을 구하시오.300642 ++++ …
합을 구하시오. 99...963 ++++
)1()1(... 12
rraarararan
n−
−=++++ −
)1(...2
raarara−
=+++11
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3) 이항 시리즈(binomial series)
(by Pascal 삼각형)
3) Taylor 시리즈
함수 가 미분 가능하다면 임의의 상수 에 대해 다음이 성립한다.
만약 상수 이면 (Maclaurin series)
등비수열
(1)
(2)
(3)
�
을 구하시오...
541
181
61
21
++++
합을 구하시오. 177147...2793 ++++
을 구하시오....125.025.05.01 ++++
nnnnn xxann
xan
xan
axa +!!"
#$$%
&
−++!!
"
#$$%
&+!!
"
#$$%
&+=+ −−− 11221
1...
21)(
...1)1( 4321 ++−+−=+ − xxxxx
...54321)1( 4322 ++−+−=+ − xxxxx
이항 시리즈
1)
2)
�
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.100)92( yx − 5545 yx
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.7)23( yx − 34 yx
)(xf a
...!3
))((!2
))(())(()()(32+
−"""+
−""+−"+=
axafaxafaxafafxf
0=a ...!3)0(
!2)0()0()0()(
32+
!!!+
!!+!+=
xfxfxffxf
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5) 특수한 함수 시리즈
(by Taylor series)
5. 합과 곱의 기호
1) 합 sum �
(활용)
2) 곱 product �
(활용)
지수함수 시리즈
(1)
(2)
(3)
(1), (2)의 함수에서 x=3일 때 값을 구하시오.
전개식을 이용하여 (for() 문을 이용하고 반복은 5,000번까지 하시오) 구하고 계산기에 의해 구한 값과
비교하시오.
�
의 전개식을 구하시오.2+xe
의 전개식을 구하시오. xe3
...!3!2
132++++=
xxxex ...
432)1ln(
432+−+−=+
xxxxx
nn
xnx
e )1(lim +=∞→
xi = x1 +i=1
n
∑ x2 + ...+ xn
2(i +1) =i=0
5
∑ 0.32k =k=0
∞
∑ (3+ 2k) =k=0
5
∑
xi = x1x2...xni=1
n
∏
(i + 2) =i=0
5
∏ (0.5)k =k=0
5
∏
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(평균, 분산 공식)
확률변수 n개의 관측치를 라 하자.
• 평균 (mean)
• 분산 (variance) ,
(분산 간편식) ,
표준편차 (standard deviation) ,
합/곱기호 활용
, ( � )인 경우 다음을 구하시오.ixi = 10,...,2,1,0=i
, ( )인 경우 다음을 구하시오.ixi = 10,...,2,1,0=i
(1) � (2)� (3) �
(4) � (5) � (6) �
(7) � (8) �
=∑=
3
15
ii =∑ +
=
3
1)13(
kk =∑ ∑ +
= =
2
1
3
1)(
i kik
=∑ ∑ += =
2
1
3
1)3(
i kk =∑ ∑ +
= =
2
1
3
1)3(
i ki =∑ +
=+
3
01)(
jjj xx
=∑=
+2
01)(
jjj xx =∑
=+
3
022
jjx
(1) � (2)� (3) �
(4) � (5) � (6) �
=+=⨿3
1
2)1(ii =+
=⨿3
1)1(
i
ii ==⨿10
0iix
==⨿5
3
2
iix =
=⨿3
1iiix =
=+⨿
10
92
iii xx
),,,( 21 nxxx …
nxn
xXXE
n
ii
n
ii
/)(1
1 ∑=∑
====
=µ
n
xXV
n
ii∑ −
== =1
22
)()(
µ
σ1
)()( 1
22
−
∑ −
== =n
xxXVs
n
ii
22
2 xnxi −∑=σ 2
22
11x
nn
nx
s i−
−−
∑=
2σσ = 2ss =
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