01b Lectura Torsion-Flexotorsion

8/16/2019 01b Lectura Torsion-Flexotorsion

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Pandeo por Torsión y Flexo ‐torsión(Lectura Obligatoria)


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Por supüeStO, la Ec. «(1 ) se aplica. wnbién a p ieus sólidas de sección·transv ers al circular .

Si el tubo de la Ftg. 4-61a se corta sobre una sección longitudinal enA. los esfuerzos oor1antes que resultan si se le tuerce son los mostrados

en la Fig . 4-61b. Debldo.a que los esfuen.os cortantes en la secc ión Ion ·gitudinal del tubo de la rtg . l a DO pueden existir en el tubo ranurado .existe un desplazamiento w:rtical Telativo en la ranura y la distribuciónde los eslUeaos cortantes es completamente düerente . Sin embargo , la variaci ón de esfue rzos es aún lineal si DO se excede el limit e de proporcionalidad . l....as rigideces 1'elativ.as de los dos tubos se pueden inferir siobservamos qu e la resistencia torsiDnal del tubo ce rrado consiste en parescon un brazo -de momento promedio aproximadamente igual al diámetrodel tubo , mienttas que 'Cn la Fig . ~ l b el brazo de momento promedio esmen or qu e el espesor .

El ángu lo d e giro por torsi ón , por unidad de longitud , de una secció ntransversal no circular, sólida o tubular . está dado por

T0 = - J (4 -58)

en donde 1 es I..a CODstante de tor' ión de la sección trans versal. Por supuesto , J = . si la secci ón tr..anversal es circular.

Los es fuerzo s cortantes que resultan cuando una secció n sólid a rectangular se somet e a torsión se muestran en la Fig. 4-61c . La constante corre spondi en te j está ·dada -en fUTDa muy aproximada por

J=J3I_O.630i) b > t b)en donde l Y t son las ,dimensiones mostradas en la figura . SI la relaciónbt ¡ es gra nd e , la Ec . ( b ) se puede escribir

b"J = 3 (4-59)Por ejemplo, sllb l t = 6, el en-Gr.al usar la Ec. ( 4-59) es únicamente deun 10 .

La co ns tant e de torsió n . del tubo r anurado de la Fig. 4-6 1b está dadapOr la Ec . 4 -59 ), siendo b igual a la circunferencia; entonces

J . 1tDt )

Para el tubo d e la Fi g. 4-61a

Ip n D , ~ r4Entonces

I r nrV lf4 3 (D)'; = nD,}/ 3 = ¡ t


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Así, un tubo de 25 cm con pared de 2..5 cm es 1 5 ftCes más. rígido queun tubo ranurado de las mismas dimensiOlllES..

La constante de torsión de cualquier perlil compuesto de elementosrectangulares y/ o curvos en los cuaJes bIt es lo suficientemente grande

puede determinarse sumando los valores de ó t 3 pala todos los elementos , siempre que ninguna de las panes de l s « c i i i n t:l a:m.versal seaCerrada . A tal sección se le llama secrión abierta. Los tubos , seccionestubulares y secciones en cajón, son conocidos como seccionn. cerradas.En la Fig. 4-2.1 , a b c y e son secciones abienas ·. La seaii6n h es cerraday d f y 9 lo son también. si los lados abiertos tienen la cel DSÍ ;a¡adecuada .

La constante de torsión de la sección cerrada de celda sencilla estádada por

4A J ~ ¡ dsl

en donde A - área encerrada por la línea media de fa pared l

ds elemento de la circunferencia de la paredt espesor de la pared

(4·60)

La. integración se hace sobre tooa la p e r t f e m a ~Así. pa ra una secciónen cajón cuadrada, con dimensiones exteriores . de 51 x 51 cm de 1 .3 cmde espesor ,

] ~ 4(49.7 X 49.7) - 160000 cm4 X 49.7/1.3

Los valores de ] para la sección transv ersa l de celdas múltiples se pue·den determinar con los métodos dados en la Ref. 30.

Los desplazamientos en la direéción longj.tudinal dell tuoo ranuradode la Fig. 4-6 1b son conocidos como desplazamiento de alabeo y la seccióntransversal que no permanece plana se dice que se ha alabeado. Si noexiste restricción a dicho alabeo, éste se presenta. en fonna uniformeen toda su longitud y la distribución de esfuerzos, como los mostrados enla Fig. 4 -61b Y e será también unifonne a lo largo de toda la loogitud. Latorsión con alabeo uniforme se conoce comúnmente como< torsión de SanVenant por haber sido éste el primero en desarrollar una teoría parael caso general.

El alabeo uniforme del perfil 1 de la Eig.. 4-62.m se muestra en laFig. 4-62.b. Sin embargo, los miembros estructurales por lo regular están

soportados en forma tal que se eVita el alabeo uniforme : si la 1está rigidamente apoyada en su extremo izquierdo, de maner a que nopuede existir alabeo en el apoyo, la torsión se ve acompañada de unalabeo no uniforme , como el mostrado en la Fig- . 4-62.c. Dicho alabeono unifonne origina esfuerzos cortantes adicionales y un incremento


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t 4o )

b )

Ie )

x

9 l ~ , .d ) e )

FIGUR 4-62

en la rigidez torsional. En este caso la flexión directamente opuesta de

los patines de la 1 produce el cortante V mostrado en la Fig . 4-62d , queconstituye un par opuesto al par de torsión aplicado externamenteFig . 4-62e) . Por supuesto existen también esfuerzos de flexión que

son los mostrados en la figura . La resistencia a la torsión se evalúa dela siguiente manera. Puesto que

d-

dza)

en donde u es el desplazamiento de un patín Fig . 4-62e) e J el momentode ínercia de u patín alrededor del eje y de la 1 tenemos entonces

dlu

V - E l dz l b)

En la Fig. 4-62e , u - f3d/2 , en donde f es el ángulo de torsión y d ladistancia entre líneas centrales de los patines. Por lo tanto

)


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El par resistente es Vd. Por lo tanto

d 2 dJpTw = - E l 4' dz J 4·61)

en donde T. es la resistencia a la torsión debida al alabeo no uniforme e1, (=21,) es el momento de inercia de la l.

La resistencia a la torsión de San Venant se supone que no se veafectada por el alabeo no unifonne. En otras palabras, la resistenciade San Venant se ve complementada por la resistencia del alabeo nouniforme T otI. Por lo tanto, usando la Ec. (4--58) Y observando que 8 enesa ecuación es la torsión por unidad de longitud, mientras que f es elángulo de torsión en cualquier sección transversal. de manera quedp - Odz tenemos que

dp d d pT ~ T + T ~ J Iw dz ' 4 dz J

(4-62)

Por supuesto, la resistencia a la torsión por alabeo no uniforme, que parala I se mide por el valor cJ1I , /4 según calculamos antes, depende de laforma de la sección transversal. Por lo tanto, para poner la Ec. (4--62)en una fonna más general escribimos

dp d PJ - - EC - (4-63)- dz W dzJ

en donde C otI es la constante de alabeo de la sección transversal. En laFig. 463 se dan valores de C otI para diversas secciones transversales

d 'c -;¡- /,¡ , ).

6t,T I- ' S

'. 6t . ~

d 2 td

2rO ;¡;¡ ; C, ;¡ (1 . - o toA) -

~C • 4 I,

(d) le)

FIGUIlA 4-63. Valo['e de la constante de alabeo C otI • (C . para el ángulo y la tees lo suficientemente pequeña para poderlo despreciar en la mayoria de Isa

aplicaciones)


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abiertas.En la Reí. 3 Pág.258 se da un procedimientopara el cálculode C

PROBLEMAS

4-56, Calculeel ángulo de torsión de un extremo de un perfil A36 W8 X 31 de10 pies de luao, caI'Kado Y soportado como en la Fig .J..6Zb. T = 2 pies-kips.

4-57. Igual que el Prob. 4-56, excepto que el miembro está cargado y soportadocorno en la Fig. 4-62c.

4 28 PANDEO TORSI\>,NAL DE MIEMBROS A COMPRESION. ~ 1 ' r ' ~ -


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Sumando. momentos en la ':Fig . 4-64d nos da

dM dr + Qdrdz + dA du = Q (e)

Resolviendo la Ec . e) para Q dr y derivando el resultado con relacióna z se tiene .

dQ d 2 M d1udz dr - - dz1 dr - / dA;[; l (el)

Dividiendo la Ec. (b ) por dz y sustituyendo el valor de dQ/dz de laEc . d) nos da

dT r d M f d 2 - - + 2 rdr + / - 1 rdA = 0dz • Á dz Á dz (e)Puesto que M es el moment o por unidad de r , el .momento sobre el

elemento dA - tdr es Mdr . Por lo tanto ,

f )

en donde I - dr/12 es el momento de in erc ia del elemento . Derivandola Ec. f ) dos veces con respecto a z y sustituyendo d2 M/dz en laEc . e) nos da

g)

.La resultante de la .torsión de San Venant T r se encuentra a partir de laEc. 4-53). Puesto que 9 - dp/d ., tenemos

- dpT ~ J• d, /,)

Sustituyendo los valores de tlfr/dz de la Ec . (h ) y u de la Ec. a) en laEc. 9 ) obtenemos

El f fGJfJ + - r 2 dr + fJ r 1 dA = O (O. 12 Á Á

Pero

l. 4b 3fr 2 d r = - -Á 3 o 3en donde b - ancho de la pierna Fig . 4-64a) . Además , .f . r d .


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El factor b S ~ 9en la Ec. (4-64) es la constantede alabeo etc discutido en el Art. 4-27. Los esfuerzos cortantes correspondientes son losesfuerzos cortantes por alabeo no unifonne representadosen la Fig.4-64e. que son análogos alos cortantes1) de alabeono uniformede la Fig.4-62d. Asi. los dos tipos de resistencia ala torsión estÚl representadospor (EI> /9)P y G1P , respectivamente,en la Ec. 4-64) .

Utilizandola notación

k 2 =/1 , - GJEC.

la Ec. 4-64) se convierteen

P +k 'P ' -O

La solución de esta ecuación es

P_ A se nkz B cask y Cz D

j)

(4-65)

k)

Las constantes de integraciónde la Ec. k ) se calcularán apartir delas condiciones de frontera dela columnaen la Ftg. 4049b . Debe obser·varse en esa figuraque las secciones transversales planas pennanecenplanas en los extremos; estoes. no existe alabeo en los extremos. Enconsecuenciadu/d,z = O en cada extremo(Fig. 4-64c) , lo que debido ala Ec. a) nos da dfJ/dz - O. Adicionalmente,p - O en cada extremo.Utilizando estas cuatro condiciones de frontera conla Ec. k) nos da

-o- O O - B+ D0= A senkL+ BcoskL CL+ D

dU _Odz .-0

0= AkcoskL - 8ksenkL C

Eliminandoe y D de estas ecuaciones tenemos

A senkL - kL) B oos kL - 1) - OA(coskL- l ) - B s e nkL - O

Estas ecuacionesson homogéneasen A y B. Una so ución esA - B - O,en cuyo caso e - D ; O Yla Ec. k) se reduce a f - O Los valores deA y B distintosde cero tnde tenntnados) s6lo existen si eldetenninantede los coeficientesdesaparece. Esto nosda

s e n s e n k L c o s - OL k L kL)


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L

f rI \ b

d dr

(o)

IdA

dz

(A +dM dr

(e

IdA

d

(b)

sfuerzo cort ntepor alabeo no -uniforme

(Q+dQ)dr

FIGURA 4-04

-

sfuerzo cort nte poralabeo uniforme

que se satisface con sen k L / 2 - O o tan kL/2 - kL j 2 . Las rafces menores

correspondientes son kL/2 - 7r Y kL/2 - 4.49. Sustituyendo la menorde estas rafees en la Ec. j ) obtenemos el esfuerzo crítico menor :

GJ 41 2 EC wFe = L2

• •4-66)

Esta ecuación nos da el esfuerZo F r para el cual se inicia el pandeotorsional siempre que la columna esté perfectamente recta libre deesfuerzos residuales etc. Aunque se le derivó para la sección transversalen forma de cruz de la Fig. 449b es válida para cualquier sección transversal en que el centro de cortante y el centroide coincidan.

Si los extremos de la columna se pueden alabear libremente cada una

de las cuatro piernas de la cruz en la Fig . 4 4 9 b se flexionará :m curvatura simple . Puesto que los extremos se alabean libremente sólo cuandono existe restricción rotacional de las piernas de la cruz es equivalentea decir que el momento M en la Fig. 464d es igual a cero en cada extremo. Entonces d u/dz· - O para z - O Y z - L . Utilizando estas condiciones de frontera con el valor de f - O en cada extremo se tiene


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(4-67)

Comparando las Ecs. 4-66) Y 4 -67 ) vemos que las condiciones defrontera relaci onada s con el al abeo se pueden expresar en términosde un coeficie nte de longitud efectiva, como en el c aso d e pandeo p orflexi ón. Emon ees,

GJ n ECo~ =7; + KL )2 T (4-68).

en d on de K - 1 51 l as secciones transver sa les en los extremos de la spiezas pu eden alabearse librem ente y K - si el alabeo de las mism assecciones está restringido por completo .

La Ec . ( 4-68 ) es válida únic ame nte para el pandeo qu e se presentacuando e l esfue rzo Fr, es menor qu e el esfue rzo en el límite de proporcion alidad . Los ar gu m entos ex pu es tos a continuación nos permiten roo-difi ca r la fórmula para aplicarla al pand eo ¡nelásti co. El segundo término a la derecha d e la ecuación está re1acionado con los esfuerzos d eflexi ón provo ca dos por el alabeo no uniform e ( Fig . 4-62d). Cuando laco lumn a se empieza a torc er, estos esfuerzos de flexión se superponenal esfuerzo uni for m e . que es superior al del limite d e propor ciona lidad . Por lo tanto , es ra zonabl e es perar que e l módulo tan gente o el módulo doble rijan el comportami ento a la fl exión. Adem ás, las mismasrazones invocadas en el Art. 4 4 nos permiten suponer que el m ód ulotangente es el co rr ecto. Por otro lado , no exis ten en la sección transversa l esf uerzos co rt ant es e n el in stan te en que se ini cia e l pandeo, dema n era que se puede esperar qu e e l módul o elástico G no cambie. n laRef. 3 1 se reportan las prueba s hec has en dos tubo s circulares que sesometieron a tor sión después de que se les había comprimido ha s ta la

defonnación Es El módulo de cortante al inicio de la torsi ón fu e prá cticam ente igual al valo r elástico de G. Sin embargo, queda del lado d e laseguridad suponer un valor reducido de e en el rango lnelástico y esconvenient e considerar la misma relación e/E tanto para el comportamiento e lás tico co mo para el inel ás tico .

El concepto de ra dio de giro equiv alente usado en el pandeo l oca l d eplac as es tambi én de utilidad en el pand eo tor sional . Si sustituimos E ye en ]a Ec. ( 4-68 ) cOn los valores del módulo-tangente e igual amos elesfu erzo con el esfuerzo de módulo-tangent e para pandeo por flexi ón1f 2E, f KL/T I 2, en donde TI es el radio de giro equivalente para pandeotorsl on al , obtenemos

, / = e + O.04J K L)2 4-69)1

El ca mbio en la no t ació n 1 < e n lugar d e 1 en donde 1 ,. es el momentopolar de in ercia con respecto al centro de co rtante S) tiene el propósito


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... h . . - c ~ - l ck ¡;\c \ . r 1 ,.,/ l e a r/de generalizar la fórmula para su aplicaci ón en la discusión del Arl4-29 . Pa r a el miembro de est e articulo el centr o de cortant es S y elcentro ide G coinciden , de manera que l .;¡ - 1,0. La Ec . (4-69) nos per-mite det enninar la carga critica para cualquier column a en que el ce ntrode cortant es y el centroide coincidan . Necesita mos calcular s6 10 Tf ycompararlocon Tz y T . , El mAs pequeño de los tresde pandeo.

EJEMPLO 4-6. Calcule la carga critica para la columna de secciónen cruz de ]a Fig. 4-65. Lacolumna esde acero A3 6, 15 pies de largo yestá soportada de manera que el alabeo en los extr emos está impedido,comoen la Fig. 4-49b. Usela fórmula del eRe ( Ec. ( 4-lh » para el rango¡nelástico.

SOLUCIÓNIbJ 2 x 0.5 X 61

1 = / = 2 = =72 plg'JC , 3 3

I, s - I,t; 1 , 1, = 144 plgbt' 4 x 6 )( 0 .5

3 1J ~ _ 1P I:'3 3

A = 4 )( 6 )( 0.5 = 12 plg'

J 2, ~ = r , = 12 = 2.45 p]g, 1 = 3 0.04 )( 1 x (0.5 X 180)2 = 3 324 = 2.27• . 144 144 ' , - 1.51

Puesto que TI < T. - Tt , la columna fallapor pandeo ala torsiónKL0.5 x 180

~ - ' - ; : - - ~ 601.51 J- J-E 3 .000Cc ' 1( - = 11 = 128F , 36[ 1KLf 'J [ 16O) J~ F, 1- 2 C ~ 36 1- 2 128 = 32 .0 kips/plg

Pn-' '32.0 x 12 = 384kips

1A;; CA d e

c-.., re~ ¡ f Y . J ~ ~

eh . a1 /L ( ,;,0 < / ' .? 11

t C Oc . . t , , - ~ ;y; t 'Debe observarseque la rigidez al alabeo C. para la sección en C r u ~estan pequeña que su contribución ala resistencia torsional puededespreciarse. La rigidezal alabeo dealgunas otras seccionestransversales,talescomo el ángulo y la te, es también 10 suficientemente pequeñaparadespreciarse .


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~'

y'

-D _L b 6

:FJCUlL\ 4 65 f l C U A A 4-66

4 29 COLUMNAS CON UN EJE DE SIMETRIA

En el Art . 4-28 se demostró que las columnas en que el centro decortantes y el centroide coinciden, fallan en uno cualquiera de tres modosindependientes de pandeo. Este no es el caso si la sección transversal

tieneun

solo eje de simetría , como sucede con la canal, el ángulo y late. En este caso, las ec u aciones de equilibrio son S

E /lI l , l + ~ = O

El, u + Pu + PYo P = O

Py, u + EC.P;· + J I - GJ)P - Oen donde y - eje de simetría

(4- 70.)

(4-700)

4-70,)

Yo = distancia del cennolde G al centro de cortantes S de lasecció n transversal Fl g . 4-66)

u , v - desplazamientos en la dirección de x y y. respectivamente1,. - momento polar de inercia con respecto al centro de cor·

tantes S

Si G Y S coinciden, la Ec. 4·70c) e. Idéntica a la Ec. 4 ·64 ). También ,en tonces las tres ecuaciones son independientes y la solución de las Ecs.( 4-70a) y ( 4-70b ) nos dan los dos modos de pandeo por flexión , mientras que la Ec . 4-7Oc) nos d a el modo de pandeo por torsión .

Pa r a el caso de un eje de simett1a que está repre sentado por las Ecs .4-70 ) se Ve qu e la Ec . ( 4-704 ) es independiente y puede resolverse sin

referencia alguna a las otras dos. Por otro lado, las Ecs . (4-70b) Y4-70c) son ecuaciones simultmeas . Esto significa qu e el modo de pandeo

por flexión correspondiente a la Ec . 4-70a ) es independiente , mientra squ e los otros dos modos estm acoplados. Por lo tanto , la columna fallaen uno de dos modos posibles de pandeo, es decir, pandeo alrededor deleje x o un a combinación de torsión y flexión alred edo r del eje y.

La carga crftica para el modo acoplado de p andeo pu ede enco ntr arsedetenninando el radio de giro equivalente Tu d ado por la ecuación si ·guient e


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Yo 4 2 1( )- , , :/ r • - r ,. + r . , • + r . - O (4-71)en la que r el radio polar de inercia es igual a yr,;rA. y T es el radioequivalent e de giro para pandeo torslona] dado por la Ec . (4-69 ).

Para determinar la carga critica de una columna cuya sección trans\'ersal tiene un eje simetrfa ( eje y ). calculamos T .de la Ec . ( 4-71 ) Y locomparamos con El más pequeño de los dos identifi ca el modo depandeo detennin ando el correspondi e nte esfuerzo critico . Se puede usarel coeficiente de longitud efectiva K para evaluar T I y T . siempre que lascondiciones de fron tera para fJ y u sean las mismas.

EJEMPLO 4-7 . Calcule la carga critica para la columna con seccióntransversal en te mostrada en la Ftg . 4-67 . a columna es de acero A36con 10 pies de largo y soportada de tal manera que el alabeo , la flexiónalrededor del eje y y la flexión alrededor del eje x están impedidos encada extremo . Use la fónnula del e e [Ec . ( 4-16 ) ) para el rango inelás·li eo .

SoLUCION .

A - 0.5(8 + 12) lO plg'

I 2 O 2 0.5 x 1.61 0.5 x 6.41 1JI = 1 x .5 x 1.6 + 3 + 3 59 .7 P gt

0 .5 X 1211, - 12 72 plg' 1 59.7 + 72 + 10 x 1.6' 157.3 plg'

12 x 0.S1 8 X O.S 1J - 3 + 3 - 0.833P. c . - o

1 59 .7' JI' - iO - 5.97

, 72- 10 - 7,2

1 157 ,3,'s - 1 0 = IS .7

, 1 _ e + 0 .04J KL)2 = o + 0 ,04 x 0 ,833 x O .S x 120)1 _ 1, - I,s 157 .3 0 .763 P gt

(1.6') • ,1 - IS .7 ' , . - (7 .2 + 0.763)r,. + 7.2 x 0.763 - O

0.837 . - 7 .961./ + S. 9 - o

, 7.96 ± j63.3 - 18.4 075 pl', . z 1.674 - . 1

' . . - j O.751 _ 0.87 plg ' . - j 5.97 - 2.44 plg


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Puesto que T < r .. la columna faUa pOI pandeo de flexión-torsión .L 0.5 x 120 R J 6 0 000= = 9 Cc = % . = 128

r ,b 0.81 F 7 36

F F[ - K ~ r n 36[ ' - H 6:sn-30 .8 kips/plg'= JO .8 x 10 = J08 kips

PROBLEMAS

4-58 . Compare e l es fu erzo de pandeo local (Ec. ( 4-47 » de una columna l a rg acon sección tr ansversal en c ru z. de lados iguales. con el es f ue n o de pandeopor torsión de la Ec. (4-67) . Use la relación E _ 2G(1 + .. ). El valor de :en el c aso ~ de la Fig. 4-51 se basa en ,. = 0.25. Lo ;; dos valores de F. ,

deberán ser iguales .4- 59 . ¿ Para qu é longitud de una co lumn a biarticulada de secció n transversal en

cruz. con lados iguales , serán similares el pandeo por fl exión y el pandeopor torsión?

4 ·6 0 . ¿ Para qué longitud de un a co lumn a blarticulada cuya sección transversales un pc rCll WIO X 49 será n iguales el pa ndeo por fl ex ión y el pandeo portorsión ?

4-61. Calcu le la c arga critica para u na co lumn a blartkulada de acero A 36 con 12pies de largo Y c u ya secci6n transversal se muestra en l a Flg . 4-068. Use lafónnula del e Re para p andeo en e l rango ineUsti co .

4 ·62 . La sección traO ¡versal mostrada en la Fla; . 4-69 se utilizó para las patas inferiores de una torre de 437 pies de a ltura , que soporta una Hn e a de tr a n t-misión que atraviesa el río Sacramento ( Ci v . Eng . enero . 1954. Pá g . 4 i . La

longitud s in soporte de la pata es de2 0

pies. La especificacl6n del Bure auor Re d amatlon daba un esruer-¿o pennislblc p a r a

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