MAGNITUDES Y

VECTORES

MAGNITUDES

MAGNITUD ESCALAR: es aquella

magnitud que queda perfectamente

definida por un número y sus unidades.

Masa: 5 Kg

Temperatura: 273 K

Energía: 80 J

MAGNITUDES

MAGNITUD VECTORIAL: es aquella

magnitud que precisa, para ser definida,

de módulo, dirección, sentido y punto de

aplicación

Posición

Velocidad

¡¡¡Necesitamos un vector!!!

VECTORES

LONGITUD: módulo.

LÍNEA SOBRE LA QUE SE APOYA:

dirección.

VÉRTICE DE LA FLECHA: sentido.

ORIGEN DEL VECTOR: punto de

aplicación.

DESCOMPOSICIÓN DE

VECTORES

𝑟 = 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦 + 𝑟𝑧

𝑟 = 𝑟𝑥 · 𝑖 + 𝑟𝑦 · 𝑗 + 𝑟𝑧 · 𝑘

EJEMPLO

𝑟 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘

𝑣 = 2𝑗 + 2𝑘

𝑟 + 𝑣 = 3 + 0 𝑖 + −2 + 2 𝑗 + 4 + 2 𝑘

𝑟 + 𝑣 = 3𝑖 + 6𝑘 → 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧

PROYECCIÓN SEGÚN

LOS ÁNGULOS

𝑆𝑥 = 𝑆 · cos 𝛼

𝑆𝑦 = 𝑆 · sin 𝛼

𝑆 = 𝑆 · cos 𝛼 𝑖 + 𝑆 · sin 𝛼 𝑗

MULTIPLICACIÓN

DE

VECTORES

PRODUCTO ESCALAR

Es una operación entre vectores que da como resultado

un número.

Se calcula multiplicando los módulos de los vectores por

el coseno del ángulo que forman.

PE Máximo: cuando los vectores 𝑎 y 𝑏 tienen la misma

dirección.

PE Nulo: cuando los vectores 𝑎 y 𝑏 son perpendiculares

(cos 90º = 0)

𝑎 · 𝑏 = 𝑎 · 𝑏 · cos 𝛼

PRODUCTO ESCALAR

En función de las componentes

𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘

𝑏 = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘

𝑎 · 𝑏 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧

PRODUCTO ESCALAR

Ángulo que forman los vectores

𝑎 · 𝑏 · cos 𝛼 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧

cos 𝛼 =𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧

𝑎 · 𝑏

EJEMPLO

𝑎 = 2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 𝑎 = 4 + 1 + 9 = 14

𝑏 = 𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 𝑏 = 1 + 9 + 4 = 14

𝑎 · 𝑏 = 2 − 3 − 6 = −7 Valor de producto escalar

de los vectores a y b

cos 𝛼 =𝑃𝐸

𝑎 · 𝑏; cos 𝛼 =

−7

14 · 14=−7

14= −

1

2;

𝛼 = cos−1 −12 = 120𝑜

PRODUCTO VECTORIAL

Es una operación entre vectores

El resultado es otro vector

El módulo del vector resultante es el

producto de los módulos iniciales

multiplicado por el seno del ángulo que

forman dichos vectores.

PRODUCTO VECTORIAL

DIRECCIÓN: perpendicular al

plano que forman los dos

vectores originales.

MÓDULO:

SENTIDO: se puede calcular

mediante la regla del

sacacorchos.

𝑢 × 𝑣 = 𝑢 · 𝑣 · sin 𝜃

PRODUCTO VECTORIAL

𝑢 =

𝑢𝑥𝑢𝑦𝑢𝑧

𝑦 𝑣 =

𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧

𝑢 × 𝑣 =𝑖 𝑗 𝑘𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧

=

−𝑢𝑦 · 𝑣𝑥 · 𝑘 − 𝑢𝑧 · 𝑣𝑦 · 𝑖 − 𝑢𝑥 · 𝑣𝑧 · 𝑗

𝑢 × 𝑣 =

𝑢𝑦 · 𝑣𝑧 − 𝑢𝑧 · 𝑣𝑦𝑢𝑧 · 𝑣𝑥 − 𝑢𝑥 · 𝑣𝑧𝑢𝑥 · 𝑣𝑦 − 𝑢𝑦 · 𝑣𝑥

NOTA: 𝑣 × 𝑢 = − 𝑢 × 𝑣

𝑢𝑦 · 𝑣𝑧 · 𝑖 + 𝑢𝑥 · 𝑣𝑦 · 𝑘 + 𝑢𝑧 · 𝑣𝑥 · 𝑗 −

DERIVADA

DE UN

VECTOR

𝑑𝑟

𝑑𝑡= lim

∆𝑡→0

Δ𝑟

Δ𝑡 𝑟1; 𝑟2 = 𝑓 𝑡

𝑡1 ⇒ 𝑟1 = 𝑟𝑥1𝑖 + 𝑟𝑦1𝑘 + 𝑟𝑧1𝑘

𝑡2 ⇒ 𝑟2 = 𝑟𝑥2𝑖 + 𝑟𝑦2𝑘 + 𝑟𝑧2𝑘

∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑟𝑥2 − 𝑟𝑥1 𝑖 + 𝑟𝑦2 − 𝑟𝑦1 𝑗 + 𝑟𝑧2 − 𝑟𝑧1 𝑘

∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1

DERIVADA DE UN VECTOR

∆𝑟

∆𝑡=

𝑟𝑥2 − 𝑟𝑥1𝑡2 − 𝑡1

𝑖 +𝑟𝑦2 − 𝑟𝑦1𝑡2 − 𝑡1

𝑗 +𝑟𝑧2 − 𝑟𝑧1𝑡2 − 𝑡1

𝑘

=∆𝑟𝑥∆𝑡

𝑖 +∆𝑟𝑦

∆𝑡𝑗 +

∆𝑟𝑧∆𝑡

𝑘

lim∆𝑡→0

Δ𝑟

Δ𝑡= lim

∆𝑡→0

∆𝑟𝑥∆𝑡

𝑖 + lim∆𝑡→0

∆𝑟𝑦

∆𝑡𝑗 + lim

∆𝑡→0

∆𝑟𝑧∆𝑡

𝑘

𝑑𝑟

𝑑𝑡=𝑑𝑟𝑥𝑑𝑡

𝑖 +𝑑𝑟𝑦

𝑑𝑡𝑗 +

𝑑𝑟𝑧𝑑𝑡

𝑘

Este resultado es importantísimo ya que nos muestra

que, para derivar un vector podemos derivar componente

a componente.

EJEMPLO

𝑟 = 4𝑡2𝑖 − 7𝑡𝑗 + 3𝑘 𝑟 = 𝑓 𝑡

𝑣 = 𝑟 ′ =𝑑𝑟

𝑑𝑡= 8𝑡𝑖 − 7𝑗

Y ya si nos ponemos… 𝑎 = 8𝑖

Velocidad: 𝑣 =𝑑𝑟

𝑑𝑡

Aceleración: 𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑2𝑟

𝑑𝑡2