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gabriela-barahona
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vectores en una dos y tres dimensiones
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alfa
beta
gamma
delta
pi
mu
sigma
psilon
theta
phi
Tringulos rectngulos
a
b
c
a, b: catetos
c: hipotenusa
Teorema de Pitgoras:
222 bac
90
La suma de los ngulos internos de cualquier
tringulo es 180
Tringulos rectngulos
a
b
c
Funciones trigonomtricas:
hipotenusa
opuestocatetoseno
hipotenusa
adyacentecatetocoseno
adyacentecateto
opuestocatetotangente
Tringulos rectngulos
a
b
c c
asen
c
bcos
b
atan
c
bsen
c
acos
a
btan
Tringulos rectngulos
a
b
c c
asen
c
bcos
b
atan
senca
coscb
costan
c
senc
costan
sen
222 cba222 )cos()( cccsen
22222 cos ccsenc 1cos22sen
22)( sensen
Tringulos oblicungulos
a
b c
Ley del seno:
Un lado cualquiera es proporcional al
seno del ngulo opuesto a este lado
sen
c
sen
b
sen
a
Ley del coseno:
Un lado cualquiera al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados menos el doble producto de dichos lados por el coseno del
ngulo que forman
cos2222 bccba
cos2222 accab
Adicin de vectores
Los vectores se pueden sumar por mtodos grficos o analticos.
Mtodos grficos
Mtodo del paralelogramo
Los orgenes de los dos vectores A y B estn juntos y el vector resultante R es
la diagonal de un paralelogramo formado con A y B con dos de sus cuatro
lados.
A
B R RBA
La magnitud del vector A es 3 y la
magnitud del vector B es 4. Cul es
la magnitud del vector C = A + B?
Mtodo del polgono
Los vectores se dibujan uno a continuacin del otro, respetando su magnitud y
direccin. El vector resultante es el que une el origen del primero con el
extremo del ltimo.
A
B R
RBA
B
A
R
RAB
La suma de vectores es
conmutativa
La suma de vectores es
asociativa
Substraccin de vectores
La substraccin de vectores emplea la definicin del negativo de un vector. Se
define la operacin A B como el vector B sumado al vector A:
A
B
)( BABA
B S = A B
Multiplicacin de un vector por un escalar
Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva m, entonces el
producto mA es un vector que tiene la misma direccin que A y la magnitud
mA.
A
Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar negativa m, entonces el
producto mA es un vector que est en direccin opuesta al vector A y la
magnitud mA.
mA
mA
mA
Ley del coseno y ley del seno
A
B R
180
cos222 ABBAR
sen
R
sen
B
R
Bsensen 1
2 2 2 2 cosR A B AB
Bsensen
R
)180cos(2222 ABBAR
Si = 0 cos (180) = 1 ABBAR 2222
222 2 BABAR22 )( BAR
BAR
A B
R
A
B R
)180cos(2222 ABBAR
Si = 180 cos 0 = 1 ABBAR 2222
222 2 BABAR22 )( BAR
BAR
A
B R
A
B R
Las componentes de un vector son dos o ms vectores que tienen
igual efecto que dicho vector.
Es decir, el vector dado es la resultante de las componentes.
Todo vector tiene un nmero infinito de conjuntos de componentes.
V
Por componentes rectangulares u ortogonales nos referimos a
aquellas que estn en ngulo recto una con la otra, y por lo general
se toman en las direcciones de las coordenadas rectangulares x y y.
x
y
V
Vx
Vy
x
y
V
Vx
Vy
V
Vxcos
V
Vsen
y
cosVVx
VsenVy
x
y
V
Vx
Vy
222
yx VVV
x
y
V
Vtan
22
yx VVV
x
y
V
V1tan
x
y
A
A
B
B R
Ax
Ay Bx
By
x
y
R
Ax
Ay
Bx
By
x
y
N
N
M
M
S
Mx
My
Nx
Ny
x
y
S
Mx
My Nx
Ny
x
y
45
30
4.5 u
5.0 u
9.0 u
3.2 u
3.2 u
7.8 u
4.5 u
4.6- 7.8 - 0 3.2 Rx
3.7 4.5 - 5.0 3.2 Ry
x
y
4.6 u
3.7 u
22 )7.3()6.4(R
5.9 u
39 141
6.4
7.3tan
4.6- 7.8 - 0 3.2 Rx
3.7 4.5 - 5.0 3.2 Ry
Son vectores cuya magnitud es igual a la unidad.
x
y
i
j
A = 3i
A
B = 2j B
x
y C = 3i 2j
C Uc
Se puede determinar un vector
unitario en la direccin de
cualquier vector.
V
VUV
13C13
23 jiUC jiUC
13
13213
133
jiF
jiE
jiD
32
23
32 FEDM
jijijiM 322332
jiM 2
FEDN 32 DFEP 32