~ 1 ~

An Introduction to the Mathematics of Finance

J. J. McCutcheon, MA, Ph.D, Dsc. FFA

and

W. F. Scott, MA, Ph.D, FFA

Department of Actuarial Mathematics and Statistics

Heriot-Watt University, Edinburgh

Published for the Institute of Actuaries and the Faculty of Actuaries

Butterworth Heinemann

~ 2 ~

Дж. Дж. МакКачен и У. Ф. Скотт

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

ФИНАНСОВ

Часть 1

Перевод с английского Г.И.Фалина и И.Г.Фалина

под редакцией д.ф.м.н., проф. Г.И.Фалина

Право перевода на русский язык, издания и распространения

для образовательных целей на бесприбыльной основе предоставлено The Institute of Actuaries и The Faculty of Actuaries in Scotland

(владельцами авторского права) и издательством Butterworth-Heinemann (издателем)

Москва 1997

~ 3 ~

©The Institute of Actuaries and the Faculty of Actuaries in Scotland 1986 © перевод на русский язык Г.И. Фалин 1997

~ 4 ~

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к переводу Предисловие 1. Введение 1.1 Понятие процентов на капитал 1.2 Простые проценты 1.3 Сложные проценты 1.4 Некоторые практические иллюстрации 2. Теория процентных ставок 2.1 Процентная ставка 2.2 Номинальные процентные ставки 2.3 Коэффициенты накопления 2.4 Интенсивность процентов 2.5 Современные стоимости 2.6 Формула Студли для интенсивности процентов 2.7 Современные ценности денежных потоков 2.8 Оценивание денежных потоков 2.9 Доход от процентов 2.10 Прирост и потери капитала, налогообложение 2.11 Дальнейшие ссылки Задачи Решения задач 3. Основные функции теории сложных процентов 3.1 Введение 3.2 Уравнение ценности и доход от сделки 3.3 Детерминированные ренты: современные стоимости и накопления 3.4 Отсроченные ренты 3.5 Непрерывно выплачиваемые ренты 3.6 Изменяющиеся ренты 3.7 Общая схема долга 3.8 Схема долга при постоянных выплатах Задачи Решения задач 4. Номинальные процентные ставки и ренты, выплачиваемые с частотой p 4.1 Проценты, выплачиваемые с частотой p 4.2 Ренты, выплачиваемые с частотой p: современные стоимости и накопления 4.3 Ренты, выплачиваемые через промежутки длиной r, где r>1 4.4 Определение $a^{(p)}_{\overline {n}|}$ для нецелых значений n 4.5 Расписание займа для ренты, выплачиваемой с частотой p Задачи

~ 5 ~

Решения задач 5. Дисконтированные денежные потоки 5.1 Чистые денежные потоки 5.2 Чистые современные стоимости и доходности 5.3 Сравнение двух инвестиционных проектов 5.4 Различные процентные ставки при одалживании и заимствовании 5.5 Влияние инфляции 5.6 Доходность фонда 5.7 Измерение эффективности инвестиций Задачи Решения задач 6. Полисы накопления капитала 6.1 Введение и расчёты премии 6.2 Денежная оценка полисов 6.3 Денежная оценка полисов, когда премии платятся с частотой p 6.4 Выкупные суммы, цена полностью оплаченного полиса и изменение условий полиса 6.5 Колебания процентных ставок: кусочно-постоянная i 6.6 Логистическая модель Студли для интенсивности процентов 6.7 Ставки реинвестирования Задачи Решения задач 10. Кривые доходности, дисконтированные средние сроки, согласованность и иммунизация 10.1 Введение 10.2 Кривые доходности и родственные вопросы 10.3 Дисконтированная средняя продолжительность проекта 10.4 Волатильность 10.5 Волатильность некоторых ценных бумаг с фиксированным доходом 10.6 Соответствие активов и пассивов 10.7 Теория иммунизации Редингтона 10.8 Полная иммунизация Задачи Решения задач

~ 6 ~

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ В последние годы Московский государственный университет и многие другие учебные заведения активно работают над внедрением новых учебных программ и курсов, необходимых для подготовки специалистов высокой квалификации для создаваемой в России рыночной экономики. Широко известны, например, программа экономико-математического образования механико-математического факультета МГУ, программа подготовки актуариев факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Особое место в системе экономических курсов занимает финансовая математика. Наш интерес к этому предмету связан с работой по постановке современного актуарного образования в МГУ. Общество Актуариев США рекомендует использовать в качестве учебного пособия по курсу финансовой математики книгу S.G. Kellison. The Theory of Interest. 2nd ed., Richard D. Irwin, Inc., 1991. Практически эквивалентен по содержанию английский учебник J.J. McCutcheon, W.F. Scott. An Introduction to the Mathematics of Finance. Oxford, Butterworth-Heinemann Ltd, 1986, который является базовым учебником финансовой математики при подготовке актуариев в Англии. Несколько лет назад, в начале моей работы в области финансовой и актуарной математики, Институт Актуариев Англии (национальное профессиональное общество актуариев) оказал мне существенную поддержку учебной литературой. С тех пор я использую учебник J.J. McCutcheon, W.F. Scott как основное пособие при чтении лекций по финансовой математике на механико-математическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики. В начале 1995 года Институт Актуариев, Факультет Актуариев (Шотландия) и издательство Butterworth-Heinemann предоставили мне право перевода этой книги на русский язык, издания и распространения для образовательных целей на бесприбыльной основе. Я был бы признателен читателям за советы и пожелания по поводу перевода, которые прошу направлять по адресу: 119991 Москва, МГУ, механико-математический факультет, профессору Г.И.Фалину или по e-mail: falin@math.msu.su. Г.Фалин кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова Москва 119991

~ 7 ~

ПРЕДИСЛОВИЕ При написании этой книги мы главным образом имели в виду пожелания студентов, готовящихся к профессиональным экзаменам Института Актуариев или Факультета Актуариев. Однако одновременно мы ясно осознавали, что многие из обсуждаемых тем, вероятно, интересны другим группам читателей, таким как аналитики по инвестициям, экономисты и бухгалтеры. Многие рассмотренные темы являются очень практическими. Этот важный факт значительно влиял на нас и мы пытались иллюстрировать наши рассуждения реалистическими примерами. Мы надеемся, что наш способ подачи материала позволит всем читателям (а не только специалистам по математике) извлечь пользу из наших обсуждений. Классическая теория сложных процентов образует главную часть книги. Недавний прогресс в области микрокомпьютеров дал новую жизнь этому старому предмету. Например, сейчас относительно просто проделать серию расчетов для того, чтобы проиллюстрировать последствия изменения одного или нескольких факторов, играющих важную роль в любой данной проблеме. Таким способом можно за счет небольшого усилия проникнуть в суть дела. Все наши рабочие примеры могут быть решены довольно быстро с помощью карманного калькулятора и таблиц, приведенных в конце этой книги. Для полного понимания предмета важно, чтобы читатель детально изучил эти примеры. Мы попытались отразить как теоретические, так и практические разработки последнего времени, имеющие отношение к рассматриваемому предмету. Поэтому, например, мы обсуждаем более-менее детально ценные бумаги, связанные с индексом инфляции, а наша заключительная глава дает введение в стохастические модели процентных ставок, которым в настоящее время уделяется возрастающее внимание. Очевидно, что на нас оказывали влияние несколько более ранних авторов. В частности, мы должны отметить чувство признательности по отношению к хорошо известному учебнику Д.У.А.Дональда, который на протяжении многих лет был важным пособием для всех студентов, изучающих актуарную науку. Мы извлекли пользу из многочисленных дискуссий с коллегами, как из мира бизнеса, так и из академических кругов, которые предложили конструктивную критику по широкому кругу проблем. Д-р Л.У.Г.Тат и А.В.Твид, в официальном качестве, держали под дружеским, но критическим, взглядом всю работу и сделали много полезных предложений. М.В.Батчер, К.Д.Дайкин и профессор Дж.Б.Х.Пеглер дали письменные комментарии по специфическим разделам черновой рукописи. Больше всего мы признательны д-ру Б.Джонстону, д-ру Х.Р.Уотерсу и профессору А.Д.Уилки. Каждый в отдельности и вместе эти джентльмены провели много часов с авторами, обсуждая, в каком виде должна быть издана бесконечная последовательность черновых рукописей. Многое из того, что есть хорошего в книге, появилось благодаря им, хотя за любые ошибки или неточности, которые остались, полностью отвечают авторы. Мы также должны поблагодарить д-ра Джонстона за помощь в подготовке и проверке задач и профессора Уилки за совет, связанный со списком ссылок. Мы очень признательны всем этим и многим другим людям. Мы благодарим Советы Института Актуариев и Факультета Актуариев за разрешение использовать

~ 8 ~

материалы из их экзаменов и учебных курсов. И наконец, нам доставляет удовольствие отметить высокую квалификацию наших секретарей, У.Хидес и Дж.Стьюарт, которые столь тщательно работали с рукописью. Упорство и тщательность, с которыми они работали с многочисленными исправлениями, уточнениями и дополнениями, сделали нашу задачу значительно легче. Дж. Дж. МакКачен, У. Ф. Скотт Кафедра Актуарной Математики и Статистики, Университет Хериот-Уотта, Эдинбург 1 июля 1985 г.

~ 9 ~

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ

1.1 Понятие процентов на капитал

Проценты на капитал могут рассматриваться как награда, которую платит один человек или организация (заёмщик) за использование имущества, которое мы будем называть капитал, принадлежащего другому человеку или организации (кредитору). Точные условия любой сделки должны быть взаимно согласованы. Например, после установленного периода капитал может быть возвращен кредитору с надлежащими процентами. Однако, возможно, что будут сделаны несколько платежей процентов до того, как капитал окончательно возвращается должником. Капитал и проценты не обязательно измеряются в терминах одного и того же товара, но в данной книге, которая имеет дело главным образом с проблемами финансового рода, мы будем предполагать, что капитал и проценты измеряются в денежных единицах некоторой валюты. Если капитал выражается в денежных терминах, он называется основным капиталом. Если имеется некоторый риск невыполнения обязательств (т.е. потери капитала или невыплаты процентов), кредитор рассчитывает на более высокие проценты, чем принято обычно. Дополнительные проценты в такой ситуации могут рассматриваться как дополнительная награда за то, что кредитор принимает увеличенный риск (например, человек, который использует свои деньги для того, чтобы финансировать бурение скважин в поисках нефти в регионе, который еще не эксплуатировался, ожидает относительно более высокую отдачу от этого вложения капитала, если бурение скважин будет удачным, но он готов или должен быть готов потерять свой капитал, если нефть не будет найдена). Другим фактором, который может влиять на процентную ставку по любой сделке, является выплата за возможное уменьшение или увеличение ценности валюты, в которой выполняется сделка. Этот фактор, очевидно, очень важен во времена высокой инфляции. Удобно описывать возникновение процентов в знакомом всем контексте сберегательных (или инвестиционных) вкладов, помещаемых в банк, строительное общество или другую подобную организацию. Инвестор, который открыл такой счет некоторое время тому назад с первоначальным взносом £100 и который не делал никаких других платежей на счет или со счета, ожидает получить больше, чем £100, если он сейчас закрывает счет. Предположим, например, что он получает £106 при закрытии своего счета. Эта сумма может рассматриваться как состоящая из £100 в качестве возврата первоначального вклада и £6 в качестве процентов. Эти проценты являются платежом банка инвестору за использование его капитала во время существования счета. Наиболее элементарной концепцией является концепция простых процентов. Она

~ 10 ~

естественно приводит к идее сложных процентов, которые обычно и встречаются на практике – по крайней мере по отношению ко всем краткосрочным инвестициям. Обе концепции легко описываются в рамках сберегательного счета.

1.2 Простые проценты

Предположим, что инвестор открывает сберегательный счет, который платит простые проценты по ставке 9% в год, и вкладывает £100. На этот счет будет зачисляться 9 процентов за каждый полный год, в течение которого деньги находятся на счёте. Если счёт закрывается через 1 год, инвестор получит £109; если счёт закрывается через 2 года, он получит £118 и т.д. Эти краткие иллюстративные замечания можно суммировать в общем виде следующим образом. Если сумма C помещается на счёт, который платит простые проценты по ставке i в год, и счёт закрывается через n лет (при отсутствии платежей на счет или со счета), то сумма, которая выплачивается инвестору при закрытии счёта, будет (1 )C ni+ (1.2.1) Этот платёж состоит из возврата исходного вложения C и процентов niC . (1.2.2) До сих пор в нашей дискуссии мы неявно предполагали, что в каждом из этих двух последних выражений n является целым числом. Однако нормальная коммерческая практика по отношению к дробным периодам года заключается в платеже процентов на пропорциональной основе, так что выражения (1.2.1) и (1.2.2) можно рассматривать как применимые ко всем неотрицательным значениям n. Отметим, что если годовая процентная ставка есть 12%, то i=0.12; если годовая процентная ставка есть 9%, то i=0.09 и т.д. Пример 1.2.1. Предположим, что £860 вкладывается на сберегательный счёт,

который платит простые проценты по ставке 35 %8

в год. Предположив, что нет никаких

последующих платежей на счёт или со счёта, найдите сумму, которая окончательно снимается со счёта, если счёт закрывается после (а) 6 месяцев; (б) 10 месяцев; (в) 1 года.

Решение. Положив 12

n = , 1012

и 1 в выражении (1.2.2) с C=860 и i=0.05375, мы

получаем ответы: a. £883.11; b. £898.52; c. £906.22.

В каждом случае мы даем ответ с точностью до двух знаков после запятой, округлённых с недостатком – это обычная коммерческая практика. Замечание. В вышеприведенном решении мы предполагали, что 6 месяцев и 10

месяцев являются 12

и 1012

одного года соответственно. Для счетов длительности

~ 11 ~

меньше, чем 1 год обычно берется реальное число дней, в течение которых открыт счет, так что, например, два шестимесячных периода не обязательно имеют одинаковую длину. В этом случае выражение (1.2.3) принимает вид:

1 ,365diC +

(1.2.3)

где d – длительность счета, измеренная в днях, i – годовая процентная ставка. Существенной чертой простых процентов (что выражено алгебраически выражением (1.2.1)) является то, что проценты, будучи зачисленными на счет, сами по себе не зарабатывают дальнейших процентов. Это приводит к несообразности, от которой избавляются применением теории сложных процентов.

1.3 Сложные проценты

Предположим теперь, что определённый тип сберегательного счёта платит простые проценты по ставке i в год. Предположим далее, что эта ставка гарантирована на протяжении следующих двух лет и что счета могут открываться и закрываться в любой момент времени. Рассмотрим инвестора, который открывает счёт в настоящий момент с первоначальным вложением C. Инвестор может закрыть этот счёт через 1 год и в этот момент он снимет со счёта сумму C(1+i) (см. выражение (1.2.1)). Он может затем поместить эту сумму на новый счёт и закрыть этот второй счёт еще через год. Когда этот второй счёт закрывается, снятая сумма будет (опять см. (1.2.1)):

2 2[ (1 )](1 ) (1 ) (1 2 ).C i i C i C i i+ + = + = + +

Однако если инвестор решает не менять счёт после одного года и оставляет свои деньги на исходном счёте, то при закрытии этого счёта через 2 года он получит сумму (1 2 ).C i+ Таким образом, просто изменив счёт в середине двухлетнего периода, инвестор получает дополнительную сумму 2·i C в конце этого периода. Эта дополнительная сумма равна ( )i iC и возникает как проценты, выплаченные в конце второго года на проценты,

зачисленные на исходный счёт в конце первого года. С практической точки зрения трудно предохранить инвестора от перемены счетов по способу, описанному выше (или даже с большей частотой). Далее, инвестор, закрыв второй счёт после одного года, может затем поместить общую сумму на новый счёт. Любой банк с точки зрения управления счёл бы неудобным постоянное открытие и закрытие счетов в описанном выше стиле. Более того, закрыв один счет, инвестор может выбрать другой банк для вложения своих денег. Поэтому, частично с тем, чтобы поощрить долгосрочное вложение средств, частично по другим практическим причинам, общая коммерческая практика (по крайней мере, для вложений капитала больше, чем на 1 год) заключается в том, чтобы платить сложные проценты по сберегательным вкладам. Более того, концепция составных процентов всегда используется при оценке инвестиционных проектов. Существенной чертой составных процентов является то, что проценты сами зарабатывают проценты. Действие составных процентов может быть описано следующим образом. Рассмотрим сберегательный счёт, который платит составные

~ 12 ~

проценты по ставке i в год, на который помещена начальная сумма C. Мы предположим, что нет никаких дальнейших платежей на счёт или со счёта. Если этот счёт закрывается через 1 год, инвестор получит сумму C(1+i). В общем случае, пусть nA – сумма, которую получит инвестор, если он закроет свой счёт через n лет. Таким образом, 1 (1 ).A C i= +

По определению, сумма, получаемая инвестором при закрытии счета в конце любого года, равна сумме, которую бы он получил, если бы он закрыл этот счет одним годом раньше, плюс проценты, равные i кратной величине этой суммы. Следовательно, проценты, зачисленные на счет в начале последнего года, сами заработали проценты (по ставке i в год) в течение последнего года. Выраженное алгебраически, последнее определение примет вид:

1 ,n n nA A iA+ = + или 1 (1 ) , 1.n nA i A n+ = + ≥ (1.3.1)

Поскольку (по определению), 1 ·(1 ),A C i= + уравнение (1.3.1) влечет, что для 1,2,3,n = …

(1 ) .nnA C i= + (1.3.2)

Значит, если инвестор закроет свой счет через n лет, он получит сумму (1 ) .nC i+ (1.3.3) Этот платеж состоит из возврата исходного вклада C вместе с накопленными процентами (т.е. процентами, которые, если n>1, сами заработали дальнейшие проценты), величина которых есть (1 ) 1 .nC i + − (1.3.4)

До сих пор в нашем обсуждении мы предполагали, что в двух последних выражениях число n является целым. В части 2 мы расширим наше обсуждение и покажем, что при очень общих условиях выражения (1.3.3) и (1.3.4) остаются верными для всех неотрицательных значений n. Поскольку 1 2 1 2[ (1 ) ](1 ) (1 ) ,t t t tC i i C i ++ + = + инвестор, который имеет возможность перебрасывать свои деньги между двумя счетами, каждый из которых платит составные проценты по одной и той же ставке, не может получить доход от таких действий. Это отличается от несколько ненормальной ситуации, описанной в начале этого раздела, которая может существовать, если платятся простые проценты. Выражения (1.3.3) и (1.3.4) следовало бы сравнить с соответствующими выражениями для простых процентов (1.2.1) и (1.2.2). Если проценты составные, т.е. зарабатывают дальнейшие проценты, их влияние на накопление на счете может быть очень значительным, особенно если длительность счета или процентная ставка велики. Это иллюстрируется следующим примером. Пример 1.3.1. Предположим, что сумма в £100 кладется на сберегательный счет. Сконструируйте таблицу, которая показывала бы накопленную сумму на счете через 5, 10, 20 и 40 лет при предположении, что сложные проценты платятся по ставке (a) 4% годовых; (б) 8% годовых. Дайте также соответствующие данные в предположении, что платятся только простые проценты.

~ 13 ~

Решение. Из (1.2.1) и (1.3.3) мы получим значения в таблице 1.3.1. Читатель должен проверить эти числа, используя таблицы составных процентов в конце этой книги.

Таблица 1.3.1 Накопленная сумма на £100

Срок (лет)

Годовая процентная ставка 4%

Годовая процентная ставка 8%

Простые Сложные Простые Сложные 5 £120 £121.66 £140 £146.93 10 £140 £148.02 £180 £215.89 20 £180 £219.11 £260 £466.09 40 £260 £480.10 £420 £2172.45

Отметим, например, что за 40 лет при 8% годовых сумма при составных процентах накопит более чем пятикратную сумму счета с простыми процентами. Экспоненциальный рост денег при составных процентах и их линейный рост при простых процентах иллюстрируются рис. 1.3.1 для случая i=0.08.

0 5 10 15 20 срок (лет)

100

200

300

400

500

сумма, £

простые проценты

сложные проценты

Рисунок 1.3.1 Накопление для суммы £100 при 8% годовых

Как мы уже отмечали, концепция составных процентов всегда используется при оценке инвестиционных проектов. В последнем разделе этой главы мы опишем кратко несколько ситуаций, которые типично возникают на практике. Анализ этого типа проблем проводится позже в этой книге.

1.4 Некоторые практические иллюстрации

~ 14 ~

(a) В качестве простой иллюстрации рассмотрим инвестора, которому предлагается контракт с финансовым институтом, который обеспечивает £22500 в конце 10-летнего периода за единичный платеж сейчас суммы £10000. Если инвестор желает связать этот капитал на 10 лет, решение о том, входить или нет в этот контракт, будет зависеть от доступности альтернативных инвестиционных проектов. Например, если этот инвестор может получить где-нибудь гарантированную процентную ставку 10% годовых при сложных процентах на все 10 лет, то он не должен подписывать контракт, т.к. он получит £25937 (см. (1.3.3)). С другой стороны, если он может получить эту процентную ставку гарантированно только на следующие 6 лет, то при решении, подписывать или нет контракт, он будет вынужден сделать предположение относительно процентных ставок, на которые он сможет рассчитывать в течение 4-х лет после этого 6-летнего периода (мы игнорируем дальнейшие усложнения, такие как влияние налогов и надежность компании, предлагающей контракт). (б) Аналогичное рассмотрение можно применить в связи с контрактом, который предложил обеспечить определённую денежную сумму в конце данного периода в обмен на платеж ряда взносов оговоренной величины через регулярные интервалы в этот промежуток времени. Мог бы читатель решить, следует ли принимать контракт, который обеспечивает £3500 (без налогов) в конце десятилетнего периода в обмен на 10 годовых взносов, каждый в £200, в начале каждого года? (в) В качестве дальнейшего примера рассмотрим коммерческий проект, требующий начальных издержек в £500000, которые обеспечат возврат суммы £550000 через 5 лет и еще £480000 через последующие 3 года – обе эти суммы будут освобождены от налогов. Лицо или организация с £500000 свободных денег может сравнить эту возможность с другими доступными инвестиционными проектами аналогичной длительности. Инвестор, который не имеет свободных денег, может рассмотреть финансирование этого проекта, взяв необходимую начальную сумму в банке в долг. Должен он это делать или нет, зависит от процентной ставки, установленной при выдаче денег в долг. Если эта ставка превышает определённый «критический» порог, будет невыгодно финансировать проект таким способом. (г) Другой практической иллюстрацией составных процентов является ипотечный заем, т.е. заем, который делается для специфической цели покупки дома. Такие займы очень распространены в Англии и многих других странах. Собственность, для покупки которой делается заем, обычно служит в качестве гарантии возврата займа. Предположим, например, что человек желает занять £35000 для покупки дома с намерением возвращать долг регулярными периодическими платежами фиксированного размера на протяжении 25 лет. Какой должна быть сумма каждого такого регулярного платежа? Очевидно, это будет зависеть как от процентной ставки, установленной кредитором, так и от частоты платежей (ежемесячно, раз в полгода, ежегодно и т.д.). Следует также отметить, что в современной ситуации в Англии почти все кредиторы не хотят устанавливать фиксированную процентную ставку на столь долгий период. Во время возврата займа величина процентной ставки может существенно меняться несколько раз (в соответствии с условиями рынка). При каждом таком изменении будет

~ 15 ~

существенно меняться и величина регулярных выплат человеком, который взял деньги в долг. Возможно и увеличение срока регулярных выплат. Методы теории сложных процентов позволяют пересмотреть величину регулярных выплат или установить новый срок выплат. (д) Одно из наиболее важных приложений теории сложных процентов заключается в анализе и оценке инвестиций на бирже, в частности ценных бумаг с фиксированными процентами. Например, допустим, что на сумму £1000 инвестор может купить один из следующих контрактов:

1. годовой доход £120 на протяжении 8 лет вместе с выплатой £1000 в конце восьмого года;

2. годовой доход £90 на протяжении 8 лет вместе с выплатой £1300 в конце восьмого года;

3. 8 годовых выплат в £180. Первые два являются типичными ценными бумагами с фиксированным доходом. Третий известен как постоянная рента (или, точнее говоря, детерминированная рента), выплачиваемая в данном случае на протяжении восьми лет. Ясно, что первый контракт дает 12% годовых, т.к. каждый год инвестор получает доход в 120/1000=12% от его расходов, вплоть до того момента, когда его расходы возмещаются. Однако, менее ясно, что означает второй и третий контракты. Для второго проекта годовой доход есть 9% от цены покупки, но окончательная выплата через 8 лет превышает цену покупки. Интуитивно поэтому ясно, что в итоге второй проект обеспечивает больше, чем 9% в год. Но насколько больше? Превышает ли это проценты по первому проекту? Каков доход от третьего проекта? Является ли проект с наибольшим доходом наиболее выгодным? – например, из-за налогов. Ответы на эти и подобные вопросы, анализ практических ситуаций, описанных выше, и решение многих других аналогичных проблем и обеспечивается теорией сложных процентов.

~ 16 ~

Глава 2

ТЕОРИЯ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК

2.1 Процентная ставка Мы начнем с рассмотрения инвестиций, в которых капитал и проценты выплачиваются в конце фиксированного промежутка времени без промежуточных выплат процентов или капитала. Примером вклада такого типа является краткосрочный депозит, в котором кредитор вкладывает £1000 в определённый момент времени, а спустя 6 месяцев получает £1035. £1000 можно рассматривать как возврат капитала, а £35 – как проценты, т.е. награду за использование капитала на протяжении 6 месяцев. В любом вопросе, связанном со сложными процентами, очень важно определить единицу измерения времени. Это может быть, например, месяц или год; последний период часто используется на практике. В определённых ситуациях, однако, разумнее выбирать другой период (например, 6 месяцев) в качестве основной единицы измерения времени. Рассмотрим инвестирование суммы 1 на период времени длиной 1, начинающийся в момент t, и предположим, что сумма 1+i(t) возвращается в момент времени t+1. Сумму i(t) мы назовем процентной ставкой за период [t;t+1]. Иногда i(t) называют эффективной процентной ставкой за этот период времени с тем, чтобы отличить её от номинальной и единой процентных ставок, которые будут обсуждаться позднее. Если предполагается, что процентная ставка не зависит от инвестированной суммы, то сумма, полученная в момент времени t+1 от инвестирования суммы С в момент времени t, равна C[1+i(t)]. (На практике может быть получена гораздо более высокая процентная ставка при крупном вкладе, чем при маленьком, но мы здесь будем игнорировать это обстоятельство). Можно легко показать, что накопление суммы С от момента 0 до момента n (где n – некоторое положительное целое число) есть

[1 (0)][1 (1)] [1 ( 1)],C i i i n+ + + − (2.1.1)

поскольку вырученная сумма в момент времени 1, равная C[1+i(0)], может быть вложена повторно и к моменту времени 2 составит C[1+i(0)][1+i(1)] и т.д. Процентные ставки часто измеряют процентами. Так, например, мы можем

говорить об эффективной процентной ставке (за данный период) 312 %4

. Это означает,

что эффективная процентная ставка за этот период есть 0.1275. Если процентная ставка за период не зависит от момента времени t, в который был сделан вклад, мы пишем i(t)=i для всех t. В этом случае накопление вклада С за любой промежуток времени длиной n единиц времени в силу формулы (2.1.1) есть

~ 17 ~

(1 ) .nC i+ (2.1.2)

Эта формула, которая, как будет показано позднее, остаётся в силе (при определённых предположениях) даже когда n – не целое, определяет накопление вклада С за n единиц времени при сложных процентах и ставке i за одну единицу времени. Соответствующее накопление при простых процентах при ставке i за одну единицу времени определяется, как в главе 1, формулой (1 ).C in+ (2.1.3)

Последняя формула также верна для любого положительного n, не только целого. Сравнение накоплений при простых и сложных процентах дается в Примере 1.3.1 и Задаче 2.1.

Пример 2.1.1. Процентная ставка по определённому банковскому счету

составляет 14 %2

в год. Найдите накопление на сумму £5000 на этом счете за семь лет.

Решение. В силу формулы (2.1.2) накопление есть

75000(1.045) 5000 1.36086 68 .£ 04.30= × = Пример 2.1.2. Эффективная годовая процентная ставка в определённом строительном обществе составляет 7%, но через 2 года она будет снижена до 6%. Найдите накопление через 5 лет по вкладу величиной £4000 на этот счет. Решение. В силу формулы (2.1.1) накопление есть 2 34000(1.07) (1.06) 545£ 4.38.=

2.2 Номинальные процентные ставки Теперь рассмотрим сделки на срок длиной h единиц времени, где h>0 не обязательно является целым числом. Мы определим ( )hi t , номинальную процентную ставку по сделке на срок h, начинающийся в момент времени t, так, что эффективной процентной ставкой на период длины h, начинающийся в момент времени t, является величина ( )hh i t⋅ . Следовательно, если сумма С вложена в момент времени t на период длины h, то сумма, полученная в момент времени t+h, по определению есть

[1 ( )].hC hi t+ (2.2.1)

Если h=1, номинальная процентная ставка совпадает с эффективной процентной ставкой на период [t;t+1], так что

1( ) ( ).i t i t= (2.2.2)

Во многих практических приложениях ( )hi t не зависит от t. В этом случае мы можем написать

~ 18 ~

для( ) в .сех h hi t i t= (2.2.3)

Если в данной ситуации h =1/p, где p – положительное целое число (т.е. h является простой долей единицы времени), то обычно пишут ( )pi , а не 1/ pi . Таким

образом, по определению, мы имеем

( )1/ .p

pi i= (2.2.4)

Отсюда следует, что в этом случае вложение суммы 1 на любой промежуток времени длиной 1/p приведёт к получению суммы

( )

1 .pip

+ (2.2.5)

Отметим, что ( )pi часто называют номинальной процентной ставкой за единицу времени, выплачиваемой (обращаемой) с частотой p или с промежутками длиной 1/p. (См. главу 4, где можно найти дальнейшее обсуждение этой темы). Отметим, что (1)i совпадает с эффективной процентной ставкой за единицу времени, i. Номинальные процентные ставки часто используется на практике, например, как в следующем примере. Пример 2.2.1. Номинальные годовые процентные ставки по утверждению финансовой газеты в некоторый день выглядят следующим образом:

Срок 1 день 2 дня 7 дней 1 месяц 3 месяца Номинальная процентная

ставка, % 3114

5118

1112

3118

1114

(Инвестиции на один день часто называют суточными ссудами.) Найдите накопление по вкладу величиной £1000 спустя (a) одну неделю, (b) один месяц. Решение. Для того чтобы выразить приведенную выше информацию в наших обозначениях, сконструируем следующую таблицу (в которой единицей измерения времени является один год, а рассматриваемый момент времени обозначается 0t ).

Срок, h 1/365 2/365 7/365 1/12 1/4

0( )hi t 0.1175 0.11625 0.115 0.11375 0.1125

По формуле (2.2.1) накопление равно 01000[1 ( )]hhi t+ , где (a) h = 7/365 и (б) h = 1/12. Это даёт ответы:

~ 19 ~

a) 71000 1 0.115 £1002.21365

⋅ + ⋅ = ,

b) 11000 1 0.11375 £1009.4812

⋅ + ⋅ =

Замечание. Номинальные процентные ставки на различные сроки (как показано в примере 2.2.1) могут меняться ото дня ко дню: нельзя предполагать, что они фиксированы. Если они являются константами и их значения равны указанным выше, то накопление вклада £1000000, открытого на 2 последовательных однодневных периода составит 21000000 [1 (0.1175 / 365)]£ £1000644⋅ + = , в то время как тот же вклад на один двухдневный период даст 1000000 [1 (0.11625 2 / 365] 10£ 0 6£ 0 37⋅ + × = . Это очевидная несообразность частично объясняется тем фактом, что рынок ожидает изменение процентных ставок в будущем.

2.3 Коэффициенты накопления Пусть время измеряется в подходящих единицах (например, в годах). Для 1 2t t≤ мы определим 1 2( , )A t t как накопление к моменту времени 2t вклада величиной 1, сделанного в момент времени 1t на срок 2 1t t− . Таким образом, 1 2( , )A t t – это сумма, которая будет выплачена в момент 2t в обмен на инвестирование суммы 1 в момент 1t . Из определения процентной ставки ( )hi t следует, что для всех t и h > 0

( , ) 1 ( )hA t t h hi t+ = + (2.3.1)

и, следовательно, что

( , ) 1( ) , 0.h

A t t hi t hh+ −

= > (2.3.2)

Мы также определим A(t,t) = 1 для любого t. Число 1 2( , )A t t часто называют коэффициентом накопления, т.к. накопление к моменту времени 2t вклада величиной С, сделанного в момент времени 1t , составляет

1 2( , ).C A t t⋅ (2.3.3) По отношению к прошлому, т.е. когда настоящий момент времени берется в качестве момента 0, коэффициенты A(t,t+h) и номинальные процентные ставки ( )hi t являются известными по отношению к любой данной сделке. Что касается их значения в будущем, можно произвести оценки (если только человек не инвестирует в ценные бумаги с гарантированными процентными ставками, которые применяются как сейчас, так и в будущем).

~ 20 ~

Теперь пусть 0 1 2t t t≤ ≤ . Рассмотрим вложение суммы 1 в момент времени 0t . Вырученная сумма в момент 2t будет 0 2( , )A t t , если человек инвестирует на срок 2 0t t− или 0 1 1 2( , ) ( , )A t t A t t , если человек инвестирует в момент времени 0t на срок 1 0t t− , а затем в момент времени 1t реинвестирует вырученную сумму на срок 2 1t t− . На непротиворечивом рынке эти суммы не должны зависеть от характера действий, предпринятых инвестором. Соответственно, мы можем сказать, что в рамках принципа непротиворечивости 0 2 0 1 1 2( , ) ( , ) ( , )A t t A t t A t t= (2.3.4) для всех 0 1 2t t t≤ ≤ . По индукции легко следует (если выполнен принцип непротиворечивости), что

0 0 1 1 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n nA t t A t t A t t A t t−= … (2.3.5) для любого n и любой возрастающей последовательности чисел 0 1, , , nt t t… . Если только не оговорено противное, мы будем предполагать, что принцип непротиворечивости выполнен. На практике, однако, маловероятно, что он реализован в точности, в силу наличия расходов, налогообложения и других факторов. Более того, иногда коэффициенты накопления, вытекающие из определённых математических моделей, (например, модели реинвестирования раздела 6.7), вообще говоря, не удовлетворяют принципу непротиворечивости. В разделе 2.4 будет показано, что при очень общих условиях коэффициенты накопления, удовлетворяющие принципу непротиворечивости, обязаны иметь определённый вид (см. формулу 2.4.3). Пример 2.3.1. Пусть время измеряется в годах. Предположим, что для всех 1 2t t≤

верно равенство: 1 2 2 1( , ) exp[0.05( )].A t t t t= − a) Проверьте, что принцип непротиворечивости справедлив. b) Найдите накопление на вклад £600 спустя 15 лет.

Решение. (а) Это оставляется как простое упражнение. (b) В силу формулы (2.3.3) накопление есть 600 exp(0.05£ £15) 1270.20.⋅ × =

2.4 Интенсивность процентов Равенство (2.3.2) показывает, как ( )hi t определяется в терминах коэффициента накопления A(t,t+h). В примере 2.2.1 мы дали (относительно определённого момента времени 0t ) значения 0( )hi t для ряда значений h, изменяющихся от 1/4 (т.е. три месяца) до 1/365 (т.е. один день). Следует отметить определённую тенденцию в поведении этих величин. В практических ситуациях не будет неблагоразумным допустить, что по мере того, как h становится все меньше и меньше, ( )hi t стремится к предельному значению. Конечно, вообще говоря, это предельное значение будет зависеть от t. Таким образом, мы предполагаем, что для любого значения t существует число ( )tδ такое, что

~ 21 ~

0

lim ( ) ( ).hhi t tδ

+→= (2.4.1)

(Обозначение 0h +→ указывает, что предел рассматривается, когда h стремится к 0 «сверху» или через положительные значения). Общепринято называть ( )tδ интенсивностью процентов в единицу времени в момент времени t. Ввиду формулы (2.4.1), ( )tδ иногда называют номинальной процентной ставкой в единицу времени в момент t, обращаемой мгновенно. Хотя это математическая идеализация реальности, интенсивность процентов играет решающую роль в теории сложных процентов. Заметим, что комбинируя уравнения (2.3.2) и (2.4.1), мы можем определить ( )tδ непосредственно через коэффициент накопления как

0

( , ) 1( ) lim .h

A t t hth

δ+→

+ − = (2.4.2)

Функция интенсивности процентов ( )tδ определяется в терминах функции накопления

1 2( , )A t t , но когда выполнен принцип непротиворечивости, можно при очень общих условиях выразить коэффициент накопления через интенсивность процентов. Этот результат содержится в следующей теореме. Теорема 2.4.1. Если ( )tδ и 1 2( , )A t t являются непрерывными функциями от t при

0t t≥ и выполнен принцип непротиворечивости, то для 0 1 2t t t≤ ≤ верно равенство

2

11 2( , ) exp ( ) .

t

tA t t t dtδ = ∫ (2.4.3)

Доказательство этой теоремы дается в приложении 1. Уравнение (2.4.3) указывает жизненную важность интенсивности процентов. Как только ( )tδ , интенсивность процентов за единицу времени, определена, коэффициент накопления 1 2( , )A t t может быть определен по формуле (2.4.3). Мы можем также найти

( )hi t по формулам (2.4.3) и (2.3.2). Следовательно,

exp ( ) 1

( ) .

t h

th

s dsi t

h

δ+ − =∫

(2.4.4)

Следующие примеры иллюстрируют эту дискуссию. Пример 2.4.1. Допустим, что ( )tδ , интенсивность процентов за единицу времени в момент времени t, задаётся формулами: (а) ( )tδ δ= (где δ – некоторая константа) и (б) ( )t a btδ = + . В каждом случае найдите формулы для накопления единичной суммы за промежуток времени от момента 1t до момента 2t .

~ 22 ~

Решение. В случае (а) формула (2.4.3) даёт: 1 2 2 1( , ) exp[ ( )],A t t t tδ= − а в случае (б) эта же формула даёт:

2

1

2 21 2 2 2 1 1

1 1( , ) exp ( ) exp[( ) ( )].2 2

t

tA t t a bt dt at bt at bt = + = + − + ∫

Замечание. Случай, когда ( )tδ δ= для всех t, очень важен на практике. Ясно, что в этой ситуации

0 0( , ) nA t t n eδ+ = (2.4.5) для всех 0t и 0n ≥ . По формуле (2.4.4) эффективная процентная ставка за единицу времени равна

1i eδ= − (2.4.6) и, следовательно,

1 .e iδ = + (2.4.7) Коэффициент накопления 0 0( , )A t t n+ может быть выражен в альтернативной форме:

0 0( , ) (1 ) .nA t t n i+ = + (2.4.8) Мы, следовательно, имеем обобщение формулы (2.1.2) на случай всех 0n ≥ , а не только положительных целых чисел. Обозначения и теория могут быть упрощены, когда

( )tδ δ= для всех t. Этот случай будет подробно рассматриваться в главе 3. Пример 2.4.2. Интенсивность процентов в единицу времени, ( )tδ , где время измеряется в годах, равна 0.12 для всех t. Найдите годовую номинальную процентную ставку по вкладу сроком на (а) семь дней, (б) один месяц, (в) шесть месяцев. Решение. Используя формулу (2.4.4) с ( ) 0.12tδ = для всех t, мы получим:

exp(0.12 ) 1( ) .h hhi t i

h−

= = Подставляя: (а) h=7/365, (б) h=1/12, (в) h=1/2, мы получим

номинальные процентные ставки: (а) 12.01%, (б) 12.06%, (в) 12.37%. Теперь определим 0( ) ( , )F t A t t= , (2.4.9) где 0t фиксировано и 0t t≤ . Таким образом, F(t) – это накопление в момент t единичного вклада, сделанного в момент времени 0t . По формуле (2.4.3)

0

ln ( ) ( )t

tF t s dsδ= ∫ (2.4.10)

~ 23 ~

и, следовательно, для 0t t>

( )( ) ln ( ) .( )

d F tt F tdt F t

δ′

= = (2.4.11)

Пример 2.4.3. Банк начисляет проценты по вкладам, используя коэффициенты накопления, основанные на переменной интенсивности процентов. 1 июля 1983 года клиент положил £50000 в банк. На 1 июля 1985 года его вклад вырос до £59102. Предполагая, что интенсивность процентов являлась линейной функцией времени в течение всего периода с 1 июля 1983 года по 1 июля 1985 года, найдите интенсивность процентов 1 июля 1984 года. Решение. Используя введенное выше обозначение и измеряя время в годах с 1 июля 1983 года, мы имеем: F(0)=1 и F(2)=59102/50000=1.182040. Поскольку (по условию) ( )tδ – линейная функция от t, из равенства (2.4.10) следует, что ln ( )F t – квадратичная функция от t для 0 2t≤ ≤ . Читателю следует проверить, что для любой квадратичной функции g(t), a h t a h− ≤ ≤ + ,

( ) ( )( ) .2

g a h g a hg ah

+ − −′ =

Это свойство полезно во многих практических приложениях. Теперь из равенства (2.4.11) следует, что

1 1(1) [ln (2) ln (0)] [0.167242 0] 0.083621.2 2

F Fδ = − = − =

Значит, годовая интенсивность процентов на 1 июля 1984 года была 0.083621. Замечание. На практике интенсивность процентов (которая приблизительно равна номинальной процентной ставке по суточной ссуде) может вести себя более странно, нежели в примере 2.4.3. Хотя до сих пор мы предполагали, что ( )tδ – непрерывная функция от t, в определённых практических проблемах нам может быть желательно рассмотреть более общие функции ( )tδ . В частности, мы иногда будем рассматривать функцию ( )tδ как кусочно-постоянную; например, измеряя время в годах, мы можем допустить, что

0.06 для 5,( ) 0.05 для 5 10,

0.03 для 10

.

tt t

tδ

<= ≤ < ≥

В таких случаях теорема 2.4.1 и другие результаты все еще верны. Они могут быть установлены рассмотрением ( )tδ как предела, в определённом смысле, последовательности непрерывных функций.

~ 24 ~

2.5 Современные стоимости

Пусть 1 2t t≤ . Из формулы (2.3.3) следует, что вклад размером 1 2/ ( , )C A t t , т.е. 2

1

exp ( )t

tC t dtδ − ∫ , в момент времени 1t , в момент времени 2t приведёт к получению

суммы С. Мы поэтому говорим, что дисконтированная ценность к моменту времени 1t

суммы С, подлежащей выплате в момент времени 2t , равна

2

1

exp ( ) .t

tC t dtδ − ∫ (2.5.1)

Это сумма денег, которая, будучи вложенной в момент 1t , в момент 2t даст сумму С. В частности, дисконтированная ценность в момент 0 (настоящее время) суммы С, подлежащей выплате в момент 0t ≥ называется её дисконтированной современной ценностью (или, более кратко, её современной ценностью); она равна

0

exp ( )t

C s dsδ − ∫ . (2.5.2)

Теперь мы определим функцию

0

( ) exp ( ) .t

v t s dsδ = − ∫ (2.5.3)

Когда 0t ≥ , v(t) – это (дисконтированная) современная ценность суммы 1, подлежащей

выплате в момент t. Когда t<0, соглашение 0

0( ) ( )

t

ts ds s dsδ δ= −∫ ∫ показывает, что v(t) –

это накопление суммы 1 от момента t до момента 0. Из формул (2.5.2) и (2.5.3) следует, что дисконтированная современная ценность суммы С, которая должна быть выплачена в неотрицательный момент времени t, составляет

( ).Cv t (2.5.4) В важном практическом случае, когда ( )tδ δ= для всех t, мы можем написать

( ) для всех ,tv t v t= (2.5.5)

где (1)v v e δ−= = (см. главу 3). Значения v(t) ( 1, 2,3,t = …) при различных процентных ставках включены в таблицы сложных процентов в конце этой книги. Пример 2.5.1. Будем измерять время в годах с настоящего момента и предположим, что ( ) 0.06(0.9)ttδ = для всех t. Найдите простое выражение для v(t), а отсюда найдите дисконтированную современную ценность £100, подлежащих выплате через 3.5 года.

~ 25 ~

Решение. По формуле (2.5.3)

0( ) exp 0.06(0.9) exp[ 0.06(0.9 1) / ln(0.9)].

t s tv t ds = − = − − ∫

Следовательно, в силу формулы (2.5.4) современная ценность £100, подлежащих выплате через 3.5 года, есть 3.5100 exp[ 0.06(0.9 1) / ln(0.9£ £)] 83.89.⋅ − − = Пример 2.5.2. Предположим, что

0.09 для 0 5,( ) 0.08 для 5 10,

0.07 для 10.

tt t

tδ

≤ <= ≤ < ≥

Найдите простые выражения для v(t), когда 0t ≥ .

Решение. Заметим, что для 5 10t≤ ≤ мы можем оценить 0

( )t

s dsδ∫ как 5

0 5[ ( ) ( ) ]

ts ds s dsδ δ+∫ ∫ , а для 10t ≥ мы можем использовать формулу

10

0 10[ ( ) ( ) ]

ts ds s dsδ δ+∫ ∫ с соответствующей формулой для ( )sδ в каждом случае. Это

немедленно даёт exp( 0.09 ) для 0 5,

( ) exp( 0.05 0.08 ) для 5 10,exp( 0.15 0.07 ) для 10.

t tv t t t

t t

− ≤ <= − − ≤ < − − ≥

Замечание. Когда функция ( )tδ является кусочно-постоянной, как в этом случае, мы можем применить формулы, подходящие для ситуации, когда ( )tδ постоянна, для оценки платежей на каждом соответствующем интервале времени; примеры этого будут даны в Главе 6.

2.6 Формула Студли для интенсивности процентов Важным примером формулы для ( )tδ является формула Студли (см. ссылки [31], [47]), которая может быть записана следующим образом:

( ) .1 st

st pre

δ = ++

(2.6.1)

Параметры p, r и s могут быть выбраны методами, описанными в разделе 6.6, с тем, чтобы моделировать плавное убывание (или в некоторых обстоятельствах плавное возрастание) интенсивности процентов. Если верна формула Студли, мы имеем:

~ 26 ~

{ }0 0

00

( )

( ) exp ( ) exp1

exp exp ( ) ln(1 )1

1 1 exp[ ( ) ] .1 1 1

t t

sy

syt tsysy

stp s t pt

sv t y dy p dyre

rsep s dy p s t rere

re rp s t e er r r

δ

− + −

= − = − + +

= − + − = − + + + + +

= − + = ++ + +

∫ ∫

∫ (2.6.2)

Если мы определим ( )1

p sv e− += и 2pv e−= , мы можем написать

1 21( ) .

1 1t trv t v v

r r= +

+ +

(2.6.3) Если верна формула Студли, то современная ценность любого потока платежей (см. раздел 2.7) может быть выражена как взвешенное среднее соответствующих современных ценностей для двух фиксированных процентных ставок. Это свойство обобщается на оценивание рент и страховых полисов в страховании жизни и имеет большое практическое значение. Пример 2.6.1. Годовая интенсивность процентов ( )tδ определяется формулой

Студли с p=0.076961, r=0.5 и s=0.121890, т.е. 0.121890( ) 0.076961 .1 0.5exp(0.121890 )

tt

δ = ++

Найдите формулу для v(t) и современную ценность единичной суммы, подлежащей выплате через 10 лет. Решение. В силу уравнения (2.6.2)

2 1 2 1( ) exp[ (0.076961 0.121890) ] exp( 0.076961 ) (1.22) (1.08) .3 3 3 3

t tv t t t − −= − + + − = +

Следовательно, современная ценность суммы 1 через 10 лет есть

10 102 1(10) (1.22) (1.08) 0.24566.3 3

v − −= + =

2.7 Современные ценности денежных потоков

Во многих проблемах теории сложных процентов часто нужно находить дисконтированную современную ценность денежных платежей (или, как их часто называют, потоков платежей), подлежащих выплате в будущем. Важно различать (а) дискретные и (б) непрерывные платежи.

~ 27 ~

Дискретный поток платежей. Современная ценность сумм 1 2, , ,

nt t tc c c… ,

подлежащих выплате в моменты 1 2, , , nt t t… (где 1 20 nt t t≤ < < < ), по формуле (2.5.4) есть

1 21 2

1( ) ( ) ( ) ( ).

n j

n

t t t n t jj

c v t c v t c v t c v t=

+ + + =∑ (2.7.1)

Если число платежей бесконечно, современная ценность определяется по формуле

1

( )jt j

jc v t

∞

=∑ (2.7.2)

(при условии, что этот ряд сходится; это обычно верно в практических задачах). Процесс нахождения дисконтированной современной ценности может быть проиллюстрирован с помощью рисунка 2.7.1. Коэффициенты дисконтирования 1( )v t ,

2( )v t ,..., ( )nv t применяются, чтобы перенести денежные платежи «обратно к современному моменту времени».

1t 2t 3t1t

c2t

c3t

c1( )v t⋅

2( )v t⋅

3( )v t⋅

0

Непрерывно выплачиваемые денежные потоки. Понятие непрерывно выплачиваемого потока платежей, несмотря на то, что главным образом является теоретическим, очень важно. (Например, для многих практических целей, пенсия, выплачиваемая еженедельно, может рассматриваться как выплачиваемая непрерывно). Предположим, что T>0 и что между моментами времени 0 и Т вкладчику будут выплачиваться деньги непрерывно с интенсивностью выплат в момент t величиной £ ( )tρ в единицу времени. Чему равна современная ценность этого денежного потока?

~ 28 ~

Для того чтобы ответить на этот вопрос, важно понимать, что означает интенсивность выплат этого денежного потока в момент t. Если M(t) обозначает полный платеж, сделанный между моментами 0 и t, то по определению

дл( ) я ( в) с .ехt M t tρ ′= (2.7.3) Тогда, если 0 Tα β≤ < ≤ , то полный платеж, полученный между моментами времени α и β , есть

( ) ( ) ( ) ( ) .M M M t dt t dtβ β

α αβ α ρ′− = =∫ ∫ (2.7.4)

Следовательно, интенсивность выплат в любой момент времени – это просто производная от общей суммы, выплаченной к этому моменту, а общая сумма, выплаченная между двумя любыми моментами времени – это интеграл от интенсивности выплат по соответствующему интервалу. Общий платёж, полученный между моментами времени t и t+dt, есть

( ) ( )M t dt M t+ − . Если dt очень мало, то это значение приблизительно равно ( )M t dt′ или ( )t dtρ . Теоретически, следовательно, мы можем рассматривать современную ценность

денег, полученных между моментами времени t и t+dt, как ( ) ( )v t t dtρ . Современная ценность всего денежного потока получается интегрированием как

0

( ) ( ) .T

v t t dtρ∫ (2.7.5)

Строгое доказательство этого результата дается в учебниках элементарного анализа; нужно предположить, что ( )tρ удовлетворяет определённым условиям (например, что она является кусочно-непрерывной). Если Т бесконечно, мы получим с помощью аналогичных рассуждений, что современная ценность есть

0

( ) ( ) .v t t dtρ∞

∫ (2.7.6)

Мы можем рассматривать формулу (2.7.5) как частный случай формулы (2.7.6) с ( ) 0tρ = для t>T. Объединяя результаты для дискретного и непрерывного денежных потоков, мы получаем формулу

0

( ) ( ) ) (tv t v t t dtc ρ∞

+∑ ∫ (2.7.7)

для современной ценности общего потока платежей (суммирование идет по тем значениям t, для которых tc , дискретный денежный поток в момент t, не ноль). До сих пор мы предполагали, что все платежи, дискретные или непрерывные, положительны. Если имеется серия поступающих платежей (которые могут рассматриваться как положительные) и серия расходов (которые могут рассматриваться как отрицательные платежи), их чистая современная ценность определяется как

~ 29 ~

разность между ценностью положительного денежного потока и ценностью отрицательного денежного потока (см. главу 5, в которой ( )tδ предполагается постоянной). Пример 2.7.1. Предположим, что время измеряется в годах и что

0.04 для 10,

( )0.03 для 10.

tt

tδ

<= ≥

Найдите v(t) для всех t и, следовательно, современную ценность непрерывного потока платежей с интенсивностью 1 в год на протяжении 15 лет, начиная с момента времени 0. Решение. По формуле (2.5.3),

( )( )

0

10

0 10

exp 0.04 для 10,( )

exp 0.04 0.03 для 10,

t

t

ds tv t

ds ds t

− <= − − ≥

∫

∫ ∫

т.е.

( )exp 0.04 для 10,( )

exp( 0.1 0.03 ) для 0

1 ,t t

v tt t

− <=

− − ≥

Современная ценность потока платежей, по формуле (2.7.5), есть

15 10 15

0 0 101 ( ) exp( 0.04 ) exp( 0.1 0.03 )

1 exp( 0.4) exp( 0.3) exp( 0.45) exp( 0.1) 11.3543.0.04 0.03

v t dt t dt t dt× = − + − −

− − − − −= + − =

∫ ∫ ∫

2.8 Оценивание денежных потоков Рассмотрим моменты времени 1t и 2t , где 2t не обязательно больше, чем 1t . Ценность в момент времени 1t суммы С, подлежащей выплате в момент времени 2t , определяется как: (а) накопление суммы С с момента времени 2t до момента времени 1t , если 1 2t t≥ ; или (б) дисконтированная ценность в момент 1t суммы С, подлежащей выплате в момент 2t . Из формул (2.4.3) и (2.5.1) следует, что в обоих случаях ценность в момент 1t суммы С, выплачиваемой в момент времени 2t , есть

~ 30 ~

2

1

exp ( )t

tC t dtδ − ∫ (2.8.1)

(Отметим соглашение, что если 1 2t t> , то 2 1

1 2

( ) ( )t t

t tt dt t dtδ δ= −∫ ∫ ).

Поскольку 2 2 1

1 0 0( ) ( ) ( ) ,

t t t

tt dt t dt t dtδ δ δ= −∫ ∫ ∫ из уравнений (2.5.3) и (2.8.1)

немедленно следует, что ценность в момент 1t суммы С, выплачиваемой в момент времени 2t , есть

2

1

( ) .( )

v tCv t

(2.8.2)

Стоимость в произвольный момент 1t дискретного денежного потока величиной tc в момент времени t (для различных значений t) и непрерывного денежного потока с интенсивностью ( )tρ за единицу времени теперь может быть найдена методами, данными в разделе 2.7, как

1 1

( ) ( )( ) ,( ) ( )

tv t v tt dtv t t

cv

ρ∞

−∞+∑ ∫ (2.8.3)

где суммирование происходит по тем значениям t, для которых 0tc ≠ . Мы заметим, что в специальном случае, когда 1 0t = (настоящее время) стоимость денежного потока есть

( ) ( ) ( ) , tv t t v t dtc ρ∞

−∞+∑ ∫ (2.8.4)

где суммирование происходит по тем значениям t, для которых 0tc ≠ . Этот факт является обобщением формулы (2.7.7), с тем, чтобы охватить прошлые платежи в дополнение к настоящим или будущим. Если существуют поступающие платежи и расходы, то соответствующая чистая стоимость может быть определена, как в разделе 2.7, как разность между стоимостью положительного и отрицательного денежных потоков. Если все платежи делаются в момент времени 1t или позже, их ценность в момент 1t может также быть названа их дисконтированной ценностью, а если они делаются в момент 1t или перед ним, то об их стоимости можно говорить как о накоплении. Это влечёт, что любая ценность может быть выражена как сумма дисконтированной стоимости и накопления; этот факт полезен в определённых проблемах. Также, если 1 0t = и все платежи делаются в этот момент или после него, их стоимость может быть описана как их (дисконтированная) современная ценность, определённая формулой (2.7.7).

~ 31 ~

Из формулы (2.8.3) следует, что стоимость в любой момент времени 1t денежного потока может быть получена из его стоимости в любой другой момент 2t умножением на

коэффициент 2

1

( )( )

v tv t

, т.е.

( )( )

2

1 2 1

стоимость денежного стоимость денежного потока в момент потока в момент

v tt t v t

= ⋅

(2.8.5)

или

( ) ( )1 21 2

стоимость денежного стоимость денежного .

потока в момент потока в момент v t v t

t t

⋅ = ⋅

(2.8.6)

Каждая сторона равенства (2.8.6) является стоимостью денежного потока в настоящий момент (момент 0). В частности, выбирая момент 2t как настоящий момент и полагая 1t t= , мы получим следующий результат:

( )

стоимость денежного стоимость денежного 1 потока в момент потока в настоящий моментt v t

= ⋅

(2.8.7)

Эти результаты полезны во многих практических примерах. Момент 0 и единица измерения времени могут быть выбраны так, чтобы упростить вычисления. Пример 2.8.1. Бизнесмен должен выплатить следующие суммы: £1000 1 января 1986 года; £2500 1 января 1987 года и £3000 1 июля 1987 года. Предполагая постоянную интенсивность процентов величиной 0.06, найдите стоимость этих платежей: (а) 1 января 1984 года, (б) 1 марта 1985 года. Решение. Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 1984 года. Стоимость долгов в этот день в силу формулы (2.7.1) есть:

1000 (2) 2500 (3) 3000 (3.5) 1000exp( 0.12) 2500exp( 0.18) 3000exp( 0.21)5406.85.£

v v v+ + = − + − + −=

Стоимость на 1 марта 1985 года этих же долгов в силу формулы (2.8.7) есть:

145406.85 exp 0.06 5798.89.1

£2

⋅ × =

Пример 2.8.2. Предположим, что время измеряется в годах и что ( )tδ , интенсивность процентов в единицу времени, даётся формулой Студли с параметрами p, r, s, определёнными в примере 2.6.1. Найдите: (а) одиночный платёж, который при инвестировании в момент 10, накопит £30000 к моменту времени 20;

~ 32 ~

(б) сумму, накопленную за десять лет на десять ежегодных платежей, £1000 каждый, если первый платеж был сделан в момент 0. Решение. (а) Это просто стоимость в момент 10 суммы £30000, подлежащей выплате в момент времени 20. Из уравнения (2.8.2) требуемый платёж есть

3000 (20) / (10),v v где (см. пример 2.6.1) 2 1( ) (1.22) (1.08) .3 3

t tv t − −= + Это даёт £10259.

(б) Мы имеем денежный поток из десяти равных платежей величиной £1000.

Стоимость этого денежного потока в момент 0 есть 9

01000 ( ),

tv t

=∑ и, следовательно,

стоимость в момент 10 есть (в силу уравнения (2.8.7)) 9

01000 ( ) / (10) 22822.

tv t v

=

=∑ Таким

образом, накопленная сумма есть £22822.

2.9 Доход от процентов Рассмотрим теперь инвестора, который желает не накапливать деньги, а получать доход, сохраняя свой капитал фиксированным на уровне С. Если процентная ставка фиксирована на уровне i в единицу времени и если инвестор желает получать свой доход в конце каждого единичного промежутка времени, ясно, что до тех пор, пока он не изымет свой капитал, доход за единицу времени будет iC (этот доход выплачивается с запаздыванием). Этот случай обсуждается подробнее в главе 3. В общем случае предположим, что 0t t> и что инвестор желает поместить сумму С в момент 0t , c тем, чтобы изъять вклад в момент t. Далее, предположим, что n>1 и что инвестор желает получать проценты на свой вклад в n равноотстоящих моментов

времени 0 0 0, 2 , ,t h t h t nh+ + … + , где 0t thn−

= . Проценты, выплачиваемые в момент

0 ( 1)t j h+ + за период от 0t jh+ до 0 ( 1)t j h+ + , будут 0( ),hC h i t jh⋅ ⋅ + так что общий доход от процентов, выплачиваемый между моментами 0t и t, будет

1

00

( ).n

hj

Ch i t jh−

=

+∑ (2.9.1)

Поскольку, по предположению, ( )hi t стремится к ( )tδ , когда h стремится к нулю, довольно легко показать (при условии, что ( )tδ является непрерывной), что когда n возрастает (так что h стремится к 0), общая сумма процентов, полученных между моментами 0t и t, сходится к

0

( ) ( ) .t

tI t C s dsδ= ∫ (2.9.2)

Значит, в пределе интенсивность платежей дохода от процентов в единицу времени в момент t, ( )I t′ , равна

~ 33 ~

( ).C tδ (2.9.3) Эта ситуация может быть проиллюстрирована с помощью рисунка 2.9.1.

Рис.2.9.1 Поток дохода от процентов

C

( )C tδ

Сумма C в резервуаре остаётся постоянной на уровне C, в то время как доход от процентов выливается непрерывно с мгновенной скоростью ( )C tδ в единицу времени в момент t. Таким образом, если проценты со счета с переменными процентами выплачиваются очень часто, ситуация может быть идеализирована так, как показано на рисунке, который изображает непрерывный поток доходов от процентов. Конечно, если

( )tδ δ= для всех t, проценты получают с постоянной скоростью Cδ в единицу времени. Если инвестор изымает свой капитал в момент Т, современные ценности его дохода и капитала в силу формул (2.5.4) и (2.7.5) есть

0

( ) ( )T

C t v t dtδ∫ (2.9.4)

и

( )Cv T (2.9.5)

соответственно. Поскольку

( )0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) 1 ( ),

TT T t tt v t dt t s ds dt s ds v Tδ δ δ δ = − = − − = − ∫ ∫ ∫ ∫

мы получим

0

( ) ( ) ( ),T

C C t v t dt Cv Tδ= +∫ (2.9.6)

как можно было бы ожидать из общих соображений.

~ 34 ~

В случае, когда T = ∞ (инвестор никогда не изымает свой капитал) подобные аргументы дают результат:

0

( ) ( ) ,C C t v t dtδ∞

= ∫ (2.9.7)

где выражение в правой части равенства является современной ценностью дохода от процентов. Случай, когда ( )tδ δ= для всех t обсуждается подробнее в главе 3.

2.10 Прирост и потери капитала, налогообложение

До сих пор мы характеризовали разность между деньгами, возвращаемыми в конце срока, и первоначально инвестированной суммой как «проценты». На практике, однако, эта величина может быть разделена на доход от процентов и доход с капитала; термин потери капитала используется для отрицательного дохода от капитала. Некоторые виды инвестиций, известные как облигации с нулевыми купонами, не дают дохода от процентов. Выпускался ряд таких ценных бумаг; например, в Соединенных Штатах акции с нулевыми купонами, обеспечивающие доход $100 в 1988 году, были выпущены семью годами раньше по цене $39.164. Много других ценных бумаг обеспечивают как доход от процентов, так и доход с капитала; они будут рассматриваться в этой книге позже. Поскольку принципы обложения налогом доходов с капитала обычно отличаются от принципов обложения налогом дохода от процентов, различие между доходом от процентов и доходом с капитала важно для инвесторов, выплачивающих налоги. Обычно можно предположить, что подоходный налог вычитается из дохода от процентов по ставке, применимой, когда прибыль получена, в то время как в определённых случаях он назначается спустя некоторое время (например, в конце финансового года). Налог на доход от капитала немного более сложен и мы с ним будем иметь дело в главе 8. Теория, развитая в предыдущих разделах, не изменится, если мы заменим термин «проценты» на «проценты и доходы с капитала минус любые налоги на проценты и доход от капитала». Интенсивность процентов (которую для того, чтобы избежать путаницы с терминологией, возможно, следовало бы называть интенсивностью роста) будет принимать во внимание повышение ценности и обесценивание капитала, а также дохода от процентов, а также будет принимать во внимание сферу действия подоходного налога и налога на доход от капитала.

2.11 Дальнейшие ссылки

Существует значительное число книг и журналов, имеющих отношение к процентным ставкам и их структуре зависимости от сроков (т.е. изменению процентных ставок в соответствии со сроком инвестиции). Интересующийся читатель может посмотреть, например, следующую литературу

~ 35 ~

Conard, J.W. The Behaviour of Interest Rates (National Bureau of Economic Research: New York, 1966). Dodds, J.C. and Ford, J.L. The Term Structure of Interest Rates (Martin Robertson, 1974). Fisher, I. The Theory of Interest (Macmillan, 1930; reprinted by Augustus M. Kelly, 1970). Guttentage, J.M. and Cagan, P. (eds) Essays on Interest Rates (National Bureau of Economic Research: New York, 1969). Hahn, F.H. and Brechling, F.P.R. (eds) The Theory of Interest Rates (Macmillan, 1965; reprinted by Augustus M. Kelly, 1970). Hirshleifer, J. Investment, Interest and Capital (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1970). Homer, S. A History of Interest Rates (Rutgers University Press, 1963). Homer, S. et al. The Five Year Outlook for Interest Rates (Rand McNally, 1963). Malkiel, B.G. The Term Structure of Interest Rates (Princeton University Press, 1966). Michaelsen, J.B. The Term Structure of Interest Rates (Intext Educational Publishers, 1973). Nelson, C.R. The Term Structure of Interest Rates (Basic Books, New York, 1972). Roll, R. The Behaviour of Interest Rates (Basic Books, New York, 1970). Todhunter, R. Textbook on Compound Interest and Annuities-certain 3rd edn (Cambridge University Press, 1931).

~ 36 ~

Задачи 2.1 При сложных процентах с эффективной годовой ставкой i накопление единичной суммы после t лет есть (1 )ti+ (см. уравнение 2.4.8), в то время как при простых процентах с той же самой ставкой соответствующее накопление есть (1 )ti+ (см. уравнение 2.1.3). Покажите для любого положительного значения i, что: (а) накопление при простых процентах превышает накопление при сложных процентах, если 0<t<1; (б) верно противоположное, если t>1. Подсказка. Пусть ( ) (1 ) (1 )tf i i ti= + − + . Отметьте, что f(0) = 0 и рассмотрите знак

( )f i′ для i>0. 2.2 В данном году интенсивность процентов является линейной функцией времени, убывающей от 0.15 в начале года до 0.12 в конце года. Найдите значение в начале года номинальной процентной ставки для сделки сроком: (а) 3 месяца, (б) один месяц и (в) один день. Найдите также соответствующие значения в середине года. (Отметьте, как эти значения стремятся к интенсивности процентов в соответствующий момент времени). 2.3 Банк начисляет проценты на депозиты, используя переменную интенсивность процентов. В начале данного года инвестор вложил £20000 в банк. Накопленная на вкладе сумма составила £20596.21 в середине года и £21183.70 в конце года. Измеряя время в годах с начала данного года и предполагая, что в течение года интенсивность процентов являлась линейной функцией времени, получите выражение для интенсивности процентов в момент t ( 0 1t≤ ≤ ) и найдите накопленную сумму на счете по истечении трех четвертей года. 2.4 Должник обязан возвратить банку £6280 через четыре года, £8460 через семь лет и £7350 через тринадцать лет. Пересматривая свои будущие обязательства, должник в данный момент предлагает или (а) уплатить эти три долга, произведя через пять лет от данного момента одну выплату соответствующего размера, или (б) выплатить общую сумму долга (т.е. £22090) одним платежом в соответствующий момент в будущем. В предположении постоянной интенсивности процентов величиной 0.076961 (т.е. ln1.08 ), найдите соответствующий разовый платеж, если банком принимается предложение (а), и соответствующий момент выплаты общего долга, если принимается предложение (б). (Ваши ответы должны быть получены на основе того, что современная ценность разового платежа в пересмотренных условиях должна равняться современной ценности трёх платежей, которые должны быть выплачены в соответствии с текущими обязательствам).

~ 37 ~

2.5 Для определённых банковских вкладов в течение данного года интенсивность процентов была 0.15 в начале года, 0.10 в середине года и 0.08 в конце года. Найдите сумму, накопленную к концу года, по вкладу £5000, сделанному в начале года, предполагая, что интенсивность процентов в год является: (а) квадратичной функцией времени в течение года; (б) линейной функцией времени в первую половину года и также линейной функцией времени во вторую половину года. 2.6 (Применение формулы Студли). Предположим, что ( )tδ , интенсивность процентов в год в момент t (измеренный в годах, начиная с настоящего момента), дается

формулой Студли ( )1 st

st pre

δ = ++

с p=0.058269, s=0.037041 и r=1/3.

(а) Покажите, что 1 3( ) (1.06) (1.1)4 4

t tv t − −= + .

(б) Инвестор соглашается делать 12 ежегодных платежей, каждый по £600; первый платёж производится в настоящий момент. В обмен вкладчик получит или (i) Накопленную сумму платежей спустя 12 лет с настоящего момента; или (ii) Серию из 12 ежегодных платежей, одной и той же величины; первый платёж делается спустя 12 лет после настоящего момента. Найдите величину разовой выплаты и альтернативную постоянную ренту, предложенные инвестору.

Замечание. В таблицах сложных процентов в конце этой книги 1

(1 )n

t

ti −

=

+∑

обозначается na . Используйте эти таблицы для процентных ставок 6% и 10%.

2.7 Интенсивность процентов ( )tδ в момент времени t (измеренный в годах, начиная с настоящего момента) будет линейной функцией от t в течение m лет, а затем будет постоянной на уровне, достигнутом в момент m. (а) Рассматривая отдельно случаи, когда n m≤ и n>m, получите выражение для накопления суммы 1 с момента времени 0 до момента времени n через n, m , (0)δ , ( )mδ . (б) При условии, что m=16, (0) 0.08δ = , (16) 0.048δ = оцените ваше выражение когда (i) n=15 и (ii) n=40. (в) Найдите постоянную интенсивность процентов, которая давала бы такое же накопление (i) через 15 лет и (ii) через 40 лет. 2.8 (Кусочно-постоянная интенсивность процентов) Предполагая, что ( )tδ , интенсивность процентов в момент t (лет), даётся формулой

0.08 для 0 5,( ) 0.06 для 5 10,

0.04 для 10.

tt t

tδ

≤ <= ≤ < ≥

(а) Выведите выражение для v(t) – современной ценности суммы 1, которая подлежит выплате в момент t.

~ 38 ~

(б) Инвестор заключает контракт, по которому он будет выплачивать 15 премий ежегодно с упреждением на счёт, который будет накапливать средства в соответствии с приведенной выше интенсивностью процентов. Каждая премия составит £600, а первая премия будет выплачена в момент времени 0. В обмен вкладчик получит или (i) сумму, накопленную на счёте, через один год после того, как будет выплачена последняя премия; или (ii) постоянную ренту, выплачиваемую на протяжении восьми лет с первым платежом спустя год после того, как выплачена последняя премия. Найдите разовую выплату в случае (i) и величину ежегодной ренты в случае (ii). 2.9 (а) При оценивании будущих платежей, для стоимости в момент 0 суммы 1, которая обязана быть выплачена в момент t (измеренный в годах), инвестор использует формулу

( 1)( ) , 0,( )( 1)

v t tt tα α

α α+

= ≥+ + +

где α – положительная константа. Покажите, что приведенная выше формула влечёт, что (i) интенсивность процентов в момент t будет

2 2 1( )( )( 1)

ttt t

αδα α

+ +=

+ + +. (1)

(ii) Эффективная процентная ставка за период [ ; 1]n n + будет 2( )i nn α

=+

и (iii) Современная ценность серии из n платежей, каждый величиной 1 (r-й платёж

должен быть сделан в момент r) есть ( )( 1)

na nn

αα

=+ +

.

(б) Предположим теперь, что ( )tδ даётся уравнением (1) с 15α = . Найдите постоянную годовую премию, выплачиваемую с упреждением в течение двенадцати лет, которая будет обеспечивать ренту £1800 в год, выплачиваемую ежегодно в течение десяти лет с первым платежом ренты спустя год после выплаты последней премии. Какова стоимость в момент 12 этой серии рентных платежей? 2.10 (Непрерывный поток платежей). Инвестор покупает ренту, которая выплачивается непрерывно в течение n лет, где n целое число. Интенсивность платежей этой ренты является линейной функцией времени. (а) Измеряя время в годах, начиная со дня покупки ренты, и полагая, что rI

(r=1,2,…, n) обозначает величину ренты, выплаченной в r-ом году, получите выражение для интенсивности платежей в момент t через 1I и 2I . Найдите также величину ренты, выплаченной вплоть до момента t ( 0 t n< ≤ ).

~ 39 ~

(б) (i) В предположении постоянной интенсивность процентов δ , получите выражение для современной ценности ренты в терминах 1, ,n Iδ и 2I . (ii) При условии, что 2 120, 1.07n I I= = и что при ln1.06δ = современная стоимость ренты есть £9047, найдите значение 1I и величину ренты, выплаченной в последнем году. 2.11 Предположим, что интенсивность процентов в момент t есть

( ) btt aeδ −= . (1) (а) Покажите, что современная ценность суммы 1, которая должна быть

выплачена в момент t, есть ( )( ) exp 1btav t eb

− = − .

(б) (i) Предполагая, что интенсивность процентов дается уравнением (1) и что она снизится на 50% за десять лет со значения 0.10 в момент 0, найдите современную ценность серии из четырёх годовых платежей, каждый величиной £1000, с первым платежом в момент 1. (ii) При какой постоянной интенсивности процентов эта серия платежей имеет ту же самую современную стоимость, что и найденная в пункте (i)? 2.12 (Современная ценность непрерывно выплачиваемого денежного потока). Предположим, что интенсивность процентов в момент t есть ( ) rtt r seδ −= + .

(а) Покажите, что современная ценность суммы 1, которая должна быть

выплачена в момент t, есть ( ) exp exp( )exp rts sv t rt er r

−− = −

.

(б) (i) Отсюда покажите, что современная стоимость ренты, выплачиваемой непрерывно в течение n лет при постоянной интенсивности £1000 в год, есть

( )1000 1 exp 1rns es r

− − −

(ii) Оцените последнее выражение, когда n=50, r=ln1.01 и s=0.03.

~ 40 ~

Решения задач 2.1 Пусть t – заданное положительное число. Для 0i ≥ определим функцию ( )f i равенством

( ) (1 ) (1 )tf i i ti= + − + . Отметим, что f(0) = 0 и 1( ) (1 ) 1 .tf i t i −′ = + −

(а) Предположим, что 1t < . Тогда ( ) 0f i′ < для 0i > , что означает убывание функции f(i) для положительных значений i. Значит, если 0i > , то ( ) (0) 0f i f< = , так что (1 ) 1ti it+ < + , что и требовалось доказать. (а) Предположим, что 1t > . Тогда ( ) 0f i′ > для 0i > , что означает возрастание функции f(i) для положительных значений i. Значит, ( ) 0f i > при 0i > , что доказывает желаемый результат.

2.2 Пусть время измеряется годами с начала года. По формуле (2.4.4)

( )

0

000

exp ( ) 1номинальная годовая процентная ставка в момент

.для сделки продолжительностью

t h

th

t dtt

i th h

δ+

− = =

∫

В нашем случае ( ) 0.15 0.03t tδ = − для 0 1t≤ ≤ , так что 0

0

0 01 1( ) 0.15 0.03 .2 2

t h

t

t dt h t h h t hδ δ+ = + = − + ∫

При 0 0t = мы получаем следующие ответы:

( )exp 0.15 0.015 1 1 1 1 для , , .

4 12 365h h

hh

− − =

что даёт: (а) 0.148957; (б) 0.149676; (в) 0.149990.

При 012

t = мы получаем следующие ответы:

( )exp 0.135 0.015 1 1 1 1 для , , .

4 12 365h h

hh

− − =

что даёт: (а) 0.133427; (б) 0.134498; (в) 0.134984.

Примечание. 1 0.1352

δ =

.

~ 41 ~

2.3 Для 0 1t≤ ≤ пусть ( )F t обозначает накопление к моменту t от инвестирования

суммы 1 в момент 0. Отметим, что 1 20596.212 20000

F =

, а ( ) 21183.70120000

F = . Отсюда:

1ln 0.0293752

F =

, а ( )ln 1 0.057500F = .

В силу предположения, ( )t a btδ = + для 0 1t≤ ≤ . Следовательно,

2

0

1( )2

t

s ds at btδ = +∫

и потому, в силу формулы (2.4.10),

21ln ( ) .2

F t at bt= +

Полагая в последнем уравнении 12

t = , мы получаем:

1 10.0293752 8

a b= + ,

а полагая 1t = , мы имеем:

10.0575002

a b= + .

Два последних уравнения влекут, что 0.06a = , 0.005b = − . Следовательно,

( ) 0.06 0.005 .t tδ = − Кроме того,

3 3 9ln 0.043594,4 4 32

F a b = + =

откуда вытекает, что 3 1.0445584

F =

. Сумма, накопленная на счёте в момент 34

, есть

3200004

F

, что равно £20891.16.

2.4 Будем измерять время годами. По формуле (2.5.5)

( ) 1.08 для всех 0.t tv t v t−= = ≥

(а) Пусть X – разовая выплата в момент 5. Мы должны иметь

4 7 13 56280 8460 7350 ,v v v Xv+ + = откуда мы получаем X=£18006.

(б) Пусть t – соответствующее будущее время. Мы найдём t из уравнения

4 7 136280 8460 7350 22090 ,tv v v v+ + = откуда мы получаем 7.66t = (лет).

~ 42 ~

2.5 Будем измерять время годами, начиная с начала данного года. (а) Отметим, что (0) 0.15δ = , и пусть

2( ) 0.15 .t bt ctδ = + +

Полагая в этом уравнении 12

t = мы получаем:

1 10.1 0.152 4

b c= + + ,

а при 1t = мы имеем:

0.08 0.15 .b c= + +

Два последних уравнения влекут, что 0.13b = − , 0.06c = , так что 2( ) 0.15 0.13 0.06 .t t tδ = − +

Это влечёт, что 1

0

( ) 0.105t dtδ =∫ . По формуле (2.4.9) сумма, накопленная в конце года,

равна ( )5000 exp 0.105⋅ , что составляет £5553.55.

(б) В этом случае ( )tδ линейна при 102

t≤ ≤ , а также при 1 12

t≤ ≤ , так что

( ) ( )

1 21 1

0 0 1 2

( ) ( ) ( )

1 1(0) (1)1 12 2 2 2 2 21 1 0.15 0.10 0.10 0.08 0.1075.4 4

t dt t dt t dtδ δ δ

δ δ δ δ

= +

+ + = ⋅ + ⋅

= ⋅ + + ⋅ + =

∫ ∫ ∫

Отсюда накопленная сумма есть 5000exp(0.1075) 556£ 7.45.=

2.6 (а) В силу уравнения (2.6.3),

1 21 3( ) ,4 4

t tv t v v= +

где

[ ]( )

11

12

exp ( ) exp( 0.09531) 1.1 ,

exp exp( 0.058269) 1.06 .

v p s

v p

−

−

= − + = − =

= − = − =

Отсюда

1 3( ) (1.06) (1.1)4

.4

t tv t − −= +

(б) (i) Пусть S – разовая выплата, предложенная инвестору. Уравнение стоимости в настоящий момент есть [ ]600 (0) (1) (11) (12),v v v Sv+ + + =

т.е.

~ 43 ~

( ) ( )11 11

12 12

1 3600 1 при 6% при 10%4 4

1 31.06 1.14 4

£ 12956.

aS

a

− −

+ + = ⋅ + ⋅

=

(ii) Пусть X – ежегодная выплата, предложенная инвестору. Уравнение стоимости в настоящий момент есть [ ] [ ]600 (0) (1) (11) (12) (13) (23) ,v v v X v v v+ + + = + + +

т.е.

( ) ( )

( ) ( )11 11

23 11 23 11

1 3600 1 при 6% при 10%4 4

1 3 при 6% при 10%4 4

1625.£

a a

a a a aS

+ + = − + −

=

2.7 (а) Пусть 0(0)δ δ= , ( ) mmδ δ= . По формуле (2.4.3) накопление есть

0

exp ( ) .n

t dtδ ∫

Теперь для 0 t m≤ ≤

( )0 0( ) ,mttm

δ δ δ δ= + −

так что при n m≤ накопление есть (по формуле трапеций)

( ) ( )0 0 0 0 0exp exp .2 2m mn n nn

m mδ δ δ δ δ δ δ

+ + − = + −

Когда n m≥ , мы имеем накопление

( )00 0

exp ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) .2

n m n

m mm

mt dt t dt t dt n mδ δ δ δ δ δ = + = + + − ∫ ∫ ∫

(б) (i) Накопление за 15 лет есть

( )15exp 15 0.08 0.048 0.08 2.6512.32

+ − =

(ii) Накопление за 40 лет есть

( )16exp 0.08 0.048 24 0.048 8.8110.2

+ + × =

(в) (i) Мы находим δ такое, что 15 2.6512e δ = , т.е. 0.065.δ = (ii) Мы находим δ такое, что 40 8.8110e δ = , т.е. 0.0544.δ = 2.8 (а) По формуле (2.5.3)

0

( ) exp ( ) .t

v t s dsδ = − ∫

~ 44 ~

Теперь

0

0.08 для 0 5,( ) 0.1 0.06 для 5 10,

0.3 0.04 для 10.

tt t

s ds t tt t

δ≤ <

= + ≤ < + ≥

∫

Поэтому

( )( )( )

exp 0.08 для 0 5,( ) exp 0.1 0.06 для 5 10,

exp 0.3 0.04 для 10.

t tv t t t

t t

− ≤ <= − − ≤ < − − ≥

(б) (i) Пусть эта разовая выплата обозначена S. В настоящий момент уравнение ценности имеет вид: [ ]600 (0) (1) (14) (15).v v v Sv+ + + =

Отсюда мы получаем

( )0.08 0.86

0.9

600 1 e eS

e

− −

−

+ + +=

или, используя (а), S=£14119. (ii) Пусть A – ежегодная выплата. В настоящий момент уравнение ценности имеет вид: [ ] [ ]600 (0) (1) (14) (15) (16) (22) .v v v A v v v+ + + = + + +

Отсюда мы получаем

( )0.08 0.86

0.9 0.94 1.18

600 1 e eS

e e e

− −

− − −

+ + +=

+ + +

или, используя (а), A=£2022. 2.9 (а) (i) По формуле (2.5.3)

0

( ) ln ( ).t

s ds v tδ = −∫

Поэтому

( ) 2 2 1( ) .( ) ( )( 1)

v t ttv t t t

αδα α

′ + += − =

+ + +

(ii) По формуле (2.4.4) эффективная процентная ставка за период от момента n до момента 1n + равна

1 1

0 0

exp ( ) 1 exp ( ) ( ) 1

( ) 1( 1)

( 1 )( 2 ) 1( )( 1 )2 .

n n n

n

t dt t dt t dt

v nv nn n

n n

n

δ δ δ

α αα α

α

+ + − = − −

= −++ + + +

= −+ + +

=+

∫ ∫ ∫

~ 45 ~

(iii) Отметим, что

1 1( ) ( 1) .1

v tt t

α αα α

= + − + + +

Поэтому 1 1 1 1( ) ( 1)

1 2 2 3

1 1 1

1 1 ( 1)1 1

.( 1)

a n

n n

nn

n

α αα α α α

α α

α αα α

αα

= + − + − + + + + + + − + + +

= + − + + +

=+ +

(б) Пусть P – постоянная годовая премия. Уравнение стоимости для настоящего момента есть [ ] [ ]1 (11) 1800 (21) (11)P a a a+ = − .

Поэтому

21 15 11 15180022 15 12 15 60£ 8.11.11 151

12 15

P

× × − + + = =×

++

Пусть стоимость в момент 12 серии ежегодных выплат равна X. Уравнение стоимости в настоящий момент есть

[ ](12) 1800 (21) (11)Xv a a= − .

Поэтому

21 15 11 15180022 15 12 15 .15 16

(15 12)(16 12)

£13622X

× × − + + = =×

+ +

2.10 (a) Пусть интенсивность выплат в момент будет £ ( )tρ в год. Нам дано, что

( )t p qtρ = + , где p и q – определённые константы. Сумма, выплачиваемая в r-м году, есть

1

2 1( ) , 1, 2, , .2

r

rr

rI p qt dt p q r n−

−= + = + =∫

Отсюда,

1 21 3, 2 2

I p q I p q= + = + ,

что даёт

~ 46 ~

1 2 1 23 1 , .2 2

p I I q I I= − = − +

Отсюда,

( )1 2 2 13 1( ) , 0 .2 2

t I I I I t t nρ = − + − ≤ ≤

Теперь пусть 0 t n< ≤ . Сумма, выплаченная вплоть до момента t, равна

( )21 2 2 1

0

1 3 1 1( ) .2 2 2 2

t

s ds pt qt t I I t I Iρ = + = − + − ∫

(б) (i) По формуле (2.7.5) текущая стоимость равна

0 0 0

( ) .n n n

t t tp qt e dt p e dt q te dtδ δ δ− − −+ = +∫ ∫ ∫

Теперь,

0

1( )n net dt

δ

δδ

−−=∫ ,

а интегрированием по частям

20

1( )n n ne n et t dt

δ δδδδ

− −− −=∫ .

Поэтому текущая стоимость есть

( )1 2 2 1 2

3 1 1 12 2

n n ne e n eI I I Iδ δ δδ

δ δ

− − − − − − − + −

.

(ii) Мы приравняем последнее выражение к 9047 и решим относительно 1I . Это даёт

1 1 13 1 1.07 11.81068 0.07 95.66994 9047,2 2

I I I − × ⋅ + ⋅ =

откуда I1= £500. Сумма, выплачиваемая за каждый год, увеличивается в арифметической прогрессии, 2 1 10.07 500 35I I I= + ⋅ = + . Следовательно, сумма, выплачиваемая за последний год, равна 2 1 ( 1) 35 500 19 35 1165.£I I n= + − ⋅ = + ⋅ = 2.11 (а) По формуле (2.5.3)

( )0 0

( ) exp ( ) exp exp 1 .t t

bs btav t s ds ae ds eb

δ − − = − = − = − ∫ ∫

(б) (i) Поскольку (0) 0.1δ = , 0.1a = , а 10(10) 0.5(0)

beδδ

−= = , мы получаем, что

0.069315.b = Отсюда текущая стоимость платежей равна

~ 47 ~

[ ]1000 (1) (2) (3) (4) £3205.43.v v v v+ + + =

(ii) Мы найдём δ , решая уравнение ( )2 3 41000 3205.43e e e eδ δ δ δ− − − −+ + + = ,

т.е. 2 3 4 3.20543e e e eδ δ δ δ− − − −+ + + = . Численными методами (см. Приложение 2) мы получаем 0.09063.δ = 2.12 (а) По формуле (2.5.3)

( )

( )0 0

( ) exp ( ) exp

exp 1 exp exp( )exp .

t try

rt rt

v t y dy r se dy

s s srt e rt er r r

δ −

− −

= − = − +

− = − + − = −

∫ ∫

(б) (i) По формуле (2.7.5) современная стоимость потока есть

( )0 0

0

1000 ( ) 1000exp exp exp

1 1000exp exp

1 1000exp exp exp

n nrt

t nrt

t

rn

s sv t dt rt e dtr r

s s er s r

s s ser s r r

−

=−

=

−

= − −

= − −

= − − −

∫ ∫

( )1000 1 exp 1 .rns es r

−

= − −

(ii) При подстановке n=50, r=ln1.01 и s=0.03 вычисляется, что эта текущая стоимость равна £23109.

~ 48 ~

Глава 3

ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕОРИИ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

3.1 Введение Частный случай, когда ( )tδ , интенсивность процентов в единицу времени в момент t, не зависит от t, является особо важным. В этой ситуации мы предполагаем, что для всех значений t

( ) ,tδ δ= (3.1.1)

где δ – некоторая константа. Повсюду в этой главе мы будем предполагать, что уравнение (3.1.1) верно, если только не оговорено противное. Ценность в момент s суммы 1, которая должна быть выплачена в момент s+t, есть (см. уравнение (2.8.1)):

exp ( ) exp exp( ),s t s t

s s

r dr dr tδ δ δ+ +

− = − = − ∫ ∫

что не зависит от s. Следовательно, ценность в любой заданный момент суммы 1, которая должна быть выплачена через промежуток времени t, есть

( ) (3.1.2) (3.1.3) (1 ) ,

t

t

t

v t ev

d

δ−=

=

= − (3.1.4)

где v и d определяются через δ посредством уравнений v e δ−= (3.1.5) и 1 .d e δ−− = (3.1.6)

Поэтому, в обмен на возврат суммы 1 в момент 1 инвестор даст взаймы сумму 1 d− в момент 0. Сумма 1 d− может рассматриваться как заём суммы 1 (которая должна быть возвращена через 1 единицу времени), при котором проценты величиной d выплачиваются заранее. По этой причине d называется «ставкой дисконтирования» или «учётной ставкой» за единицу времени. Иногда, для того, чтобы избежать путаницы с номинальными ставками дисконтирования (см. главу 4), d называют эффективной ставкой дисконтирования за единицу времени. Аналогично, из уравнения (2.4.9) немедленно следует, что величина накопления к моменту s+t на сумму 1, инвестированную в момент s, не зависит от s и даётся формулой:

~ 49 ~

( ) (3.1.7)

(1 ) , (3.1.8)

t

t

F t ei

δ=

= +

где i определяется уравнением 1 . (3.1.9)i eδ+ =

Следовательно, инвестор даёт в долг сумму 1 в момент 0 в обмен на возврат суммы 1+i в момент 1. Соответственно i называется процентной ставкой (или эффективной процентной ставкой) за единицу времени. Хотя мы предпочли определить i, v и d в терминах интенсивности процентов δ , любые три величины из i, v, d и δ однозначно определяются четвёртой. Например, если мы выбираем i в качестве основного параметра, то из уравнения (3.1.9) следует, что

ln(1 ).iδ = + Кроме того, уравнения (3.1.5) и (3.1.9) влекут, что

1(1 ) ,v i −= + в то время как уравнения (3.1.6) и (3.1.9) влекут, что

11 (1 ) .1

id ii

−= − + =+

Эти последние три уравнения определяют δ , v и d через i. Последнее уравнение может быть переписано как

,d iv= что подтверждает, что выплата суммы i в момент 1 имеет ту же самую ценность, что и выплата суммы d в момент 0. Какая сумма, выплачиваемая непрерывно (с постоянной скоростью) на интервале времени [0,1], имеет ту же ценность, что и любая из этих сумм? Пусть искомая сумма равна σ . Тогда, беря ценности в момент 0, мы имеем (если 0δ ≠ ):

1

0

1t e dd e dtδ

δσ σ σδ δ

−− − = = =

∫

Следовательно, σ δ= . Этот результат, конечно, также верен, если 0δ = . Этим устанавливается важный факт, что платёж суммы δ , который осуществляется непрерывно на протяжении периода [0,1], имеет ту же стоимость, что и платёж суммы d в момент 0 или платёж суммы i в момент 1. Каждая из этих трёх выплат может рассматриваться как альтернативный метод выплаты процентов по займу величиной 1 за рассматриваемый период. В определённых ситуациях может быть естественным рассматривать интенсивность процентов в качестве основного параметра, с вытекающими отсюда значениями i, v и d. В других случаях может быть предпочтительнее предположить определённое значение i (или d, или v) и подсчитать, если необходимо, вытекающие отсюда значения трех других параметров. В качестве простого, но важного упражнения для читателя мы оставляем проверку соотношений из Таблицы 3.1.1.

~ 50 ~

Таблица 3.1.1 Соотношения между δ , i, v и d

В зависимости от значения величины

Значение величины δ i v d

δ 1eδ − e δ− 1 e δ−− i ln(1 )i+ 1

1 i+

1i

i+

v ln v− 1 vv−

1 v−

d ln(1 )d− − 1

dd−

1 d−

Читатель должен проверить, что если i мало, то i, δ и d имеют один и тот же порядок и 1v i≈ − . Когда i мало, можно получить приближенные формулы для d и δ в терминах i из хорошо известных рядов, пренебрегая остаточными членами после небольшого количества членов ряда. Например, поскольку для малых значений i

2 3 41 1 1ln(1 ) ,2 3 4

i i i i iδ = + = − + − +…

справедлива приближённая формула: 21 .

2i iδ ≈ −

Аналогично, 1 2 3 2 3 4(1 ) (1 ) ,d i i i i i i i i i i−= + = − + − +… = − + − +…

так что, если i мало, то 2.d i i≈ −

Используя соотношения, содержащиеся в таблице 3.1.1, читатель должен проверить, что, если δ мало, то

212

i δ δ≈ +

и 21 .

2d δ δ≈ −

Анализ погрешностей приведённых выше приближений обеспечивается более тщательным изучением остаточного члена в соответствующем ряде. Это иллюстрируется следующим примером.

Пример 3.1.1. Покажите, что если 0 0.1δ< < , то 2 2 31 1 0,185 .2 2

iδ δ δ δ δ+ < < + +

Решение. Пусть ( ) xf x e= . Поскольку (в силу теоремы Тейлора)

~ 51 ~

2 3

( ) (0) (0) (0) ( ),2! 3!x xf x f xf f f ε′ ′′ ′′′= + + +

где ε лежит между 0 и x, для всех положительных значений δ мы имеем: 2 3

1 ,2 6

e eδ εδ δδ= + + +

где 0 ε δ< < . Теперь 2 3

12 6

i e eδ εδ δδ= − = + + .

Если 0 0.1δ< < и 0 ε δ< < , то 0,1/ 6 / 6 0.1842 0.185e eε < = …< . Последнее неравенство и устанавливает требуемый результат.

3.2 Уравнение ценности и доход от сделки Предположим, что в обмен на расходы величиной X в момент 0 инвестор будет получать выплаты, каждая величиной jX, в моменты 1, 2, , n… в дополнение к возврату в момент n исходного вложения. Таким образом, до момента оплаты капиталовложение X производит доход jX в конце каждого периода времени. Интуитивно мы можем говорить о j как о «доходе» в единицу времени от капиталовложения. Мы хотим определить понятие дохода для более широкого класса инвестиций. Для того чтобы сделать это, прежде всего необходимо определить понятие уравнения ценности, связанного с любой сделкой. Рассмотрим сделку, которая предусматривает, что в обмен на расходы величиной

1 2, , ,

nt t ta a a… в моменты 1 2, , , nt t t… инвестор будет получать выплаты величиной

1 2, , ,

nt t tb b b… соответственно в эти же моменты (в большинстве случаев только одна из

сумм rt

a и rt

b будет ненулевой). При какой интенсивности процентов серия расходов

имеет ту же ценность, что и серия приходов? При интенсивности процентов δ эти две серии имеют равные стоимости, если и только если

1 1. (3.2.1)r r

r r

n nt t

t tr r

a e b eδ δ− −

= =

=∑ ∑

Это уравнение можно переписать в виде:

10, (3.2.2)r

r

nt

tr

c e δ−

=

=∑

где r r rt t tc b a= − есть величина чистого денежного потока в момент rt (мы применяем

соглашение, что отрицательный денежный поток соответствует платежу, сделанному инвестором, а положительный денежный поток представляет выплату ему). Уравнение (3.2.2), которое выражает алгебраически условие, что при интенсивности процентов δ общая ценность чистого денежного потока есть 0, называется уравнением ценности для интенсивности процентов, которая предполагается сделкой. Если (следуя главе 2) мы положим 1e iδ = + , это уравнение может быть переписано как

~ 52 ~

1(1 ) 0. (3.2.3)r

r

nt

tr

c i −

=

+ =∑

В этом виде оно известно как уравнение для процентной ставки или уравнение дохода. Альтернативно, это уравнение можно переписать как

10.r

r

nt

tr

c v=

=∑

Отметим, что в вышеприведённых уравнениях n может быть бесконечным. Применительно к непрерывным потокам платежей, если мы определим 1( )tρ и

2 ( )tρ как интенсивности выплат и получения денег в момент t соответственно, то мы назовём 2 1( ) ( ) ( )t t tρ ρ ρ= − чистой интенсивностью денежного потока в момент t. Уравнение ценности (соответствующее уравнению (3.2.2)) для интенсивности процентов есть

0

( ) 0. (3.2.4)tt e dtδρ∞

− =∫

Когда присутствуют как дискретный, так и непрерывный денежный потоки, уравнение ценности есть

1 0

( ) 0, (3.2.5)r

r

nt t

tr

c e t e dtδ δρ∞

− −

=

+ =∑ ∫

а эквивалентное уравнение дохода есть

1 0

(1 ) ( )(1 ) 0. (3.2.6)r

r

nt t

tr

c i t i dtρ∞

− −

=

+ + + =∑ ∫

Для любой данной сделки уравнение (3.2.5) может не иметь корней, может иметь один корень или несколько корней (мы рассматриваем только действительные корни). Если имеется единственный корень, скажем 0δ , то он известен как интенсивность

процентов, предполагаемая в сделке, а соответствующая процентная ставка 00 1i eδ= −

называется доходом за единицу времени (альтернативными терминами для дохода являются внутренняя ставка доходности и усреднённая по деньгам ставка доходности). Таким образом, доход определён, если и только если уравнение (3.2.6) имеет в точности один корень больше, чем 1− , и, когда этот корень существует, он является доходом. Для конкретных классов сделок несколько авторов рассмотрели задачу определения того, имеет или нет уравнение (3.2.6) единственный корень. Заинтересованный читатель может обратиться к Butcher, M.V. and Nesbitt, C.J. Mathematics of Compound Interest (Ulrich’s Books: Ann Arbor, 1971), Russel, A.M. and Rickard, J.A. Uniqueness of non-negative internal rate of return. Journal of the Institute of Actuaries, 1982, 109(3), pp. 435-45, и Taylor, G.C. Determination of internal rates of return in respect of an arbitrary cash flow. Journal of the Institute of Actuaries, 1980, 107(4), pp. 487-97 для более подробного обсуждения этой темы. Хотя для определённых инвестиций доход не существует (поскольку уравнение ценности (3.2.2) не имеет корней или имеет более одного корня: см. Задачу 3.6 и главу 5), имеется один важный класс сделок, для которых доход всегда существует. Он описан в следующей теореме.

~ 53 ~

Теорема 3.2.1. Для любой сделки, в которой все отрицательные чистые денежные потоки предшествуют всем положительным чистым денежным потокам (или наоборот), доход корректно определен. Доказательство. Для такой сделки, не нарушая общности, мы можем предположить, что все отрицательные чистые денежные потоки предшествуют всем положительным чистым денежным потокам. (Если верно противное, мы просто умножим уравнение ценности на 1− для того, чтобы обратить ситуацию). Следовательно, имеется индекс l такой, что уравнение ценности (3.2.2) может быть записано как

{ } { }1 21 21 2 1 2 0, (3.2.7)l l l nt t t tt t

l l l ne e e e e eδ δ δ δδ δα α α α α α+ +− − − −− −+ +− + +…+ + + +…+ =

где 1 2 (3.2.8)nt t t< <…<

и каждое 0iα > (1 )i n≤ ≤ .

После умножения на 1teδ− уравнение (3.2.7) примет вид:

1 2( ) ( ) ( ) 0,g g gδ δ δ≡ − = где

( ) ( )1 2

1 1( ) , ( ) .l r r l

l nt t t t

r rr r l

g e g eδ δδ α δ α− − −

= = +

= =∑ ∑

Поскольку каждое iα положительно, условие упорядоченности (3.2.8) влечет, что 1g является возрастающей функцией от δ , и что 2g является строго убывающей функцией. Значит, g является строго возрастающей функцией. Поскольку lim ( )g

δδ

→∞= ∞ , а

lim ( )gδ

δ→−∞

= −∞ , это влечёт, что уравнение ценности имеет единственный корень

(который может быть положительным, нулевым или отрицательным). Это завершает доказательство теоремы в дискретном случае. Доказательство в случае, когда имеются непрерывные денежные потоки, проводится подобным образом. Хотя доход определён только когда уравнение (3.2.3) имеет единственный корень больший, чем 1− , иногда интересно рассматривать сделки, в которых уравнение дохода имеет единственный положительный корень (даже если также могут быть отрицательные корни). Имеется один легко описываемый класс сделок, для которых уравнение дохода всегда имеет точно один положительный корень. Он описан в следующей теореме. Теорема 3.2.2. Предположим, что 0 1 nt t t< <…< , и рассмотрим сделку, для

которой чистый денежный поток инвестора в момент времени it имеет величину it

c

(некоторые из it

c будут положительными, а некоторые отрицательными, в соответствии с

соглашением, описанным выше). Для 0,1, ,i n= … пусть 0

,i

i

i tr

A c=

=∑ так что iA обозначает

накопленную общую сумму, полученную инвестором после того, как поступил денежный

~ 54 ~

поток в момент it . Предположим, что 0A и nA оба ненулевые и что когда все нулевые значения исключены, последовательность 0 1{ , , , }nA A A… содержит в точности одно изменение знака. Тогда уравнение дохода имеет точно один положительный корень. Следует отметить, что эта теорема не дает никакой информации относительно существования отрицательных корней. Мы опускаем доказательство этой теоремы, которое, как мы полагаем, первоначально было дано Steffensen. Один частный пример этой ситуации обеспечивается сделкой, в которой все расходы инвестора предшествуют всем его приходам и общая полученная сумма превышает общие расходы. Существование дохода для этого типа сделки было установлено предыдущей теоремой, доказательство которой показывает, что доход положителен. Более общий пример дается сделкой, которая предусматривает, что в обмен на выплату сумм 5 и 3 в моменты 0 и 2 соответственно, инвестор получит доход величиной 1, 8 и 4 в моменты 1, 3 и 4 соответственно. Для этого капиталовложения чистые денежные потоки даются в хронологическом порядке последовательностью { } { 5,1, 3,8,4},

itc = − − а накопленные общие денежные потоки (в хронологическом порядке)

– последовательностью { } { 5, 4, 7,1,5}.iA = − − − Поскольку последняя последовательность содержит только одну перемену знака (в этом случае от отрицательного значения к положительному), уравнение дохода имеет только один положительный корень (этот корень на самом деле есть 0.22109 или 22.109%). Рассмотрим, в частности, простую сделку, описанную в первом абзаце этого раздела. Здесь инвестор делает одиночный платёж величиной X в момент 0 в обмен на последующие поступления. Приведённые выше замечания влекут, что доход корректно определен и является единственным решением уравнения ( ) 0,f i = где

1 2( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) .n nf i X jX i jX i jX i X i− − − −= − + + + + +…+ + + +

Читатель должен проверить, что ( ) 0f j = . Доходность, таким образом, есть j, так что для этого капиталовложения более широкое математическое определение доходности согласуется с нашей интуицией. Анализ уравнения ценности для данной сделки может быть довольно сложным (см. приложение 2 для возможных методов решения). Однако, когда уравнение f(i)=0 таково, что f –- монотонная функция, его анализ особенно прост. Это уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда мы можем найти 1i и 2i с 1( )f i и 2( )f i противоположных знаков. Выбирая в качестве 1i и 2i «табулированные» ставки, достаточно близкие друг к другу, мы можем определить доходность с любой желаемой степенью точности (см. Рис. 3.2.1).

~ 55 ~

процентная ставка, i

1i 2i

( )y f i=

y

Следует отметить, что после умножения на 0(1 )ti+ уравнение (3.2.3) принимает эквивалентный вид

0

0(1 ) 0. (3.2.9)r

r

nt t

tr

c i −

=

+ =∑

Эта слегка более общая форма может быть названа уравнением ценности в момент 0t . Оно, конечно, непосредственно равносильно исходному уравнению (которое теперь рассматривается как уравнение ценности в момент 0). В определённых задачах особый выбор 0t может упростить решение. Студент должен всегда рассматривать, может или нет значение 0t , отличное от 0, быть подходящим для данной задачи. Единица времени должна выбираться так, чтобы упростить вычисления. Пример 3.2.1. В обмен на немедленную выплату £500 и дальнейшую выплату £200 двумя годами позже инвестор получит £1000 через пять лет. Найдите доходность этой сделки. Решение. Рассмотрим один год в качестве единицы времени. Уравнение ценности (в момент 0) есть

2 5( ) 500 200(1 ) 1000(1 ) 0.f i i i− −= − − + + + =

Наше предыдущее обсуждение указывает, что имеется единственный корень. Поскольку (0.08) 9.115f = и (0.09) 18.405f = − , доходность заключена между 8% и 9% годовых.

Приближение первого порядка для доходности, полученное посредством линейной интерполяции, есть

9.115 00.08 (0.09 0.08) 0.0833,9.115 ( 18.405)

−+ − =

− −

или 8.33% годовых. Если желательно найти доходность с большей степенью точности,

можно было бы оценить f(0.085), используя функции, табулированные для 18 %2

, или

~ 56 ~

использовать более точные методы (см. приложение 2). (В действительности доходность в процентах с точностью до четвёртого десятичного знака есть 8.3248). Интерпретация доходности в этом случае проста. Если расходы величиной £500 и £200 были бы положены на счёт, по которому проценты платятся по ставке 8.3248% годовых, то в конце пятилетнего периода накопленная сумма на счёте была бы £1000. Если инвестор ожидает, что он сможет вложить деньги на следующие пять лет с процентной ставкой большей, чем 8.3248% в год, он не должен выбирать это капиталовложение. Замечание. Эквивалентно, мы можем работать с уравнением ценности в момент 5. Оно выглядит следующим образом:

5 3500(1 ) 200(1 ) 1000 0.i i− + − + + = Пример 3.2.2. В обмен на заём £100 должник соглашается выплатить £110 через семь месяцев. Найдите: (а) годовую процентную ставку; (b) годовую ставку дисконтирования; (c) интенсивность процентов по сделке. Вскоре после получения займа должник попросил, чтобы ему разрешили оплатить долг посредством выплаты £50 в первоначально установленный срок и второго платежа через шесть месяцев после этой даты. Предполагая, что кредитор согласен удовлетворить эту просьбу и, что вычисления делаются на основе исходной процентной ставки, найдите величину второго платежа в рамках пересмотренной сделки. Решение. Для большей наглядности мы найдём каждую из величин i, d и δ из исходных определений. (а) Годовая процентная ставка даётся уравнением 7/12100(1 ) 110,i+ = из которого следует, что i=0.17749 или, что то же самое, 17.749%. (b) Годовая ставка дисконтирования даётся уравнением 7/12100 110(1 ) ,d= − из которого мы получаем, что d=0.15074 или, что то же самое, 15.074%. (c) Интенсивность процентов δ даётся уравнением (7/12)100 110,e δ = так что

0.16339δ = или, что то же самое, 16.339%. Читатель может проверить, что эти величины согласуются с соотношениями из таблицы 3.1.1. Пусть сумма второй выплаты, требуемой по условиям пересмотренной сделки, будет £X . Тогда, применяя уравнение ценности в момент окончательного платежа (который наступает через 13 месяцев после того, как был сделан заём), мы получим:

(13/12) (1/2)100 50 0,e e Xδ δ− − =

так что

(13/12) (1/2)100 50 .X e e Xδ δ= − −

~ 57 ~

Поскольку предполагается, что применяется исходная процентная ставка, 0.16339δ = (как было найдено выше), последнее уравнение влечёт, что X=65.11.

Альтернативный подход к нахождению величины X обеспечивается замечанием, что должник желает заменить первоначально согласованный платёж величиной £110 выплатой £50 , то есть он желает отложить выплату £60 , которые должны быть возвращены в исходный момент платежа, на шесть месяцев. Отложенный платеж (величиной £X ) должен иметь ту же самую ценность, что и платеж в £60 , который он заменяет. Приравнивая эти суммы в момент последней выплаты, мы получаем

(1/2)60 ,e Xδ = откуда, как и прежде, X=65.11. Пример 3.2.3. (уравнивающий момент для серии платежей) Должник, который обязан выплатить суммы 1 2, , , kx x x… в моменты 1 2, , , kt t t… соответственно, желает вместо этого сделать одиночную выплату суммы 1 2( ).kx x x+ +…+ Он предлагает, чтобы эта одиночная выплата делалась в момент t*, где t* является взвешенным средним

исходных моментов, определяемым формулой 1 1 2 2

1 2

* .k k

k

x t x t x ttx x x+ +…+

=+ +…+

Кредитор

предлагает, чтобы этот единственный платёж делался в момент T, где T определяется уравнением ценности, базирующимся на заданной положительной интенсивности процентов δ . Таким образом, T определяется уравнением

1 21 2 1 2( ) .ktt tT

k kx x x e x e x e x e δδ δδ −− −−+ +…+ = + +…+

Докажите, что *t T> . T называется уравнивающим моментом для серии платежей (на основе заданной интенсивности процентов δ ). Величина t* (которая не зависит от δ ) является обычно используемым приближением для T. Упомянутый выше результат показывает, что когда интенсивность процентов положительна, использование этого приближения благоприятствует должнику, в том смысле, что приближённое значение t* больше, чем истинный уравнивающий момент T. Решение. Работая с наименьшей денежной единицей, мы можем предположить, что все величины 1 2, , , kx x x… – целые (это предположение позволяет обойтись без хитроумных аналитических рассуждений, хотя результат верен для всех положительных значений { }ix ). Рассмотрим теперь множество, состоящее из 1x действительных чисел,

равных 1te δ− , 2x действительных чисел, равных 2te δ− ,..., kx действительных чисел,

равных kte δ− . Числа в этом множестве не все равны (поскольку 1 2, , , kt t t… различные) и, следовательно, (в силу известного алгебраического результата) их среднее арифметическое превышает среднее геометрическое. Итак,

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 21 2

1/( )1 2

1 2

*1 1 2 2

1 2

exp .

k kk

k

tt t x x xxx x tt tT k

k

tk k

k

x e x e x ee e e ex x x

x t x t x t ex x x

δδ δδδ δδ

δδ

−− − + +…+−− −−

−

+ +…+ = > + +…+ + +…+

+ +…+= − = + +…+

Значит, *,T te eδ δ− −> что влечёт (поскольку 0δ > по предположению), что *t T> .

~ 58 ~

Пример 3.2.4. (коммерческий учёт) Кредитор базирует свои краткосрочные сделки на ставке коммерческого учёта D, где 0<D<1. Это означает, что если 0 1t< ≤ , то в обмен на выплату суммы X через время t он даёт взаймы сумму (1 )X Dt− в начале этого периода. Для сделки такого рода на интервале длины t (0 1)t< ≤ выведите выражение (в терминах D и t) для d, эффективной ставки дисконтирования за единицу времени. Отсюда покажите, что, рассматриваемая как функция от t, величина d возрастает на интервале 0 1t< ≤ . Решение. Уравнение ценности для этой сделки в момент, когда делается заём, может быть записано в виде (1 ) 1td Dt− = − и поэтому 1/1 (1 ) ,td Dt= − − что и является выражением для d в терминах D и t. Из этого уравнения следует, что

2 3( ) ( )ln(1 ) ln(1 )2 3

Dt Dtt d Dt Dt− = − = − − − −…

(в силу известного ряда для ln(1 )x− при | | 1x < ). Значит, 2

2 3ln(1 )2 3t td D D D− = − − − −…

При увеличении t правая часть последнего уравнения убывает (абсолютное значение каждого члена этого уравнения возрастает, но все эти члены отрицательные). Следовательно, ln(1 )d− убывает. Это влечёт, что (1 )d− убывает, что, в свою очередь, влечёт, что d возрастает. В качестве иллюстрации результата примера 3.2.4 рассмотрим ситуацию, при которой годовая коммерческая учётная ставка равна 18%, то есть в используемых выше обозначениях D=0.18, а единицей времени является год. Допустим, что мы берём в долг две суммы, и каждый заём должен быть оплачен выплатой £1000, один через три месяца, а второй через девять месяцев.

Для более короткого займа сумма, даваемая в долг, есть 11000[1 (0.18)]4

− , то есть

£955, а годовая ставка дисконтирования даётся уравнением 1/4955 1000(1 ) ,d= − из которого следует, что d=0.16821 или d=16.821%.

Для более длительного займа сумма, даваемая в долг, есть 31000[1 (0.18)]4

− , то

есть £865, а годовая ставка дисконтирования даётся уравнением 3/4865 1000(1 ) ,d= − из которого следует, что d=0.17582 или d=17.582%. Следует отметить, что более длительный заём имеет большую эффективную годовую ставку дисконтирования.

3.3 Детерминированные ренты: современные ценности и накопления

Рассмотрим серию из n платежей, каждый величиной 1, которые должны быть сделаны через единичные интервалы с первым платежом в момент t+1.

~ 59 ~

1 1 1 … 1 1 t t+1 t+2 t+3 … t+n−1 t+n Такая последовательность платежей проиллюстрирована на вышеприведённой диаграмме, где r-й платёж делается в момент t+r. Величина этой серии платежей одной единицей времени раньше момента, когда делается первый платёж, обозначается na (для серии платежей, проиллюстрированной

на приведённой выше диаграмме, эта величина относится к моменту t). Ясно, что если i=0, то na n= ; в противном случае

2 31

(1 ) 1 1 . (3.3.1)1 1

n n nn

n

v v v va v v v vv v i−

− − −= + + +…+ = = =

− −

Если n=0, то na определяется как нуль.

Таким образом, na является ценностью в начале любого периода длиной n серии

из n платежей, каждый размером 1, которые должны делаться с запаздыванием через единичный промежуток времени на протяжении этого периода. Общепринято называть такую серию платежей, делаемых с запаздыванием, запаздывающей детерминированной рентой и называть na современной стоимостью запаздывающей детерминированной

ренты. Когда нет никакой возможности перепутать её с пожизненной рентой (то есть серией платежей, зависящей от времени жизни одного или нескольких человек), можно использовать термин рента как альтернативу термину детерминированная рента. Стоимость этой серии платежей в момент, когда делается первый платёж, обозначается na . Если i=0, то na n= ; в противном случае

2 3 1 1 1 . (3.3.2)1

n nn

n

v va v v v vv d

− − −= + + +…+ = =

−

Таким образом, na является стоимостью в начале любого данного периода длиной n

серии из n платежей, каждый размером 1, которые должны быть сделаны заблаговременно через единичные промежутки времени на протяжении этого периода. Общепринято называть такую серию платежей, делаемых заблаговременно, упреждающей рентой и называть na современной стоимостью упреждающей ренты.

Из приведенных выше определений непосредственно следует, что

1(1 ) , 1 . (3.3.3)n n n na i a a a−

= + = +

Читатель должен проверить эти соотношения алгебраически и с помощью общих соображений. Стоимость этой серии платежей в момент, когда делается последняя выплата, обозначается ns . Стоимость спустя единичный интервал времени после момента, когда

делается последняя выплата, обозначается ns . Если i=0, то n ns s n= = ; в противном

случае

~ 60 ~

1 2 (1 ) 1(1 ) (1 ) 1 (1 ) , (3.3.4)n

n n nn n

is i i i ai

− − + −= + + + +…+ = + =

и

1 (1 ) 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) . (3.3.5)n

n n nn n

is i i i i ad

− + −= + + + +…+ + = + =

Следовательно, ns и ns являются ценностями в конце любого периода длиной n серии

из n платежей, каждый размером 1, делаемых через единичные промежутки времени на протяжении этого периода, где платежи делаются с запаздыванием и заранее соответственно. Иногда ns и ns называют накоплениями (или накопленными суммами)

для запаздывающей ренты и упреждающей ренты соответственно. Когда n=0, ns и ns определяются как нуль.

Из приведённых выше определений немедленно следует, что

1 1(1 ) , 1 1. , (3.3.6) n n n n n ns i s s s s s+ +

= + = + = −

Читатель должен проверить эти соотношения алгебраически и с помощью общих соображений. Уравнения (3.3.1), (3.3.2), (3.3.4) и (3.3.5) могут быть выражены в виде:

1 1 (1 ) 1, (1, ) 1. (3.3. , 7)n nn n

n nn nia v da v i is i ds= + = + + = + + = +

соответственно. Читатель должен уметь записывать эти последние четыре уравнения (3.3.7) немедленно. Первое уравнение является просто уравнением ценности в момент 0 для займа величиной 1 на промежутке от момента 0 до момента n, когда проценты выплачиваются с запаздыванием. Оставшиеся три уравнения можно интерпретировать подобным образом; последние два являются уравнениями ценности в момент n.

Когда процентная ставка i увеличивается, величина v убывает, так что 1

nr

rv

=∑

убывает. Следовательно, для фиксированного значения n величина na является

убывающей функцией от i. Подобным образом na является убывающей функцией от i, в

то время как ns и ns являются возрастающими функциями.

Для фиксированной процентной ставки величины na , na , ns и ns являются

возрастающими функциями от n. Когда n становится бесконечным, соответствующая рента (или упреждающая рента) известна как вечная рента (или вечная упреждающая рента). Для того чтобы обозначить соответствующие современные стоимости, используются обозначения a

∞ и a

∞ . Итак, если i>0, то

1lim (3.3.8)n na a

i∞ →∞= =

и

1lim (3.3.9)nn

a ad→∞∞

= =

~ 61 ~

(если 0i ≤ , как a∞

, так и a∞ бесконечны).

Удобно иметь таблицы для рент и накопленных стоимостей для различных процентных ставок. Имея в виду соотношение (3.3.3), нет необходимости приводить одновременно значения na и na ; аналогично, соотношение (3.3.6) избавляет от

необходимости табулировать одновременно ns и ns . Таблицы сложных процентов в

конце этой книги дают значения величин na и ns для ряда значений n при различных

процентных ставках. Пример 3.3.1. Заём величиной £2400 должен быть возвращён 20 годовыми выплатами. Процентная ставка для сделки равна 10% годовых. Найдите сумму каждого годового платежа, предполагая, что платежи делаются: (а) с запаздыванием и (b) с упреждением. Решение. (а) Пусть ежегодная выплата есть £X. Тогда

202 202400 ( ) , по ставке 10%,X v v v Xa= + +…+ =

и поэтому

202400 2400 8.5136 281.90.X a= = =

(b) Пусть ежегодная выплата есть £Y. Тогда

2 19202400 (1 )Y v v v Ya= + + +…+ =

и поэтому

( ) ( )20 192400 1 2400 1 2400 9.3649 256.28.Y a a= + = + = =

Пример 3.3.2. 15 ноября каждого года с 1964г. по 1979г. включительно инвестор кладёт £500 на особый банковский сберегательный счёт. 15 ноября 1983 инвестор снимает свои сбережения. При условии, что на протяжении всего периода банк использовал для этого особого сберегательного счёта годовую процентную ставку 7%, найдите сумму, которую получил инвестор. Решение. Мы рассмотрим два альтернативных решения. (а) Инвестор сделал 16 взносов на свой счёт. К 15 ноября 1979 (то есть к дате последнего взноса) сумма на счёте, следовательно, была 1 @7%6500s , то есть

£500 27.88805 £13944.03× = . Четырьмя годами позже, то есть 15 ноября 1983г., сумма на счёте была 4£13944.03 (1.07) £18277.78× = , что и было полученной суммой. (b) Хотя инвестор и не делал взносов с 1980г. по 1983г., мы оценим его счёт, предполагая, что выплаты величиной £500 продолжались и в эти годы. Затем мы вычтем из накопленной суммы, подсчитанной при этом предположении, накопленную сумму платежей, которые он не делал с 1980г. по 1983г. Это приводит к следующей величине снятой суммы:

( )20 4 @7%£500 £500 (40.99549 4.43994) £18277.78s s⋅ − = ⋅ − = .

~ 62 ~

Пример 3.3.3. Должник согласен оплатить заём величиной £3000 пятнадцатью годовыми выплатами величиной £500 с первой выплатой через пять лет. Найдите годовой доход для этой сделки. Решение. Уравнение ценности можно записать как

( ) ( ) ( ) ( )195 6 19 2 19 2 3 4

43000 500 500 500 .v v v v v v v v v v a a = + +…+ = + +…+ − + + + = −

Нам требуется решить это уравнение относительно процентной ставки i (наши замечания в разделе 3.2 указывают, что имеется единственный корень). Поскольку правая часть уравнения является монотонной функцией от i, решение может быть найдено довольно просто с любой желаемой степенью точности. При 8% годовых правая часть имеет значение 500(9.6036 3.3121) 3145.75,− = а при 9% годовых её значение есть 500(8.9501 3.2397) 2855.20.− = Поскольку 3145.75 3000 2855.20,> > значение i лежит между 8% и 9%. Для наших целей мы будем считать достаточным оценить i посредством линейной интерполяции как

3145.75 30000.08 (0.09 0.08) 0.085023145.75 2855.20

−+ − =

−

или 8.5%. Замечание. Если требуется более точное решение, мы можем либо использовать процентные ставки, табулированные через меньший интервал (например, 8% и 8.5%), либо применить более точный метод (см. приложение 2). В действительности, решение с пятью точными десятичными знаками есть i=0.08486, то есть 8.49%. Пример 3.3.4. Докажите, что при процентной ставке i

1 1 (3.3.10)n n

ia s

= +

и интерпретируйте этот результат из общих соображений. Решение. Поскольку [(1 ) 1] /n

ns i i= + − , мы имеем:

1 (1 ) 1 ,(1 ) 1 (1 ) 1 1 (1 )

n

nn n

n ni i i ii i

s i i i a−

++ = + = = =

+ − + − − +

что и требовалось доказать. Уравнение (3.3.10) имеет следующую интерпретацию. Рассмотрим заём величиной 1, который должен быть оплачен n равными ежегодными выплатами с запаздыванием. Если годовая процентная ставка есть i, то размер X каждой выплаты находится из равенства 1nXa = . Значит, 1/ nX a= . Когда кредитор получает выплату, он

может рассматривать сумму i из этого платежа как проценты (для неотложных нужд) и вкладывать остаток платежа, то есть 1 na i− , на сберегательный счёт, который

зарабатывает проценты по ставке i годовых. Через n лет накопления на сберегательном счете должны быть достаточны для того, чтобы оплатить исходный заём (то есть 1).

~ 63 ~

Значит, при процентной ставке i верно равенство 1 1nn

i sa

− =

или

1 1 ,n n

ia s

= + что и

требовалось доказать.

3.4 Отсроченные ренты Предположим, что m и n являются неотрицательными целыми числами. Стоимость в момент 0 серии из n платежей, каждый величиной 1, которые должны быть произведены в моменты ( 1), ( 2), , ( 3)m m m+ + … + , обозначается |m na (см. рисунок ниже).

1 1 … 1 1 0 … m m+1 m+2 … m+n−1 m+n Такая серия платежей может рассматриваться как обычная запаздывающая рента, отсроченная на m единиц времени. Когда n>0,

1 2 3|

2 3 2 3

2 3

( ) ( ) (

).

m m m mn

nm

m n m

m n

a v v v v

v v v v v v v vv v v v v

+ + + +

+

= + + +…+

= + + +…+ − + + +…+

= + + +…+

(3.4.1)

Два последних уравнения показывают, что

|

|

(3.4.2)

. (3

.4.3)

n m nm

mn

ma a a

v a+

= −

=

Любое из этих двух уравнений может использоваться для того, чтобы определить стоимость отсроченной запаздывающей ренты. Вместе они влекут, что

. (3.4.4)m n mm

na a v a+

= +

Это уравнение иногда полезно. Возможно, в этом месте стоит отметить, что определение (3.4.1) можно использовать для |m na когда m является любым неотрицательным числом, а не только

целым. В этом случае уравнение (3.4.3) верно, но уравнения (3.4.2) и (3.4.4) еще не имеют смысла, поскольку ka было определено только когда k – целое число (в главе 4

для полноты картины мы обобщим определение ka на случай любых неотрицательных

значений k, и тогда будет ясно, что уравнения (3.4.2) и (3.4.4) верны всегда). Мы можем определить соответствующую отсроченную упреждающую ренту как

| . (3.4.5)n nm

m a v a=

~ 64 ~

3.5 Непрерывно выплачиваемые ренты Пусть n – неотрицательное число. Стоимость в момент 0 ренты, выплачиваемой непрерывно между моментами 0 и n, когда скорость платежей в единицу времени постоянна и равна 1, обозначается na . Ясно, что

0(ес1 1 0). (3.5.1) ли

n nn

nt e va e dt

δδ δ

δ δ

−− − −

= = = ≠∫

Отметим, что величина na определена даже для нецелых значений n. Если 0δ = (или,

эквивалентно, i=0), то величина na , конечно, равна n.

Если m является неотрицательным числом, мы используем символ |m na для того,

чтобы обозначить современную стоимость ренты, выплачиваемой непрерывно со скоростью 1 в единицу времени на протяжении n единиц времени и отложенной на m единиц времени. Таким образом,

| 0 0 0.

m n n m n mt m s t tm mna e dt e e ds e dt e dtδ δ δ δ δ+ +− − − − −= = = −∫ ∫ ∫ ∫

Значит,

| (3.5.2)

. (3.5

.3)n m nm

nm

ma a a

v a+

= −

=

Поскольку уравнение (3.5.1) можно записать как

1 ,n

n

i vaiδ

−=

отсюда немедленно следует, что, если n является целым числом,

0). ( (если 3.5.4)n n

ia a δδ

= ≠

Читатель отметит, что уравнения (3.5.2) и (3.5.3) аналогичны уравнениям (3.4.2) и (3.4.3) (в главе 4 мы покажем, что при соответствующем определении величины na для

нецелых значениях n уравнение (3.5.4) верно для всех неотрицательных n).

3.6 Изменяющиеся ренты

~ 65 ~

В разделах 3.3 и 3.4 мы рассмотрели ренты, для которых величина каждого платежа постоянна. Для ренты с неравными платежами довольно просто найти современную (или накопленную) ценность исходя из базовых соображений. Таким образом, например, современная стоимость такой ренты всегда может быть оценена как

1,i

nt

ii

X v=∑ где i-й платёж величиной iX делается в момент it .

В частном случае когда i iX t i= = , эта рента известна как возрастающая рента и ее

современная стоимость обозначается ( )nIa . Таким образом,

2 3( ) 2 3 . (3.6.1)nnIa v v v nv= + + +…+

Следовательно,

2 1(1 )( ) 1 2 3 .nni Ia v v nv −+ = + + +…+

Вычитая, мы получим

2 1( ) 1 ,n n nn ni Ia v v v nv a nv−= + + +…+ − = −

так что

|( ) . (3.6.2)n

nna nv

Iai−

=

Последнее уравнение не нужно запоминать, поскольку оно может быть быстро выведено из первичных принципов. Простой способ вспомнить уравнение (3.6.2) заключается в записи его в виде

( ) . (3.6.3)nn na i Ia nv= +

Это уравнение – просто уравнение ценности для сделки, в которой инвестор дает в долг сумму 1 в начале каждого года на протяжении n лет в обмен на выплату процентов величиной i умножить на невыплаченный долг в конце каждого года и возврат общей занятой суммы (т.е. n) через n лет. Обе части этого уравнения представляют стоимость (в момент заключения сделки) выплат, сделанных кредитором и должником соответственно. Функция ( )nIa включена в таблицы составных процентов в конце этой

книги. Современная стоимость любой ренты, выплачиваемой с запаздыванием на протяжении n лет, для которой величины последовательных платежей образуют арифметическую прогрессию, может быть выражена через na и ( )nIa . Если первый

платёж в такой ренте есть P, а второй платеж есть P+Q, то t-й платёж есть ( )P Q Qt− + , и современная стоимость ренты, следовательно, есть ( ) ( ) .n nP Q a Q Ia− + Альтернативно

современная стоимость этой ренты может быть выведена из первичных соображений. Обозначение ( )nIa используется для обозначения современной стоимости

возрастающей упреждающей ренты, выплачиваемой на протяжении n единиц времени с t-м платежом (величины t) в момент 1t − . Значит,

~ 66 ~

2 1| |

1| 1|

( ) 1 2 3 (1 )·( ) (3.6.4) 1 ( ) .

(3.6.5

)

nn n

n n

Ia v v nv i Iaa Ia

−

− −

= + + +…+ = +

= + +

Для возрастающих рент, которые платятся непрерывно, важно делать различие между рентами, которые имеют постоянную интенсивность выплат r (в единицу времени) на протяжении r-го периода времени, и рентами, которые имеют интенсивность выплат t в момент t. Для первого случая интенсивность платежей является ступенчатой функцией, принимающей дискретные значения 1,2,…. Во втором случае интенсивность платежей сама непрерывно возрастает. Если эти ренты выплачиваются на протяжении n единиц времени, их современные стоимости обозначаются ( )nIa и ( )nIa

соответственно. Ясно, что

( )11

( )n r t

rnr

Ia rv dt−

=

=∑ ∫

и

0( ) .

n tnIa tv dt= ∫

Читатель должен проверить, что

( ) . (3.6.6)n

nn

a nvIa

δ−

=

и (используя интегрирование по частям), что

( ) . (3.6.7)nn

na nvIa

δ−

=

Каждое из двух последних уравнений, выраженное в виде, аналогичном уравнению (3.6.3), может быть легко выписано как уравнение ценности для соответствующей сделки. Современным стоимостям ( )nIa , ( )nIa , ( )nIa и ( )nIa соответствуют накопления к

моменту n. Эти накопления обозначаются ( )nIs , ( )nIs , ( )nIs и ( )nIa соответственно.

Поскольку эти символы обозначают ценность в момент n тех же самых серий платежей, что и раньше,

,( ) (1 ) ( )

( ) (1 ) ( )

( ) (1 )

,

( )

( ) (1 ) .( )

,

n n

n n

n n

n

n

n

nn n

Is i Ia

Is i Ia

Is i Ia

Is i Ia

= +

= +

= +

= +

(3.6.8)

Современные стоимости отложенных возрастающих рент определяются очевидным образом: например, | ( ) ( ) .n n

mm Ia v Ia=

Пример 3.6.1. Рента выплачивается ежегодно с запаздыванием на протяжении 20 лет. Первая выплата имеет величину £8000, а величина каждой последующей выплаты уменьшается на £300 каждый год. Найдите современную стоимость этой ренты при годовой процентной ставке 5%.

~ 67 ~

Решение. (a) На основе исходных принципов. Пусть современная стоимость равна £X. Тогда

2 3 19 208000 7700 7400 2600 2300X v v v v v= + + +…+ + и поэтому

2 18 19(1 ) 8000 7700 7400 2600 2300 .i X v v v v+ = + + +…+ + Вычитая мы получим

( )2 19 208000 300 2300iX v v v v= − + +…+ −

и поэтому 20

19| (при 8000 300 2300

5 годовых)% =70151.a v

Xi

− −=

Замечание. Первая рентная выплата есть £8000, а последняя – £2300. Следовательно, средний платёж есть £5150. Соответственно, грубое приближение для величины ренты есть 205150 64180a = . В силу возрастающего влияния дисконтирования

с течением времени, это приближение недооценивает истинное значение, но улавливает порядок ответа. В практической работе очень важно иметь проверки, например, для того, чтобы быть уверенным, что десятичная точка не размещена неверно или не была допущена какая-либо другая простая ошибка. (b) Использование функций, связанных с возрастающими рентами. Мы рассмотрим эту ренту как постоянную ренту величиной £8300 в год, минус возрастающая рента, для которой r-й платёж имеет величину £300r. Значит,

( ) ( )2 3 20 2 3 20

2020

20 20 20

8300 300 2 3 20

20 8300 300( ) 8300 300 (при 5%) 70151.

X v v v v v v v v

a va Ia a

i

= + + +…+ − + + +…+

−= − = − =

Важно понимать, что в общем случае нет более правильного или «наилучшего» метода решения многочисленных задач теории сложных процентов. При условии, что читатель имеет хорошее понимание основополагающих принципов, он сможет использовать тот метод, который лучше других приспособлен к его собственному подходу. Пример 3.6.2. Рента выплачивается каждые полгода на протяжении шести лет, при этом первый полугодовой платёж величиной £1800 должен быть сделан через два года. Сумма последующих платежей убывает на £30 каждые полгода. Используя полугодовую процентную ставку 5%, найдите современную стоимость этой ренты. Решение. Как и раньше, мы дадим два альтернативных решения, которые иллюстрируют различные подходы. Весьма возможно, что читатель может предпочесть ещё один метод. Выберем полугодие в качестве нашей основной единицы времени. Имеется 12 рентных платежей, величина последнего £[1800 (11 30)]− × , т.е. £1470. (a) Из основополагающих принципов. Современная стоимость есть

4 5 6 14 151800 1770 1740 1500 1470 5%). п( ри X v v v v v= + + +…+ +

Следовательно, 3 4 5 13 14(1 ) 1800 1770 1740 1500 1470 .i X v v v v v+ = + + +…+ +

~ 68 ~

Значит,

( )3 4 5 14 151800 30 1470iX v v v v v= − + +…+ −

и

( )3 153141800 30 1470

12651.v a a v

Xi

− − −= =

(b) Мы можем написать:

( ) ( )12

12

3 2 3 12 2

12 12

3 12

123 3

1830 30 2 12

12 1830 30( ) 1830 30 12651.

X v v v v v v v v v

a vv a Ia v a

i

= + + +…+ − + + +…+ −

= − = − =

Замечание по поводу обозначений.

Когда нет никакой неопределённости по поводу значений процентной ставки i, такие функции как na , ns и d полностью определены. В этом случае уравнения,

подобные уравнению 1000nXa =

немедленно могут быть решены относительно X. Если желательно подчеркнуть величину процентной ставки, это уравнение можно записать в виде

1000 (при процентной ставке ).nXa i i=

Решение некоторых задач может включать более одной процентной ставки и в таких случаях может возникнуть сомнение относительно величины процентной ставки, подразумеваемой в конкретной функции. Для того, чтобы избавиться от неопределённости, мы можем добавлять процентную ставку как суффикс к стандартным функциям. Например, мы можем писать n ia , n

iv , n is и id вместо na , nv , ns и d «при

процентной ставке i». С учётом этого обозначения уравнение, подобное уравнению

10 0.04 15 0.03100Xs a=

является вполне ясным. Это обозначение без труда обобщается для функций, определяемых в главе 4.

3.7 Общая схема долга Предположим, что в момент 0 инвестор дает в долг сумму L в обмен на серию из n платежей; при этом r-й платёж величиной rx должен быть выплачен в момент r (1 )r n≤ ≤ . Предположим, далее, что сумма, которая дана в долг, рассчитывалась на основе эффективной годовой процентной ставки ri для r-го года (1 )r n≤ ≤ (во многих случаях ri может и не зависеть от r, но на этой стадии удобно рассматривать более общий случай).

~ 69 ~

Сумма, которая дана в долг, является просто современной величиной при принятых процентных ставках всех выплат. Значит,

1 1 1 1 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 31 1 1

1 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (1 ) . n n

L x i x i i x i i i

x i i i

− − − − − −

− − −

= + + + + + + + +

…+ + + … +

+ (3.7.1)

Инвестор может рассматривать часть каждого платежа как проценты (за самый последний период времени) на неоплаченный долг и рассматривать баланс по каждому платежу как возврат капитала, который используется для уменьшения величины неоплаченного займа. Если какая-то выплата недостаточна для того, чтобы покрыть проценты по неоплаченной части займа, неоплаченные проценты добавляются к величине неоплаченного долга. В этой ситуации инвестор может составить график, который показывает величину процентов, содержащихся в каждом платеже, а также величину неоплаченного займа немедленно после того, как получен очередной платёж. Желательно рассмотреть этот график более детально (разделение каждого платежа на проценты и капитал часто необходимо для целей налогообложения. Кроме того, в случае невыполнения обязательств должником, кредитору может быть необходимо знать величину неоплаченного долга в момент прекращения платежей). Пусть 0F L= и для 1,2, ,t n= … пусть tF будет неоплаченный долг сразу же после того, как сделан требуемый платёж в момент t. Часть основной суммы займа, оплаченная в момент t – это просто сумма, на которую сделанный платёж tx превышает подлежащие выплате проценты, т.е. 1t ti F − . Кроме того, неоплаченный долг сразу же после t-го платежа равен неоплаченному долгу после предыдущего платежа минус величина оплаченного долга в момент t. Значит,

1 1( ), 1 . (3. 7 2) . t t t t tF F x i F t n− −= − − ≤ ≤ (Это уравнение верно и для t=1, поскольку мы определили 0F L= ). Отсюда,

1(1 ) , 1. (3.7.3)t t t tF i F x t−= + − ≥

Отсюда последовательно имеем: 1 1 0 1 1 1(1 ) (1 ) .F i F x i L x= + − = + −

Затем, 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 )(1 ) (1 )F i F x i i L x x i i L i x x= + − = + + − − = + + − + −

и т.д. В общем случае легко видеть, что

1 2 2 3 1

3 4 2 1

(1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) (1 ) (1 ) . (3. . 4 ) 7

t t t

t t t t

F i i i L i i i xi i i x i x x−

= + + … + − + + … +− + + … + −…− + −

Следовательно, tF просто является суммой, данной в долг, с учётом накоплений к моменту t, минус выплаты, полученные к моменту t, с учётом накоплений к моменту t; все накопления должны рассматриваться на основе соответствующих переменных процентных ставок. Альтернативное выражение для tF получается умножением уравнения (3.7.1) на

1 2(1 )(1 ) (1 )ti i i+ + … + . Это даёт:

~ 70 ~

1 2 2 3 11 1 1 1

1 1 1 2

(1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 )

( 1 ) (1 ) (1 ) (1 ) .t t t

t t t t n n

L i i i i i i x x

i x i i i x− − − −+ + + +

+ + … + = + + … + +…+

+ + +…+…+ + + … +

Объединяя это уравнение с уравнением (3.7.4) мы немедленно получаем:

1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 1 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) . (3.7.5)t t t t t t t t n nF i x i i x i i i x− − − − − −+ + + + + + += + + + + +…+ + + … +

Это соотношение показывает, что tF – это просто стоимость в момент t всех невыплаченных (будущих) платежей по долгу. Уравнение (3.7.3) есть

1(1 ) .t t t tF i F x−= + −

Аналогично, 1 1( ._{1 1)t t tF i t F x+ += + + −

Если 1t ti i += , отсюда следует после вычитания, что

1 1 1( ) (1 )( ) , (3.7.6)t t t t t tF F i F F x x+ − +− = + − + − где i обозначает общее значение ti и 1ti + . Обозначая через tf величину займа, оплаченную в момент t, мы можем записать уравнение (3.7.6) как

1 1(1 ) . (3.7.7)t t t tf i f x x+ += + + −

Важно осознавать, что уравнение (3.7.7) верно только когда одна и та же процентная ставка i применима как к t-му году, так и к (t+1)-му году. В частности, когда процентная ставка постоянна на протяжении всей сделки и все выплаты имеют одинаковый размер, величины последовательных выплат по займу образуют геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i). Мы рассмотрим вкратце этот случай в разделе 3.8.

3.8 Схема долга при постоянных выплатах Рассмотрим частный случай, когда при процентной ставке i в момент 0 делается заём величиной na в обмен на n платежей, каждый величиной 1, которые должны быть

сделаны в моменты 1,2, , n… . Кредитор может составить расписание, показывающие разделение каждого платежа на капитал и проценты. Немедленно после того, как сделан t-й платёж, остается ( )n t− невыплаченных платежей и уравнение (3.7.5) показывает, что невыплаченный заём равен просто n ta

−.

Таким образом, в обозначениях раздела 3.7:

. (3.8.1)t n tF a−

=

Тогда сумма выплаченного долга в момент t есть

11

1 . (3.8.2)n tn t

t n tt tf F F a a v− + −

− +−= − = − =

~ 71 ~

Расписание кредитора можно представить в виде таблицы 3.8.1.

Таблица 3.8.1. Расписание для постоянной ренты (сумма займа na )

Номер выплаты

Процентная компонента в выплате

Выплаченный капитал

Остаток долга после выплаты

1 1 nnia v= − nv

1n

n na v a−

− =

2 11

1 nnia v −−= − 1nv − 1

1 2n

n na v a−− −− =

t 1

11 n t

n tia v − +− +

= − 1n tv − + 11

n tn t n ta v a− +− + −

− =

1n − 2

21ia v= − 2v 2

2 1a v a− =

n 1

1ia v= − v 1

0a v− =

В общем случае, если сумма L дана в долг в обмен на n платежей, каждый величиной nL a , денежные суммы в расписании кредитора просто равны суммам из

расписания, содержащегося в таблице 3.8.1, умноженным на постоянный коэффициент

nL a .

Пример 3.8.1. Заём величиной £10000 должен быть погашен на протяжении десяти лет постоянной рентой, которая выплачивается ежемесячно с запаздыванием. Сумма месячного платежа рассчитывается на основе эффективной месячной процентной ставки 1%$. Найти: (a) месячный платёж; (b) величину всего оплаченного капитала и выплаченных процентов за: (i) первый год и (ii) последний год; (c) после какого месячного платежа невыплаченный долг впервые становится меньше, чем £5000; (d) для какого месячного платежа выплаченный капитал впервые превышает процентную составляющую. Решение. Мы выбираем один месяц в качестве нашей единицы времени и пусть i=0.01. (a) Поскольку период займа – 120 месяцев, нам нужно значение 120a при

процентной ставке 1% . Оно может быть получено из формул

120 100 20100

120

1 ,

a a v a

vi

= +

−=

~ 72 ~

любая из которых даёт 120 69.700522a = . Ежемесячный платёж есть £x, где 120 10000,xa =

откуда следует, что x=143.47. Отметим, что общая выплата за любой год есть 12x=1721.64. (b) (i) Для того, чтобы найти оплаченный капитал за первый год, мы можем использовать любой из двух подходов. Невыплаченный заём в конце первого года (т.е. непосредственно после 12-го месячного платежа) равен просто стоимости оставшихся выплат, т.е.

108 при процентно й с9448.62 1%).тавке (xa =

Это означает, что оплаченный капитал за первый год есть (10000 9448.62)− , т.е. £1170.26. Альтернативно, отметим, что капитал, оплаченный в первом месячном платеже, есть 143.47 (0.01 10000)− × , т.е. 43.47. Поскольку мы имеем дело с постоянной рентой, последовательные оплаты капитала образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1+i, т.е. 1.01. Поэтому общая сумма первых 12 оплат капитала есть

124 £3.47 551.31s = (в силу ошибок округления она слегка отличается от величины

£551.38, найденной первым методом. На практике, чтобы избежать таких ошибок, выплаты капитала могут быть слегка скорректированы для того, чтобы их общее значение точно равнялось исходной занятой сумме). (ii) Капитал, оплаченный в последний год, просто равен неоплаченному долгу в начале последнего года. Он равен 12143.47 £1614.47a = . Проценты, выплаченные в

последний год, следовательно, есть (1721.64 1614.77)− , т.е. £106.87. (c) После t-го месячного платежа неоплаченный долг равен 120143.47 ta

−.

Рассмотрим уравнение 120143.47 5000,ta−= т.е. 120 34.850ta

−= при процентной ставке

1%. Поскольку 43 34.8100a = и 44 35.4555a = , неоплаченный долг впервые меньше, чем

£5000, когда 120 43t− = (и поэтому t=77), т.е. после того, как сделан 77-й месячный платёж. (d) t-й платёж капитала имеет величину 143.47(1.01)t− . Нам нужно знать, когда она впервые станет больше, чем половина общей месячной выплаты. Таким образом, мы ищем наименьшее целое t, для которого

1 143.4743.47(1.01) ,2

t− >

т.е. 1(1.01) 1.6502t− >

или ln1.65021 50.34.

ln1.01t − > =

Значит, требуемое значение t есть 52. Пример 3.8.2. Инвестор покупает ренту, выплачиваемую ежегодно с запаздыванием на протяжении 20 лет. Первый платёж ренты есть £200, а последующие платежи увеличиваются на £100 каждый год. Инвестор, который рассчитывает цену

~ 73 ~

покупки на основе годовой процентной ставке 4%, составляет расписание, показывающее разделение каждого платежа на капитал и проценты. Найдите цену покупки. Выведите выражения для содержания капитала и процентов в t-м платеже и для неоплаченного долга после того, как сделан t-й платеж. Решение. Цена покупки есть

20 20 (при процентной ставке 41900 1 %)00( ) 38337.12.a Ia+ =

Пусть tf обозначает выплаченный капитал в t-м рентном платеже. Тогда

1 2000 (0.04 38337.12) 466.515f = − × =

(на этом этапе, чтобы избежать ошибок округления, мы работаем с тремя десятичными знаками). Поскольку каждый платёж на £100 больше, чем предыдущий платёж, уравнение (3.7.7) влечёт, что 1 1.04 100,t tf f+ = + откуда по индукции легко следует, что для t>1

( )1 2 31

11

1

1.04 100 1.04 1.04 1

1.04 1 (1.04 466.515) 1000.04

2966.515 1.04 2500.

t t tt

tt

t

f f− − −

−−

−

= + + +…+

−= × +

= × −

Поскольку t-й платёж есть (1900+100t), процентная составляющая есть

( )1 11900 100 2966.515 1.04 2500 4400 100 2966.515 1.04t tt t− −+ − ⋅ − = + − ⋅

Первыми t платежами выплачена сумма

( ) ( )1

1 1

1.04 12966.515 2500 74162.875 1.04 1 2500 .0

2966.515 1.0.04

4 2500tt t

tr

r r

tf t t= =

− −= = − −× − − =∑ ∑

Неоплаченный долг после того, как получены t платежей, следовательно, есть

38337.12 [74162.875(1.04 1) 2500 ] 112500 2500 74162.875 1.04 .t tt t− − − = + − ×

Замечание. Проверка этого последнего выражения может быть получена с помощью наблюдения, что неоплаченный долг немедленно после платежа в момент t равен величине оставшихся платежей. Поскольку платёж в момент t+r есть £(1900+100t+100r), величина неоплаченного долга в момент t есть

20 20(1900 100 ) 100( )t tt a Ia− −

+ + при процентной ставке 4%. Читатель должен проверить,

что она равна вышеприведенному выражению для неоплаченного долга в момент t (оба выражения равны 20112500 2500 162500 (1.04)tt −+ − × ).

~ 74 ~

Задачи

3.1 (a) Используя разложение в степенной ряд для ln(1 )x+ покажите, что при начислении сложных процентов по ставке K% годовых, время, необходимое для удвоения суммы денег, приблизительно равно 70/K лет. Найдите соответствующее практическое правило для времени, необходимого для утроения суммы. (b) Используя таблицы сложных процентов, сравните эти приближённые значения с истинными, когда (i) K=5, (ii) K=10 и (iii) K=20. (c) Что вы можете заключить о точности этих приближений?

3.2 (a) Establish from first principles all the relationships between , , , and i dδ ν in table 3.1.1.

(b) (i) Given that δ=0.08, find the values of i, d, and v.

(ii) Given that d=0.08, find the values of v, i, and δ.

(iii) Given that i=0.08, find the values of v, d,and δ.

(iv) Given that v=0.95, find the values of d, i, and δ.

3.3 In return for a single payment of £ 1000 a building society offers the following alternative benefits:

(i)A lump sum of £1330 after three years;

(ii)A lump sum of £1550 after five years; or

(iii) Four annual payments, each of amount £425, the first payment being made after five years.

Any investor must specify which benefit he is choosing when he makes the single payment.

(a) Write down an equation of value for each savings plan and hence find the yield for each.

(b) Assume that an investor opts for plan (i) and that after three years he invests the proceeds of the plan for a further two years at a fixed rate of interest. How large must this rate of interest be in order for him to receive £1550 from this further investment?

(c) Assume that an investor opts for plan (ii) and that after five years he uses the proceeds of the plan to buy a level annuity-due payable for four years, the amount of the annuity payment being calculated on the basis of a fixed interest rate. How large must this rate of interest be in order for the annuity payment to be £425?

3.4 An investor has the choice of either of the following savings plans:

(i) Ten annual premiums, each of £100 and payable in advance, will give £ 1700 after ten years; or

~ 75 ~

(ii) Fifteen annual premiums, each of £100 and payable in advance, will give £3200 after fifteen years.

The investor must declare which plan he is choosing when he pays the first premium.

(a) Find the yield on each plan. Assume that an investor has chosen plan (i). Assume further that after ten years he deposits the proceeds of the plan in an account which will earn interest at a fixed rate and that he also makes five annual payments of £ 100 to this account, the first payment being made at the time the original savings plan matures. How large must the fixed rate of interest be in order that finally, after fifteen years, the investor may receive £3200? 3.5 A savings plan provides that in return for n annual premiums of £X (payable annually in advance), an investor will receive m annual payments of £Y, the first such payment being made one year after payment of the last premium.

(a) Show that the equation of value for the transaction can be expressed in either of the following forms: (i) ( ) 0n m nYa X Y a

+− + = ; or

(ii) ( ) 0m n mX Y s Xs+

+ − = .

(b) Suppose that X=1000, Y=2000, and n=10. (i) Find the yield per annum on the transaction, if m=10. (ii) For what values of m is the annual yield on the transaction between 8% and 10%?

(c) Suppose that X=1000, Y=2000, and m=20. For what values of n is the annual yield on the transaction between 8% and 10%?

3.6 (Multiple roots of the equation of value) In certain mining projects an investor must make an initial outlay at the present time and a further outlay after two years to finance the re-landscaping of the used mine area. In return the investor will receive a payment after one year.

For both of the following transactions write down the equation of value in terms of i, the rate of interest per annum. What information (if any) about the roots is provided by theorems 3.2.1 and 3.2.2? In each case find all the roots of the equation of value.

Alternative mining projects

Initial outlay (£000s)

Outlay after two years (£000s)

Income after one year (£000s)

Project (a) 10000 11550 21500 Project (b) 10000 10395 20400

3.7 (a) The manufacturer of a certain toy sells to retailers on either of the following terms:

(i) Cash payment: 30% below recommended retail price; (ii) Six months credit: 25% below recommended retail price.

Find the effective annual rate of discount offered by the manufacturer to retailers who pay cash. Express this as an effective annual interest rate charged to those retailers who

~ 76 ~

accept the credit terms.

(b) The manufacturer is considering changing his credit terms. Credit for six months will no longer be available, but for three months’ credit a discount of 27,5% below the recommended retail price will be allowed. The terms for cash payment will be unaltered.

Does this new arrangement offer a greater or lower effective annual rate of discount to cash purchasers?

3.8 (a) Find the value at an interest rate of 4% of the following:

5 32a , 62

a , 62a , 12 50

a , 62s , 61

s , 62( )Ia , 5 20

( )Ia , 25( )Ia , 25

( )Ia .

(b) Given that 7 029 584na = and 210 934 563na = , find the rate of interest and n.

3.9 An annuity-certain is payable annually for 20 years. The annual payment is £5 for six years, then £7 for nine years, and finally £10 for five years.

(a) Show that the value of the annuity at the time of the first payment may be expressed as: (i) 6 156 9 5

5 7 10a a a+ + ;

(ii) 20 15 610 3 2a a a− − ; or

(iii) 19 14 55 10 3 2a a a+ − − .

(b)Show that the value of the annuity at the time of the last payment may be expressed as: (i) 14 5

6 9 55(1 ) 7(1 ) 10i s i s s+ + + + ; or

20 14 55 2 3s s s+ + .

3.10 (a) An annuity-certain is payable annually in advance for n years. The first payment of the annuity is 1. Thereafter the amount of each payment is (1 + r) times that of the preceding payment.

Show that, on the basis of an interest rate of i per annum, the present value of the annuity is na at rate j, where

1i rj

r−

=+

(b)Suppose instead that the annuity is payable annually in arrear. Is its present value (at rate i) now equal to na at rate j?

(c) In return for a single premium of £10000 a man will receive an annuity payable annually in arrear for 20 years. The annuity payments increase from year to year at the (compound) rate of 5% per annum.

Given that the initial amount of the annuity is determined on the basis of an interest rate of 9% per annum, find the amount of the first payment.

~ 77 ~

3.11 Инвестор соглашается выплачивать ежегодно авансом 20 премий. В конце 20 года инвестор получит накопленную сумму. Эта сумма рассчитывается на основе эффективной годовой процентной ставки 8% для первых пяти лет, 6% для следующих семи лет и 5% для последних восьми лет. Найдите сумму, которую получит инвестор в обмен на ежегодную выплату премии размером £100. Найдите также годовую доходность по всей сделке. 3.12 (Loan repayable by an annuity calculated on the basis of two rates of interest) In return for a loan of L a lender will receive from a borrower a series of payments, each of amount X, annually in arrear for n years. Each year the lender will use an amount jL of the annual payment as ‘income’ and will deposit the balance of the payment in an account which earns interest at an effective annual rate i (where i < j). At the end of n years the lender will withdraw the proceeds of the accumulated account.

(a) Given that after n years the accumulated account will be of amount L, show that 1( )n i

X L j ia

= − + . Deduce that the effective annual rate of interest paid by the borrower is

greater than j. What is the annual yield to the lender on the completed transaction? (b) In the particular case when n=10 and i=0.04, find the effective rate of interest paid by

the borrower when (i) j=0.06 and (ii) j=0.07.

3.13 A loan of £3000 is to be repaid by a level annuity-certain, payable annually in arrear for 25 years and calculated on the basis of an interest rate of 12% per annum.

annum.

(a) Find

(i) The annual repayment; (ii) The capital repayment and interest paid at the end of (1) the tenth year and (2) the

final year; (iii)After which repayment the outstanding loan will first be less than £1800; and (iv) For which repayment the capital content will first exceed the interest content.

(b) Immediately after making the fifteenth repayment the borrower requests that the term of the loan be extended by six years, the annual repayment being reduced appropriately. Assuming that the lender agrees to the request and carries out his calculations on the original interest basis, find the amount of the revised annual repayment.

3.14 A loan of £16000 was issued to be repaid by a level annuity-certain payable annually in arrear over ten years and calculated on the basis of an interest rate of 8% per annum. The terms of the loan provided that at any time the lender could alter the rate of interest, in which case the amount of the annual repayment would be revised appropriately.

(a) Find the initial amount of the annual repayment.

(b)Immediately after the fourth repayment was made the annual rate of interest was increased to 10%. Find the revised amount of the level annual repayment.

(c)Immediately after the seventh repayment was made the annual rate of interest was reduced to 9%. There was no further change to the rate of interest. Find the final amount

~ 78 ~

of the level annual repayment and the effective rate of interest paid by the borrower on the completed transaction.

3.15 A loan of £2000 is repayable by a level annuity-certain, payable annually in arrear for eighteen years. The amount of the annual repayment is calculated on the basis of an annual interest rate of 10% for the first six years and 9% thereafter.

(a) Find (i) the amount of the annual repayment and (ii) the amount of capital contained in (1) the fourth repayment and (2) the twelfth repayment.

(b) Immediately after making the twelfth repayment the borrower makes an additional capital repayment of £ 100, the amount of the annual repayment being appropriately reduced. Assuming that the interest basis is unaltered, find the amount of the revised repayment.

3.16 Заём на сумму £1000 выплачивается 10-летней запаздывающей рентой. Годовая выплата по этой ренте удваивается через первые пять лет. При условии, что сделка заключена на основе эффективной годовой процентной ставки 10%, найдите размер первоначальной годовой выплаты. Найдите также выражение для суммы займа, выплаченной в момент t (t=1,2,…,10).

3.17 Рента выплачивается непрерывно между моментами 0 и n (где n не обязательно является целым числом). Интенсивность выплаты ренты в момент t (0 )t n≤ ≤ равна t в единицу времени.

При использовании эффективной годовой процентной ставки 5% стоимость ренты в момент 0 составляет половину общей выплаченной суммы. Найдите n.

~ 79 ~

Решения задач 3.1 (a) Время, n лет, необходимое для удвоения суммы денег, является решением

уравнения 1 2100

nK + =

, откуда ln 2 ln 1100Kn = +

. Если x мало, ln(1 )x x+ ≈ (игнорируя

остаточные члены после члена x). Значит, 100ln 2 70nK K

≈ ≈ . Соответствующее

практическое правило для времени, необходимого для утроения суммы есть100ln 3 110n

K K≈ ≈ .

(b) Пусть 1n и 2n обозначают соответственно время, необходимое для удвоения и утроения суммы. Следующая таблица даёт точные значения этих величин и соответствующие практические приближения 70/K и 110/K:

Процентная ставка

5 10 20

1n 2n 1n 2n 1n 2n

Точно 14,207 22,517 7,273 11,527 3,802 6,026

Приближённо 14 22 7 11 3,5 5,5

(c) Очевидно, что для больших значений процентной ставки приближение является менее точным, чем для малых.

3.2 (a) By formula 3.1.9, 1i eδ= − , and log(1 )iδ = + . By equation 3.1.5, v e δ−= and

log vδ = − . Also, 1 1( ) (1 )v e iδ − −= = + , and 1(1 ) 1 1i i v−= + − = − . By equation 3.1.6, 1d e δ−= − , and 1e dδ− = − shows that log(1 )dδ = − − . Also, equations 3.1.6 and 3.1.9 show that

1 11 (1 ) (1 )d i i i− −= − + = + and 1(1 ) 1 (1 ) 1i i d −= + − = − − . Equation 3.1.6 shows that

1 d e vδ−− = = (by equation 3.1.5), and hence 1 v d− = .

(b) The answers are found by substituting the appropriate values in the formulae of table 3.1.1.

(i) When 0.08δ = , we obtain 0.083287i = , 0.076884d = , and 0.923116v = .

(ii) When 0.08d = , we obtain 0.92v = , 0.086957i = , and 0.083382δ = .

(iii) When 0.08i = , we obtain 0.925926v = , 0.074074d = , and 0.076961δ = .

(iii) When 0.95v = , we obtain 0.05d = , 0.052632i = , and 0.051293δ = .

3.3 (a) The equation of value for each of the three savings plans, and the corresponding yield per annum (i.e solution of the equation of value), are as follows:

~ 80 ~

(i) 31330 1000(1 ) 0i− + + = , 0.0997i or 9.97%

(ii) 51550 1000(1 ) 0i− + + = , 0.0916i or 9.16%

(iii) 44

1000(1 ) 425 0i a− + + = , 0.0858i , or 8.58%

(b) Let this rate of interest per annum be i. We must have 21330(1 ) 1550i+ ≥ . Hence 0.0795i ≥ , i.e. at least 7.95%.

(c) Let the rate of interest per annum used to calculate the amount of the annuity-certain be i. Then i must be such that

4 @1550 425 ia≥ , i.e.

4 @3.64706ia ≤ , i.e. .

3 @2.64706ia ≤ . By

interpolation between 6% and 7%, we find that 3 @

2.64706ia = when 6.53%i , so we require

i to be at least 6.53%.

3.4 (a) The equation of value for plan (i) is

10 @100 1700is = , where i is the yield per

annum. We thus have 10 @

17is = , i.e. 11 @

18is = . By linear interpolation between 9% and 10%,

we obtain 9.45%i . The equation of value for plan (ii) is 15 @

100 3200is = , where i is yield per

annum. We thus have 15 @

32is = , i.e. 16 @

33is = . By linear interpolation between 8% and 9%,

we obtain 9.00%i .

(b) Let i be the minimum fixed rate of interest which will give the desired proceeds. The equation of value, 15 years after the date on which the first premium was paid, is

55 @

1700(1 ) 100 3200 0ii s+ + − = .

By linear interpolation between 8% and 9%, we obtain 8.50%i . The fixed rate of interest must therefore be at least 8.50%.

3.5 (a) (i) The equation of value one year before the date of payment of the first premium is 0nn mXa Y a− + = , i.e. ( ) 0n m n nXa Y a a

+− + − = , i.e. ( ) 0m n nYa X Y a

+− + =

(ii) The equation of value at the date of the last payment is (1 ) 0mm nYs Xs i− + = , i.e.

( ) 0m m n mYs X s s+

− − = , i.e. ( ) 0m m nX Y s Xs+

+ − = .

(b) (i) The equation of value is 20 102000 3000 0a a− = , i.e. 20 10

2 3 0a a− = . By linear

interpolation between 7% and 8%, the yield per annum is approximately 7.19%.

(ii) The equation of value is 10 102000 3000 0ma a

+− = , i.e. 10 10

1.5 0ma a+

− = . It is clear by

general reasoning that the yield increases as m increases. By trials we see that the yield first equals or exceeds 8% when m=12, and first exceeds 10% when m=17. The required range of values of m is thus 12 to 16 years (inclusive).

~ 81 ~

(c) The equation of value is 20 203000 1000 0ns s

+− = , i.e. 20 20

3 0ns s+

− = . It is clear by general

reasoning that the yield decreases as n increases. By trials we see that the yield first equals or falls below 10% when n=11, and first falls below 8% when n=13. The required range of values of n is thus 11 to 12 years.

3.6 The equations of value are: (a) 210000(1 ) 21500(1 ) 11550 0i i− + + + − = ;

(b) 210000(1 ) 20400(1 ) 10395 0i i− + + + − = Theorem 3.2.1 is not relevant, since the net cash flow changes sign twice. Theorem 3.2.2 gives no information in respect of project (a), but shows that (b) has exactly one positive solution to the equation of value. This follows by a consideration of the accumulated net cash flows, which are (a) {-10000, 11500, -50} and (b) {-10000, 10400, 5}. The equation of value for project (a) may be written as 210000 1500 50 0i i− + − = , which gives 0.05i = or 0.10. The equation of value for project (b) may be written as 210000 400 5 0i i− + + = , which gives 0.05i = or -0.01.

3.7 (a) Consider the purchase of an article with retail price £100. The cash price is £70, or one may pay £75 in 6 months’ time. The effective rate of discount per annum d is found by

solving the equation 1

270 75(1 )d= − , whence 0.1289d = or 12.89%. The effective annual rate

of interest is 0.14801

did

= =−

or 14.80%.

(b) One may pay £72.50 in three months’ time instead of £70 now, so the effective

annual rate of discount d is found from the equation 1

470 72.50(1 )d= − , which gives 0.1310d = or 13.10%.

The new arrangement therefore offers a greater effective annual rate of discount to cash purchasers.

3.8 (a) 5 32 37 514.6908a a a= − = ,

62

62

1 23.7149vad−

= , 62

62 62

1 23.2560v da aδ δ−

= = =

12 1212 50 50 49

(1 ) 13.9544a v a v a= = + = , 62

62

(1 ) 1 259.451isi

+ −= = , 61 62

1 258.451s s= − = ,

6262

62

62( ) 474.905

a vIa

d−

= =

, 55 20 20

( ) ( ) 102.867Ia v Ia= = , 25

2525

25( ) 175.136

a vIa

δ−

= =

,

2525

25

25( ) 167.117

a vIa

δ−

= =

(b) Since 2

(1 )n nn n n na a v a a v= + = + we have 109345631

7029584nv+ = . So 0.555506nv = . Hence

~ 82 ~

1 1 0.555506 7029584n

n

vad d− −

= = = . Hence 0.063232d = and / (1 ) 0.0675%i d d= − = or

6.75%.

(c) Let the first annuity payment be X. the equation of value is 120 @

10000 (1.05) jX a−= , where

1.0911.05

j+ = , i.e. 0.03810j = . Now 20 @

13.822455ja = , so that 110000 (1.05) (13.822455)X −=

which gives X=£759.63.

3.11 Накопление от премий до момента 5 лет, непосредственно перед уплатой очередной премии, есть

5 @0.08100s . Таким образом, накопление от премий в момент 12

есть 75 @0.08 7 @0.06

100 (1.06) 100s s+ . Следовательно, накопление до момента 20 есть

7 85 @0.08 7 @0.06 8 0.05

7 8 85 @0.08 7 @0.06 8 @0.05

[100 (1.06) 100 ](1.05) 100

100[ (1.06) (1.05) (1

£3724.77

.05) ]

s s s

s s s

+ +

= + +

=

Годовая доходность, которую обеспечит инвестор по завершении сделки, находится решением уравнения стоимости 20

100 3724.77s = , т.е. 2138.2477s = . Интерполируя

между 5% и 6%, мы получаем 5.59%i = .

3.12 (a) Since @

( ) n iL X jL s= − we have @ @

1 1( ) ( )n i n i

X L j L j is a

= + = − + (using

equation 3.3.10). Let the effective rate of interest per annum paid by the borrower be j′ . We

have the equation of value @n jL Xa ′= ,from which we obtain

@@

1( ) n jn i

L L j i aa ′= − + (by

above). Therefore

@ @ @ @ @

1 1 1 1 1[since ]n j n i n i n j n j

j i j j j ia a s s a′

= − + = + > + > =

which implies that j j′ > . The annual yield to the lender is, of course, j.

(b) We must solve the equation

10 @

10 @0.04

1 11 0.083292ja

jjs

′ = =++

(i) When 0.06j = , we have 10 @

1 6.97880.06 0.083292ja ′ = =

+. By linear interpolation between

7% and 8% 7.14%j′ = .

~ 83 ~

(ii) When 0.07j = , we have 10 @

1 6.52350.07 0.083292ja ′ = =

+. By linear interpolation

between 8% and 9%, 8.64%j′ = .

3.13 (a) (i) Let the annual repayment be X . We have 25 @0.12

3000Xa = . So

25

3 £382.50000Xa

= = .

(ii) (1) Using equation 3.8.1, the loan outstanding just after the payment at time 9 years is

16382.5 2667.56a = and just after the payment at time 10 years it is 15

382.50 2605.17a = .

Hence the capital repaid at the end of the tenth year is 2667.56 2605 £6. 7 391 2.− = and the interest paid at this time is 382.50 62.3 £32 19 0.1− = .

(2) The capital outstanding just after the payment at time 24 years is 138 £2. 3 250 41.5a = . The

capital repaid at the end of the 25th year is thus £341.52, and the interest paid at this time is

382.50 341. £42 85 0.9− =

Note These answers may also be obtained from the loan schedule (see section 3.8). In this case the amount of the loan is £3000, so the values in the loan schedule should be multiplied by

253000 / a ; for example, the interest content of the 10th repayment is 16

25

3000 (1 ) £320.11va

− = as

above.

(iii) The loan outstanding after the tth repayment is 25382.50 ta

−. This first falls below 1800

when 25 @0.12ta−

first falls below 4.7059. By the compound interest tables, the smallest value of t

for which 254.7059ta

−< is 18, so the answer is the 18th payment.

(iv) Using the loan schedule (see section 3.8), the capital content exceeds the interest content of the tth instalment when 26 261 t tv v− −− < , i.e when 26 0.5tv − < . This first occurs when 20t = , i.e. for the 20th payment.

(b) The loan outstanding just after the 15th annual payment has been made is

10 @0.12382.50 2161.20a = . Let Y be the revised annual payment. The equation of value is

16 @0.122161.20Ya = , which gives £309.89Y = .

3.14 (a) Let X be the initial annual repayment. The equation of value is

10 @0.0816000Xa = from which we obtain £2384.46X = .

(b) The loan outstanding just after the fourth payment is made is 6 @0.08

2384.46 11023.14a = .

Let Y be the revised annual instalment. The equation of value is 6 @0.10

11023.14Ya = , which

gives £2530.99Y = .

~ 84 ~

(c) The loan outstanding just after the seventh payment is made is 3 @0.10

2530.99 6294.32a = .

Let Z be the revised annual instalment; the equation of value is 3 @0.09

6294.32Za = , whence

£2486.60Z = . The equation of value for the entire transaction is

4 74 3 316000 2384.46 2530.99 2486.60a a a= + +

i.e.

4 7 1016000 146.53 44.39 2486.60 0a a a+ − − =

By interpolation between 8% and 9%, the yield, or effective rate of interest, per annum is 8.60%.

3.15 (a) (i) Let X be the annual repayment. The amount lent is the present value, on the stated interest basis, of the repayments. Thus 6

0.106 @0.10 12 @0.09[ ] 2000X a v a+ = from which we

obtain £238.17X = .

(ii) The loan outstanding just after payment of the third payment is (see equation 3.7.4)

33 @0.10

2000(1.1) 238.17 1873.65s− =

The loan outstanding just after payment of the fourth payment is

44 @0.10

2000(1.1) 238.17 1822.84s− =

The capital repaid at time 4 is therefore

1873.65 1822.84 £50.81− = (1)

The loan outstanding just after payment of the twelfth payment is

6 @0.09238.17 1068.42a =

Hence the capital repaid at time 12 years is

1198.71 1068.42 £130.29− = (2)

(b) After the special payment, the capital outstanding is £968.42. The revised annual repayment, Y, is found from the equation of value

6 @0.09968.42Ya = , which gives £215.88Y = .

3.16 Пусть X – первоначальная ежегодная выплата, которая находится из уравнения ценности

10 @0.10 5 @0.10 10 @0.10 5 @0.101000 2 (2 )Xa Xa X a a= − = −

~ 85 ~

и потому £117.67X = . Размер невыплаченного займа непосредственно после t-го платежа равен стоимости в момент t будущих выплат, т.е.

10 5

10

(2 ) для 0 5

(2 ) для 5 10t t

tt

X a a tL

X a t− −

−

− ≤ ≤= ≤ ≤

где мы определяем 00a = (см. Раздел 4.4). Выплаченный капитал в момент t лет равен

1t tL L− − , что для 1 5t≤ ≤ можно записать как

10 11 5 6

11 6 10 5

10 11 5 6 1

2( ) ( )[(2 ) (2 )] [ ]0.10 0.10

10 [2( ) ( )](1.10) 17.67(1.1)

t t t t

t t t t

t t t t t t

v v v vX a a a a X

X v v v v

− − − −

− − − −

− − − − −

− −− − − = − =

= − − − =

Для 6 10t≤ ≤ он равен

10 111

11 102 ( ) 2 ( ) 90.73(1.1)

0.10

t tt

t t

v vX a a X− −

−− −

−− = =

Проверка:

2 4 5 6 9

10 @0.10 5 @0.10

17.67(1 1.1 1.1 ... 1.1 ) 90.73(1.1 1.1 ... 1.1 )90.73 73.06 999.96 1000 (игнорируя ошибку округления)s s

+ + + + + + + + == − = ≈

3.17 Общая выплаченная сумма равна 2

0

12

n

tdt n=∫ . Значение n мы найдём из

уравнения 2@0.05

1( )4nIa n= , т.е. 21

4

nna nv

nδ−

= или 21 1 04

nnv nv nδ

δ−

− − = при ставке 5%.

Пробами и интерполяцией мы находим, что 22.37n = .

~ 86 ~

Глава 4

НОМИНАЛЬНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ: РЕНТЫ, ВЫПЛАЧИВАЕМЫЕ С ЧАСТОТОЙ p

4.1 Проценты, выплачиваемые с частотой p Предположим, что, как и в предыдущей главе, интенсивность процентов постоянна и равна δ . Пусть i и d будут соответствующими процентной ставкой и ставкой дисконтирования соответственно. В главе 3 мы показали, что сумма d, выплачиваемая в момент $0$, сумма i, выплачиваемая в момент 1, и сумма δ , выплачиваемая непрерывно с постоянной скоростью на протяжении интервала [0,1], имеют одну и ту же ценность (при интенсивности процентов δ ). Любую из этих выплат можно рассматривать как проценты за время [0,1] на заём величиной 1, сделанный в момент 0. Предположим, однако, что должник, который занял сумму 1 в момент 0 с возвратом в момент 1, желает выплачивать проценты по займу p равными платежами на протяжении этого интервала. Сколько он должен платить? Мы определим ( )pi как общую сумму процентов, выплачиваемых равными частями в конце каждого подинтервала (т.е. в

моменты 1 2 3, , , ,1p p p

… ), которая имеет то же значение, что и каждый из методов

выплаты процентов, описанных в предыдущем абзаце. Подобным же образом мы определим ( )pd как общую сумму процентов, выплачиваемых равными частями в начале

каждого подинтервала (т.е. в моменты 1 2 10, , , , pp p p

−

), которая имеет ту же ценность,

что и каждый из альтернативных методов выплаты процентов. Мы можем легко выразить ( )pi через i. Поскольку ( )pi – это общая сумма

выплаченных процентов, каждый платёж процентов имеет величину ( )pip

и наше

определение влечёт, что ( )

( )/

1(1 ) , (4.1.1)

ppp t p

t

i i ip

−

=

+ =∑

или, если 0i =/ , ( )

1/

(1 ) 1 .(1 ) 1

p

pi i ip i + −

= + −

Значит, ( ) 1/(1 ) 1 (4.1.2)p pi p i = + −

и

~ 87 ~

( )

1 1 . (4.1.3)ppi i

p + = +

Два последних уравнения верны даже когда i=0. Уравнения (4.1.2) и (4.1.3) являются наиболее важными. Действительно, любое из этих уравнений можно рассматривать как определение ( )pi . Если используются эти определения, тривиально можно установить уравнение (4.1.1), которое показывает, что

( )pi можно интерпретировать как общую сумму процентов по займу величиной 1 на единичный промежуток времени, выплачиваемых с запаздыванием равными частями с частотой p. Подобным же образом, следствием нашего определения величины ( )pd являются формулы:

( )( 1)/

1(1 ) , (4.1.4)

ppt p

t

d d dp

−

=

− =∑

или, если 0d =/ , ( )

1/

1 (1 ) .1 (1 )

p

pd d d

p d − −

= − −

Значит, ( ) 1/1 (1 ) (4.1.5)p pd p d = − −

и ( )

1 1 . (4.1.6)ppd d

p − = −

Опять последние два уравнения являются очень важными. Они верны даже когда d=0. Любое из них может быть использовано для того чтобы определить ( )pd . В этом случае уравнение (4.1.4) легко проверяется, что подтверждает наше исходное определение. Отметим, что (1)i i= и (1)d d= . Общепринято включать значения величин

( )pi и ( )pd , по крайней мере для p=2,4 и 12, в таблицы сложных процентов. Эти величины и ряд других приведены в левой части таблиц сложных процентов в конце этой книги. Важно отметить, что все пять денежных потоков, указанных на Рисунке 4.1.1, имеют одну и ту же ценность.

Рисунок 4.1.1 Эквивалентные платежи

время 0 1p

2p

3p

… 1pp− 1

экви

вале

нтны

е пл

атеж

и

d ( )pdp

( )pdp

( )pdp

( )pdp

… ( )pd

p

( )pip

( )pip

( )pip

… ( )pi

p

( )pip

i δ← −−− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −→

~ 88 ~

Если мы будем рассматривать ( )pi или ( )pd как основную величину, уравнение (4.1.3) или (4.1.6) может использоваться для того, чтобы определить i через ( )pi или d через ( )pd . Принято называть ( )pi и ( )pd номинальной ставкой дисконтирования (или учёта), начисляемой с частотой p. Например, если мы говорим о 12% годовых, начисляемых ежеквартально, то мы имеем (4) 0.12i = (с выбором одного года в качестве единицы времени). Поскольку (4) 4(1 ) {1 [ / 4]}i i+ = + , это означает, что i=0.125509. Таким образом, эквивалентная годовая процентная ставка есть 12.5509%. Как уже отмечалось в предыдущих главах, когда процентные ставки выражены в номинальных терминах, общепринято называть эквивалентную процентную ставку за единицу времени эффективной ставкой. Таким образом, если номинальная процентная ставка, начисляемая ежеквартально, составляет 12%, то эффективная годовая процентная ставка равна 12.5509%. Анализ задач, в которых появляются номинальные процентные ставки (или учётные ставки) почти всегда существенно упрощается за счет подходящего выбора единицы времени. Например, при номинальной ставке 12% годовых, начисляемых ежеквартально, современная ценность суммы 1, которая должна быть выплачена через t лет, есть

4

4

(4)4

(в силу уравнения (4.1.3)

= (посколь

(4)

ку

(1 ) 14

0.1 0.12)

214

1.03 .

tt

t

t

i

i

i −−

−

−

+ = +

+ =

=

Значит, если мы примем четверть года в качестве нашей основной единицы времени и используем 3% в качестве эффективной процентной ставки, мы правильно оценим ценность будущих платежей. Общее правило, которое должно использоваться вместе с номинальными ставками, очень простое. Выберите в качестве основной единицы времени период времени, соответствующий частоте, с которой начисляется номинальная процентная ставка, и используйте ( ) /pi p в качестве эффективной процентной ставки за единицу времени. Например, если мы имеем 18% годовых, начисляемых ежемесячно, мы должны взять один месяц в качестве единицы времени, а 1.5% в качестве процентной ставки за единицу времени. Пример 4.1.1. При условии, что 0.1δ = , найдите значения величин (i) (4) (12) (52) (365), , , ,i i i i i ; (ii) (4) (12) (52) (365), , , ,d d d d d .

Решение. ( ) 1/ / 0.1/(1 ) 1 ( 1) ( 1)p p p pi p i p e p eδ = + − = − = − (поскольку 0.1δ = ).

Также, ( ) 1/ / 0.1/1 (1 ) (1 ) (1 )p p p pd p d p e p eδ− − = − − = − = − (поскольку 0.1δ = ).

Следовательно, мы имеем следующую таблицу для требуемых номинальных процентных ставок и учётных ставок, когда 0.1δ = :

~ 89 ~

p 1 4 12 52 365 ( )pi 0.105171 0.101260 0.100418 0.100096 0.100014 ( )pd 0.095163 0.098760 0.099584 0.099904 0.099986

Пример 4.1.2. При условии, что i=0.08, найдите значения величин (12)i , (4)d и δ . Решение. ln(1 ) 0.076961,iδ = + = (12) 1/1212 (1 ) 1 0.077208,i i = + − =

(4) 1/4 1/44 1 (1 ) 4 1 (1 ) 0.076225.d d i − = − − = − + =

Пример 4.1.3. Предположим, что l и m являются положительными целыми числами. Выразите ( )mi через l, m и ( )ld . Отсюда найдите (12)i когда (4) 0.057847d = .

Решение. ( ) ( )

1 1 .l ml md ie

l mδ

−

− − = = +

Значит,

/( )( ) 1 1

m lml id l

m

− = − +

и /( )

( ) 1 1 .l ml

m di ml

− = − −

В частности, если (4) 0.057847d = , 1/3(4)

(12) 12 1 1 0.0584114

di− = − − =

.

Ещё одно решение мы получим, если отметим, что { }4(4)(1 ) 1 / 4 1.06i d−

+ = − = ,

откуда немедленно следует значение (12)i . Отметим, что ( )pi и ( )pd даются непосредственно в терминах интенсивности процентов δ уравнениями

( ) ( )( ) / ( ) /1 , 1 . (4.1 .7)p p p pi p e d p eδ δ−= − = −

Поскольку / /lim ( 1) lim (1 ) ,x x

x xx e x eδ δ δ−

→∞ →∞− = − = из уравнения (4.1.7) немедленно следует, что

( ) ( )lim lim . (4.1.8)p p

p pi d δ

→∞ →∞= =

Поскольку непрерывный поток платежей можно рассматривать как предел при p стремящемся к бесконечности соответствующей серии платежей через промежутки длиной 1/p (смотри также раздел 2.4), это соотношение интуитивно очевидно из наших исходных определений. Легко установить (смотри Задачу 4.4), что

(2) (3)i i i> > >… и

~ 90 ~

(2) (3) ,d d d< < <…

так что последовательности ( ){ }pi и ( ){ }pd стремятся к общему пределу δ сверху и снизу соответственно. Как в следующем примере, можно получить различные приближения для ( )pi и

( )pd через p и i, d или δ .

Пример 4.1.4. Покажите, что если δ мало, то 2

( )

2pd

pδδ≈ − и выведите

соответствующее приближение для ( )pi . Решение. В силу уравнения (4.1.7) при 0δ → :

2 3 2 3 2( ) /

2 3 2(1 ) 1 12 6 2 6 2

p pd p e pp p p p p p

δ δ δ δ δ δ δδ δ− = − = − − + − +… = − + −…≈ −

.

Аналогично, 2 3 2 3 2

( ) /2 3 2( 1) 1 1

2 6 2 6 2p pi p e p

p p p p p pδ δ δ δ δ δ δδ δ

= − = + + + +… − = + + +…≈ +

4.2 Ренты, выплачиваемые с частотой p: современные стоимости и накопления

Номинальные процентные ставки и учётные ставки, введённые в предыдущем разделе, особенно важны в связи с рентами, которые платятся чаще, чем один раз за единицу времени. Мы будем называть ренту, которая выплачивается p раз за единицу времени, рентой, выплачиваемой с частотой p. Если p и n являются положительными целыми числами, то обозначение ( )

npa

используется для обозначения стоимости в момент 0 постоянной ренты, выплачиваемой с частотой p с запаздыванием, величиной 1 в единицу времени на протяжении интервала

времени [0;n]. Для этой ренты платежи производятся в моменты 1 2 3, , , ,np p p

… , а

величина каждого платежа равна 1p

.

Нетрудно вывести выражение для ( )

npa , исходя из базовых соображений. Однако,

следующее рассуждение, возможно, менее очевидное непосредственно, является важной иллюстрацией метода, который имеет широкое применение.

По определению серия из p платежей величиной ( )pip

, производимых с

запаздыванием через p-е доли единичного интервала на протяжении любого единичного интервала, имеет ту же ценность, что и одиночный платёж величины i в конце этого

~ 91 ~

интервала. Из соображений пропорциональности, p платежей величиной 1p

,

производимых с запаздыванием через p-е доли единичного интервала на протяжении любого единичного интервала, имеют ту же ценность, что и одиночный платеж

величиной ( )pi

i в конце этого интервала.

Рассмотрим теперь ту ренту, для которой современная стоимость есть ( )n

pa .

Замечания из предыдущего абзаца показывают, что p платежей после момента 1r − , но

не позже момента r имеют ту же стоимость, что и одиночный платёж суммы ( )pi

i в

момент r. Это верно для 1,2, ,r n= … , и поэтому наша рента имеет ту же ценность, что и

серия из n платежей, каждый величиной ( )pi

i, в моменты 1, 2, , n… . Это означает, что

( )( ) . (4.2.1)n n

ppia a

i=

Альтернативный подход, базирующийся на исходных принципах, позволяет написать: 1/

( ) /1/ ( )1/

1

1 1 (1 ) 1 1 , (4.2.2)1 (1 ) 1

p n n nnpp t p

p ppt

n

v v v va vp p v ip i=

− − −= = = =

− + − ∑

что подтверждает уравнение (4.2.1). Подобным же образом мы определяем ( )p

na как стоимость постоянной

упреждающей ренты, выплачиваемой с частотой p в размере 1 за единицу времени на протяжении интервала времени [0;n] (рентные платежи, каждый величиной 1/p, производятся в моменты 0,1/p,2/p, … ,(n−1)/p.

По определению, серия из p платежей величиной ( )pdp

, производимых с

упреждением через p-е доли единичного интервала, на протяжении любого единичного интервала, имеет ту же ценность, что и одиночный платёж суммы i в конце этого интервала. Следовательно, из соображения пропорциональности, p платежей величиной 1/p, производимых с упреждением через p-е доли единичного интервала, имеют ту же

ценность, что и одиночный платёж величиной ( )pi

d в конце этого интервала. Это

означает (в силу соображений, идентичных тем, что были использованы выше), что

( )( ) . (4.2.3)n n

pp

ia ad

=

Величины ( )pi

i и ( )p

id

обычно включают в публикуемые таблицы. Это позволяет легко

подсчитать величины ( )n

pa и ( )pna .

Альтернативно, базируясь на исходных принципах, мы можем написать:

~ 92 ~

( ) ( 1)/( )

1

1 1 (4.2.4)nnp

p t ppn

t

va vp d

−

=

−= =∑

(после упрощения), что подтверждает уравнение (4.2.3). Отметим, что ( ) 1/ ( ) .p pn n

pa v a=

Комбинируя уравнения (4.2.1) и (4.2.3), мы получаем ( ) ( ) ( ) ( ) , (4.2.5)n n n n n

p p p pia i a d a da aδ= = = =

где каждое выражение равно (1 )nv− . Эти последние уравнения должны быть очевидны, поскольку каждое выражение представляет современную стоимость процентов, выплачиваемых по займу величиной 1 на протяжении интервала времени длиной n, в соответствии с различными возможными способами организовать выплаты процентов. Отметим, что поскольку ( ) ( )lim limp p

p pi d δ

→∞ →∞= = (по формуле (4.1.8)), из уравнений

(4.2.2) и (4.2.4) немедленно следует, что ( ) ( )| | |lim lim .p p

n n np pa a a

→∞ →∞= =

Эти уравнения очевидны интуитивно. Подобным же образом мы определяем ( )

nps и ( )p

ns как накопленные суммы для

соответствующих рент с запаздыванием и упреждением, выплачиваемых с частотой p. Значит,

( ) ( )|( ) ( )(1 ) (1 ) (в силу (4.2.1)) . (4.2.6)p n p

n nn

np pn

i is i a i a si i

= + = + =

Также ( ) ( )

|( ) ( )(1 ) (1 ) (в силу (4.2.3)) . (4.2.7)p nn n

nnn

pp p

i is i a i a sd d

= + = + =

Использованные выше соображения пропорциональности могут быть применены к другим переменным сериям платежей. Рассмотрим, например, ренту, выплачиваемую ежегодно с запаздыванием на протяжении n лет; величина платежа в t-ом году есть tx . Современная стоимость этой ренты, очевидно, есть:

1. (4.2.8)

nt

tt

a x v=

=∑

Рассмотрим теперь вторую ренту, которая также платится на протяжении n лет с выплатой в t-ом году опять суммы tx , но p равными частями с запаздыванием на

протяжении года. Если ( )pa обозначает современную стоимость этой второй ренты, то

заменяя p платежей в течение года t (каждый величиной txp

) эквивалентной одиночной

выплатой в конце года величиной ( )t px ii

, мы немедленно получаем:

( )( ) ,p

pia a

i=

где a дается вышеприведённым уравнением(4.2.8).

~ 93 ~

Рента, выплачиваемая с частотой p с запаздыванием, когда платежи продолжаются бесконечно, называется вечной рентой, выплачиваемой с частотой p. Когда величина платежей постоянна и равна 1 в единицу времени, современная стоимость такой вечной ренты обозначается ( )pa

∞ . Если выплаты производятся с

упреждением, мы имеем упреждающую вечную ренту, для которой соответствующая современная стоимость обозначается ( )pa

∞ .

Ясно, что ( ) ( )1 . (4.2.9)p pa a

p∞ ∞= +

Устремляя n к бесконечности в уравнениях (4.2.2) и (4.2.4), мы получим (если i>0): ( )

( )

1 (4.2.10)ppa

i∞=

и ( )

( )

1 (4.2.11)ppa

d∞=

соответственно. Современные стоимости запаздывающей ренты и упреждающей ренты, выплачиваемых с частотой p в размере 1 за единицу времени на протяжении n единиц времени, но отложенных на m единиц времени, обозначаются

( ) ( ) ( ) ( )| | | | | | (4.2.1 и 2 ) p m p p m p

m n n m n na v a a v a= =

соответственно. И наконец, мы отметим, что если p=1, то ( )

|p

na , ( )|p

na , ( )|p

ns и ( )|p

ns равны |na , |na , |ns

и |ns соответственно.

4.3 Ренты, выплачиваемые через промежутки времени длиной r, где r >1

В разделе 4.2 мы показали, как заменой одной серии платежей эквивалентной серией мы можем немедленно выписывать выражение для стоимости ренты, выплачиваемой с частотой p. Тот же самый метод, т.е. использование эквивалентных платежей той же ценности, может быть использован для оценки серии платежей постоянной величины, выплачиваемых через промежутки времени длиной r, где r – некоторое целое число, большее, чем 1. Предположим, например, что k и r являются целыми числами, большими 1, и рассмотрим серию платежей величиной X, которые должны быть выплачены в моменты

, 2 ,3 , ,r r r kr… . Какова стоимость этой серии платежей в момент 0 на основе процентной ставки i за единицу времени? Эта ситуация проиллюстрирована на Рисунке 4.3.1, который показывает выплату суммы X в соответствующие моменты времени. Давайте заменим выплату суммы X в момент r серией из r платежей величиной Y в моменты 1, 2, , r… , где Y выбрано таким

~ 94 ~

образом, чтобы сделать эти r эквивалентных платежей имеющими ту же самую общую стоимость, что и одиночный платёж, который они заменяют.

0 1 2 r...

X X

1r + 2r ......

X

( 1)k r− ... kr время

Y Y Y... Y Y Y... Y Y Y...

Это означает, что rYs X= при процентной ставке i, или

. (4.3.1)r

XYs

=

Подобным образом, каждую выплату суммы X можно заменить r эквивалентными платежами величиной Y, имеющими ту же стоимость. Тогда исходная серия из платежей величины X, выплачиваемых через промежутки длины r, имеет ту же ценность, что и

серия из kr платежей величины r

XYs

= , выплачиваемых через единичные промежутки

времени. Следовательно, стоимость этой ренты есть

(4.3.2)krr

X as

при процентной ставке i. Этот результат можно было бы получить из исходных принципов просто суммированием соответствующей геометрической прогрессии. Этот метод иллюстрируется в примере 4.3.1. Читатель не должен пытаться запомнить последний результат; он немедленно может быть получен из исходных принципов, при условии, что отчетливо понимаются соответствующие идеи. Пример 4.3.1. Инвестор желает купить постоянную ренту величиной £120 в год, выплачиваемую ежеквартально с запаздыванием на протяжении пяти лет. Найдите цену покупки, при условии, что она рассчитывается на основе годовой процентной ставки 12%: (a) эффективной; (b) начисляемой каждые полгода; (c) начисляемой ежеквартально; (d) начисляемой ежемесячно.

Решение. (a) Искомая величина есть (4)(4)5 5120 (по ставке 12%) =120 =451.583.ia a

i

~ 95 ~

(b) Поскольку процентная ставка является номинальной, начисляемой каждые полгода, мы возьмем полгода в качестве единицы времени, а 6% в качестве нашей процентной ставки. Рента платится дважды в полугодие на протяжении десяти лет в размере £60 за полгода. Значит её стоимость есть

(2)(2)10 10

60 (по ставке 6%) 60 448.134 £448.13.ia ai

= = ≈

(c) Мы берём четверть года в качестве единицы времени и 3% в качестве процентной ставки. Значит, стоимость есть

2030 (по ставке 3%) 446.324 £446.32.a = ≈

(d) Мы берём месяц в качестве единицы времени, а 1% в качестве процентной ставки. Рентные платежи величиной £30 в конце каждого третьего месяца могут быть

заменены серией эквивалентных ежемесячных платежей, каждый величиной 3

30s

(при

ставке 1%). Значит, стоимость есть

603

30 (по ставке 1%) 445.084 £445.08.as

= ≈

Пример 4.3.2. На основе эффективной годовой процентной ставки j строительное общество А даёт ссуду, которая возвращается постоянной рентой, выплачиваемой ежегодно с запаздыванием. Для любой суммы ссуды и срока платежа, строительное общество В объявляет те же самые годовые платежи, что и общество А, но требует, чтобы платежи производились с частотой p с запаздыванием (p>1). Покажите, что вне зависимости от срока платежа эффективная годовая процентная ставка, устанавливаемая обществом В больше, чем

ˆ 1 1.p

jjp

= + −

В частном случае, когда j=0.08 и p=12, найдите эффективную годовую процентную ставку по займу в обществе В, когда срок есть: (a) 10 лет и (b) 25 лет. Решение. Пусть срок займа будет n лет и сумма займа X. Годовой платёж в любое

общество есть n j

Xa

. Поскольку эффективная годовая процентная ставка по займу в

обществе В есть i, где ( )|

|

pn i

n j

XX aa

=

или ( )| | ,p

n i n ja a=

что определяет i. Левая часть этого последнего уравнения является монотонной функцией от i. Значит, чтобы показать, что корень больше, чем j , достаточно показать, что когда ˆi j= левая часть уравнения больше, чем правая часть.

~ 96 ~

Отметим, что

( ) 1/ˆ ˆ ˆ(1 ) 1 (по определению )p pj p j j j = + − =

Следовательно, 1/

( )ˆ| ( ) ( )

|

ˆ1 (1 )ˆ1 (1 )ˆ ˆ

1 1ˆ (по определению )

1 (1 ) ( поскольку 1 (1 ) )

,

nppnp

n j p p

np

npnn

n j

jjaj j

jp

jj

j j jj p

a

−−

−

−

− +− + = =

− + =

− +> + > +

=

что и требовалось, и поэтому ˆi j> . В частности, это рассуждение показывает, что если j=0.08 и p=12, эффективная годовая процентная ставка по займу в обществе В всегда больше, чем 8.3%. Поскольку при ставке 8% 10 6.7101a = и 25 10.6748a = , эффективные процентные ставки по

займам в обществе В на 10 лет и 25 лет есть 1i и 2i соответственно, где (12)

110 6.7101 (при ста )вке a i=

и (12)

225 10.6748 (при ставке .)a i=

Читатель должен показать, что 1 0.088806 8.88%i = ≈ и 2 0.084433 8.44%i = ≈ (см. приложение 2, где можно найти возможные методы решения таких уравнений). Замечание. Приведённые выше величины являются специфической иллюстрацией более общего результата. Когда срок займа увеличивается, эффективная годовая процентная ставка по займу в обществе В убывает.

4.4 Определение ( )pn

a для нецелых значений n Пусть p будет положительным целым числом. До сих пор символ ( )p

na был

определён только когда n является положительным целым числом. Для определённых нецелых значений n символ ( )p

na имеет интуитивно очевидную интерпретацию.

Например, не ясно, какой смысл можно придать величине 23.5a (если вообще можно), но

символ (4)23.5a мог бы представлять современную стоимость ренты, величиной 1 в год,

выплачиваемой ежеквартально с запаздыванием на протяжении 23.5 лет (т.е. всего 94 ежеквартальных платежа величиной 0.25 каждый). С другой стороны, (2)

23.25a не имеет

очевидного смысла.

~ 97 ~

Предположим, что n является числом, кратным 1/p, т.е. n=r/p, где r – целое число. В этом случае мы определяем ( )p

na как стоимость в момент 0 серии из r платежей,

величиной 1p

каждый, в моменты 1 2 3, , , , rp p p p

… .

Если i=0, то ясно, что ( )n

pa n= .

Если 0i ≠ , то

( )/ /

( ) 1/ 2/ 3/ / 1/1/ 1/

1 1 1 1 1 . (4.4.1)1 (1 ) 1

r p r pp p p p r p p

p pn

v va v v v v vp p v p i

− −= + + +…+ = = − + −

Следовательно,

( ) ( )

1 , если 0, (4.4.2), если 0.

n

p pn

v ia in i

−≠=

=

Отметим, что работая с новой единицей времени, равной 1p

исходной единицы времени,

и с эквивалентной эффективной процентной ставкой ( )pip

за новую единицу времени, мы

видим, что ( )

( ) 1 (по ставке ) (по ставке ). (4.4.3)p

pn np

ia i ap p

=

Эта формула полезна, когда ( )pip

является табулированной процентной ставкой.

Отметим, что определение ( )pna , даваемое уравнением (4.4.2), математически осмысленно

для всех неотрицательных значений n. Для наших целей в настоящий момент удобно принять уравнение (4.4.2) в качестве определения ( )p

na для всех n.

Если n не является кратным 1p

, общепринятого определения ( )pna нет. Например,

если 1n n f= + , где 1n – величина, кратная 1p

и 10 fp

< < , некоторые авторы

определяют ( )pna как

1

( ) .p nna fv+ Используя это альтернативное определение, мы имеем:

(2) (2) 23.7523.75 23.5

1 ,4

a a v= +

что является современной стоимостью ренты, величиной 1 в год, выплачиваемой с запаздыванием каждые полгода на протяжении 23.5 лет, вместе с окончательной выплатой 0.25 после 23.75 лет. Отметим, что эта величина не равна величине, полученной из определения (4.4.2) (см. пример 4.4.1 ниже). Если 0i ≠ , мы определяем для всех неотрицательных n

~ 98 ~

( ) 1/ ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1(1 ) ,

(1 ) 1(1 ) ,

(1 ) 1(1 ) ,

np p p

pn n

np n p

pn n

np n p

pn n

va i ad

is i aiis i a

d

−= + =

+ −= + =

+ −= + =

(4.4.4)

где ( )pi и ( )pd определены уравнениями (4.1.2) и (4.1.5) соответственно. Если i=0, то все эти три последние функции по определению равны n. Читатель должен проверить, что когда n является кратным 1/p, т.е. n=r/p, ( )p

na , ( ) ,pns ( )p

ns являются значениями в различные времена ренты из r платежей величиной 1/p

каждый, производимых через интервалы 1/p. Как и раньше, мы используем более простые обозначения na , na , ns и ns для

того, чтобы обозначить (1)na , (1)

na , (1)ns и (1)

ns соответственно, расширяя тем самым

определения величин na и т.п., данные в главе 3 на случай всех нецелых значений n.

Тривиальным следствием наших определений является то, что формулы

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

,

,

,

,

ppn n

ppn n

ppn n

ppn n

ia ai

ia adis s

iis s

d

=

=

=

=

(4.4.5)

(верные когда 0i ≠ ) теперь справедливы для всех значений n. Мы можем также обобщить определения величин ( )

|p

m na и ( )|

pm na для всех значений

n посредством формул:

( ) ( )

|

( ) ( )|

,

.

p m pm n n

p m pm n n

a v a

a v a

=

=

(4.4.6)

Читатель должен проверить, что эти определения влекут, что

( ) ( ) ( )

|

( ) ( ) ( )|

,

.

p p pm n n m m

p p pm n n m n

a a a

a a a+

+

= −

= −

(4.4.7)

Пример 4.4.1. При условии, что i=0.03, оцените: (a) (4)

23.5a ,

(b) (4)23.75a ,

(c) (4)1.5| 5.25a ,

(d) (2)6.5s

и

~ 99 ~

(e) (2)23.75a .

Замечание. Последняя величина должна быть рассчитана из определения (4.4.2). Сравните ваш ответ с ответом, полученным из альтернативного определения, описанного выше. Решение.

(a) 23.5

(4)(4)23.5

1 16.8780vai−

= = ,

(b) (4) (4)23.75 23.5

1 17.12804

a a= + = . Эта величина может быть также получена из

уравнения (4.4.4).

(c) 5.25

(4) 1.5 (4) 1.51.5| (4)5.25 5.25

1 4.6349,va v a vi

−= = =

(d) 6.5

(2)6.5 (2)

(1 ) 1 7.2195,isd+ −

= =

(e) 23.75

(2)(2)23.75

1 16.9391.vai−

= =

Альтернативное определение даёт: (2) (2) 23.7523.75 23.5

1 16.9395.4

a a v= + =

4.5 Расписание займа для ренты, выплачиваемой с частотой p

В этом случае никакие новые идеи не привлекаются, поскольку это просто частный пример общей схемы, обсуждавшейся в Разделе 3.7. Для займа, возвращаемого постоянной рентой, выплачиваемой с частотой p с запаздыванием на протяжении n единиц времени на основе процентной ставки i, расписание лучше всего составить,

работая с процентной ставкой ( )pip

за интервал длиной 1p

. Значит, проценты, которые

должны выплачиваться в моменты rp

( 1, 2, ,r np= … ), равны произведению дроби ( )pip

на

величину неоплаченного займа в момент 1rp− (немедленно после того, как получен

причитающийся платёж). Например, по отношению к займу ( )p

na (при ставке i) легко показать, что

оплаченный капитал в момент r-го рентного платежа ( 1, 2, ,r np= … ) есть ( 1)/1 n r pvp

− − и что

неоплаченный заём немедленно после того, как получен r-й платёж, есть ( )/

pn r pa−

(при

ставке i). (Это просто стоимость невыплаченных платежей).

~ 100 ~

Пример 4.5.1. Заём величиной £1000 возвращается постоянной рентой, выплачиваемой каждые полгода с запаздыванием на протяжении трёх лет на основе годовой процентной ставки 15%. Сконструируйте расписание кредитора, показывающее разделение каждого платежа на капитал и проценты и величину неоплаченного займа после каждого платежа.

Решение. При ставке 15%, (2)

0.0723812

i= , и поэтому проценты, подлежащие

оплате в конце каждого полугодия, равны 7.2381% от величины неоплаченного займа в

начале этого полугодия. Сумма годового платежа есть (2)3

1000a

при ставке 15%, т.е. 422.68.

Следовательно, полугодовой платёж равен £211.34. Теперь легко составить расписание (см. Таблицу 4.5.1).

Таблица 4.5.1 Расписание выплат (1) (2) (3) (4)

n

Невыплаченный долг в начале n-го

полугодия (£)

Проценты, выплачиваемые в конце n-го полугодия (£)

[ ]0.072381 (2)×

Капитал, выплачиваемый в конце n-го полугодия (£)

[ ]211.34 (3)−

1 1000.00 72.38 138.96 2 861.04 62.32 149.02 3 712.02 51.54 159.80 4 552.22 39.97 171.37 5 380.85 27.57 183.77 6 197.08 14.26 197.08

~ 101 ~

Задачи

4.1 (a) Given that i = 0.0625, find the values of i(4), δ and d(2). (b) Given that i (2) = 0.0625, find the values of i(12), δ and d(4). (c) Given that d (12) = 0.0625, find the values of i(2), δ and d. (d) Given that δ = 0.0625, find the values of i(4), δ and d(2).

4.2 Find, on the basis of an effective interest rate of 4% per unit time, the values of

𝑎67|(4), ��18

(12), 14|��10|(2), 𝑠56����, 𝑎16.5|

(4) , ��15.25|(12) , 4.25|𝑎3.75|

(2) , 𝑎26/3�������|

4.3 (a) Every three years £100 is paid into an account which earns interest at a constant rate. Find (to the nearest pound) the accumulated amount of the account immediately before the sixth payment is made, given that the interest rate is (i) 10% per annum effective, (ii) 10% per annum convertible half-yearly

(b) Sixteen payments, each of amount £240, will be made at three-yearly intervals, the first payment being made one year from now. Find (to the nearest pound) the present value of this series of payments on the basis of an interest of rate of 8% per annum effective.

4.4 (a) By showing that

𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑒𝛿/𝑥 − 1) 𝛿 ≠ 0

Is a decreasing function on the interval 0 < x < ∞, or otherwise, prove that

𝑖(𝑚+1) < 𝑖𝑚

for any given rate of interest i.

(b) By considering the function

𝑔(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑒−𝛿/𝑥) 𝛿 ≠ 0 or otherwise, show that

𝑑(𝑚+1) > 𝑑𝑚 for any given rate of interest i.

(Note that the above results show that the sequences {i(m)} and {d(m)} (m = 1, 2, 3,…) tend monotonically to the common limit δ from above and from below respectively. See section 4.1)

(c) Show that the value of 1𝑑𝑚

− 1𝑖𝑚

does not depend on the rate of interest.

4.5 (a) On the basis of an interest rate of 12% per annum effective find (to the nearest pound) the present value of an annuity of £600 p.a. for 20 years payable

(i) Annually in arrear; (ii) Quarterly in arrear;

~ 102 ~

(iii) Monthly in arrear; (iv) Continuously.

(b) Find (again to the nearest pound) the present values of the annuities described in (a) on the basis of an interest rate of 12% per annum convertible quarterly.

4.6 Find the present value of a perpetuity of 1 per annum payable half-yearly

(i) Immediately after a payment has been made; (ii) Three months before the next payment is made

on the basis of an interest rate of

(a) 12% per annum effective; (b) 12% per annum convertible half-yearly; (c) 12 % per annum convertible quarterly

4.7 An annuity is payable for 15 years. The annuity is payable half-yearly for the

first five years. quarterly for the next five years, and monthly for the final five years. The annual amount of the annuity is doubled after each five-year period. On the basis of an interest rate of 8% per annum convertible quarterly for the first four years, 8% per annum convertible half-yearly for the next eight years, and 8% per annum effective for the final three years, the present value of the annuity is £2049.

Find the initial annual amount of the annuity. (The value of i/i(6) at 4% is 1.016 540.)

An annuity is payable for 20 years. The amount of the annuity in the tth year is £t2. On the basis of an effective rate of interest of 5% per annum, find the present value of the annuity, assuming that it is payable

(a) Annuity in advance; (b) Quarterly in advance, the payments for each year being made in four equal instalments; (c) Half-yearly in arrear, the payments for each year being made in two equal instalments;

and (d) Continuously, the rate of payment being constant over each year.

Hint For (b), (c), and (d) adjust the answer to (a) appropriately.

4.9 An investor effects a contract under which he pays £50 to a saving account on 1 July 1986, and at three-monthly intervals thereafter, the final payment being made on 1 October 1999. On 1 January 2000 the investor will be paid the accumulated amount of the account.

Calculate how much the investor will receive if the account earns interest at the rat of

(a) 12% per annum effective; (b) 12% per annum convertible half-yearly; (c) 12% per annum convertible quarterly; (d) 12% per annum convertible monthly.

4.10 On 1 November 1985 a man was in receipt of the following three annuities, all payable by the same insurance company:

(a) £200 p.a. payable annually on 1 February each year, the final payment being on 1 February 2007;

~ 103 ~

(b) £320 p.a. payable quarterly on 1 January, 1 April, 1 July, and 1 October each year, the final payment being on 1 January 2002;

(c) £180 p.a. payable monthly on the first day of each month, the final payment being on 1 August 2004.

Immediately after receiving the monthly payment due on 1 November 1985, the man requested that these three annuities be combined into a single annuity payable half-yearly on 1 February and 1 August in each subsequent year, the final payment being made on 1 February 2007. The man’s request was granted.

Find the amount of the revised annuity, given that it was calculated on the bases of an interest rate of 8% per annum effective, all months being regarded as of equal length.

4.11 (a) On 1 January and 1 July each year for the next 20 years a company will pay a premium of £200 into an investment account. In return the company will receive a level monthly annuity for 15 years, the first annuity payment being made on 1 January following payment of the last premium.

Find (to the nearest pound) the amount of the monthly annuity payment, given that it is determined on the basis of an interest rate of

(i) 12% per annum effective; (ii) 12% per annum convertible half-yearly; (iii) 12% per annum convertible monthly.

(b) Find the monthly annuity payment as in (a), except that the first payment of the annuity to the company is made one month after payment of the last premium.

Hint Adjust appropriately the answers from part (a)

4.12 A loan £9880 was granted on 10 July 1978. The loan is repayable by a level annuity payable monthly in arrear (on the 10th of each month) for the 25 years and calculated on the basis of an interest rate of 7% per annum effective. Find

(a) The monthly repayment; (b) The loan outstanding immediately after the repayment on 10 March 1992. (c) The capital to be repaid on 10 October 1989; (d) (i) The total capital to be repaid, and (ii) the total amount of interest to be paid, in the monthly instalments due between 10 April 1996 and 10 March 1997 (both dates inclusive); (e) The month when the capital to be repaid first exceeds one-half of the interest payment.

4.13 A loan £19 750 was repayable by a level annuity payable monthly in arrear for 20 years and calculated on the basis of an interest rate of 9% per annum effective. The lender had the right to alter the conditions of the loan at any time and, immediately after the 87th monthly repayment had been made, the effective annual rate of interest was increased to 10%. The borrower was given the option of either increasing the amount of this level monthly repayment or extending the term of the loan (the monthly repayment remaining unchanged).

(a) Show that, if the borrower had opted to pay a higher monthly instalment, the monthly repayment would have been increased by £8.45

(b) Assume that the borrower elected to continue with the monthly repayment unchanged. Find the revised term of a loan and, to the nearest pound, the (reduced) amount of the final monthly repayment.

~ 104 ~

4.14 A loan of £11 820 was repayable by an annuity payable quarterly in arrear for 15 years. The repayment terms provided that at the end of each five-year period the amount of the quarterly repayment would be increased by £40. The amount of the annuity was calculated on the basis of an effective rate of interest of 12% per annum.

(a) Find the initial amount of the quarterly repayment

(b) On the basis of the lender’s original schedule find the amount of principal repaid in (i) the third year and (ii) thirteenth year

(c) Immediately after paying the 33rd quarterly instalment the borrower requested that in future the repayments be of a fixed amount for the entire outstanding duration of the loan. The request was granted and the revised quarterly repayment was calculated on the original interest basis.

Find the amount of the revised quarterly repayment.

4.15 A loan is repayable over ten years by a special decreasing annuity, calculated on the basis of an effective interest rate of 10% per annum. The annuity payment each year is divided into an interest payment (equal 10% of the loan outstanding at the start of the year) and a capital payment, which is used to reduce the amount of the loan outstanding.

The annuity decreases in such way that, if income tax 30% of the interest content of each annuity payment were to be deducted from each payment, the net amount of the payment (i.e. the capital payment plus the interest payment less tax) would be £5000 each year.

An investor who is not liable to tax will in fact receive the gross amount of each annuity payment (i.e. the payment without any deduction). What price should such an investor pay for the annuity to achieve an effective yield of 8% per annum?

4.16 An annuity-certain was purchased on 1 November 1985 to provide 15 instalments, payable on 1 September 1986 and thereafter on 1 January, 1 May and 1 September until 1 May 1991 inclusive. The amount of the first instalment was £1000 and each subsequent instalment is 5% greater than its predecessor.

(a) Calculate the purchase price of the annuity-certain on the basis of an effective interest rate of 6% per annum.

(b) Calculate the interest content of (i) the seventh and (ii) the fifteenth annuity instalment on this basis.

i.e.

1− 𝑣𝑛

𝛿− 𝑛𝑣𝑛 − 1

4𝛿𝑛2 = 0 at 5%

By trials and interpolation, we find that n = 22.37.

Chapter 4 4.1 (a) By formula 4.1.3,

�𝑖 + 𝑖(4)

4�4

= 1 + 𝑖

whence 𝑖(4) = 0.061 086. By formula 3.1.9,

𝑒𝛿 = 1 + 𝑖 whence δ = log (1 + i) = 0.060 625

~ 105 ~

By formula 4.1.6,

�1 − 𝑑(2)

2�2

= 1 − 𝑑 = 𝑣 = (1 + 𝑖)−1

whence 𝑑(2) = 0.059 715.

(b) Since

�1 + 𝑖(12)

12�12

= �1 + 𝑖(2)

2�2

= 1 + 𝑖

we obtain 𝑖(12) = 0.061 701 By formulae 3.1.9 and 4.1.3,

𝑒𝛿 = 1 + 𝑖 = �1 + 𝑖(2)

2�2

From which we obtain δ = 0.061 543

We have

�1 − 𝑑(4)

4�4

= 1 − 𝑑 = (1 + 𝑖)−1 = �1 + 𝑖(2)

2�−2

Which gives 𝑑(4) = 0.061 072 (c) Since

�1 + 𝑖(2)

2�2

= 𝑒𝛿 = (1 − 𝑑)−1 = �1 − 𝑑(12)

12�12

we obtain 𝑖(2) = 0.063 655, 𝛿 = 0.062 663, and 𝑑(12) = 0.060740.

(d) Since

�𝑖 + 𝑖(4)

4�4

= �1 − 𝑑(2)

2�−2

= 𝑒𝛿

we obtain 𝑖(4) = 0.062 991 and 𝑑(2) = 0.061 534

4.2 𝑎67|(4) = 1− 𝑣67

𝑖(4) = 23.5391

��18|(12) =

𝑖𝑑(12) 𝑠18| = 26.1977

14|��10|(2) = ��24|

(2) − ��14|(2) = 𝑖

𝑑(2) �𝑎24| − 𝑎14|� = 4.8239

𝑠56����| =(1 + 𝑖)56 − 1

𝛿= 203.7755

𝑎16.5|(4) =

1 − 𝑣16.5

𝑖(4) = 12.0887

��15.25|(12) =

(1 + 𝑖)15.25 − 1𝑑(12) = 20.9097

~ 106 ~

payment (£) time (years) 0 15 3 6 9 12

100 100 100 100 100

payment (£) time (half-years)

0 30 6 12 18 24

100 100 100 100 100

4.25|𝑎3.75|(2) = 𝑣4.25 �1− 𝑣3.75

𝑖(4) � = 2.9374

𝑎26/3�������| = 1 − 𝑣26/3

𝑖(4) = 7.3473

4.3 (a) (i) We work in time units of one year. The payments are illustrated in the following diagram:

As in section 4.3, the accumulation at time 15, just before the payment then due is made, is

100𝑎3|

𝑠15| at 10%

=£1277.59 say £1278

(ii) We now work in units of a half-year. The position is illustrated in the following diagram:

The accumulation at time 30, just before the payment then due is made, is (see section 4.3)

100𝑎6

𝑠30| at 5%

=£1308.96 say £1309

(b) Let us proceed from first principles. Let time be measured in years, and let i = 0.08. The present value is

240(v + v4 + v7 + … + v46)

= 240v [1 + (v3) + (v3)2 + … + (v3)15]

= 240v[1−�𝑣3�16

]1−𝑣3

= 240v 𝑎48|

𝑎3|

= £1051.07, say £1051

Note The value of the payments two years before the present time is easily seen to be (240/𝑠3|) 𝑎48| at 8%. Multiplying this value by 1.082, we obtain the present value

4.4 (a) 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝛿/𝑥(1 − 𝛿/𝑥) – 1 for all x > 0

~ 107 ~

(1)

Now it follows from elementary calculus that

𝑒𝑦(1− 𝑦) − 1 < 0 for all y ≠ 0

So 𝑓′(𝑥) < 0 for all x > 0. Hence f(x) is a decreasing function on (0, ∞) and, for each m = 1, 2, …,

f (m + 1) < f(m)

Hence i(m + 1) < i(m) for each m = 1, 2, …, (since f(m) = i(m) for each m = 1, 2, …).

(b) We have

𝑔′(𝑥) = 1 − 𝑒−𝛿/𝑥(1 + 𝛿/𝑥)

= [𝑒𝑦(1 − 𝑦) − 1]

where 𝑦 = −𝛿/𝑥. It follows from 1 that 𝑔′(𝑥) > 0 for all x > 0 and hence that 𝑔(𝑥) is an increasing function on (0, ∞). Since 𝑔(𝑚) = 𝑑𝑚 for each m = 1, 2, …, we have result that 𝑑(𝑚+1) > 𝑑𝑚 for each m = 1, 2, …,

(c) We have

1𝑑𝑚

− 1𝑖𝑚

= (1 + 𝑖)1/𝑚 − 1

𝑚[(1 + 𝑖)1/𝑚 − 1] =

1𝑚

4.5 Work in time units of one year. The present values are:

(i) 600𝑎20 at 12%

=£4482

(ii) 600𝑎20(4) at

12% =600[i/i(4)]𝑎20 =£4679

at 12%

(iii) 600𝑎20(12) at

12% =600[i/i(12)]𝑎20 =£4723

at 12%

(iv) 600𝑎20| at 12%

=600(i/𝛿)𝑎20| =£4745

at 12%

(b) We now work in time units one of a quarter-year with an interest rate of 3%. The present values are:

(i) (600𝑠4)𝑎80| at 3%

=£4331 (see section 4.3)

(ii) 150𝑎80| at 3%

=£4530

(iii) 150𝑎80|(3) at

3% =150[i/i(3)]𝑎80| =£4575

(iv) 150𝑎80| at 3%

=£4598

~ 108 ~

time (years)

payment

rate of interest

2% per quarter

4% per half-year

8% per annum

X/2 each half-year in arrear

X/2 each quarter-year

in arrear

X/2 monthly in arrear

4.6 (a) Work in time units of one year. The present values are

(i) 𝑎∞|(2) at

12% =1/i(2) at

12% = 8.5763

(ii) 𝑣1/4��∞|(2) at

12% =𝑣1/4/ 𝑑(2)

at 12% = 8.8227

(b)

(i) (1/2)𝑎∞| at 6%

=1/2i at 6% = 8.3333

(ii) (1/2)𝑣1/2��∞|

at 6%

=𝑣1/2/ 2𝑑

at 6% = 8.5797

(c) Work in time units of a quarter-year. The present values are

(i) (1/2)(1/𝑠2|)𝑎∞|

at 3%

=1/(2i𝑠2|) =8.2102

at 3%

(ii) (1

+ 𝑖)�12𝑎∞|

𝑠2|�

at 3%

= 8.4565

4.7 Let X be initial annual amount of the annuity. We illustrate the payments and the rate of interest on the following diagram:

The present value of the annuity is found by summing the present values of the payments in each of the periods 1 - 4 years, year 5, 6 – 10 years, 11 – 12 years and 13 – 15 years. This gives the equation of value:

2049 = 𝑋2�𝑎16|0.02

𝑠2|0.02� + 𝑣0.0216 �𝑋

2� 𝑎2|0.04 + 𝑋𝑣0.0216 𝑣0.042 𝑎

10|0.04(2) + 2𝑋𝑣0.0216 𝑣0.0412 𝑎

10|0.04(6) +

4𝑋𝑣0.0216 𝑣0.042 𝑎3|0.08(12) = 17.0736𝑋

Hence X = £119.99, say £120.

Note At 4%, i(6) = 0.039 349.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

~ 109 ~

4.8 Let the present value of this annuity be A. We have

𝐴 = 1 + 4𝑣 + 9𝑣2 + ⋯+ 361𝑣18 + 400𝑣19

So

𝑣𝐴 = 𝑣 + 4𝑣2 + 9𝑣3 + ⋯+ 361𝑣19 + 400𝑣20

And

𝐴 − 𝑣𝐴 = 1 + 3𝑣 + 5𝑣2 + ⋯+ 39𝑣19 − 400𝑣20

= 1 + 𝑣 + 𝑣2 + ⋯+ 𝑣19 + 2(𝑣 + 2𝑣2 + 3𝑣3 + ⋯+ 19𝑣19)

−400𝑣20

= 1 + 𝑎19| + 2(𝐼𝑎)19| − 400𝑣20

Hence

𝐴 = 1+𝑎19|+2(𝐼𝑎)19|−400𝑣

20

1−𝑣 at 5% = £1452.26

(b) The present value of the annuity is [d/d(4)] A at 5%, i.e. £1426.06.

(c) The present value of the annuity is [d/i(2)] A at 5%, i.e. £1400.18.

(d) The present value of the annuity is (d/δ) A at 5%, i.e. £1417.40.

4.9 (a) Work in time units of one year. The accumulation is

200��13.5| (4) at 12% = 200 �

(1 + 𝑖)13.5 − 1𝑑(4) � at 12%

(b) Work in time units of one half-year. The accumulation is

100��27| (2) at 6% = £6655.86

(c) Work in time units of one quarter-year. The accumulation is

50��54| at 3% = £6753.58

(d) Work in time units of one month. The accumulation is (see section 4.3)

50𝑠162|

𝑎3| at 1% = £6821.85

4.10 Let X be the amount of the revised annuity, and consider the position at the date of the request. The equation of value is

𝑋(1 + 𝑖)1/4𝑎21.5|(2) = 200𝑣1/4��22| + 320(1 + 𝑖)1/12𝑎

16.25|(4)

~ 110 ~

+ 180𝑎18.75|(12) at 8%

from which we obtain

𝑋 = 6899.8910.5091

= £656.56

4.11 (a) (i) Let X be the monthly annuity payment. Working in time units of one year, we have the equation of value

400��20|(2) = 12𝑋��

15|(12) at 12%

whence X = £361.01, say £361.

(ii) Let Y be the monthly annuity payment. Working in time units of one half-year, we have the equation of value

200��40| = 6𝑌��30|(6) at 6%

(iii) Let Z be the monthly annuity payment. Working in time units of the month, we have

200 �𝑠240|

𝑎6|� = 𝑍��180| at 1%

whence Z = £405.67, say £406.

(b) The monthly annuity payments are now:

(i) 𝑋𝑣5/12 at 12% = £344.36, say £344

(ii) 𝑌𝑣5/6 at 6% = £465,73, say £366

(iii) 𝑍𝑣5 at 1% = £385.98, say £386

4.12 (i) Let X/12 be the monthly repayment. We solve the equation of value

𝑋𝑎25|(12) = 9880 at 7%

To obtain X = 821.76. Hence the monthly repayment is £68.48.

(b) The loan outstanding is 𝑋𝑎34/3|(12) at 7% = £6486.

(с) The loan outstanding just after the repayment on 10 September 1989 is made is 𝑋𝑎

83/6|(12) at 7%.

The loan outstanding just after the repayment on 10 October 1989 is made is 𝑋𝑎

13.75|(12) at 7%.

The capital repaid on 10 October 1989 is thus

~ 111 ~

𝑋(𝑎83/6|(12) − 𝑎

13.75|(12) ) at 7%

= 𝑋(𝑣13.75 − 𝑣83/6

𝑖(2) ) at 7% = £26.86

(d) (i) The capital repayment contained in these 12 instalments is

𝑋(𝑎22/3|(12) − 𝑎

19/3|(12) ) at 7% = £516.20

(ii) The total interest in these 12 instalments is (by (i))

𝑋 − 516.20 = £305.56

(e)The capital and interest contents of each instalment may be found by means of the loan schedule (see section 3.8), using the rate of interest 𝑗 = 𝑖0.07

(12)/12 per month. The capital and interest contents of the tth repayment are thus

9880𝑎300|

𝑣301−𝑡 at rate 𝑗

and

9880𝑎300|

(1 − 𝑣301−𝑡) at rate 𝑗

respectively. Note that j = 0.005 654. We therefore require the smallest t such that

𝑣301−𝑡 >12

(1 − 𝑣301−𝑡) at rate 𝑗

i.e.

(1 + 𝑗)𝑡 >(1 + 𝑗)301

3

i.e.

𝑡 >−log3 + 301log (1 + 𝑗)

log (1 + 𝑗)= 106.15

The required value of t is thus 107. The capital repaid first exceeds one-half of the interest content at the 107th instalment, payable on 10 June 1987. (The capital content of this instalment is £22.94 and the interest content is £45.54.)

4.13 Let X/12 be the original monthly repayment, and let Y/12 be the monthly payment payable if the borrower had elected not to extend the term of the loan. We have

𝑋𝑎20|(12) = 19 750 at 9%

whence X = 2079.12 and X/12 = £173.26.

~ 112 ~

Also, the loan outstanding just after the 87th monthly payment had been made is

𝑋𝑎12.75|(12) at 9% = 16 027.52

and hence

𝑌𝑎12.75|(12) = 16 027.52 at 10%

This gives Y = 2180.52 and Y/12 = £181.71.

The increase in the monthly instalment would thus have been (Y – X)/12 = £8.45.

(b) Let the revised outstanding term of the loan be n months. We find n from the inequalities

2079.12𝑎(𝑛−1)/12|(12) < 16 027.52 < 2079.12𝑎

𝑛/12|(12) at 10%

(Notice that n must be an integer, and the final repayment may be of reduced amount.) By trials, we obtain n = 169, so that the revised outstanding term is 14 years and 1 month. The loan outstanding just after the penultimate instalment is paid is

�16 027.52 − 2079.12𝑎14|(12)� (1 + 𝑖)14 at 10% = 81.13

The final instalment must comprise this sum plus interest on it for one month; the final payment is therefore

81.13(1 + 𝑖)1/12 at 10% = £81.78

Note: an alternative method of finding this reduced final payment is from the equation of value

2079.12𝑎14|(12) + (�inal payment)𝑣169/12 = 16 027.52 at 10%

4.14 (a) Let X be the initial quarterly payment. We have the equation of value

4𝑋𝑎15|(4) + 1605 �𝑎10|

(4) + 16010� 𝑎5|(4) = 11 820 at 12%

This gives X = 389.96.

(b) (i) The initial annual amount of the annuity is 4X, i.e. £1559.84.

The loan outstanding just after payment of the eight instalment (at the end of the second year) is

11 820 (1 + i)2 − 1559.84𝑠2|(4) at 12% = 11 374.85

and, just after twelfth instalment is paid, the loan outstanding is

11 820 (1 + i)3 − 1559.84𝑠3|(4) at 12% = 11 111.45

~ 113 ~

(1)

(2)

(by equation 2) (3)

The capital repaid during the third year of the loan is therefore

11 374.85 − 11 111.45 = £263.40

(ii) In the final five years, it is easier to calculate the outstanding loan by valuing the future annuity instalments than by accumulating the original loan less past instalment of the annuity. Thus we obtain the expressions

1879.84𝑎3|(4) at 12%

1879.84𝑎2|(4) at 12%

for the loan outstanding at the end of the twelfth and thirteenth years respectively (after payment of the annuity instalments due at these times). The capital repaid in the thirteenth year is thus

1879.84 �𝑎3|(4) − 𝑎2|

(4)� at 12% = £1396.82

(c) The loan outstanding just after the 33rd instalment is paid is (on valuing future payments)

1879.84𝑎6.75|(4) − 160𝑎1.75|

(4) at 12% = 8493.09

Let the revised quarterly annuity payment be Y. We have the equation of value

4𝑌𝑎6.75|(4) = 8439.09 at 12%

which gives Y = 456.50

4.15 Let Xt denote the gross annuity payment at time t; let ct denote the capital repayment at time t; and let Lt denote the loan outstanding just after the payment at time t is made. We have the relations

𝑋𝑡 = 0.1𝐿𝑡−1 + 𝑐𝑡 1 ≤ 𝑡 ≤ 10

(where L0 denotes the amount of the original loan), and

(0.7 × 0.1𝐿𝑡−1) + 𝑐𝑡 = 5000 1 ≤ 𝑡 ≤ 10

We also have, for 𝑡 ≥ 1,

𝐿𝑡 = 𝐿𝑡−1 − 𝑐𝑡

= 𝐿𝑡−1 − 5000 + 0.07𝐿𝑡−1

= 1.07𝐿𝑡−1 − 5000

Now this show that

𝐿𝑡 = 1.07𝐿0 − 5000

~ 114 ~

(4)

𝐿2 = 1.072𝐿0 − 5000(1 + 1.07)

= 1.072𝐿0 − 5000𝑠2|0.07

and so on, giving

𝐿𝑡 = 1.07𝑡𝐿0 − 5000𝑠𝑡|0.07 1 ≤ 𝑡 ≤ 10

(This result may be rigorously established from equation 3 by finite induction, or by solving a first-order difference equation.) But 𝐿10 = 0, so

1.0710𝐿0 − 5000𝑠10|0.07 = 0

whence

𝐿0 = 5000𝑎10|0.07 = 35 117.91

Equations 1,2 and 4 now show that for 1 ≤ 𝑡 ≤ 10,

𝑋𝑡 = 0.1𝐿𝑡−1 + (5000 − 0.07𝐿𝑡−1)

= 5000 + 0.03𝐿𝑡−1

= 5000 + 0.03 �(1.07)𝑡−1𝐿0 − 5000 �(1.07)𝑡−1 − 1

0.07��

= 7142.86 − 1089.32(1.07)𝑡−1

Hence the price that the investor should pay to obtain a yield of 8% effective per annum is

�𝑋𝑡𝑣𝑡10

𝑡=1

at 8%

= 7142.86𝑎10|0.08 − (1089.32/1.07)��1.071.08

�𝑡10

𝑡=1

= 7142.86𝑎10|0.08 − 1089.32 �1 − �1.07

1.08�10

1.08 − 1.07�

= £38.253

4.16 (a) The annuity payments are illustrated in the following diagram, in which time is measured in years from 1 May 1986.

The value, at time 0, of the annuity payments is

1000(𝑣1/3 + 1.05𝑣2/3 + ⋯+ 1.0514𝑣15/3)

= 1000𝑣1/3[1 + 1.05𝑣1/3 + (1.051/3)2 + ⋯

~ 115 ~

+(1.05𝑣1/3)14] at 6%

= 1000𝑣1/3 �1 − (1.05𝑣1/3)15

1 − (1.05𝑣1/3)� at 6%

= 1000 1.05151.06−5 − 1

1.05 − 1.061/3

= 18 214.79

Hence the purchase price is

18 214.79𝑣1/2 at 6% = £17 691.77, say £17 692

(b) (i) The loan outstanding just after payment of the sixth instalment is

17 691.77(1.06)5/2 − 1000(1.06)5/3[1 + 1.05𝑣1/3 + ⋯

+(1.05𝑣1/3)5] at 6%

17 691.77(1.06)5/2 − 10001.056 − 1.062

1.05 − 1.061/3

= 13 341.57

The interest content of the seventh instalment is thus

13 341.57[(1.06)1/3 − 1] = £261.67

(ii) We denote that the fifteenth instalments equals

1000(1.05)14 = 1979.93

and this must provide interest on the capital outstanding just after the fourteenth payment is made, L, and interest on this amount. That is,

𝐿 + 𝐿[(1.06)1/3 − 1] = 1979.93

whence

𝐿 =1979.93(1.06)1/3 = 1941.85

and the interest content of the fifteenth instalment is

𝐿�(1.06)1/3 − 1� = £38.08

~ 116 ~

~ 117 ~

Решения задач

~ 118 ~

Глава 5

ДИСКОНТИРОВАННЫЕ ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ

5.1 Чистые денежные потоки

Эта глава в основном имеет дело с некоторыми приложениями теории сложных процентов к финансовой оценке инвестиций и коммерческих проектов. Эти вопросы наряду с актуариями рассматриваются, конечно, и бухгалтерами, экономистами и другими специалистами. Некоторые авторы используют терминологию и символы, которые отличаются от терминологии и символов, используемых актуариями, но в принципе это совершенно безразлично (см., например, ссылки [3], [5], [10], [27], [30], [32], [39]). Предположим, что инвестор (которым может быть частное лицо или корпоративная организация) рассматривает достоинства инвестиционного или торгового проекта. Этот проект обычно будет требовать начальных расходов и, возможно, других расходов в будущем, за которыми последуют доходы, хотя в некоторых случаях структура доходов и расходов более сложная. Денежные потоки, связанные с инвестиционным или торговым проектом, могут быть полностью фиксированы (как в случае ценной бумаги с гарантированными фиксированными процентами, которая подлежит оплате в заданный срок) или же, возможно, они должны быть оценены. Оценка входящих и выходящих денежных потоков, связанных с деловым проектом, обычно требует значительного опыта и рассудительности; должны быть рассмотрены все факторы, имеющие отношение к делу (такие как налогообложение или инвестиционные субсидии). Часто разумно выполнять вычисления более чем на одном множестве предположений, например, на основе «оптимистичного», «среднего» и «пессимистичного» прогнозов соответственно; для работы с такого рода неопределённостью доступны более сложные методы (использующие статистическую теорию). Точная оценка денежных потоков для многих деловых проектов невозможна и, следовательно, чрезмерная точность неуместна во многих вычислениях. Мы напомним из раздела 3.2, что чистый денежный поток tc в момент t (измеренный в подходящих единицах времени) есть

входящий денежный поток в момент выходящий денежный поток в момент . (5.1.1)tc t t= − Если все платежи могут рассматриваться как непрерывные, то чистая интенсивность денежного потока в момент t, ( ),tρ определяется (см. главу 3) как

1 2( ) ( ) ( ), (5.1.2)t t tρ ρ ρ= − где 1( )tρ и 2 ( )tρ обозначают интенсивности входящего и выходящего потоков в момент t соответственно.

~ 119 ~

Пример 5.1.1. Бизнесмен рассматривает определённый проект, который предполагает организацию магазина. Он оценивает, что это предприятие потребует начальных издержек в ££20000 и дальнейших расходов в £10000 через год. Оцениваемый доход будет £3000 в год, выплачиваемых непрерывно на протяжении 10 лет начиная с третьего года, и окончательное поступление £6000, когда проект будет завершён в конце тринадцатого года. Измеряя время годами, опишите чистые денежные потоки, связанные с этим предприятием и проиллюстрируйте ситуацию на диаграмме. Решение. Мы имеем следующие чистые денежные потоки:

0 1 1320000, 10000, 6000, для 3 1( ) 0 330 0 .c c c t tρ= − = − = + = ≤ ≤+ Эти денежные потоки иллюстрирует Рисунок 5.1.1.

( ) 3000 (3 13)t tρ = ≤ ≤

или ( )tc tρ

0 13 13

13 6000c = +

0 20000c = −

1 10000c = −

время (лет)

t

5.2 Чистые современные стоимости и доходности Имея установленные или оценённые чистые денежные потоки исследуемого проекта, инвестор желал бы измерить его выгодность по отношению к другим возможным проектам. В частности, он может пожелать определить, разумно ли занять деньги для того, чтобы финансировать это предприятие. Предположим на мгновение, что инвестор может одолжить или дать взаймы деньги по фиксированной процентной ставке i в единицу времени. Инвестор мог бы накапливать чистые денежные потоки, связанные с этим проектом, на отдельном счёте,

~ 120 ~

где проценты выплачиваются или начисляются по этой фиксированной ставке. К моменту, когда проект окончится (скажем, к моменту T), баланс по этому счёту будет

0(1 ) ( )(1 ) , (5.2.1)

TT t T ttc i t i dtρ− −+ + +∑ ∫

где суммирование проводится по всем t таким, что 0.tc ≠ Современная ценность чистого денежного потока при процентной ставке i называется чистой современной стоимостью инвестиционного или коммерческого проекта при процентной ставке i и обычно обозначается через ( ).NPV i Таким образом,

0( ) (1 ) ( )(1 ) . (5.2.2)

Tt ttNPV i c i t i dtρ− −= + + +∑ ∫

(Если проект продолжается неопределённо долго, то накопление (5.2.1) не определено, но чистая современная стоимость может быть определена посредством уравнения (5.2.2) с T = ∞ ). Если ( ) 0,tρ = мы получаем более простую формулу

( ) , (5.2.3)ttNPV i c v=∑

где 1(1 ) .v i −= + Поскольку уравнение

( ) 0 (5.2.4)NPV i =

является уравнением ценности для проекта в настоящий момент, доходность 0i по этой сделке является решением этого уравнения, при условии, что существует единственное решение. Условия, при которых доходность существует, и численные методы решения уравнения (5.2.4) обсуждались в разделе 3.2. Легко можно показать, что ( )NPV i является гладкой функцией от процентной ставки i и что 0( )NPV i c→ при .i →∞ В экономике и бухгалтерском деле годовую доходность часто называют внутренней ставкой дохода (IRR – internal rate of return) или доходностью к выкупу. Последний термин часто используется, когда имеют дело с ценными бумагами с фиксированными процентами, для которых также рассматривают «текущую» (или «единую») доходность (см. Главу 7). Пример 5.2.1. Найдите функцию чистой современной стоимости NPV(i) и доходность для коммерческого предприятия, описанного в примере 5.1.1. Начертите график NPV(i) для 0 0.05.i≤ ≤ Решение. В силу уравнения (5.2.2),

( )313

1 3( ) 20000 10000 3000 600 при процентной ста0 вке .NPV i v a a v i= − − + − +

График ( )NPV i выглядит так, как показано на Рис. 5.2.1 (для 0 0.05i≤ ≤ ).

Рисунок 5.2.1 NPV для примера 5.2.1

~ 121 ~

Мы видим из графика, что доходность 0i (которая должна существовать, поскольку денежный поток меняет знак только один раз) гораздо больше, чем 2%, и с помощью

интерполяции между процентными ставками 2% и 12 %2

мы получим 0 2.2%i ≈ (более

точное значение есть 2.197%, но эта степень точности обычно не является необходимой). Практическая интерпретация функции чистой современной стоимости ( )NPV i и доходности выглядит следующим образом. Предположим, что инвестор может дать взаймы или занять деньги по фиксированной процентной ставке 1i . Поскольку в силу уравнения (5.2.2) 1( )NPV i является современной стоимостью при процентной ставке 1i чистых денежных потоков, связанных с проектом, мы делаем вывод, что проект будет выгоден, если и только если

1( ) 0. (5.2.5)NPV i >

Также, если проект оканчивается в момент T, то прибыль (или, если она отрицательна, то потери) в этот момент есть (в силу выражения (5.2.1))

1 1( )(1 ) . (5.2.6)TNPV i i+ Теперь предположим, что, как это обычно имеет место на практике, доходность 0i существует и ( )NPV i меняет своё значение с положительного на отрицательное, когда

0.i i= При этих условиях ясно, что проект является выгодным тогда и только тогда, когда

1 0 , (5.2.7)i i<

т.е. доходность превышает процентную ставку, по которой инвестор может занять или дать взаймы деньги. Пример 5.2.2. Предположим, что в примерах 5.1.1 и 5.2.1 бизнесмен может занять или дать взаймы деньги под 2% годовых. Определите, является ли выгодным

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

NPV(i)

i

~ 122 ~

коммерческое предприятие примера 5.2.1, и найдите доход или потери, когда проект оканчивается спустя 13 лет. Решение. Чистый денежный поток меняет знак только один раз, так что доходность 0i существует, и, кроме того, ясно, что ( )NPV i меняет знак с отрицательного на положительный в точке 0.i Поскольку 0 2.2%i ≈ и превышает 1 2%i = , проект является выгодным. В силу выражения (5.2.6) ожидаемый доход через 13 лет есть

13 13(0.02)(1.02) 481(1.02) £622.NPV = =

«Проверка доходности» деятельности по страхованию жизни Если игнорируются случайные флуктуации числа смертей, то чистые денежные потоки для большой группы договоров страхования жизни могут быть оценены на основе различных предположений относительно будущих процентных ставок, расходов и т.д. Предположим, например, что компания заключила ряд десятилетних договоров со следующими оцениваемыми чистыми денежными потоками:

Время t (лет)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Чистый денежный

поток в момент t (£)

2176 2303 2218 2128 2030 1926 1816 1699 1576 1447 −24493

Для 0 9t≤ ≤ положительный чистый денежный поток в момент t представляет собой сумму, на которую доход от премий, подлежащих выплате в момент t, превышает расходы и страховые выплаты, подлежащие оплате в этот момент. Когда t=10, имеется относительно большой отрицательный денежный поток, поскольку компания должна выплатить страховую сумму всем держателям полисов, которые дожили до этого момента. Компания по страхованию жизни может хотеть определить наименьшую годовую процентную ставку, которую она должна заработать для того, чтобы эта группа договоров обеспечивала бы доход через десять лет. Она может быть найдена расчётом внутренней ставки дохода или, что то же самое, нахождением годовой процентной ставки i, которая сделает накопленные средства через десять лет равными нулю. Легко найти, что это значение i есть 0.04. Накопление капитала в течение следующих десяти лет при этой процентной ставке выглядит следующим образом:

Время t (лет) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Накопленный капитал (после

операций в момент t (лет))

£

2176 4566 6967 9373 11778 14176 16559 18921 21253 23551 0

(Читатель должен проверить вышеприведённые данные). Аналогичные вычисления могут быть выполнены, возможно, с помощью компьютера, для того, чтобы определить выгодность этого проекта при разнообразных

~ 123 ~

других предположениях. Более детальное обсуждение этого предмета выходит за пределы плана этой книги.

5.3 Сравнение двух инвестиционных проектов Предположим теперь, что инвестор сравнивает достоинства двух инвестиционных или коммерческих предприятий, которые мы назовем проекты A и B соответственно. Мы предполагаем, что возможности инвестора по получению займов не ограничены. Пусть ( )ANPV i и ( )BNPV i обозначают соответствующие функции чистой современной стоимости, а Ai и Bi – доходности (которые мы предположим существующими). Можно было бы думать, что инвестор всегда должен отбирать проект с наибольшей доходностью, но это не всегда является наилучшей политикой. Лучшим критерием для использования является доход в момент T (дата, когда последний из двух проектов заканчивается) или, что то же самое, чистая современная стоимость, вычисленная при процентной ставке 1i , по которой инвестор может ссужать или занимать деньги. Это так, поскольку A более выгодное предприятие, если

1 1( ) ( ). (5.3.1)A BNPV i NPV i> Тот факт, что A Bi i> может и не влечь, что 1 1( ) ( )A BNPV i NPV i> иллюстрируется на рисунке 5.3.1. Хотя Ai больше, чем Bi , функции ( )NPV i пересекаются в точке i′ . Это влечёт, что 1 1( ) ( )B ANPV i NPV i> для любого 1i i′< , где i′ есть переходная ставка. Может быть даже больше, чем одна точка пересечения, и в этом случае диапазон процентных ставок, для которых проект A выгоднее, чем проект B, является более сложным.

процентная ставка, i

Bi Ai

( )ANPV i

( )BNPV i

i′

~ 124 ~

Пример 5.3.1. Инвестор рассматривает возможность помещения денег в один или оба из следующих займов: Заём A. За цену покупки в £10000 инвестор будет получать £1000 в год, выплачиваемых ежеквартально с запаздыванием на протяжении 15 лет. Заём B. За цену покупки £11000 инвестор будет получать годовой доход £605, выплачиваемых ежегодно с запаздыванием на протяжении 18 лет, и возмещение его расходов в конце этого периода. Инвестор может ссужать или занимать деньги под 4% годовых. Не могли бы вы ему посоветовать, вкладывать ли деньги в какой либо из проектов, и если да, что было бы наиболее выгодным. Решение. Рассмотрим вначале заём A:

15(4)( ) 10000 1000 .ANPV i a= − +

Его доходность находится решением уравнения ( ) 0ANPV i = или (415

) 10a = , что даёт

5.88%Ai ≈ . Для займа B мы имеем:

1818( ) 11000 605 11000BNPV i a v= − + +

и доходность (т.е. решение уравнения ( ) 0ANPV i = ) есть 5.5%Bi = . Процентная ставка, по которой инвестор может ссужать или занимать деньги, есть 4% в год, что меньше, чем как Ai , так и Bi , и поэтому мы сравним (0.04)ANPV и (0.04)BNPV . Теперь

(0.04 £) 1284ANPV = , а (0.04 £) 2089BNPV = , и поэтому это влечёт, что хотя доходность по займу B меньше, чем по займу A, инвестор может извлечь большую выгоду из займа B. Мы должны, следовательно, сказать ему, что вложение в любой заём было бы выгодным, однако, если должен быть выбран только один из них, то заём B даст бóльший доход. Вышеприведённый пример иллюстрирует тот факт, что выбор вложения капитала очень сильно зависит от процентной ставки 1i , по которой инвестор может ссужать или

брать взаймы деньги. Если бы эта процентная ставка была, скажем, 35 %,4

то заём B

приводил бы к потерям, в то время как заём A давал бы доход.

5.4 Различные процентные ставки при одалживании и заимствовании

До сих пор мы предполагали, что инвестор может брать деньги взаймы и давать деньги взаймы в соответствии с одной и той же процентной ставкой 1i . Однако, на практике он будет вынужден платить более высокую процентную ставку (скажем, 1j ) по

~ 125 ~

займам по сравнению со ставкой (скажем, 2j ), которую он получает от инвестиций. Разница 1 2j j− между этими процентными ставками зависит от различных факторов, включая кредитоспособность инвестора и стоимость получения займа. Концепции чистой современной стоимости и доходности, вообще говоря, при этих обстоятельствах больше не имеют значения. Мы должны рассчитывать накопление чистых денежных потоков из исходных принципов с процентной ставкой, зависящей от того, положителен или нет баланс по счёту инвестора. Во многих практических задачах баланс по счёту инвестора (т.е. накопление чистого денежного потока) будет отрицателен вплоть до определённого момента 1t и положителен после этого, исключая, возможно, случай, когда проект заканчивается. Для того, чтобы определить этот момент

1t , мы должны решить одно или больше уравнений, как в следующем примере. Пример 5.4.1. Угольная компания рассматривает проект по открытой добыче угля. Было оценено, что участок открытой добычи будет непрерывно производить 10000 тонн угля в год на протяжении десяти лет, и после этого периода будут дополнительные расходы величиной £300000 для восстановления земельного участка. Цена покупки права на добычу угля будет £1000000, а работа шахты будет стоить £200000 в год, выплачиваемых непрерывно. У компании нет достаточных средств для того, чтобы финансировать это предприятие, но она может занять сумму для начальных расходов в размере £1000000 в банке, который назначит 12% в год; этот заём не имеет фиксированной длительности и может быть уменьшен с помощью уплаты долга в любой момент. Когда угольная компания имеет денежные средства для инвестирования, она будет получать 10% годовых по своим депозитам. В предположении, что цена угля такова, что этот проект лишь покроет издержки, определите (с точностью до месяца) сколько времени потребуется угольной компании для того, чтобы оплатить свою банковскую задолженность и, следовательно, подсчитайте эту минимальную цену угля. Решение. Пусть P будет той ценой за тонну угля, которая лишь покроет издержки. Читый денежный поток проекта по открытой добыче угля этой угольной компании выглядит следующим образом:

0

10

1000000,300000,

( ) 10000 200000 для 0 10.

cc

t k P tρ

= −= −

= = − ≤ ≤

Поскольку процентные ставки по займам и депозитам (12% и 10% годовых соответственно) различны, мы должны найти момент 1t , когда угольная компания оплатит свою банковскую задолженность. Это произойдёт когда

1

11000000(1.12) при ставке 12%t

t ks=

или

11000000 12%. при ставке ( ) 1tka=

~ 126 ~

Начиная с момента 1t , чистый денежный поток может накапливаться по ставке 10% годовых и, поскольку баланс в конце проекта должен быть нулевым, мы имеем:

110 300000 0 при ставке 10%. (2)tks−

− =

Мы теперь решим уравнения (1) и (2) относительно двух неизвестных 1t и k (из которых мы можем найти P). Исключая k из этих уравнений, мы получаем:

1 10.12 10 0.100.3 t ta s−

= .

Это уравнение должно быть решено численно с тем, чтобы найти 1t . Подбором и интерполяцией мы получим 1 8.481t = (с тремя знаками после запятой) и, следовательно, k=183515. Значит,

200000 £38.3510000

kP += =

является минимальной ценой за тонну угля, которая могла бы сделать этот проект выгодным. В некоторых случаях инвестор должен финансировать свой инвестиционный или коммерческий проект посредством займа фиксированной длительности без возможности более раннего возврата долга. При этих обстоятельствах он не может использовать положительный денежный поток для постепенного возврата займа, а должен накапливать свои деньги в соответствии с процентной ставкой, принятой, когда он дает деньги взаймы, т.е. 2j . Рассмотрим теперь ещё раз пример 5.4.1 при этих условиях. Пример 5.4.2. Рассмотрим опять проект открытой добычи угля из примера 5.4.1, но теперь предположим, что банковский заём в £1000000 имеет фиксированную длительность десять лет без возможности более ранней оплаты и что проценты платятся непрерывно. Какова минимальная цена за тонну угля, которая бы сделала этот проект жизнеспособным? Решение. Пусть P′ будет той ценой за тонну угля при этих условиях, которая лишь покроет издержки. Отметим, что годовая интенсивность выплаты процентов по займу есть 0.121000000 ,δ т.е. 113329. Следовательно, после уплаты процентов по займу угольная компания будет иметь непрерывный входящий денежный поток с интенсивностью

10000 200000 113329 10000 313329 (1)k P P′ ′ ′= − − = −

в год на протяжении десяти лет, после чего она должна вернуть банковский заём и стоимость восстановления земельного участка. Поэтому, накапливая этот входящий денежный поток по ставке 10% годовых, мы должны иметь

10 1 300 000 при ставке 10%,k s′ ⋅ =

откуда мы получим 77744k′ = и (из уравнения (1)) 39.11.P′ = Значит, минимальная цена за тонну угля есть £39.11. Из общих соображений ясно, что новые условия банковского займа (т.е. то, что он не может быть возвращён раньше) невыгодны для угольной компании, поскольку она должна накапливать деньги по более низкой процентной ставке, которая применяется,

~ 127 ~

если компания сама даёт деньги в долг, а не оплачивать банковскую задолженность (по которой применяется процентная ставка 12% в год). Во многих практических задачах чистый денежный поток меняет знак только один раз, с отрицательного на положительный. При этих обстоятельствах баланс по счёту инвестора изменится с отрицательного на положительный в единственный момент времени 1t или же он всегда будет отрицательным; в этом случае проект не является жизнеспособным. Если этот момент 1t существует, его называют дисконтированный период возврата (DPP – discounted payback period). Это наименьшее значение t такое, что

( ) 0A t ≥ , где

1 10( ) (1 ) ( )(1 ) . (5.4.1)

tt s t ss

s tA t c j s j dsρ− −

≤

= + + +∑ ∫

Отметим, что 1t не зависит от 2j , а зависит только от 1j , процентной ставки, применимой к займам инвестора. Предположим, что проект оканчивается в момент T. Если A(T)<0 (или, что то же самое, 1( ) 0NPV j < ) проект не имеет дисконтированного периода возврата и не является прибыльным. Если проект жизнеспособен (т.е. имеет дисконтированный период возврата 1t ), то накопленный доход, когда проект окончится в момент T, есть

1

11

1 2 2 2( )(1 ) (1 ) ( )(1 ) . (5.4.2)TT t T t T t

t tt t

P A t j c j t j dtρ− − −

>

= + + + + +∑ ∫

Это следует из того, что чистый денежный поток накапливается по ставке 2j после того, как истекает дисконтированный период возврата. Если в формуле (5.4.1) проценты игнорируются (т.е. если мы положим 1 0j = ), то получившийся период называется периодом возврата. Однако, как показано в примере 5.4.3, его использование вместо дисконтированного периода возврата часто приводит к ошибочным результатам и, следовательно, не должно рекомендоваться. Дисконтированный период возврата часто используется, когда рассматривается одиночное вложение средств C в обмен на серию платежей, каждый величиной R, выплачиваемых ежегодно с запаздыванием на протяжении n лет. Дисконтированный период возврата 1t , ясное дело, является наименьшим целым числом t, таким, что

*( ) 0A t ≥ , где

1 1*( ) (1 ) при ставке , (5.4.3)ttA t C j Rs j= − + +

т.е. наименьшее целое t такое, что

1. при ставке (5.4.4) tRa C j≥

Следовательно, проект является жизнеспособным, если 1t n≤ , и в этом случае накопленный доход после n лет, очевидно, есть

1

11 2 2*( )(1 ) при ставке . (5.4.5)n t

n tP A t j Rs j−−

= + +

Пример 5.4.3. Инвестирование £100000 произведёт ренту с выплатой £10500 ежегодно с запаздыванием на протяжении 25 лет. Найдите дисконтированный период возврата, когда процентная ставка по деньгам, взятым в долг, есть 9% годовых. Найдите

~ 128 ~

также накопленный доход через 25 лет, если деньги могут инвестироваться под 7% годовых. Решение. В силу условия (5.4.4) дисконтированный период возврата – это наименьшее целое t такое, что

10500 100000 при ставке 9%.ta ≥

Из таблиц сложных процентов мы видим, что дисконтированный период возврата равен 23 года. Накопленный доход после 25 лет есть (из уравнений (5.4.3) и (5.4.5))

23 223 0.09 2 0.07100000(1.09) 10500 (1.07) 10500 26656.P s s = − + + =

Замечание. Если проценты игнорируются, период возврата (подсчитанный из формулы (5.4.3) с 1 0j = ) составляет десять лет. Это гораздо меньше, чем истинный дисконтированный период. Подобным же образом, сумма в £(25 10500 100000)× − , т.е. £162500, является гораздо более высокой оценкой окончательного дохода. Если процентная ставка (или интенсивность процентов) по суммам, взятым в долг или отданным в долг, меняется со временем, накопление чистого денежного потока может быть найдено с помощью формул, данных в главе 2, или с помощью методов, которые будут разработаны в главе 6. Определение чистого денежного потока и его накопления в любой будущий момент времени может быть облегчено с помощью компьютера. Во многих вычислениях с помощью компьютера общепринято рассматривать чистый денежный поток и его накопление ежегодно. Результирующий анализ может быть легко понят и интерпретирован людьми, ответственными за принятие решений об инвестировании денег.

5.5 Влияние инфляции Рассмотрим простейшую ситуацию, при которой инвестор может занимать и давать взаймы деньги под один и тот же процент 1i . При определённых экономических условиях инвестор может предположить, что некоторые или все элементы будущих денежных потоков должны принимать во внимание инфляцию (т.е. увеличение цен и зарплат). Степень, с которой каждая из составляющих денежного потока подвержена влиянию инфляции, может быть различна. Например, зарплаты могут возрастать быстрее, чем цены на определённые товары, или наоборот, а некоторые составляющие (такие как доход от собственности, сдаваемой в аренду) могут не возрастать вообще, даже в условиях высокой инфляции. Случай, когда все составляющие денежного потока растут с одинаковой скоростью e за единицу времени, представляет особый интерес. В этом случае мы находим или оцениваем e

tc и ( )e tρ , чистый денежный поток и чистую интенсивность денежного потока, учитывающие увеличение со скоростью e в единицу времени, посредством формул

~ 129 ~

(1 ) (5.5.1)

( ) (1 ) ( ), (5.5.

,

)

2

e tt te t

c e c

t e tρ ρ

= +

= +

где tc и ( )tρ являются оценками чистого денежного потока и чистой интенсивности денежного потока соответственно в момент времени t без какого либо учёта инфляции. Из этого следует, что с учётом инфляции интенсивностью e в единицу времени, чистая современная ценность инвестиционного или делового проекта при процентной ставке i есть

0

0

( ) (1 ) (1 ) ( )(1 ) (1 )

(1 ) ( )(1 ) , (5.5.3)

t t t te t

t tt

NPV i c e i t e i dt

c j t j dt

ρ

ρ

∞− −

∞− −

= + + + + +

= + + +

∑ ∫∑ ∫

где 11 ,1

ije

++ =

+

или

. (5.5.4)1i ej

e−

=+

Если e не очень велико, иногда используют приближение . (5.5.5)j i e≈ −

Комбинируя уравнения (5.5.3) и (5.5.4), мы имеем:

0( ) , (5.5.6)1ei eNPV i NPV

e− = +

где 0NPV – функция чистой современной стоимости без учёта инфляции. Отсюда следует, что при инфляции интенсивностью е в единицу времени доход (или внутренняя ставка доходности) 0

ei проекта такова, что:

00 ,

1

ei e ie−

=+

где 0i – соответствующая доходность, если бы не было никакой инфляции (см. раздел 7.11, где обсуждаются реальные доходности от инвестиций). Это означает, что

0 0 (1 ) , (5.5.7)ei i e e= + + или, если е мало,

0 0 . (5.5.8)ei i e≈ + Это результаты чрезвычайно важны практически, поскольку проекты, которые очевидным образом невыгодны, когда процентные ставки высоки, могут стать высоко прибыльными даже при умеренной инфляции. Однако является истиной то, что во многих рискованных предприятиях положительный денежный поток, произведённый в ранние годы деятельности предприятия, является недостаточным для оплаты банковских процентов, так что приходится прибегать к дополнительным займам (если только инвестор не имеет достаточных собственных капиталов). Само по себе это не подрывает прибыльность проекта, но инвестор вынужден просить согласия своих кредитных институтов перед тем, как дополнительные займы могут быть получены, и это может причинить определённые трудности на практике.

~ 130 ~

Вычисления этого типа лежат в основе закладных схем «с низким стартом», которые обсуждаются в примере 5.5.2. Пример 5.5.1. Фермер-овцевод предполагает увеличить размер своего стада с 3000 до 4500 голов. По его расчётам (которые базируются на ценах 1985 года), это должно дать дополнительную годовую прибыль в размере £1.91 за дополнительную овцу. Первоначальные расходы, связанные с увеличением размера стада, выглядят следующим образом:

Покупная цена 1500 овец 4292 Изгородь 1850 Пересеивание 400 акров 8000 Всего £14142

Кроме того, ежегодная стоимость внесения удобрений составляет £3.27 на один акр, т.е. £1308 в год. Можно предположить, что ограда прослужит двадцать лет, а продажная ценность (через 20 лет) добавочной овцы равна 0. (а) Предполагая, что не будет инфляции и что чистая прибыль за каждый год будет поступать в конце года, найдите внутреннюю ставку доходности для этого проекта. (б) Какая годовая равномерная ставка инфляции сделает проект конкурентоспособным, если фермер может занимать и вкладывать деньги под 10% годовых. Решение. (а) Когда нет инфляции, чистый доход каждый год от проекта есть £(1.91 1500 1308) £1557× − = , так что чистые денежные потоки, связанные с проектом, есть:

0 1 2 2014142, ... 1557.c c c c= − = = = =

Следовательно,

0 20( ) 14142 1557 ,NPV i a= − −

откуда следует, что внутренняя ставка доходности 0 9.07%i ≈ . (б) Теперь предположим, что фермер-овцевод может занимать и давать деньги под фиксированную ставку 10% годовых. Предполагая, что все цены и стоимости увеличиваются со скоростью е, мы получим функцию чистой приведённой ценности

0( )1ei eNPV i NPV

e− = +

и внутренняя ставка доходности за год становится (см. равенство (5.5.7))

0 0.0907(1 ) ,ei e e= + + что больше, чем 0.1, если е>0.0085. Отсюда следует, что если годовая инфляция больше, чем 0.85%, 0

ei будет превосходить 10% и предприятие будет выгодным. Заметим, что в этом примере проценты на начальный заём величиной £14142 будут £1414.20 в первый год. Поскольку это меньше, чем £ 1557(1+e), овцевод не будет должен больше занимать деньги. Это не всегда так, как показывает следующий пример.

~ 131 ~

Пример 5.5.2. Имея в виду высокие процентные ставки в последнее время, строительное общество решило предоставить заёмщикам платёжный план с низким стартом. Должник, который занял начальную сумму 0L , будет платить 1(1 )tP e −+ в конце года t (t=1,...,n), где n – срок займа и е – фиксированная ставка увеличения выплат. Платежи используются для выплаты процентов по ставке i на невыплаченный заём и, если остались деньги, для уменьшение займа. Если проценты на неоплаченный долг превышают годовой взнос, разница прибавляется к невыплаченному капиталу. Строительное общество не делает скидок на расходы или на налоги. (а) Покажите, что если tL обозначает сумму неоплаченного долга непосредственно после взноса, сделанного в момент времени t, то

10 (1 ) (1 ) ,t t

t t jL L i P i a−= + − +

где

.1i ej

e−

=+

Используя это, покажите, что 0(1 ) .

n j

i LPa+

=

(б) При условии, что i=0.12 и e=0.1, найдите для займа величиной £10000, который должен быть погашен через 20 лет, (i) выплату P в конце первого года; (ii) максимальный невыплаченный капитал в течение срока займа и год, когда невыплаченный капитал начнёт уменьшаться. Решение. (а) Невыплаченный заём к концу данного года есть просто накопление (по ставке i) на сумму, которая была дана в долг, уменьшенной на накопление сделанных выплат (см. равенство (3.7.4)). Следовательно,

( 1)1 1

0 01 1

1 ( 1) 10 0

1

1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ,

rt tt r t r t t

tr r

tt t r t t

n jr

iL L i P e i L i P ie

L i P i j L i P i a

− −− − −

= =

− − − −

=

+ = + − + + = + − + +

= + − + + = + − +

∑ ∑

∑

что и требовалось. Так как срок займа – n лет, мы должны иметь 0nL = . Следовательно,

10 (1 ) (1 ) 0,n n

n jL i P i a−+ − + =

и поэтому 0 (1 ) ,

n j

L iPa+

=

что и требовалось. (б) (i) Используя полученные результаты, мы имеем

20

10000 1.12 (где 0.02 /1.1) £660.98.j

P ja×

= = =

(ii) Для того, чтобы определить максимальный неоплаченный заём, мы подсчитаем tL (t=1,2,…,20) с помощью рекуррентного соотношения

~ 132 ~

1 1.12 660.98 1.1 .tt tL L+ = − ×

Так как 0 10000L = , это даёт расписание из таблицы 5.5.1, в которой показана выплата в конце года. Мы видим, что tL достигает максимума величиной £14134 в момент времени 10, и, следовательно, год, когда невыплаченный капитал начинает уменьшаться, это 11-ый год.

Таблица 5.5.1. Расписание выплат Время t (лет)

Выплаты в момент

времени t (£)

Невыплаченный долг после выплаты

(£) 1 660.98 10539.02 2 727.08 11076.63 3 799.78 11606.04 4 879.76 12119.00 5 967.74 12605.55 6 1064.51 13053.70 7 1170.96 13449.18 8 1288.06 13775.02 9 1416.87 14011.16

10 1558.55 14133.95 11 1714.41 14115.61 12 1885.85 13923.64 13 2074.43 13520.04 14 2281.88 12860.57 15 2510.06 11893.77 16 2761.07 10559.96 17 3037.18 8789.98 18 3340.89 6503.88 19 3674.98 3609.36 20 4042.48 0.00

5.6 Доходность фонда Рассмотрим финансовый институт (например, страховую компанию или пенсионный фонд), который имеет фонды стоимостью F(t) в момент t лет ( 1 2t t t≤ ≤ ). Годовой доход, полученный этим финансовым институтом за период с момента 1t до момента 2 ,t может быть найден путём решения уравнения ценности в момент 2t , а именно

22 1 2 2

11 2( )(1 ) (1 ) ( )(1 ) ( ), (5.6.1)

tt t t t t tt t

F t i c i t i dt F tρ− − −+ + + + + =∑ ∫

где tc и ( )tρ обозначают чистый денежный поток и интенсивность чистого денежного потока по отношению к новым деньгам в момент t ( 1 2t t t≤ ≤ ). Мы прежде всего

~ 133 ~

рассмотрим безналоговые фонды, оставив анализ фондов, облагаемых налогом, на потом. Если tc и ( )tρ известны, то уравнение (5.6.1) может быть численно решено обычными методами. Мы будем предполагать до конца этого раздела, что 2 1 1t t= + . (Таким образом, период времени, с которым мы работаем – один год). Во многих практических приложениях единственная доступная информация состоит из значений 1( )F t , 2( )F t и I, дохода от процентов и роста капитала, полученных в течение года. Мы найдем приближённое решение уравнения (5.6.1) в терминах этих величин. Ясно, что

2 1( ) ( ) , (5.6.2)F t F t I N= + +

где N – это новые деньги, полученные в течение года, то есть превышение доходов (исключая доход от процентов и рост капитала) над расходами. Но N также равно общему чистому денежному потоку в течение года, т.е.

2

1

( ) . (5.6.3)t

t tN c t dtρ= +∑ ∫

Если мы предположим, что для 1 2t t t≤ ≤ , 0tc = и ( )tρ ρ= (постоянной), то новые деньги поступают в течение года с постоянной скоростью. Это означает, что N ρ= и по этой причине (из уравнения (5.6.2))

2 1( ) ( ) .F t F t Iρ = − −

Уравнение (5.6.1) теперь принимает вид:

[ ]1 2 1 21 при став( )(1 ) ( ) ( ) ( ) . (5.6.4 )ке F t i F t F t I s F t i+ + − − =

Так как 1 12is ≈ + для малых значений i, мы имеем:

[ ]1 2 1 2( )(1 ) ( ) ( ) 1 ( )2iF t i F t F t I F t + + − − + ≈

и, следовательно,

1 2

2 . (5.6.5)( ) ( )

IiF t F t I

≈+ −

Эта хорошо известная формула была выведена G.F.Hardy в статье, опубликованной в Transactions of the Actuarial Society of Edinburgh, декабрь 1890, и перепечатанной в Transactions of Faculty of Actuaries, том 9, стр.61-2. Читатель должен показать, что формула (5.6.5) является точным равенством, если новые деньги получены равными частями в начале и в конце года. Пример 5.6.1. Общество взаимопомощи, которое освобождено от налогов, имело следующий баланс за 1982 год:

£ £ Фонды на 1.01.1982 501050 Страховые выплаты 31459 Инвестиционный доход 41838 Расходы 5541 Доход от взносов 19250 Фонды на 31.12.1982 525138 562138 562138

Оцените доход за год, полученный обществом на его капитал в 1982 году.

~ 134 ~

Решение. I=41838 (не было никаких потерь или роста капитала) и доходность за год есть

2 41838 0.0850 8.5%.501050 525138 41

или 838

i ×≈ =

+ −

Альтернативный подход к определению доходности фонда, также предложенный G.F.Hardy, состоит в следующем. Пусть ( )tδ обозначает интенсивность процентов на капитал в момент t ( 1 2t t t≤ ≤ , где 2 1 1t t= + ). Используя рассуждения, основанные на переходе к пределу, подобные тем, что были использованы в разделе 2.9, получаем:

2

1

( ) ( ) . (5.6.6)t

tI F t t dtδ= ∫

Средняя интенсивность процентов, полученных фондом за период от 1t до 2t , может быть определена как взвешенное среднее

2

1

2 2

1 1

( ) ( ) (5.6.7)

( ) ( )

t

tt t

t t

F t t dt I

F t dt F t dt

δδ = =

∫∫ ∫

и доход с капитала есть 1. (5.6.8)i eδ= −

Теперь заметим, что для малых δ

1 ,1 ( / 2)

eδ δδ

− ≈−

(что может быть показано разложением каждой части в ряд Маклорена), и поэтому

2

1

2 . (5.6.9)1 ( / 2) 2 ( )

t

t

IiF t dt I

δδ

≈ =− −∫

Используя метод трапеций для того, чтобы оценить величину интеграла в последнем уравнении, мы получим, как и в уравнении (5.6.5),

1 2

2 .( ) ( )

IiF t F t I

≈+ −

Более точное значение δ , и, следовательно, i, может быть получено, если больше известно относительно F(t). Например, если F(t) известна для 1t t= , 1 1/ 2t + и 2 1( 1)t t= + ,

то мы можем оценить 2

1

( )t

tF t dt∫ по формуле Симпсона и получить из уравнения (5.6.7),

что

1 21 2

6 ,( ) 4 ( )

2

It tF t F F t

δ ≈+ + +

откуда i может быть найдено как 1eδ − . Если величина капитала F(t) имеет большие разрывы, то предпочтительнее разбить диапазон интегрирования F(t) на отрезки, перед тем как применять формулы для приближённого интегрирования. Этот подход иллюстрируется в следующем примере.

~ 135 ~

Пример 5.6.2. Крупный пенсионный фонд имеет следующий баланс за 1980 год.

£ млн. £ млн. Фонд на 1.01.1980 150.8 Страховые выплаты 13.2 Поступление взносов 47.1 Доход от процентов 12.6 Прирост капитала 0 Фонд на 1.01.1981 197.3 210.5 210.5

Фонд не облагается налогом, а расходы по управлению оплачиваются работодателем. Страховые выплаты и доход от взносов были совершенно однородно распределены в течение года, исключая 30 ноября 1980, когда работодатель сделал специальный взнос в фонд величиной £25 миллионов, для того, чтобы обеспечить дополнительные выплаты. Оцените доход за год, полученный пенсионным фондом в 1980 году. Решение. Будем измерять время в годах, начиная с 1 января 1980 года. Применение формулы (5.6.5) даёт

2 12.6 7.51%.150.8 197.3 12.6

i ×≈ =

+ −

Эта формула предполагает, что F(t) растёт абсолютно гладко для 0 1t≤ ≤ . Но здесь это неверно; имеется большое вливание в момент 11/12t = . Более точный ответ может быть получен путём деления отрезка [0,1] на две части. Для того чтобы сделать это, мы предположим, что F(t) линейна (т.е. имеет постоянную производную), кроме скачка в момент t=11/12. Рост F(t) проиллюстрирован на рисунке 5.6.1.

время t(лет)1

150.8

( )F t

0

25

197.3

1112

Линейная интерполяция между F(0) и (1) 25F − показывает, что F(11/12)=170.51 (перед поступлением специального платежа) и, следовательно,

~ 136 ~

1 11/12 1

0 0 11/12

11 150.8 170.51 1 195.51 197.3( ) ( ) ( ) 163.6.12 2 12 2

F t dt F t dt F t dt + + = + ≈ + = ∫ ∫ ∫

Значит, 12.6 /163.6 0.07702δ ≈ = и 1 0.0801i eδ= − ≈ . Оцениваемая годовая доходность, таким образом, есть 8.01%. Теперь рассмотрим ситуацию с фондом, который обязан платить налоги. Если налогом облагается только доход и/или рост капитала, возможно, было бы желательно исключить налоговые выплаты из денежного потока, для того, чтобы рассматривать I как доход от процентов и роста капитала за вычетом налогов и действовать в соответствии с рассмотренной выше схемой. Доход, полученный таким образом, обычно называют чистым доходом. Если, однако, налогообложение базируется на других показателях (например, прибыль или доход за вычетом издержек), то возможно лучше рассматривать уплату налогов как расходы. Доход, полученный таким образом, называется брутто-доходом. Ввиду очень сложной налоговой ситуации, страховые фонды Великобритании обычно подсчитывают брутто-доходы. Может быть использована и слегка отличная формула, в зависимости от того, предполагается ли что налоги выплачиваются: (а) в конце года или (б) равномерно в течение года. Пусть I будет брутто-доход от процентов и роста капитала, полученный в течение года, а T – уплаченный налог. В случае (а), F(t) резко уменьшается на величину T в конце года, так что

2

1

1 2( ) [ ( ) ]( ) .2

t

t

F t F t TF t dt + +≈∫

Формула (5.6.9) тогда даёт

1 2

2 , (5.6.10)( ) ( )

IiF t F t I

≈′+ −

где .I I T′ = − С другой стороны, если мы имеем дело со случаем (б), то 2

1

1 2( ) ( )( )2

t

t

F t F tF t dt +≈∫

и формула (5.6.9) даёт

1 2

2 . (5.6.11)( ) ( )

IiF t F t I

≈+ −

Использование формулы (5.6.10) или (5.6.11) для вычисления брутто-дохода на практике приводит к незначительной разнице. Это иллюстрирует следующий пример. Пример 5.6.3. Страховая компания имеет следующий баланс за 1981 год:

£ (млн.) £ (млн.) Фонд на 1.01.1981 100 Страховые выплаты 8 Доход от взносов 15 Расходы 2 Доход от процентов 6 Налоги 1 Рост капитала 3 Фонд на 31.12.1981 113 124 124

Оцените брутто-доходность денежного фонда компании за 1981 год.

~ 137 ~

Решение. Измеряя время в годах, начиная с 1 января 1981 года, мы имеем:

F(0)=100, F(1)=113, I=6+3=9, T=1. Отсюда, по формуле (5.6.10),

2 9 0.0878 8.78%,100 113 8

=i ×≈ ≈

+ −

а по формуле (5.6.11), 2 9 0.0882 8.82%.

100 113 9i ×≈ ≈ =

+ −

Замечание. Размер любого роста капитала или его потери, отражённый в счетах, может зависеть от практики учета, применяемой в финансовом институте. Глубже в этот предмет мы здесь углубляться не будем.

5.7 Измерение эффективности инвестиций Очень часто на практике желают измерить эффективность инвестиций данного фонда (например, пенсионного фонда или фонда по страхованию жизни) за период в несколько лет. Предположим, что рассматриваемый период продолжается от момента 0t до момента nt (где время измеряется годами). Предположим, далее, что

0 1 2 ,nt t t t< < <…<

так что полный период 0[ , ]nt t может быть разделён на n определённых подинтервалов

0 1[ , ]t t , 1 2[ , ]t t ,..., 1[ , ]n nt t− . (На практике эти подинтервалы часто имеют длину один год, но это не всегда так.) Используя методы раздела 5.6, мы можем подсчитать годовую доходность, полученную фондом на каждом из этих подинтервалов. Для r=1,2,...,n, пусть ri обозначает годовой доход на капитал за период 1[ , ]r rt t− . Рассмотрим, теперь инвестицию суммы 1 в момент 0t . Если, для r=1,2,...,n, это капиталовложение принесло доход по годовой эффективной процентной ставке ri за период 1[ , ]r rt t− , то накопленная величина этого капиталовложения в момент t будет

1 0 12 11 2(1 ) (1 ) (1 ) .n nt t t tt t

ni i i −− −−+ + … + Постоянная эффективная годовая процентная ставка, дающая то же накопление за период от 0t до nt , есть i, где

0 1 0 12 11 2(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ,n n nt t t t t tt t

ni i i i −− − −−+ = + + … +

откуда следует, что 1 0 1 02 1 1/( )

1 2[(1 ) (1 ) (1 ) ] 1. (5.7.1)n n nt t t t t tt tni i i i −− − −−= + + … + −

Это значение i общеизвестно как годовая связанная внутренняя ставка доходности фонда за период от 0t до nt (относительно подразбиений, определяемых промежуточными моментами 21 1, , , ntt t − ). В очевидном смысле годовая связанная

~ 138 ~

внутренняя ставка доходности – это среднее значение доходностей, получаемых на каждом из подинтервалов. Заметим, однако, что это среднее не принимает во внимание изменения размеров фонда от периода к периоду. Оно также зависит от конкретного разбиения всего периода на конкретные подинтервалы. Для того чтобы учесть изменение размера фонда с течением времени, мы можем вычислять годовую доходность на капитал за весь период от 0t до nt , используя уравнение ценности (5.6.1). Этот доход обычно называют годовой взвешенной по деньгам ставкой доходности на капитал за период. Она не зависит от конкретного разбиения периода на подинтервалы и обычно даёт больший вес тем доходностям, которые соответствуют моментам с наибольшим размером фонда. Третий индекс, часто используется в практике – это годовая взвешенная по времени ставка доходности за данный период. Годовая взвешенная по времени ставка доходности не зависит от конкретного разбиения периода, но требует, чтобы были известны точные времена всех денежных поступлений и выплат. Она также требует чётко разделять новые деньги, поступающие в фонд, и доходы (и рост капитала, если он имеется), полученные за счёт предыдущих инвестиций. Пусть данным периодом будет

0[ , ];nt t предположим, что поступления и выплаты средств происходят в моменты

1 2 1, , , nt t t −… , где 0 1 nt t t< …< . Возможен также денежный поток в моменты 0t и nt . Для

0 r n≤ ≤ , пусть rV обозначает величину фонда в момент rt , после выплаты всех процентов и роста капитала, происшедших вплоть и включая момент rt , но до поступления в фонд новых инвестиций в этот момент и до изъятия любых средств из фонда в момент rt . Пусть rc (0 )r n≤ < обозначает чистый объём поступлений новых денег в фонд в момент rt . (Следовательно, rc – это сумма новых инвестиций в фонд за вычетом объёма средств, изъятых из фонда в момент rt .) Для 0 r n≤ < определим

. (5.7.2)rr

r r

VRV c

=+

Таким образом, rR является коэффициентом накопления для фонда за интервал 1[ , ]r rt t + . Пусть

0 1 2 1 (5.7.3)nR R R R R −= … и определим i из уравнения

0(1 ) ,nt ti R−+ =

т.е. 01/( ) 1. (5.7.4)nt ti R −= −

Это значение i и есть годовая взвешенная по времени ставка доходности за период 0[ , ].nt t В некоторых случаях связанная внутренняя ставка доходности (относительно конкретного разбиения), взвешенная по деньгам ставка доходности и взвешенная по времени ставка дохода не очень сильно отличаются. Однако во многих ситуациях (особенно если величина фонда сильно изменяется за рассматриваемый период) эти ставки доходности могут значительно различаться.

~ 139 ~

Паевые фонды Паевые фонды сейчас широко применяются на практике. В описании таких фондов мы будем первоначально игнорировать затраты (такие как административные расходы) и налоги, хотя на практике эти факторы надо надлежащим образом учитывать. Предположим, что в момент 0t ряд лиц вносит в фонд различные суммы на общую сумму 0£ ( )N t . Эти деньги сразу вкладываются в ценные бумаги (обычные акции, долговые обязательства, депозиты и т.п.). В момент 0t стоимость инвестированных средств равна 0 0£ ( ) £ ( )V t N t= . Можно считать, что фонд состоит из 0( )N t паёв, каждая стоимостью в 0£ ( ) £1u t = . Число паёв, которым владеет подписчик, равно размеру его вклада. Через некоторое время, скажем в момент 1t , стоимость этих инвестированных активов (включая любые доходы и рост капитала, которые были получены с момента 0t ) равна 1£ ( )V t . Если эта сумма делится на 0( )N t паёв, то стоимость каждого пая в момент

1t может быть подсчитана как

11

0

( )( ) .( )

V tu tN t

=

Теперь предположим, что в этот момент 1t один из первоначальных пайщиков, который владеет n паями, желает изъять свой вклад. Доля общего фонда, которой владеет

этот инвестор, равна 0( )

nN t

, и поэтому стоимость его доли в момент 1t равна

1 10

( ) ( ).( )n V t nu t

N t=

Если он «погасит» свои n паёв, то он получит сумму 1( )nu t (фонд должен реализовать достаточную часть своих инвестиций по их рыночной стоимости, чтобы выплатить эту сумму, если только не будут найдены новые пайщики). Теперь имеется меньше «действующих» паёв, их новое число будет

1 0( ) ( ) .N t N t n= − Денежная стоимость фонда после погашения n паёв составит

[ ] 11 1 0 1 1

0 0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

V tnV t V t N t n N t u tN t n t

− = − =

Предположим также, что в момент 1t другой инвестор желает внести дополнительный вклад в фонд, и что сумма, которую он может внести равна £X . Для того, чтобы сохранить стоимость пая в размере 1£ ( )u t , удобно создать и выпустить для этого инвестора ещё m паёв, где

1

.( )Xm

u t=

~ 140 ~

Эти новые деньги, конечно, немедленно инвестируются или, возможно, используются на оплату тем, кто отзывает свои паи. После погашения паёв и выпуска новых паёв для нового пайщика, число действующих паёв составит

1 0( ) ( )N t m N t n m+ = − + и общая стоимость фонда есть

11 1 0

0 0

0 1 1

0 1

( )( ) ( ) [ ( ) ]( ) ( )

[ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] ( ).

V tnV t V t X N t n XN t N t

N t n u t mu tN t n m u t

− + = − +

= − += − +

Указанные замечания легко распространяются на дальнейшие погашения и покупки паёв в последующие моменты. Допустим, что сделки должны совершаться в момент t. Пусть

( )V t− и ( )N t− обозначают общую рыночную стоимость фонда и общее число действующих паёв, соответственно, непосредственно перед началом сделок в момент t. Поэтому, стоимость пая в момент t равна ( ) ( ) / ( )u t V t N t− −= . Пусть ( )V t+ и ( )N t+ обозначают общую рыночную стоимость фонда и общее число действующих паёв непосредственно после завершения операций в момент t. Пусть

( ) ( ) ( ).m t N t N t+ −= − Следовательно, m(t) – это чистое число паёв, созданных в момент t (т.е. число созданных паёв минус число погашенных паёв). Заметим, что чистое увеличение размера фонда в результате действий в момент t равно

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ).V t V t N t u t N t u t N t N t u t m t u t+ − + − + −− = − = − = На практике менеджеры доверительных паевых фондов и сходных с ними паевых фондов вычисляют цену пая не чаще одного раза за рабочий день или, в некоторых случаях, только еженедельно или даже ежемесячно, разрешая покупать или продавать паи только в «подписные дни» (дни, когда вычисляется цена пая). Многие фонды накапливают доход и прибавление капитала, полученные от инвестиций, на счёте и распределяют доход (пропорционально числу паёв) каждые шесть месяцев или около того. В такие дни цена пая снижается на величину, равную той сумме, которую выдают на пай. Другие фонды автоматически реинвестируют доход и ничего не распределяют среди пайщиков. Эти два типа фондов обычно называют распределительными фондами и накопительными соответственно. Некоторые фонды имеют оба типа паёв и устанавливают две цены пая, которые связаны между собой постоянным коэффициентом пропорциональности между распределительными датами. Коэффициент изменяется надлежащим образом после распределения дохода. На практике в каждом фонде устанавливаются две цены пая. Цена продажи используется, когда инвестор хочет купить паи, а более низкая цена покупки используется, когда инвестор хочет продать свой пай. Разница между этими ценами отражает учет затрат на торговлю и управление. Доход на пай за данный период 0 1( , )t t равен 1 0( ) / ( )u t u t , что также будет доходом фонда в целом, если число паёв не меняется за это время. Взвешенная по времени годовая ставка дохода, i, за ряд последовательных интервалов 1( , )r rt t + , 0,1, , 1r n= … − , внутри каждого из которых число паёв не меняется, ищется из уравнения

~ 141 ~

0 1 2

0 1 1 0

( ) ( )( ) ( )(1 ) . (5.7.5)( ) ( ) ( ) ( )

nt t n n

n

u t u tu t u tiu t u t u t u t

−

−

+ = … =

(В этом последнем уравнении множитель 1( ) / ( )r ru t u t+ соответствует множителю rR в уравнении (5.7.3)). Таким образом, взвешенная по времени годовая ставка дохода на единицу капитала фонда, или на инвестиции пайщика, за любой период может быть подсчитана из цены пая в начале и в конце периода. Взвешенная по деньгам ставка доходности для любого пайщика зависит, конечно, от числа купленных и проданных им паёв за этот период и от моментов, в которые проходили эти операции. Пример 5.7.1. Счета определённого общества взаимопомощи, которое не облагается налогом, показывают следующую информацию

Календарный год

Фонд на 1 января Доход от процентов, полученных за год

1980 86932 7703 1981 91781 8189 1982 96316 8613 1983 100837 9256 1984 105054 9371 1985 109688

Предполагая, что счета не отражают никакого роста или потери капитала и что на протяжении каждого календарного года страховые пособия выплачивались, а новые деньги поступали, с постоянной скоростью, найдите:

(а) связанную годовую внутреннюю ставку доходности за пятилетний период с 1 января 1980 до 1 января 1985 (базируясь на разбиении пятилетия на года)

и (б) годовую взвешенную по деньгам ставку дохода за этот период. Решение. Поскольку для каждого календарного года мы предполагали постоянную скорость выплаты новых денег и страховых пособий, мы можем оценить доходность фонда за каждый год с помощью уравнения (5.6.5). Так, например, годовой доход в 1980 году примерно равен

2 7703 0.09009 9.009%86932 91781 7703

×≈ =

+ −

Пусть N будет чистой годовой интенсивностью поступления новых денег за 1980 год. Тогда, очевидно, 86932+7703+N=91781, откуда следует, что 2854N = − . В общем случае, для 1,2, ,5r = … пусть ri будет годовой доходностью фонда за календарный год (1979+r) и пусть rN будет чистой годовой интенсивностью поступления новых денег, полученных за тот же год. Читатель должен проверить значения в следующей таблице:

~ 142 ~

r

Календарный год

Доход за год в процентах,

100 ri

Чистая годовая интенсивность поступления денег, (£)rN

1 1980 9.009 −2854 2 1981 9.104 −3554 3 1982 9.137 −4092 4 1983 9.414 −5039 5 1984 9.126 −4737

Из уравнения (5.7.1) мы подсчитаем связанную внутреннюю ставку дохода за год как

1/5

1

(1 ) 1 0.09158s

rr

i=

+ − =

∏

или 9.16% за год. Взвешенная по деньгам ставка дохода находится решением уравнения ценности (5.6.1), которое в этом случае есть

5 4 3 2186932(1 ) 2854(1 ) 3654(1 ) 4092(1 ) 5039(1 ) 4737 109688 0.i i i i i s + − + + + + + + + + − =

Это даёт i=0.09150 или 9.15% за год. Можно увидеть, что в этом случае связанная внутренняя и взвешенная по деньгам ставки дохода почти одинаковые. Пример 5.7.2. 15 ноября каждого года с 1980 по 1984 человек инвестирует £1000 в паевой фонд. Доход остается в фонде и идет на увеличение стоимости паёв. Вкладчик продает всю свою долю 15 ноября 1985. Игнорируя затраты и налоги и пользуясь информацией из следующей таблицы, указывающей стоимости паёв, найдите годовую взвешенную по времени ставку дохода на капитал фонда за период с 15 ноября 1980 по 15 ноября 1985. Также найдите взвешенную по деньгам ставку дохода инвестора (предположите, что инвестор может покупать часть единичного пая).

Год 1980 1981 1982 1983 1984 1985 Стоимость пая на 15 ноября (£) 1.90 2.25 2.72 2.68 2.96 3.20

Решение. Измеряя время в годах с 15 ноября 1980, мы определим rU как стоимость пая в момент r. В силу уравнения (5.7.5), годовая взвешенная по времени ставка дохода, i, даётся уравнением

5 5

0

3.20(1 ) ,1.90

UiU

+ = =

откуда вытекает, что i=0.1099 или 10.99%. Следует отметить, что взвешенная по времени ставка дохода зависит только от стоимости пая в начале и в конце пятилетнего периода. Она не зависит от стоимости пая в промежуточные моменты. Для того чтобы найти взвешенную по деньгам ставку дохода, мы должны решить соответствующее уравнение ценности. Заметим, что на сумму £1000, инвестированную в

~ 143 ~

момент r (r=0, 1, 2, 3, 4), купили 1000 / rU паёв. Общее количество купленных паёв было,

следовательно 4

01000 / r

rU

=∑ , и стоимость доли инвестора в момент продажи была

4

50

1000 £6558.01.r r

UU=

=

∑

Уравнение ценности, следовательно, есть

51000 6558.01 при ставке , s i=

откуда следует, что i=0.0918. Взвешенная по деньгам ставка дохода, таким образом, равна 9.18% за год.

~ 144 ~

Задачи 5.1 Компания рассматривает два проекта по инвестированию капитала. Проект A требует немедленного инвестирования £1000000 и будет давать доход £270000 в конце каждых последующих восьми лет. Проект Б предусматривает немедленное инвестирование £200000 и дальнейшее вложение £20000 в конце первых трёх лет, затем компания будет получать £350000 в конце шестого, седьмого и восьмого года. (a) Подсчитайте внутреннюю ставку дохода за год каждого проекта. (б) Найдите современную ценность каждого проекта для эффективной годовой процентной ставки 15%. Объясните коротко ваш ответ. 5.2 Бизнесмен рассматривает два проекта. Каждый проект предусматривает немедленные начальные расходы и дальнейшие издержки в первые несколько лет. Для каждого проекта, возврат денег осуществляется постоянными выплатами, которые производятся ежегодно в течение семи лет. Выплаты производятся спустя 5 лет с настоящего момента. Проекты описаны в следующей таблице:

Проект Первоначальные затраты

Затраты через год

Ежегодный доход

А £160 000 £80 000 £60 000 Б £193 000 £80 000 £70 000

(a) Найти ежегодную внутреннюю ставку дохода для каждого проекта. (б) В качестве альтернативы вхождению в проект Б, бизнесмен может войти в проект А и в тот же момент, когда он производит первоначальное инвестирование в проект А, купить за разовую премию £33000 постоянную ренту, выплаты по которой начнутся спустя 5 лет и будут производиться раз в год на протяжении 7 лет. При условии, что сумма ренты может быть вычислена на основе фиксированной процентной ставки, определите, какой должна быть эта ставка, чтобы эта составная сделка была привлекательнее для бизнесмена, чем проект Б. 5.3 Деловое предприятие требует первоначальной инвестиции в размере £10000 и последующего вложения £3000 через год. Предприятие принесёт £500 через два года, £1000 – через три, £1500 – через четыре года и так далее, финальная прибыль составит £4000 через девять лет. (a) Найти внутреннюю ставку дохода для этого проекта. (б) Инвестор не имеет свободных денег, но может занять их в любое время под фиксированную процентную ставку 5% годовых. Любой заём может быть выплачен целиком или частями по усмотрению заёмщика. Инвестор рассматривает возможность займа для финансирования описанного выше предприятия. Следует ли ему входить в этот проект и если «да», то каков будет его доход через девять лет по завершении сделки?

~ 145 ~

5.4 Вы унаследовали маленький остров, который может быть использован для разведения овец, коз или для ведения лесного хозяйства, и рассчитали, что денежные потоки, связанные с этими тремя проектами выглядят следующим образом: Разведение овец Первоначальные расходы: £20000 Ежегодная прибыль: £1100, выплачиваемых ежегодно с запаздыванием на протяжении 20 лет. Цена продажи спустя 20 лет: £20000. Разведение коз Первоначальные расходы: £20000 Ежегодная прибыль: £900, выплачиваемых ежегодно с запаздыванием на протяжении 20 лет. Цена продажи спустя 20 лет: £25000. Лесное хозяйство Стоимость насаждения: £20000 Цена продажи строевого леса через 20 лет: £57300 (a) Вычислите внутреннюю ставку дохода для каждого из этих проектов с точностью до 0.1%$. (б) Вы не имеете денег ни для одного из этих проектов, но вы можете взять в банке ссуду размером £20000 под 5% годовых, выплачиваемых ежегодно с запаздыванием. Этот заём должен быть выплачен через 20 лет без возможности досрочного погашения. Если вам потребуется дальнейший заём, банк согласен предоставить его вам под такую же процентную ставку при условии, что этот заём будет погашен одновременно с первым. Если после выплаты процентов банку у вас остаются деньги для инвестирования, вы можете вложить их и гарантировать получение 4% годовых. Который из этих трёх проектов принесёт наибольшую прибыль спустя 20 лет? 5.5 Нефтяная компания только что купила вышку для бурения скважин и право на бурение на три года в определённой части Северного моря, потратив на это £2.7 млн. Буровая установка будет работать три года и потребует ежегодных расходов в размере £200000, выплачиваемых в конце каждого года, а в конце третьего года будет продана за £100000. Самое бóльшее одно месторождение нефти может быть открыто на протяжении любого одного года и вероятность открытия месторождения нефти в годах один, два и три равны 0.25, 0.2 и 0.1 соответственно, независимо от результатов в предыдущие годы. Компания предполагает, что добыча нефти из каждого открытого месторождения составит 50000 баррелей в год, начиная с конца года, в который было открыто месторождение. (a) Предполагая, что цена нефти постоянна и составляет £20 за один баррель, найдите эффективную годовую ставку, при которой современная ценность расходов компании равна ожидаемой современной стоимости её доходов от проекта. (б) Предполагая, что первый раз месторождение нефти открыто в третьем году и что цена нефти будет постоянно £17, найдите внутреннюю ставку дохода для проекта с точностью до 0.1%.

~ 146 ~

5.6 Два бизнес проекта, каждый из которых требует для завершения два года, приносят следующую прибыль и требуют следующих расходов: Проект A. Первоначальная прибыль £1000. Расходы спустя год £2000. Прибыль спустя два года £2000. Проект Б. Первоначальные расходы £4000. Прибыль спустя год £7000. Расходы спустя два года £1500. (a) Для каждого проекта найдите процентную ставку, если она существует, при которой современная ценность доходов равна современной ценности затрат. (б) При каких положительных значениях процентной ставки чистая современная стоимость проекта A превышает чистую современную стоимость проекта Б. (в) Инвестор, который не имеет лишних денег, может в любое время занять их под ежегодную фиксированную процентную ставку на любой желаемый срок. Он может также давать деньги в долг их на любой срок под эти же проценты. Какой из этих проектов выгоднее, если ежегодная фиксированная процентная ставка равна: (i) 20%, (ii) 25%? Вычислите накопленную прибыль для каждого проекта в обоих случаях спустя два года. 5.7 (a) В обмен на немедленные расходы в размере £10000 инвестор получит £6000 через год и £6600 через два года. Найдите, с точностью до 0.1%, внутреннюю ставку дохода для этого вклада. (б) Человек, у которого нет лишних денег, может инвестировать в проект, описанный в случае (a), занимая деньги на первоначальные расходы в банке. (i) Если банковский заём выдан под 16% годовых и может быть частично выплачен в любое время, следует ли этому человеку входить в этот проект и, если «да», то что он заработает по завершении проекта? (ii) Предположим, в отличие от предыдущего, что банк требует фиксированного двулетнего срока займа с ежегодной выплатой процентов по ставке 16% годовых с запаздыванием. Если человек сможет зарабатывает 13% годовых на любые свободные деньги, следует ли ему входить в проект и, если «да», то что он заработает по завершении проекта? 5.8 Химическая компания заключила договор на поставку некоторого количества определённого химического соединения на протяжении 7 лет. Компания предполагает, что денежные потоки, связанные с этим проектом, будут следующими: Расходы Первоначальные расходы (стоимость строительства цеха): £500 000, выплачиваются немедленно. Стоимость производства: £400 000, платятся ежегодно в течение 7 лет, первый платёж производится через год.

~ 147 ~

Вывоз отходов и снос цеха: £250 000, выплачиваются ежегодно в течение 3 лет, первый платёж делается спустя 8 лет. Прибыль Продажа химического соединения: £600000, выплачивается ежегодно в течение 7 лет, первая прибыль получена через год. Компания предполагает финансировать этот проект, заняв всю сумму, необходимую для начальных расходов, в банке под 15% годовых. Частичное погашение займа будет разрешено в любой момент и заём будет выплачен равными платежами из прибыли производителя и средств от продажи химического соединения настолько быстро, насколько это возможно. (a) Через сколько лет будет выплачен заём? (б) После погашения займа компания будет накапливать прибыль на депозите в банке, который платит по депозитам 12% годовых. Вывоз отходов и снос цеха будут оплачены с этого счёта. Вычислите предполагаемый баланс по этому депозитному счёту компании после завершения проекта спустя 10 лет. 5.9 (Дисконтированный период возврата) Бизнесмен решил купить недвижимость для последующей сдачи в аренду за £80000 с дополнительной выплатой £5000 для ремонта через год. Прибыль от сдачи в аренду этой недвижимости составит £10000 в год, выплачиваемых непрерывно в течение 20 лет, начиная со 2 года. (a) (i) Предполагая, что предприятие будет финансироваться за счёт банковских займов на основе ежегодной эффективной процентной ставки 7% и что займы могут выплачиваться непрерывно, найдите дисконтированный период возврата (DPP) для этого проекта. (ii) Предполагая далее, что после погашения займа бизнесмен будет вкладывать всю наличную прибыль на счёт, который зарабатывает проценты в соответствии с эффективной годовой ставкой 5%, найдите сумму, накопленную на счёте через 22 года. (б) Предположим, что банковский заём может выплачиваться по частям, но только в конце каждого полного года, проценты должны выплачиваться ежегодно с запаздыванием, и что бизнесмен может продолжать размещать деньги в любой момент на любой срок при эффективной годовой ставке 6%. Найдите: (i) дисконтированный период возврата для проекта и (ii) накопленную сумму на счете бизнесмена через 22 года. 5.10 В обмен на расходы в размере £1000 сейчас и последующие расходы в размере £600 через 4 года, деловое предприятие обеспечит получение £C через год (C>0). (a) Измеряя время в годах, выпишите уравнение

NPV(i)=0 для этой сделки. (б) Полагая 1/2 1/4400(20 / 3) 5 ( 1544.39)α = ≈ , показать, что (i) Если 1600C ≥ , то это уравнение имеет один положительный корень; (ii) Если 1600Cα < < , то это уравнение имеет два положительных корня; (iii) Если C α= , то это уравнение имеет один положительный корень; (iv) Если C α< , то это уравнение не имеет положительных корней; (в) Найти все положительные корни уравнения, когда

~ 148 ~

(i) C=1600; (ii) C=1550; (iii) C α= . 5.11 За промежуток времени от 1 января 1984 до 1 января 1985 цены паёв в двух паевых фондах, «фонде недвижимости» и «фонде акций», принимали значения, приведённые в следующей таблице: Фонд Цена пая (£) в 1984 году 1985 год

1 января 1 апреля 1 июля 1 октября 1 января Недвижимости 1.24 1.31 1.48 1.58 1.64 Акций 1.21 0.92 1.03 1.31 1.55 (а) Найдите взвешенную по времени ставку дохода для каждого фонда за 1984 год. (б) Инвестор покупал паи в фонде недвижимости 1 января, 1 апреля, 1 июля и 1 октября 1984 года и продал их 1 января 1985 года. Найдите его доход по завершении этой операции, если (i) Он купил одно и то же количество паёв в каждую из перечисленных дат; (ii) Он инвестировал одну и ту же сумму денег в каждую из перечисленных дат. (в) Так же, как и в пункте (в), за исключением того, что деньги инвестировались в фонд акций. Прокомментируйте ваши ответы. (Расходы и налоги игнорируйте. Вы должны предположить, что инвестор может покупать дробные доли паёв). 5.12 В некотором фонде накопления доход аккумулируется и используется для увеличения стоимости пая. «Средняя цена» пая на 1 апреля каждого года с 1979 по 1985 приведена в следующей таблице.

Год 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 Средняя цена пая на 1 апреля (£) 1.86 2.11 2.55 2.49 2.88 3.18 3.52

(a) Исходя из приведённых выше цен и игнорируя налогообложение и расходы, найдите: (i) Взвешенную по времени доходность фонда за период с 1 апреля 1979 по 1 апреля 1985. (ii) Доход, полученный инвестором, который покупал по 200 паёв 1 апреля каждого года с 1979 по 1984 включительно и который продал свою долю 1 апреля 1985. (iii) Доход, полученный человеком, который инвестировал в фонд по £500 1 апреля каждого года с 1979 по 1984 включительно и который продал свою долю менеджерам фонда 1 апреля 1985. (Вы должны предположить, что инвесторы могут приобретать дробные доли). (б) Предположим, что для покрытия расходов менеджеры фонда продают паи по цене, превышающей на 2% публикуемую среднюю цену, а выкупают паи по цене, на 2% ниже публикуемой средней цены. Исходя из этого пересмотрите свои ответы на вопросы (ii) и (iii) пункта (a).

~ 149 ~

Решения задач

5.1 (а) Проект A. Внутренняя ставка дохода i является решением уравнения 8

1 000 000 270 000 0 при ставке ,a i− + = т.е. 8

по ставке =3.7037,a i что даёт 0.2120i = или 21.20%. Проект Б. Внутренняя ставка дохода i является решением уравнения 5|3 3

1 200 000 20 000 +1 350 000 0 при ставке ,a a i− − = т.е. 8

по ставке =3.7037,a i что даёт 0.1854i = или 18.54%. (б) Мы имеем (в обозначениях Раздела 5.3):

8

53 3

(0.15) 1000 1000 270 при ставке 15%

211 577,

(0.15) 1000 1000 20 1350 при ставке 15%

286

£

£ 814.

A

Б

NPV a

NPV a a

= − + =

= − − + =

Замечание. Проект А жизнеспособен, когда процент, под который можно занимать деньги, не превосходит 21.2% годовых, а Проект Б жизнеспособен только для процентных ставкок, не превышающих 21.2% годовых. Однако, при 15% годовых Проект Б имеет бóльшую чистую текущую стоимость: графики функций ( )ANPV i и ( )БNPV i должны выглядеть как показано на Рисунке S.5.1.

( )БNPV i

0.10 0.200.15 ( )ANPV i

5.2 (a) Проект А. Внутренняя ставка дохода i является решением уравнения ( )11 4

160 80 60 0 при ставке ,v a a i− − + − = где мы берём £1000 в качестве единицы измерения денежных сумм. Это даёт 0.0772i = или 7.72%. Проект Б. Внутренняя ставка дохода i является решением уравнения ( )11 4

193 80 70 0 при ставке ,v a a i− − + − =

~ 150 ~

где мы опять берём £1000 в качестве единицы измерения денежных сумм. Это даёт0.0804i = или 8.04%.

(б) Чтобы составная сделка была для бизнесмена привлекательнее, чем проект Б, за сумму £33000 он должен получать по меньшей мере £10000 в год на протяжении 7 лет, начиная с момента 5 (лет). Минимальная годовая процентная ставка i должна, следовательно, удовлетворять условию ( )11 4

33000 10000 0 при ставке ,a a i− + − = т.е.

11 43.3 при ставке .a a i− =

Это даёт 0.1011i = или 10.11%.

5.3 (a) Принимая £1000 в качестве денежной единицы, мы имеем

2 3 4 91 2 3 810 3 0 при ставке ,2 2 2 2

v v v v v i − − + + + + + =

где i – внутрення ставка дохода. Это можно переписать как

( )8

110 3 0 при ставке .2

v v Ia i− − + =

Отсюда, 0.0527i = или 5.27%. (б) Инвестору следует входить в проект, т.к. внутренняя ставка дохода превышает процентную ставку, которую он должен платить на заёмные средства. Доход через девять лет находится из соображения, что банковский счёт инвестора непосредственно перед получением последнего дохода (но после выплаты процентов по займу) есть ( )9 8 8

7 0.0510000 1.05 3000 1.05 500 1.05 3680,Ia− ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = −

так что выплата последнего дохода (в размере £4000) погасит заём и оставит доход в размере £320.

5.4 (а) Разведение овец. Внутренняя ставка дохода i является решением уравнения стоимости 20

2020000 1100 20000 ,a v= +

что даёт 5.5%i = (ровно). Это также очевидно из того факта, что дохода достаточно, чтобы выплачивать проценты на начальную стоимость по ставке 5.5% годовых, а капитал выплачивается в конце 20-летнего периода. Разведение коз. Внутренняя ставка дохода i находится решением уравнения 20

2020000 900 25000 , при ставке a v i= + ,

что даёт 5.24%i = . Лесное хозяйство. Внутренняя ставка дохода i находится решением уравнения 2020 000(1 ) 57 300i+ = , что даёт 5.40%i = . (б) Мы вычислим прибыль от каждого из этих трёх проектов через 20 лет: Разведение овец. «Избыточный» доход составляет £100 в год и потому прибыль равна 20

100 при ставке 4% £2978.s =

Разведение коз. На протяжении 20 лет в конце каждого года необходимо брать в долг дополнительные £100, причём эти долги растут на 5% в год. Общая задолженность в момент 20 (лет), следовательно, равна

~ 151 ~

2020 000 100 при ставке 5 23 07.% 3s+ =

Значит, прибыль для инвестора в конце проекта равна 25 000 23 307 1 .£ 693− = Лесное хозяйство. Исходный долг величиной £20000 по прошествии 20 лет вырастет до 2020000 1.05 53066⋅ = ; значит, прибыль равна 57 300 53 0 £466 .234− = Таким образом, наибольшая прибыль получается от лесного хозяйства. 5.5 Давайте примем £1 миллион в качестве денежной единицы и возьмём i в качестве процентной ставки. (a) Текущая стоимость расходов есть 3

2.7 0.2 при ставке a i+ . Ожидаемое значение текущего значения дохода есть ( )3 2 3

100.1 0.25 0.2 0.1 при ставке v a v v v i+ + + ,

где мы умножили значения дохода от открытия месторождения в 1, 2 и 3 году соответственно на вероятность открытия месторождения нефти в этот год. Годовая процентная ставка, при которой текущее значение расходов компании равно ожидаемому значению текущего значения её дохода, является, таким образом, решением уравнения ( )3 2 3

3 102.7 0.2 0.1 0.25 0.2 0.1 при ставке a v a v v v i+ = + + + .

Это даёт 9.33%i = . (б) При этих предположениях текущая стоимость дохода компании есть 3 3

100.1 0.85 .v v a+

Поэтому эффективная годовая ставка дохода i находится решением уравнения 3 3

3 102.7 0.2 0.1 0.85 при ставке a v v a i+ = + ,

что даёт 14.55%i = .

~ 152 ~

Глава 6

ПОЛИСЫ НАКОПЛЕНИЯ КАПИТАЛА

6.1 Введение и расчёты премии

Полис накопления капитала – это контракт, который, в обмен на единичный платёж или на серию платежей установленного размера, обеспечивает выплату определённой суммы денег в конце фиксированного промежутка времени. Платежи, производимые владельцем полиса, известны как премии, а сумма, выплачиваемая в конце этого фиксированного периода, называется страховой суммой. День, в который выплачивается страховая сумма, называется сроком платежа. (Одно время такие полисы были довольно распространены, но сейчас они являются редкими в Соединённом Королевстве). Тем не менее, изучение этих полисов является полезным введением в некоторые концепции полисов страхования жизни. Премии, уплаченные страхователем, инвестируются страховой компанией с тем, чтобы на дату погашения произвести страховую сумму. При расчёте премий, которые должны быть назначены, компания должна (а) сделать соответствующие предположения относительно процентной ставки (или ставок) (с учётом налогов), под которые она сможет инвестировать премии, получаемые на протяжении всего срока действия договора и (б) надлежащим образом принять в расчёт расходы, которые по её ожиданиям, её придётся нести в связи с полисом. Эти два требования, очевидно, имеют первостепенную важность. Например, если срок договора большой, а процентные ставки относительно высоки в момент заключения договора, для компании будет разумно предположить, что на протяжении срока действия договора произойдёт падение процентных ставок. В разделах 6.5-6.7 мы обсуждаем три возможных способа, как можно учесть изменения процентной ставки на протяжении срока договора. Даже если изменение процентных ставок не ожидается, может быть желательно учесть постепенное увеличение расходов в результате инфляции. Существенное требование заключается в том, что на дату погашения накопления на полученные премии за вычетом расходов, связанных с договором, должны быть достаточны для выплаты страховой суммы. Требуется также явно указать размер прибыли, но обычно компания, заключающая такой договор, назначает размер прибыли неявно, делая довольно консервативные предположения относительно процентов и расходов. Если нет явного указания на размер прибыли, уравнение ценности для договора имеет вид:

стоимость страховых стоимость премий, стоимость расходов,

выплат, которые должныкоторые должны быть связанных с полисом,

быть произведеныполучены компанией которые несёт ко

компанией

= +

.мпания

(6.1.3)

~ 153 ~

Это уравнение ценности может, конечно, браться относительно любого момента времени, но обычно наиболее удобной датой является или дата заключения полиса, или дата его окончания. Часто удобно записывать уравнение ценности (6.1.3) в виде:

стоимость премий стоимость расходов = стоимость страховых выплат.минус (6.1.4)

В большинстве случаев расходы можно разбить на две группы: начальные и возобновляемые. Начальные расходы возникают только в момент заключения договора. Возобновляемые расходы возникают при уплате второй и последующих премий (а в некоторых случаях включая и первую). Следующий пример иллюстрирует проведенное выше обсуждение.

Пример 6.1.1. Полис накопления капитала на 15 лет со страховой суммой £10000 имеет постоянные годовые премии, выплачиваемые в начале года на протяжении всего срока действия договора. Компания, предлагающая этот полис, рассчитала годовую премию на основе годовой процентной ставки 8% с учётом (а) начальных расходов в размере £100 плюс 10% от премии за первый год и (б) возобновляемых расходов в размере 4% от второй и каждой последующей премии. Найдите годовую премию для этого полиса. Решение. Пусть P′ – годовая премия. После оплаты расходов компания инвестирует ( )0.9 100P′ − из первой премии и 0.96P′ из каждой последующей премии.

Значит, чтобы получить страховую сумму в конце 15-летнего периода, мы должны иметь

( )14

15 15

10.9 100 (1 ) 0.96 (1 ) 10000 при 8% годовых.t

tP i P i −

=

′ ′− + + + =∑

Это равенство можно выразить в терминах стандартных функций несколькими способами. Например, мы можем написать:

15 1514

0.9 (1 ) 0.96 10000 100(1 ) ,P i P s i′ ′+ + = + +

1515 14

0.9 0.06 10000 100(1 ) ,P s P s i′ ′+ = + +

или

15 1515

0.96 0.06 (1 ) 10000 100(1 ) .P s P i i′ ′− + = + +

(Читатель должен уметь выражать исходное уравнение ценности в терминах стандартных функций, выбирая ту специфическую форму, которая ему представляется самой лёгкой). Используя тот факт, что 15 16

1s s= − из приведённых выше уравнений мы получим

премию в терминах табулированных функций как

( )15

1516

10000 100(1 ) при 8% годовых0.96 1 0.06(1 )

= 368.99£ .

iPs i

+ +′ =− − +

~ 154 ~

Наш следующий пример иллюстрирует, как работать с колебаниями возобновляемых расходов.

Пример 6.1.2. Рассмотрим полис накопления капитала, описанный в предыдущем примере. Предположим, однако, что для учёта увеличения расходов за время действия договора компания рассчитала годовую премию на основе тех же самых годовой процентной ставки и начальных расходов, что и раньше, однако включила в свои расчёты возобновляемые расходы (связанные со второй и последующими премиями) в размере (а) £5 плюс (б) увеличивающаяся доля от каждой премии – её величина линейно

возрастает от 12 %2

для второй премии до 5% для последней премии.

Найдите годовую премию. Решение. Для 1, 2, ,14t = , пусть tλ обозначает увеличивающийся процент от премии, выплачиваемой в момент t, который идёт на оплату расходов. Тогда

5 2.52.5 ( 1)14 1t tλ −

− = −−

или

2.3077 0.1923 .t tλ = + Пусть P′ – годовая премия. Уравнение ценности для этого полиса может быть выражено следующим образом:

( ) ( )14

1515

1

2.3077 0.19230.9 100 (1 ) 5 1 10000.100

t

t

tP i P P i −

=

+ ′ ′ ′− + + − − + =

∑

Вследствие этого,

( )14

15 15 1514 14

10.9 1 0.976923 0.001923 (1 ) 10000 5 100(1 ) .t

tP i P s P t i s i−

=

′ ′ ′+ + − + = + + +∑

Сумма в правой части последнего уравнения – это просто ( )14Is , которая равна

1414

.s

d−

Поэтому уравнение для P′ есть:

( )15 14

14

1514

140.9 1 0.976923 0.001923

10000 5 100(1 ) при 8% годовых,

sP i s

d

s i

− ′ + + − = + + +

откуда мы получаем

10447.977 371.97.28.0881

£P′ = =

(Эта премия немного больше, чем премия, найденная в Примере 6.1.1. Возобновляемые расходы увеличиваются с £14.30 до £23.60, по сравнению с постоянными возобновляемыми расходами величиной £14.76 для первого примера).

~ 155 ~

6.2 Денежная оценка полисов

Частная ситуация, когда интенсивность процентов постоянна и нет никаких расходов, представляет некоторый теоретический интерес и заслуживает дальнейшего изучения. В этом случае разовая премия и постоянная ежегодная премия (выплачиваемая с упреждением) для полиса накопления капитала со сроком n лет и страховой суммой 1 обозначаются nA и nP соответственно. Эти премии называют

нетто-премиями (поскольку они не включают суммы для оплаты расходов) и при подходящей процентной ставке даются уравнением ценности

стоимость нетто-премий=стоимость страховых выплат. (6.2.1)

Следовательно,

1nn nA v da= = − (6.2.2)

и

1 1 .nn n

P ds a

= = −

(6.2.3)

Если возможна путаница между нетто- и брутто- (или офисной) годовыми премиями (т.е. теми, которые учитывают расходы), то общепринято использовать обозначение P для ежегодной нетто-премии и P′ или P′′ для ежегодной брутто-премии. Обозначения P, P′ и P′′ могут использоваться даже, если страховая сумма не равна 1, но nP , nP′ и

nP′′ всегда имеют в виду страховую сумму 1.

Любая страховая компания, предлагающая полисы накопления капитала, должна накапливать получаемые премии для того, чтобы выплатить страховую сумму по окончании срока действия договора. Для полиса с постоянными ежегодными премиями продолжительностью n и со страховой суммой 1 символ t nV (где 0 t n≤ ≤ ) используется

для обозначения суммы, накопленной в момент t за счёт премий, выплаченных до этого момента. Принято называть величину t nV денежной оценкой полиса или резервом за

время t. Следует отметить, что величина любой премии, выплачиваемой в момент t, не включается в t nV .

Это определение величины t nV влечёт, что для целых значений t

tt n n t

n

sV P s

s= =

(6.2.4)

(1 ) 1 .(1 ) 1

t

n

ii

+ −=

+ − (6.2.5)

Умножая и числитель, и знаменатель уравнения (6.2.5) на nv мы получаем:

11 1 .

1 1

n t n n tn t

t n nnt

av v vVv v a

− −−− −

= = − = −− −

(6.2.6)

~ 156 ~

Альтернативно, мы можем записать уравнение (6.2.5) в виде:

1 .

(1 ) 1

n tn t n t n tn t

t nn n n tt

avV v v v P ai s

−− − −−

−

−= − = − = −

+ −

(6.2.7)

Выражение (6.2.7) показывает, что t nV – это стоимость в момент t страховой суммы

(которая выплачивается в момент n) минус стоимость в момент t премий, которые должны быть выплачены в этот момент и позже. Уравнения (6.2.4) и (6.2.7) дают альтернативные выражения для денежной оценки полиса в момент t; первое выведено исходя из прошлого развития событий, ретроспективно (т.е. накоплением полученных премий), а второе – исходя из будущего развития событий, перспективно (как стоимость страховой суммы минус стоимость оставшихся премий). Если t не является целым числом, мы можем записать его в виде: t r f= + , где r

( )0 r n≤ < – целое, а 0 1f< < . По определению, премия, выплачиваемая в момент r, не

включена в r nV . Следовательно, для накопления к моменту r f+ мы имеем:

( ) (1 ) ,fr f rn n nV V P i+ = + + (6.2.8)

где r nV даётся формулой для резерва в целочисленный момент.

Перспективное выражение для резерва в этом случае есть

11 1 1

.n r f n r f fr f fn n n r n n rV v P a v v P a− − − − −+ − − − − −

= − ⋅ = − ⋅ (6.2.9)

Проверку того, что выражения (6.2.8) и (6.2.9) равны, мы оставляем в качестве простого упражнения для читателя. Читатель должен проверить, что уравнение (6.2.8) также верно и когда 1f = ; в этом случае оно показывает, как резерв накапливается от одной годовщины заключения договора к следующей. Пример 6.2.1. (Влияние на резерв изменения процентной ставки). Пусть t и n – целые и 0<t<n. Покажите, что t nV является убывающей функцией процентной ставки i

(где 0i ≥ ). Решение. Прежде всего, отметим (см. уравнение (6.2.4)), что

1 11

1 .kk k k

s sV

s s s= = =

Когда i растёт, ks возрастает, так что для любого целого k величина 1 kV является

убывающей функцией от i. Также, из уравнения (6.2.6):

( ) ( ) ( )1 11 1 11 2

1 2

1 1 1 1n t n t n t nt n n t n t n

n n t n t n

a a a aV V V V

a a a a− − − + −

− + − +− + − +

− = = ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ −

(опять в силу уравнения (6.2.6)). Приведённые выше наши замечания показывают, что при росте i каждый из членов 1 1n tV

− +, 1 2n tV

− +, ... , 1 nV убывает. Это в свою очередь влечёт,

~ 157 ~

что каждая скобка в правой части последнего уравнения возрастает. Значит, при росте i величина 1 t nV− возрастает, а, следовательно, t nV убывает.

Цильмеризированный резерв (Резерв, рассчитанный по методу Цильмера)

Предположим, что для n-летнего полиса накопления капитала со страховой суммой 1 и ежегодными премиями офисная премия рассчитана с учётом начальных расходов I и постоянных ежегодных расходов e, связанных с уплатой каждой премии (включая первую). Отметим, что I и e могут быть определены как, или могут включать, процент от офисной премии или нетто-премии.

Ежегодная офисная премия nP′ задаётся уравнением

,nn n nP a v I ea′ = + +

так что

1

nn n

IP es a

′ = + +

или

.n nn

IP P ea

′ = + +

(6.2.10)

Резерв в момент t (где t – целое число, меньшее чем или равное n) можно получить перспективно как стоимость страховой суммы и расходов, которые ещё предстоит оплатить, минус стоимость будущих офисных премий. Поэтому, если мы обозначим этот резерв как *

t nV , то *

(в силу уравнения (6.2.10))

n tt n n t n n t

n tn t n n t

n

n t n tn n t

n

n tt n n t

n

V v ea P a

Iv ea P e aa

av P a I

aa

V a Ia

−− −

−− −

− −−

−−

′= + −

= + − + +

= − −

= −

(6.2.11)

(1 ) . (6.2.12)t nI V I= + −

*t nV известен как Цильмеризованный резерв (в честь немецкого актуария Августа

Цильмера, 1831-93). Отметим, что *

0 .nV I= −

~ 158 ~

Использование цильмеризованного резерва точно учитывает начальные расходы, которые затем постепенно покрываются из брутто-премий, выплачиваемых на протяжении всего срока действия договора. Альтернативно, *

t nV можно найти ретроспективно как накопление на полученные

офисные премии минус накопление от понесённых расходов. Следовательно,

* (1 ) .tt n n n tV P s I i es′= − + −

При подстановке выражения для nP′ (из уравнения (6.2.10)) это ретроспективное

выражение для *t nV , как легко видеть, равно проспективному выражению (6.2.11) или

(6.2.12).

6.3 Денежная оценка полисов, когда премии платятся с частотой p

Когда премия выплачивается p раз в год, аналогичные обозначения для ежегодной нетто-премии и денежной оценки полиса, или резерва, в момент t (для полиса длительностью n лет и со страховой суммой 1) имеют вид: ( )p

nP и ( )pt nV . Ясно, что

( ) ( ) 1,p pn nP s =

и потому

( ) ( )( ) ( )

1 1p pp pn

n n

P ds a

= = −

(6.3.1)

и, если t – целое,

( )

( ) ( ) ( )( ) .

pp p p t t

t tpn n n nn n

s sV P s V

s s= = = =

(6.3.2)

Если t не является целым, то мы можем записать его или как (а) kt rp

= + с целыми r

( )0 r n≤ < и k (0 )k p< < , или как (б) kt r fp

= + + с r и k такими же, как раньше и

10 fp

< < . Тогда мы имеем:

( ) ( ) ( )p p pk n n kr rp p

V P s+ +

= (6.3.3)

и

( )

( ) ( ) (1 ) .p

p p fnk kn nr f rp p

PV V i

p+ + +

= + +

(6.3.4)

Эти формулы не следует запоминать. В любой практической ситуации денежную оценку полиса в момент t лучше всего находить из исходных базовых соображений.

~ 159 ~

6.4 Выкупные суммы, цена полностью оплаченного полиса и изменение условий полиса

Мы уже определили денежную оценку или резерв для полиса накопления капитала, когда расходы игнорируются, а используемая процентная ставка одна и та же во всех вычислениях. Например, для n-летнего полиса с ежегодными премиями и страховой суммой 1 денежная оценка или резерв непосредственно перед платежом премии в момент t есть t nV . Если во внимание принимаются расходы, мы получаем

резерв (или денежную оценку полиса), учитывающий расходы, такой как Цильмеризованный резерв *

t nV , задаваемый формулами (6.2.11) и (6.2.12) ( t nV часто

называют резерв нетто-премий, чтобы отличить его от других «резервов», рассчитанных при других предположениях). Предположим, что держатель страхового полиса хочет отказаться от полиса. Это означает, что он хочет прекратить действие договора в обмен на единовременную выплату суммы, известную как выкупная сумма. Обычно страховая компания назначает выкупную сумму приблизительно равной Цильмеризованному резерву или какому-нибудь другому резерву, учитывающему расходы, хотя ситуация может быть усложнена отходом от предположений о процентных ставках и расходах, использованных при расчёте премий. Полное обсуждение этого вопроса выходит за рамки нашей книги. Если в момент t владелец полиса желает не прекратить действие договора, а внести определённые изменения (такие как изменение премий, которые должны выплачиваться в будущем, или даты окончания договора), необходимые вычисления выполняются с помощью уравнения стоимости, в котором владелец полиса использует резерв как «особую» разовую премию, вносимую в счёт нового договора. Используемый резерв может быть гораздо более щедрым, чем выкупная сумма, поскольку владелец полиса сохраняет свои связи с компанией. Однако может быть назначена и некоторая плата с тем, чтобы покрыть расходы на производство изменения. Таким образом, уравнение стоимости принимает вид:

СтоимостьСтоимость Стоимость

Резерв для страховыхпремий для расходов,

существующего выплат поизменённого включая расходы

договора изменённому договора на изме

договору

+ = +

.

нение

(6.4.1)

Это уравнение удобнее всего брать на дату изменения. Предположим, например, что владелец полиса с ежегодными премиями со сроком n и страховой суммой 1 требует, чтобы непосредственно перед выплатой премии в момент t все будущие премии были бы величиной P*. Если везде игнорировать расходы, пересмотренная страховая сумма S*

даётся следующим уравнением стоимости

~ 160 ~

* * ,n tt n n tS v V P a−

−= + (6.4.2)

из которого мы получаем:

* *(1 ) .n tt n n tS V i P s−

−= + +

Более сложные примеры могут включать расходы (см. Задачи).

В частном случае, когда * 0P = , выплата всех будущих премий прекращается непосредственно перед тем, как очередная премия должна быть выплачена в момент t и полис делается оплаченным. Когда нет расходов, пересмотренная страховая сумма для полиса с ежегодными премиями и первоначальным сроком n лет известна как оплаченная ценность полиса и обозначается t nW . Из уравнения (6.4.2) (при * 0P = ) мы

получаем формулу:

(1 ) (1 ) (в силу уравнения (6.2.4))

(1 ) .

(1 )

n t n ttt tn n

nt

t tn

n n

sW V i i

s

s i as i a

− −

−

−

= + = +

+= =

+

(6.4.3)

В более общей ситуации, когда необходимо принять во внимание расходы, страховая сумма, назначенная компанией, называется оплаченной страховой суммой. Она может быть найдена решением уравнения стоимости (6.4.1). В этом случае член «стоимость премий для изменённого договора», конечно, равна нулю, и потому мы получаем уравнение

Резерв для

Оплаченная Расходы существующего .

страховая сумма на изменениедоговора

= +

(6.4.4)

На практике для расчёта оплаченной страховой суммы часто используют правило пропорциональности, т.е.

оплаченная страховая сумма исходная страховая сумма,tn

= × (6.4.5)

где t – число премий, которые уже выплачены. Доказательство того, что t n

tWn

> при

положительной процентной ставке, является простым упражнением (см. Задачу 6.5), так что оплаченная ценность полиса в момент t больше, чем величина, даваемая правилом пропорциональности. Отметим, однако, что оплаченная ценность полиса t nW не

учитывает расходы и на практике оплаченная страховая сумма гораздо меньше, чем t nW .

На расчёт оплаченной страховой суммы, изменённых премий и т.д. может влиять отход от использовавшихся при расчёте исходной премии предположений относительно процентных ставок и расходов. Полное обсуждение этого вопроса выходит за рамки нашей книги.

~ 161 ~

Пример 6.4.1. 1 января 1964 года был заключён договор накопления капитала со страховой суммой £100000 на срок 30 лет. Договор имеет постоянные премии, которые вносятся в начале каждого квартала, 1 января, 1 апреля, 1 июля и 1 октября каждого года. 30 сентября 1979 года все будущие ежеквартальные премии были уменьшены до £100 и была установлена новая страховая сумма. 1 мая 1983 года владелец полиса попросил страховую компанию указать (i) выкупную сумму и (ii) денежную оценку оплаченного полиса. Предполагая, что все расчёты проводятся на основе нетто-премии при 8% годовых, найдите: (а) Уменьшенную страховую сумму, установленную 30 сентября 1979 года. (б) Выкупную стоимость и денежную оценку оплаченного полиса на 1 мая 1983 года. Решение. (а) Первоначальная ежегодная нетто-премия по договору была

(4)(4)30 30

100000 100000 при 8% годовых 841.09.iP sd

= =

Резерв на 30 сентября 1979 года (т.е. в момент 15.75 лет) был (4) (4)

15.75 30 15.75100000 841.09 26048.18.V s= =

Поскольку пересмотренная премия с 1 октября 1979 года была £400, объявленная в этот день пересмотренная страховая сумма была 14.25 (4)

14.252604 £8.18(1 ) 400 88459.88 88459£ .i s+ + = ≈

Примечание. Для облегчения последующих вычислений мы нашли резерв на дату изменения. Более короткий метод получения пересмотренной страховой суммы заключается в записи её как первоначальной страховой суммы минус стоимость премий, которые не были получены в результате изменения. Это сразу даёт пересмотренную страховую сумму в виде ( ) (4)

14.25100000 841.09 400 88459,s− − =

с таким же результатом, как и прежде. (б) Резерв на 1 апреля 1983 года (непосредственно перед тем, как должна быть выплачена премия) может быть получен как сумма резерва, накопленного к дате первого изменения, плюс премии, полученные впоследствии. Поэтому резерв на 1 апреля 1983 года был

3.5 (4)3.5

26048.18(1 ) 400 34100.48 1622.19 35722.67.i s+ + = + =

Выкупная стоимость, объявленная 1 мая 1983 года, была равна резерву в этот момент, т.е. ( ) 1 1235722.67 100 (1 ) 36053.15 36053.£i+ + = ≈

Поскольку на эту дату оставшийся срок был 2103

года, объявленная денежная оценка

оплаченного полиса была 32 336053( £1 ) 81933.i+ =

6.5 Колебания процентных ставок: кусочно-постоянная i

~ 162 ~

Мы уже отметили, что может быть желательно учесть изменения процентной ставки на протяжении срока действия долгосрочного полиса накопления капитала. Один подход, который в определённых ситуациях может быть удовлетворительным для практических целей, получается за счёт предположения, что на протяжении последовательных промежутков времени процентная ставка постоянна – для каждого промежутка используются различные постоянные значения. Например, если для n-летнего полиса накопления капитала мы предположим годовую процентную ставку 1i для первых 1n лет, 2i для следующих 2n лет и 3i после

этого (где 1 2n n n+ < ), а премии накапливаются от года к году, то *P , ежегодная нетто-премия для единичной страховой суммы, даётся уравнением

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 3

*2 3 3

1 1 1 1.n n n n n n n

n i n i n n n iP s i i s i s− − − −

− − + + + + + = (6.5.1)

Пример 6.5.1. 1 апреля 1973 года компания заключила 30-летний договор накопления капитала с ежегодными премиями и страховой суммой £60000. Офисная премия была рассчитана на основе годовой процентной ставки 8% для первых пяти лет, 7% для следующих десяти лет и 6% после этого. Компания предположила, что все её инвестиции будут производиться в однолетние ценные бумаги. Были учтены начальные расходы в размере 50% от первой офисной премии и повторяющиеся расходы в размере 2% от второй и каждой последующей ежегодной офисной премии. (а) Найдите ежегодную офисную премию. (б) 1 апреля 1985 года, вместо выплаты очередной премии владелец договора попросил сделать полис оплаченным. Оплаченная страховая сумма, назначенная компанией, равнялась наибольшей из двух величин:

(i) Первоначальная страховая сумма, умноженная на tn

, где n – первоначальный

срок действия договора, а t – число премий, которые уже выплачены, (ii) Накопление к концу первоначального срока действия договора при годовой

процентной ставке 15 %2

от половины первой офисной премии и 97% от всех

последующих полученных премий. Рассчитайте оплаченную страховую сумму, назначенную компанией. Найдите также прибыль или потери компании к 1 апреля 2003 года, если реально компания зарабатывает предполагаемые проценты, владелец договора не разрывает оплаченный полис, а расходы на обслуживание оплаченного полиса пренебрежимо малы. Решение. (а) Пусть P′ – ежегодная офисная премия. Тогда

10 15 10 5 10 155 0.08 10 0.07 15 0.06

60000 0.98 1.07 1.06 1.07 0.48 1.08 1.07 1.06 .P s s s P′ ′ = ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅

Значит,

60000 707.15.

0.98 89.9723 0.48 6.9270£P′ = =

× − ×

(б) Поскольку уже выплачены 12 премий, оплаченная страховая сумма является наибольшей из величин:

~ 163 ~

(i) 12 60000 2400030

× =

и

(ii) 18 1211 0.055

1.055 0.5 1.055 0.97 29427.82.P P s′ ′ ⋅ + =

Таким образом, оплаченная страховая сумма равна £29427.82. (Отметим, что оценивать саму выкупную сумму нет необходимости). Если реальная ситуация с процентными ставками для компании на протяжении срока действия договора оказывается такой, как и предполагалось, а после того, как полис был преобразован в оплаченный, нет никаких расходов, то накопление компании к 1 апреля 2003 года будет

{ }10 15 3 15 5 10 155 0.08 7 0.07

0.98 1.07 1.06 1.07 1.06 0.48 1.08 1.07 1.06 37188.£ 53.P s s′ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

Следовательно, прибыль компании к 1 апреля 2003 года будет 37188.52 29427.82− , т.е. £7760.71.

В определённых ситуациях использование кусочно-постоянной процентной ставки может быть неразумным. Соответственно, ниже мы рассмотрим два дополнительных метода учёта изменений процентных ставок. Эти альтернативные подходы базируются на разных предположениях относительно будущих инвестиций. Первый является развитием метода, описанного выше, и использует для моделирования будущей процентной ставки непрерывную математическую функцию. Второй подход фундаментально отличен и критически зависит от идеи ставок реинвестирования (см. раздел 6.7).

6.6 Логистическая модель Студли для интенсивности процентов

Кусочно-постоянная модель для ( )tδ , описанная в предыдущем разделе, очевидно, является довольно упрощённой. Более реалистичный подход можно получить, используя для моделирования будущих изменений в процентных ставках непрерывные функции. Одна такая модель, предложенная C.L.Stoodley (см. Stoodley, C.L. The effect of a falling interest rate on the values of certain actuarial functions. Transactions of the Faculty of Actuaries, 1934, 14, pp.137-75; McCutcheon, J.J. Some remarks on Stoodley’s formula. Transactions of the Faculty of Actuaries, 1982, 38(2), pp.182-91), заслуживает специального упоминания, т.к. обладает одним очень удобным свойством (см. также раздел 2.6). Если мы предполагаем монотонную форму для ( )tδ , интенсивности процентов в момент t (и, в частности, если ( )tδ – убывающая функция), мы можем попытаться моделировать общее направление изменения процентных ставок посредством логистической функции. Если мы предположим, что

~ 164 ~

( )1 st

st pre

δ = ++

(6.6.1)

и положим

0

( ) exp ( ) ,t

v t y dyδ

= − ∫

то (см. уравнения (2.6.2), (2.6.3)) из этого вытекает, что

( )1( )1 1

p s t ptrv t e er r

− + −= ++ +

(6.6.2)

1 21 ,

1 1t trv v

r r= +

+ + (6.6.3)

где 1v и 2v вычислены при интенсивностях процентов ( )p s+ и p соответственно.

Если мы обозначим через *na стоимость n-летней ренты в предположениях данной

модели, то непосредственно из уравнения (6.6.3) вытекает, что

* 1 ,1 1n n n

ra a ar r

′ ′′= ++ +

(6.6.4)

где na′ и na′′ вычислены при интенсивностях процентов ( )p r+ и p соответственно.

Формулы, аналогичные (6.6.4) могут быть получены для непрерывно выплачиваемых и отложенных рент и для рент, выплачиваемых несколько раз в год. Уравнения (6.6.3) и (6.6.4) означают значительное практическое преимущество этой модели. Функция ( )v t и стоимости рент при переменной интенсивности процентов, используемой в модели, получаются просто как взвешенное среднее соответствующих величин при постоянных интенсивностях процентов ( )p r+ и p. В частности, если мы можем моделировать будущее изменение процентных ставок с помощью уравнения (6.6.1) со значениями p и s такими, что ( )p r+ и p совпадают с интенсивностью процентов для табулированных ставок, то вычисление стоимостей рент в этой модели является особенно простым. Определение параметров p, r и s уравнения (6.6.1) представляет некоторый математический интерес. Один возможный подход заключается в том, чтобы приписать значения (0)δ , ( )1tδ , где 1t – некоторый определённый будущий момент, и lim ( )

ttδ

→∞. Эти

значения должны образовывать монотонную последовательность – это обязательно при использовании логистической функции – и вместе со значением 1t они определят значения p, r и s. На практике, найдя значения p, r и s, которые в точности соответствуют заданному виду будущих процентных ставок, мы можем использовать немного другие значения параметров, которые не влияют на общий моделируемый тренд, но гарантируют, что для интерполяции используются табулированные ставки. Одна процедура определения констант p, r и s в уравнении (6.6.1) описана в McCutcheon, J.J. Some remarks on Stoodley’s formula. Transactions of the Faculty of Actuaries, 1982, 38(2), pp.182-91. Пример 6.6.1. Предположим, что мы хотим смоделировать падение годовых процентных ставок с текущего уровня примерно 11% до долгосрочного уровня примерно

~ 165 ~

8%. Мы считаем разумным использовать значение примерно 10% для процентной ставки через четыре года с настоящего момента. Отметим, что процентные ставки 11%, 10% и 8% соответствуют интенсивностям процентов ln1.11 0.104≈ , ln1.1 0.095≈ и ln1.08 0.077≈ соответственно. Следовательно, в качестве первого шага мы рассмотрим уравнение (6.6.1), предполагая, что (0) 0.104δ = ,

(4) 0.095δ = и ( ) 0.077δ ∞ = . Используя метод из статьи McCutcheon, J.J. Some remarks on Stoodley’s formula. Transactions of the Faculty of Actuaries, 1982, 38(2), pp.182-91, мы найдём, что 0.077p = , 3.57888r = и 0.123630s = . Эти значения p, r и s рассматриваются как предварительные. После краткого эксперимента мы перейдём от них к пересмотренным параметрам ln1.08 0.076961p = = , 4r = и

ln1.25 ln1.08 0.146183s = − = . Мы отметим, что эти новые параметры влекут, что (0) 0.1062δ = , (4) 0.0948δ = и ( ) 0.0770δ ∞ = . Более того, p и ( )p s+ являются

интенсивностями процентов для процентных ставок 8% и 25% соответственно. Из уравнения (6.6.3) следует, что с этими параметрами

0.25 0.081 4( ) ,5 5

t tv t v v= +

так что, например,

* 0.25 0.08

1 4 .5 5n n na a a= +

Эти уравнения особенно просто применять на практике. В качестве дополнительного примера мы оставляем в качестве упражнения для читателя доказательство того, что в этой специфической модели падающих процентных ставок

*10 10 1015 15 0.25 15 0.08

1 4 3.2546.5 5

a a a= ⋅ + ⋅ =

Пример 6.6.2. На основе модели Студли со значениями параметров из предыдущего примера (т.е. 0.076961p = , 4r = и 0.146183s = ) найдите годовую нетто-премию, выплачиваемую в начале каждого квартала, для полиса накопления капитала со страховой суммой £100000 и сроком 25 лет. Найдите также резерв по договору и цену полностью оплаченного полиса в конце 20-летнего периода на основе этой нетто-премии. Решение. Имея в виду чрезвычайно простое выражение для ( )v t , даваемое уравнением (6.6.3), разумно работать с текущими значениями, а не с накоплениями. Пусть P обозначает годовую премию, выплачиваемую ежеквартально. Тогда, если звёздочка обозначает стоимость ренты с падающими процентными ставками, (4)*

25100000 (25),Pa v=

т.е.

(4) (4) 25 250.25 0.0825 0.25 25 0.08

1 4 1 4100000 .5 5 5 5

P a a v v + = +

Отсюда,

11757.20 1189.90.

9.88£

08P = =

~ 166 ~

Пусть V и W – резерв и цена полностью оплаченного полиса в конце 20-летнего периода. Тогда, всё ещё работая с текущими стоимостями, мы имеем:

(4) (4) 20 200.25 0.0820 0.25 20 0.08

25 250.25 0.08

1 4 1 45 5 5 5

1 4 .5 5

P a a V v v

W v v

+ = + = +

Поэтому

9.1543 62619.72, или 62620,0.173959.1543 92648.65, или 92648.

0.11757

£

£

V P

W P

= =

= =

6.7 Ставки реинвестирования

Ещё один подход к изменениям процентной ставки обеспечивается рассмотрением ставок реинвестирования, которые применяются на протяжении всего срока действия договора (см. Scott, W.F. A note on varying rates of interest. Transactions of the Faculty of Actuaries, 1976, 34(4), pp.443-9). Предположим, что n – положительное целое число и что для 0,1,2, , 1t n= − в момент t можно инвестировать любую сумму таким образом, что инвестированная сумма будет выплачена в момент n и принесёт доход, превышающий в ti раз инвестированную сумму, который будет выплачиваться в моменты 1, 2, ,t t n+ + . Рассмотрим, например, инвестирование суммы 1 в момент 0. Она будет выплачена (в размере 1) в момент n и будет генерировать прибыль в размере 0i , выплачиваемую в моменты 1,2, , n . В момент 1 мы можем инвестировать полученную в этот момент прибыль в размере 0i . Это вложение будет выплачено (в размере 0i ) в момент n и будет генерировать дополнительную прибыль в размере 1 0i i , выплачиваемую в моменты 2,3, , n . Таким образом, в момент 2 общий доход, полученный от двух предыдущих инвестиций, будет 0 1 0i i i+ . Мы можем инвестировать и этот доход; он будет выплачен (в размере 0 1 0i i i+ ) в момент n и будет генерировать дополнительную прибыль в размере

( )2 0 1 0i i i i+ , выплачиваемую в моменты 3,4, , n .

Мы можем продолжить действовать таким же способом. Следовательно, для 1, , ( 1)t n= − доход, полученный в момент t от всех предыдущих инвестиций, будет

опять инвестирован с тем, чтобы быть выплаченным в момент n и сгенерировать дополнительный доход, превышающий в ti раз инвестированную сумму. В момент n инвестор получит доход от всех предыдущих инвестиций в дополнение к погашаемым суммам от этих инвестиций. Сколько получит инвестор в момент n, если он выполнит процедуры реинвестирования, описанные выше? Мы можем рассмотреть более общую ситуацию, в которой инвестор производит серию платежей различных сумм в моменты 0,1, , ( 1)n − . Если каждый платёж инвестируется так, как описано выше, а весь полученный доход,

~ 167 ~

немедленно после получения, также реинвестируется на оставшийся срок (т.е. для выплаты в момент n), сколько, в конечном счете, получит инвестор? Мы уже отметили, что для финансовых контрактов, связанных с долгосрочным инвестированием, разумно, когда текущие процентные ставки высоки, допустить снижение процентных ставок с течением времени. При условии, что применяется соответствующая инвестиционная стратегия, один из способов принять это во внимание заключается в использовании описанной выше модели с убывающей последовательностью ti . Видимо, можно было бы предположить (относительно низкое) постоянное значение ti для достаточно больших t. Рассмотрим теперь этот метод инвестирования подробнее, прежде всего для серии регулярных инвестиций разного размера. Для 0,1, , ( 1)t n= − пусть tA обозначает общую сумму, полученную в момент n инвестором, который осуществляет серию вложений, каждое размером 1, в моменты , 1, , 1t t n+ − и реинвестирует описанным выше способом. Ясно, что

1 11 .n nA i− −= + (6.7.1)

Теперь мы установим следующий более общий результат. Теорема 6.7.1. Для 0 1t n≤ < −

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )1 1 2

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 .t t t t t t t

t t n

A i i i i i i

i i i+ + +

+ −

= + + + + + + + + +

+ + + +

(6.7.2)

Доказательство. Этот результат довольно легко установить с помощью рекуррентного соотношения. Значение 1nA − , очевидно, даётся уравнением (6.7.1). Поэтому мы предположим, что 0 1t n≤ < − . При условии, что применяется описанная выше инвестиционная процедура, сумма, полученная в момент n от серии вложений суммы 1 в моменты , 1, , 1t t n+ − должна быть равна:

1 (т.е. выплата в момент n первоначального вложения суммы 1 в момент t) + поступление от реинвестированных сумм ti , полученных в моменты 1,t + 2,t + … , ( 1)n − , от первоначальной инвестиции в момент t , + ti (т.е. доход, полученный в момент n от первоначальной инвестиции в момент t)

+ поступления от вложений суммы 1 в моменты 1,t + 2,t + … , ( 1)n − . Выраженное алгебраически, это уравнение имеет вид

1 11 (0 1)t t t t tA i A i A t n+ += + + + ≤ < − или ( )( )11 1 (0 1)t t tA i A t n+= + + ≤ < − (6.7.3)

Это рекуррентное соотношение и начальное значение 1nA − позволяют найти tA для всех значений t. Например, полагая в уравнении (6.7.3) 2t n= − , мы получим

~ 168 ~

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 1

2 1

2 2 1

1 1

1 1 1 (в силу уравнения (6.7.1))

1 1 1 ,

n n n

n n

n n n

A i A

i i

i i i

− − −

− −

− − −

= + +

= + + + = + + + +

что устанавливает справедливость уравнения (6.7.2) для 2t n= − . Общий результат немедленно получается по индукции. Предположим, что 1 1k n< < − . Положим 1t k= − в уравнении (6.7.3), чтобы показать, что, если равенство (6.7.2) верно для t k= , то оно также верно и для 1t k= − . Поскольку равенство (6.7.2) верно для 2t n= − , отсюда следует, что оно верно для 3, 4, ,1t n n= − − , т.е. для всех значений t . Равенство (6.7.2) проиллюстрировано в таблице 6.7.1.

Таблица 6.7.1 Значение величины tA

Момент инвестирования

t 1t + 2t + 3t + … 1n − n

Годовая премия 1 1 1 1 … 1 1 Проценты ti ti ti … ti ti Проценты ( ) 11 t ti i ++ ( ) 11 t ti i ++ … ( ) 11 t ti i ++ ( ) 11 t ti i ++

Проценты ( )( )1 21 1t t ti i i+ ++ + … ( )( )1 21 1t t ti i i+ ++ + ( )( )1 21 1t t ti i i+ ++ +

Проценты … ( ) ( )3 21 1t n ni i i− −+ + ( ) ( )3 21 1t n ni i i− −+ + Проценты … ( ) ( )2 11 1t n ni i i− −+ +

Итого 1 1 ti+

( )( )11 1t ti i ++ + ( )( )( )1 21 1 1t t ti i i+ ++ + + … ( ) ( )21 1t ni i −+ + ( ) ( )11 1 1t ni i −+ + −

Первая годовая премия (в момент n) инвестируется, чтобы принести проценты в размере ti в моменты

1, 2, ,t t n+ + (и возврат суммы 1 в момент n). В момент 1t + инвестируется вторая годовая премия и

проценты (т.е. общая сумма 1 ti+ ), чтобы принести дополнительные проценты в размере ( ) 11 t ti i ++ в

моменты 2, 3, ,t t n+ + (и возврат суммы 1 ti+ в момент n). Продолжая это рассуждение мы получим все члены в таблице, а суммируя элементы матрицы по столбцам и уравнение (6.7.2) Рассмотрим теперь инвестирование единичной суммы, а не серию регулярных инвестиций как раньше. Для 0,1, , 1t n= − пусть tS обозначает общую сумму, полученную в момент n инвестором, который делает одиночный платёж суммы 1 в момент t и реинвестирует доход так, как описано выше. Ясно, что 1 1.1n nS i− −= + (6.7.4) Мы можем легко доказать следующий более общий результат. Теорема 6.7.2. Для 0 1t n≤ < −

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 .t t t t t t nS i i i i i i+ + + + − = + + + + + + + + + + (6.7.5)

~ 169 ~

Доказательство. Этот результат можно установить прямыми рассуждениями (см. Задачу 6.14), хотя доказательство немного труднее, чем доказательство Теоремы 6.7.1. Поэтому проще использовать альтернативное рассуждение, которое базируется на результате предыдущей теоремы. Если применяется процедура реинвестирования, описанная выше, то суммы, полученные в момент n от однократного инвестирования суммы 1 в момент t, есть:

1 (т.е. выплата в момент n первоначальной инвестиции 1 в момент t) + ti (т.е. доход, полученный в момент n от первоначальной инвестиции в момент t)

+ поступления от реинвестированного дохода ti , полученного в моменты 1,t + 2,t + … , ( 1)n − от первоначальной инвестиции в момент t.

Выраженное алгебраически, это уравнение имеет вид ( )1 11 1 1 .t t t t t tS i i A i A+ += + + = + +

Подстановка значения 1tA + (из уравнения (6.7.2)) в последнее равенство немедленно даёт требуемый результат. В заключение мы отметим, что, если производит серию инвестиций 0 1 1, , , nc c c − (с выплатой суммы tc в момент t), то общая сумма денег, полученная в момент n, будет

1

0.

n

t tt

c S−

=∑

Поскольку величины 0 1 1, , , nS S S − известны (из равенств (6.7.4) и (6.7.5)), сумма, полученная в результате такой общей серии платежей, может быть найдена довольно просто. Пример 6.7.1. Для получения капитала в момент n (измеряемого годами) разработан специальный сберегательный план. Каждый взнос в этот план будет возвращён в том же размере в момент n. Кроме того, взнос, сделанный в момент t ( 0,1, 2, , 1)t n= − , принесёт доход, выплачиваемый ежегодно с запаздыванием до момента n в размере, превышающем в ti раз инвестированную сумму. Каждый год доход, полученный от всех более ранних инвестиций, автоматически реинвестируется в план. Инвестор размышляет о вхождении в специальный сберегательный план, описанного выше типа, для которого 0 0.1i = , 1 0.09i = , а для 2t ≥ 0.08ti = . Альтернативная инвестиция – это депозитный счёт, по которому проценты выплачиваются ежегодно с запаздыванием по постоянной ставке 9% годовых. Он желает вложить деньги на n лет. Найдите диапазон значений n, для которых этот специальный сберегательный план будет для него выгоднее, если он планирует (а) сделать единственный взнос капитала сейчас; (б) инвестировать равные суммы в начале каждого из n следующих лет. Решение. Для сберегательного плана продолжительностью n лет пусть MPS(n) обозначает окончательную полученную сумму после его завершения в случае, когда инвестор делает единственный платёж в размере 1 в момент 0, MPA(n) обозначает

~ 170 ~

окончательную полученную сумму после его завершения в случае, когда инвестор делает серию ежегодных платежей в размере 1 в моменты 0,1, , 1n − . Тогда, очевидно, 0( )MPA n A= и 0( ) ,MPS n S= где 0A и 0S задаются равенствами (6.7.2) и (6.7.5) соответственно. Поскольку 0 0.1i = ,

1 0.09i = и 0.08ti = для 2t ≥ , отсюда следует, что при 3n ≥

2

2

1 0.08

( ) 1.1 1.1 1.09 1.1 1.09 1.08 1.1 1.09 1.08

1.1 1.1 1.09 1 1.08 1.08

1.1 1.199 .

n

n

n

MPA n

s

−

−

−

= + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅ + + + = +

Альтернативой для инвестора является депозитный счёт, для которого проценты начисляются по постоянной ставке 9% годовых. Окончательная сумма, полученная от соответствующей регулярной серии платежей на этот депозитный счёт, очевидно, равна

0.09ns . Следовательно, для срока n лет при постоянных регулярных инвестициях

специальный сберегательный план будет выгоднее тогда и только тогда, когда 1 0.08 0.09

1.1 1.199 .n ns s−

+ >

Это неравенство будет выполнено только для достаточно малых значений n. Методом проб и ошибок мы находим, что при 4n = неравенство верно (поскольку 4.992>4.985), но при 5n = это условие уже не выполнено (поскольку 6.503<6.523). Таким образом, для регулярных ежегодных платежей специальный сберегательный план выгоднее депозитного счёта, когда его срок 4 года или меньше. Рассмотрим теперь случай, когда должна инвестироваться одиночная сумма. Отметим, что 3n ≥

2

2

1 0.08

( ) 1 0.1 1 1.09 1.09 1.08 1.09 1.08

1.1 0.109 1 1.08 1.08

1.1 0.109 .

n

n

n

MPA n

s

−

−

−

= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = + ⋅ + + +

= +

Поскольку в этом случае депозитный счёт приведёт к получению в конце срока суммы 1.09n , специальный план будет привлекательнее тогда и только тогда, когда

1 0.081.1 0.109 1.09 .n

ns−

+ >

Это неравенство будет выполнено только для достаточно малых значений n. Опять методом проб и ошибок мы находим, что это условие выполнено при 20n = (поскольку 5.618>5.604), но при 21n = это условие уже не выполнено (поскольку 6.088<6.109). Таким образом, для разового инвестирования премии специальный план выгоднее депозитного счёта, когда его срок 20 лет или меньше. Отметим тот факт, что разовое инвестирование выгоднее для бóльшего срока. Это связано с тем, что бóльшее значение 0i относительно важнее для разового инвестирования премии, чем для ежегодного инвестирования премии.

~ 171 ~

Задачи

6.1 Компания заключает 20-летний договор накопления капитала со страховой суммой £10000 и премиями, выплачиваемыми ежегодно авансом. Размер премии и любые изменения полиса рассчитываются на основе эффективной годовой процентной ставки 6% и без учёта расходов. Найдите: (а) Ежегодную премию; (б) Денежную стоимость полиса немедленно после выплаты седьмой премии; (с) Оплаченную страховую сумму, если премии прекращаются непосредственно перед тем, как должна быть внесена седьмая премия.

6.2 Годовая премия для 40-летнего договора накопления капитала со страховой суммой £10000 равна P′ для первых десяти лет, 2P′ для следующих десяти лет и 4P′ для последних двадцати лет. Премия рассчитана на основе эффективной годовой процентной ставки 5% при учёте начальных расходов в размере £50 плюс 10% от первой премии и возобновляемых расходов в размере 4% от второй и каждой последующей премии. Найдите значение P′ .

~ 172 ~

Решения задач

~ 173 ~

Глава 10 КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ,

ДИСКОНТИРОВАННЫЕ СРЕДНИЕ СРОКИ, СОГЛАСОВАННОСТЬ и ИММУНИЗАЦИЯ

10.1 Введение

В этой главе обсуждаем различные вопросы, относящиеся к ценным бумагам с фиксированным доходом, и определение ценности активов и обязательств. Некоторые из этих разделов интересны частным инвесторам, компаниям, занимающимся страхованием жизни (например, в связи с определением ценности), пенсионным фондам и другим финансовым институтам. Иногда удобно при теоретическом обсуждении этих вопросов делать определённые предположения, которые не всегда выполняются на практике. Вследствие этого некоторые из методов, представленных в этой главе, могут потребовать модификации перед тем, как они могут быть применены непосредственно к практическим задачам. Обсуждение этих модификаций выходит за рамки этой книги.

10.2 Кривые доходности и родственные вопросы

Методы теории сложных процентов играют важную роль в анализе гарантированных и других ценных бумаг с фиксированным доходом. Многие из относящихся к этому идей являются достаточно сложными и в этом разделе мы лишь кратко опишем идею кривой доходности и некоторые родственные понятия. Заинтересованный читатель может обратиться к Day, J.G., Jamieson, A.T. Institutional Investment. 2nd edn., Institute of Actuaries and Faculty of Actuaries, 1980 за более детальным обсуждением и дальнейшими ссылками. Если ( )tδ , интенсивность процентов в единицу времени в момент t, известна для всех значений t и рынок функционирует непротиворечивым образом, то известна и величина ( )v t , стоимость в момент 0 суммы 1, которая должна быть выплачена в момент t (см. уравнение (2.5.3)). Давайте вначале предположим, что рынок функционирует непротиворечивым образом и что доступен непрерывный спектр ценных бумаг с фиксированным доходом со всеми возможными сроками до погашения и непрерывно выплачиваемыми процентами. Давайте также предположим вначале, что налогообложение отсутствует. Мы обозначим через ( )gP t текущую рыночную цену (т.е. цену в момент 0) ценной

бумаги с фиксированным доходом, которая подлежит погашению за выплату суммы 1 в момент t и которая приносит процентный доход, выплачиваемый непрерывно со скоростью g в единицу времени до тех пор, пока она не погашена. (Для удобства мы будем называть её «бумага (g,t)»). Тогда, ясное дело,

~ 174 ~

1

0

( ) ( ) ( ). (10.2.1)gP t g v s ds v t= +∫

Мы можем также определить ( )gr t , «доходность к погашению при сроке t для купона g»,

как доходность, полученную инвестором, который покупает некоторое количество бумаг (g,t) в момент 0 по цене ( )gP t и держит их до погашения. Таким образом, величина ( )gr t

определяется из уравнения

( ) при ставке ( ). (10.2.2)tg gtP t ga v r t= +

И наконец, мы определим y(t), «паритетную доходность для срока t», как интенсивность выплаты купонного дохода в единицу времени для ценной бумаги со сроком до погашения t, цена которой равна 1 (за единицу выкупной суммы). Таким образом, y(t) определяется уравнением

( ) ( ) 1. (10.2.3)y tP t =

Ясно, что, рассматриваемые как функции от t, ( )tδ , y(t), Pg(t) и rg(t) тесно связаны между собой. При условии, что рынок функционирует непротиворечивым образом (см. уравнение (2.3.4), любая из этих четырёх функций определяет три других. В реальной жизни, конечно, нет облигаций, выплачивающих проценты непрерывно. Даже если мы игнорируем это обстоятельство, мы не можем отвлечься от того факта, что ни на одном реальном рынке нет облигаций со всеми возможными купонными ставками или сроками до погашения. Таким образом, хотя мысленно величина Pg(t) может быть определена для всех положительных значений переменных g и t, в реальности самое большее, на что мы можем рассчитывать – это знание значений Pg(t) и rg(t) для конечного набора облигаций (g1,t1),…, (gn,tn). Рассматривая только подходящее подмножество доступных облигаций мы можем предположить, что купонные ставки g1,…,gn равны между собой или сходны по величине. Для данной купонной ставки (или диапазона купонных ставок) мы можем аппроксимировать набор наблюдаемых доходностей к погашению подходящей кривой. Эта кривая известна под именем кривая доходности к погашению. На практике может использоваться любой приемлемый метод подбора кривой. Для Индексов Доходности британской финансово-экономической газеты «Файнэншл таймс» (Financial Times (FT) Yield Indices), введённых в 1977 году, подбор кривой производится с помощью математической формулы. Коэффициенты этой формулы вычисляются ежедневно путём минимизации взвешенной суммы квадратов разностей между значениями доходностей, даваемых формулой, и наблюдаемыми доходностями (см. Wilkie, A.D. FT-actuaries British Government securities indices 1976, Journal of the Institute of Actuaries, 1978, 105(1), pp.27-33; и Transactions of the Faculty of Actuaries, 1979, 36(3), pp.214-31). На практике, в силу эффекта налогообложения и других факторов вид кривой доходности к погашению немного меняется в зависимости от купона. Соответственно, кривые доходности FT приводятся для каждого из трёх купонных диапазонов, включающих облигации с низким купоном, средним и высоким (невыкупаемые

~ 175 ~

облигации включены в каждый диапазон). В качестве иллюстрации мы приводим на Рисунке 10.2.1 три кривых доходности к погашению (для каждого купонного диапазона) на 8 октября 1984 года.

Мы можем вычислить интенсивность процентов ( )tδ , вытекающую из аппроксимирующей кривой доходности, и затем использовать её для оценки любой конкретной облигации. В зависимости от того, превышает или нет найденная цена реальную рыночную цену облигации, мы можем сделать вывод о том, является ли эта облигация относительно дорогой или дешёвой. На практике также используются разнообразные другие модели (см. Clarkson, R.S. A mathematical model for the gilt-edged market. Transactions of the Faculty of Actuaries, 1978, 36(2), pp.85-138; или Journal of the Institute of Actuaries, 1979, 106(2), pp.85-132). Использование только доходностей к погашению для оценки относительной стоимости различных облигаций может быть справедливо подвергнуто критике как слишком упрощённый подход; следует рассматривать и другие факторы. Эти вопросы выходят за пределы данной книги. Исключая случай абсолютного соответствия, для которого не требуются никакие предположения относительно процентных ставок (см. раздел 10.6), в оставшейся части этой главы мы будем делать упрощающие предположения, что в любой данный момент облигации оцениваются на основе одной и той же постоянной интенсивности процентов, а эта интенсивность процентов одна и та же для заёмщиков и займодавцев.

10.3 Дисконтированная средняя продолжительность проекта Рассмотрим некоторый бизнес проект, который произведёт определённый денежный поток. Чистая текущая стоимость этого проекта при интенсивности процентов δ даётся формулой (см. раздел 5.2)

( ) , (10.3.1)ttNPV c e δδ −=∑

~ 176 ~

где суммирование производится по тем значениям t, для которых ct, чистый денежный поток в момент t, отличен от нуля. При этой интенсивности процентов, если ( ) 0NPV δ ≠ , дисконтированная средняя продолжительность проекта, T(δ), определяется равенством

( ) . (10.3.2)t

tt

t

tc eT

c e

δ

δδ−

−= ∑∑

Отметим, что средняя дисконтированная продолжительность является взвешенным средним будущих времён, когда будут поступать эти денежные потоки. «Вес», связанный с каждым данным моментом времени равен текущей стоимости (при интенсивности процентов δ) чистого денежного потока, который ожидается в этот момент. В более общей ситуации, когда также есть и непрерывный денежный поток (см. раздел 5.1) с чистой интенсивностью платежей в момент t равной ( )tρ , чистая текущая стоимость проекта при интенсивности процентов δ даётся формулой

0

( ) ( ) , (10.3.3)t ttNPV c e t e dtδ δδ ρ

∞− −= +∑ ∫

а дисконтированная средняя продолжительность проекта определяется равенством

0

0

( )( ) , (10.3.4)

( )

t tt

t tt

tc e t t e dtT

c e t e dt

δ δ

δ δ

ρδ

ρ

∞− −

∞− −

+=

+

∑ ∫

∑ ∫

при условии, что ( ) 0NPV δ ≠ . Пример 10.3.1. Владелец рудника предполагает, что чистый денежный поток от добычи полезных ископаемых будет следующим:

Время (лет) Чистый денежный поток (£) 1 500 000 2 400 000 3 300 000 4 200 000 5 100 000

Вычислите дисконтированную среднюю продолжительность проекта при годовой процентной ставке 6%. Решение. По формуле (10.3.2) дисконтированная средняя продолжительность проекта равна

2 3 4 5

2 3 4 5

5 2 4 3 3 4 2 5 (по ставке 6%)5 4 3 2

4.7170 7.1200 7.5566 6.3367 3.7363=4.7170 3.5600 2.5189 1.5842 0.747329.4666= =2.245 лет. 13.1274

v v v v vv v v v v

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + ++ + + ++ + + +

~ 177 ~

Пример 10.3.2. Десять лет тому назад инвестор купил ренту, которая должна выплачиваться непрерывно 25 лет. На протяжении t-го года выплат (1 25)t≤ ≤ интенсивность выплат по ренте составляет £t в год. Найдите дисконтированный средний срок будущих выплат по этой ренте, исходя из эффективной годовой процентной ставки: (а) 5% и (б) 10%. Решение. Будем измерять время годами. Отметим, что на протяжении текущего года интенсивность рентных выплат равна £11 в год, в следующем году – £11 в год и т.д. В последнем году (т.е. в году, начинающемуся через 14 лет от настоящего момента) интенсивность рентных выплат равна £25 в год. Используя уравнение (10.3.4) мы можем выразить дисконтированный средний срок будущих выплат при интенсивности процентов δ, как

1 2 3 15

0 1 2 141 2 3 15

0 1 2 14

11 12 13 25.

11 12 13 25

t t t t

t t t t

te dt te dt te dt te dt

e dt e dt e dt e dt

δ δ δ δ

δ δ δ δ

− − − −

− − − −

+ + + +

+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Читатель должен проверить, что после упрощения это выражение примет вид: 15 15

2 2 214 14

15 15

11 1 1 15( ) 25,

10 ( )

v vIa a

a Iaδ δ δ δ δ

+ + − +

+

что равно 15

1514 14

15 15

11 1( ) 25 15.

10 ( )

vIa a v

i a Iaδ δ δ

+ + − +

+

Вычисляя последнее выражение при процентных ставках 5% и 10% мы получим ответы: (а) 7.656 лет и (б) 6.809 лет соответственно.

10.4 Волатильность Рассмотрим инвестиционный или бизнес проект с чистыми денежными потоками, описанными выше. Предположим, что чистая текущая стоимость проекта сейчас определяется на основе годовой интенсивности процентов δ0, которая, однако, может неожиданно измениться и принять другое значение, скажем δ1, не очень сильно отличающееся от δ0. Если это произойдёт, относительное изменение чистой текущей стоимости проекта будет

( )0 1 0 01 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) . (10.4.1)( ) ( ) ( )

NPV NPV NPV NPVNPV NPV NPV

δ δ δ δδ δδ δ δ

′∆ −= ≈ −

(Мы используем обозначение ( )NPV δ′ для производной функции ( )NPV δ по δ. Мы также предполагаем, что 0( ) 0NPV δ ≠ ).

~ 178 ~

Теперь мы определим волатильность проекта при интенсивности процентов δ0 как

0

0

( ) . (10.4.2)( )

NPVNPV

δδ′

−

С учётом этого обозначения уравнение (10.4.1) может быть выражено словами следующим образом:

( )относительное изменение изменениеволатильность . (10.4.3)

чистой текущей стоимости интенсивности процентов

≈ − ×

Отметим, что определение волатильности при интенсивности процентов δ0 (выражение (10.4.2)) может быть записано как

0

ln ( ) . (10.4.4)d NPVd δ δ

δδ =

−

Сопоставляя уравнение (10.3.3) и наше определение (10.4.2) мы видим, что (при интенсивности процентов δ) волатильность проекта равна

0

0

( ). (10.4.5)

( )

t tt

t tt

tc e t t e dt

c e t e dt

δ δ

δ δ

ρ

ρ

∞− −

∞− −

+

+

∑ ∫

∑ ∫

Из уравнения (10.3.4) и выражения (10.4.5) ясно, что при любой интенсивности процентов мы имеем тождество

дисконтированная средняя продолжительность волатильность. (10.4.6) =

Поэтому мы будем использовать символ T(δ) для обозначения как средней дисконтированной продолжительности, так и для волатильности инвестиционного или бизнес проекта. Возвращаясь к формуле (10.4.1) мы видим, что относительное изменение чистой текущей стоимости при малом немедленном изменении интенсивности процентов приблизительно равно ( ) ( )1 0 0Tδ δ δ− − . Следовательно, относительный доход или потери

от малого изменения интенсивности процентов зависит более или менее непосредственно от: (а) размера этого изменения интенсивности процентов, который аналогичен изменению процентной ставки, и (b) волатильности инвестиции; если процентные ставки растут, то, конечно, будут потери, а если они падают, то инвестор получит прибыль. Это влечёт, что волатильность (или, что то же самое, дисконтированная средняя продолжительность) инвестиции с фиксированным доходом представляет определённый интерес для реальных и потенциальных инвесторов и часто появляется в финансовой печати. В практических приложениях волатильность облигации с фиксированным доходом рассчитывается по формуле (10.3.2), хотя в теоретической работе используются и другие формулы. В следующем разделе мы приведём выражения

~ 179 ~

для волатильности определённых облигаций с фиксированным доходом и обсудим изменение волатильности в зависимости от купонной ставки и срока до погашения.

10.5 Волатильность некоторых ценных бумаг с фиксированным доходом

Рассмотрим облигацию с фиксированным доходом единичного номинала, которая выплачивает проценты по ставке D в год и гасится через n лет по цене R. Пусть g=D/R (см. раздел 7.6). Пусть годовая интенсивность процентов соответствующая текущей цене этой облигации равна δ0 (т.е. текущая цена облигации равна современной стоимости при интенсивности процентов δ0 будущих выплат процентов и капитала). Мы предположим, что инвестор уже купил эту облигацию, так что все будущие денежные потоки положительны. Если проценты выплачиваются ежегодно с запаздыванием и n – целое число, дисконтированный средний срок облигации при интенсивности процентов δ0 даётся уравнением (10.3.2) и равен

( )0 0

( ) при интенсивности процентов . (10.5.1)

nn

nn

g Ia neT

ga e

δ

δδ δ−

−

+=

+

В частном случае, когда 0g i= ( 0i – годовая процентная ставка, соответствующая интенсивности процентов δ0), мы получаем:

( ) ( )( )0 0

0

при процентной ставке 1

при процентной ставке . (10.5.2)

n nn

n n

n

a nv nvT i

v v

a i

δ− +

=− +

=

Устремляя в уравнении (10.5.1) n к бесконечности мы получим волатильность при интенсивности процентов δ0 бессрочной ренты:

( )0 0

0

( ) при интенсивности процентов

1 при интенсивности процентов . (10.5.3)

n

n

g IaT

ga

d

δ δ

δ

=

=

Отметим, что эта волатильность не зависит от купонной ставки бессрочной ренты. Отметим также, что для облигации с нулевым купоном, погашаемой через n лет, из уравнения (10.5.1) немедленно следует, что

( )0 (10.5.4)T nδ =

~ 180 ~

при всех значениях δ0. Из уравнения (10.5.1) ясно, что волатильность облигации с фиксированным доходом при интенсивности процентов δ0 зависит как от годовой процентной ставки за единицу задолженности, g, так и от срока до погашения облигации. Мы хотим рассмотреть колебания волатильности ( )0T δ при изменении параметров g и n. Для

упрощения наших вычислений мы предположим, что проценты выплачиваются непрерывно. В этом случае уравнение (10.3.4) влечёт, что

( )( )

0 0 при интенсивности процентов . (10.5.5)n

nn

n

g Ia nvT

ga vδ δ

+=

+

Прежде всего, мы покажем, что для любого фиксированного срока n волатильность облигации уменьшается при росте g. Чтобы доказать это, мы отметим, что

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

0 0

0

0

0

02

2 0

n nn nn n

nn

nnn

nn

Ia ga e a g Ia neTg ga e

e Ia na

ga e

δ δ

δ

δ

δ

δ− −

−

−

−

+ − +∂ =∂ +

− = <+

поскольку

( ) 0 0

0 0

.n n

t tnn

Ia te dt n e dt naδ δ− −= < =∫ ∫

Этот результат проиллюстрирован на Рисунке 10.5.1.

~ 181 ~

Теперь мы рассмотрим изменение волатильности в зависимости от срока до погашения при фиксированном значении g. Уравнение (10.5.5) влечёт, что

( ) ( )

0 0

0

lim при интенсивности процентов

1 ,

n

IaT

aδ δ

δ

∞

→∞∞

=

=

(10.5.6)

а также, что

( )00lim 0. (10.5.7)n

T δ→

=

Отметим, что ни одно из этих предельных значений не зависит от годовой купонной ставки. Непосредственными (но весьма утомительными) вычислениями (см. Задачу 10.11) можно показать, что

( )( )

0

0

20 0 00

02

0

( ) ( ) при интенсивности процентов (10.5.8)

nn

nn

g g n g a eTn ga e

δ

δ

δ δ δδδ

δ

−

−

+ − − −∂ =∂ +

и, следовательно, что знак ( )0Tnδ∂

∂ такой же, как и знак

20 0 0 0( ) ( ) при интенсивности процентов . ng g n g aδ δ δ δ+ − − −

Поскольку nn a− является неотрицательной, возрастающей, неограниченной функцией

от n, мы имеем следующие результаты: (а) Если 0g δ≥ , волатильность ( )0T δ постоянно возрастает от нуля, когда n=0, до

своего предельного значения 0

1δ

при n, стремящемся к бесконечности.

(б) Если 0g δ< , волатильность ( )0T δ возрастает от нуля, когда n=0, до тех пор, пока

n не достигнет значения, при котором

( ) 00 0

0

при интенсивности процентов (10.5.9)n ng n a ag

δδ δδ

− + =−

после которого волатильность постоянно убывает до своего предельного значения

0

1δ

при n, стремящемся к бесконечности. (Уравнение (10.5.9) моет быть решено

численно, как показано в Задаче 10.4).

Таким образом, мы имеем, возможно, неожиданный факт, что при заданной интенсивности процентов 0δ волатильность некоторых погашаемых облигаций с большим сроком до погашения и низкой купонной ставкой превышает волатильность для

вечной ренты. Это такие погашаемые облигации, что ( )00

1T δδ

> , т.е. такие, для которых

~ 182 ~

( )

( )

0 0

0 0

20 0

0

0

1 11 .

1

n n

n n

g ge ne

g e e

δ δ

δ δ

δ δδ

δ

− −

− −

− + −

>− +

Это неравенство выполнено тогда и только тогда, когда

( ) ( )0

0 0 02 20 0 0 0

1 1 1 ,n

n n ng g g ee ne eδ

δ δ δ

δ δ δ δ

−− − −

− + − > − +

т.е. тогда и только тогда, когда

01 . (10.5.10)gn

δ > +

Последнее неравенство может быть переписано в любом из двух видов

00

1 1, .n gg n

δδ

> < −−

Следовательно, если заданы g и δ0, удовлетворяющие условию 0<g<δ0, погашаемая облигация с процентной ставкой g за единицу долга будет иметь бóльшую волатильность (при интенсивности процентов δ0), чем бессрочная рента, тогда и только тогда, когда эта

процентная ставка за единицу долга меньше, чем 01 .n

δ −

Изменение волатильности в зависимости от срока (при δ0=0.05) иллюстрируется на Рисунке 10.5.1. Объяснение того факта, что некоторые ценные бумаги с низкой купонной ставкой и большим сроком до погашения более волатильны, чем вечная рента, заключается в том, что в случае погашаемой облигации основной «вес» приписывается выплате капитала, который может производиться в далёком будущем, в то время как для вечной ренты основные «веса» приписываются выплатам процентов в несколько ближайших лет. Соответственно, дисконтированный средний срок для погашаемой облигации может быть больше, чем для вечной ренты. Пример 10.5.1. Спекулянт ожидает падения процентных ставок и покупает большое число ценных бумаг с фиксированным доходом с намерением вскоре продать их и получить прибыль. В настоящий момент он делает выбор в пользу одной из следующих облигаций с фиксированным доходом: Ценная бумага 1 приносит 5% годовых, выплачиваемых раз в год с запаздыванием и погашается по номиналу через пять лет. Ценная бумага 2 приносит 11% годовых, выплачиваемых раз в год с запаздыванием и погашается по номиналу через шесть лет. Эти облигации всегда имеют одну и ту же брутто-доходность к погашению, которая в настоящее время равна 10%. Какой вид облигаций он должен покупать, чтобы получить наибольший прирост капитала при малом падении процентных ставок? (Налогообложение игнорируйте.)

~ 183 ~

Решение. Используя формулу (10.5.1) мы рассчитаем волатильность каждой ценной бумаги. Волатильность ценной бумаги 1 равна

( ) 55

55

0.05 5 при процентной ставке 10% = 4.488.

0.05Ia va v

+

+

Волатильность ценной бумаги 2 равна

( ) 66

66

0.11 6 при процентной ставке 10% = 4.725.

0.11Ia va v

+

+

Таким образом, спекулянту следует покупать ценные бумаги вида 2. Пример 10.5.2. Предположим, что для оценивания надёжных бумаг с фиксированным доходом используется годовая интенсивность процентов δ. Когда δ=0.08 цены за единицу номинала двух видов бумаг, А и Б, равны и, кроме того, известно, что при 0.05 0.08δ≤ ≤ волатильность бумаги А не меньше, чем волатильность бумаги Б. Докажите, что если интенсивность процентов резко изменится с 0.08 до 0.05, то новая цена бумаги А не будет меньше новой цены бумаги Б. Решение. Пусть ( )АV δ и ( )БV δ обозначают цены за единицу номинала бумаг А и Б соответственно, когда интенсивность процентов равна δ . Нам дано, что

(0.08) (0.08)А БV V= и потому

ln (0.08) ln (0.08)А БV V= . Также, в силу уравнения (10.4.4),

[ ]( ) ( ) 0, 0.05 0.08.А Бd V V

dδ δ δ

δ− − ≥ ≤ ≤

Если мы положим ( ) ( ) ( )А Бf V Vδ δ δ= − ,

то f(0.08)=0 и ( ) 0f δ′ ≤ для 0.05 0.08δ≤ ≤ . Следовательно, по теореме о среднем значении из курса элементарного анализа,

(0.05) 0f ≥ и мы имеем: ln (0.05) ln (0.05)А БV V≥

т.е. (0.05) (0.05)А БV V≥

что и требовалось доказать.

10.6 Соответствие активов и пассивов

В общем бизнес-контексте, соответствие активов и пассивов компании требует, чтобы активы компании по мере возможности были подобраны так, чтобы активы и пассивы в равной степени реагировали на воздействия, которые влияют на них обоих. В

~ 184 ~

этом широком смысле соответствие включает соответствие активов и пассивов в терминах валют и степени подверженности инфляцией. В этой главе, однако, мы будем рассматривать как активы, так и пассивы в денежных единицах. Соответственно, мы будем использовать слово «соответствие» только для обозначения правильного выбора сроков активов относительно сроков пассивов с тем, чтобы уменьшить возможность потерь, возникающих из изменения процентных ставок. В бизнесе обязательства – это суммы, которые в соответствии с договором должны быть выплачены в будущем. Пусть St обозначает обязательства в момент t (т.е. деньги, которые должны быть выплачены в этот момент). Пусть Pt – деньги, которые компания должна получить в момент t от своей деловой активности, исключая любой инвестиционный доход. Мы определим чистые выплаты по обязательствам как

. (10.6.1)t t tL S P= − Чистые обязательства компании являются суммой величин Lt. В обозначениях раздела 5.1, при любом t чистый денежный поток в момент t – это t tc L= − . Мы будем предполагать, что все обязательства и доходы являются дискретными, хотя рассуждения, приводимые здесь, могут быть легко обобщены с тем, чтобы включить непрерывные денежные потоки. Пример 10.6.1. Рассмотрим страховую компанию, занимающуюся страхованием жизни, которая десять лет тому назад выпустила 20-летний полис выкупа капитала со страховой суммой £10000 и ежегодной премией £288.02. Измеряя время в годах от настоящего момента и предполагая, что премия, причитающаяся в настоящий момент, уплачена, а расходы можно игнорировать, вычислите чистые обязательства { }tL по

этому договору. Решение. Мы имеем:

288.02 для 1,2, ,910000 когда 10.

t

t

P tS t= == =

Значит, 288.02 для 1,2, ,910000 для 10. t

tL

t− =

= =

Доходы в момент t от инвестиций компании, капитал, проценты или они оба, называются поступлениями от активов в момент t и обозначаются At. Активы бизнеса – это набор поступлений от активов (или, как обычно используют этот термин, ценные бумаги, обеспечивающие их). Предположим, что величины Lt никогда не являются отрицательными и что поступления от активов таковы, что для всех t

. (10.6.2)t tA L= Ясно, что в этом случае компания всегда будет иметь достаточно денег, не больше и не меньше, чтобы оплатить чистые обязательства, вне зависимости от характера процентных ставок в настоящий момент или в будущем. Поэтому говорят, что эта компания абсолютно согласована. Если же чистый денежный поток иногда положителен, а иногда отрицателен (как в Примере 10.6.1), абсолютная согласованность невозможна, поскольку для финансирования обязательств на заключительных этапах

~ 185 ~

проекта некоторые инвестиции должны делаться в будущем (при неизвестных процентных ставках). Предположим, что в настоящее время годовая интенсивность процентов, используемая при оценке активов и пассивов равна δ. Следовательно, текущая стоимость чистых обязательств есть

( ) при процентной ставке , (10.6.3)tL tV L vδ δ=∑

а текущая стоимость активов есть ( ) при процентной ставке . (10.6.4)t

A tV A vδ δ=∑

Мы будем предполагать до конца этого раздела, что ( ) 0LV δ > для всех δ или для всех δ, из рассматриваемых в задаче. Если годовая интенсивность процентов будет оставаться на постоянном уровне δ0, по крайней мере, до тех пор, пока все платежи не будут произведены и получены, то ясно, что любой набор надёжных активов, удовлетворяющих условию

0 0( ) ( ) (10.6.5)A LV Vδ δ= всегда будет достаточен, не больше и не меньше, чтобы оплатить чистые обязательства, по мере того, как они будут появляться в будущем. Рассмотрим, например, полис, приведённый в Примере 10.6.1 и предположим, что годовая интенсивность процентов будет оставаться на постоянном уровне 0 ln1.05δ = (что соответствует годовой процентной ставке 5%). Если компания владеет любыми активами ценностью

( ) 100 9

10000 288.02 при 5% годовых

6139.13 2047.19 4091.94LV v aδ = −

= − =

компания будет иметь достаточно денег, не больше и не меньше, чтобы оплатить обязательства по договору. (Поскольку ежегодная премия также была рассчитана при процентной ставке 5%, а расходы игнорировались, эта сумма является резервом нетто-премий по договору; см. раздел 6.4). На практике, однако, обычно нельзя предположить, что интенсивность процентов будет оставаться постоянной до завершения всех операций и компания хотела бы получать прибыль при изменении процентной ставки (или, по крайней мере, не иметь потерь). Определённая степень защиты против изменений процентных ставок может быть получена с помощью концепции иммунизации, которую мы обсудим в следующих двух разделах. Конечно, возможно, что инвестор или руководство предприятия умышленно сохраняют ситуацию несогласованности с тем, чтобы получить прибыль от предполагаемого роста или падения процентных ставок: эта стратегия известна под именем «taking a view of the market»1. Некоторые компании, однако, в сущности являются лишь хранителями денег, принадлежащих другим – компании страхования 1 Taking a view of the market – неформальное выражение, означающее: сформировать мнение о направлении движения рынка и действовать в соответствии с этим.

~ 186 ~

жизни и пенсионные фонды попадают в эту категорию – и такие институты, как правило, обязаны в силу закона или соображений платёжеспособности занимать в высшей степени оборонительную позицию по отношению к изменениям процентных ставок. (Реальная ситуация, однако, сложнее: могут существовать полисы «с участием в доходах», а компании страхования жизни могут иметь акционеров, так что определённый элемент риска в инвестиционной стратегии может быть приемлем). Теория иммунизации интересна многим финансовым институтам (хотя перед тем, как она сможет быть применена на практике, могут потребоваться определённые модификации).

10.7 Теория иммунизации Редингтона

В 1952 году F.M.Redington (см. Redington, F.M. Review of the principles of life office valuations. Journal of the Institute of Actuaries, 1952, 78(3), pp.286-315) представил теорию иммунизации, в соответствии с которой инвестор (в статье Редингтона – страховая компания, занимающаяся страхованием жизни) защищён от небольших изменений процентных ставок. Сейчас мы дадим краткое изложение этой теории, отсылая читателя за подробностями к оригинальной статье Редингтона. Рассмотрим финансовый институт, в качестве которого для определённости мы возьмём страховую компанию, занимающуюся страхование жизни, который в момент t имеет чистые обязательства по выплате денег в размере tL и доходы от активов в размере tA . Мы предположим, что текущая интенсивность процентов равна δ0 и что при этой интенсивности процентов стоимость чистых обязательств равна стоимости поступлений от активов, т.е. ( ) ( )0 0 .A LV Vδ δ= (6.7.6)

Кроме того, мы предположим, что поступления от активов могут изменяться без изменения стоимости и что выполнены следующие дополнительные условия: ( ) ( )0 0A LV Vδ δ′ ′= (6.7.7)

и ( ) ( )0 0 .A LV Vδ δ′′ ′′> (6.7.8)

(Обозначения ( )AV δ′ и ( )AV δ′′ используются для обозначения первой и второй

производной по δ функции ( )AV δ . Аналогично мы определяем ( )LV δ′ и ( ).LV δ′′

Если эти условия выполнены, из элементарного анализа вытекает, что функция ( ) ( ) ( )A Lf V Vδ δ δ= − равна нулю при 0δ δ= и имеет при этом значении минимум. Следовательно, существует окрестность точки δ0, такая что, если δ лежит в ней, но не равна δ0, то

( ) ( )0 0 .A LV Vδ δ> (6.7.9)

Эта ситуация иллюстрируется Рисунком 10.7.1.

~ 187 ~

Поэтому про инвестора, инвестиции которого таковы, что выполнены условия (6.7.6), (6.7.7) и (6.7.8), говорят, что он «имеет иммунитет» против небольших изменений процентной ставки, т.к. очевидно, что любые мгновенные малые изменения процентной ставки приведут к прибыли в том смысле, что текущая стоимость активов превысит текущую стоимость обязательств. Теперь мы обсудим, как условия (6.7.6), (6.7.7) и (6.7.8) можно интерпретировать на практике. Поскольку

,t t tL S P= −

уравнения (6.7.6) и (6.7.7) эквивалентны равенствам

( ) 0 при интенсивности процентов t tt t tP A v S v δ+ =∑ ∑ (6.7.10)

и

( ) 0 при интенсивности процентов .t tt t tt P A v tS v δ+ =∑ ∑ (6.7.11)

Эти два уравнения влекут, что

( )( ) 0 при интенсивности процентов .

t tt t t

t tt t t

t P A v tS vP A v S v

δ+ =

=+

∑ ∑∑ ∑

(6.7.12)

Значит, при интенсивности процентов δ0 дисконтированные средние сроки получения денег от активов (т.е. доходы, tP , плюс поступления от активов, tA ) и выплат по

обязательствам, tS , равны. Пусть их общее значение обозначено ( )0T δ . Теперь условие

(6.7.8) можно выразить в виде

2 20 при интенсивности процентов t t

t tt A v t L v δ>∑ ∑

т.е.

( )2 20 при интенсивности процентов .t t

t t tt A P v t S v δ+ >∑ ∑

При учёте уравнений (6.7.10) и (6.7.11) последнее неравенство эквивалентно условию

~ 188 ~

( ) ( ) ( )2 2

0 0 0 при интенсивности процентов .t tt t tt T A P v t T S vδ δ δ − + > − ∑ ∑ (6.7.13)

Следовательно, «разброс» общих активов вокруг их дисконтированного среднего срока должен превышать, если условия иммунизации выполнены, соответствующую величину для пассивов; иначе говоря, разброс денег, которые компания должна получить в от своей деловой активности, и поступлений от активов вокруг их дисконтированного среднего срока должен превышать соответствующую величину для пассивов. Поскольку чистые пассивы { }tL заранее известны, поступления от активов { }tA должны быть

выбраны таким образом, чтобы удовлетворить условия (6.7.10), (6.7.12) и (6.7.13). Легко показать, что эквивалентная форма этих условий есть:

0 при интенсивности процентов t tt tA v L v δ=∑ ∑ (6.7.14)

0 при интенсивности процентов t t

t tt t

t t

tA v tL vA v L v

δ==∑ ∑

∑ ∑ (6.7.15)

2 20 при интенсивности процентов .t t

t tt A v t L v δ>∑ ∑ (6.7.16)

Уравнение (6.7.14) можно выразить словами в виде: «стоимость активов должна быть равна стоимости чистых обязательств», а уравнение (6.7.15) – как «дисконтированный средний срок активов должен быть равен соответствующей величине для чистых обязательств». Рассуждения, проведённые здесь, могут быть легко обобщены с тем, чтобы включить непрерывные денежные потоки. В качестве иллюстрации того, как условия для иммунизации могут быть выполнены, давайте рассмотрим полис накопления капитала, описанный в Примере 10.6.1. Чтобы уравнения (10.7.9) и (10.7.10) были выполнены, стоимость активов при процентной ставке 5% должна быть равна стоимости чистых обязательств, а именно £4091.94 (см. Пример 10.6.1), а дисконтированный средний срок активов при процентной ставке 5% должен быть равен

( )10

910

9

при процентной ставке 5%

10 10000 288.02 при процентной ставке 5%

10000 288.02

12.66 лет.

tt

tt

tL vL v

v Iav a

× −=

−

=

∑∑

Условие (6.7.16) также должно быть выполнено. Поскольку уравнения (6.7.14) и (6.7.15) выполнены, это последнее условие выполнено, если выполнено неравенство (10.7.8). Это неравенство утверждает, что разброс общих активов (т.е. активов и поступлений) вокруг общего дисконтированного среднего срока, ( )0T δ , должен быть больше, чем разброс

обязательств вокруг ( )0T δ . Поскольку в нашем случае все обязательства должны быть

выплачены в момент 10 лет, мы имеем: ( )0 10T δ = , и разброс обязательств вокруг этого

~ 189 ~

момента равен нулю. Это влечёт, что любой набор активов с текущей стоимостью £4091.94 и дисконтированным средним сроком 12.66 лет обеспечит компании иммунизацию против любых немедленных небольших изменений процентной ставки. Если существует большой выбор бумаг с фиксированным доходом, подходящий портфель активов может быть сформирован многими способами. Например, если компания может и хочет инвестировать в облигации, погашаемые по номиналу и приносящие 5% годовых, выплачиваемых непрерывно, то срок n должен быть таким, что

( )12.66 волатильность облигации

0.05 = при эффективной процентной ставке 5%,

0.05

nn

nn

Ia nva v

=

+

+

откуда следует, что 1.05 0.003088 2.576541 0.n n− − = Значит, 19.88n ≈ лет. Аналогичные расчёты могут быть проведены для других купонных ставок и, если требуется фиксированный срок (около 12.66 лет), может быть выбрана подходящая купонная ставка. По мере течения времени инвестиционный портфель должен меняться, в теории непрерывно, а на практике через дискретные промежутки времени, с тем, чтобы добиваться иммунизированной позиции. Если годовая интенсивность процентов, используемая при оценке активов и чистых обязательств, может изменяться только в определённые заданные дни, например, t1 (=0), t2 ,… лет (как на Рисунке 10.7.2), то портфель активов должен быть соответствующим образом сформирован непосредственно перед этими датами. Поскольку изменение интенсивности процентов не может происходить между этими датами, между этими датами нельзя получить ни дохода, ни потерь, а если интенсивность процентов незначительно изменяется в моменты

1 2, ,t t , то в каждый из этих моментов можно получить небольшой доход.

~ 190 ~

1t 2t 3t 4t 5t 6t вность п

Верно также, даже если вышеприведённые условия выполнены, что могут быть потери в случае большого изменения процентной ставки: теория Редингтона покрывает только небольшие изменения. Существует, однако, ещё одна теория иммунизации – её, чтобы не путать с теорией Редингтона, мы будем называть «полной иммунизацией, при которой инвестор получает прибыль при любом мгновенном изменении процентной ставки. Мы будем обсуждать концепцию «полной» иммунизации в следующем разделе.

10.8 Полная иммунизация

Рассмотрим инвестора, который имеет выплаты по обязательствам величиной S в момент t1 лет и обладает общими активами (в смысле, определённом в предыдущем разделе), обеспечивающими получение суммы A в момент 1t a− и B в момент 1t b+ . Предполагается, что a и b положительны, а для практического применения также необходимо предположить, что 1a t≤ . Предположим, что из четырёх величин A, B, a, b в точности две известны. Можно показать (см. Задачу 10.12), что во многих случаях имеется возможность однозначно определить две оставшиеся переменные таким образом, чтобы были выполнены два равенства

0 0a bAe Be Sδ δ−+ = (6.8.1)

и 0 0 .a bAae Bbeδ δ−= (6.8.2)

Существуют особые случаи, когда решений нет, но если известными величинами являются: (а) a, b; (б) B, b; (в) A, a или (г) A, b, то совершенно определённо могут быть найдены единственные значения двух других величин. Пусть ( )V δ обозначает текущую стоимость, при годовой интенсивности процентов δ, общих активов за вычетом текущей стоимости обязательств, т.е. пусть

~ 191 ~

( )1( ) .t a bV e Ae Be Sδ δ δδ − −= + − (6.8.3)

Легко можно показать, что условия (6.8.1) и (6.8.2) эквивалентны равенствам ( )0 0V δ = и

( )0 0V δ′ = . Предположим, что эти условия выполнены. Вследствие этого мы имеем:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 00 01

0 001 = 1 .

a ba bt

a bat

V e Ae e Be e S

a ae Ae e eb b

δ δ δ δδ δδ

δ δ δ δδδ

δ − − −−−

− − −−

= + − + − +

(6.8.4)

Здесь мы используем уравнение (6.8.2) и тот факт, что, в силу уравнений (6.8.1) и (6.8.2):

0

0 0

01 1 .

ba a

aa BeAe Ae Sb Ae

δδ δ

δ

− + = + =

Теперь рассмотрим знак функции

( ) 1 .ax bxa af x e eb b

− = + − +

Отметим, что (0) 0f = . Поскольку

( )( ) ,ax bxf x a e e−′ = −

отсюда следует, что

0 для 0,

( ) 0 для 0,0 для 0

xf x x

x

> >′ = = =< <

и, значит, что ( ) 0f x > для всех 0x ≠ . Таким образом, в силу уравнения (6.8.4) (при

0 xδ δ− = ),

( ) 00 для всех .V δ δ δ> ≠ (6.8.5)

Чтобы теория «полной» иммунизации могла быть применена в более общей ситуации, необходимо расщепить обязательства так, чтобы каждый элемент выплат по обязательствам был связан с двумя элементами общих активов, более ранний из которых может быть «поступлением» (элементом положительного денежного потока, возникающего из самого бизнеса), выплачиваемым перед элементом выплат по обязательствам. Тогда из приведённых выше рассуждений следует, что актив, связанный с этим элементом выплат по обязательствам (или более поздний актив, если их два) можно варьировать по величине и дате так, чтобы были справедливы равенства (6.8.1) и (6.8.2). Если эту процедуру повторить для всех элементов выплат по обязательствам, то весь бизнес будет иммунизирован против любых мгновенных изменений процентной ставки (см. Задачу 10.8 для иллюстрации этого процесса). Как и в случае теории иммунизации Редингтона, с течением времени необходимо модифицировать активы, чтобы достигать состояния иммунизации. Если интенсивность процентов может изменяться только в определённые заданные моменты времени, как на Рисунке 10.7.2, то можно выбрать подходящие активы непосредственно перед этими моментами. Приложения этой теории иммунизации связаны с разнообразными практическими трудностями, типичными примерами которых являются отсутствие на рынке подходящих облигаций с нулевым купоном и возможные колебания

~ 192 ~

интенсивности процентов в зависимости от срока до погашения и купонной ставки (см. раздел 10.2) – см., например, статью A.D.Shedden. A practical approach to applying immunisation theory. Transactions of the Faculty of Actuaries, 1977, 35(4), pp.365-91. Пример 10.8.1. Рассмотрим 20-летний контракт накопления капитала, описанный в Примере 10.6.1, и предположим, что текущая годовая процентная ставка равна 5%. Покажите, что компания может, с помощью подходящей инвестиции, достичь состояния полной иммунизации (при котором она получит прибыль при любом мгновенном изменении процентной ставки). Решение. Поскольку имеется только одно обязательство, и девять «поступлений» (т.е. премий), мы расщепим это обязательство на девять равных частей, величиной 10000/9=1111.11 каждая. Рассмотрим элемент платежей по обязательствам, привязанный к премии, которая должна поступить в момент r лет. Мы имеем уравнения 10288.02 1.05 1.05 1111.11r bB− −⋅ + ⋅ = и 10288.02 (10 ) 1.05 1.05 ,r br Bb− −⋅ − ⋅ = ⋅ где B обозначает поступление от бескупонной облигации в момент 10+b лет от настоящего момента. С помощью простого решения мы получаем

10

10

288.02 (10 ) 1.051111.11

288.021 1.051111.11

r

r

rb

−

−

⋅ − ⋅=

− ⋅

и

101111.11 288.02 1.051.05

поступление от бескупонной облигации в момент 10 лет.

r

bB

b

−

−

− ⋅=

= +

Инвестиция, таким образом, может состоять из девяти бескупонных облигаций следующих номиналов с указанными ниже сроками до погашения:

r Номинал бескупонной облигации (£)

Срок до погашения

(лет) 1 494.42 16.05 2 538.07 14.97 3 580.15 14.02 4 620.51 13.19 5 659.04 12.47 6 695.67 11.84 7 730.39 11.29 8 763.18 10.80

~ 193 ~

9 794.07 10.37 Указанный выше портфель облигаций с нулевым купоном таков, что компания полностью иммунизирована против любого мгновенного изменения процентной ставки. (Не утверждается, что это единственный такой портфель; может быть сконструировано много других). Пример 10.8.2. У инвестора есть единственное обязательство по выплате £1000 через 15 лет. В настоящее время годовая доходность бескупонных облигаций с любым сроком до погашения равна 4% и инвестор обладает наличными средствами, равными текущей стоимости его обязательств, т.е. 151000 при процентной ставке 4% 55£ 5.26v = . Он хочет инвестировать их в 10-летние и 20-летние бескупонные облигации так, чтобы он получил прибыль при любом мгновенном изменении интенсивности процентов. На какую сумму он должен приобрести ценных бумаг каждого вида и какую прибыль он получит, если годовая процентная ставка мгновенно станет 0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.06, 0.07 или 0.08? Решение. Уравнения (6.8.1) и (6.8.2) дают:

0 05 5 1000Ae Beδ δ−+ = и 0 05 55 5 ,Ae Beδ δ−= где 0 ln1.04.δ = Таким образом, мы имеем уравнения:

5 5

5 5

1.04 1000 при 4% годовых, 1.04 при 4% годовых.

A BvA Bv

⋅ + =⋅ =

Эти уравнения могут быть легко решены, что даёт A=410.96 и B=608.32. Количество бескупонных облигаций, которое он должен купить, должно, следовательно, быть таким, чтобы обеспечить выплату £410.96 в момент 10 лет и £608.32 в момент 20 лет. Прибыль от мгновенного изменения процентной ставки до значения i равна, в силу формулы (6.8.3),

15 5 5608.32(1 ) 410.96 1000 при процентной ставке .v i v i + + −

В следующей таблице мы приводим текущие значения обязательства ( )151000v , активов

( )10 20410.96 608.32v v+ и прибыль инвестора для каждой из указанных процентных

ставок.

Годовая процентная ставка

Текущая стоимость обязательства

Текущая стоимость активов

Текущая стоимость прибыли

0.00 1000.00 1019.28 19.28

~ 194 ~

0.01 861.35 870.58 9.23 0.02 743.01 746.51 3.50 0.03 641.86 642.61 0.75 0.04 555.26 555.26 0.00 0.05 481.02 481.56 0.54 0.06 417.27 419.16 1.89 0.07 362.45 366.11 3.66 0.08 315.24 320.87 5.63

~ 195 ~

Задачи

10.1 (Дисконтированный средний срок). (а) Рассчитайте, при эффективной годовой ставке (i) 5%, (ii) 15%, дисконтированную среднюю продолжительность следующей серии платежей: £100 выплачиваемых сейчас, £230 выплачиваемых через пять лет, £600 выплачиваемых через тринадцать лет. (б) Инвестор рассматривает возможность покупки ренты, которая выплачивается ежегодно с запаздыванием на протяжении 20 лет. Первая выплата равна £1000. Используя годовую процентную ставку 8%, рассчитайте дисконтированную среднюю продолжительность ренты, когда: (i) Выплаты остаются постоянными на протяжении всего срока; (ii) Выплаты каждый год увеличиваются на £100; (iii) Выплаты каждый год увеличиваются на 8%; (iv) Выплаты каждый год увеличиваются на 10% . 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12

~ 196 ~

Решения задач