29

التوابع )الدوال(

ألجل ذلك سوف ، لفةنعلم أن مفهوم التابع يلعب دورا أساسيا في جميع فروع الرياضيات ومناحيها المخت

ندرس مفهوم التابع ومجموعة تعريفه وكيفية رسمه ومن ثم ندرس أنواع التوابع وبعض خواصها األساسية

.التي سيتكرر استخدامها في جميع فصول هذا الكتاب

المقادير الثابتة والمقادير المتغيرة -3.1

لقيمة(. أما المقادير التي يمكن أن تأخذ قيم المقادير الثابتة هي المقادير التي تحافظ على نفس المدلول )ا

عددية مختلفة فتدعى بالمقادير المتغيرة.

(:1مثال )

إن قطر ومحيط الدائرة تتغير بتغير الحالة المدروسة )شكل الدائرة(، لذلك نقول أنها مقادير متغيرة. في

(.…π=3.14159حين أن نسبة محيط الدائرة إلى طول قطرها مقدار ثابت )

(:2ال )مث

عند ثبات درجة الحرارة vpالمحددة لكتلة الغاز تعتبر مقادير متغيرة. في حين أن pوالضغط v إن الحجم

)كما هو معروف في الفيزياء( هو مقدار ثابت.

مفهوم التابع 3.2-

التي ترتبط مع بعضها عند دراسة أي مقدار )كمية( فإننا عادة نتعامل مع مجموعة من المقادير المتغيرة

البعض بحيث أن قيم البعض منها )وتدعى بالمتغيرات( تحدد بشكل كامل قيم المقادير األخرى )والتي تدعى

tودرجة حرارته vأو التوابع(. فعلى سبيل المثال: عند دراسة الغاز فإننا نهتم بحجمه بالمتغيرات المرتبطة

كالبيرون فإنه إذا علمنا حجم ودرجة حرارة الغاز فإننا نستطيع –التالي حسب قانون مندلييف . وبpوضغطته

(.كمتغير مرتبط )تابع pكمتغيرات مستقلة وإلى المقدار tو vتعيين ضغطه وبالتالي فإننا ننظر إلى المقادير

يدعى تابع لمقدار yلتابع كما يلي: المقدار المتغير وهكذا إذا اقتصرنا على مقدارين متغيرين فإن مفهوم ا

توجد قيمة وحيدة معينة للمقدار xإذا كانا مرتبطين مع بعضهما البعض بحيث من أجل كل قيمة للمقدار xالمتغير

y :ونعبر عن ذلك بشكل مختصر كما يلي . xfy

الثالثةالمحاضرة

30

التي يكون من x تدعى مجموعة جميع قيم المتغير المستقل بالمتغير المستقل. كما xفي هذه الحالة يدعى

.y معينة بمجموعة تعيين )تعريف( التابع yأجلها

إلى تابع من مجموعتين غير خاليتين.نقول إن و لتكن :تعريف

وحيدا عنصرا ن عناصرم عنصر كلقاعدة ربط تقرن مع إذا كان ونرمز له بالشكل

ونعبر عن ذلك بالشكل من عناصر y f x .

Aكما تسييييييمى المجموعة تابعا حقيقيا فإننا نسييييييمي التابع إذا كانت كل من المجموعتين

بالرمز f(Domain) مجموعة تعريف ها بل أو Bكما تسييييييمى المجموعة f ( D ( ويرمز ل المجال المقا

.بيييأنيييه الييمييجييمييوعييية: ( الييتيييابييع Range) ميييدىويييعييرف .f(مييجييمييوعييية الييمسييييييييتييقيير لييلييتيييابييع

/ ;R f y B y f x x A

. بالرموز: y , xfx y f x A

مخطط فن:

الصفر ليس له صورة في نالحظ أن تابعا؟ :المعرف بالقاعدة هل يعتبر :(3مثال)

R فإنه في هذه الحالة يصبح تابعا . لكن إذا عرفنا .ليس تابعا وعليه فإن وفق

:لو اعتبرنا األشكال اآلتية

B A B A B A

(1) (2) (3)

ABfAB

:f A BfxA

yB

,B R A R f

f

:f R R

ff : \ 0f R R

AB

x

y

2

3

4

a

b c

d

2

3

4

a

b

d

d

2

3

4

a

b c

d

31

Bليس له صورة في 3ألن العدد ( ال يمثل تابعا1) :نالحظ إن

Bله أكثر من صورة في 2( ال يمثل تابعا ألن العدد 2)

ألنه يحقق تعريف التابع. Bإلى Aيمثل تابعا من (3)

2,3,4 ; , , , ; , ,D f B a b c d R f a b d

فإن مجموعة إذا أعطيت القاعدة التي تحدد صييييورة كل عنصيييير دون ذكر مجموعة تعريف التابع :مالحظة

ماعدا العناصر التي صورها غير معرفة وفق القاعدة المعطاة. Rتعريف التابع هي المجموعة

مداه:و عة تعريفهأوجد مجمو . 2f (x)=x ليكن التابع :(4مثال)

له صورة وفق القاعدة المعطاة إذا Rنالحظ أن كل عنصر من D f R.

2; ; 0,R f f x x R x x R

725( التابع 1 :(5مثال) 2 xxy معّرف على مجموعة األعداد الحقيقيةR.

( إن 2 2

53

x

xy معّرف على 2\R.

:( التابع المعّرف بالشكل 3

5,2;1

2,3;23)(

xx

xxxf

:تعريفه هيمجموعة 3,2 2,5.

5y( التابع 4 x معّرف على المجموعة:

5,D f .

التعين. وإذا وحيدة تدعى دالة yفإن yتوجد قيمة وحيدة للمتغير xإذا كان من أجل كل قيمة للمتغير :مالحظة

متعددة التعيين )ثنائية، تدعى دالة yفإن yتوجد أكثر من قيمة لـ xكان حتى من أجل بعض قيم

. x......النهائية( بالنسبة لـ .ثالثية،

f

32

بأكثر من متحول مفهوم التابع 3.1-

بعدة متغيرات. حيث يدعى المقدار المتغير بمتغير مستقل واحد على حالة دالة يعمم مفهوم التابع )الدالة(

( إذا كان من أجل أي قيمة لمجموعة yو xفي المتغيرين تابع uدة متغيرات )مثال بتابع )وحيدة التعيين( بالنسبة لع

. ونعبر عن ذلك كما يلي:uتوجد قيمة وحيدة معينة للمقدار )x, y(المتغيرات yxfu ,

متغيرا مستقال . yو xحيث يدعى كال من

(:6مثال )

وهي معرفة في yو xفي المتغيرين دالة uأي أن u=x.yهي yو xللمستطيل ذو البعدين uحة المسا

.y>0و x>0المنطقة

z, y, xلمتوازي مستطيالت أبعاده S = 2xy + 2yz + 2zxوالمساحة الكلية v=xyzكذلك الحجم

لك كذ v=f(x,y,z). ونكتب z>0و y>0و x>0منطقة . معرفة في الzو yو x تبثالثة متغيراعبارة عن دوال

S=g(x, y, z).

الضمنية مفهوم التوابع 3.5-

2xy( فمثال أنه صريح إذا كتب في صيغ طرفها األيمن ال يحوي متغير مرتبط ) دالة نقول عن تابع

.صريح هو تابع

يدعى بالتابع الضمني إذا كتب بالصيغة: xبالمتغير y التابع

0, yxF

122المعين بالمعادلة )y )y>0فعلى سبيل المثال التابع yx )ضمني. هي تابع )دالة

(:7ثال )م

132مرتبطين بالمعادلة yو xليكن yx حيثy ضمنية في المتغير دالةx بحل هذه المعادلة بالنسبة .

3نحصل على yلـ 21 xy وهذه الصيغة األخيرة تعطيناy كتابع صريح فيx .

33

القيمة المطلقة )أو المقياس(:3.6-

كما يلي: | xز |( والذي يرمز له بالرمxدد )أو القيمة المطلقة للع x يعرف مقياس كل ل

; 0

; 0

x if xx

x x

األصييل( دون االهتمام باتجاه محور األعداد عن مبدأ اإلحداثيات)نقطة x يعني بعد النقطة هندسيييا المقدار

.على خط األعداد و aهي المسافة بين النقطتين| a –b|ة ,وبشكل عام الكمي

الفائدة من التوابع3.7-

يمثل التابع عالقة ارتباط بين العناصر المكونة للظواهر بمختلف أنواعها

OutputOperationInput نموذج عام:

.لتطبيقات الفيزيائيةنستفيد من هذه العالقة في بعض ا

في الحركات المنتظمة تكون المسافة المقطوعة تابعاً للزمن: :1تطبيق

الزمن xالمسافة = السرعة

timet الزمن المسافة, cetandisd السرعة,velocityv

. .t d d v t d f t v t

وبذلك نرى أن المسافة tfd هي تابع للزمنt.

2تطبيق

:متناسب عكساً مع الضغط vحجم الغاز :قانون بويل من أجل الغازات

= الثابت الضغط x الحجم

, const-c , presure-p , volume-v بالرموز: p

cv

x R

x

b

34

هو الضغط وذلك وفق القانون التالي:pحد تابع لمتحول وا vحجم الغاز :بلغة التوابع

c

v f pp

طرق إعطاء التابع3.8-

تعطي القيمة العددية للتابع مباشرة : طريقة الجداول

مثالً: جداول اللوغاريتمات وجداول الجذور التربيعية

:إلحداثي االفقي قيم المتحول يمثل ا :من خالل رسم المنحني طريقة الرسم البيانيx يمثل و

yاإلحداثي الرأسي قيم التابع المناسبة

للزمن في مدينة دمشق الحرارة كتابعيبين هذا الرسم اآلتي ازدياد درجة

بكرة من الورق تدور ببطئ حول جهاز موصول بميزان حرارة يكتب تلقائياً على مرسوم بواسطة

محورها ) توجد في محطة األرصاد الجوية(.

وصف التابع بعالقات رياضية :الطريقة التحليلية

- -10

- -5

51

35

(:8مثال )

0 xif 1

0 xif 0

0 xif 1

xf

الرسم البياني للتابع 3.9-

ترسييييييم الخطوط البيانية للتوابع بتحديد مجموعة النقاط ,x y الواقعة في المسييييييتوى والمحققة للعالقة

y f x .

:الحظ رسم التوابع اآلتية :(9مثال )

المنحني البياني للتابع: :المنحني البياني للتابع

ارسم التابع اآلتي: (:10مثال )

0 xif xxf

1y

x

3y x

x0

y

1

1

36

اني:الرسم البي

ارسم التابع اآلتي (:12مثال )

0 xif 2 xxf

الرسم البياني:

ارسم التابع اآلتي (:13مثال )

0 xif x

0 xif xxf

2

الرسم البياني:

x

0

y

xy

x0

y

2xy

x0

y

2xy

37

(:14مثال )

كما ذكرنا يعطى تابع القيمة المطلقة بالعالقة:

0 xif x

0 xif xxxf

تييابع القيم المطلقيية معرف على كييل مجموعيية األعييداد الحقيقييية وقيمييه موجبيية دائمييا وبييذلييك يكون :1مالحظةةة

مستقره المجال: ,0

ةباستخدام خواص القيمة المطلقة نستطيع مباشرة إيجاد الرسم البياني لبعض التوابع المرتبطة بهذه القيم

2xy 2), 3xy )1 ارسم التوابع اآلتية (:15مثال )

(2)شكل -3بانسحاب عمودي نحو األسفل مقداره (1الحل: ينتج التابع األول عن تابع القيمة المطلقة )شكل

(2شكل )

x0

y

xy xy

38

( 3شكل) 2( بانسحاب عمودي نحو األعلى مقداره1وينتج التابع الثاني عن تابع القيمة المطلقة )شكل

(3شكل )

:)أي خطه البياني( حدد بيانهاوجد مجموعة تعريف التابع اآلتي و(: 16مثال )

0y ,x1xfy 2

ا مومجموعة تعريفه تحدد بمجموعة النقاط التي يكون من أجلها xالتابع المعطى هو تابع لمتحول واحد .الحل

ما يكون: داخل الجذر موجبا . ويحدث ذلك عند

1x1 1 01 22 xx

أي أن مجموعة التعريف هي المجال المفتوح 1x1 1,1 I.

وبحسب التعريف يعطى بيان التابع بمجموعة النقاط

0y ,x1,xy,x 2

x1y وبما أن 2 0 فإنy ,1yx 22

39

0y وبما أن .1دائرة مركزها يقع في المبدأ ونصف قطرها وهذه المعادلة تمثل معادلة فهي تمثل النصف

العلوي فقط للدائرة وهو بيان التابع المعطى.

أوجد مجموعة تعريف التابع(: 17مثال ) 2x1

1xf

ومجموعة تعريفه تحدد بمجموعة النقاط التي ال ينعدم من أجلها xالتابع المعطى هو تابع لمتحول واحد الحل.

ويحدث ذلك عندما يكون: .المقام والتي يكون من أجلها ما داخل الجذر موجبا في الوقت نفسه

1x1 1x 0x1 22

أي أن مجموعة التعريف هي المجال المفتوح 1x1 1,1- .

:مليات الجبرية على التوابعالع3.10-

f,إذا كان g 1 وكانت تابعين 2,D Dمجاليهما( على الترتيب فأننا: مجموعتي تعريفهما(

fنرمز لمجموعهما بالرمز (1) g ونعرفه كما يلي:

1 2 :x D D f g x f x g x

fبالرمز fمن gحنرمز لحاصل طر (2) g ونعرفه كما يلي:

1 2 :x D D f g x f x g x

:ونعرفه كما يلي fgنرمز لحاصل ضربهما بالرمز (3)

1 2 :x D D f g x f x g x

x

0

y

40

بالرمز fعلى gنرمز لحاصل قسمة (4)f

g :ونعرفه كما يلي

1 2 : ; 0

f xfx D D x g x

g g x

.

:تصنيف التوابع 3.11-

كما يلي: تصنف التوابع

:حيث وهي التوابع التي لها الشكل التالي: التوابع األسيةa .عدد ثابت موجب

حيث : أيضا هذه التوابع لها الشكليتميةالتوابع اللوغارa .عدد ثابت موجب

:حيث لتوابع القوة الشكل العام: توابع القوةa .عدد حقيقي ثابت

:تابعا ثابتا على المجموعة يسمى التابع التابع الثابتA بحيث يكون: إذا كان هنالك

مثل. 5f x لكلx منR.

إن كثيرات الحدود من الدرجة :كثيرات الحدودn :هو تابع من الشكل

عدد صحيح غير nو، تسمى معامالت )أمثال( كثيرة الحدود، أعداد ثابتة 0a,…,1 - n, ana حيث

:. تسييييييمى كثيرة الحدودكثيرة الحدود هي. أن مجال سيييييييالب يسييييييمى درجة كثيرة الحدود عندما

أميييا كثيرة الحيييدود .بيييالتيييابع التربيعي وخطيييه البيييياني يكون دائميييا قطعيييا مكييياف يييا

.فيسمى بالتابع التكعيبي

:زوجيا إذا كان التابع يسمى التابع الزوجي:

:فرديا إذا كان يسمى التابع التابع الفردي:

xf x a

logf x x

af x x

fk R

;f x k x R

1

1 1 0...n n

n nf x a x a x a x a

0na R

2f x ax bx c

3 2f x ax bx cx d

:f A B

;f x f x x A

:f A B

;f x f x x A

41

التابع (:17مثال )

:ألن فردي ي وأن التابع زوج

ومنه فالتابع زوجي.

ومنه فالتابع فردي.

3وقد يكون التابع ليس فرديا وليس زوجيا مثال التابع 2y x x x . ليس فرديا وليس زوجيا

التابع المحدود:

بحيث:M إذا وجد عدد موجب Aمحدودا على مجموعة f يكون التابع

M أي x M

cosyالتابعان x وsiny x 1 :محدودان ألن cos 1x 1 و sin 1x .

ليكن لدينا التابع :التوابع المطردة)(xf المعرف على المجموعةA.

:إذا تحقق الشرط التالي Aإنه متزايد على المجموعة الجزئية xf)(نقول عن التابع

1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x A x x f x f x

إذا تحقق الشرط التالي: A إنه متناقص على المجموعة الجزئية xf)(و نقول عن التابع

1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x A x x f x f x

.التوابع المتناقصة، بالتوابع الوحيدة الطورو وتسمى التوابع المتزايدة،

قق الشرط التالي:حإذا ت Aإنه تابع متزايد تماما على المجال xf)(نقول عن التابع

1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x A x x f x f x

، إذا تحقق الشرط التالي:Aإنه تابع متناقص تماما على المجال xf)(و نقول عن التابع

1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x A x x f x f x

2)1(2:التابع إن (:18مثال ) xy المعرف علىR هو تابع متزايد تماما ،.

المعرف على المجال y = Cos x :التابع إن (:19ل )مثا ,0 هو تابع متناقص تماما ,.

2 3f x x 3g x x x

2 23 3f x x x f x

3 3g x x x x x g x

;f x M x A

42

تمارين غير محلولة 3.12-

:( أوجد مجموعة تعريف كل تابع فيما يلي1

)1 ) 2

1

1f x

x

)2 )

2

3 2

1

2

xf x

x x x

)3( 1f x x

)4(

( 2

1

2f x

x

f,( إذا كان 2 g تابعين معرفين كما يلي: 21;f x g x x

x

f :اكتب تعريف كل من g , f g, fg¸ f

g

وكانت 1 2,D Dمجاليهما( على الترتيب فأننا: مجموعتي تعريفهما(

وأي من هذه التوابع ليسييييييت محدودة .بيّن فيما إذا كانت التوابع التالية زوجية ,فردية أم ال زوجية وال فردية (3

.على

(1 ) (2)

(3) (4)

1,1

3( ) 3 4f x x x 2( ) 9 5f x x

2( ) 1f x x ( ) 5f x x

43

إضافـات مـدرس المقـرر

44