Embed Size (px)
Citation preview
/ 1مقرر الرياضيات /
116
لمحاضرة العاشرةا
فضاء التطبيقات الخطية والمصفوفات
مع االستقالل واالرتباط الخطي لمجموعات جزئية من فضاء المتجهات السابقة في المحاضرة درسنا
في ندرس . دراسة المصفوفات واالرتباط الخطيأيضا المتجهية وتمت أبعاد هذه الفضاءات دراسة
التطبيقات الخطية وفضاء حيث سيتم دراسةفضاء التطبيقات الخطية والمصفوفات هذه المحاضرة
التطبيقات الخطية وإعطاء تمارين محلولة متنوعة.
ق منتطبي فضائي متجهات و و إذا فرضنا أنالتطبيقات الخطية: 10.1
تطبيقا خطيا إذا وفقط إذا حقق الشرطين التاليين : نسمي في
تطبيقا خطيا هو تحقق الشرط: الشرط الالزم والكافي حتى يكون:1نتيجة
: أمثلة
هو تطبيق إن ،بيق المطابق )صورة كل عنصر نفسه(التط حيث ليكن -1
خطي .
: في التطبيق الثابت من -2
ويسمى التطبيق ب ويرمز لهذا التطبيق بهذه الحالة إال في حالة واحدة هي ال يكون خطيا
الصفري .
تطبيق خطي. إن من و لكلالتطبيق -3
ليكن التطبيق : -4
تطبيق خطي ألن : إن
1V F 2V Ff1V
2Vf
1
1
, 1
, 2
x y V f x y f x f y
F x V f x f x
f
1, , , 3F x y V f x y f x f y
IV F V FII
1V F 2V F
1x V f x c
0c 0
2 2: : , ,T R R T x y x y xyRT
3 2: : , , ,T R R T x y z x y y z
T
/ 1مقرر الرياضيات /
117
هو تطبيق خطي . وبالتالي
فضاء متجهات وعرفنا التطبيق : و إذا فرضنا أن -5
هو تطبيق خطي . فإن
ذلك أن : ،ليس خطيا طبيق الت -6
.
نواة تطبيق خطي 10.2
تطبيقا خطيا نسمي المجموعة : ليكن
. نواة التطبيق الخطي
ذلك أن : فضاء متجهات جزئي من و ألن إن
. نواة التطبيق الصفري هي : 2وفي المثال : 1في المثال
هي حلول جملة المعادلتين: واةن : 5وفي المثال : 3في المثال
. يكون متباينا إذا وفقط إذا كان تطبيقا خطيا فإن إذا كان : 1نظرية
: متباين ولنبرهن أن نفرض أن البرهان :
متباين وبما أن عندئذ لنفرض اآلن أن إن
. وبالتالي فإن
متباين : ولنبرهن أن لنفرض اآلن أن
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
, , , , , ,
,
, ,
, , , ,
, , , , ,
, , ,
T x y z x y z T x x y y z z
x x y y y y z z
x y y z x y y z
T x y z T x y z
T x y z T x y z x y y z
x y y z T x y z
T
F V F
: :f V F V F f x x
f
3 2: : , , 2,f R R f x y z x y z
0,0,0 2,0 0,0f
1 2:f V V
21; 0VKer f x x V f x f
Ker f 2
0V Ker fKer f1V
2
, , , 0VF x y Ker f f x y f x f y
x y Ker f
2
0VKer f 1V
0,0Ker f T
0 0x y y z
ff 1
0VKer f
f 1
0VKer f
1
0V Ker fx Ker f 2 1
0 0V Vf x f f
10Vx
10VKer f
1
0VKer f f
/ 1مقرر الرياضيات /
118
متباين . اليوبالت
صورة تطبيق خطي 10.3
نسمي المجموعة : في تطبيقا خطيا من ليكن
. وفق صورة
عندئذ : ،تطبيقا خطيا إذا فرضنا : 2نظرية
. هو فضاء متجهات جزئي من صورة أي فضاء متجهات جزئي من -1
. هو فضاء متجهات جزئي من الصورة العكسية ألي فضاء متجهات جزئي من -2
. ب المعرف ليكن التطبيق : 1 مثال
خطي ومتباين . برهن أن التطبيق -1
أوجد قاعدة صورة هذا التطبيق . -2
الحل :
خطي ذلك أنه : إن -1
: متباينا إذا وفقط إذا كان يكون التطبيق
متباين . إذن
نجد أن : أن إذا فرضنا -2
ومنه :
2 2
1
1, 0 0
0
V V
V
x y V f x f y f x f y f x y
x y Ker f x y x y
f
f 1V F 2V F
2 1Im ; :f y y V x V f x y 1Vf
1 2:f V F V F
1V2V
2V1V
2 3:f R R , ,2 ,f x y x y x x y
f
f
2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2
, ; , , , , ,
, , ,
, 2 ,
, 2 , , 2 , , ,
R x y x y R f x y x y
f x y x y f x x y y
x x y y x x x x y y
x y x x y x y x x y f x y f x y
2 3:f R R 1
0VKer f
, 0,0,0 ,2 , 0,0,0
0 , 2 0 , 0
0
f x y x y x x y
x y x x y
Ker f
f
, , ,f x y X Y Z
2 0
X x y
Y x X Y Z
Z x y
2 3, , ; 0f R X Y Z R X Y Z
/ 1مقرر الرياضيات /
119
. و ل تشكل قاعدة ومنه :
مصفوفة التطبيقات الخطية 10.4
:و ل قاعدة ولتكن ،تطبيقا خطيا ليكن تعريف
: ل قاعدة
وليكن :
وبالتالي :
وبالتالي :
أو :
2 , , ; , 1,1,0 1,0,1 ; ,f R Y Z Y Z Y Z R Y Z Y Z R
1,1,0 , 1,0,1S 2f R dim Im 2f
1 2:f V F V F 1 ,......., mA x x1V
1 ,......., nB y y2V
1 1 2 2 1
1 1 2 2 2
....... ;
....... ;
m m
n n
x x x x x V F
f x y y y f x V F
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
.......
.......
..............................................................
.......
n n
n n
m m m mn n
f x y y y
f x y y y
f x y y y
1 1 2 2
1 1 2 2
1 11 2 21 1 1
1 12 2 22 2 2
1 1 2 2
1 1 2
.......
.......
.......
.......
......................................................
.......
m m
m m
m m
m m
n n m mn n
f x f x x x
f x f x f x
y
y
y
y y
2 ....... n ny
1 1 11 2 21 1
2 1 12 2 22 2
1 1 2 2
.......
.......
.....................................
.......
m m
m m
n n n m mn
11 11 21 1
21 22 2 2
1 2
m
m
n n mnn m
/ 1مقرر الرياضيات /
120
تسمى المصفوفة :
( . )في ( و )في لقاعدتينبالنسبة ل مصفوفة التطبيق الخطي
إذا وضعنا :
و
. فإن المعادلة السابقة تكتب على الشكل :
( . ل قاعدة و ل قاعدة )حيث السابقة بالرمز يرمز للمصفوفة مالحظة :
هي ن فإ مصفوفة التطبيق الخطي و مصفوفة التطبيق الخطي إذا فرضنا أن
. هي مصفوفة التطبيق الخطي و مصفوفة التطبيق الخطي
وبالتالي إذا كان التي صورتها هي مجموعة العناصر من إن مالحظة :
أي : أو أن فإن
هي الحل العام لجملة المعادالت المتجانسة التالية : أي أن نواة التطبيق الخطي
هي مجموعة مولدة ل يقا خطيا فإن صورة أي مجموعة مولدة تطب إذا كان : 3نظرية
. ل
تطبيقا خطيا و متباينا فإن صورة أي مجموعة مستقلة خطيا من إذا كان : 4 نظرية
. هي مجموعة مستقلة خطيا من
11 21 1
21 22 2
1 2
m
m
n n mn
P
fA1VB
2V
1
2
m
1
n
.P
P B
AM fA1VB
2V
1Pf2Pg
1 2P P
f g1Pf
Ker f1V
20V
1 1 2 2 ....... m mx x x x Ker f 0f x . 0P
111 21 1
1 2
0
m
n n mn m
f
111 21 1
12 22 2 2
1 2
0
0
0
m
m
n n mn m
1 2:f V V1V
Im f
1 2:f V V1V
2V
/ 1مقرر الرياضيات /
121
ينتج من النظريتين السابقتين أن : نتيجة :
تقابال فإن صورة و إذا كان لهي قاعدة وفق تطبيق خطي متباين ل صورة أي قاعدة
. ل هي قاعدة ل أي قاعدة
فضاء التطبيقات الخطية 10.5
لمجموعة جميع التطبيقات الخطية التي ب فضائين متجهين ولنرمز و ليكن
: عمليتينولنعرف على هذه المجموعة ،ومستقرها منطلقها
لشكل التالي :با ب داخلية ونرمز لها األولى :
ذلك أن : إن
داخلية وتحقق الخواص التالية : على خطي وبالتالي العملية ومنه
الخاصة التجميعية : -1
العنصر الحيادي هو التطبيق الصفري : -2
معطى بالعالقة : نظير لكل عنصر -3
تبديلية : العملية -4
زمرة تبديلية . ومنه
معطاة بالشكل التالي : خارجية مجموعة مؤثراتها الخارجية نية :الثا
1VfIm ff
1V2V
2V F 1V F 1 2,L V V
1V2V
1 2 1 2 1, , : ; :f g L V V f g V V x V f g x f x g x
f g L
1
1
,
,
a x y V f g x y f x y g x y
f x f y g x g y
f x g x f y g y
g f x g f y
b F x V f g x f x g x
f x g x
f g x
f gL
, ,f g h L f g h f g h
21 2 10 : ; : 0 0VV V x V x
f Lf
1 2 1: ; :f V V x V f x f x
,f g L f g g f
1 2, ,L V V
F
1 2 1, : ; ;F f L f V V x V f x f x
/ 1مقرر الرياضيات /
122
يمكن التأكد أن هذه العملية تحقق الخواص التالية :
. فضاء متجه على ومنه
نعرف التطبيق : في تطبيقان من إذا فرضنا أن تعريف :
ذلك أنه : ،إن جداء تطبيقين خطيين ليس بالضرورة تطبيقا خطيا مالحظة :
والمعرفين كما يلي : ليكن :2مثال
احسب كال من التطبيقات التالية :
الحل :
: 1. 1
, , 2
, , 3
, , 4
f L f f
F f L f f f
F f L f f
F f g L f g f g
1 2, ,L V V F
,g f1V2V
1 2 1, : ; : . .f g V V x V g f x g x f x
1 2 1, : , ; ,
. .
.
. .
. .
f g L V V x y V
g f x y g x y f x y
g x g y f x f y
g x f x g x f y g y f x g y f y
g f x g x f y g y f x g f y
g f x g f y
2 3, : ,f g L R R
, 2 , 2f g f f g
, , ,
, 2 , 2 , , 2
2 ,2 ,3
2 , 2 , 2 ,2 , 2
2 2 , 4 , 2 4
2 , , 2 ,
, 2 , 2 2 , , 2
, 2 2 , 3 4
f g a b f a b g a b
a b a a b a b b a
a b a b a b
f a b f a b a b a a b
a b a a b
f g a b f a b g a b
a b a a b a b b a
a b a b a b
, , 2 , 2 , , , , 2f a b a b a a b g a b a b b a
/ 1مقرر الرياضيات /
123
التطبيق الخطي المقابل لمصفوفة 10.6
قاعدة لـ وكانت وجدنا في مصفوفة التطبيق الخطي أنه إذا كان
وكان : قاعدة لـ و
فإن المصفوفة :
تتغير بتغير القواعد في و إن المصفوفة ويرمز لها بـ ق الخطيمعينة للتطبي
بالنسبة للقاعدتين المرتبتين والذي علمت مصفوفته لنعين التطبيق الخطي
يعني معرفة المعادالت ( . إن معرفة المصفوفة قاعدة لـ و قاعدة لـ )
لمتجهات القاعدة يكتب كتركيب خطي وحيد ( هذا وأن كل متجه1)
و أن :
. بما يساويها نحصل على قاعدة الربط للتطبيق الخطي فإذا عوضنا عن
: 5 نظرية
على الترتيب وإذا فرضنا أن فضائين متجهين بعداهما إذا فرضنا أن
مصفوفته فإنه يوجد تطبيق خطي مصفوفة عناصرها من الحقل
ب :على الترتيب, معين ئين للفضا بالنسبة للقاعدتين
1 2,f L V V 1,..., mA x x1V
1,..., nB y y2V
1 11 1 1
2 21 1 2
1 1
...
... 1
.........................................
...
n n
n n
m m mn n
f x y y
f x y y
f x y y
11 21 1
12 22 2
1 2
m
m
n n mn
P
f B
AM fP1 2,V V
1 2,f L V V B
AM f
,A BA1VB
2V B
AM f
u V
1
1
: ,...,m
i i m
i
u x A x x
1
m
i i
i
f u f x
if xf
1 2,V F V F,m n
ij n mP
F 1 2,f L V VP
,A B1 2,V V
1
1 1
; 1,....., 2
3
n
i ij j
j
m m
i i i i
i i
f x y i m
f x f x
/ 1مقرر الرياضيات /
124
ب :معين و أن أي تطبيق آخر
. يقتضي
بالنسبة للقاعدة القياسية أوجد مصفوفة التطبيق الخطي المطابق على فضاء المتجهات :3مثال
في هذا الفضاء .
الحل :
لدينا أي أن : التطبيق الخطي على فضاء المتجهات ليكن
: في القاعدة القياسية
هي المصفوفة األحادية : ومصفوفة التطبيق الخطي المطابق
والذي مصفوفته بالنسبة للقاعتين القانونيتين في أوجد التطبيق الخطي :4مثال
هي : الفضائين
( أن :1من المصفوفة المفروضة نجد بتطبيق المعادالت ) الحل :
. للقاعدة القانونية في و للقاعدة القانونية في ب حيث رمزنا
1 2,g L V V
; 1,.....,i ig x f x i m
f g
V F
VIV : Vu V I u u
1 ,....., ne eV
1 1 2
2 1 2
1 2
1. 0. ..... 0.
0. 1. ..... 0.
.............................................
0. 0. ..... 1.
n
n
n n
I e e e e
I e e e e
I e e e e
VI
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
I
3 4,f L R R 3 4,R R
1 0 1
1 1 0
3 2 4
2 3 1
A
1 1 2 3 4
2 1 2 3 4
3 1 2 3 4
3 2 1, 1,3,2
0. 2 3 0,1,2, 3
0. 4 1,0,4,1
f e e e e e
f e e e e e
f e e e e e
1 2 3, ,e e e3R 1 2 3 4, , ,e e e e 4R
/ 1مقرر الرياضيات /
125
وهو التطبيق الخطي المطلوب .
تمارين محلولة10.7
بحيث : ليكن التطبيق الخطي :1تمرين
تطبيق خطي و أوجد قاعدة وبعد نواة هذا التطبيق . برهن على أن
تطبيق خطي : لنبرهن على أن الحل :
خطي . ومنه
: لنوجد نواة هذا التطبيق -ب
إن :
ومجموعة المعادالت السابقة تكافئ مجموعة المعادالت :
3
1 2 3
1 2 3
, , : , ,
, ,
1, 1,3, 2 0,1, 2, 3 1,0, 4,1
, ,3 2 4 , 2 3
a b c R a b c ae be ce
f a b c af e bf e cf e
a b c
a c a b a b c a b c
4 3:f R R
, , , , ,f x y z t x y t y z z t x
f
f
, , , , , ,
, , ,
, ,
, , , ,
f v v f x y z t x y z t
f x x y y z z t t
x x y y t t y y z z z z t t x x
x y t y z z t x x y t y z z t x
f v f v
f
, , , : , , , 0,0,0Ker f x y z t f x y z t
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1
xx y t
yy z
zx z t
t
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
0. 0
0. 0
x y z t x z t
y z t y z
/ 1مقرر الرياضيات /
126
أو أن مجموعة الحلول هي :
بمعنى آخر :
. و هي : ومنه قاعدة
المعرف بمصفوفة : ليكن المؤثر الخطي :2تمرين
. قاعدة للفضاء حيث
a) أيضا قاعدة للفضاء أثبت أن .
b) إلى القاعدة نتقال من القاعدة أوجد مصفوفة اال.
c) إلى القاعدة أوجد مصفوفة االنتقال من القاعدة .
d) بالنسبة للقاعدة أوجد مصفوفة .
مستقلة خطيا : يكفي أن نبرهن أن -أ الحل :
(هو )ألن عدد عناصر ومنه مستقلة خطيا فهي قاعدة لـ
عندئذ بفرض: -ب
1 1
1 0
1 0
0 1
x z t
y zz t
z z
t t
, , , ; , , , 1,1,1,0 1,0,0,1Ker f x y z t x y z t z t
Ker f 1 1,1,1,0 , 1,0,0,1S dim 2Ker f
3 3:f R R
1 1 2
2 0 1
1 1 2
A
AM f
, ,A u v 3R
, 2 ,B u v u v v 3R
AB
BA
fB
B
2 0
2 0
0
2 0 0
0
u v u v v
u v
3RB3
1 2 3, ,B b b b
1 2 3
1
2 1 2 3
3
1 2 3
1 1 1
2 2 2
1 1 12
2 2 2
1 1 3
2 2 2
u b b b
b u v
b u v v b b b
b v
b b b
/ 1مقرر الرياضيات /
127
لدينا : -ت
إن : -ث
والذي مصفوفته بالنسبة للقاعدتين القانونيتين هي: أوجد التطبيق الخطي :3تمرين
وإن إحداثيات صورة هذا بالنسبة للقاعدة القانونية هي إحداثيات أي متجه في الفضاء الحل :
ذ :عندئ بالنسبة للقاعدة القانونية هي في الفضاء المتجه
ومنه:
تمارين غير محلولة 10.8
المعرف بالشكل : برهن على أن التطبيق -1
غير خطي .
مرتبطة تطبيقا خطيا برهن على أن صورة مجموعة عناصر من ليكن -2
هي مجموعة مرتبطة خطيا . ،خطيا
. ل قاعدة برهن على أن -آ -3
. بالنسبة للقاعدة متجه أوجد إحداثيات ال -ب
1 1 11
1 1 12
1 1 3
P
1
1
2
3
1 1 0
2 1 2 1
0 1 1
b u v
b u v P
b v
1 1 1 1 1 2 1 1 01
1 1 1 2 0 1 1 2 12
1 1 3 1 1 2 0 1 1
2 13 71
2 13 12
2 13 7
B
BM f
3 4:f R R
1 0 1
1 1 0
3 2 4
2 3 1
A
3R3R
, ,f x y z4R , , ,x y z t
1 0 1
1 1 0
3 2 4
2 3 1
xx
yy
zz
t
, , , ,3 2 4 ,2 3f x y z x z x y x y z x y z
2 3:f R R
, 1,2 ,f x y x y x y
1 2:f V F V F1V
1,2,3 , 2,5,3 , 1,0,10S 3R
3, ,x y z RS
/ 1مقرر الرياضيات /
128
ب :المعرف إذا فرضنا أن التطبيق الخطي -ج
عين هذا التطبيق الخطي وعين نوعه
المعرف بالشكل : برهن على أن التطبيق -4
أوجد مصفوفته بالنسبة للقاعتين القانونيتين . ،هو تطبيق خطي
. بالنسبة للقاعدتين القياسيتين في أوجد التطبيق الخطي الذي مصفوفته -5
:إضافـات مـدرس المقـرر
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
3 2:f R R
1,2,3 1,0 , 2,5,3 1,0 , 1,0,10 0,1f f f
2 2:f R R
, ,f x y x y x
1 2
1 0
2 1
3 2
4 2,R R
/ 1مقرر الرياضيات /
129
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
.
الطلبـة األعـزاء :الرجاء إضافة المعلومات المتممة التي سيقدمها المدرس أثناء المحاضرة .
لمزيد من المعلومات :
تأليف ) –لمهندسين الرياضيات لبالمرجع : 586-558اإلطالع على الصفحاتA.Croft
and R. Davison) 2008سنة النشر -1998النسخة الثالثة سنة التأليف عام
اإلطالع على الدوريةJournal of Linear Algebra and its Applications
References:
Mathematics for Engineers : A.Croft and R. Davison, Third Edition
(2008).
Introductory Linear Algebra، An Applied First course, B. Kolman and
D. Hill (2005).
![ةلضا فت تلاداعم...ةيناثلا ةنسلا][ Math_WhatsApp : 099192114 Facebook_Page : IOMfb group تايضايرلا مسق مولعلا ةيلك بلاط 5: ب برضن](https://img.pdfslide.us/doc/110x75/607e9d0276c51d038e65de1a/-mathwhatsapp-099192114.jpg)
