Министерство образования и науки Российской Федерации

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова

На правах рукописи

Степанов Сергей Павлович

Численное моделирование трехмерных задач тепло- и

массопереноса в криолитозоне

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование,

численное методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор

Вабищевич Петр Николаевич

Якутск 2017

Содержание

Введение 4

1 Численные решения задач тепло– и массопереноса с фазовыми пере-

ходами 13

1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Задача теплопереноса с фазовыми переходами . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Двумерная задача Стефана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Конечно-элементная дискретизация . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.3 Аппроксимация по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.4 Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Теплоперенос в системе грунт–труба . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.2 Аппроксимация задачи теплопереноса в системе труба-грунт 31

1.3.3 Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Свободная конвекция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.2 Аппроксимация задачи свободной конвекции . . . . . . . . 37

1.4.3 Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 Температурное поле многолетнемерзлого грунтового основания же-

лезной дороги 43

2.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Численное решение двумерной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.2 Численное исследование теплового режима грунта . . . . . 49

2

2.2.3 Влияние теплоизоляции (пеноплекс) и сезонно-

охлаждающего устройства (СОУ) . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.4 Сравнение с натурными данными . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3 Численное решение трехмерной задачи . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.1 Численное исследование теплового режима грунта . . . . . 74

2.3.2 Влияние теплоизоляции (пеноплекс) и сезонно-

охлаждающего устройства (СОУ) . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.4 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3 Тепловой режим теплиц в условиях Крайнего Севера 91

3.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Расчет теплопотерь для различных типов

теплиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3 Численное исследование распространения тепла в теплице . . . . 102

3.4 Свободно-конвективное движение в теплице . . . . . . . . . . . . . 106

3.5 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Заключение 115

Литература 116

3

Введение

При промышленном освоении Севера и Северо-Востока страны важное зна-

чение приобретает вопрос строительства инженерных сооружений и зданий. Ос-

новными особенностями проектирования, строительства и эксплуатации объек-

тов на многолетнемерзлых грунтах являются необходимость учета теплообмена

с окружающей средой. Прикладные исследования этой проблемы чаще всего ос-

нованы на предположении о стационарности процесса теплообмена и не обес-

печивают необходимую точность прогноза. Возникает необходимость составле-

ния прогноза динамики изменения температурного режима грунтов, что является

необходимым элементом инженерно-геологического обоснования строительства

геотехнических объектов в условиях криолитозоны.

Многолетнемерзлые грунты характеризуются различным происхождениям,

неравномерностью мощности, наличием локализованных таликов, большим диа-

пазоном температурного режима, различной льдонасыщенностью, структурно-

текстурными особенностями и большим разнообразием состава и других

свойств, исследования в этом направлении обобщены в монографиях О. Андер-

сланда [3, 4], Г.А. Аксельруда [66, 67], В.Н. Ашихмина [70], Л.М. Батунера [71],

Н.М. Беляева [72], Р. Берда [73], Ю.М. Дядькина [88], Н.С. Иванова [89, 90].

Следовательно, изучение состава, состояния, строения, температурного режима

вечномерзлых грунтов на территории строительства представляет с собой боль-

шую, самостоятельную и сложную задачу. Характеристики вечномерзлых грун-

тов могут изменяться как во времени, так и в пространстве [3,25,75,82,88,96,97].

Указанные изменения в зависимости от вызывающих их факторов можно разде-

лить на две группы:

∙ естественные изменения природной среды;

∙ воздействия внешних факторов (строительство и т.д.).

Без прогноза динамики изменения этих факторов надежное и экономичное

4

строительство и эксплуатация проектируемых объектов практически невозмож-

но. Это подтверждается весьма значительной долей деформируемых и разрушае-

мых инженерных объектов, сооружаемых на вечной мерзлоте. Прогнозирование

температурного режима грунта является ключевой задачей для обеспечения со-

хранности при строительстве зданий и сооружений в регионах Крайнего Севера.

В 1970-х гг. в области инженерного мерзлотоведения в России и за рубежом

были получены интересные научные результаты основанные на лабораторных

опытах, натурных экспериментах и наблюдениях за динамикой теплообмена и

взаимодействия сооружений со средой, они обобщены в монографиях Ю.Я. Вел-

ли [85], Е.В. Втюрина [86], Ю.М. Дядькина [88], Л.Н.Хрусталева [114,115], В.В.

Докучаева [87], Г.М. Фельдмана [112]. Были обобщены результаты многолетних

экспериментальных исследований физико-механических свойств мерзлых и от-

таивающих грунтов Сибири, проведенных в полевых и лабораторных условиях,

в работах Н.Н. Беляева [72], Г. Карслоу [92], А.В. Лыкова [96,97]. В отмеченных

работах изложены основные закономерности изменения физико-механических

свойств мерзлых и оттаивающих грунтов в зависимости от температуры и ос-

новных физических показателей, а также взаимосвязи этих свойств.

Тепловые расчеты имеют огромное практическое значение в мерзлотоведе-

нии, так как именно они необходимы для прогнозирования изменения теплового

режима грунта при строительстве в условиях криолитозоны. Численное исследо-

вание теплофизических процессов проводятся в ведущих научных центрах. Учет

процессов промерзания–протаивания грунтов обуславливает трудности при про-

ведении расчетов.

Первой задачей прогноза является оценка вероятных изменений мощности

и вертикального строения вечномерзлых грунтов, сезонного оттаивания и про-

мерзания грунтов в результате влияния зданий и сооружений. После решение

данной задачи становится возможным разработка рекомендаций по размещению

проектируемых зданий и сооружений, что позволяет более детально изучить

5

условия необходимые для разработки технических решений оснований и фунда-

ментов. Дальше сформулируем задачу прогноза, которая состоит в определении

изменений температурного режима, распространения, мощности и вертикально-

го строения вечномерзлых грунтов.

Прогноз изменений температурного режима грунтов может выполняться при-

ближенными аналитическими методами и численными методами. В настоящее

время исследование изменений температурного режима грунтов является необ-

ходимым элементом инженерно–геологического обоснования строительства объ-

ектов в районах многолетнемерзлых грунтов. При сезонном оттаивании мерзлых

грунтов изменяются их физико–геологические свойства. Для описания этих про-

цессов используется многочисленные постановки задач и математические моде-

ли. Они базируются на фундаментальных законах механики сплошных сред и

обобщены в монографиях Дюма [13], Н.А. Гершенфелда [18], Мейера [41], А.А.

Самарского и П.Н Вабищевича [76], В.И. Васильева [82], Г.Г. Цыпкина [116] и в

других работах [55, 68–70,95, 99, 100, 111].

В различных областях прикладной науки большое количество проблем воз-

никает при решении задач с фазовыми превращениями. Граница фазового пере-

хода зависит от времени и ее местоположение должно определяться как часть

решения, тем самим такие задачи являются нелинейными. В общем случае нели-

нейность, связанная с фазовыми превращениями, значительно усложняет анализ

этого класса задач [93, 94].

Первым примером подобных задач является задача с таянием льда, кото-

рая впервые рассматривалась Стефаном и после которого такие задачи на-

зываются задачами Стефана. Корректность постановки задачи Стефана изуча-

лась в работах А.М. Мейрманова [98], Л.И. Рубинштейна [105]. В послед-

ние годы широко используется численные методы исследования задач Стефа-

на [1, 6, 17, 21, 24, 31, 32, 37, 38, 42, 47, 48, 52, 56, 59, 83, 106]. Основными особен-

ностями численного решения является локализация области фазового перехо-

6

да. Для математического моделирования процессов теплопереноса с фазовыми

переходами широко используется классическая модель Стефана с постоянной

температурой на границе фазового перехода [81, 105, 107, 108].

При численном решении задачи Стефана используется два основных под-

хода: методы с выделением границы раздела фаз и методы сквозного счета

[74, 77, 91, 101, 108–110]. В первом подходе используются методы, в которых по-

ложение свободной границы фазового перехода определяется на каждом времен-

ном слое положением соответствующих узлов. Например, в одномерном случае

адаптация к границе раздела фаз может осуществляться за счет использования

переменных шагов по времени (ловля фронта в узел сетки). Также к первой

группе можно добавить методы с выпрямлением фронта, когда используется ди-

намическая сетка с постоянной структурой узлов на границе раздела фаз. Эти

методы плохо приспособлены к решению многомерных задач с связи с алгорит-

мическими сложностями и большими вычислительными затратами [77,108].

Для приближенного решения многомерных задач широкое распростране-

ние получили методы сквозного счета, они обобщены в работах О.А. Олейни-

ка [101], С.Л. Каменомостской [91], Б.М. Будака [74], А.А. Самарского [109]. Для

этого используется обобщенная формулировка классической модели Стефана,

при которой условия Стефана включаются в само уравнение теплопроводности

с применением дельта–функции. Выделение или поглощение тепла при фазо-

вом переходе соответствует наличию сосредоточенной теплоемкости на границе

фазового перехода.

При исследовании промерзания грунта, для укрепления фундаментов часто

используются методы замораживания грунтов [2,25,50,53,84,85,87,113,115]. За-

мораживание грунтов может производиться с помощью специальных установок–

холодильников или с помощью сезонно–охлаждающих установок. Для модели-

рования таких задач обычно используется система грунт–труба. Система грунт–

труба широко используется в инженерных приложениях. Например, такими си-

7

стемами описывается тепловое взаимодействие многолетнемерзлых грунтов с

проложенными в них трубопроводными системами, заполненными теплоноси-

телями. Они могут существенно влиять на температурное состояние вмещаю-

щих грунтов и, следовательно, на их термомеханические характеристики. Си-

стемы сезонно-охлаждающих устройств (СОУ) устанавливаются с целью фор-

мирования массива мерзлых грунтов под фундаментами зданий и инженерных

сооружений для предотвращения их размораживания в летне-осенний период.

Кроме того, есть и другой класс трубопроводных систем получивших широкое

распространение, так называемые, тепловые насосы. Они используются для от-

вода тепла из грунта, и обогрева зданий. Математические модели таких систем

также описываются системами грунт–труба. Математическая модель изучаемо-

го процесса состоит из уравнений тепло- и массопереноса и учитывает фазовый

переход поровой влаги. Для таких моделей существует ,как отмечено выше, два

подхода учета фазового перехода. Первый — это когда граница фазового пере-

хода ловится на сеточном уровне и расчет теплопереноса может происходит в

области занятой талой зоной. Второй подход основан на использовании двух-

фазной модели Стефана и является наиболее адекватным для изучаемого про-

цесса. В этом подходе граница фазового перехода представляется в виде зоны

размазывания, когда фазовый переход происходит в заданном интервале темпе-

ратур [20, 54, 79, 80].

При вычислительной реализации моделей тепло– и массопереноса в крио-

литозоне необходимо строить геометрические области и расчетные сетки таким

образом, чтобы геометрическая область труб сеточно разрешалась. Тем самым,

расчетные сетки для учета строения и расположения системы труб должны быть

неструктурированные. Расчетные сетки для подобных областей будут иметь об-

ласти локального сгущения в окрестности труб и при дискретизации будут при-

водить к очень большим системам уравнений. Альтернативный подход, исполь-

зуемый в данной работе основывается на понижении размерности модели на

8

трубе и сведении ее к одномерной гидравлической модели. Далее определя-

ющие уравнения аппроксимируются при предположении непрерывности поля

температур. Аналогичные методы используются при моделировании трещин в

нефтегазоностных пластах, в рамках дискретных моделей трещин [33, 34, 36].

Полученная дискретная задача содержит систему линейных уравнений для каж-

дого временного слоя в каждом узле расчетной сетки. Полученную таким об-

разом систему уравнений для нахождения распределения температуры можно

улучшить добавив учет конвективного переноса тепла (тепло- и массопереноса).

Для расчета скорости фильтрации в грунте используется закон Дарси и уравне-

ние сохранения массы для случая несжимаемой жидкости. Наличие фазового

перехода, возникновение зоны мерзлого грунта вокруг замораживающих труб

и поверхности грунта обусловлено влиянием низкой температуры хладагента в

трубе и температуры окружающей среды. Температура окружающего воздуха

можно считать периодической, она хорошо описывается синусоидой [102–104].

Для численного решения задачи фильтрации поровой воды в грунте использует-

ся метод фиктивных областей в мерзлом грунте, рассмотренный в работе [63,82].

Для сохранения устойчивости и обеспечения минимальных деформаций

грунтового основания насыпей железной дороги необходимы не только экспе-

риментальные исследования, но и численная оценка динамики температурного

режима грунтов под насыпью железнодорожного полотна. В процессе строи-

тельства земляного полотна железной дороги нарушаются естественные условия

функционирования ландшафтов (вырубка леса, нарушения напочвенных покро-

вов, возведение насыпи и т.д.), изменяются его тепловые и физико-механические

свойства. Это приводит к активации нежелательных криогенных процессов угро-

жающих устойчивости земляного полотна и препятствующих нормальной экс-

плуатации инфраструктуры железной дороги.

Одним из наиболее важных вопросов практической теплопередачи является

оценка теплопотерь зданий. Моделирование распределения температуры в зда-

9

ниях и в окружающих почвах позволяет делать расчет потерь тепла через сте-

ны, крыши и пол в течения года. Основной особенностью таких задач является

то, что свободная конвекция описывается системой уравнений конвективного

переноса. По аналитическим и численным решениям этих уравнений имеется

большое количество работ [11,19,22,23,29,51,57,61]. Чтобы иметь возможность

численно моделировать сложные реальные процессы конвективного теплообме-

на, во многих работах прибегают к допущениям, упрощающим математическую

модель и ее решение [5, 10, 28, 29, 45, 58]. Такие методы имеют ограниченную

область применения и работают не для всех случаев.

Прикладные задачи связаны с необходимостью решения краевых задач в

трехмерных и достаточно сложных геометриях. Для учета геометрических фак-

торов мы должны использовать нерегулярные расчетные сетки с мелким шагом.

Для численного моделирования физических процессов, которые описывают-

ся дифференциальными уравнениями в частных производных существует мно-

жество вычислительных пакетов различного уровня абстракции. Одним из них

является вычислительная платформа FEniCS [39]. FEniCS — это вычислитель-

ная платформа для численного решения краевых задач, описываемых диффе-

ренциальными уравнениями в частных производных методом конечных элемен-

тов. Она позволяет проводить численные расчеты для задач из многих областей

инженерии и науки. FEniCS позволяет автоматизировать решение линейных и

нелинейных задач и использовать различные варианты библиотек решателей за-

дач линейной алгебры, такие как PETSc [7,43,44], Trilinos/Epetra [26,27], uBLAS

[65] и MTL4 [40]. Имеется поддержка параллельных вычислений, позволяет ис-

пользовать большое количество типов конечных элементов [8,14–16,30,39] (раз-

рывные методы Галеркина, векторные элементы и др.).

Вычислительная платформа FEniCS доступна для нескольких платформ и

операционных систем, таких как Linux, Windows и Mac OS. FEniCS предо-

ставляет возможность использования языков программирования C++ и Python.

10

Большая часть функциональных возможностей FEniCS представлены библиоте-

кой Dolfin. Эта библиотека позволяет решать задачи для моделей, описываемых

дифференциальными уравнениями в частных производных, а также обладает

функционалом для работы с расчетными сетками. Имеются некоторые допол-

нительные утилиты автоматизирующее процесс построения матрицы и правой

части из вариационной постановки задачи, утилиты для конвертации сетки и

др. Все это дает широкие возможности использования FEniCS для численного

моделирования широкого круга задач инженерных и научных вычислений.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моде-

лей, вычислительных алгоритмов для задач тепло– и массопереноса в проблеме

рационального природопользования в условиях криолитозоны.

В первой главе разрабатывается вычислительный инструментарий на при-

мерах модельных задач. Исследуется неявные схемы для решения зада-

чи Стефана. Рассматривается математическая модель, описывающая замора-

живание грунта с использованием термостабилизирующей горизонтально—

естественнодействующей трубчатой системы. Приводится численное моделиро-

вание естественной (свободной) конвекции на модельной задаче для разработ-

ки вычислительного инструмента для численного моделирования распростра-

нения тепла внутри теплицы. Вычислительные алгоритмы реализуются с ис-

пользованием метода конечных элементов для аппроксимации по пространству

на неструктурированных расчетных сетках, позволяющего проводить численное

моделирование в областях со сложной геометрией с учетом слоистой структуры

грунта, в том числе и на параллельных вычислительных системах.

Во второй главе рассматриваются проблемы численного моделирования

динамики температурного режима грунтовых оснований железных дорог в

зоне распространения многолетнемерзлых грунтов. Сформулировано граничное

условие, отражающие полный комплекс основных региональных характеристик

климата, а не только температуру воздуха. С помощью созданного программного

11

продукта численно исследуются влияние теплоизоляции при различном его рас-

положении, а также влияние использования сезонно–охлаждающих устройств.

Численное решение задачи приводится в двумерной и трехмерной постановках.

В трехмерном случае проводится численное исследование эффективности ис-

пользования различных решателей и предобуславливателей.

В третьей главе рассматривается численное моделирование температурно-

го режима круглогодичных теплиц, возводимых в зоне распространения мно-

голетнемерзлых грунтов с учетом естественной конвекции воздуха. Математи-

ческая модель описывающая движение воздуха в поле силы тяжести за счет

неравномерности температурного поля описывается приближением Буссинеска

для системы уравнений Навье –Стокса и уравнения теплопроводности с кон-

вективным слагаемым. Для численного решения последнего уравнения при су-

щественном преобладании конвективных слагаемых над кондуктивными пред-

лагается использовать схемы аппроксимации со стабилизацией. Численно ис-

следуется влияние теплоизоляции основания теплицы. Проводится численные

расчеты теплопотерь через стены, кровлю теплицы для различных типов теплиц

с использованием СНИПов.

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических

наук, профессору Вабищевичу Петру Николаевичу за научное руководство и Ва-

сильевой М.В. за научное наставничество и оказание всесторонней поддержки.

Автор выражает благодарность своим коллегам по научно-исследовательской ка-

федре «Вычислительные технологии» СВФУ за полезные советы и помощь ре-

дактировании работы, а также сотрудникам лаборатории геотермии криолитозо-

ны Института мерзлотоведения СО РАН им. П.И.Мельникова за предоставление

экспериментальных и натурных данных по системе «земляное полотно» про-

блемных участков железной дороги «Амуро-Якутская магистраль».

12

Глава 1

Численные решения задач тепло– и массопереноса с

фазовыми переходами

Исследуются математические модели для численного решения задач тепло–

и массопереноса с фазовыми переходами. Для моделирования теплового режи-

ма грунтов используется уравнение теплопроводности с учетом фазовых пере-

ходов поровой влаги (вода–лед) [108]. Строится модель теплопереноса в систе-

ме грунт–труба. Приводится численное решение задачи свободной конвекции

с использованием приближения Буссинеска [12, 64]. Вычислительные алгорит-

мы строятся на основе метода конечных элементов [8, 16, 39, 60], что позволя-

ет наиболее полно учитывать геометрию и строение моделируемых объектов.

Для аппроксимации по времени используется стандартная чисто неявная раз-

ностная схема [62, 106]. Рассматривается линеаризация по предыдущему вре-

менному слою, также итерационный метод Ньютона для решения нелинейных

задач [35, 39]. Программная реализация базируется на компонентах свободных

библиотек численного анализа.

1.1 Введение

При строительстве зданий или инженерных сооружений на многолетнемерз-

лых основаниях необходимо проводить численное исследование температурного

режима грунтовых оснований и фундаментов с учетом процессов тепло– и мас-

сопереноса с фазовыми переходами [82, 89, 98, 109, 112]. Прогнозирование тер-

момеханического состояния протаивающих–промерзающих насыщенных грун-

тов и их взаимодействие с зданиями и сооружениями сегодня является особенно

актуальной с учетом глобального потепления.

Для моделирования теплового режима грунта в условиях криолитозоны ис-

13

пользуется закон сохранения энергии с учетом фазовых переходов поровой вла-

ги (вода–лед). При построении математической модели учитываются основ-

ные климатические факторы: амплитуда среднегодовых колебаний температуры

воздуха, радиационно-тепловой баланс, высота и плотность снежного покро-

ва [102, 103]. Количественные значения основных климатических параметров

необходимы для построения математической модели, применение которых поз-

воляет прогнозировать изменения температурного режима грунтов и, развитие

криогенных процессов и их воздействие на глубину протаивания грунта.

Особенностью моделирования рассматриваемых проблем криолитозоны яв-

ляется ярко выраженная геометрическая разномасштабность моделируемых объ-

ектов. Таким образом, даже при использовании существенно неравномерных

расчетных сеток, размеры этих сеток получаются достаточно большими: типич-

ная расчетная сетка содержит несколько миллионов ячеек. Численное решение

таких задач в настоящее время невозможно без применения вычислительных си-

стем параллельной архитектуры. В настоящее время нет программного обеспе-

чения для прогнозирование температурного режима и механического состояния

грунтов в условиях вечной мерзлоты, учитывающего вышеприведенные особен-

ности. Существующие на сегодня прикладные программы для моделирования

динамики мерзлых оснований с учетом фазовых переходов созданы в основном

на базе конечно–разностных методов. Поэтому имеют существенные ограниче-

ния со сложной геометрией расчетной области и по этой причине не позволяют

учитывать в полной мере все геометрические особенности моделируемых объ-

ектов.

14

1.2 Задача теплопереноса с фазовыми переходами

Основные подходы математического моделирования теплопереноса в мно-

голетнемерзлых грунтах строятся на идее локализации области фазового пере-

хода. Для моделирования процессов теплопереноса с фазовыми превращения-

ми используется классическая модель Стефана с постоянной температурой на

границе фазового перехода [81, 105, 108, 116, 117]. При численном исследовании

модели Стефана существуют два основных подхода: методы с выделением гра-

ницы раздела фаз и методы сквозного счета. В первом подходе используется ме-

тоды, в которых положение свободной границе фазового перехода определяется

на каждом временном слое положением соответствующих узлов. Для прибли-

женного решения многомерных задач широкое распространение получил второй

подход, заключающийся в построении методов сквозного счета. В нем исполь-

зуется обобщенная формулировка классической задачи Стефана, при которой

условия Стефана включаются в само уравнение теплопроводности с примене-

нием дельта–функции.

1.2.1 Двумерная задача Стефана

Будем предполагать, что фазовый переход вода–лед происходит при некото-

рой заданной температуре фазового перехода 𝑇 * в области Ω = Ω−∪Ω+ (смотри

рис. 1.1). Здесь Ω+(𝑡) — область занятая талым грунтом, где температура превы-

шает температуру фазового перехода:

Ω+(𝑡) = 𝑥|𝑥 ∈ Ω, 𝑇 (𝑥, 𝑡) > 𝑇 *,

и Ω−(𝑡) — область занятая мерзлым грунтом:

Ω−(𝑡) = 𝑥|𝑥 ∈ Ω, 𝑇 (𝑥, 𝑡) < 𝑇 *.

Фазовый переход происходит на границе раздела фаз 𝑆 = 𝑆(𝑡).

15

𝑆

Ω+

Ω−

Γ1

Γ2 Γ2

Γ3

Рисунок 1.1: Расчетная область.

Тепловое состояние грунта может быть выражена двумя функциями: энталь-

пией 𝐻(𝑥, 𝑡), температурой 𝑇 (𝑥, 𝑡). Энтальпия является монотонно возраста-

ющей функцией температуры, имеющий скачок в точке замерзания грунтовой

воды при (𝑇 = 𝑇 *):

𝐻(𝑇 ) =

⎧⎨⎩𝐻− = 𝜌−𝑐−𝑇, 𝑇 < 𝑇 *,

𝐻+ = 𝜌+𝐿 + 𝜌−𝑐−𝑇 * + 𝜌+𝑐+(𝑇 − 𝑇 *), 𝑇 > 𝑇 *,

где 𝐿 — удельная теплота фазового перехода, 𝜌+, 𝑐+ и 𝜌−, 𝑐− — плотность и удель-

ная теплоемкость талой и мерзлой зоны, соответственно.

Поскольку рассматривается процесс распространения тепла в насыщенной

пористой среде, то для коэффициентов имеем:

𝑐−𝜌− = (1 −𝑚)𝑐𝑠𝑐𝜌𝑠𝑐 + 𝑚𝑐𝑖𝜌𝑖,

𝑐+𝜌+ = (1 −𝑚)𝑐𝑠𝑐𝜌𝑠𝑐 + 𝑚𝑐𝑤𝜌𝑤,

где 𝑚 – пористость. Индексы 𝑠𝑐, 𝑤, 𝑖 соответствуют пористой среде, воде и льду.

Для коэффициентов теплопроводности в талой и мерзлой зоне имеем аналогич-

16

ные соотношения:

𝜆− = (1 −𝑚)𝜆𝑠𝑐 + 𝑚𝜆𝑖,

𝜆+ = (1 −𝑚)𝜆𝑠𝑐 + 𝑚𝜆𝑤.

Определим индикаторную функцию 𝜑:

𝜑 = 𝜑(𝑇 ) =

⎧⎨⎩0, 𝑇 < 𝑇 *,

1, 𝑇 > 𝑇 *,

и запишем энтальпию в следующем виде:

𝐻 = 𝐻1 + 𝜌+𝐿𝜑,

где

𝐻1 =

⎧⎨⎩𝜌−𝑐−𝑇, 𝑥 ∈ Ω−,

𝜌−𝑐−𝑇 * + 𝜌+𝑐+(𝑇 − 𝑇 *), 𝑥 ∈ Ω+.

Для 𝐻1 верны следующие соотношения:

𝜕𝐻1

𝜕𝑡=

⎧⎪⎨⎪⎩𝜌−𝑐−

𝜕𝑇

𝜕𝑡, 𝑥 ∈ Ω−,

𝜌+𝑐+𝜕𝑇

𝜕𝑡, 𝑥 ∈ Ω+,

𝜕𝐻1

𝜕𝑥𝑖=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝜌−𝑐−

𝜕𝑇

𝜕𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3, 𝑥 ∈ Ω−,

𝜌+𝑐+𝜕𝑇

𝜕𝑥𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3, 𝑥 ∈ Ω+.

Уравнение сохранения энергии в энтальпийной формулировке во всей обла-

сти Ω = Ω− ∪ Ω+ имеет вид:

𝜕𝐻

𝜕𝑡− div (𝜆 grad𝑇 ) = 0. (1.1)

Уравнение (1.1) запишем в следующем виде:

𝑐(𝜑)𝜕𝑇

𝜕𝑡+ 𝜌𝜄𝐿

𝜕𝜑

𝜕𝑡− div (𝜆(𝜑) grad𝑇 ) = 0, (1.2)

17

для коэффициентов уравнения имеем следующие соотношения:

𝑐(𝜑) = 𝜌−𝑐− + 𝜑(𝜌+𝑐+ − 𝜌−𝑐−),

𝜆(𝜑) = 𝜆− + 𝜑(𝜆+ − 𝜆−).

На практике фазовые превращения происходят в малом интервале темпера-

туры [𝑇 * − ∆, 𝑇 * + ∆]. В качестве приближения для функции 𝜑 можно взять

функцию 𝜑Δ:

𝜑Δ(𝑇,∆) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 𝑇 ≤ 𝑇 * − ∆,

𝑇 − 𝑇 * + ∆

2∆, 𝑇 * − ∆ < 𝑇 < 𝑇 * + ∆,

1, 𝑇 ≥ 𝑇 * + ∆.

Поскольку𝜕𝜑Δ

𝜕𝑡=

𝜕𝜑Δ

𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝜕𝑡= 𝜑′

Δ

𝜕𝑇

𝜕𝑡,

где

𝜑′Δ =

𝜕𝜑Δ

𝜕𝑇,

то

𝜑′Δ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 𝑇 ≤ 𝑇 * − ∆,

1

2∆, 𝑇 * − ∆ < 𝑇 < 𝑇 * + ∆,

0, 𝑇 ≥ 𝑇 * + ∆.

Таким образом, получим следующее уравнение для температуры во всей рас-

четной области Ω:

(𝑐(𝜑Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜑′Δ)

𝜕𝑇

𝜕𝑡− div(𝜆(𝜑Δ) grad𝑇 ) = 0, (1.3)

которое является нелинейным уравнением параболического типа [108].

Уравнение (1.3) дополняется начальным условием:

𝑇 (𝑥, 0) = 𝑇0, 𝑥 ∈ Ω. (1.4)

18

Граничные условия формулируются следующим образом:

−𝜆(𝜑Δ)𝜕𝑇

𝜕𝑛= 𝛼(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟), 𝑥 ∈ Γ1, (1.5)

−𝜆(𝜑Δ)𝜕𝑇

𝜕𝑛= 0, 𝑥 ∈ Γ2, (1.6)

𝑇 = 𝑇0, 𝑥 ∈ Γ3, (1.7)

где 𝛼 — коэффициент конвективного теплообмена, 𝑇𝑎𝑖𝑟 — температура наружного

воздуха.

1.2.2 Конечно-элементная дискретизация

Для численного решения задачи проведем аппроксимацию уравнения (1.3) с

учетом граничных условий с использованием метода конечных элементов [39].

Умножим уравнение для температуры на функцию 𝑣 и проинтегрируем его с

использованием формулы Грина. Это даст∫Ω

(𝑐(𝜑Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜑′Δ)

𝜕𝑇

𝜕𝑡𝑣 𝑑𝑥+

∫Ω

(𝜆(𝜑Δ) grad𝑇, grad 𝑣) 𝑑𝑥+

+

∫Γ1

𝛼(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑣𝑑𝑠 = 0, ∀𝑣 ∈ 𝐻1(Ω).(1.8)

Здесь 𝐻1(Ω) — пространство Соболева, состоящее из функций 𝑣 таких, что 𝑣2 и

|∇𝑣|2 имеют конечный интеграл.

Определим равномерную, для простоты, сетку по времени

𝜔𝜏 = 𝑡𝑛 = 𝑛 · 𝜏, 𝑛 = 0, 1, ..., 𝑁0, 𝜏𝑁0 = 𝑡𝑚𝑎𝑥,

и проведем аппроксимацию по времени с использованием стандартной чисто

неявной схемы. Для линеаризации уравнения воспользуемся простейшей линеа-

ризацией, когда коэффициенты определяются по значениям с предыдущего вре-

19

менного слоя [106]

∫Ω

(𝑐(𝜑Δ)𝑛 + 𝜌𝑙𝐿𝜑

′Δ𝑛) 𝑇 𝑛+1 − 𝑇 𝑛

𝜏𝑣 𝑑𝑥+

+

∫Ω

(𝜆(𝜑Δ)𝑛 grad𝑇 𝑛+1, grad 𝑣

)𝑑𝑥+

+

∫Γ1

𝛼(𝑇 𝑛+1 − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑣𝑑𝑠 = 0,

(1.9)

где 𝑇 𝑛 = 𝑇 (𝑡𝑛) ∈ 𝐻1(Ω).

Таким образом, мы придем к следующей классической вариационной поста-

новке задачи для каждого временного слоя: найти 𝑇 ∈ 𝐻1Ω, 𝐻1

Ω = 𝑇 ∈ 𝐻1(Ω) :

𝑇 (𝑥) = 𝑇0 для𝑥 ∈ Γ3 такую, что

𝑎(𝑇 𝑛+1, 𝑣) = 𝐿(𝑣),

𝑎(𝑇 𝑛+1, 𝑣) =1

𝜏

∫Ω

(𝑐(𝜑Δ)𝑛 + 𝜌𝑙𝐿𝜑

′Δ𝑛)

𝑇 𝑛+1 𝑣 𝑑𝑥+

+

∫Ω

(𝜆(𝜑Δ)𝑛 grad𝑇 𝑛+1, grad 𝑣

)𝑑𝑥+

+

∫Γ1

𝛼𝑇 𝑛+1𝑣𝑑𝑠,

𝐿(𝑣) =1

𝜏

∫Ω

(𝑐(𝜑Δ)𝑛 + 𝜌𝑙𝐿𝜑

′Δ𝑛)

𝑇 𝑛 𝑣 𝑑𝑥+

+

∫Γ1

𝛼𝑇𝑎𝑖𝑟𝑣𝑑𝑠, ∀𝑣 ∈ 𝐻10(Ω),

(1.10)

где 𝐻10(Ω) = 𝑣 ∈ 𝐻1(Ω) : 𝑇 (𝑥) = 0,𝑥 ∈ Γ3.

Для численного решения мы должны перейти от непрерывной вариационной

задачи (1.10) к дискретной. Введем конечномерные пространства 𝑉ℎ ∈ 𝐻1Ω, 𝑉ℎ ∈

𝐻10 и определим в них следующую задачу: определить 𝑇ℎ ∈ 𝑉ℎ такую что

𝑎(𝑇 𝑛+1ℎ , 𝑣) = 𝐿(𝑣),

20

𝑎(𝑇 𝑛+1ℎ , 𝑣) =

1

𝜏

∫Ω

(𝑐(𝜑Δ)𝑛 + 𝜌𝑙𝐿𝜑

′Δ𝑛)

𝑇 𝑛+1ℎ 𝑣 𝑑𝑥+

+

∫Ω

(𝜆(𝜑Δ)𝑛 grad𝑇 𝑛+1

ℎ , grad 𝑣)𝑑𝑥+

+

∫Γ1

𝛼𝑇 𝑛+1ℎ 𝑣𝑑𝑠,

𝐿(𝑣) =1

𝜏

∫Ω

(𝑐(𝜑Δ)𝑛 + 𝜌𝑙𝐿𝜑

′Δ𝑛)

𝑇 𝑛 𝑣 𝑑𝑥 +

∫Γ1

𝛼𝑇𝑎𝑖𝑟𝑣𝑑𝑠, ∀𝑣 ∈ 𝑉ℎ.

(1.11)

В качестве базисных функций будем использовать линейные базисные функции.

1.2.3 Аппроксимация по времени

Для аппроксимации по времени используем чисто–неявную схему. Для лине-

аризации обычно в вычислениях используется простейшая линеаризация, когда

коэффициенты берутся c предыдущего временного слоя [106].

В данной части работы приведем некоторые результаты использования мето-

да Ньютона для решения нелинейных уравнений на новом слое по времени [39].

Приведем аппроксимацию уравнения с учетом граничных условий. Нели-

нейную задачу можно записать в следующей вариационной форме: найти 𝑇 ∈ 𝑉

такой, что

𝐹 (𝑇 ; 𝑣) = 0, ∀𝑣 ∈ 𝑉 .

Здесь 𝐹 : 𝑉 × 𝑉 → 𝑅 — полулинейная форма, линейная по аргументу после

точки с запятой, а 𝑉 — некоторое подходящее функциональное пространство.

Полулинейная форма определяется следующим образом:

𝐹 (𝑇 ; 𝑣) =

∫Ω

(𝑐(𝜑Δ)𝑛 + 𝜌𝑙𝐿𝜑

′Δ𝑛) 𝑇 𝑛+1 − 𝑇 𝑛

𝜏𝑣 𝑑𝑥+

+

∫Ω

(𝜆(𝜑Δ)𝑛 grad𝑇 𝑛+1, grad 𝑣

)𝑑𝑥+

+

∫Γ1

𝛼(𝑇 𝑛+1 − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑣𝑑𝑠 = 0.

В вычислительной практике получили распространение различные аппрок-

симационные формулы для 𝜑′Δ, которые строятся из условия сохранения баланса

21

тепла на интервале [𝑇 * −∆, 𝑇 * + ∆]. Простейшая из них связана с заданием ли-

нейной интерполяции:

𝜑′Δ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 𝑇 ≤ 𝑇 * − ∆,

1

2∆, 𝑇 * − ∆ < 𝑇 < 𝑇 * + ∆,

0, 𝑇 ≥ 𝑇 * + ∆.

При применении метода Ньютона используется 𝜑′Δ в параболической аппрокси-

мации:

𝜑′Δ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 𝑇 ≤ 𝑇 * − ∆,

3

4∆

(1 −

𝑇 2

∆2

), 𝑇 * − ∆ < 𝑇 < 𝑇 * + ∆,

0, 𝑇 ≥ 𝑇 * + ∆,

для которой также выполнено условие нормировки∫ Δ

−Δ

𝜑′Δ 𝑑𝑇 = 1.

Заметим, что при использовании линейной интерполяции итерационный метод

Ньютона не сходится.

Для решения нелинейной системы 𝑏(𝑈) = 0 методом Ньютона надо вычис-

лить Якобиан 𝐴 = 𝑏′ где 𝑈 - коэффициенты линейного представления решения

в методе конечных элементов: 𝑇ℎ =∑𝑁

𝑗−1 𝑈𝑗𝜑𝑗, 𝑏 : 𝑅𝑁 → 𝑅𝑁 и

𝑏𝑖(𝑈) = 𝐹 (𝑇ℎ;𝜑𝑖), 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑁.

Линеаризуя полулинейную форму 𝐹 при 𝑇 = 𝑇ℎ, получаем 𝐹 ′(𝑇ℎ; 𝜕𝑇, 𝑣).

Заметим, что для каждого фиксированного 𝑇ℎ, 𝑎 = 𝐹 ′(𝑇ℎ; ·, ·) является били-

нейной формой и 𝐿 = 𝐹 (𝑇ℎ; ·, ·) является линейной формой. На каждой итера-

ции Ньютона мы решаем линейную вариационную задачу канонической формы:

находим функцию 𝛿𝑇 ∈ 𝑉ℎ, такую, что

𝐹 ′(𝑇ℎ; 𝛿𝑇, 𝑣) = −𝐹 (𝑇ℎ; 𝑣), ∀𝑣 ∈ 𝑉ℎ.

22

1.2.4 Результаты расчетов

Проведем численное моделирование рассматриваемой при использовании

линеаризованной схемы и при использовании чисто неявной схемы задачи. Рас-

четы проводились при следующих значениях входных данных:

𝑇0 = −2∘𝐶;

𝛼 = 14 Вт/(м ·𝐾);

𝜌𝐿 = 71957.0 · 103 Дж/м3;

𝐶𝜌𝑆 = 2350.0 · 103 Дж/м3;

𝐶𝜌𝐿 = 3150.0 · 103 Дж/м3;

𝜆𝑆 = 2.73 Вт/(м ·𝐾);

𝜆𝐿 = 2.50 Вт/(м ·𝐾);

𝑇𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 = 10∘𝐶; 𝜏 = 1 сутки.

Расчетный период составляет 100 суток.

Численное моделирование проводилось для области размером 10 метров по

𝑋 , 10 метров по 𝑌 , где на верхней поверхности грунта стоит сооружение, ко-

торое задается в виде граничного условия Дирихле с постоянной температурой

10∘𝐶. Вычислительная сетка состоит из 13362 вершин и 26422 треугольных эле-

ментов (см рис. 1.2).

На рис. 1.3 представлены результаты распределение температуры, рассчитан-

ные различными методами. Рис. 1.3 показывает, что методы дают качественно и

количественно близкие результаты. Для более подробного сравнения приведен

график 1.4, на котором приведена температура в сечении. Результаты отличают-

ся не значительно.

23

Рисунок 1.2: Вычислительная сетка.

Рисунок 1.3: Распределение температуры: 1 – линеаризованная схема; 2 - чисто

неявная схема.

24

Рисунок 1.4: Температура в вертикальном (середина) сечении: 1 –

линеаризованная схема; 2 - чисто неявная схема.

25

1.3 Теплоперенос в системе грунт–труба

Теплоперенос в системе грунт–труба, описывается тепловое взаимодействие

многолетнемерзлых грунтов с проложенными в них трубопроводными система-

ми, заполненными теплоносителями. Они могут существенно влиять на темпе-

ратурное состояние вмещающих грунтов и, следовательно, на их термомехани-

ческие характеристики.

Системы грунт–труба используют разницу температур грунта и пролегаю-

щих труб для обогрева и охлаждения зданий, для формирования массива мерз-

лых пород, которые повышают тепломеханические характеристики и использу-

ются для повышения устойчивости фундаментов в условиях криолитозоны. В

качестве теплоносителя в трубах используется хладагент. Хладагент это газ с

низкой температурой кипения (испарения), которая пребывает в газообразном

состоянии при нормальных условиях, а под давлением находятся в жидком со-

стоянии. Строится новая математическая модель и вычислительный алгоритм

для решения задач в системах грунт–труба.

1.3.1 Постановка задачи

Рассмотрим математическую модель, описывающую распределение темпера-

туры при наличии фазовых переходов вода – лед при некоторой заданной тем-

пературе фазового перехода 𝑇 * в области Ω = Ω− ∪ Ω+ [46].

Здесь Ω+(𝑡) — область занятая талым грунтом, где температура превышает

температуру фазового перехода и Ω−(𝑡) — область занятая мерзлым грунтом

Ω+(𝑡) = 𝑥|𝑥 ∈ Ω, 𝑇 (𝑥, 𝑡) > 𝑇 *,

Ω−(𝑡) = 𝑥|𝑥 ∈ Ω, 𝑇 (𝑥, 𝑡) < 𝑇 *.

Фазовый переход происходит на границе раздела талого и мерзлого грунтов 𝑆 =

𝑆(𝑡).

26

Для моделирования процессов теплопереноса с фазовыми переходами ис-

пользуется классическая модель Стефана, описывающая тепловые процессы, со-

провождающиеся фазовыми превращениями среды, поглощением и выделением

скрытой теплоты

(𝑐(𝜑) + 𝜌+𝐿𝜑′) 𝜕𝑇

𝜕𝑡− div (𝜆(𝜑) grad𝑇 ) = 𝑓, (1.12)

где 𝐿 — удельная теплота фазового перехода и 𝑢 — скорость фильтрации поровой

влаги.

Для коэффициентов уравнения имеем следующие соотношения:

𝑐(𝜑) = 𝜌−𝑐− + 𝜑(𝜌+𝑐+ − 𝜌−𝑐−),

𝜆(𝜑) = 𝜆− + 𝜑(𝜆+ − 𝜆−),

𝜑 =

⎧⎨⎩0, 𝑇 < 𝑇 *,

1, 𝑇 > 𝑇 *,

где 𝜌+, 𝑐+ и 𝜌−, 𝑐− – плотность и удельная теплоемкость талой и мерзлой зоны,

соответственно.

Поскольку рассматривается процесс распространения тепла в пористой сре-

де, то для коэффициентов имеем:

𝑐−𝜌− = (1 −𝑚)𝑐𝑠𝑐𝜌𝑠𝑐 + 𝑚𝑐𝑖𝜌𝑖,

𝑐+𝜌+ = (1 −𝑚)𝑐𝑠𝑐𝜌𝑠𝑐 + 𝑚𝑐𝑤𝜌𝑤,

где 𝑚 – пористость. Индексы 𝑠𝑐, 𝑤, 𝑖 соответствуют каркасу пористой среды, во-

де и льду. Для коэффициентов теплопроводности в талой и мерзлой зоне имеем

аналогичные соотношения

𝜆− = (1 −𝑚)𝜆𝑠𝑐 + 𝑚𝜆𝑖,

𝜆+ = (1 −𝑚)𝜆𝑠𝑐 + 𝑚𝜆𝑤.

27

На практике фазовые превращения не происходят мгновенно и могут проис-

ходить в малом интервале температуры [𝑇 * − ∆, 𝑇 * + ∆]. В качестве функции 𝜑

можно взять 𝜑Δ:

𝜑Δ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 𝑇 ≤ 𝑇 * − ∆,

𝑇 − 𝑇 * + ∆

2∆, 𝑇 * − ∆ < 𝑇 < 𝑇 * + ∆,

1, 𝑇 ≥ 𝑇 * + ∆,

Так что

𝜑′Δ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 𝑇 ≤ 𝑇 * − ∆,

1

2∆, 𝑇 * − ∆ < 𝑇 < 𝑇 * + ∆,

0, 𝑇 ≥ 𝑇 * + ∆.

Тогда получим следующее уравнение для температуры в области Ω:(𝑐(𝜑Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜑

′Δ

)𝜕𝑇𝜕𝑡

− div(𝜆(𝜑Δ) grad𝑇

)= 𝑓. (1.13)

Полученное уравнение (1.13) является нелинейным параболическим уравнени-

ем.

Уравнение (1.13) дополняется начальным условием 𝑇 (𝑥, 0) = 𝑇0 и граничны-

ми условиями

−𝜆𝜕𝑇

𝜕𝑛= 𝛼(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟), 𝑥 ∈ Γ1,

−𝜆𝜕𝑇

𝜕𝑛= 0, 𝑥 ∈ Γ2,

𝑇 = 𝑇1, 𝑥 ∈ Γ3,

(1.14)

где 𝛼 – коэффициент конвективного теплообмена окружающего атмосферного

воздуха с дневной поверхностью грунта.

Рассмотрим теперь тепловое воздействие системы труб на температурный

режим грунтов, посредством введения в рассмотренную выше модель внутрен-

28

них источников (стоков) тепла в местах расположения труб. Здесь мы исполь-

зуем дельта-функцию Дирака, поскольку диаметр труб значительно меньше раз-

меров грунта. Таким образов в качестве внутренних стоков (источников) тепла

в уравнении (1.13) будем использовать следующее выражение

𝑓 =𝑁∑𝑖=1

𝑞𝑖𝛿𝑆𝑖(𝑥), (1.15)

где 𝑞𝑖 — мощность единицы длины 𝑖–го стока тепла, 𝑁 — количество стоков тепла

и 𝛿 — дельта-функция Дирака определяющая положение точечных источников

(стоков) в грунтовом массиве.

Предполагая идеальный контакт между наружной поверхностью труб и окру-

жающим массивом грунтов, мощность стоков тепла запишем следующим обра-

зом

𝑞𝑖 = 2𝜋 𝑅𝑖 𝛼𝑖𝑝(𝑇 − 𝑇 𝑖

𝑝), (1.16)

где 𝛼𝑖𝑝 — коэффициент теплообмена между поверхностью трубы 𝑖 и теплоноси-

телем циркулирующим в грунтовом теплообменнике, 𝑇 𝑖𝑝 – температура теплоно-

сителя и 𝑅𝑖 — радиус трубы.

Для расчета теплового режима системы труб будем использовать модель

пониженной размерности (теплогидравлическая модель). В данной модели мы

предполагаем, что в трубе циркулирует фреон с низкой температурой. Запишем

уравнение теплопроводности, описывающее тепловой режим движущегося по

трубе теплоносителя в цилиндрических координатах, в виде:

𝑐𝑝𝜌𝑝

(𝜕𝑇

𝜕𝑡+ 𝑣𝑟

𝜕𝑇

𝜕𝑟+ 𝑣𝜉

𝜕𝑇

𝜕𝜉

)− 1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟

(𝑟𝜆𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝑟

)− 𝜕

𝜕𝜉

(𝜆𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝜉

)= 0, (1.17)

где 𝑐𝑝, 𝜌𝑝 и 𝜆𝑝 — удельная теплоемкость, плотность и теплопроводность тепло-

носителя, 𝑇 — температура теплоносителя в трубе, 𝑣𝑟 — скорость движения теп-

лоносителя в радиальном направлении и 𝑣𝜉 – скорость движения теплоносителя

в направлении движения потока.

29

Поскольку для течения в трубах характерны значительные скорости движе-

ния теплоносителя в продольном направлении, то можно пренебречь радиальной

скоростью течения: 𝑣𝑟 = 0. Далее умножим на 𝑟 и проинтегрируем полученное

уравнение вдоль оси трубы:∫ 𝑅

0

𝑐𝑝𝜌𝑝𝑟𝜕𝑇

𝜕𝑡𝑑𝑟+

∫ 𝑅

0

𝑐𝑝𝜌𝑝𝑟𝑣𝜉𝜕𝑇

𝜕𝜉𝑑𝑟−

∫ 𝑅

0

𝑟𝜕

𝜕𝜉

(𝜆𝑝

𝜕𝑇

𝜕𝜉

)𝑑𝑟+ 𝜆𝑝𝑟

𝜕𝑇

𝜕𝑟

𝑅0

= 0. (1.18)

Определим среднюю температуру теплоносителя в трубе:

𝑇𝑝 =2

𝑅2

∫ 𝑅

0

𝑟 𝑇 𝑑𝑟.

C учетом идеального контакта между трубой:

𝜆𝑝𝑟𝜕𝑇𝑝

𝜕𝑟

𝑅0

= −2𝜋𝑅𝛼𝑝(𝑇 − 𝑇𝑝),

получим следующее уравнение пониженной размерности в трубе (теплогидрав-

лическая модель)

𝜋𝑅2𝑐𝑝𝜌𝑝

(𝜕𝑇𝑝

𝜕𝑡+ 𝑣𝜉

𝜕𝑇𝑝

𝜕𝜉

)− 𝜋𝑅2 𝜕

𝜕𝜉

(𝜆𝑝

𝜕𝑇𝑝

𝜕𝜉

)= 2𝜋𝑅𝛼𝑝(𝑇 − 𝑇𝑝). (1.19)

В качестве граничного условия зададим фиксированную температуру на одной

из границ: 𝑇𝑝 = 𝑇𝑖𝑛, где 𝑇𝑖𝑛 – температура теплоносителя на входе в трубу.

Связанная система уравнений, описывающая конвективный и кондуктивный

теплоперенос в грунте и в системе труб записывается следующим образом:

(𝑐(𝜑Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜑′Δ)

𝜕𝑇

𝜕𝑡− div(𝜆(𝜑Δ) grad𝑇 ) =

𝑁∑𝑖=1

𝑞𝑖𝛿𝑆𝑖(𝑥), 𝑥 ∈ Ω, (1.20)

𝜋𝑅2𝑐𝑝𝜌𝑝

(𝜕𝑇 𝑖

𝑝

𝜕𝑡+ 𝑣𝜉

𝜕𝑇 𝑖𝑝

𝜕𝜉

)− 𝜋𝑅2 𝜕

𝜕𝜉

(𝜆𝑝

𝜕𝑇 𝑖𝑝

𝜕𝜉

)= 𝑞𝑖, 𝑥 ∈ 𝜉𝑖, (1.21)

где 𝑞𝑖 = 2𝜋 𝑅𝑖 𝛼𝑖𝑝(𝑇 − 𝑇 𝑖

𝑝) и 𝜉𝑖 – линия 𝑖-ой трубы. Уравнения дополним одно-

родными граничными условиями Неймана.

30

1.3.2 Аппроксимация задачи теплопереноса в системе труба-

грунт

Для численного решения задачи построим конечно-элементную аппрокси-

мацию задачи теплопeреноса [9]. Определим следующие пространства: 𝑊 =

𝐻1(Ω). При аппроксимации уравнения теплопроводности объеденим уравнения,

в предположении непрерывности поля температур и запишем следующую вари-

ационную постановке: найти 𝑇 ∈ 𝑊 такую что∫Ω

(𝑐(𝜑Δ)𝑛 + 𝜌𝑙𝐿𝜑

′Δ𝑛) 𝑇 𝑛+1 − 𝑇 𝑛

𝜏𝑤 𝑑𝑥+

+

∫Ω

𝜆(𝜑Δ)𝑛 grad𝑇 𝑛+1 · grad𝑤 𝑑𝑥+

+𝜋𝑅2𝑁∑𝑖=1

∫𝜉𝑖

𝑐𝑝𝜌𝑝

(𝑇 𝑛+1 − 𝑇 𝑛

𝜏+ 𝑣𝜉 · grad𝜉 𝑇

𝑛+1

)𝑤 𝑑𝑠+

+𝜋𝑅2𝑁∑𝑖=1

∫𝜉𝑖

𝜆𝑝 grad𝜉 𝑇𝑛+1 · grad𝜉 𝑤 𝑑𝑠 = 0, ∀𝑤 ∈ ,

(1.22)

где 𝜉𝑖 — линия 𝑖–ой трубы.

1.3.3 Результаты расчетов

Проведем численное моделирования рассмотренной задачи в трехмерной по-

становке при следующих параметрах грунта:

∙ для талой зоны — 𝜌+𝑐+ = 2.772 · 106, 𝜆+ = 1.94,

∙ для мерзлой зоны — 𝜌−𝑐− = 2.052 · 106, 𝜆− = 2.14,

∙ для фазового перехода — 𝜌+𝐿 = 125.532 · 106 и 𝛿 = 1.0.

В качестве расчетных параметров системы труб использовались следующие па-

раметры: 𝑣𝜏 = 1.0, 𝜌𝑝𝑐𝑝 = 1.763 · 106, 𝑅 = 0.05 и температура теплоносителя на

входе задается равной температуре воздуха.

Численное моделирование проводилось для области размером 10 метров по

направлению 𝑋 , 10 метров по направлению 𝑌 и 10 метров по 𝑍. Численные

31

расчеты проведены для области, где на поверхности грунта стоит сооружение

размером 5 на 4 метра. Задается в виде граничного условия Дирихле с посто-

янной температурой 20∘𝐶. На глубине 1 метр под сооружением установлена си-

стема сезонно–охлаждающих устройств (СОУ). Для моделирования СОУ, когда

температура наружного воздуха ниже температуры почвы задается температура

источника СОУ. Расчеты проводились на 1 год с шагом 1 день на треугольной

сетке содержащей около 650 тысяч элементов (рис. 1.5). Грунт имеет начальную

температуру −3.0∘𝐶. Температура на верхней границе исследуемой области за-

дается с учетом амплитуды колебания температуры воздуха, имеющий регио-

нальный характер, которая варьируется от 𝑇𝑤 = −50∘𝐶 зимой до 𝑇𝑠 = 30∘𝐶

летом.

Для апробации модели теплопереноса для системы труб и грунта проведем

результаты моделирования тестовой задачи. Результаты решения задачи тепло-

переноса представлены на рис. 1.6 и 1.7. Рис. 1.6 иллюстрирует срез на глубине

установки системы труб. Срезы представлены для нескольких начальных вре-

менных слоев и иллюстрирует динамику движения хладоносителя в трубе и

начало замораживания окружающего грунта. На рис. 1.7 представлена динамика

замораживания грунта в различные моменты времени. Из рисунка видно, что

температура под сооружением остается отрицательной на весь моделируемый

год.

Представленные результаты иллюстрируют работоспособность предложен-

ной математической модели для системы труба-грунт в условиях криолитозоны.

32

Рисунок 1.5: геометрия (сверху), вычислительная сетка (снизу).

33

Рисунок 1.6: Распределение температуры вид сверху а) через 1с, б) через 15с,

в) через 1м, г) через 10 дней

34

Рисунок 1.7: Распределение температуры а) зима, б) весна, в) лето, г) осень

35

1.4 Свободная конвекция

Задачи с естественной конвекцией возникают в процессах теплопереноса в

жидкостях и газах. Например, при моделировании распределения температуры

воздуха в помещение с приборами отопления (обогревателями, радиаторами),

системы охлаждения. При описании распространения тепла в жидкой среде наи-

более популярная модель, носящая название приближение Буссинеска, которое

включает в себя уравнения Навье–Стокса и уравнение теплопроводности. Ме-

тодика численных расчетов обычно проверяется на некоторых модельных зада-

чах [12, 64].

1.4.1 Постановка задачи

Рассмотрим процесс свободной конвекции, которая описывается уравнения-

ми Буссинеска: модель состоит из системы уравнений Навье–Стокса для потока,

закона сохранения массы и задачи для теплопроводности:

𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝜌𝑢 grad𝑢 = 𝜇 div grad𝑢− grad 𝑝− 𝜌 𝛽 𝑇 𝑔,

div𝑢 = 0, (1.23)

𝑐𝑝 𝜌

(𝜕𝑇

𝜕𝑡+ 𝑢 grad𝑇

)= div(𝑘 grad𝑇 ),

где 𝑢 — вектор скорости, 𝑝 — давление, 𝑇 — температура, 𝜌 — плотность жидко-

сти и 𝜇 — коэффициент динамической вязкость жидкости.

Система уравнений (1.23) рассматривается в области Ω (см. рис. 1.8). Она

дополняется граничными и начальными условиями:

На части грани Γ1 поддерживается постоянная температура:

𝑇 (𝑥, 𝑡) = 𝑇1, 𝑥 ∈ Γ1.

На Γ3 задается температура:

𝑇 (𝑥, 𝑡) = 0, 𝑥 ∈ Γ3.

36

Γ2

Γ1 Γ3

Γ4

Рисунок 1.8: Геометрия

Боковые стенки теплоизолированы:

𝜕𝑇

𝜕𝑛= 0, 𝑥 ∈ Γ2, Γ4.

Для скоростей на границе задается условия прилипания и непротекания

𝑢(𝑥, 𝑡) = 0, 𝑥 ∈ 𝜕Ω.

В начальный момент воздух покоится и имеет постоянную температуру

𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ Ω,

𝑇 (𝑥, 0) = 𝑇0, 𝑥 ∈ Ω.

1.4.2 Аппроксимация задачи свободной конвекции

Запишем конечно–элементную аппроксимацию задачи по пространственным

переменным. Умножим уравнения (1.23) на тестовые функции (𝑣, 𝑞) ∈ 𝑉 (Ω) ×

37

𝐿(Ω) и 𝑟 ∈ 𝑄(Ω) соответственно, и проинтегрируем по области:∫Ω

𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡𝑣 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌𝑢 · grad𝑢𝑣 𝑑𝑥 =

∫Ω

𝜇 div grad𝑢𝑣 𝑑𝑥 −

−∫Ω

grad 𝑝𝑣 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌0𝛽𝑇𝑔 𝑣 𝑑𝑥,∫Ω

div𝑢 𝑞 𝑑𝑥 = 0,∫Ω

𝑐𝜌

(𝜕𝑇

𝜕𝑡+ 𝑢 grad𝑇

)𝑟 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇, grad 𝑟) 𝑑𝑥.

Для транспортной задачи в качестве базисных функций будем использовать

стандартные линейные базисные функции, а для уравнения Навье - Стокса эле-

менты Тейлор - Худ (TH), удовлетворяющие LBB (inf-sup) условию [39,45].

Для аппроксимации по времени воспользуемся стандартной чисто неявной

дискретизацией в сочетании с простейшей линеаризацией∫Ω

𝜌𝑢−

𝜏𝑣 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌 · grad𝑢𝑣 𝑑𝑥 =

∫Ω

𝜇 div grad𝑢𝑣 𝑑𝑥 −

−∫Ω

grad 𝑝𝑣 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌0𝛽𝑇𝑔 𝑣 𝑑𝑥,∫Ω

div𝑢 𝑞 𝑑𝑥 = 0,∫Ω

𝑐𝜌

(𝑇 − 𝑇

𝜏+ grad𝑇

)𝑟 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇, grad 𝑟) 𝑑𝑥.

Здесь 𝜏 — шаг равномерной сетки по времени и , 𝜃 — значения скорости и

температуры с предыдущего временного слоя.

Аналогично формулируется задача при использовании стандартного метода

конечных элементов:∫Ω

𝜌𝑢ℎ − ℎ

𝜏𝑣ℎ 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌ℎ · grad𝑢ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

𝜇 div grad𝑢ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥−

−∫Ω

grad 𝑝ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌0𝛽𝑇𝑔 𝑣ℎ 𝑑𝑥,∫Ω

div𝑢ℎ 𝑞ℎ 𝑑𝑥 = 0,∫Ω

𝑐𝜌

(𝑇ℎ − 𝑇ℎ

𝜏+ ℎ grad𝑇ℎ

)𝑟ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇ℎ, grad 𝑟ℎ) 𝑑𝑥.

38

Численные алгоритмы для расчета течения жидкости были активной обла-

стью исследований в течение нескольких десятилетий и до сих пор остаются

важной областью для изучения. В результате накопилась обширная литература

по схемам дискретизации для уравнений Навье–Стокса. Возникают трудности,

какой метод лучше всего работает для конкретной задачи. Мы воспользуемся

G2 методом (least-squares stabilized Galerkin method). Метод G2 — это стабили-

зированный метод конечных элементов использующий кусочно–линейную ап-

проксимацию по пространству и по времени. Мы используем метод Хоффман и

Джонсон (2007) [28, 29], который является упрощенным вариантом метода G2:∫Ω

𝜌𝑢ℎ − ℎ

𝜏𝑣ℎ 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌ℎ · grad𝑢𝑛−1/2ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

𝜇 div grad𝑢𝑛−1/2ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 −

−∫Ω

grad 𝑝ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌0𝛽𝑇𝑔 𝑣ℎ 𝑑𝑥− 𝑆𝐷𝛿,∫Ω

div𝑢𝑛−1/2ℎ 𝑞ℎ 𝑑𝑥 = 0, ∀(𝑣, 𝑞) ∈ 𝑉ℎ ×𝑄ℎ,

гдe 𝑢𝑛−1/2 = (𝑢ℎ + 𝑢ℎ)/2 (midpoint method) и

𝑆𝐷𝛿 =< 𝛿1𝑢ℎ · ∇𝑢𝑛−1/2ℎ ,𝑢ℎ · ∇𝑣 > + < 𝛿∇𝑢

𝑛−1/2ℎ · ∇𝑣 > .

Параметры стабилизации равны:

𝛿1 =𝑘12

(𝑘−2𝑛 + ||2ℎ−2

𝑛 )−1/2 и 𝛿2 = 𝑘2ℎ𝑛,

если доминирует конвекция. В случае доминирования диффузии, параметры рав-

ны:

𝛿1 = 𝑘1ℎ2𝑛 и 𝛿2 = 𝑘2ℎ

2𝑛.

Константы 𝑘1 и 𝑘2 берем 𝑘1 = 4 и 𝑘2 = 2 соответственно.

Для задачи теплопроводности будем использовать метод SUPG (streamline

upwinding Petrov-Galerkin), обеспечивающий более высокий порядок аппрок-

симации. Основной идеей SUPG является модификация тестовых функций с

учетом направления течения. Аппроксимация уравнений конвекции-диффузии

39

с использованием стандартного метода Галеркина приводит к возникновению

осцилляций в решении задачи и не подходит для расчетов в случае доминирова-

ния конвективного слагаемого над диффузионным. В методе SUPG используется

следующая вариационная постановка [10, 45]:∫Ω

𝑐𝜌

(𝑇ℎ − 𝑇ℎ

𝜏+ ℎ grad𝑇ℎ

)𝑟ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇ℎ, grad 𝑟ℎ) 𝑑𝑥, ∀𝑟ℎ ∈ 𝑄ℎ,

где 𝑟 = (𝑟+ ℎ2|𝑢|×∇𝑟).Этот метод является реализация метода Петрова–Галеркина

(PG, Petrov-Galerkin). В рассматриваемом случае уравнение остается прежним,

а меняется только тестовая функция 𝑟.

При численной реализации мы вначале вычисляем распределение темпера-

туры 𝜃 с использованием скорости с предыдущего временного слоя, а затем

решаем линеаризованное уравнение Навье–Стокса.

1.4.3 Результаты расчетов

Приведем результаты численного решения поставленной задачи в двумерной

постановке в квадратной области Ω при следующих параметрах: 𝜌 = 1000 кг/м3,

𝜇 = 1.5 · 10−4 м2/с, 𝑐𝜌 = 4.2 · 106 Дж/(кг ·∘𝐶) в единичной области Ω.

На левой границе задавалась температура равной 20∘𝐶. Расчеты проводились

на временном интервале 60 секунд с шагом 1 секунда на треугольной сетке с

6868 элементов и 3435 узлов (см. рис.1.9).

На рисунке 1.10 представлено распределение температуры по времени.

40

Рисунок 1.9: Вычислительная сетка.

Рисунок 1.10: а) распределение температуры, б) магнитуда скорости.

41

1.5 Выводы

Проведено исследование неявных схем для численного решения задачи Сте-

фана. Рассмотрен случай линеаризации, когда коэффициенты зависят от реше-

ния на предыдущем временном слое (простейший случай) и метод Ньютона для

решения нелинейных уравнений при использовании чисто неявной схемы. Ис-

следование показало, что метод Ньютона является затратным с точки зрения

вычислений. Линеаризованная схема не проигрывает по точности.

Построена модель, описывающая замораживание грунта с использованием

термостабилизирующей горизонтально–естественнодействующей трубной си-

стемы. Данная модель существенно снижает размерность вычислительной за-

дачи, возникающей после аппроксимации по пространству.

Представлено численное решение задачи течения несжимаемой жидкости на

основе уравнения Навье–Стокса. Течение происходит под влиянием разницы

температур, т.е. рассматривается процесс естественной (свободной) конвекции.

Для численного решения были применены схемы аппроксимации со стабили-

зацией для конечно–элементной аппроксимации. Предложенные аппроксимации

позволяют получить гладкое решение задачи даже при очень малом диффузион-

ном слагаемом или при его отсутствии.

42

Глава 2

Температурное поле многолетнемерзлого

грунтового основания железной дороги

Рассматриваются проблемы численного моделирования динамики темпера-

турного режима грунтовых оснований железных дорог в зоне распространения

многолетнемерзлых грунтов. Приводится математическая постановка задачи с

соответствующими граничными условиями, строится численная реализация на

основе метода конечных элементов, позволяющая наиболее полно учитывать

геометрию и строение моделируемых объектов. Представлены результаты про-

гноза температурного состояния грунта для различных геометрических форм

отсыпки земляного полотна и с учетом внешних условий. Проведено моделиро-

вание влияния теплоизоляционных материалов и сезонно-охлаждающих устано-

вок на температурный режим грунтов основания железной дороги в трехмерной

постановке.

2.1 Введение

Институт мерзлотоведения им. П.И. Мельникова СО РАН с 2007 г. прово-

дит экспериментальные исследования теплового состояния грунтов основания

земляного полотна и прилегающей к трассе территории. Оценка изменений теп-

лового состояния грунтов в период строительства и эксплуатации железной до-

роги проводится по результатам мониторинговых исследований. Для проведе-

ния инженерно-геокриологического мониторинга в системе железнодорожное

полотно – окружающая среда в 2007-2010 гг. были оборудованы 8 поперечных

профилей. Бурение скважин и их оборудование для режимных температурных

наблюдений под основаниями земляного полотна были проведены после выруб-

ки просек трассы и до конца их отсыпки. Объектами исследований являются

43

насыпи и грунты их основания до глубины от 5 до 10 м.

Криолитозона в Якутии отличается чрезвычайной сложностью распростра-

нения. В связи с этим на ее территории при инженерном освоении необходимо

решать не только вопросы качественного строительства, но и разрабатывать ме-

роприятия по управлению взаимодействия «вечной мерзлоты» и инженерных

сооружений для обеспечения эффективной эксплуатации уже построенных объ-

ектов хозяйственной инфраструктуры.

Для моделирования теплового режима грунтового основания железной доро-

ги в условиях криолитозоны используется уравнение теплопроводности с учетом

фазовых переходов поровой влаги (вода – лед) [78, 79, 82, 108]. При построе-

нии математической модели учитываются основные климатические параметры:

многолетний ход температуры воздуха, составляющие радиационно-теплового

баланса, высота и плотность снежного покрова. Количественные значения ос-

новных климатических параметров необходимы для построения математической

модели, применение которых позволяет прогнозировать изменения температур-

ного режима грунтов, развитие криогенных процессов и их воздействия на глу-

бину протаивания грунта под насыпью железной дороги.

Вычислительный алгоритм базируется на конечно-элементной аппроксима-

ции математической модели по пространственным переменным. Для аппрокси-

мации по времени строится стандартная чисто неявная разностная схема с лине-

аризацией по предыдущему временному слою. Возможности вычислительного

алгоритма иллюстрируются расчетами модельной задачи для различных участ-

ков трассы железной дороги. Рассмотрено влияние теплоизоляции пеноплексом

при различном его расположении, влияние сезонно-охлаждающих установок на

температурный режим грунтов. Проводится сравнение с натурными данными.

Представлены результаты численного моделирования задачи в трехмерной по-

становке на вычислительном кластере Северо-Восточного федерального универ-

ситета «Ариан Кузьмин».

44

2.2 Численное решение двумерной задачи

Проводится численное исследование температурного режима полотна желез-

ной дороги в условиях криолитозоны в двумерной постановке.

2.2.1 Постановка задачи

Рассмотрим математическую модель, описывающую распределение темпера-

туры при наличии фазовых переходов "твердое фаза — жидкая фаза" при неко-

торой заданной температуре фазового перехода 𝑇 * в области Ω = Ω− ∪ Ω+ (рис.

2.1) [2, 25, 82, 108].

Здесь Ω+(𝑡) — область занятая талым грунтом, где температура превышает

температуру фазового перехода:

Ω+(𝑡) = 𝑥|𝑥 ∈ Ω, 𝑇 (𝑥, 𝑡) > 𝑇 *

и Ω−(𝑡) — область занятая мерзлым грунтом:

Ω−(𝑡) = 𝑥|𝑥 ∈ Ω, 𝑇 (𝑥, 𝑡) < 𝑇 *.

Фазовый переход происходит на границе раздела талого и мерзлого грунтов 𝑆 =

𝑆(𝑡).

Для моделирования процессов теплопереноса с фазовыми переходами ис-

пользуется классическая модель Стефана, описывающая эволюционные теп-

ловые процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями поровой вла-

ги, поглощением и выделением скрытой теплоты. Уравнение теплопроводности

имеет вид: (𝑐(𝜑) + 𝜌+𝐿𝜑′) 𝜕𝑇

𝜕𝑡− div (𝜆(𝜑) grad𝑇 ) = 0, (2.1)

где 𝐿 – удельная теплота фазового перехода.

Для коэффициентов уравнения имеем следующие соотношения

𝑐(𝜑) = 𝜌−𝑐− + 𝜑(𝜌+𝑐+ − 𝜌−𝑐−),

𝜆(𝜑) = 𝜆− + 𝜑(𝜆+ − 𝜆−),

45

Рисунок 2.1: Расчетная область

при

𝜑 = 𝜑(𝑇 ) =

⎧⎨⎩0, 𝑇 < 𝑇 *,

1, 𝑇 > 𝑇 *,

где 𝜌+, 𝑐+, 𝜆+ и 𝜌−, 𝑐−, 𝜆− – плотность и удельная теплоемкость талой и мерзлой

зоны, соответственно.

Поскольку рассматривается процесс распространения тепла в насыщенной

пористой среде, то для коэффициентов имеем:

𝑐−𝜌− = (1 −𝑚)𝑐𝑠𝑐𝜌𝑠𝑐 + 𝑚𝑐𝑖𝜌𝑖,

𝑐+𝜌+ = (1 −𝑚)𝑐𝑠𝑐𝜌𝑠𝑐 + 𝑚𝑐𝑤𝜌𝑤,

где 𝑚 – пористость. Индексы 𝑠𝑐, 𝑤, 𝑖 соответствуют каркасу пористой среды,

воде и льду.

Для коэффициентов теплопроводности в талой и мерзлой зоне имеем анало-

гичные соотношения:

𝜆− = (1 −𝑚)𝜆𝑠𝑐 + 𝑚𝜆𝑖,

𝜆+ = (1 −𝑚)𝜆𝑠𝑐 + 𝑚𝜆𝑤.

46

На практике фазовые превращения происходят в малом интервале темпера-

туры [𝑇 * − ∆, 𝑇 * + ∆]. В качестве приближения для функции 𝜑 [25, 50] можно

взять 𝜑Δ:

𝜑Δ(𝑇,∆) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 𝑇 ≤ 𝑇 * − ∆,

𝑇 − 𝑇 * + ∆

2∆, 𝑇 * − ∆ < 𝑇 < 𝑇 * + ∆,

1, 𝑇 ≥ 𝑇 * + ∆.

Следовательно

𝜒(𝑇 ) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, 𝑇 ≤ 𝑇 * − ∆,

1

2∆, 𝑇 * − ∆ < 𝑇 < 𝑇 * + ∆,

0, 𝑇 ≥ 𝑇 * + ∆,

где

𝜒(𝑇 ) =𝜕𝜑Δ

𝜕𝑇.

Таким образом, получим следующее уравнение для температуры во всей расчет-

ной области Ω: (𝑐(𝜑Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜒(𝑇 )

)𝜕𝑇𝜕𝑡

− div(𝜆(𝜑Δ) grad𝑇

)= 0, (2.2)

которое является нелинейным уравнением параболического типа.

Уравнение (2.2) дополняется начальным условием:

𝑇 (𝑥, 0) = 𝑇0, 𝑥 ∈ Ω. (2.3)

Граничные условия формулируется следующим образом [102,103]

−𝜆𝜕𝑇

𝜕𝑛=

𝑄(1 − 𝐴) + 𝐼 − 𝛼(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟)

𝛼𝑅 + 1, 𝑥 ∈ Γ1, (2.4)

−𝜆𝜕𝑇

𝜕𝑛= 0, 𝑥 ∈ Γ2, (2.5)

47

𝑇 = 𝑇0, 𝑥 ∈ Γ3, (2.6)

где 𝑄 – суммарная коротковолновая радиация [ Дж𝐾·м2 ], 𝐴 – альбедо д.е., 𝛼 – ко-

эффициент конвективного теплообмена [ Вт𝐾·м2 ], 𝐼 – длинноволновое излучение

[ Дж𝐾·м2 ], 𝑇𝑎𝑖𝑟 – температура наружного воздуха [∘𝐶], 𝑅 – термического сопротивле-

ние наземного покрова (зимой – снега) [𝐾·м2

Вт ].

Также на границе 𝑥 ∈ Γ1 можно задавать тепловой поток, определяемый

конвективным теплообменом:

− 𝜆𝜕𝑇

𝜕𝑛= 𝛼(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟), (2.7)

где 𝛼 – коэффициент конвективного теплообмена с воздухом, [ Вт0𝐶·м2 ].

Уравнение (2.2) с соответствующими граничными и начальными условиями

аппроксимируется с использованием метода конечных элементов и стандартной

чисто неявной разностной схемы для аппроксимации по времени. Для линеа-

ризации уравнения воспользуемся простейшим подходом, когда коэффициенты

определяются по значениям функции с предыдущего временного слоя [39, 106].

Запишем вариационную постановку задачи для каждого временного слоя:

найти 𝑇 ∈ 𝐻1𝐷, 𝐻1

𝐷 = 𝑇 ∈ 𝐻1(Ω) : 𝑇 (𝑥) = 𝑇0 для 𝑥 ∈ Γ3 такую что

𝑎(𝑇 𝑛+1, 𝑣) = 𝐿(𝑣), ∀𝑣 ∈ 𝐻10 ,

где

𝑎(𝑇 𝑛+1, 𝑣) =1

𝜏

∫Ω

(𝑐(𝜑𝑛Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜒(𝑇 )𝑛)𝑇 𝑛+1 𝑣 𝑑𝑥+

+

∫Ω

(𝜆(𝜑𝑛

Δ) grad𝑇 𝑛+1, grad 𝑣)𝑑𝑥 +

∫Γ1

𝛼

𝛼𝑅 + 1𝑇 𝑛+1𝑣𝑑𝑠

𝐿(𝑣) =1

𝜏

∫Ω

(𝑐(𝜑𝑛Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜒(𝑇 )𝑛)𝑇 𝑛 𝑣 𝑑𝑥+

+

∫Γ1

𝑄(1 − 𝐴) + 𝐼 + 𝛼𝑇𝑎𝑖𝑟

𝛼𝑅 + 1𝑣𝑑𝑠,

(2.8)

Для численного решения задачи необходимо перейти от непрерывной вари-

ационной задачи к дискретной. Для этого введем конечномерные пространства

48

𝑉ℎ,∈ 𝐻1𝐷, 𝑉ℎ ∈ 𝐻1

0 и определим на них следующую задачу: найти 𝑇ℎ ∈ 𝑉ℎ такую

что

𝑎(𝑇 𝑛+1ℎ , 𝑣) = 𝐿(𝑣), ∀𝑣 ∈ 𝑉ℎ,

где

𝑎(𝑇 𝑛+1ℎ , 𝑣) =

1

𝜏

∫Ω

(𝑐(𝜑𝑛Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜒(𝑇 )𝑛)𝑇 𝑛+1

ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥+

+

∫Ω

(𝜆(𝜑𝑛

Δ) grad𝑇 𝑛+1ℎ , grad 𝑣ℎ

)𝑑𝑥 +

∫Γ1

𝛼

𝛼𝑅 + 1𝑇 𝑛+1ℎ 𝑣𝑑𝑠,

𝐿(𝑣) =1

𝜏

∫Ω

(𝑐(𝜑𝑛Δ) + 𝜌𝑙𝐿𝜒(𝑇 )𝑛)𝑇 𝑛

ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥+

+

∫Γ1

𝑄(1 − 𝐴) + 𝐼 + 𝛼𝑇𝑎𝑖𝑟

𝛼𝑅 + 1𝑣𝑑𝑠.

(2.9)

В качестве базисных функций будем использовать линейные базисные функции.

2.2.2 Численное исследование теплового режима грунта

Проведем численное моделирование температурного поля под железнодо-

рожным полотном Амуро-Якутский железнодорожной магистрали "Беркакит–

Томмот–Якутск". Расчетная область состоит из нескольких слоев грунта (рис.

2.3): из песка, суглинка и щебенистого грунта. Грунт имеет начальную темпе-

ратуру 𝑇0 = −3∘𝐶. Температура на дневной поверхности задавалась с учетом

амплитуды колебания температуры воздуха на рассматриваемой территории, ко-

торая варьируется в пределах от 𝑇𝑤 = −40∘𝐶 — зимой и 𝑇𝑠 = +20∘𝐶 — летом, и

задавалась следующей формулой:

𝑇𝑎𝑖𝑟 =𝑇𝑤 − 𝑇𝑠

2· sin

(𝜋(30 · (𝑀 − 1) + 𝑡 + 75)

180

)+

𝑇𝑤 + 𝑇𝑠

2,

где 𝑀 = 10 — начальный месяц.

Большую роль играет высота снежного покрова ℎ𝑠, характеризующейся боль-

шим термическим сопротивлением вследствие незначительной его плотности и

низкого коэффициента теплопроводности. Высота снежного покрова существен-

49

но влияет на формирование температурного режима грунтов:

𝑅 =ℎ𝑠

𝜆𝑠.

На рисунке 2.2 представлено изменение высоты снежного покрова. Теплопро-

Рисунок 2.2: Высота снега ℎ𝑠.

водность снежного покрова определяется по формуле Б.В. Проскурякова:

𝜆𝑠 = 0.021 + 1.01 · 103𝜌𝑠,

где 𝜌𝑠 = 110 + 180 · ℎ𝑠 – плотность снега.

Также учитывался суммарная коротковолновая радиация 𝑄, альбедо 𝐴, длин-

новолновое излучение 𝐼 бралось в зависимости от сезонов:

𝑄 =

⎧⎨⎩72.57, 𝑇 ≥ 0,

31.4, 𝑇 < 0,

𝐼 =

⎧⎨⎩23.14, 𝑇 ≥ 0,

21.05, 𝑇 < 0,

50

𝐴 =

⎧⎨⎩ 0.2, 𝑇 ≥ 0,

0.67, 𝑇 < 0.

Теплофизические характеристики взяты из СНиП 2.02.04-88 и представлены в

таблице 2.1. Будем предполагать, что температура фазового перехода 𝑇 * = 0∘𝐶.

Расчеты проводились для 𝑡𝑚𝑎𝑥 = 3 года с шагом 𝜏 = 1 сутки (24 часа). геометрия

и расчетная сетка представлены на рисунке 2.3.

Элементы Объемная

теплоемкость

𝑐𝜌 · 10−6

Теплопроводность

𝑘

Удельная

теплота

таяния

𝐿 · 10−6

талый мерзлый талый мерзлый

Щебень 2.67 3.37 2.13 2.09 64769

Суглинок заторф. 3.9 2.7 0.93 0.4 15000

Суглинок 3.15 2.35 1.51 1.7 71957

Супесь 1.64 1.47 0.64 0.7 50000

Песок 2.01 1.67 1.51 1.86 60437

Таблица 2.1: Расчетные значения физических и теплофизических характеристик

грунтов.

Результаты расчетов представлены на рисунке 2.4. Иллюстрируется динамика

температуры грунта под железнодорожным полотном для различных сезонов на

третий год моделирования.

На рисунке 2.5 показано распределение температуры грунта для осени по

годам.

51

Рисунок 2.3: Расчетная область и сетка.

Исследования граничных условий

Приведем результаты численного моделирования задачи при различных

условиях на верхней границе Γ1.

Вариант 1. Граничное условие (2.7), где 𝛼 – изменяется по времени так, как

приведено в таблице 2.2

Месяцы I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

𝛼 0.65 0.56 0.56 0.80 13.6 20.3 20.8 19.8 13.8 3.8 1.67 0.85

Таблица 2.2: Значения параметра 𝛼 граничного условия на поверхности.

Вариант 2. Конвективное слагаемое 𝛼, уравнения (2.7) зависит от скорости

ветра 𝑢 и от высоты снежного покрова:

1

𝛼=

1

𝛼𝑎𝑖𝑟+

ℎ𝑠

𝜆𝑠,

где ℎ𝑠 – высота снега, 𝜆𝑠 – теплопроводность снежного покрова,

𝛼𝑎𝑖𝑟 =

⎧⎨⎩6.16 + 4.19𝑢, 0 < 𝑢 ≤ 5,

7.56𝑢0.78, 5 < 𝑢 < 30.

52

Рисунок 2.4: Распредение температуры по сезонам в 3 году.

53

Рисунок 2.5: Распредение температуры по годам (1 год, 3 год, 5 год и 15 год).

54

Вариант 3. Конвективный теплообмен 𝛼 постоянный и равен 14.

Вариант 4. На верхней границе исследуемой области задается граничное

условие (2.4), учитывающее ряд (𝑅,𝑄, 𝐼, 𝐴) климатических факторов, имеющих

региональный характер при постоянном коэффициенте 𝛼 = 14.

Результаты моделирования при разных граничных условиях показаны на ри-

сунках 2.6-2.9.

Расчетные данные иллюстрируют, что наличие снежного покрова существен-

но влияет на сезонную глубину протаивания грунта, а учет дополнительных

климатических факторов не существенно влияет на температуру грунта.

Исследования различных геометрий

Приведем моделирование для различных геометрических областях и соот-

ветствующих расчетных сетках (см. рис 2.10 и 2.11).

Результаты представлены на рисунках 2.12 и 2.13. Видим, что глубина сезон-

ного оттаивания грунтов очень сильно зависит от геометрии области.

2.2.3 Влияние теплоизоляции (пеноплекс) и сезонно-

охлаждающего устройства (СОУ)

В производственной практике для увеличение охлаждения на телах бермы и

насыпи используется теплоизоляционные материалы из пеноплекса (рис. 2.14).

Результаты моделирования при различном расположении теплоизоляции пред-

ставлено на рисунке 2.15.

После заложения теплоизоляционных материалов из пеноплекса отмече-

на четкая тенденция к охлаждению грунтов основания насыпи. Результаты

расчетно-теоретического исследования показали, что теплоизоляционная эф-

фективность пеноплекса зависит от глубины укладки. С увеличением глубины

укладки ослабевает тепловое влияние пеноплекса.

55

Рисунок 2.6: Распределение температуры при граничных условиях, вариант 1.

56

Рисунок 2.7: Распределение температуры при граничных условиях, вариант 2.

57

Рисунок 2.8: Распределение температуры при граничных условиях, вариант 3.

58

Рисунок 2.9: Распределение температуры при граничных условиях, вариант 4.

59

Рисунок 2.10: Вычислительная сетка 1.

Рисунок 2.11: Вычислительная сетка 2.

60

Рисунок 2.12: Распредение температуры по сезонам на третий год.

61

Рисунок 2.13: Распределение температуры по сезонам на третий год.

62

Численное сравнение (рис. 2.16) для трех различных расположениях пено-

плекса иллюстрирует охлаждение грунтов основания насыпи. Здесь 𝑎 — пено-

плекс сооружен сверху на основании насыпи, 𝑏 — в середине берм 𝑐 — в самом

теле насыпи сверху.

Рисунок 2.14: Расчетные области при различном расположении пеноплекса.

Также для предотвращения повышения температуры грунтов основания и

увеличения мощности сезоннопротаивающего слоя земляного полотна можно

установить сезонные охлаждающие устройства (СОУ) – термостабилизаторы.

63

Рисунок 2.15: Распределение температуры осенью третьего года при различном

расположении пеноплекса.

64

Рисунок 2.16: Сравнение температуры осенью третьего года при различном

расположении пеноплекса (a–белое, b – красное, c – синее).

Чтобы получить максимальный эффект замораживания СОУ укладывают теп-

лоизоляционные материалы. При моделировании мы использовали пеноплекс с

толщиной 0.2 метра.

Для моделирования работы сезонно-охлаждающих устройств при температу-

ре наружного воздуха ниже температуры почвы установилась постоянная тем-

пература подобласти охлаждающих устройств. При температуре воздуха превы-

шающей температуру почвы предполагается, что СОУ не работает, естествен-

ной конвекции хладоносителя не будет, т.к. более теплый хладоноситель вниз не

пойдет из-за меньшей плотности.

На рисунке 2.17, показан охлаждающий эффект от СОУ. В температурном

режиме грунтов наметилась тенденция к охлаждению, в результате совместной

работы вертикальных парожидкостных сезонных охлаждающих установок в со-

четании прокладкой теплозащитного слоя из пеноплекса (см. рис. 2.18)

65

Рисунок 2.17: Наличие сезонно-охлаждающего устройства (зима, весна, лето,

осень).

66

Рисунок 2.18: Наличие сезонно-охлаждающего устройства и пеноплекса, (зима,

весна, лето, осень).

67

2.2.4 Сравнение с натурными данными

Ниже представлены результаты сравнения численного решения распростра-

нения тепла под основанием насыпи с данными натурных исследований Ин-

ститута мерзлотоведения. Расчет проведем в геометрической области, которая

сопоставима с участком железной дороги ПК 6929 Амуро-Якутской железнодо-

рожной магистрали «Беркакит-Томмот-Якутск» 2.19). Расчетная сетка содержит

более 100 000 ячеек.

Рисунок 2.19: Вычислительная геометрия (1-насыпь, щебень, 2 - заторфованный

грунт, торф, 3 - суглинок, 4,5,10 - мерзлые суглинки, 6 - лед, 7,11 - суглинки).

Для расчетов формирования температуры в насыпях в исследуемом участ-

ке железной дороги, температура воздуха принята по данным метеостанции

г.Якутска (рис. 2.20).

Высота снежного покрова (рис. 2.20), начальное распределение температуры

и глубины протаивания приняты по данным наблюдений приведенных в отчете

Института Мерзлотоведения СО РАН (табл. 2.3). Расчетная время — 1095 суток

с шагом 1 сутки. Теплофизические характеристики взяты из СНиП 2.02.04 - 88

(табл. 2.4).

Результаты расчетов температуры основания насыпи на участке железнодо-

рожной насыпи ПК6926, представлены в таблицах 2.5 и 2.6. Температуру грунта

характеризуют данные замеров ее на экспериментальной площадке (скважина–

68

Рисунок 2.20: Температура воздуха (сверху) и среднемесячные значения

высоты снежного покрова (снизу).

H,м 0.2 1.5 3.0 5.0 10

𝑇0,∘𝐶 -0.1 -1.4 -2.3 -2.4 -2.4

Таблица 2.3: Температура и глубина протаивания грунтов.

правая берма). Распределение температуры на 1, 2 и 3 год представлено на ри-

сунке 2.22.

Из замеров, видно, что к осени 1 года на глубинах 0,2м и 1,5м температу-

69

Рисунок 2.21: Динамика распределения тепла, весна.

70

Рисунок 2.22: Динамика распределения тепла, осень.

71

Расчеты Объемная

теплоемкость

𝑐𝜌 · 10−6

Теплопроводность

𝑘

Удельная теп-

лота таяния

𝐿 · 10−6

талый мерзлый талый мерзлый

1 2.13 2.09 2.67 3.37 64.769

2 1.05 0.64 0.12 0.23 15.0

3 2.96 2.7 1.4 1.56 130.544

4, 5, 10 1.89 1.74 0.93 1.05 60.437

6 4.18 2.09 0.58 2.25 334.728

7, 11 2.42 2.04 1.45 1.57 71.957

Таблица 2.4: Теплофизические характеристики насыпи.

H,м 1 год 2 год (Дек) 3 год

- Замеры Расчеты Замеры Расчеты Замеры Расчеты

0.2 0.2 0.1 -0.3 -0.18 -1.1 -1.01

1.5 -1.7 -1.76 -0.9 -0.85 -1.3 -1.56

Таблица 2.5: Температура грунта на экспериментальной площадке (Ось–центр),

𝐻 — глубина.

H,м 1 год 2 год (Дек) 3 год

- Замеры Расчеты Замеры Расчеты Замеры Расчеты

0.2 1.7 1.9 -7.2 -3.6 - 2.1

1.5 -1.8 -0.5 -1.8 -0.97 -1.6 -1.5

3.0 -3.2 -1.5 -2.15 -1.5 - -1.97

Таблица 2.6: Температура грунта на экспериментальной площадке

(скважина–правая берма), 𝐻 — глубина.

72

ра грунтов под основанием насыпи составила соответственно 0.2 и -1.7 ∘𝐶, а

по результатам моделирования 0.4 и -1.76 ∘𝐶 соответственно. В декабре 2 года

на глубине 0.2м температура составляло -0.3∘𝐶 по замерам, а по результатам

численного моделирования -0.18∘𝐶. На глубине 1.5 по замерам -0,9∘𝐶 и по вы-

числениям -0.85∘𝐶. К осени 3 года температура грунта стала наиболее прибли-

женной к натурным данным. Под бермой температура грунта имеет похожую

тенденцию.

Проведенные исследования показали, что правильное моделирование тепло-

вого сопротивления снега и выбор теплофизических данных сильно влияют на

достоверность математической модели.

73

2.3 Численное решение трехмерной задачи

Проводится численное решение модельной задачи распространения тепла в

трехмерной области.

2.3.1 Численное исследование теплового режима грунта

Прогноз промерзания и протаивания грунтов основывается на математиче-

ской модели переноса тепла в сплошной среде с фазовыми переходами, извест-

ной в литературе как проблема Стефана. Классическая задача Стефана включает

уравнения теплопроводности в талой и мерзлой зонах (2.2) и два граничных

условия (2.4 и 2.5). Для единственности решения необходимо задавать началь-

ное условие (2.3).

Для численного решения задачи применяется конечно-элементная аппрокси-

мация по пространству, а для аппроксимации по времени используется линеари-

зованная чисто неявная разностная схема.

На рисунке 2.23 представлено вычислительная область и сетка. Вычисли-

тельная область имеет размеры по оси X — 76 м., по оси Y — 35 м. и по оси

Z — 28 м., с 4 слоями грунта с разными теплофизическим характеристиками.

Используем теплофизические характеристики грунта представленные в таблице

2.7.

Представим результаты численного решения трехмерных задач по расчету

теплового состояния грунта на вычислительном кластере "Ариан Кузьмин" СВ-

ФУ им. М.К. Аммосова. Распределение температуры грунта на примере 3D об-

ласти показано на рисунке 2.24).

74

Рисунок 2.23: Геометрическая область и вычислительная сетка.

Грунт Объемная

теплоемкость

𝑐𝜌 · 10−6

Теплопроводность

𝑘

Удельная теп-

лота таяния

𝐿 · 10−6

талый мерзлый талый мерзлый

1 2671.2 2253.6 2.73 2.9 93402

2 2826 2224.8 1.5 1.8 96120

3 3258 2199.6 1.6 1.9 169282.8

4 3088.8 2106 1.57 1.8 103564

Таблица 2.7: Теплофизические характеристики.

75

Рисунок 2.24: Распространения тепла.

76

Параллельные итерационные методы для тестовой 3D задачи

Основное время счета занимает решение систем линейных алгебраических

уравнений. Рассмотрим решение задачи с граничным условием:

−𝜆𝜕𝑇

𝜕𝑛Γ= 𝛼(𝑇𝑎𝑖𝑟 − 𝑇 ).

Вычислительный эксперимент проведем на трехмерной области показан на ри-

сунке 2.31. Расчет проводился на 3 расчетных сетках, с шагом 1 день. Расчетное

время 1825 дней.

В таблице 2.8 представлены данные сравнения зависимости времени счета

от количества процессов параллельной реализации на различных сетках.

процесс / сетка 2 222 954 4299047 10870297

1 39285 70433 -

2 22797 - 2.2845e+05

4 14628 45929 1.4053e+05

8 8996.6 25586 71142

16 6846.7 - 48493

32 3431.7 - 27467

64 2970.1 5151.6 14766

128 2744.5 - 10717

Таблица 2.8: Решатель gmres (Обобщенный метод минимальных невязок),

предобуславливатель sor (Метод последовательной верхней релаксации).

Видим, что время счета уменьшается при задействовании большего числа

процессов. Но задействие большего количества процессов в мелкой сетке не

рентабельно. Это можно заметить на первой колонке при использовании 128

процессов, тогда время вычисления замедляется. Время счета также зависит от

количества элементов в сетке. Заметим, что при увеличении сетки надо увели-

77

чить число процессов, чтобы время счета было минимальным.

Сравним итерационный метод GMRES (Обобщенный метод минимальных

невязок) с предобуславливателем SOR (Метод последовательной верхней релак-

сации) и ILU (Метод LU – факторизации) (табл. 2.9) [49]. Из таблицы видно, что

время кол-во итераций итерация время кол-во итераций итерация

1 39285 239 437148 20910 19 33509

2 22797 314 573492 11480 23 42123

4 14628 369 673313 5879.5 27 48424

8 8996.6 356 649861 3339.9 28 50502

16 6846.7 387 705834 2069.5 34 61113

32 3431.7 367 669243 1150.6 33 59570

64 2970.1 401 731848 915.43 62 112283

128 2744.5 384 700583 687.13 45 81617

Таблица 2.9: Решатель gmres, предобуславливатель sor и ilu.

gmres с предобуславливателем ILU работает лучше.

Исследования проводилась на кластере "Ариан Кузьмин" СВФУ им. М.К.

Аммосова. В качестве линейного решателя был взят итерационный метод

GMRES c SOR-предобуславливателем при использовании вычислительной плат-

формы FEniCS.

2.3.2 Влияние теплоизоляции (пеноплекс) и сезонно-

охлаждающего устройства (СОУ)

Представим результаты численного моделирования распространения тепла с

учетом теплоизоляционных материалов из пеноплекса. Добавим вычислитель-

ную геометрию и сетку (см. рис. 2.26). Теплофизические характеристики грунта

таблица 2.7, добавляем характеристики пеноплекса:

78

Рисунок 2.25: Вычислительная сетка (пеноплекс над основанием).

79

Рисунок 2.26: Вычислительная сетка (пеноплекс в середине берм).

80

Рисунок 2.27: Вычислительная сетка (пеноплекс в теле насыпи).

81

Приведем результаты моделирования при различных заложениях теплоизо-

ляционного материала пеноплекс (см рис 2.28 - 2.30 ). По результатом рисунка

видим, что к весне 3 года над пеноплексом грунт сохраняется в мерзлом состо-

янии.

Исследуем промерзания грунта при использовании сезонно-охлаждающих

установок. Искусственное замораживание грунтов применяется практически во

всех областях строительства. Вычислительная геометрия и сетка показана на ри-

сунке 2.31 имеет длину 43 метра по оси - X, 35 метров по оси - Y, и 28 метров

по оси Z, с 3 слоями грунта. C 10 СОУ с радиусом 0.1 метра, с глубиной 5.8

метров.

Результаты решения задачи на 3 год и на 5 год (рис. 2.34).

Также при замораживании грунта с помощью СОУ кладут теплоизоляцион-

ные материалы, такие как пеноплекс, чтобы получить максимальный эффект за-

мораживания. При моделировании мы использовали пеноплекс с толщиной 0,2

метра.

82

Рисунок 2.28: Различные расположения пеноплекса (на основании).

83

Рисунок 2.29: Различные расположения пеноплекса (в середине бермы).

84

Рисунок 2.30: Различные расположения пеноплекса (внутри насыпи).

85

Рисунок 2.31: геометрия и сетка.

86

Рисунок 2.32: Результаты моделирования.

87

Рисунок 2.33: Геометрия и сетка.

88

Рисунок 2.34: Пеноплекс и СОУ.

89

2.4 Выводы

Совместно с лабораторией геотермии криолитозоны института мерзлотове-

дения им П.И. Мельникова СО РАН проводились работы по прогнозированию

температурного режима грунта насыпи железной дороги Амурско-Якутской же-

лезнодорожной магистрали. В ходе работы были исследованы достоверность

математической модели по результатам сравнение расчетных данных с замера-

ми института. Большую роль в прогнозировании теплового режима грунта иг-

рает корректное задание граничного условия. Нами сформулировано граничное

условие третьего рода, отражающий полный комплекс основных региональных

характеристик климата, а не только температуру воздуха. Прогнозные оценки,

выполненные с использованием такого подхода, указывают на достаточно высо-

кую точность моделирования. Для обеспечения необходимой точности прогноза

наряду с выбором численного метода решения задачи Стефана проведен анализ

чувствительности модели относительно задания входных данных.

90

Глава 3

Тепловой режим теплиц в условиях Крайнего

Севера

Одним из наиболее важных требований в строительстве зданий является сни-

жение теплопотерь. Для снижения потребления энергии должны быть использо-

ваны эффективные теплоизоляционные материалы, требуется проведение тепло-

технических расчетов, чтобы выбрать оптимальную конструкцию с точки зрения

потерь тепла.

3.1 Введение

Свободная конвекция описывается системой уравнений конвективного пере-

носа и потока. Эти уравнения чрезвычайно сложны и их решению (аналитиче-

скому, численному) посвящено огромное число работ. Чтобы иметь возможность

моделировать сложные реальные процессы конвективного теплообмена, во мно-

гих работах прибегают к допущениям, упрощающим математическую модель и

ее решение.

Среди вычислительных алгоритмов получивших широкое распространение

в численном решении задач гидродинамики и тепло- и массопереноса выделя-

ем метод стабилизации SUPG, которое позволяет получить устойчивое решение

для задач переноса при высоких значениях числа Пекле [45]. Отметим также

метод Галеркина с наименьшими квадратами (G2) для задач моделирования те-

чения воздуха. Метод G2 представленный в данной работе — метод конечных

элементов с линейной аппроксимацией по пространственным переменным и по

времени, со стабилизацией [28, 29].

В данной главе в качестве моделируемых физических процессов рассмотрим:

∙ Теплицу, в которой возникает свободная конвекция. Для моделирования

91

свободной конвекции используется математическая модель описывающая

движение воздуха в поле силы тяжести за счет неравномерности темпе-

ратурного поля в рамках приближения Буссинеска для уравнений Навье–

Стокса и уравнения теплопроводности с конвективным слагаемым.

∙ Грунт под теплицей, в котором происходит теплообмен с теплицей и с

окружающей средой. Для моделирования теплового режима грунтового ос-

нования в условиях криолитозоны используется уравнение теплопроводно-

сти с учетом фазовых переходов поровой влаги (вода–лед).

Вычислительный алгоритм базируется на конечно-элементной аппроксимации

математической модели. Представлены результаты расчетов распределения теп-

ла внутри теплицы, а также распределение тепла грунта с учетом теплицы и

окружающей среды в различных технологических условиях.

92

3.2 Расчет теплопотерь для различных типов

теплиц

Основным направлением деятельности тепличного производства является

пополнение потребительского рынка местными свежими овощами и зеленью

круглый год. Как показывает практика, такое производство является дорогосто-

ящим и энергоемким. Одним из важнейших требований является минимизация

финансовых и энергетических затрат. Для снижения расхода энергии необхо-

димо использовать эффективные теплоизолирующие материалы и производить

теплотехнический расчет теплицы для выбора оптимальной конструкции с точ-

ки зрения тепловых потерь для применения теплиц в условиях Крайнего Севера.

Одним из необходимых элементов теплотехнического расчета теплиц является

моделирование распределения температуры в теплице и окружающем ее грунте,

что позволить более точно рассчитывать тепловые потери через боковые стены,

крышу и пол.

Рассматриваемые варианты конструкции теплиц:

∙ Типы теплиц по типу укрывных материалов: поликарбонат, двойная плен-

ка, двухслойный поликарбонат, двойное стекло с применением системы

зашторивания, стеклопакеты, комбинация различных материалов;

∙ Типы теплиц по типу форме: прямоугольные (квадратные), вытянутые (со-

отношение сторон 1:3 – 1:10);

∙ Виды теплиц по типу фундамента: наземные, заглубленные (или с утеп-

ленной нижней частью стен).

Приведем результаты расчетов теплопотерь через стены, крышу и фундамент

для различных конструкций теплиц (Рис. 3.1 – 3.2). Геометрические параметры

теплиц не варьировались. Длина теплиц — 6 метров, ширина — 2.5 метра, высота

— 2.5 метра. Высота твердой стены (область 5) — 0.5 метра и заглубленного

фундамента (область 4) — 0.5 метра. При численной реализации эти параметры

93

можно достаточно просто варьировать.

Рисунок 3.1: Теплица 1, 2, 4 (Слева на право). Типы областей: 1-стены

светопрозрачные, 5- стена твердая, 2- крыша, 3-пол и 4-заглубленный

фундамент).

Рисунок 3.2: Теплица 3, 5 (Слева на право). Типы областей: 5- стена твердая, 2-

крыша, 3-пол и 4-заглубленный фундамент).

Проводился расчет для разных видов теплиц с различными типами укрывных

материалов:

∙ пленка,

∙ стекло,

∙ сотовый поликарбонат,

∙ двойное стекло,

∙ двухслойный сотовый поликарбонат.

Для расчета теплопотерь использовалась следующая формула:

𝑄ℎ = 𝑘𝑤𝑎𝑙𝑙(𝑇𝑜𝑢𝑡 − 𝑇𝑖𝑛)𝑆𝑤𝑎𝑙𝑙 + 𝑘𝑟𝑜𝑜𝑓(𝑇𝑜𝑢𝑡 − 𝑇𝑖𝑛)𝑆𝑟𝑜𝑜𝑓 + 𝑘𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟(𝑇𝑔𝑟 − 𝑇𝑖𝑛)𝑆𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟.

94

Здесь индексы wall, roof, floor – стены (подобласти 1 и 5), крыша (подобласть 2)

и фундамент (подобласти 4 и 3), 𝑘 – коэффициент теплопередачи, 𝑆 – площадь

поверхности и 𝑇𝑜𝑢𝑡,𝑇𝑔𝑟, 𝑇𝑖𝑛 – температура наружного воздуха в зависимости от

месяца, грунта и температура в теплице. Расчеты приводятся для теплопотери

по месяцам отопительного периода.

Для вычисления коэффициента теплопередачи использовалась следующая

формула для многослойной стенки

𝑘𝑤𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑟𝑜𝑜𝑓 =1

1𝛼𝑜𝑢𝑡

+∑

𝑖𝑑𝑖𝜆𝑖

+ 1𝛼𝑖𝑛

,

𝑘𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟 =1

𝑅𝑐 +∑

𝑖𝑑𝑖𝜆𝑖

+ 1𝛼𝑖𝑛

,

где 𝑑𝑖, 𝜆𝑖 – толщина и коэффициент теплопроводности, 𝑖-го слоя, 𝛼𝑜𝑢𝑡, 𝛼𝑖𝑛 –

теплоотдача через внешнюю и внутреннюю стенки.

сент окт нояб дек янв фев март апр

𝑇𝑜𝑢𝑡 4 -8 -30 -37 -44 -36 -22 -7

Таблица 3.1: Средняя температура по месяцам отопительного периода.

Приведем результаты расчетов при следующих значения входных данных:

∙ 𝑇𝑖𝑛 = 20.0, 𝑇𝑔𝑟 = −2.0,

∙ 𝛼𝑜𝑢𝑡 = 23.0, 𝛼𝑖𝑛 = 8.7, 𝑅𝑐 = 2.1,

∙ для стен и крыши:

– пленка 𝑘 = 6.3 при 𝜆 = 0.36[Вт/(м K)] и 𝑑 = 0.0001[м],

– стекло 𝑘 = 6.19 при 𝜆 = 1[Вт/(м K)] и 𝑑 = 0.003[м],

– сотовый поликарбонат 𝑘 = 5.0 при 𝜆 = 0.2[Вт/(м K)] и 𝑑 = 0.008[м],

– двойное стекло 𝑘 = 0.48 при 𝜆 = 1[Вт/(м K)] и 𝑑 = 0.003[м] для

стекла с прослойкой из воздуха 𝜆 = 0.026[Вт/(м K)] и 𝑑 = 0.05[м],

– двухслойный сотовый поликарбонат 𝑘 = 0.46 при 𝜆 = 0.2[Вт/(м K)] и

95

𝑑 = 0.008[м] для прослойки воздуха 𝜆 = 0.026[Вт/(м K)] и 𝑑 = 0.05[м]

.

∙ для пола 𝑘 = 0.18 с тремя слоями: теплоизоляционный бетон 𝜆 = 0.18, 𝑑 =

0.15, пенопласт 𝜆 = 0.04, 𝑑 = 0.1 и раствор цементно-песчаный 𝜆 = 0.93,

𝑑 = 0.04,

∙ для твердых заглубленных стен 𝑘 = 0.2 с тремя слоями: полистеролбе-

тон 𝜆 = 0.19, 𝑑 = 0.19, пенополистерол 𝜆 = 0.042, 𝑑 = 0.04 и раствор

цементно-песчаный 𝜆 = 0.93, 𝑑 = 0.02,

∙ для твердых стен 𝑘 = 0.345 с тремя слоями: полистеролбетон 𝜆 = 0.19, 𝑑 =

0.19, пенополистерол 𝜆 = 0.042, 𝑑 = 0.04 и раствор цементно-песчаный

𝜆 = 0.93, 𝑑 = 0.02.

На рис. 3.3–3.6 представлены теплопотери через крышу, стены и фундамент.

Расчеты представлены для однослойного и двухслойного сотового поликарбона-

та. Заметим, что самые существенные теплопотери идут через стены для теплиц

вида 1,2,4. А для теплиц 3,5 существенные теплопотери идут через крышу, но

при покрытии из двухслойного сотового поликарбоната теплопотери существен-

но снижаются.

Рисунок 3.3: Теплопотери теплицы 1, 2, 4 с покрытием из сотового

поликарбоната (слева на право).

Сравнение общих теплопотерь через ограждающие конструкции представле-

но на рис. 3.7. Наблюдаем, что теплопотери при использовании двухслойного

сотового поликарбоната или стекла существенно снижают теплопотери.

96

Рисунок 3.4: Теплопотери теплицы 1, 2, 4 с покрытием из двухслойного

сотового поликарбоната (слева на право).

Рисунок 3.5: Теплопотери теплицы 3, 5 с покрытием из сотового поликарбоната

(слева на право).

Рисунок 3.6: Теплопотери теплицы 3, 5 с покрытием из двухслойного сотового

поликарбоната (слева на право).

97

Рисунок 3.7: Теплопотери теплицы 1 и 3 для различных типов укрывных

материалов (слева на право).

Сравнение видов теплиц по теплопотерям приведено на рис. 3.8. При приме-

нении двухслойного поликарбоната разница становится не столь большой.

Для расчета теплопоступления от солнечной радиации использовалась сле-

дующая формула:

𝑄𝑠 = 𝑘𝑝𝑟𝑄𝑠𝑢𝑛𝑆.

Здесь индексы 𝑄𝑠𝑢𝑛 — солнечная радиация по сторонам света, 𝑆 — площадь

поверхности по сторонам света, 𝑘𝑝𝑟 — коэффициент проницаемости зависящий

от времени года, географического положения, конструктивных особенностей со-

оружения, чистоты светопрозрачного ограждения.

Ранее на рисунках мы показывали величину теплового потока, домножим

теперь на время и покажем на рисунках количество теплоты по месяцам. Для

этого полученные ранее величины 𝑄ℎ домножим на 3600·1.0𝑒−6·24·𝐷𝑎𝑦𝐶𝑜𝑢𝑛𝑡,

а 𝑄𝑠 на 3600 · 𝑠𝑢𝑛𝐻 ·𝐷𝑎𝑦𝐶𝑜𝑢𝑛𝑡 с учетом продолжительности дня.

98

Рисунок 3.8: Теплопотери различных видов теплиц для однослойного и

двухслойного сотового поликарбоната (слева на право)

сент окт нояб дек янв фев март апр

𝑘𝑝𝑟 0.65 0.6 0.5 0.5 0.5 0.6 0.65 0.75

𝑄𝑠𝑢𝑛 C 0 0 0 0 0 0 0 110

𝑄𝑠𝑢𝑛 СВ/ СЗ 180 70 0 0 0 0 110 240

𝑄𝑠𝑢𝑛 В/ З 350 200 90 50 50 145 290 490

𝑄𝑠𝑢𝑛 ЮВ/ ЮЗ 550 460 270 150 220 340 550 650

𝑄𝑠𝑢𝑛 Ю 610 560 360 240 290 440 640 680

Таблица 3.2: Параметры задачи.

сент окт нояб дек янв фев март апр

Количество дней DayCount 30 31 30 31 31 28 31 30

Ср продолж дня sunH 13.91 11.13 8.31 6.1 5.66 7.51 9.96 12.84

Таблица 3.3: Параметры задачи.

99

Рисунок 3.9: Теплопоступления от солнечной радиации для разных типов

теплиц.

Рисунок 3.10: Теплопотери различных видов теплиц для однослойного и

двухслойного сотового поликарбоната (слева на право).

100

Рисунок 3.11: Теплопоступления от солнечной радиации для разных типов

теплиц.

101

3.3 Численное исследование распространения теп-

ла в теплице

Проведено численное моделирование распределения температуры в теплице.

Для расчета температуры внутри теплицы. Мы используем упрощенную модель

— теплопроводность без явного учета конвективного переноса:

𝑐𝑝 𝜌𝜕𝑇

𝜕𝑡− div(𝐷 grad𝑇 ) = 0. (3.1)

Уравнение (3.1) дополняется с соответствующими граничными и начальными

условиями:

Γ2

Γ1

Γ1 Γ1

Γ1

Γ2

Γ5

Γ5

Γ5

Γ5

Γ5

Боковые стенки теплоизолированы:

𝜕𝑇

𝜕𝑛= 0, 𝑥 ∈ Γ1.

Граничное условие на Γ1 и Γ2 приведены с учетом амплитуды колебаний темпе-

ратуры воздуха:

−𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑛= 𝛼1(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟), 𝑥 ∈ Γ1,

−𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑛= 𝛼2(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟), 𝑥 ∈ Γ2,

102

где 𝛼1 и 𝛼2 – коэффициенты теплообмена с окружающей средой и 𝑇𝑎𝑖𝑟 – темпе-

ратура воздуха.

На Γ5 держим температуру равной 50∘𝐶:

𝑇 (𝑥, 𝑡) = 𝐶, 𝑥 ∈ Γ5.

В начальное время мы имеем

𝑇 (𝑥, 0) = 𝑇0, 𝑥 ∈ Ω.

Аппроксимация

Задача решается на основе стандартного метода конечных элементов. Для

аппроксимации по времени воспользуемся чисто неявной схемой и применим

простейшую линеаризацию [39]:∫Ω

𝑐𝜌

(𝑇ℎ − 𝑇ℎ

𝜏

)𝑟ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇ℎ, grad 𝑟ℎ) 𝑑𝑥 +

+

∫Γ1

𝛼1(𝑇ℎ − 𝑇𝑎𝑖𝑟) 𝑟ℎ 𝑑𝑠 +

∫Γ2

𝛼2(𝑇ℎ − 𝑇𝑎𝑖𝑟) 𝑟ℎ 𝑑𝑠,

где 𝑟 ∈ 𝑄(Ω), 𝜏 – равномерный шаг по времени и 𝑇ℎ – температура с предыду-

щего временного слоя.

Представим результаты моделирование внутри теплицы (рис. 3.13). Время

моделирования 300 сек с шагом 1 сек. При решении задачи искусственно под-

бирается коэффициент теплопроводности таким образом, чтобы средняя темпе-

ратура была схожа со средней температурой задачи с конвекцией.

103

а)

б)

Рисунок 3.12: Температура внутри помещения: а) температура источника равна

500𝐶 тогда коэффициент теплопроводности равен 0.02 Вт/(м·𝐾), б) когда

температура источника равна 700𝐶 коэффициент теплопроводности равен 0.04

Вт/(м·𝐾).

104

𝜏 = 10 𝑐 𝜏 = 30 𝑐

𝜏 = 60 𝑐 𝜏 = 120 𝑐

Рисунок 3.13: Температура внутри помещения без конвекции.

105

3.4 Свободно-конвективное движение в теплице

Рассмотрим распространение тепла внутри теплицы, описываемое моделью

Буссинеска. Модель течения уравнения Навье-Стокса

𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝜌𝑢 grad𝑢 = 𝜇 div grad𝑢− grad 𝑝− 𝜌 𝛽 𝑇 𝑔,

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ div 𝜌𝑢 = 0, (3.2)

уравнения теплопроводности:

𝑐𝑝 𝜌 (𝜕𝑇

𝜕𝑡+ 𝑢 grad𝑇 ) = div(𝑘 grad𝑇 ) (3.3)

и уравнения состояния идеального газа:

𝑝 = 𝜌𝑅𝑇.

здесь 𝑢 — вектор скорости, 𝑝 — давление, 𝑇 — температура, 𝜌 — плотность воды,

𝜇 — вязкость, 𝑅 — универсальная газовая постоянная.

Система уравнений решаются в области Ω (рис. 3.14).

Γ2

Γ1

Γ1 Γ1

Γ1

Γ2

Γ5

Γ5

Γ5

Γ5

Γ5

Рисунок 3.14: Вычислительная геометрия.

106

Определим следующие граничные условия для температуры. Граничное

условие в Γ1 и Γ2 формулируются с учетом амплитуды колебаний температу-

ры воздуха в виде:

−𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑛= 𝛼1(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟), 𝑥 ∈ Γ1,

−𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑛= 𝛼2(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟), 𝑥 ∈ Γ2,

где 𝛼1 и 𝛼2 — коэффициенты теплообмена с окружающей средой и 𝑇𝑎𝑖𝑟 — темпе-

ратура воздуха.

На границе Γ5 держим температуру равной 50∘𝐶:

𝑇 (𝑥, 𝑡) = 𝐶, 𝑥 ∈ Γ5.

Для скорости, на границе устанавливаем граничное условие прилипания и не

протекании.

𝑢(𝑥, 𝑡) = 0, 𝑥 ∈ 𝜕Ω.

В начальное время мы имеем

𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑇 (𝑥, 0) = 𝑇0,

в Ω.

Аппроксимация

Используется конечно-элементная аппроксимация по пространству. Для си-

стемы уравнений (3.2) напишем следующую вариационную формулировку: най-

дем (𝑢, 𝑝) ∈ 𝑉 (Ω) × 𝐿(Ω), для∫Ω

𝜌𝜕𝑢

𝜕𝑡𝑣 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌𝑢 · grad𝑢𝑣 𝑑𝑥 =

∫Ω

𝜇 div grad𝑢𝑣 𝑑𝑥−∫Ω

grad 𝑝𝑣 𝑑𝑥 +

+

∫Ω

𝜌0𝛽𝑇𝑔 𝑣 𝑑𝑥,∫Ω

𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑞 +

∫Ω

div 𝜌𝑢 𝑞 𝑑𝑥 = 0,

107

где (𝑣, 𝑞) ∈ 𝑉 (Ω) × 𝐿(Ω).

Уравнение теплопередачи аппроксимируется (3.3) с использованием класси-

ческого метода Галеркина, в котором пробные и тестовые функции одинаковы.

Тогда напишем следующую вариационную формулировку∫Ω

𝑐𝜌

(𝜕𝑇

𝜕𝑡+ 𝑢 grad𝑇

)𝑟 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇, grad 𝑟) 𝑑𝑥 +

+

∫Γ1

𝛼1(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑟𝑑𝑠 +

∫Γ2

𝛼2(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑟𝑑𝑠,

где 𝑟 ∈ 𝑄(Ω).

Используются стандартные линейные базисные функции уравнения тепло-

передачи, а для модели течения используются элементы Тейлора-Худа, которые

удовлетворяют условию LBB (inf-sup).

Для аппроксимации по времени используется чисто-неявная схема с лине-

аризацией по предыдущему временному слою. При численной реализации мы

вычисляем в начале распределение температуры 𝑇 с использованием скорости с

предыдущего временного слоя, а затем решаем линеаризованную систему урав-

нений Навье-Стокса. Для скорости имеем следующую формулировку:∫Ω

𝜌𝑢−

𝜏𝑣 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌 · grad𝑢𝑣 𝑑𝑥 =

∫Ω

𝜇 div grad𝑢𝑣 𝑑𝑥 −

−∫Ω

grad 𝑝𝑣 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌0𝛽𝑇𝑔 𝑣 𝑑𝑥,∫Ω

𝜌− 𝜌

𝜏𝑞 +

∫Ω

div 𝜌𝑢 𝑞 𝑑𝑥 = 0.

Аналогично для температуры:∫Ω

𝑐𝜌

(𝑇 − 𝑇

𝜏+ grad𝑇

)𝑟 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇, grad 𝑟) 𝑑𝑥 +∫Γ1

𝛼1(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑟𝑑𝑠

∫Γ2

𝛼2(𝑇 − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑟𝑑𝑠.

Здесь 𝜏 является единым временным шагом и , 𝑇 — значение скорости и тем-

пературы от предыдущего временного слоя.

108

Напишем нашу задачу при стандартном использовании метода конечных эле-

ментов:

для скорости:∫Ω

𝜌𝑢ℎ − ℎ

𝜏𝑣ℎ 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌ℎ · grad𝑢ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

𝜇 div grad𝑢ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥−

−∫Ω

grad 𝑝ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌0𝛽𝑇𝑔 𝑣ℎ 𝑑𝑥,∫Ω

𝜌ℎ − 𝜌ℎ𝜏

𝑞ℎ +

∫Ω

div 𝜌ℎ𝑢ℎ 𝑞ℎ 𝑑𝑥 = 0,

для температуры:∫Ω

𝑐𝜌

(𝑇ℎ − 𝑇ℎ

𝜏+ ℎ grad𝑇ℎ

)𝑟ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇ℎ, grad 𝑟ℎ) 𝑑𝑥 +∫Γ1

𝛼1(𝑇ℎ − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑟𝑑𝑠 +

∫Γ2

𝛼2(𝑇ℎ − 𝑇𝑎𝑖𝑟)𝑟𝑑𝑠.

Численные алгоритмы расчета потока жидкости были активной областью ис-

следований в течение нескольких десятилетий и до сих пор остаются важной об-

ластью для изучения. В результате накапливается большое количество методов

решения уравнений Навье-Стокса, поэтому возникают трудности выбора схемы

дискретизации для конкретной задачи. Мы используем метод Галеркина (G2)

с наименьшими квадратами. Метод G2 представляет собой стабилизированный

метод конечных элементов с использованием кусочно-линейного приближения

в пространстве и времени. Мы используем метод Хоффмана и Джонсона (2007),

который является упрощенным методом G2 [28,29].

∫Ω

𝜌ℎ𝑢ℎ − ℎ

𝜏𝑣ℎ 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌ℎℎ · grad𝑢ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

𝜇 div grad𝑢ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥−

−∫Ω

grad 𝑝ℎ 𝑣ℎ 𝑑𝑥 +

∫Ω

𝜌ℎ𝛽𝑇𝑔 𝑣ℎ 𝑑𝑥− 𝑆𝐷𝑢𝛿 ,∫

Ω

𝜌ℎ − 𝜌ℎ𝜏

𝑞ℎ +

∫Ω

div𝑢ℎ 𝑞ℎ 𝑑𝑥 = −𝑆𝐷𝜌𝛿 ,

для ∀(𝑣, 𝑞) ∈ 𝑉ℎ ×𝑄ℎ,

109

где

𝑆𝐷𝑢𝛿 = (𝛿1𝑢ℎ · ∇𝑢ℎ,𝑢ℎ · ∇𝑣) + (𝛿2∇𝜌ℎ · ∇𝑣),

𝑆𝐷𝜌𝛿 = (𝛿1𝑢ℎ · ∇𝜌ℎ, 𝑢ℎ · ∇𝑣) + (𝛿2∇𝜌ℎ · ∇𝑣).

Мы используем следующие параметры для стабилизации

𝛿1 =𝑘12

(𝜏−2 + ||2ℎ−2)−1/2 и 𝛿2 = 𝑘2ℎ,

в случае когда преобладает конвекция; то есть, если 𝑣 < 𝑢ℎ, где ℎ – шаг сетки.

В случае когда преобладает диффузия, параметры устанавливаются

𝛿1 = 𝑘1ℎ2 и 𝛿2 = 𝑘2ℎ

2.

Константы 𝑘1 и 𝑘2 мы берем 𝑘1 = 4 и 𝑘2 = 2.

Для уравнения теплопередачи используется метод SUPG. Основная идея

SUPG – модификация тестовых функций с учетом направления потока. Посколь-

ку аппроксимация уравнений конвекции-диффузии с использованием стандарт-

ного метода Галеркина приводит к осцилляциям в решении задачи и подходит

для расчетов в случае конвективной доминантности теплопроводности. В методе

SUPG используется следующая вариационная форма [10, 45]:∫Ω

𝑐𝜌

(𝑇ℎ − 𝑇ℎ

𝜏+ ℎ grad𝑇ℎ

)𝑟ℎ 𝑑𝑥 =

∫Ω

(𝑘 grad𝑇ℎ, grad 𝑟ℎ) 𝑑𝑥 +

+

∫Γ1

𝛼1(𝑇ℎ − 𝑇𝑎𝑖𝑟) 𝑟ℎ 𝑑𝑠 +

∫Γ2

𝛼2(𝑇ℎ − 𝑇𝑎𝑖𝑟) 𝑟ℎ 𝑑𝑠,

для ∀𝑟ℎ ∈ 𝑄ℎ,где 𝑟 = (𝑟 + ℎ2|𝑢| ×∇𝑟).

Таким образом, пространство пробных функций 𝑄 и пространство тестовых

функций 𝑄 не совпадают, вариант метода Петрова–Галеркина. В нашем случае

уравнение остается неизменным и изменяется только тестовая функция 𝑟.

Проведем численное моделирование рассмотренной задачи в двумерной по-

становке. Исследование проводилось для области: грунт имеет размер 10 × 10

метров, помещение 4 метра по ширине и 3 метра по высоте. Между грунтом

110

и теплицей имеются теплоизоляционные слои: бетонная прокладка толщиной

0,3 м., пенопласт толщиной 0,2 м. и цементно-песчаный раствор толщиной 0,04

м. В качестве расчетных параметров внутри помещения брались теплофизиче-

ские характеристики воздуха, а для грунта – характеристики песка. Температура

источника равна 50∘𝐶.

Начальная температура помещения +20∘𝐶 градусов, грунта −3∘𝐶. Темпе-

ратура на поверхности задавалась с учетом амплитуды колебания температуры

воздуха характерной для Якутии от −40∘𝐶 – зимой и +30∘𝐶 – летом с коэффи-

циентом 𝛼 = 14 для грунта, а для помещения брали разные значения от 0.46 до

0.01 (рис. 3.15).

Рисунок 3.15: Температура внутри помещения при разных 𝛼 для граничной

условии Γ1.

На рис. 3.16 показано решение в зависимости от шага по времени. Измене-

ние временного шага приводит к возникновению осцилляций в решении. При

решении с шагом 1 сутки после 100 шагов скорость скорость течения воздуха

устанавливается и температура внутри помещения становится равной темпера-

туре источника 50∘𝐶.

111

Рисунок 3.16: Температура внутри помещения при разных шагах по времени.

112

а) б)

в) г)

Рисунок 3.17: Температура внутри помещения и скорость: а) температура через

3с, б) скорость через 3с, в) температура через 60с, г) скорость через 60с.

113

3.5 Выводы

Выполнен теплотехнический расчет теплопотерь для различных типов теп-

лиц с использованием СНИПов для выбора оптимальной конструкции для при-

менения в условиях Крайнего Севера. Построена математическая модель опи-

сывающая распределение температуры в теплице и окружающем ее грунте. Она

позволяет более точно рассчитывать тепловые потери через боковые стены, кры-

шу и пол. Для численного решения исследованы схемы аппроксимации со ста-

билизацией для конечно-элементной аппроксимации. Представлены результаты

численного решения в двумерной постановке при различных конструкциях теп-

лиц.

114

Заключение

В диссертационная работе представлены современные подходы к решению

проблемы прогнозирование изменений температурного режима грунтов, кото-

рая является необходимым элементом инженерно-геологического обоснования

строительства геотехнических объектов в районах распространения вечномерз-

лых грунтов.

В диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Построены математические модели для численного решения задач тепло-

переноса в грунтах в условиях криолитозоны. Для моделирования тепло-

вого режима грунтов используется уравнение теплопроводности с учетом

фазовых переходов поровой влаги вода – лед. При построении математи-

ческой модели учитываются основные климатические параметры: ампли-

туда температуры воздуха, составляющие радиационно-теплового балан-

са, мощность и плотность снежного покрова. Вычислительные алгоритмы

строятся на основе метода конечных элементов, что позволяет наиболее

полно учитывать геометрию и строение моделируемых объектов. Проведе-

но численное исследование методов решения не линейных задач. Постро-

ена математическая модель, описывающая теплоперенос в системе труба-

грунт, которая позволяет существенно снижать размерность вычислитель-

ной задачи, возникающей после аппроксимации по пространству.

2. Выполнены исследования по моделированию температурного режима

грунта насыпи железной дороги Амурско-Якутский магистрали и прове-

дено сравнение расчетных данных с замерами Института мерзлотоведе-

ния им П.И. Мельникова СО РАН. Отметим необходимость максималь-

но точного задания условий теплообмена с окружающей среды, задания

граничного условия отражающего полный комплекс основных региональ-

ных характеристик климата, а не только температуру воздуха. Прогнозные

115

оценки, выполненные с использованием такого подхода, указывают на до-

статочно высокую точность моделирования. В рамках двумерного и трех-

мерного моделя теплопереноса выполнена оценка различных технических

решений на укрепления железнодорожного полотна.

3. Выполнен теплотехнический расчет теплопотерь для различных типов теп-

лиц с использованием СНИПов для выбора оптимальной конструкции для

применения в условиях Крайнего Севера. Построена математическая мо-

дель описывающая распределение температуры в теплице и окружающем

ее грунте, которая позволяет более точно рассчитывать тепловые потери

через боковые стены, крышу и пол. Для численного решения использовали

схемы аппроксимации со стабилизацией при конечно-элементной аппрок-

симации по пространству. Представлены результаты численного решения

задачи тепло- и массопереноса в двумерной постановке для различных

конструкций теплиц.

116

Литература

1. Alexiades V. Mathematical modeling of melting and freezing processes. — CRC

Press, 1992.

2. Andersland O. B., Ladanyi B. An introduction to frozen ground engineering. —

Chapman & Hall, 1994.

3. Andersland O. B, Ladanyi B. Frozen ground engineering. — John Wiley & Sons,

2004.

4. Andersland O. B, Ladanyi B. An introduction to frozen ground engineering. —

Springer Science & Business Media, 2013.

5. Application of a large eddy simulation model to study room airflow /

S. J. Emmerich, K. B. McGrattan, S. Kato, A. J. Baker // Ashrae Transactions. —

1998. — Vol. 104. — P. 1128.

6. Ascher U. M. Numerical methods for evolutionary differential equations. —

Society for Industrial Mathematics, 2008.

7. Balay S., Gropp W. D., et al. L. Curfman McInnes. Efficient Management of

Parallelism in Object Oriented Numerical Software Libraries. — 1997. — P. 163–

202.

8. Braess D. Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid

mechanics. — Cambridge University Press, 2007.

9. Brenner S., Scott L. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. —

New York : Springer-Verlag, 2007.

10. Brooks A. N., Hughes T. JR. Streamline upwind/Petrov-Galerkin formulations

for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible

117

Navier-Stokes equations // Computer methods in applied mechanics and

engineering. — 1982. — Vol. 32, no. 1-3. — P. 199–259.

11. Chorin A. J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations // Mathematics

of computation. — 1968. — Vol. 22, no. 104. — P. 745–762.

12. Christon M. A., Gresho P. M., Sutton S. B. Computational predictability of

time-dependent natural convection flows in enclosures (including a benchmark

solution) // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2002. —

Vol. 40, no. 8. — P. 953–980.

13. Dym C. Principles of mathematical modeling. — Academic press, 2004.

14. Eriksson K., Johnson C. Adaptive finite element methods for parabolic problems

I: A linear model problem // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1991. —

Vol. 28, no. 1. — P. 43–77.

15. Eriksson K., Johnson C. Adaptive finite element methods for parabolic problems

IV: Nonlinear problems // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1995. —

Vol. 32, no. 6. — P. 1729–1749.

16. Ern A., Guermond J. Theory and practice of finite elements. — Springer Science

& Business Media, 2013. — Vol. 159.

17. Forsythe G. E., Wasow W. R. Finite Difference Methods for Partial Differential

Equations. — New York : Wiley, 1960.

18. Gershenfeld N. A. The nature of mathematical modeling. — Cambridge

university press, 1999.

19. Goda K. A multistep technique with implicit difference schemes for calculating

two-or three-dimensional cavity flows // Journal of Computational Physics. —

1979. — Vol. 30, no. 1. — P. 76–95.

118

20. Gornov V. F., Stepanov S. P., Vasilyeva M. V. et al. Mathematical modeling of

heat transfer problems in the permafrost // AIP Conference Proceedings / AIP. —

Vol. 1629. — 2014. — P. 424–431.

21. Grossmann C., Roos H. G., Stynes M. Numerical treatment of partial differential

equations. — Springer Verlag, 2007.

22. Guermond J. L., Minev P., Shen J. An overview of projection methods

for incompressible flows // Computer methods in applied mechanics and

engineering. — 2006. — Vol. 195, no. 44. — P. 6011–6045.

23. Guermond J. L., Shen J. A new class of truly consistent splitting schemes for

incompressible flows // Journal of computational physics. — 2003. — Vol. 192,

no. 1. — P. 262–276.

24. Gustafsson B. High order difference methods for time dependent PDE. —

Springer Verlag, 2008.

25. Harris J. S. Ground Freezing in Practice. — Thomas Telford Limited, 1995.

26. An overview of Trilinos : Rep. / Technical Report SAND2003-2927, Sandia

National Laboratories ; Executor: M. Heroux, R. et al. Bartlett : 2003.

27. Trilinos Developers Guide : Rep. : SAND2003-1898 / Sandia National

Laboratories ; Executor: M. A. Heroux, J. M. Willenbring, R. Heaphy : 2003.

28. Hoffman J., Jansson J., Nazarov M. A general Galerkin finite element

method for the compressible Euler equations // SIAM Journal on Scientific

Computing. — 2008.

29. Hoffman J., Johnson C. G2 for Navier-Stokes Equations // Computational

Turbulent Incompressible Flow: Applied Mathematics: Body and Soul 4. —

2007. — P. 209–218.

119

30. Hughes T. JR. The finite element method: linear static and dynamic finite

element analysis. — Courier Corporation, 2012.

31. Hundsdorfer W. H., Verwer J. G. Numerical solution of time-dependent

advection-diffusion-reaction equations. — Springer Verlag, 2003.

32. Johnson G. M. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite

Element Method. — Cambridge : Cambridge University Press, 1987.

33. Karimi-Fard M., Durlofsky L. J., Aziz K et al. An efficient discrete fracture

model applicable for general purpose reservoir simulators // SPE Reservoir

Simulation Symposium / Society of Petroleum Engineers. — 2003.

34. Karimi-Fard M., Firoozabadi A. et al. Numerical simulation of water injection

in 2D fractured media using discrete-fracture model // SPE annual technical

conference and exhibition / Society of Petroleum Engineers. — 2001.

35. Kelley C. T. Solving nonlinear equations with Newton’s method. — SIAM, 2003.

36. Kim J., Deo M. D. Finite element, discrete-fracture model for multiphase flow

in porous media // AIChE Journal. — 2000. — Vol. 46, no. 6. — P. 1120–1130.

37. Knabner P., Angermann L. Numerical methods for elliptic and parabolic partial

differential equations. — Springer Verlag, 2003.

38. Larsson S., Thomee V. Partial differential equations with numerical methods. —

Springer Verlag, 2003.

39. Logg A., Mardal K.-A., Wells G. Automated solution of differential equations

by the finite element method: The FEniCS book. — Springer Science & Business

Media, 2012.

40. MTL4 (The Matrix Template Library 4). — http://www.simunova.com/

de/node/24.

120

41. Meyer W. J. Concepts of mathematical modeling. — Courier Corporation, 2012.

42. Mitchell A. R., Griffiths D. F. The Finite Difference Method in Partial

Differential Equations. — Chichester : Wiley, 1980.

43. PETSc Users Manual : Rep. : ANL-95/11 - Revision 3.2 / Argonne National

Laboratory ; Executor: S. Balay, J. Brown, et al. : 2011.

44. Balay S., Brown J., Buschelman K. et al. PETSc Web page. — 2011. —

http://www.mcs.anl.gov/petsc.

45. Pain C. C., Eaton M. D., Smedley-Stevenson R. P. et al. Streamline upwind

Petrov–Galerkin methods for the steady-state Boltzmann transport equation //

Computer methods in applied mechanics and engineering. — 2006. — Vol. 195,

no. 33. — P. 4448–4472.

46. Pavlova N. V., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V. Mathematical modeling of

thermal stabilization of vertical wells on high performance computing systems //

International Conference on Large-Scale Scientific Computing / Springer. —

2013. — P. 636–643.

47. Quarteroni A., Valli A. Numerical approximation of partial differential

equations. — Springer Science & Business Media, 2008. — Vol. 23.

48. Richtmyer R. D., Morton K. W. Difference Methods for Initial-Value

Problems. — New York : Wiley, 1967.

49. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. — Society for Industrial

Mathematics, 2003.

50. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Iliev O. P. et al. Numerical simulation of

convection/diffusion phase change problems—a review // International journal of

heat and mass transfer. — 1993. — Vol. 36, no. 17. — P. 4095–4106.

121

51. Schafer M., Turek S., Durst F. et al. Benchmark computations of laminar flow

around a cylinder // Flow simulation with high-performance computers II. —

Springer, 1996. — P. 547–566.

52. Smith G. D. Numerical solution of partial differential equations: finite difference

methods. — Oxford university press, 1985.

53. Stepanov S. P., Sirditov I. K., Vabishchevich P. N.et al. Numerical Simulation

of Heat Transfer of the Pile Foundations with Permafrost // International

Conference on Numerical Analysis and Its Applications / Springer. — 2016. —

P. 625–632.

54. Stepanov S. P., Vasilyeva M. V., Vasilyev V. I. Numerical simulation of

the convective heat transfer on high-performance computing systems // AIP

Conference Proceedings / AIP Publishing. — Vol. 1773. — 2016. — P. 110011.

55. Strang G., Aarikka K. Introduction to applied mathematics. — Wellesley-

Cambridge Press Wellesley, MA, 1986. — Vol. 16.

56. Strikwerda J. C. Finite difference schemes and partial differential equations. —

Society for Industrial Mathematics, 2004.

57. Temam R. Sur l’approximation de la solution des equations de Navier-Stokes

par la methode des pas fractionnaires (II) // Archive for Rational Mechanics and

Analysis. — 1969. — Vol. 33, no. 5. — P. 377–385.

58. Tezduyar T. E. Stabilized finite element formulations for incompressible flow

computations // Advances in applied mechanics. — 1991. — Vol. 28. — P. 1–44.

59. Thomas J. W. Numerical Partial Differential Equations. Finite Difference

Methods. — Berlin : Springer-Verlag, 1995.

60. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. — Springer,

1984. — Vol. 1054.

122

61. Turek S. Efficient Solvers for Incompressible Flow Problems: An Algorithmic

and Computational Approache. — Springer Science & Business Media, 1999. —

Vol. 6.

62. Vabishchevich P. N. Time step for numerically solving parabolic problems //

International Conference on Finite Difference Methods / Springer. — 2014. —

P. 96–103.

63. Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V., Pavlova N. V. Numerical simulation

of thermal stabilization of filter soils // Mathematical Models and Computer

Simulations. — 2015. — Vol. 7, no. 2. — P. 154–164.

64. Wakashima S., Saitoh T. S. Benchmark solutions for natural convection in a

cubic cavity using the high-order time–space method // International Journal of

Heat and Mass Transfer. — 2004. — Vol. 47, no. 4. — P. 853–864.

65. Walter J., Koch M. et al. uBLAS // Boost C++ software library available from

http://www. boost. org/doc/libs. — 2006.

66. Аксельруд Г. А., Альтшулер М. А. Введение в капиллярно-химическую тех-

нологию // М.: Химия. — 1983. — Vol. 264. — P. 3.

67. Аксельруд Г. А., Лысянский В. М. Экстрагирование:(Система твердое тело-

жидкость). — Химия. Ленингр. отд., 1974.

68. Аргунова К. К., Бондарев Э. А., Рожин И. И. Тепловое взаимодействие

нефтедобывающих скважин с многолетнемерзлыми горными породами //

Наука и образование. — 2008. — no. 4. — P. 78–83.

69. Аргунова К. К., Бондарев Э. А., Рожин И. И. Изучение влияния нефтедо-

бывающих скважин Ванкорского месторождения на тепловой режим грун-

тов // Инженерная экология. — 2009. — no. 2. — P. 43.

123

70. Ашихмин В. Н., Гитман М. Б., Келлер И. Э. и др. Введение в мате-

матическое моделирование. — Общество с ограниченной ответственно-

стью"Логос 2004.

71. Батунер Л. М., Позин М. Е. Математические методы в химической техни-

ке. — 1963.

72. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности: В 2-х частях:

Учебное пособие. — Высшая школа, 1982.

73. Берд Р, Стьюарт В, Лайтфут Е. Явления переноса. — 1974.

74. Будак Б. М, Соловьева Е. Н., Успенский А. Б. Разностный метод со сгла-

живанием коэффициентов для решения задач Стефана // Журнал вычисли-

тельной математики и математической физики. — 1965. — Vol. 5, no. 5. —

P. 828–840.

75. Бэррер Р. Диффузия в твердых телах: Пер. с англ. — Изд-во иностр. лит,

1948.

76. Вабищевич П. Н. Численное моделирование. — Москва : Издательство Мос-

ковского книверситета, 1993.

77. Вабищевич П. Н. Вычислительные методы математической физики. Неста-

ционарные задачи. — Москва : Вузовская книга, 2009.

78. Вабищевич П. Н., Варламов С. П., Васильев В. И. и др. Математическое

моделирование теплового режима железнодорожного полотна в условиях

криолитозоны // Вестник Северо-Восточного федерального университета

им. МК Аммосова. — 2013. — Vol. 10, no. 5.

79. Вабищевич П. Н., Варламов С. П., Васильев В. И. и др. Численное мо-

делирование температурного поля многолетнемерзлого грунтового основа-

124

ния железной дороги // Математическое моделирование. — 2016. — Vol. 28,

no. 10. — P. 110–124.

80. Вабищевич П. Н., Васильева М. В., Горнов В. Ф. и др. Математическое

моделирование искусственного замораживания грунтов // Вычислительные

технологии. — 2014. — Vol. 19, no. 4. — P. 19–31.

81. Вабищевич П. Н., Илиев О. П. Численное решение сопряженных задач

тепло-и массопереноса с учетом фазового перехода // Дифференц. урав-

нения. — 1987. — Vol. 23, no. 7. — P. 1127–1132.

82. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е. и др. Тепломассоперенос в

промерзающих и протаивающих грунтах. — М.:Наука, 1996.

83. Васильев В.И., Сидняев Н.И., Федотов А.А. и др. Моделирование распре-

деления нестационарных температурных полей в зонах вечной мерзлоты

при проектировании геотехнических сооружений. — М.:Курс, 2017.

84. Васильев В. И., Васильева М. В., Степанов С. П. и др. Математическое

моделирование температурного режима грунтов фундаментов в условиях

многолетнемерзлых пород // Вестник Московского государственного тех-

нического университета им. НЭ Баумана. Серия «Естественные науки». —

2017. — no. 1 (70). — P. 142–159.

85. Велли Ю Я. Здания и сооружения на Крайнем Севере: справочное посо-

бие. — Гос. изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строит. матери-

алам, 1963.

86. Втюрина Е. А., Втюрин Б. И. Льдообразование в горных породах. — Наука,

1970.

87. Докучаев В. В. Основания и фундаменты на вечномерзлых грунтах. — Гос.

изд-во лит-ры по строительству, архитектуре и строит. материалам, 1963.

125

88. Дядькин Ю. Д., Зильберборд А. Ф. Тепловые и механические процессы

при разработке полезных ископаемых: горные работы в массиве мерзлых

пород. — Наука, 1965.

89. Иванов Н. С. Теплообмен в криолитозоне. — Изд-во Академии наук СССР,

1962.

90. Иванов Н. С. Тепло-и массоперенос в мерзлых горных породах. — Наука,

1969.

91. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана // Математический сборник. —

1961. — Vol. 53, no. 4. — P. 489–514.

92. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел. — 1964.

93. Колдоба А. В., Повещенко Ю. А., Попов Ю. П. Об одном алгоритме реше-

ния уравнения теплопроводности на неортогональных сетках // Дифферен-

циальные уравнения. — 1985. — Vol. 21, no. 7. — P. 1273–1276.

94. Колдоба А. В., Повещенко Ю. А., Попов М. В. и др. Математическое мо-

делирование лазерного спекания двухкомпонентных порошковых смесей //

Препринты Института прикладной математики им. МВ Келдыша РАН. —

2009. — no. 0. — P. 38–15.

95. Крылов Д. А., Сидняев Н. И., Федотов А. А. Математическое моделиро-

вание распределения температурных полей // Математическое моделирова-

ние. — 2013. — Vol. 25, no. 7. — P. 3–27.

96. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — 1967.

97. Лыков А. В. Тепломассообмен. Справочник. — 1978.

98. Мейрманов А. М. Задача Стефана. — Изд-во"Наука,"Сибирское отд-ние,

1986.

126

99. Меламед В. Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых пере-

ходах. — Наука, 1980.

100. Мещерин И. В., Калмыков А. М., Сидняев Н. И. и др. Задача определения

температурного поля в мерзлых грунтах // Альманах современной науки и

образования. — 2012. — no. 7. — P. 90–93.

101. Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана // ДАН

СССР. — 1960. — Vol. 135, no. 5. — P. 1054–1057.

102. Павлов А. В. Теплофизика ландшафтов. — Наука. Сиб. отд-ние, 1979.

103. Павлов А. В. Расчет и регулирование мерзлотного режима почвы. — Наука,

Сибирское отд-ние, 1980.

104. Павлов А. В., Перльштейн Г. З., Типенко Г. С. Актуальные аспекты моде-

лирования и прогноза термического состояния криолитозоны в условиях

меняющегося климата // Криосфера Земли. — 2010. — Vol. 14, no. 1. — P. 3–

12.

105. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. — Звайгзне, 1967.

106. Самарский А. А. Теория разностных схем. — Москва : Наука, 1989.

107. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических

уравнений. — Москва : Наука, 1976.

108. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. —

Москва, Едиториал УРСС, 2003.

109. Самарский А. А., Моисеенко Б Д. Экономичная схема сквозного счета для

многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и ма-

тематической физики. — 1965. — Vol. 5, no. 5. — P. 816–827.

127

110. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. —

Наука, 1978.

111. Сидняев Н. И., Федотов А. А., Мельникова Ю. С. Управление распреде-

лением температурных полей в криолитозоне // Academia. Архитектура и

строительство. — 2010. — no. 3.

112. Фельдман Г. М. Методы расчета температурного режима мерзлых грун-

тов. — Наука, 1973.

113. Хакимов Х. Р. Вопросы теории и практики искусственного замораживания

грунтов. — Изд-во Академии наук СССР, 1957.

114. Хрусталев Л. Н. Температурный режим вечномерзлых грунтов на застро-

енной территории. — Наука, 1971.

115. Хрусталев Л .Н., Никифоров В. В., Войтковский К. Ф. Стабилизация веч-

номерзлых грунтов в основании зданий. — Наука. Сиб. отд-ние, 1990.

116. Цыпкин Г. Г. Течения с фазовыми переходами в пористых средах. — Физ-

матлит, 2009.

117. Цытович Н. А., Сумгин М. И. Основания механики мерзлых грунтов. —

Изд-во Академии наук СССР, 1937.

128