43

laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

������������ �������������������������� � !��� "�$#�� %�&��'�����(�)�*�+, ��-�.�(���- 0/$����� "���1�*�

2.354'687:9<;>=@?�4BAC"DBCFEBGFGFCFC

HJIB3�68KML E'NOEQPFP L

Page 2: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

����������� �

��������� ���������������� �!�#" ��$%" �'&(������)*���,+-+-./"0����)1+-+*����3254 �6�,����+*�,�7$5�������)*�,+*�7)1�8�9&� ������$;:=<?>7"/2@)1AB�������(�C�,� ����"0� �6D��3�>E�����F2@��&(��+-" �B��2G��"H��)1$H��+*����I��D��3����� ���������� ��J�D�">7��& ���K����)1��D ���?�,������"(�(�6DG���3� �6D��32/��D�)*�!4("(� +L:NMI�'��& ���(�?2@��)1&(����,+-4 "(��)1��D $O>E�(��>C��)1�������P��D �,�Q2�)-2P��" �R)-� ��" ����"(���,���/"(���S)-+1+*���)1"(� ��JUT �@�9��� �V��W5��)1���0��+-.XD �,��2@+1�G$5�,��.X���,����)*�S+-����:Y7+-��$G��)1� 48>?� �Z"(T ������&(��2[)-�V��D��5��& ���0�Q2@��)1&(���V��)-$9��+*���)1"(� �Z",�7)-����+-�(�\��)-�/� � ����)-��+1�3�F�#�����H�#��" $]��^0������� �,+��#"(��������:M_��)-$G�'2@��)-& ���P��)-$9��+*���)1"(�`>?� �R�,+*��";2@��& ��+-" �B��2`��D���Q)1���S+-� 2@��2P"0����)1+-+-�,��)-" � �R� � 2`4(���a&�)1�\. :9bF";� ���������� �R>E������#" � � 2cTB����� � ���'",�?��D �d��$G� +1+7����$9TB���H",�I� � ����)-��+1�3�e��)-$9� +-�,����2f:`gE",��Dh�����6D�� )-i0���3�9��D�">j����"($G)-���G�#" �9�#������D����>E" ��k5" �8� ����������8�#" ��$5���)-" ���7)-�;4 �6�,����+*�,�?$5�������)-� +-��:

Page 3: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

��������������

��� �����������,����� �

������� � ��� � ���! �"#�$�%�$ �3@�&�#� �('I� ���*),+-�$ �. ��� +(�/ 10 � � � " @�&�#� �2 :43 <?D���5�� ���,6K& ���0�87���)-& ���[MI+-4 " ��)1��D�$ " ��9X� ��)-�fJ;:C)*����"5�,��2[Y7"(��2�����"O:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z: <2 : 2 7������S��)1�@��)1"(�;",� ��D���=�9`M �,� 2>7R�@M :Q:Q:R:Q:R:Q:Z:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z: ?2 : <A@!������2@"CB �S"@2@���#" �C��D���6K&(���0�D7F��)1&(���[��)-$9��+*���)1"(� :Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z: E2 : ? Y7" +-+-)-��)1"(�F9X"�2���+-+1)-��45)-�d��D���6K&(���0�D7F��)1&(���[��)-$9��+*���)1"(� :Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z: G

HJIK� ��� " ����Lf�M� � � ���N)�+(�/ � . �M� +(�/ 10 � � � " ��&��� PO

QA����� � ��� � ���! �"#�$�%�$ �3@�&�#� �('I� ���*� � �!�. ��� +(�/ 10 � � � " @�&�#� PH? :43�6!i0� �,��)-" � �?" � $G",��)1"(�8�#" �?��D �e<?)1$G��7���)-& ���;��)-$9� +-�,��)-" �]:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:R3�<? : 2 <?D��Q+*��"@2��TSU7U6WV �(����4(���,��" �5:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:Z:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:R3�X

Y�IK� ��� " ����Lf�M� � � ���N� � �!� . �M� +-�/ Z0 � � � " ��&��� ;Y

[ \ � � " � ����� ;]

] ����^ �/_ "�� ��` �/�!�/ ��� ;]

� )�+(�/ � . �M� +-�/ Z0 � � � " ��&��� W\ �a� � PbMe:43c9X� )1�X��"(�������9Y7"�2����#"(�?��D���6!& ���(�d7���)-& ���8MF+14(" ��) ��D�$>e=��2@��)-& ��� : Y :R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:R3�fMe: 2 T�+-)1T���: Y%:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:Z:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z: 2 GMe: < ��&(���0�g= )-����: Y :R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:Z:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z: 2 GMe: ? )-�(�h=f)*�\�3: Y :Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:Z:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:i< 2

j � � �!� . �M� +-�/ 10 � � � " @����� k\ �a� � H-HgZ:l3 D�� � ���3: �':R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:Z:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:i<m<gZ: 2 ���S� : )-� � :R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:Z:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:n?$o

p%q a�r�ts1u qwvyx>z �d

3 M ���6D���$5���)-�R2@)*�,4(��� $%",�=�G�S" $G��+-�S���QT�)-� �,��.5������� :Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z: ?2 MI�[��^��,$G��+-�Z" � ��D��e�,+-4 "(��)1��D�$ ��D �,�I��)-�6k@�E��D��Q$G)1��)-$9� $ ��&(���0�?�#��"($%��D ��5�6{= :R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z: X< 6K+*� ����)*�R�S"(+1+-)-��)-" �8$/"@2@��+f)-�d��D��Q��&(���0�I2@��)1&(���;��)-$9��+*���)1"(�f:O:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:R3�o? 6=^@�3�S�@��)1"(����)1$G�Q",����D �Q��& ���0�C2���)-& ���8��)1$H��+*���)-" �d�#" �C&� ��)-" � �E����$HT����I",��� �,����)*�S+-��� :R:Q:R:Q:Q:Z:R3m3X V ��)1��)*�,+ ��" � 2�) ��)1"(� �E�#" �?��D��ebU|y3�o}o}o/�,��2db~| 2 o}omo9���,����)*�S+-�R��)-$9��+*���)1"(�[:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:R3m3� 5�)1���,+f�B"(��) ��)1"(� �?",����D �ebU|y3&omo}oH�,� 2;bU| 2 o}omoe)-����+*� ����)*�R� �,����)*�S+-�Q��)-$9� +-�,��)-" � :Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:R3 2E 5�)1���,+f�B"(��) ��)1"(�8�#" �?��D �ebU|y3&omo}oH�,� 2;bU| 2 o}omoe��+*� ����)*�Z� �,����)*�S+-�Q��)-$9� +-�,��)-" � :Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:R3 2f M ��+-",�I" � ��D���=f����� �,�62/B�� "(�����7�B",�����0��)*�,+ :Q:R:Q:Z:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:R:Q:Z:Q:R:Q:Q:R:Q:R:Q:R:Q:Q:Z:R3&?G V ��)1��)*�,+ � � 2�� � � +f�S" ��2@) ��)1"(� �E�#" �?��D��ebU| 2 o/� �,����)*�S+-�Q��)-$9��+*���)1"(�d>C)1��D;"0����)1+-+-�,��)-" � �?� � 284 �6�a&0)1�\.�:R3 �

3

Page 4: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

� � � � z ��� x�� � q �y�

��)-� �S����D �R������[email protected]",� 4(��� ����+-� �!$5�������)-� +-�!)-�E��" �E>C)*2@�3���������(2UJ@�,�d)1�0����"@2@� �S��)-" �5��"H>CD �,�7��D���.d�,�����,��25D�"> ��D���.)-�(�����6� �S�R)*�R������2@�32U:��Z��� ����+-� �R$G�,������)*�,+*�Q�,���H+*�,��4 �5��" +-+1�3� ��)-" ����" �?2�)-���S���S���/$5�(�S��"(���S" � )-�H� �,����)*�S+-����l3� :���"($G��S^�� $/� +1�3�F�,���}e?���,� 2UJB��� + �3J���)*�S�e"(���'��" +-+1�3� ��)-" �[" �=$G� ��T +1�3��:I<?D��9" ��+-.;)1�0����� B � � ����)-��+1�R�#"(�������C"@�������F>CD ���[�\>E"� � ����)-��+1�3����" �0���(� �N���(�6DH" ��D�����:�V � ��D �C� �,����)*�S+-���N�,���?�S" D ����)1&(� Ja��D �E)-�0����� B � �,����)*�S+-�7�#" �6�S���N���,�9TB�?��)1��D����K������6� � ��)1&(�" �C����� ��+-��)-& ���l3� : V � ��D��Q� �,����)*�S+-���C� ���R��"(�PB �S" D ����)1&(� J(��D��Q)-�0����� B � �,����)*�S+-�Z�#" �6�S���?� ���R��������+-.'������� +-��)1&(���l3 :

S�& ���Z��D��'��� ���92@����� 2@�(J �S^@�B����)1$G���(�6�e����� 2@.�)-��4[4 �6�,����+*�,�R$5�������)-� +-�RD��a& �GT��3�S"($/�5)-� �����3� ��)1��4(+1.`��"(����+*�,�3J>C)1��D $G"(���H" �?��D��8)1�0�����������H�S"($/)-��4[�#��" $ ��D�.@��)*�S)*�����9� � 2c����4 )-����������:N6=^@�B����)1$G���(�6�eD �a&(����D�">C�h��D �,�H4(��� �PB��+*�,�5$5�������)-� +-�/D �a&(�[�V����$HT����5",�Z)1�0�������3�\��)1� 4P� ��"(��������)1�3��JE��� �6D �(�H������������ �#" ��$G�,��)-" ��� 2 �� <��� ?��� X���,� 2 ��)��������4 ����40���)1"(��� 3��� � :e<?D �/k���">C+-��2�4 �940�,)-����2[�#��"($O�S^@������)-$G���0���Z"(�X4 �6�,����+*�,��$G�,������)*�,+*�FD�� �ZT������h�������S�3�����#��+-+1.�,� ��+1)-��2PT�.P����4()1�������6�Z��">� ��+-2 �9��� �6Dc� �Z�#"�"@2h����"@��������)-��4 J ��D �,��$5� ��" +-" 4 .(J �6D���$/)*��� +K��� 4 )-��������)-��4 J )1� 2�� �\����)*�,+����"@�S��������� � � 2Q4(��" +-" 4()-���,+����4 )-��������)-��4�� E� :�V �/�S"(�(�����(�\�U��"I��D��E��� ���S�����f" �@��D��E��� 4 )-����������Ja��D�.���)*�S)*�\�6�fD �a&(�K��",��. ���2@��& ��+-" �B��2��,��./��D���" ��)1�3�K��D ��C� 2@�3i0� �����+-.G2������S��)1TB��4(��� ����+-� �K$5�������)-� +-�� 3� :=M ��D���" ��.H��D ��C2@�3������)-T��3�!4(��� ����+-� �$5�������)-� +-�E>E��+-+f>7"(��+*2�D �a&(��)-$G��"(���6�,�0�I���6� �S��)*���,+U� ����+-)-�����)-" ����J���� �6D;� �E��D "(���Z$G���(��)1"(����2;� T�"&(� :

gE)���" �d�S�I�,+ :�� ?� D��a& ����)-$9��+*�����2d� ����������d�#" ��$G�,��)-" � �E)-�F<m7 & ������)-���,+-+1.5"0����)1+-+-�,���32'4 �6�,����+*�,�7$5�������)*�,+*��:N<?D �� �,�����������!�#"(��� 2�)1����D���)1�C��)1$H��+-�,��)-" � �E$5��6�6D'��D��������������� �7�#" ����2')-�d��^��B����)-$/���0���� ?��� <� : V �8�S"(�(�����(�\�7��"/�S^@�B��� B)-$/���0����JB��" $G���@�����F��)1$H��+*���)-" ���I��� �X�\��� [email protected]��D��H$/)*�S��"(���S"(��)*�Z� � 2;)-$/$G�3� ������� T�+-�Q�SA ��� �6�C��D ��Z+1�3� 2d��"'�������������#" ��$5���)1"(� ��: 5�"(�C��D�)*�I�����(��"(�fJ ��" $G���@�����F��)1$H��+*���)-" ���C",A ���I)-� ��)14(D0�I)1�0��"'��D��92���& ��+1"(��$G���0�I",�=�54(��� �0� +-� �7��D���B" ��.'��D ��Z�S^@�B����)1$G���0�6�I��� �[��",�3:I<?D��e4 "0�,+f" �=$9.d��D��3��)*�I)*�C��"���)-$9� +-�,���e� �,���������;�#" ��$G�,��)-" � �I)1�N<m7 & ������)-���,+-+1."(���S)-+-+-�,����2d4 �6�,����+*�,�E$5�������)-� +-��J���)-$G)1+*�,�E��"'g7)���"(�d���F�,+�� ?� :

<?D������E�,���K�\>E"F$5�,)-�H� ������"(� �6D ��� ��"Z��)1$H��+*���)-��4R��.@������$G� ",��$G� ��.ZD��,�62e� � ����)-��+1�3�we ��)1$G�C2@��)1&(���9��)1$H��+*���)-" ����,��2[��&(���0�Z2@��)-& ���X��)-$9��+*���)1"(� ��� f� :,V �`��)-$/�/2@��)1&(���`��)1$H��+*���)-" ����J���D��/��.@������$ ��& "(+1&(���C)-�N��^@�32;��)-$G�/������� ��:�V ���&(���0�e2@��)1&(���c��)-$9� +-�,��)-" � ��JU��D ����.@������$]��&(" +-& ���Q�,�e��" �h�S"(� �����,�0�e)-� �S����$G���(�6�Q2@��������2PT�.X��D��'�S"(+1+-)-��)-" �P��)-$G�TB�S�\>E������� �,����)*�S+-����:�<?D �����S�#" ��� J(��&(���0�72@��)1&(���'��)1$H��+*���)-" ���=��&(" +-& �I��7��)-$G���E�6D �,�6� �S������)*�\��)-�E",�U��D�����.@�\����$ T���)1� 4��)1$H��+-�,���32U:9[. )-��)1��)*�,+F��)-$9��+*���)1"(� �G>7�����;T �(���32 " � ��D��[��& ���0��2@��)-& ��� �,+-4 "(��)1��D $ 2@��&(��+-" �B��2 T�.%9X�,��)-�fJ :I)-����"c� � 2

Y7" �62@����"�� f J >CD�)-�6DPgE)���" �X���Q� +L:�� ?�=� ���32[)-�`��D���)-�Z��)-$9��+*���)1"(� �F" �!& ������)-���,+-+1.;"0����)1+-+-�,���32[4 �6�,����+*�,�I$5�,������)*�,+*�F)-���D �����R2�)1$G������)-" � ��:K<?D�)*�I�,+-4 "(��)1��D $%)-�I2������S��)1TB��2d)1�[�����S��)-" � 2 J@��D��Q���3��� + �6�E�#��"($%��D�)*�I��)1$H��+*���)-" �;�,���R4 )-& ���d)-������ ��)1"(�F<G� � 2d��D��e��"�2����#"(�?��D�)*�I��)1$H��+*���)-" �8)*�C4 )-& ����)-�;� ���B��� 2@)1^8M9:7����/��";����" T�+-��$5�Z>C) ��DV$G"@2@��+1)-��4[�S"(+1+-)-��)-" � �Z)-�`��D��G��& ���0�R2@��)-& ���P��)-$9� +-�,��)-" �fJaVZ�,+*��"8$5� 2@�G�;��)-$9� +-�,��)-" �

T �(���32;" �;��D �Q��)-$G�H2@��)1&(���;$G�S��D�"@2U:I<?D��e��)1$G�92���)-& ���X��)-$9��+*���)1"(�;)-��2@�����S��)1TB��2;)-�`�����S��)-" �*? J ��D��9���3����+1�����,���2@�3������)-T��32�)-�[���3� ��)1"(�>XG� � 2'��D��e�S"@2@�R)*�C4 )-& ���d)-�[�,���B����2@) ^8g�:

� ��� �d� z! #" ��� �%$'&)( � $ �,� � " � q �y� �tsk� � �+*-,y�,���. z q ,��,�0/ q $ x ( " � q ���

6K&(���0�I2@��)1&(���;��)-$9��+*���)1"(� �?�,���RT � ����2d" �d�\>7"5����i0�����(��)-� +U" �B���6���)1"(� ��:

3(:d5 )-� 2d��D �Q���S^��I��&(���0�?��D �,�C>C)1+-+f"@��������:

2 :21I� 2�����R��D��e��.@�\����$%��"G��D �,�?�B" )-�0�I)1�8��)1$G� :

6K&(���0���E�,���R�S" ����)*2@������25��"/T��R)-� �\�6�,�0��� ����"(� ��J0� � 2d� ��������"����������325)-����D��Q���3�S" ��25" �B���6���)1"(�d�,TB"& �(:�<?D �����F�\>E"" �B���6���)1"(� �?�,���R�������3����32d�(�?$5�,��.5��)-$G���I�(�?)-�?� ���S�3�����,��.G��"'��" $G��+-�S������D��e��)1$H��+-�,��)-" �f:

2

Page 5: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

����� ����� ���������������������������! �"$#�%&�'���(�*) %�+-,.�/�'���10324�5�6��%7���98;:<%��'8�=�'%��)-� �S�G��)1$H��+-�,��)-" � �F",�7��.@�\����$5�I" �!$5�,��.;D �,�62;� � ����)-��+1�3��� ���e&(����.8��)-$/�/)-�(����� ��)-& � JB)1�Z)*��2�����)1�6�,T�+-�e��"�"(�@��)-$G)������D �e���B���32�" � ��D �e��)-$9��+*���)1"(�f: 9X�,��)-�fJ;:C)*����"5�,� 2[Y7" �62@����" � f� J D �a& �R2@��&(��+-" �B��28�H��� ���?��& ���(�I2@��)-& ���8�,+-4 "(��)1��D�$T �(���32�"(����D������Q4 "0�,+*��:

3(:d9[)1� )1$G)����R��D �Q�0� $9TB���C",����&(���0���?������2�)-�S����2

2 :d9X�,� � 4 ����D��Q� ���32@)-�S���32���& ���0�6�?�SW'�S)-���0��+-.

< :d9[)1� )1$G)����R��D �Q�0� $9TB���C",��� �,����)*�S+-�Q��� 2�������?�B���I��& ���(�C����"@�S�3������2

<?D��;�#"(+1+-">C)1� 4 2@)-���S������)1"(� ",�R��D��`��& ���0��2@��)-& ��� �,+-4 "(��)1��D�$ )1��& "(+1&(���5� ��.@�\����$ ",�?> � �,����)*�S+-���5)-� � 2 7����� �6�,��4(��+*�,�I2@"($G� )1� :867� �6D;� � ����)-��+1�Q)*�I" ����D��9���,$G�e$5� ����J(@VJ �,��2[2@)-� $G�S������JBA[:C<?D�)*�F2@)*����� ����)-" �;)*�F��)1$G)-+-� ���"���D��/� � ������T�.*9X�,��)-�fJ-:I)-����"8�,� 2PY7" �62@����" � f J T����ZD�"(�����#��+-+1.[>C)-+1+N�S+*�,��)1�#.;��" $G�H",�=��D �/� ���3� �C" �K��D��/� � �����>CD�)*�6D;+1�3� 2���"G������"(���E)-�8��D��Q2@��& ��+-" � $/���0�?" ��$H.���)1$H��+-�,��)-" �f:

<?D��t� �����R4 "(� + )*���,���6�,)-����2`T0.[2@)-&�)-2�)1��4d��D �H"(��)-4 )-� �,+�2@" $5� )1�X� �`)-�(��"8� �`�,���6�a.�",�DC1EGFHCJIG���3� �6�,��4(��+-� ��S��+1+*�R",�E+1����4,��D�K�E;�,� 2�K�I5�������B��� ��)1&(��+-. :G<?D�)*�Z�����6D ��)-i0���GD �(�R+1"(��48T������h� ����2`��";$G)1��)-$G)����G��D��G����$HT����Q",���&(���0���N���,+*�S��+*�����2H)1�/��&(���0�N2���)-& ���H��)1$H��+-�,��)-" � �� G� : 6!�(�6D9� � ����)-��+1�E)*�=� ����"@�S)*�����29>C) ��D/�R�S��+1+�� � 2eD�� �=��4 ��" ���H",�����)14(D0TB" � �K� �,����)*�S+-���=��D �,�7�,���?��)1��D����!)-�G��D��F���,$G�I����+-+LJ(" �K"(���C",� ��D �F�S+-"(�������!�S��+1+*��: 6K&(���0���!�,���E"(��+-./���,+*�S��+*�����2TB�S�\>E�����d����)-4 D�TB" ���E� � ����)-��+1�3��:=<?D��Z��&(���0�7��D ��C�H� �,����)*�S+-�F>C)-+1+f����"0���7�H����+-+ >E� +1+ J�" �ED�) �I�/2@" $5� )1�d>E� +1+B)-�?� +-��"�S"($G���@���32U: V ��"(��2����E��"/������2@)*� �I�,+-+ ��&(���0���E� ��)1� 49��D�)-�E�����6D�� )-i0���(JL@NMPO&QRK ELS K IUTDV A[: V � ��D�)*�C�S"(� 2@)1��)-" �8)-�E��" �$G�S�C��D����;T � +1+*�E�#��"($ ��"(�PB ����)-4 D�TB" ����)1� 4H�S��+1+*�I���,�;���@A ���I��" +-+1)*��)1"(� �?>C) ��D;" ���Q�,� ",��D ���3:

bI"> ��D���!��D��F2@"($5�,)-�5)-�72@)1&�)*2@��2G)-�0��"9����+-+-��J(��D������F2�) A �������0�K�\.��B���K" �U��& ���0���=$H� �\�7T��Z�S" ����)*2@������2ae M 2�)-��k$B2@)*��kP�S"(+1+-)-��)-" �4Q�7U7RY T J �;2@)*��k$B >E� +1+K��" +-+1)*��)-" �4Q�7W Y T � � 2P�;&0)-����� � +=>E� +1+K��" +-+1)*��)-" �4QYX*W Y T : MR7U7RY "@�������6�>CD����G�\>7"e2@)*��k��!�S" +-+-)-2@�(:�M17 W Y "@�������6�N>CD����'�Q2@)*��kH�S"(+1+-)*2@���=>C)1��Dd�R>E� +1+ :�M4X*W Y "@�������6�=>CD����G��D��F�����0�����",�?�d2�)-��k[� � ����������D���" � 4 DV�[Z &0)-����� � +�>?�,+-+]\���"8� ��",��D����Q����+-+L:�7�7QYE�Q�,� 2 7 W YE�Z>C)1+-+=T��G���S�#��������2;��"[� �ZD �,�62�S"(+1+-)*��)-" � ��:

<?D��Z���3�S" ��2'4 "0�,+�)-�E����� �6D ��2GT�.5� ��)1��4H+1"@���,+ ��&(���0�7+-)-������J0��D��Z+-"����,+ $G)1� )1$5�H+1)*�\�C�,��2G��D��Z�#�@����������& ���0�6�!+-)-����:6!�(�6D`��& ���0�Q��� +-����+-�,���32[�#" �Q�d� �,����)*�S+-�/)-�Q����"(���32X)-�V)1�^\ �R+1"@���,+N��&(���0�Z+-)*�\�3J�_R`Uacb6_ed�:H<?D��5�S"(+1+-���S��)-" �V",�E� +1+�_f`Uacb6_ed���������������0���Q� +1+!��& ���0���Z��D���e>C)-+1+7"����S���Q)-�h��D �5����� �R�#�@�������'" �7��D�����)1$H��+-�,��)-" �f:'<?D �'��&(���0�Q>CD�)-�6Dh>C)-+1+7"@���S� �)-�;��D��/��D�"(���������F�,$G" � �(�I" �N��)-$/�H)-�F��)*�6k ��2d�#��" $ ���(�6Dg_f`Uacb6_ed\J �,� 2;� +-�(�S��28)-�[��D �e+1"@���,+f$G)-��)1$5��+1)*�\�hQR_Y@g_ T J���"_Y@g_ d ���������������0������D �5���S^��e��&(���0�R��D �,�e)-�R� ���32@)-�S���32`�#"(�R��D��iMPjRk;2@)*��kB:'<?D �H�#���������5��&(���0���R+-)-����J " �?lnm?KFJf)*�Q�������� � �������/��D ��eD���+1���R��"[��W5��)1���0��+-.X��)*�6kX��D �5"& ���6�,+-+�$/)-��)-$9��$ ��&(���0�R�#��"($O��D �G_Y@g_\:5<?D��5$G)1� )1$G)������)1"(�h",���&(���0���K�����32@)*� ���32G�,� 2G$5�,���,4 ��$G���0�=",� �����32@)*� ���32G��&(���0���=)*�K���,+-+1�329��D��I+-"@���,+ $/)-��)-$5�e�,+-4 "(��)1��D�$;J,"(� =�9XM9J(� � 2>C)-+1+fTB�e2@)*����� �����32d��D�" ����+-. :

<?D��G��D�)1�62h4 "0�,+K)*�Q�����(�6D���2PT�.`"(��+1.V��� 2����)1��4X��D��8�\�6����5" �I�;� �,����)*�S+-�'�� �����9)1�9D �(�Q�S^@�B����)1��� �S�32h�[D �,�62�S"(+1+-)*��)-" �f:5��)-� �S�5� ",�e�,+-+=",�7��D��'2@)*��k��Q� ���/��� 2������2P)-�P�3� �6Dh�S.@�S+-�G",�7��D��'��)1$H��+*���)-" � Jf��&(����.X2@)-��kX$H� �\�QD �a&(��5��)1$G�(Jpoqd�JU)-� ��+1� 2���2X>C)1��DV) �r\ �R�����,��� :3oqdE)*����D��/+-�(�\����)-$G�/�,�Z>CD�)*�6DX��D��hM]jRkd2@)*��k[>?� ����� 2������2U:~V �K��D��G��&(���0�����"@�S��������2')-�;�/��.@�S+-�Z" � ��D��Q�,+-4 " ��)1��D�$%)*�C�hX9W Y�J@��D����d� "G2�)-��k���������R���B2 ����3�C�,�����B�����#" ��$G��2U:=<?D �,�I)-��J���D ��B"(��) ��)1"(�fJ(&(��+-"@�S)1�\.H�,��2io5",� ��D �9MPjRke2@)*��k/� ���I� ",�!��� 2��,����2�2@����)1��4H�nX9W Y�:mV ���\����� 2fJ ��D��F2@)*��k/��D ��!)*�7)1��& "(+1&(��2)-�9��D���X*W Yc)-��$G"& �32Q)-�(��"Z������> �S��+1+ J �,��2e��&(���0���N� ���7�����32@)*� ���329� � 29�(2�2@��2e��"3_R`Uacb6_ed��#" ��)1�^\ �N����> � ��)-4 D�T�"(���6��,��2;>E� +1+*��:�_Y@g_ed=)*�C��� 2������2X�,� �����C��D��H����> ��& ���0�6�I�,���e� 2�2���28��"G_f`Uacb6_ed\:CMF���5��������+ ��",�N��",�F� �B2��,��)-��4d�����,���3�2@����)-��4H�1X9W Y ��D��Z��"(��� 25" A8������" �7)1���S�������32/�#��"($�� ��)1���Z�����3�S)*��)-" �d�,��) ��D�$G�S��)*�I)-�'��D�����)-$9��+*���)1"(�')-�7����2@� ����2U:<?D��Q�����6D�� )-i0���R��D ��F$G)-��)-$/)����3�C��D��e����$9TB���F",�=� �,����)*�S+-�Q��� 2�������F)-�I���,+-+1�328��D��H2@��+*�a. �32d�����,�����F�,+-4 " ��)1��D�$;J�"(�7R�@Me:

<?D��Z�\>E"G������� �?)-�d��D��Q��&(���0�I2@��)1&(���;��)-$9��+*���)1"(�dD��a& �R��"> ��^@� �,� 2���2���"G�#" � �I�\����� ��:

<

Page 6: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

3(:d@K)*�6kG��D��Q����^��I��& ���0�?����)-��4/��D��?lnm1K2 :21I� 2�����R��D��e�����,�����?" � ��D��e2@)*��k@��J�" �?��� 2�����R��D��e����+-+f",����D �e2@)-��k')-��& " +-& �32')-�8��D��Q��& ���0�

< :�YE�,+*�S��+*����Z� ��> ��& ���(�6�E�#" �I2@)*��k��?)-��& "(+1&(��2')-�8��D��Q��& ���(�

?�:DV � �������?��D��Q����> ��&(���0���?)-�0��"G_R`Uaqb _�J@�,� 28��� 2�����?_Y@g_<?D���=�9XM $G� � �,4(�����\����� �t3 J <'�,� 2N? JB>CD�)1+-�9D �y7R�@M $5� � �,4(���I������� 2 :Z<?D������9����������� ���92������S��)1TB��2;)-�X" �62@���TB��+-">Q:

���f� ����� � �'����(�$%�� %&+-�(����1, ���98 ��� <?D��G����^0�Q��& ���0�e��� �VTB�G�SW'�S)-���0��+1.`2��S������$G)-����2P)1�!��D��Glnm?K )-�R)-$G��+1��$G���0���32P�(�R�8��" $G��+-�S���/T )1� � ��.;�������G",���^@��2h��)���� J >C) ��D > +-���a& �3��:5MjT�)-� � ��.[�������5)-�e$G�(2@�G���h",�?��"@2@���9�,� 2V+1�3�a& �3��Jf>C)1��Dc�,�e$/"0�\�Q�\>E";+1�3�a& �3���B�����"@2@�(:�M ��" $G��+-�S���CT )1� � ��.e�������?D � �=� +1+@" �B)1�^\ �N+-���a& �3�N��=��D �C+1��� �KD �,� 2G��)-2��E" ����D��I2@�����B�����K+1��& ��+@" � ��D��?������� � 3�o� :��������4 ����� 3F�#"(�I�H� )-�S�������R",���G��" $G��+-�S���RT�)-� � ��.5������� :K��)-� �S�Z��D��?lnm?K )-�C�y��^@�32d��)����Q�S" $G��+-�S���RT�)1���,��.G������� J)1����� �[T��e)-$G��+-��$G���0���32X� �F�,�X�,���6�a.'",�=+-����4 ��D 2 >�k3 :D6!�(�6D;� �,����)*�S+-�Q)1�;��D��H��)-$9��+*���)1"(�8)*�F�(����"@�S)*�����28>C) ��D�/+1�3��N",� ��D��?lnm?KF:

43

21

0

5�)14(�����y3me�M �S"($G��+1�����ZT�)-� �,��.G�������Z>C) ��D���D������Z+1�3�a& ���*Q 2 B ? T � � 25�\>E"H� "�2����3Q�oCBg3 T : =f���,��</�,� 2K?/� ���Z��)-T�+-)1��40��:o/)-�C��D��Q��"�",�?��"@2@� :

<?D��I� �S^��7��& ���0�!)*�!2��S������$G)-����25��D���" ��4(D5�Q��+*�a. ",A8T����\>7�����G��D��F+-"@���,+�$G)1��)-$5�e" �U� +1+B2@)*��k@��:N<?D �F�,+-4 "(��)1��D�$>E" ��k���$9���6D`+-)1k(�/�;����"(���6��� +-�a.(",AN: V �`��D���� �����R��"(��� 2UJU��D������G�,���h>j����� $G��:tVF>C)1+-+K�S"(� ��)*2@���3>%��";T��G��& ��� JT��@����D��H�,��4 ��$G���0�C�#"(�*> "@2�2;)-�F$9� �6D;��D��H���,$G�(J T��@��>C) ��D[��D��9"�2 2X2@)*��k8)1�;��D����������I��"(��� 2;4(�S����)1� 4'� � ������2��"G��D��9������" � 28��" ��� 28>C)1��D[��"d�S" $G�B�S��) ��)1"(�f:E<?>E"'2@)*��k@�?�#��" $ �5�S"($/$G"(�8� "�2��9�S"($/�B�S��� JB�,� 2d��D �92@)*��k8>C) ��D��D �e+1">E�����?��)-$G�e)1�8��D��1_Y@g_�)-�I� � �����32�"(�0��"G��D �e���S^��I��" ����2UJ ��"G��D �,�I)1�;��D��e���3�S"(� 28��"(��� 2d��D������e� ���R"(��+1.� �2@)*��k@��:C<?D��9>C)-�������F",�N��D��H��" $G������)1��)-" �[TB�S�\>E�����[+1�3��&M?�,� 2;+-���,�/M� 13e",�N��D��Jlnm?K )-�F���@��)-�0��"5��D���)-�F���,�����0���"@2@�(J d����� JB",�=��D �Jlnm?KF:I<?D�)-������"@�S�����C)*�F�����B���,���32;���0��)-+��'2�)-��k;)-��� 2@&�,���S��28��"'��D��yo jRk ��"@2@�H",�N��D��hlnm?KI:<?D�)*�F2@)*��kdD �(�?��D �94 +-" T��,+-+1.d$/)-��)-$9��$ ��& ���0�3:E<?D�)*�I>CD " +-�e����"��������C������2;��" �FT��H�������3�����2[2@����)-��45���(�6D;��.@�S+-���)1� ���F��" �7$G" ���C��D �,�5�\>E"e� � ����)-��+1�3�!� ���I� �B2��,���32'��?�R��)-$G� :K<?D��Z�,TB"& �C����"@�S�����K)*�7" ��+-.H�����32G��"t� � 2G��D��d� �6�����&(���0�F)-�[��D �H��)1$H��+-�,��)-" �f:F�@������4 ����� 2 � T �#" �Z�,�[��^@� $G��+1�H",�N��D �9����"@�S�����F2������S��)1TB��2[� T�"&(� : S�� �S�e� �[��& ���0�F)-���)*�6k �32��#��" $ ��D��Jlnm?KIJ�)1�F)*�I����$G"& �32'�#��" $!_R`Uacb6_ d � � 2g_Y@g_ d J���"G��D�����G����> ��& ���(�I>C)-+-+ TB�e��)*�6k ��28����^��I��)-$G���D ��"(��4 Dd��D��e��.@�S+-� :

?

Page 7: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

0 1 2 3 4 5 6 7

0.28 0.64 0.05 0.56 0.13 0.77 0.64 0.22

0 2 4 7

42

2a)

1 3 4 5 6 7

0.28 0.64 0.56 0.13 0.77 0.64 0.22

0 4 7

4

0.52

4

0

2

2

0

b)

5�)14(����� 2 e=� T MI�;�S^�� $/� +1�R",��� � 2@)-��4G��D��U� �����C��&(���0�C� ��)-��4/��D ��5�6{=K:�<?D��R����$HT������?)-�8��D��R+-���a& �3�?�,� 2d��"@2@������������������0�72@)*��k5�0� $9TB���6��:=<?D����0� $9TB���6�7TB��+-"> ���(�6D'+-������,���C��D��Z$G)1� )1$H��$%��)-$G���?� ����"���)-�,���32G>C) ��D����(�6D'+-����\:T T MF�V��^@� $G��+1�G" � � � 2�)1��48��D��5���S^��Q��&(���0�R� ��)-��48��D �T5�6{=K: 7�)-��k 2 >E�(����D��'2@)*��kX)1��&(" +-& ��2X)1�P��D �/� ����&0)-" �����&(���0��: 7�)-��kK?G��"> D � �E��D��Q4 +-" T��,+-+1.'$G)-��)-$9��$ ��& ���0��:

X

Page 8: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

MC� �����?��D��~� �6�\�?��&(���0�C)-�?����"@�S�3������2UJ0��D��Q2@)-��k'"(�I2@)-��k@�E)1��& "(+1&(��2�)1�d��D��Q+*� ���C��&(���0�E>C)-+-+UD �a& �Z����> ��&(���0���?)-���D ��)-�Z+-"@��� + $G)-��)1$H��$O+-)-������:e< "K� � 2X��D��/���S^��R��&(���0��J " � +1.;��D��/2�)-��k@�F)-��& " +-& �32;)1�`��D��G+*� ������& ���0�Z�����32[��"8TB���+*�a. �32;",AP��D���" ��4(D[��D �Jlnm?KF:,V �!2@)*��kgM?>?� �I)-��& "(+1&(��2;)-�[��D��/+*� ���F��&(���0��J )1��)*����" $G� �,����28��"�)1�^\ ����)-T�+1)-��4d+1�3���,��28��D��e>C)-�������F)*�F�(2@&�,� ����28��"'��D��e���,�����0�I��"@2@� :I<?D �e� �,�����0�I��"@2@�9)-�I��D����`�S"($/���,����2d��"')1�^\ �F��)-T�+1)-��4'� "�2���,��28� 4(� )1�8��D �e>C)1� �����I)*�F�(2@&�,� ����2U:?<?D�)*�C����"@�S�����C)*�C�����B�������2;���0��)1+ ��D��e��"�",�I��"@2@�Q)*�I�����(�6D���2f:7<?D��e2@)*��kd)-���D �Q��"�",�C��"@2@�R)*�?��D �Q" ���R>C)1��D8��D��Q� �S^��I��&(���0��:K�����~� 4 ����� 2 T T �#"(�I�,�;�S^��,$G��+-�R",� ��D�)*�C����"@�S������:

< "9$5�^@)-$/)�������D �Z��^@���S����)-" �d���B����2�",� ��D��R�,+-4 "(��)1��D�$;J�" � +1./��D �Z)-�0����4 ���E+*�,TB��+U",� ��� �6Dd2@)-��k5)*�?���0�������325)1�0��"��D ��lnm1KIJ,��" � ��D��?+1"@���,+�$G)1��)-$9� $ ��&(���0���#" ����D��C2@)*��kB:N<?D�)*�N$5�,k �3� �6D "0"0��)-��4���D��?����^��N��& ���(�N�SW'��)1���(�NTB����� � ���" � +1.5)-�0����4(���6�?�,����TB��)-��4G$G"& ��2d�,��" ����2')-����D��nlnm?KIJ@��" �?��D��R)-�@�#" ��$5���)-" �8� ����"@��)-�,����2�>C) ��D8� �d��& ���(�3: =f"@��� +$G)1� )1$H��$ ��)1$G���C�#" �I2@)*��k@�C���,�;T��e�(�����������325�#��" $%��D��?_Y@g_N2@����)1��4/��D��?lnm?K �S"($/�B�S��) ��)1"(�f:

<?D��8���S^��5�\����� ",�I��D��[�,+-4 "(��)1��D�$ )-� ��D��;���3i(� ��� ���d+-)-�����32 � T�"&(��)*�H��"P���B2 ����8��D��[�\�6����8" �G�S��+1+?" �F��D �� � ����)-��+1�(J0T �@�ETB�S�#"(������D���E��D��Z&�,+-)-2@)1�\.5",�U��D��R��&(���0�7$H� �\�?TB�Z�6D��3�6k �32U:�<?D ��"(��+1.G��& ���0�6�K��D ��?T��3�S"($/�Z)-�0&� +1)*2�,���,7U7RYE��: V � " � �I",�U��D���2@)*��k��7)-�0&(" +-& �32H)-�5��D���� �S^��7��& ���0�!D�� �!���@A ������2'�9D �,�625�S"(+1+-)*��)-" �'��)1���S�C��D�����& ���(�7>E�(�������2@)*� ����2UJB��D��H��& ���(�Z>C)1+-+NT��/)-�0&� +1)*2U:~V �X" �62@���I��";2@�������S�Z)-��&�,+-)-2[��& ���(�6��JU� �X)1�0����4 ����J acd�J )-�Z)-� �S+-� 2@�32X)-�X��D ���������e",�=��& ����.����,����)*�S+-� :�acdK)*�C��D��9����$HT����I",�=D � ��2[��" +-+1)*��)-" ���?��D �,�I��D �1MPjRk52@)*��k8D �(�F���@AB�����32U:�W D����V� 7�7QY)*�I������2@)*� ����2UJ ��D��Ja d ",����D �e� �,����� ���I� � ����)-��+1�Q)*�F����"(���32;� �C� � ���I" � ��D��e��& ���0�3:{V �N��D �1a d ����"(���32d)-�;��D �e��&(���0�I)-���" ����i0� � +f��"-a d �,�F��D��Q��)-$G�9��D��e��& ���0�F)*��4 " )-��4G��"�TB�9����"@�S��������2UJ ��D��e��& ���(��)-��)1��&�,+-)*2U:dV �N��D��H���S^��Z��& ���0�F)-���" �I&a� +1)*2UJ���D��?lnm?K ��+*�a. ",AX)*�?�����B�������28���0��)-+ �/&�,+-)-28��& ���0�C)*�C�6D�"(�����f:

<?D�����" $G��+-�S����2@������) ��)1"(�c",�?��D �d��������'",�I�[���,����)*�S+-�'�,� 2c� �c��& ���0�H��� �c��">_TB��4()1&(���f:;<?D��������,���'" �I�� � ����)-��+1�R)*�I2@��������28� �&e

� d | Q��� d5S �� d5S o d5S a dfT Q 3 T�� d7)*�C��D �H�B"(��) ��)1"(�[& �3� ��"(��:��� d7)*�C��D �9& ��+1"@��) �\.8& �3� ��"(��: o^d!)*�C��D��e��)1$G�e��D �����D��/� � ����)-��+1�e>?� �I+-�(�\�Z���B2 ����32U:9acd)*�?��D��Q����$HT����I",�ND � ��28�S"(+1+-)-��)-" � �E��D ��C��D��e2@)*��kdD � �I���@A ������2U:&aqd=)-�I)1$G��+-��$G���0����2;� �C�5����� � ���,���Q�,���6�a./)-�;$9.����" 4(��� $8:NMI�;��& ���0�C)*�C2@��� � ��2;� �&e

� | Q�� S ac`U_R_�� ��� S ��b � ��O�� � S a T Q 2 T�Q)*�9��D��'��)1$G�;��/>CD�)-�6D ��D��8��&(���0�H>C)-+1+E"@��������: ac`U_f_��������)-�9��D��d�\.����d",����" +-+1)*��)1"(� Q�7U7RY�J 7 W Y_" �JX9W Y T :��b � ��O�� � )-�F��D��/2@)*��k J >?�,+-+ "(�F&�)-����� �,+ >E� +1+ ��D �,�F��D �92@)*��k;>C)-+1+ ��� ��" ���0������:DV ��aq`U_R_�������~| A-A��/JB��D����[aR)-�F��D �a������ j���� �R&�,+-���Q��C��D��R��)-$G�R��D��Q��& ���(�C>?� �?������2�)-�S����2f:S�� ���Z�/&�,+-)-2d��&(���0�?)-�C�6D�"0�����fJ���D �Z���,����)*�S+-�R�����,���Z" �I����+-+U)-�E��� 2������2;� ���S"(��2@)-��49��"/��D���7R�@M9:;V � ��D��Q��&(���0�������2@)*� ����2G)*�!�RD � ��2G��" +-+1)*��)-" � J,��D �F�\�6����I",�U���(�6D52@)-��k9)-��& "(+1&(��2/)1�G��D��F��" +-+1)*��)-" �G)*�K��� 2��,����2f:N<?D �I+1"@���,+�+-)-���7� � 2+-"����,+B$G)1��)-$5�9+-)*�\�E",� �3� �6D'2@)*��kG)-��& " +-& �32G)1�8�eD � ��2��S" +-+-)-��)1"(�')*�7��+1�3�,����2UJ���)-� �����,+-+B������&�)1"(� ��+-./�����32@)*� ���32'��& ���0�6��,���R)1��&�,+-)*2d�,� �����?��D��e�S"(+1+-)*��)-" �f: V ����D��Q��& ���(�C������2�)-�S����28)*�I�hX9W Y ��D����8��D��e�S��+1+U" � ��D��e2@)*��k')*�C��� 2��,����2f:

MC� �����R��D��5��&(���0�Q)-�R����"@�S�3������2UJU� ��> ��& ���0���Z$9� ���QT��5� ���32@)-�S���32U: V �7��D��G+-�(�\�Q��&(���0�Q>E�(�R�dD��,�62V��" +-+1)*��)-" � J��&(���0���G� ���8������2@)*� ����2 �#" �G��&(����. 2@)-��k � � 2 >?�,+-+C)1� ��D �8� ��)-4 D�T�"(����D�"�"�2 ",����D��[2@)*��k@�G)-��& " +-& �32c)-� ��D��[D �,�62�S"(+1+-)*��)-" �f:�V �U��D �F+*� ���!��&(���0�!>?� �!�?X9W Y�J(��& ���0�6�!�,���I������2�)-�S����2G"(��+-.9�#"(�!����> ����)-4 D�TB" ���6�K" �B��D���2�)-��kG)1��& "(+1&(��2)-�X��D �H��& ���0�3:U7 W YE�R�,� 2HX9W YE�Z� ���H���(��.d��"8������2@)*� �RT��3��� � ���9��D��/>?�,+-+-�Z�,���9�������)1"(� �,��. :R<?D��9��)-$/�/��D ��R�2@)*��k�>C)1+-+fD�)1�F�/>E� +1+U)*�C4 )-& ����T�.5��D��e2@)*�\�6�,� ���R��"/��D��Q>?�,+-+f2@)-&�)-2@�328T0.'��D��Q&(��+-"���) �\.5" � ��D��Q� � ����)-��+1�R��"(��$5�,+B��"��D �I>E� +1+ :�7U7QYE�!�,���C$G" ���C�S" $G��+-)*�������2UJ(T��3��� � ���?��D��?��)-$G�C��D���K�\>E"Q2@)-��k@�=D�)1�!���(�6DH" ��D����K$9���\�KTB�I������2@)*� ����2U:VQ� �����;�#"(��$H��+-� JN4 )-& ���!= ��T �(�6D���&@��k0. �l3}3� JN��D �,�/�S"($G���@���3�e)1���,��2h>CD����c�\>E"XT � +1+*�e>C)-+-+E��" +-+1)*2@� : S�� �S�'� ��>��&(���0���C� ���Z������2@)*� ����2UJ���D��Q+-"@���,+U$G)-��)-$G�G+-)*�\�I" � ���(�6D82�)-��k�)-��& " +-& �32')-�8��D��Q+*� ���C��& ���0�?)*�?��� 2������2U:

<?D�)*�?����"��������C2@�����S��)-T��32d� T�"&(��)*�C�����B�������2d���0��)-+U��D �Q��� 28",� ��D��e��)-$9��+*���)1"(�f:

Page 9: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

����� �<� ���*8%�� � % 8��+ %&���L�9� �N������� ���'������� ����)��9"$� �(�$%��<?D��R����"@�S�����E2@�����S��)1TB��2�)1�;����� ��)1"(� 2 : 2 )-�E)-$G��+1��$G���0���32�)-����D��Z�#" +-+1">C)-��4H� ����� 2@"}B ��"�2�� :=<?D��R� � ��� �,+ Y �S"@2@�Z",���D �/��& ���(�Q2@��)1&(���h��)-$9� +-�,��)-" �`)*�Z4 )-& ���`)-�P� ������� 2@)1^VMe:�V �h� 2�2@)1��)-" �V��"d��D �G�#��� � ��)1"(� �Q2@�3������)-T��32XTB��+-">QJU��D ��#" +-+-">C)1��45�������B" ���?�#��� � ��)1"(� �I� ���R�,+*��"G������2@�32 e

� 'L� �/�$+��� ��������� ������ <?D�)*�5��" �@��)1� �[���B2 ����3�5��D��`��������[",�Z��D��V2@)-��k J����� "!$# J?��"h��D��[��)1$G�Ho&%�' d"(*) ,+�� J� ������$G)-��4H��D �,�I) �F2@"��3�?��",�F���@A ���I�,��.'D��,�62d��" +-+1)*��)-" ���?)1�d��D�)*�?��)1$G�Q�B����)1"@2U:

� ���L�w^ �m+-�. /����� J10�2�3�465�7�3 T eG<?D�)-�e��"(�@��)-���'$G"@2@��+*�R��D����S"(+1+-)*��)-" �h",�?��D��5�\>E"X2@)-��k@��J8���� "!$#h� � 290�2�3�465�7�30J�,� 2d��� 2�������?��D���)-�C��"0��)1��)-" ���C�,� 28& ��+1"@��) ��)1�3�C� ����" �62@)-��4 +-. :

� � ��@� �;:<��. /�������>=1?/@A�*BDCA@���� <?D�)*�7��"(�@��)-���F� �B2��,���3�K��D��Z����+-+�" �f��D ��2@)*��k JE���� "!$#U:.0F2G3�4�5E7-3R)*�K��D���+*�,TB��+",�f" � ��" �f��D��Z&�)1�������,+B>E� +1+*�!)-�'��D��Q��.@������$8J@� � 2')1�E)*�?�,��� ��4(��$G���0�!��"9��D�)*�7��" ����)-������"9��D ��E��D ������> �S��+1+",�H���G "!$#8���,�;TB�e2@�S������$G)1���32U:

� �m+-�/ � � "#� @� �I*JEKALMION$��� <?D�)*�C��"(�@��)-���Q�S+-��� ���?� +1+f��& ���(�6�E�#��"($ _R`Uaqb _ed�:� �� ��` � � �-� � � �a�a� �BDCA��P�Q1RTS/��@A���U�. /�������8V�S�W�WX�*YA=>C/��� <?D �R��)-��4 +-.G+1)-��k �32'+-)-����J>5E7- [Z�\F]_^G�`3_! J�)*� ��+1+-��2d>C) ��D�,+-+�",�U��D��I����)14(D0TB" � �72@)*��k@�=" �D���� "!$# :ba_^�cXc[4�de0�7Z)-�7�,�'� ��4(��$G���0�=��"Q��D�)*�K�#����� ��)-" �'��"Q��D ��!)1�U��D �F+*� ���!��&(���0�>E�(�E�hX*W Y�J�"(��+-.5��D��Q� ��> ����)-4 D�TB" ���6�?",�8���� "!$#8�,���R���0�������32�)-�0��"f5�7� [ZT\�]_^��`3_!

� �*��ghCji ���N "#"$��� /�����;�U=1?/@A�kBDCl@E��� <?D )-�F��"(�@��)-���e���S���������?��D��9���S^��F��)1$G�Q��D ��m���� "!$#[� � 2n0�2�3�465�7�3H>C)-+1+�S" +-+-)-2@�(J��S"(� ��)*2@����)-��4H��D���)1�F�����������(�C�����������: V � ��D��R�\>E"G2�)-��k@�?>C)1+-+f����& ���C��" +-+1)*2@� JEo )-�C���S����������2U:

� ��� ��� ���� "$-�. /����� J�4� Xpq7(JMa_^�cXcr46de0F7(JF0F2G3�4�5E7-3�J KGsAtGu&v�wEx�u T e!<?D�)*�?��"(�@��)-���R���0�������� | Q���MP@ � S ac`U_R_�� ��� S ��b � ��O�� � S a ����� j���� �cT )-�0��"i_R`Uaqb _ %�' d"(*) :

� �*��ghCyi �g_H "�"e��. /�������{zjVTS�W�WX�kYl=1CA��zn=1?/@A�*BDCA@���� <?D�)*�H��"(�@��)-���'���S���������Q��)-$G����D ��|���� "!$#h>C)-+-+7����^����� ��" ���0�����C�G>E� +1+ :=<?D��e� 2�2����3�������E",�ba_^�cXcr46de0�79� � 2}0F2G3�4�5E7-3/�,����� �(������2d)-�(��"G��D��R�#� � � ��)1"(�;��"/��D �,�C��D���)1�&a� +1� �9��� �8TB�H�6D��,��4(��28T�.���D��Q�#��� �S��)-" �f:~0F2G3�4�5E7-3/)-���6D �,� 4 ��2d��"5��D��H>E� +1+ �0� $9TB���I��D �����D��}���� "!$#;>C)-+1+�S" +-+-)-2@�R>C)1��D[�,��2�a_^�cXc[4�de0�7H)1� 2�)-������3�?>CD��S��D����80�2�3�465�7�39)*�I�/D � ��2d" �I�/&�)1�������,+U>?�,+-+L:

�h� i " � � " � � ��I*JEKALMI N ��� <?D )-�C��" ����)-���R����������� �E��D �Q��& ���0�?>C)1��D8��D��Q$G)1��)-$9� $ ��)-$G�Q)1� _f`Uacb6_ d :� � ��@� � � � � ��. /�����1��� <?D�)-�F��"(�@��)-���e��^@���S�������I��D��hlnm?K �S"($G������)1��)-" �`� +14(" ��) ��D�$;J �\�6�,����)-��4��,�I��D��9+1�3��� ����"@�S)*�����2�>C) ��D����G "!$# :!�����e���3� ��)-" � 2 : 2 �,� 2K� 4(����� 2 T T :

� �m+-�/ � � �/� � +(�>�I*JEK;L�I���N6���F�>@A�k��gjC/��� <?D�)*� ��" �@��)1� �=����$/"&(��� ��D��K��& ���0� >C)1��De��)-$/�(J�4� Xpq7(Ja�#��"($ _R`Uaqb _�' d"(*)�:TB��4 )-�*9XMdV\bn5!1�bZYE<8V SZb

)1� ) ��)-� +1)����Q�,+-+f�B"(��) ��)1"(� �C�,��2�&(��+-"���) ��)1�3�?��� � 2@"($/+-.)1� ) ��)-� +1)����Q�,+-+=oqd���" ������")1� ) ��)-� +1)����Q�,+-+�acd���" ������"T���)-+-2d��D��e�S��+1+U$5�����)1^T���)-+-2d��D��Q+1"@���,+U��&(���0�C+1)*�����T���)-+-2d��D��Q+1"@���,+U$G)1� )1$5�G+-)-��������0�����?��D��e2�)-��k')*2@���0��)l� �����?)-�0��"G��D ��5�6{==�S SU@

��)1$G�y| ���S^�� ��& ���(� Q��Q��" +-+ �\.��B� J`�Q2@)*��k JF�R� � ��������� T�6W V\<FY8�JQ���" +-+ �\.��B� T

YEM��P6k7U7RY�e�#������&pQL2@)-��k J ��)1$G�~B&o ' d"(*)�T�#������&pQ�� �,����������J���)1$G�~B&o ����� j���� � T

E

Page 10: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

2@)*��k(��&pQ�2�)-��k J@� �,��������� T������2@)*� ��)1"(� �rQ�2@)*��k J���" +-+ �\.��B� T������2@)*� ��)1"(� �rQ#� � ���������3J��S"(+1+1�\.���� Tg8:d6!M��

YEM��P6k7 W Y�e�#������&pQL2@)-��k J���)-$G� B&o ' d"(*) T>?�,+-+1��& QL2@)*��k J@� � ��������� T������2@)*� ��)1"(� �rQ�2@)*��k J���" +-+ �\.��B� Tg8:d6!M��

YEM��P6 X9W Y�e��� 2�����&9 QL2@)*��k J�� � ��������� T������2@)*� ��)1"(� �rQ�2@)*��k J���" +-+ �\.��B� Tg8:d6!M��

��� 2[�6W V\<FY8���� 2>= S SU@

����2F9`MdV\b,5!1�bZYE<8V SZb

TB��4 )-�*@ :d6{7,V�YE<8V SZbZ�pQ�2�)-��k J��S" +-+1�\.0�B� TV 5�Q��S"(+1+1�\.������ |�X*W Y T

��& ���0� �S+-���,� QR_f`Uacb6_ ' d (k)rT��� 2FV 5����)-4 D�TB" ����D�"�"@2=QYO��rM����� `� � � J02@)*��kBJ��S" +-+1�\.0�B� T5�SU:?Q�) |y3���"5+-��� 4,��D QYO��rM������ `� ��� T5T

��)1$G�y| ��T � +1+PQ�2@)*��kBJLO��rM����� `� � � d TV 5�Q ��)1$G��� o T

���6D��32@� � +]QL2@)-��k J���)-$G� J 7U7RY�J'O��^M�����c`� � � d\J � ��� d�� k���� %��e(�� T��� 2FV 5

��� 2>5 SU:��)-$G�y| �\>?�,+-+]QL2@)-��k JF�Q�S"(+1+1�\.����(JF�R� �,��������� T���6D ��2@� � +]QL2@)*��k J���)-$G� J ��" +-+ �\.��B� J@� � ��������� T_Y@g_ ' d (k) | +1"@��� + $G)-��QR_f`Uacb6_ ' d (*) T

����2F@{:d6 7�V�YE<8V SZb��

TB��4 )-�[b,6���< 6&XU6!b�<nQ��Q�S"(+1+1�\.����(J`�Q2@)-��k JF�R� �,����� ��� T4 "T| ����� ���� 2����� �ST��rQ�2�)-��k TV 5�Q��S"(+1+1�\.����t| |i7�7QY T

��� 2��,� ��T@�rQ�� �,��������� T��� 2FV 57~S

2@)*��k>|�lnm1K��� � ����������| _Y@g_�' d (k)0: � � �����������" +-+ �\.��B�y|�_Y@g_ ' d"(*) : ��" +-+ �\.��B���)1$G�y| _Y@g_ ' d (*) : ��)-$G�V 5�Q�QL�S"(+1+1�\.����y| |i7�7QY T �,��2<Qf_Y@g_ ' d (*) : ��� | � ����� j���� �^T5T

���B2 ���� �ST@� Q�2@)*��k T

f

Page 11: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

6{= �P6WV 5�Q���" +-+ �\.��B� � |�X9W Y T��& ���0� �S+-��� �rQf_R`Uacb6_�' d"(*) T� ' d"(*) V 5DQL�S"(+1+1�\.����t| |n7U7QY T

��&(���0� ��+1�3�,� Q#� � ��������� T��� 2�V 54 "T| ��� +-���

6{= �P6��& ���0� ����$G"& ��Qf_R`Uacb6_�' d"(*)(J@��)-$G� T4 "T| ��� +-���

��� 2FV 5W �dV =�69QN4 " TV 5�Q��S"(+1+1�\.����t| |i7�7QY T

� ����� j���� � ��� 2FV 5:d6!< 1�:Ib ��)-$G�

����28b�6��Z< 6&X�67bF<

����� :<%�"5"��5� ��%�� , %�89��"�"5���9#7��� �(�� ��������������������� ���5) �9"�� �L��%��<?D��E$G"�2���+@",����+*� ����)*�7��" +-+1)*��)-" ��� )-�e��D��?��& ���0�N2@��)-& ���H��)-$9��+*���)1"(�9)*� ���,k(���9�#��"($ ��D��?� � ����� T�.�=f� T � �6D���&@��k�. � 3m3� :<?D��~� ���,+f����������?" � �\>E"52@)-��k@��JLM7�,� 2���J@)1��&(" +-& ��2�)1�8��D��e�S"(+1+-)-��)-" �;�,���Z4()1&(���dT0. e

�� d ����� | ���� � � �� �� d j � � � Q�< T

�� � ����� | �� d � � �� �� � j � � � Q ? T=f��� �� T��Z��D��R����)1�?&(���S��" �E��D ��?��"()1�0�6�E�#��"($ 2@)-��kGMN��"���J���D ��� �� d � � � �,� 2 �� � � � � � ���F��D��Q�S"($G��"(�����0���E" � ��D �& ��+1"@��) ��)1�3��J�����)1"(�!��"e��D��Q�S" +-+-)-��)1"(�fJ0� �,�6�,+-+1��+ ��"��� : �� d j � � � � � 2 �� � j � � � �,���I��D��Q�S" $G�B" �����0���7",�f��D��R& ��+-"@�S)1�\. J0����)1"(���"R��D��F��" +-+1)*��)-" � J,��D���7� ���?�B��������� 2@)*�S��+*�,�!��"��� :N<?D�)-�7�S"(+1+-)-��)-" �G$G"�2���+ ��" � ������& �3�NT�" ��D5��� ����4 .9� � 2G$G" $G���0��� $8:�����~� 4 �����~</�#" �I�/��)*� ��� ���R",����D �e�S" +-+-)-��)1"(�d$G"@2@��+L:V ����+-�(�\��)-���S" +-+-)-��)1"(� �K��������D��Z��+*� ����)*�F��" +-+1)*��)1"(�'$G"�2���+ >C) ��D'��D���"(�@��4(" )-��49� " ��$G� +�&(��+-"@�S)1��)-���7$9��+1��)-��+-)1�32'T�.5�

2@)*����)-� ���)1&(��������$;J��=:K<?D��~� � � +f& ��+1"@�S)1��)-���E" � �\>E"52@)-��k@�C����AB����)-��45�,�8)1� ��+*� ����)*�Q�S" +-+-)-��)1"(�d� ���me

�� d ����� |�� �� � � � � �� d j � � � Q#X T

���� ����� |�� �� d � � �� ���� j � � � Q � T9["($/���0����$ )*�C�S"(� ������& ��2'>C) ��Dd��D�)*�?$/"@2@��+LJ T��@�C��������4(.5)-�?� ",��: V �8$9.d��)-$9��+*���)1"(�fJ�� � 3 J�� � 2�)*�C�S"(� �����,�0�3:

1I���#" ������� �,����+1. ��D�)*�')-����+*� ����)*�[�S"(+1+-)*��)-" � $G"�2���+F)*�5��" ��& ����. 4 "�"@2UJ?T��3���,�����X��" $G�;� �,����)*�S+-���'��� 2@����4("h� �)-�P� ��)1���e����$HT����C",�=�S"(+1+-)-��)-" � �?)-�[��� ��)1���e�,$G"(���0�?" � ��)1$G� � ? : V �8��D���)-�F��)1$H��+-�,��)-" � �?" � <m7 & ������)-���,+-+1.�&0)-T��6�����24 �6�,����+*�,�E$5�������)-� +-��J@g7)���"(�d���I�,+ :�� ?� )-$G��+1��$G���0�F���V������$ ��D �,�?)*�?��"(�PB ��" � ����� �0��J@�,� 2;� ������"(� �6D ���K"(��� J@TB��+-">�d����+-�,��)-& �/��" ��$5�,+N�S�@��",A & ��+1"@��) �\.(:9MITB"& �H��D��5���@��" A & ��+-"@�S)1�\. J�� � 3/� � 2X)*�Q�S"(� �����,�0�3:9<?D���.V�,+*��"8� 2�2V��S"(+1+-)*��)-" �5"(�������,��" �N��D ��E$G"�2���+*�=��D ���,� 4 ��+*�,�K$G"($/���0����$ ",�U��D��F� � ����)-��+1�3��� ?� :�V=D�� 252@)1W'�S��+1��)-���7)1$G��+-��$G���(��)1� 4��D �9�S"(+1+-)-��)-" �;" �B���6���" �?��D���F)*�I� ����2;T�.8g7)���"(�[�S��� +L:�� ?� JB��"KV?2����S)*2@�328��"'2@��& ��+-" �[�G��)1$G�92���)-& ���;� ������"(�(�6D���"$G"@2@��+-)1� 4H��D��e��.�������$;:!�����e�����S��)-" �F?H�#"(�I�G2@)-���S������)1"(�d" � ��D��R��)-$G�e2@��)1&(���;��)-$9��+*���)1"(�f:

G

Page 12: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

v2 v2tang

v1v1tang

v2norm

v1norm

v1new

v2new

5 )-4 � ��� <;e 6!+-�(�\��)-�R�S"(+1+-)*��)-" �d$/"@2@��+f)-�d��D��Q��&(���0�I2@��)1&(���;��)-$9��+*���)1"(�f:

� � �, x ( ��ru z � $ � � � * ,��,��� . z q ,y�,� / q $ x ( " � q �y�

MI+1��D " ��4(D%V92@)*2 ��",�G���3� �6D $H.c4 "0�,+E",����)1$H��+*���)-��4 <}7 & ������)-���,+-+1.P&�)1T ���,����2 4 �6�,����+*�,�H$G�,������)*�,+*��JN��D��;��&(���0�2@��)1&(��� ��)-$9��+*���)1"(� ��D��� VH2@��& ��+-" �B��2 ���,� �SW'�S)-���0��+1. ��)1$H��+*����;��.�������$5�H" �FD � ��2c���,����)*�S+-����: VeD �a& �d��� � 2 7��)1$H��+-�,��)-" � �E" � ���'��" <}o�J o}omoQ� � ����)-��+1�Z" �8�t@N���0��)1��$ @ V V V ?$X}o}9�� �F����"@�S�3����" �7>C) ��D 2 X � 9X��4(� T�.(�����7",��:FM,9c:gE)���" �G�S�!� +L:�� ?����)1$H��+*����32 <}7 ��.@�\����$5�=" � <mo�J o}o}oZ�,��2 � o�J o}omoF� � ����)-��+1�3��J0��"~VNTB��+-)1��& �?��D���!$H.H��)1$H��+-�,��)-" �fJ(>C) ��D��D �R� ������" ����)*����Z"(���S)-+-+-�,��)-" � �?�,��2��S"(+1+-)*��)-" �8" �B���6���" �3J()*�C��� � �,T�+-�Z",� ���������3���)1��4H��D ��)-�C���3����+1����: 5�)14(�����~?G��D ">I���D �H��)1$G�/��� k ���`�#"(�R�8��.�������$]",�E2@) A �������0�Q����$9TB���Q" �!� � ����)-��+1�3�F��";T��5��)1$H��+-�,���32X��"8�;�S�����6�,)-�X��)1$G� :yVFD �a&(���" ���S^������ ��)1&(��+-.d)-��& �3�\��)140����328��D��H�S^@�����@��)-" �X��)-$/�H",�K$H.8��)1$H��+*���)-" � J�T������ 4(������?�)-� 2@)*���,�����I��D �,����^��3�S�@��)1"(���)-$G�e�����,+-���?>E��+-+U>C) ��D8��D��Q����$HT����C",�N� �,����)*�S+-����:VF�6�,�P��)-$9� +-�,��)-" � �Z",�E)1� ��+*� ����)*�H���,����)*�S+-���Z�#�����/�#��"($O�S^����������,+=�B",�����0��)*�,+*��J � � 2V" T ������& �9��D �,�Z��D��5� � ����)-��+1�3�

�S+-��$G�e��" 4(�S��D ���N�,� 2e�#" ��$ ������)-��4(��: <?D��E)-��) ��)-� +���"0��)1��)-" � � ",� ��D��E� �,����)*�S+-��� )-�e��D �����E��)1$H��+*���)-" ��� >E�����!�6�,� 2�" $G+1.2@)*�\����)-T��@����2 >C) ��D�������o S 3&o�8�,��2 ����o S 3&o�(: <?D��;)-��) ��)-� +I& ��+1"@��) ��)1�3�H>E�����8��� � 2@" $G+-. 2@)*�\����)-T��@����2 >C) ��D� E�� � � 3 S 3��5�,� 2 � I�� � � 3 S 3��0:5<?D��'$5�,4(��) ��� 2@�5" �7��D��5)1� ��+*� ����)*�S)1�\. J � )-�h��i0� ���)1"(� ��X;�,��2 � >?� ��o : ?;)-���D �����9��)-$9� +-�,��)-" � ��:7��)-$9��+*���)1"(� �C>E�����e2@" � �R�#" ��3�o}o}oG� � 2 2 o}omo9���,����)*�S+-����:7M ��)*� �������Q",�N��D��9)1��)1��)*�,+ ��"0��)1��)-" �����D �%3&omo}oh� � ����)-��+1�V��)-$9��+*���)1"(� )*�'4 )-& ��� )1� � 4 ����� X � T :_M]��)*� �������V",�Q��D��`)-��)1��)*�,+Z��"0��)1��)-" � �'�#" �d��D�� 2 omo}o� � ����)-��+1�Q��)1$H��+-�,��)-" �8)-�?4()1&(���8)1�F� 4(�����~XHT T :!<?D������R)-�?� "/$5���\" �C�S+-��$G� �C"(�I�\����)-��4(�E" ��� � ����)-��+1�3�E)1�8��D �Q)1��)1��)*�,+�S"(�P� 4(�����,��)-" � ��:

MC� ����� 3�od� ��) �6�Q",�?��.@������$O��)-$G� Jf��D��'��)1$H��+-�,��)-" � �R>E�����G�\��" ���B��2U:��@)1$H��+-�,��)-" � �Z" �E��+-�(�\��)-�G�S"(+1+-)*��)-" � �Z>E������,+*��"e$5� 2@��>C) ��D'��D �Z���,$G�I)-��)1��)*�,+U�S"(� 2@)1��)-" � �K��"G�S" $G� � ���I��"e��D��F)-����+-�(�\��)-���S" +-+-)-��)1"(� ��:�<?D������3��� + �6�!" �U��D���3&omo}o� � ����)-��+1�e)-����+-�(�\��)-�H��)-$9��+*���)1"(�[)-����D ">C�[)1�*��4 ����� � � T J �,� 28��D��K3�o}omoG� �,����)*�S+-�e��+*� ����)*�9��)-$9��+*���)1"(�[���3����+1�����,�����D�">C�;)1�>� 4(�����yE/� T :?<?D��e��������+1���C" �N��D�� 2 o}omoH���,����)*�S+-�Q)1����+-�(�\��)-�9��)-$9��+*���)1"(�[�,���R��D�">C�;)-�>� 4 ����� � T T J�� � 2��D �e���3��� + �6�C",����D�� 2 o}omo/� �,����)*�S+-�Q��+*� ����)*�Q��)-$9� +-�,��)-" �[�,���e��D ">C�d)-�>� 4 � ���yEHT T :EbF",��)-���Q��D �,�I��D �����Q)-�I2�)-����)-� � ��S+-��$G��)-��4Q)-� � 4 ����� � � T � � 2/T T J0>CD��������(����D������I2�"0�3�N��",�E�,���B��� �N��"QTB�C$9� �6D5�S+-��$G��)-��4e)-��� 4 ������E�� T � � 2/T T :<?D��X)-����+-�(�\��)-�X��" +-+1)*��)1"(� �G��D���KVGD �a&(�[$/"@2@��+1�32 ������$ ��" ���,� ���X� � ����)-��+1�3�G��" �S+-��$G� ��"(4 �S��D����3: V/D��a& �[��" �)-�0&(������)-4(�,����2 ��D�)*����D�" ��" � 4 D�+-. JIT �@�8)1�;>7"(��+-2 T��V)1�0�������3�\��)1� 4 ��" ����� 2@. ��D��V��AB�3� �6�d" �92@������)1�\. J��0� $9TB���8",�� � ����)-��+1�3�C�,� 2���D��Q$5� 4 ��)1��� 2��Q",� ��D�� �V������$ )-�;��i0� ���)1"(� �dX/�,� 2 � " �d��D �e�S+-��$G��)1� 4 :

3&o

Page 13: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000N

0

2

4

6

8

10

12

time

5�)14(�����,? e=<?D�����)-$G�R)1�8���3�S" ��2��K�#"(�E��D��Z��&(���0�?2���)-& ������)-$9� +-�,��)-" �'��"H�����(�6D��9��.@�\����$j��)1$G�R",� 3�o�J(�#" �C2@)1AB�������0�����$9TB���6�E",� ���,����)*�S+-����: 3�o9� ��) �6�?",� ��.@�\����$j��)1$G�Q�S"(����������"(� 2@�32G��"G�,��� ��"a^@)-$G�,����+1. <}omoe)1�������,��)-" � �E",� ��D��R$5�,)-�+-"0"(�f:F<?D��H� �,�6�,$G�������6�C" �=��D�)*����)-$9��+*���)1"(�[>7�����meDA | o��43 J C � �3m?K�K � |�C�� �3m1K�K �W|�3&o :F<?D��92�" $5�,)-�",����D �����R��)-$9��+*���)1"(� �?>E�(�we � ����o S 3�o � S � ��o S 3&o�

��� �5�)14(������XPeN� T V ��) ��)-� +B��" � 2�) ��)1"(� �K�#"(�K��D���b~|y3&o}omoR� �,����)*�S+-�F��)1$H��+*���)-" � :_T T V ��)1��)*�,+ �S" ��2@) ��)1"(� �=�#"(�!��D���b~| 2 omo}o� � ����)-��+1�Q��)1$H��+-�,��)-" �f:

3}3

Page 14: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

��� �5�)14(����� � e8� T 5 )-� � +E�B"(��)1��)-" � �/",�F��D��8)1� ��+*� ����)*�,J!b~|y3&o}omo[� � ����)-��+1�8��)-$9��+*���)1"(�f: T T 5�)1���,+?��"0��)1��)-" ���H" �I��D �)-����+*� ����)*�,J�b~| 2 o}omo9���,����)*�S+-�R��)-$9��+*���)1"(�f:

��� �5�)14(�����UE/eN� T 5�)-� �,+���"0��)1��)-" ���K",�U��D��I��+-�(�\��)-� J0b~|y3&o}omoZ� �,����)*�S+-�F��)1$H��+-�,��)-" �f: T T 5�)-� �,+���"0��)1��)-" � �!",�U��D��I��+*� ����)*�,JbU| 2 o}omo9� � ����)-��+1�Q��)1$H��+*���)-" � :

3 2

Page 15: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

SZ���S)-+1+*���)1"(� �=>E�����I��",�C� 2 2@��2G��"Q��D �Z��)1$H��+*���)-" �5TB�����,� ���F)1�?)-�7����+-�,��)-& ��+1.HD �,�62G��"/��� +-����+-�,���C��D��ZD�" ��)���" �0��� +>?�,+-+0��" +-+1)*��)-" �e��)-$/�3��: S���)14()1� � +1+-.~VU��D " ��4(D(� ��D �,�=) �N>7"(��+*2QT��?�3� ��)1�3�\� ��"Z)1$G��+-��$G���0�N"(���S)-+1+*���)1"(� � T0.Qk(������)1� 4I��D �TB"a^/����)-+1+ � � 2/"(���S)-+1+*���)1� 4���D��C� � ����)-��+1�3�=� �=)1����D���./>E�����?�6D��,��4 ��29� �,����)*�S+-���NTB��)-��4Q"0����)1+-+-�,���32HT�.9� �G��+-��� ����)*� � ��+-2U:<?D�)*�=>E" ��+*2/$/�3�,�/��D���K)-�/"(��2����N��"e���,+*�S��+*����C�,��.9D�"(��)���"(�0���,+�>?�,+-+]Q�&�)1����� � +@" �=����� + T ��" +-+1)*��)-" �H��)-$G� J0�R��" ��+-)-����� ���i0� �,��)-" � >E" � +-2cD��a& �5��"`TB�8��" +-& �32U:V<?D�)*�H>7"(��+-2 ��+-"> ��D��;��)-$9� +-�,��)-" � 2@">C� � � 2 �(2�2 ��" $G��+-�S^@) �\.V��"V��D �)-$/� +1��$/���0�����)1"(�[",����D��H��)-$9��+*���)1"(�f:7MF�[���(��)-���C>?�a.5��"'��)-$9��+*����Q"(���S)-+1+*���)1"(� �C)*�?��" �\� ���F"0����)1+-+-�,���R��D��eTB",����" $>?�,+-+L: <?D �!TB",����" $ D �,�62R>?�,+-+ >E" ��+*2R��",� T��7���3�\����)*� ����2���"I+-)-�7�� | o :�V � �����3� 2Z��D�� R�S"�" �62@)-� ����=",����D �!TB",����" $>?�,+-+ >E" ��+*2;"(���S)-+1+*����e���`� � 2[2@">C�[)-�[��)-$G� :F<?D )-��>7"(��+*2;$/�3�,�;��D ��R�� �����F�3� �6D[D � ��2[��" +-+1)*��)-" � J���D �e��)-$G�e��"D�)1�?��D��ZT�" ����" $%>?�,+-+�>E" ��+*2'� ����2'��"/T��R��� +-����+*����32'��"H$5��������?>CD �,�?����+-+���D��R2@)-��k5)*�7)-�f: V � �����3� 25" � D �a&�)-��4e��"��" +-& �R��" � +1)-����� �?��i0� ���)1"(� �E�#" �C�3� �6D8D�" ��)���" �0�6�,+U>?�,+-+LJ@"(��+1.�" ���Q��"(��+-)1���3�,�?��i0� �,��)-" �8>7"(��+*2dD��a& ����"5TB�e��"(+1&(��2�� �����?���(�6D�D � ��28�S"(+1+-)*��)-" �5��"5������>CD�������D��Q����^0�CTB",����" $ >E� +1+U�S"(+1+-)*��)-" �d>7"(��+-2�T��(:{SZ����)1+-+*���)-" ���!)-$G��+1��$G���0���32)-�G��D�)*�!>?�a.9>E" � +-2/��" �E2@�3�S����� ���E��D����S^@�����@��)-" �'���B����2G" � ��D��Z��)-$9��+*���)1"(�G$9� �6DfJ��,��2G>7"(��+-2GTB�I����+*���)1&(��+-.9���(��.��"G)-� �S+-� 2@�Q)-�8��D��e��)-$9��+*���)1"(�f:KMF2�2�)1��4G4(���a&�)1�\.G��"G��D �e��)-$9��+*���)1"(�8��" ��+*2dT��Q�3� ��)1+-.')-$/� +1��$/���0����2f:V!D��a& �R��",�I&(����) ����2d�0� $/����)*��� +1+-.5��D ��I$G" $G���(����$ � � 28��������4(.��,���Q�S"(� ������&(��2�)1�8��D �Q��+*� ����)*�Q��)-$9��+*���)1"(� ��:

VED �a& �Z��",�I&(����) ����2'����$G����)*��� +1+-.5��D���I$G" $G���0����$ )*�C�S"(� ������&(��2�)1�8��D �Q)1����+-�(�\��)-�R��)1$H��+*���)-" ����:

� ��� �d� z! #" ��� �%$'&)( � $ �,� � " � q �y� �tsk� � � � q $ �. z q ,��,�0/ q $ x ( " � q ���

<?)-$/�52@��)-& ���h��)1$H��+-�,��)-" � �R����$G����)*��� +1+-.[)1�0����4 �6����9��D��5��i0� �,��)-" � �Z" �7$G",��)1"(�V" �?�;��.�������$;:/<?D��5�3i0� ���)1"(� �Z",�$G",��)1"(� �#" �G$H. ��)-$9� +-�,��)-" � � ���d�S^@��+*�,)-����2 )1� ����� ��)1"(�%?�:l3(J!�,� 2 ��D��;$G�S��D�"@2 �����32 �#"(�/)-�0����4 �6���)-��4`��D���$ )-�2@�3������)-T��32�)-�[���3� ��)1"(��?�: 2 :

���� ������ �(�$%��*� %&+N) %��(��%�� + %&���(�������) � ����������� ���5) �9"�� �L��%��<?D��G��i0� �,��)-" � �R" �7$G",��)1"(�`�#"(�e�d��.@�\����$ � ���G4()1&(���`T�.`bF��>?��" �=\ �Q���3�S"(� 2`+*�a>QJ �l |7@ �b |7@�������� j � : 5�"(�QD �,�62� � ����)-��+1�F��)-$9��+*���)1"(� ��J �b/���������3�����0���N��D����(���S��+1�����,��)-" �/",�f�3� �6D5� � ����)-��+1�I)-�G��D ����.�������$;:�V ��" �62@���=��"e����$G����)-���,+-+1.)-�(����4(���,���G��D )-�9��i0� ���)1"(�P��"*� ��2 �� J ��D�)*�9�����S"(� 2P" �62@���9��i0� ���)1"(�P�#" � �� $9���\�9TB�'����2@���S��2P��"[�\>E">� �����e" �62@�����i0� �,��)-" � �&e

��� | �� Q E T

��� |

�l@ Q�f T

<?D��/�#" �6�S�/� �S��)-��4d"(�V�3� �6DX���,����)*�S+-� J �lGJU)-�Z��D��5����$O" �E� +1+N)-�(����� B ���,����)*�S+-�e�#" �6�S�3��JU� +1� �R� �0.[��^�������� � + �#"(��������:�V ���D �Q��" �����0��)-� +f",� �\>7"G� � ����)-��+1�3�?)-�� d � Q��� d � T J@��D����8��D��Q)-�0����� B � �,����)*�S+-�Z�#" �6�S�R)-�?4()1&(���8T�.-e

��Ud � | �'d ��� d �

Q�G T

>CD������ �� d � )-����D��/2�)-����� � �S�HT����\>7�����[��D��JMPjRkd�,� 2 ��jRk'� � ����)-��+1�3��:Q��)-� �S�H��D �H)-�0����� B � �,����)*�S+-�Q�#" �6�S�3�F� ���H4 )-& ���[T�.��D �Q4 �6� 2@)-���0�?",�=�/����� +-� �?��" �����0��)-� +LJ@��D��Q� � ����)-��+1�wB � � ����)-��+1�Z)-�(�����6� �S��)-" � �?�S"(� ������& �Z��������4(. :

3&<

Page 16: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1r

1000

2000

3000

4000

V

1 1.122r

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

V

1 1.122

5�)14(������f;e�@K+-",���H",�F��D��>=f����� �,�62/B�� "(�����e��" �����0��)-� +7�#"(�/2�) A �������0�G��� ��4 �3�e",������ d � � : � T d � & ������� ������ d � � �#"(�o�� X������� d � ��� 3 : T T �d � & ������� ������ d � �0�#" � 3������� d � ��� 2 ��� :V ��$H.���)1$H��+-�,��)-" ��VK� ������D��Z������� ������32K= ����� � ��2PB �(" ���3�!�B",�����0��)*�,+ J@>CD�)*�6D�)*�C�9�B" � ��+-� �?��" �����0��)-� + �#" �?D �,�62

� � ����)-��+1�Q��)1$H��+-�,��)-" � ��l3 2 :K<?D��Q��i0� �,��)-" �d�#" �?��D �R������� ���,���32�= ����� � ��2PB �(" ���3�E��" �����0��)-� +U)-�&e

'd � |� o � ` � ���� d � � V 2 ���� +?�� � Q '� �� ��� � T � � �4Q '� �� ��� � T � �� � ` � ���� d � ��� 2 ���� + Q 3&o T

<?D�)*�8)-�8� � ������+1. ������� +-��)1&(�`�B",�����0��)*�,+Q��)1� ���`)1�^\ �;2@����)1&�,��)-& �`)*�8����40���)1&(�X>CD��������� d � ��� 2 ��� + � � 2 )*��������"��+*����>CD������(:NM � +1" �I",� �d � &(���6���������� d � ��)*�C��D�">C�d)-�F� 4 � ��� f�:

��)-� �S�E��D�)-�!��.@������$ )-�K��" � ������&���)1&(� J�,�G�S^�������� �,����)*�S+-��B � � ����)-��+1�7�#" �6�S�E������$ $9� ���KT��I�(2�2@�32e��"Z$G"@2@��+�)1� ��+*� � B��)*�9��" +-+1)*��)1"(� ��:C<?D��9)1����+-�(�\��)-�e)1�0����� B � � ����)-��+1�Q�#"(�����R������$rV?� ���e)-�F�#��" $ � �,�B���6�CT�.8MF" k�)N�,� 2[MFk0)-.(� $5� �l3&<�� 3&?� :

3w?

Page 17: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

<?D��Q)-����+*� ����)*���#" �6�S�R" �d��D �nM]jRk5� �,����)*�S+-�R)-�&e�� d | ��� @ Q��� d ��� �� d � T �� d ��� ���� d � � � � ` � ���� d � ��� 2 ���� + Q 3}3 T

W D������ �� d � | ���� � �� d�J��,��2�� 2��S������$G)-�����d��D��P��������� 4,��D ",�Q��D �V)-����+*� ����)*�[�#"(����� :j<?D�)*���#"(�����V�(� ���d)-� ��D ��� d � 2@)-����� ��)1"(�fJK��"`)1�/)*�H�`��" ��$5�,+E2@)-����)1� �,��)-& ���#" �6�S� :PMI"(k0)?�,��2 MIk�)-.(�,$5�`D �a& �'�����32h��D�)*�/)1� ��+*� ����)*�5������$ ��"�����,+-)*�\��)-���,+-+1.d$/"@2@��+ � ���3���������e�,� 2[2@��� ��) �\.;>?�a& �Q����" � � 4(�,��)-" �8)1�X&(������)*��� +1+-.�&�)-T����,���32;4 �6�,����+*�,�C$5�������)-� +-�� 3�< :<?D���.HD �a&(�C�,+*��"Q� ����2/��D�)*�K��"(��$5�,+�2�)-����)-� �,��)-& �?�#" �6�S�C>C)1��Dd�,�5� 2�2�) ��)1"(� �,+ 2�)-����)-� �,��)-& �I��D���� �=�#" �6�S�?��"e� �������6�����+1.��)1$H��+-�,���R� �,���������8�#"(��$5���)1"(� �E)1�;&(������)*���,+-+-.5&0)-T��6�����2d4 �6�,����+*�,�?$5�������)*�,+*�� 3&?� :

<?D��'��"�2��G�#" �Q��D��G��)-$G��2@��)1&(���c��)-$9� +-�,��)-" �P)-�Q)-� �,� ����� 2@)1^PgZ:KV �e)*�eT �(���32`D ���a&�)1+-.`"(�c�,�h4 �6�a&�) �6���)-" ���,+��T�"@[email protected]����" 4 �6�,$ ��D ��,7���: 9`����ZY7D " �@����)1kd>C��" ��� � 3�f :

��f� �����"�� % 8��� � ������L�=#&�(� �L%&�9[.8��)-$G�H2@��)-& ���X��)-$9��+*���)1"(�[� ���3�C��D��9+*��"@2��FSU7�6 )-�0����4 �6���"(�C��"�)1�0����4 �6����Q��D��H��i0� �,��)-" � �F",�=$G",��)-" � :,= ��"@2��)*�E��D��� = )1&(����$G" ���Z��"(+1&(���7�#" ��S��62@)1���,��. 7�)1AB�������(��)-� +U��i0� �,��)-" � ��J�>C) ��D;MF�@��"($5���)*�Z$G�S��D "�2;��>C) �6�6D�)-��49�#"(�C�\��) A�,��2 � " �PB �\��) A ����"(T�+-��$5��: � �l3�X� :15 " �'��"(�PB �\��) A � ��"(T�+1��$5�G+-��"@2��h� �����G��D��XMF2�� $g\ �5$G����D�"@2%�l3 � ��,� 2 �#"(�'�\��) A����" T�+-��$5�9��D��8T �(�6k0>?�,�62h2@)1AB������� �S���#" ��$9��+*� �l3�E C)*�9� ����2f:�W D ��� +*��"�2 �[)-�G���,+-+1�32UJK�X����$HT����H" �F�,��4 ��$G���0�6�$9���\�ITB�e���B����) ����2U:

<?D�� ���������,��4 � $/���0�C��"'+*��"@2��')-�I��D��9�(2�2@�������C",�!�/�#� � � ��)1"(�[��D �,��>C)-+1+������I��D �9��i0� �,��)-" � �I",�K$G",��)1"(�f:C<?D�)-��#��� �S��)-" � $9� ���HTB��" �C��D��d�#" ��$>e � acO&QYO��� S � S S `+�`�� T :[O��� 8)-�9��D��8����$9TB���/",�I�3i0� ���)1"(� �Q��D ��/+-��"@2��XD �(�Q��")-�(����4(���,��� :��Z)*�R��D��5��)-$G�5��D���e+*��"@2��[����� ���6�Q)1�0����4 �6���)1� 4d�#��" $;:�V �c$9.V��)-$9��+*���)1"(� ��J��,+-+K�B",�����0��)*�,+*�e�,���G��)-$G�)-� 2@���B����2@���0��J���" �!)*�?��",�C� ����28��I� +1+ : ')-�E��D��Q�,�����a./��D ��I����" �����7�B"(��) ��)1"(�8� � 2�&(��+-"@�S)1�\.5)1�@�#"(��$5�,��)-" �f: `+�`��7)-��,�[� ���6�a.5>CD������Z��D�� SU7�67�C�,���R���B���S)l� �32U:7M��I�������;)-�8�3i0� ���)1"(� ��E�Bh3}3(J0��D��92�����)1&���)1&(����J `+�`�� J � ���Q2@������� 2@���(�" �V��D �5��"0��)1��)-" � �9�,� 2V& ��+1"@�S)1��)-���R" �7��D��5� � ����)-��+1�3��JU��D������S�#"(��� `+ `���)*�Q���B����) ����2h� �Q�d�#��� �S��)-" �c" �!��D �5&a� ��)-" ����S"($G��"(�����0���?" � :K�����e�,���B��� 2�) ^;g �#" �?��D��Q��"(�@��)-���~VED �a& �Z>C��)1�������8��"'���S�?��D��Q��i0� �,��)-" � �?" ��$G",��)1"(�f:

<?>E"5��"(+1����� � �S�3��J�� � � � 2�� � JU�,���9� +-��"'� �(������2;)-�0��"�+*��"�2 ��:�� � )*�I��D��H� T ��" +-�@���Q��" +-���6�,� ��� JB>CD�)-+1��� � )-�F��D �����+*���)-& �e��" +-���6�,���S� :*W D�)-+1�/)1�0����4 �6���)1� 45��D��H��i0� �,��)-" � ��J +-��"@2��5��&� +1� �,���3����+1"@��� + ������" �3J�� d J��#"(���3� �6D d :Z+-��"@2���������������E��D �� � d ��� � b�� � Q dfT �� � 2@� ��)-��4/��D��Q)-�0����4 �6���)-" � :

SF��D ���I�,��4 � $/���0���?��� ����+-)1�32���"5+-��"@2��G�,���}e JLO��� �J � d �,� 2 ��� J�� � : d� � 2-O��� /�,���F��D��e���,$G�R&a� ��)*�,T +1�3�E��D �,�+*��"@2���� � �����3�F)-�0��" � a O=: � d ���B���S)l� �3�I��D��G)1��)1��)*�,+���)1$G�H��D �,����D��/��.@�\����$O)*���,�Z>CD ���`+*��"�2 �')*�Z���,+-+1�32U: ���d)-����D ���)-$G�R��D �,�I+-��"@2��/>C)1+-+f��� 2��,���R��D �e��.@������$ ��" J���" � � � �$dN)-�C��D��R��)1$G�e�������8��D ��C��D��e��.@������$ ��&(" +-& ���ET�. :

� � �, x ( ��ru z � $ � � � � q $ � . z q ,y�,�0/ q $ x ( " � q �y�

<?D��8��)-$G�[2@��)-& ��� ��)1$H��+*���)-" � ��D �,� VH2@��& ��+-" �B��2 )-�/$H� �6D +-�����/�SW'�S)-���0�G��D��,� ��D��;��&(���0�'2@��)-& ��� ��)1$H��+*���)-" � :V'2@" � ",�dD��a& �[��������+ �6�5�#"(����D��`��^��3�S�@��)1"(� ��)-$G�`",�Q��D��`� ��"(4 �6�,$ �#"(�d2@)1A �������0�d����$HT�������",�e� � ����)-��+1�3��J?T��@��#��" $ ��D�����)-$9��+*���)1"(� � VQD �a&(�/�����h��D�����^��3�S�@��)1"(�h��)-$G��2@"����9��",�H����� +1�5>E��+-+!>C)1��D ��D��'����$HT����9" �?���,����)*�S+-����:<?D��8$5�^@)1$H��$ ����$9TB���G",��� �,����)*�S+-���e��D �,��V9��)-$9��+*�����2 >C)1��D ��D��d��)-$G�82���)-& ��� ��)-$9� +-�,��)-" � >?� �K3&omo�:�W ) ��D3&omo'� � ����)-��+1�3��Jf��D��/��)-$G�52@��)-& ���P��)-$9��+*���)1"(�`>?� �Z& ����.[��+1">Q:/<?D�)-�R)*�R��� 2����6�\�6�,� 2�� T�+-�/��)1���S� V�2@)*2V��",�e������� 2& ����.d$9� �6DX��)-$/�H" �@��)1$G)���)-��45��D��e��)1$G�H2���)-& ���X��)-$9��+*���)1"(�;��"'�����;���(�\�3:dV �[��D �e��)-$G�H2@��)-& ���[��)1$H��+*���)-" � J��3� �6D� � ����)-��+1�5)*�9��" $G� �,����2V��"X���(�6DP" ��D����e��"X�����') �?��D���.h>C)-+1+7)1�0�������(� �e)-�h��D��d4 )-& ���V��)1$G���������f:X<?D���2�" $5�,)-�h",���D �9��)-$9� +-�,��)-" �[�S"(��+-28TB�QT���" k ���;)1�0��"'����+-+-��J ��)1$G)-+-� �C��"G��D��Q��&(���0�F2@��)1&(���[��)1$H��+-�,��)-" �fJ )1�["(��2@���?��"5����2@���S�R��D �����$9TB���?" � � �,����)*�S+-���!��D���C�,�����S"($G� �,����2G��"H�3� �6D'" ��D�����:=gE�����,k�)-��4Q��D��Z2�" $5�,)-��)-�0��"G�S��+-+*�!>E" ��+*2')-� �����3� ���I��D ��S^@�3�S�@��)1"(�8��������28",����D �R��)-$/�e2���)-& ���8��)1$H��+*���)-" � :

3�X

Page 18: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

<?D��5��)1$G�82@��)-& ��� �,+-4 "(��)1��D�$ $5�a.`TB�d��+1">QJ�T��@�/) �/)-�9��� ��)-���Q��"`)-� �S+-� 2@�'"0����)1+-+*���)-" ���e�,� 2 4 �6�a&0)1�\.X)-�c��D ���)1$H��+-�,��)-" �f: V �P" �62@���Z��"X� 2�2V"(���S)-+1+*���)1"(� ����"8��D �'��.@������$ �,�P�S^����6�d������$;Ja?�� � � � � ��"(�=Q 2 � ��� T �BJ )-�Q�(2�2@�32X��"��i0� �,��)-" �>f�: V �8��D�)*�I�(2�2@)1��)-" � � + ������$;J �[)*�E��D �Q"(���S)-+1+*���)1"(���#����i0����� �S.�� � 2 � )-�?"(���QD �,+1� " � ��D��Q�B���,k'��"G���3�,k�,$G��+-)1��� 2@��",�E��D��'"0����)1+-+*���)-" ����:'< "X� 2�2P4(���a&�)1�\.;��"[��D��'��)-$9� +-�,��)-" �c�,��" ��D����Q�S^����6�8������$;J � � �BJ )*�e�(2�2@��2V��"��i0� �,��)-" �>f�J@>CD������ ��)*�E��D �Q4 �6�a&0)1���,��)-" � � +B�(������+-���6���)-" � :V!�����32���D��R��)-$G�e2@��)1&(���;��)-$9��+*���)1"(����"'��)-$9� +-�,����2 2 o/� � ����)-��+1�3�?>C) ��D;"(���S)-+1+*���)1"(� �?�,� 284 �6�a&�) �\.(:�<?D �Q)1��)1��)*�,+

�B"(��) ��)1"(� �'" �Z��D��X� � ����)-��+1�3�'>E�����[��� � 2@"($/+-. 2�)-������)1T �@���32 >C) ��D � � ��o S 3�o �X�,��2 �� ��o S 3&o �0: <?D��`)1��)1��)*�,+& ��+1"@��) ��)1�3� >E�����!�6�,� 2�" $G+1.Q2@)*������)1T�������29>C) ��D � E � � � 3 S 3 �7�,� 2 � I � � � 3 S 3 �(:a6!�(�6De� � ����)-��+1�7)1�9��D�)*�=��)-$9� +-�,��)-" �D �(�F��2�)-� $/�������F",�d3(: E@:F<?D��H)1��)1��)*�,+N�B"(��) ��)1"(� �I" �=��D��H� �,����)*�S+-���F)1�`��D�)*�Z��)-$9��+*���)1"(�X�,���9��D�">C�[)1�N� 4 �����yG�� T J�,��2`��D��5��������+ �6�e�,���5��D ">C�P)-� � 4 � ��� G;T T :dbI" ��)*�S�G��D ��Q��D��'T � +1+*�Q)-� ��4 ����� G;T T "& ����+*�,�V>C) ��Dh��� �6Dh" ��D�����,��2X��D��G>E� +1+*�Z",�!��D��GT�"a^U:/<?D�)-�R)*�RTB����� � ���9��D��G)1�0����� B � � ����)-��+1�/��" �����(��)-� +=)-�R� ",�Q�,�P)1�P����) ���'�\�����P>7��+1+ :H<?D ��B",�����0��)*�,+@� ����2UJ�3i0� ���)1"(��3�o�J)-�H��" ��)-�P� � ) ����+-.9�\�������/�,����D��?� �,����)*�S+-�ET�"(��� 2�� ��.(J,��"Z)1�0����� B � � ����)-��+1�E�,� 2H� � ����)-��+1�wB>?�,+-+B�B��� �S���6���)1"(�d)*�?�B"(����)-T�+-� :=<?D��Q2@)*��k$B 2@)-��k5)-�(�����6� �S��)-" � �E)-����D�)-�C��)-$9��+*���)1"(��>E��������+-�(�\��)-� J@T��@�?��D��Q2@)*��kmB >?�,+-+)-�(�����6� �S��)-" �R>E�(�U)-����+*� ����)*�,: <?D �!�,T ��" +-�@���K�,� 2R����+*���)1&(�N��" +-���6�,���S��� >E�����K���S�f��"�3&o � � )-�R��D�)*� ��)1$H��+*���)-" � :�@=�����������#" ��$5���)1"(� �C>E�����e��",��" T ������& �32d)-�;��D )-�Z��)-$9� +-�,��)-" �fJ�T��@��4(���a&�)1�\.d� � 2;"(���S)-+1+*���)1"(� �C>E�����ei0��) ���9��" ��)*�S�3�,T�+-� :C< "�����Q�,�;$G����4G$/"&�)-�R",����D�)*�I��)1$H��+-�,��)-" �fJ@4("9��"5D0������e����aT�D � : � D0.@��)-����: ��T �,: ��������a>C)1+*��" ���a��� 2 o�: $/� 4

��� �

5�)14(�����,G;eN� T V ��) ��)-� +���" � 2@)1��)-" ���!" �B��D��F��+-�(�\��)-�FbU| 2 oe� �,����)*�S+-���K��)-$/�Z2@��)1&(���'��)1$H��+-�,��)-" �%T T 5�)1� � +B��" � 2�) ��)1"(�5",���D �/��+-�(�\��)-�/bU| 2 o����,����)*�S+-���F��)-$/�52@��)-& ���P��)-$9� +-�,��)-" �f:9<?D )-�Q��)1$H��+*���)-" �V)1���S+-� 2@�5��)-��� ��" )*2��,+�"(���S)-+1+*���)1"(� �Z>C) ��D� |1o�� 2 X@J �>|1X�� o/�,��2 ��| 2 � o�:=<?D��Q>?�,+-+*�E� ���R)-����+*� ����)*�Z>C) ��D �>|n3�� o :

<?D��H��)-$G�/2@��)-& ���V��)-$9��+*���)1"(�`)*�R����� ��)1��)-& �9��"d��D��/��)1$G�G�\�����V� � 2[��" +-���6�,� ���9� �(������2[��"8+-��"@2���: V �K��D��/��)-$G��������h)*�Q��"0";+*�,��4 �(J " �R��D��5��" +-���6�,� ���/)*�R��"0"[T )14�J ��� ����4 .`)-� �����3� �����Z)1�h��D��'��.�������$;:KV �c" �62@�����#"(�e��� ����4 .`� � 2$G" $G���0����$;J@��"5TB�e�S"(� ������&(��2UJ0��D��R��)-$G�9�\�����[�,��2'��" +-���6�,� �����E� � ������2���"5+*��"@2��/D �a&(����"GT��9���@W'�S)-���0��+1.���$5�,+-+L:5�"(�f��D��7��)1$H��+*���)-" �H2@�����S��)1TB��2Q� T�"&(� J3��������4(.�>?� � �S"(� ������&(��2���"F>C) ��D�)1��o�: fC�B���6�S���0� �#" � �3� �6DQT � +1+lB T �,+-+(��" +-+1)*��)-" � :

3 �

Page 19: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

� � �y� � ( x q �y�

VH2�)-2 ��" �'���3� �6D ��D��[�B" )-�(�5" �R��)1$H��+*���)-��4h� �,��������� �#" ��$5���)1"(� )-� &(������)*��� +1+-.c"(���S)-+1+*�����2 4 �6�,����+*�,�/$5�������)*�,+*��:�I">E��&(���3J{V52@)*2k� ��2 ��D �,��� �,����)*�S+-����)1� � T�"a^ ������2 ��"c�#"(��$ �S+-��$G� �8�,� 2 ������)1��40�')1�R��D��V� �,����)*�S+-��B � �,����)*�S+-��S"(+1+-)*��)-" � �?� ���R)-����+*� ����)*�,:K<?D��3���Q��+1��$G� �F�,������" �C�#" ����2d>C)1��D;��+-�(�\��)-�Z� � ����)-��+1�wB � � ����)-��+1�R�S"(+1+-)*��)-" � ��:

M ���(�\�?�,� 2G��W'�S)-���0�7��& ���0�?2@��)-& ���'�,+-4 "(��)1��D�$ >?� �K2@��& ��+1"(���32U:=<?D��F��& ���0�72���)-& ���'�,+-4 " ��)1��D�$j��� �'��",�?��)-$9�;B+*����Q"0����)1+-+*���)-" ���?" �C4 �6�a&�) �\.'� � 2;2@"����C� ",�I$G"@2@��+ ��" +-+1)*��)1"(� �?>7��+1+ ����"(��4 D8��"'��)-$9��+*����Q� ����������d�#" ��$G�,��)-" � �� ?� :W )1��D ��D��[$G"@2@)l�����,��)-" � �52�)-���S� ������2 )1� ����� ��)1"(�W< J VHT���+1)-& �;��D ��5��D��;��& ���0�52���)-& ��� ��)1$H��+*���)-" � ��� � )-� ��+1� 2��"(���S)-+-+-�,��)-" � �Z�,� 2V4 �6�a&�) �\.(:eM $/"(���/�SA ���S��)-& �/>E�a.[" �!$G"@2@��+-)1� 4;��" +-+1)*��)1"(� �F$H� ���RTB�G)1$G��+-��$G���(����2V)1�P" �62@���F��"��)1$H��+-�,���R� �,���������8�#"(��$5���)1"(� ��:

M ��)-$G�R2���)-& ���8��)1$H��+*���)-" ����D �,�C)1� ��+1��2@���C"0����)1+-+*���)-" ���7� � 2�4(���a&�)1�\.G>E�(�E� +-��"G2@��&(��+-" �B��2U:=<?D��Z��)-$G�e2@��)1&(�����)1$H��+-�,��)-" � )*�/��",�G���3�,��+1.c� �H���(�\�5� �9��D��8��&(���0�52@��)-& ��� ��)1$H��+-�,��)-" � � � 2 ���,� ��",�5��)-$9� +-�,����$5� �0.c���,����)*�S+-����:W )1��Dc��D���$G"@2@)l�����,��)-" � �/2@)*����� ������2h)-� �����S��)-" �%X@J VQTB��+-)1��& �5��D ��H��D�����)-$G�d2@��)1&(��� ���,�cTB�d�����32c���f:`<?D �����$G"@2@) �B�����)1"(� �G$5�a. ��" ���6D �,��4(����D��[����$9TB����",�����,����)*�S+-���/��D���5��D �;��)-$/�X2���)-& ��� ��)1$H��+*���)-" � ��� � ��)-$9��+*����TB����� � ���7" ��$G��$G" ��.Q����������)-�S��)-" � ��: <?D��C��" +-+1)*��)-" �H$G"�2���+@)-�9��D��E��)-$/�I2���)-& ���H��)1$H��+-�,��)-" �H>E�(� �3� ��.R��"Z)1$G��+-��$G���(��,��2`��� �VTB�G� ����2[��"8�(���������,����+1.X��)1$H��+*����G��" $G�H� ��"(��������)1�3�F" �74 �6�,����+*�,��$5�������)*�,+*�� 3�< :JW ) ��DP� �P�(2�2@)1��)-" � � +������$%)-�'��D��Q�S"(+1+-)-��)-" �'$G"@2@��+ JPV!��D�" � +-2�T��R�,T�+-����"G��)-$9��+*�����������������'�#"(��$5���)1"(� �7)1���\>7"/2@)1$G��� ��)-" ���7)1���H+*�,��4 ���� " ��4(Dd����$HT����C",�N� �,����)*�S+-���C���,�8T��e��)1$H��+*����32%�l3w?� :

� � ��� �>��� ( �2� v � $ �,���

VK>E" ��+*2'+-)-k ����"H��D � ��kT9X�����Y7D�" �@����)-kG�#" �C�,+-+ ��D��RD���+-�8D���D�� �E4 )-& ���'$G� : V \ &(��+-��� ���0�C�e+-",�I�,TB" ���?��" $G���@�����6�)-�V�'&(����.8��D�"(������)-$/�G��� �,�f:~V \ 2X�,+*��"�+-)1k(�e��"���D � ��kVY7D���)-�U�0�,$G���F�#" �Zk ������)-��4'$G�G��� ���H� � 2[&�,� 2 �,+-)���)1��4d$9.�S"($G���@�����C>CD����>VE�����32@��2d)1�C��D��Q$G"(����:

� �dsC� z �,� � �d

�l3�{�e: 9 : �(� ��4(���3J@�U: :Q:�bF� 4 ��+LJ�� � 2>:Q: @N:�gE��D���)-��4 ����JP:C��&0)-��> ",� 9["@2@�����>@KD�.@��)*����J [(b J 3 2 XCG�Q 3�G}G � T� 2 �5E: 9[��+-" J;@N: 1I$HT �,� D�">E� ��J@� � 2n�9: =K:B��>C)1� ����.(J @KD�.@��)*��� + :C��&�)-��>Z= �S�������6��J(E 2

�Ja3ME 2 Q 3�G}GC? T

� <�{�e: �G:;@=� k J��,� 2F:Q: @N:�gE��D ��)-��4 ����J;@!D�.���:P:C��& : = �S����:-J ] J 3&fm< 2 Q 3�G}G}< T� ?�HY�:g7)���"(�fJM9c:�79:,��D �,����� �6k JC� :agZ:�@>C) � �3JUW :�7H:M9X�3Y7"(��$G)*�6kZ� � 2{�9:�=!:a�@>C)1��� ��. JC@!D�.���)*���,+$:C��&�)-��>!= �S�������6��Jb(O J XmENQ 3�G}Gmf T

� X��5E: 9[��+-" J;@N:�g�: 1F$9T � ��D�">?�,�3J@�,� 2|�e: =!:���>C)-������. J @!D0.@��)-���,+ :C��&0)-��> =f������������J ]-Y J;<mf}<mfNQ 3&G}G$X T� � �� :�g�:��R� )14(D(�3JF�e: 9 : �(� ��4(���3J�� � 2;� : :Q: b��,4(��+ J;@KD�.@��:;:C��& :;=f�S����:-J ](O J;</E 2 f�Q 3�G}Gm< T� E�@N:;6K&(����i(� �R� � 2F� :;:I�����6D�����T �(�6DfJ 3&Gmf}G J$@!D0.@��:;:C��& : = �S����:-J [-� JP?}? Q 3&G}fmG T� f��9c: 9X� ��)-�fJ;7H: :C)*����" J�� � 2>@N:�Y7" �62@����" JP�(" ����� � +B" �=Y7"($/� �@���,��)-" � � +a@KD�.@��)*����J /O� J;<}o � Q 3�G}Gm< T� G�egZ: � :�MF+-2����F� � 2d<R:(6I:LWh�,)-����)-4 D0�3J;� "(�������,+ ",�!Y7D���$G)*��� +a@KD�.@��)*����J Ha J;?$X}GNQ 3&G$XCG T�l3&o�QD0�����ae ���aD )-����� : � )-����: 4 "& �2 � 2�� �

3�E

Page 20: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

�l3}3�egZ:;7H: =f��T�� �6D���&���k�. J;�(" ����� � +B" �=Y7"($/� �@���,��)-" � � +a@KD�.@��)*����J � Q J 2 XmX-Q 3&GmG;3 T�l3 2 �:Q:*��:X�@� 2@����J : � "#� �m� " @� 0 � � � " @����� � �-'�L " ������� � ����� � ��� � � " `-� �M��� ��� �O ���5��� � �,����G�M� �/ ����&��� J;6K+*����&0)-���D@!��T�+-)-��D����6��J�MI$5�\�����62��,$;J 3�G}G}G

�l3&<� �G:;9c:�MI" k�)f� � 2;<R:�MIk�)1.0�,$5��J;@!D�.���)*���,+ :C��&�)1��>Z6IJ Y(� J;< 2 f}f�Q 3&GmGmX T�l3w?� �G:;9c:�MI" k�)f� � 2;<R:�MIk�)1.0�,$5��J;@!D�.���)*���,+ :C��&�)1��>Z=f���������6��J ]-] JP? 3 �m� Q 3&GmG � T�l3�X�R�#��" $%��D��Q+*��"@2��G��" ���6�S�R�S"@2@�(J �a&�,)-+-� T�+1���#��" $D(�����ae ���+-� ��+*� �S�(: � D0.@��)-����: ��T �,: �����M@N��"(��+-� �a$5�,��� �,< �3� �6D�)-��4 ��G}fC5��,+-+ �C@=D�.P< 2 G���7F"@� �a"�2@� �,����� "@2@��� �(�6k �a+*��"@2�� : �

�l3 � QD0�����ae ���a$5�,��D�>7"(��+*2U: >7"(+ �#�6�,$;: �S"($ �,MF2�� $5� 9[����D�"@2U: D0��$G+

�l3�EQD0�����ae ���a$5�,��D�>7"(��+*2U: >7"(+ �#�6�,$;: �S"($ �,bI��>?��" ����g?� �6k�>?�,��2;7F)1A ������� ���&5�"(��$H��+*�@: D0��$/+

�l3&f��7���:;9`����ZY7D " �@����)1k8��� �dTB�e�S"(�(�6� �S����28�� pq2�464���c 2_0�c 2Aa_7� 0�\�d�!� �a�!�� ��]_a�Xae2

� � ������� ���

� *-,y�,� � . z q ,��,� / q $ x ( " � q ���������*�

Y �S"@2@�7�#" ����D��7��& ���(�=2@��)1&(���9��)-$9��+*���)1"(�f: WP��) �������9�#��"($ �������,���6DeT�.Q$H.�����+1�\J� ��)1� 4F��D��C�,+-4 " ��)1��D�$ ",�-9X�,��)1� J:C)*����"5�,� 2[Y7" �62@����"�� f

��� ,.����� �D%H�� � �7:<% 8� + %&���(�� �������������'�$�����! �"$#&%��'���(�9)�����8���������1�P:���������! �"$#&%�#�"�'(�*)�#!�,+.-%���������! �"$#0/$��1$2!3$'�#54!6,+7-(8���������! �"$#0/!6(4*3�-9+.-(8���������! �"$#0/$2!3$"$����:,+.-(8���������! �"$#0/$2!3$"5"�#*;<+.-(8���������! �"$#0/$2!3$"��51=+.-(8���������! �"$#&%>:(�$��:�2+.-�%���������! �"$#&%�#*)�#!��3$?��52!3,+.-�%���������! �"$#&%!���$3$?(�52!3<+.-%��1!��2!30"$1! $:(�5#A@CBEDGF=+>H!I(H*J5K$L5M5J5F5MN��1!��2!30"$1! $:(�5#POQD0RS+TR�KN U5UAO���4!6(#*3(#*'G1*;V35-(#AW(4�'53(�5���$#$2��1!��2!30"$1! $:(�5#EX$Y�Z5[5[GDQH\N U5UG�!�(#5�54$2*3(�5�E��15�$�$�525��1*�VW(4*'�4*6$3�#*'���$30]�^�?$Y5Y�@�_EDQH*R5R5R5R5R$R5R5R5RN U5UV�G1*;03(�!6(#$2P3�-�'�1! �`*-G3�-(#A6C4$���a�51$1!W��1!��2!3a25�*b�#5^*3V]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_EDaF�R5RN U5UV�G1*;VW(4�'53(�5���$#$2��1!��2!3a���$3G]�^�f5X5Z$?5?$_EDQH!RN U5UEe�-C#E�G1*;&��#5�5��2V���G35-(#EgG4*��"Vh0"(�!'�#$�!3C��1!���1!��2!3a���$3G]�^*i$X5Z$?5?$_EDQH!RN��1!��2!30"$1! $:(�5#Ef$^$_*@$c5X(B!]$jVDQH�N U$UEe�-(#Ek(�*"�3�-&1*;V3�-C#VgG4*��"Vha�5#5�5�$2��1!��2!30"$1! $:(�5#Ai�^$_*@$c5X(B!]$jVDQH�NU5UVe�-(#025��b$#V1*;G3�-(#V"�1!6(4$���&�52U5Umln]�^�f5X5Z$?5?$_$o�f$^5_*@$c$X(B�]$jpq]�^�i$X�Z$?5?�_$o!i�^5_�@$c5X(B�]�j(r���$30'�4!��"$1*6(^54$252$�*`*�GDaH�N U5UG�*;=ln'�4!�("$1!6(^54�2525�*`*�\rs4�2525�*`*�tB!Xu>2A'�4!��"$1*6(��hU5U0#$�$2�#A;(�5�5�A3�-(#0"$1!6(4����0;5'�1*603�-(#E:(1*353�1*6V 5W���$3G"�3(��6(#0DaH\N U5UG�*;=lv"�3(�!6(#�rA��151�'$"����(4�3�#$2E4*'(#V1! $3�W$ $3a4*30;(�*g$#�"U5UE3C��6(#02!3(#!WC2�pw"53"$1! $:(�5#PW�"53(��6(#EDGRN U5UE)(4*'(��4!:C�5#P C2�#5"G���a"(�525�!'�#�3�#P3(��6(#G1! $3�W$ $3��1!��2!30"$1! $:(�5#E"�3aD0RS+>H\N��1!��2!30"$1! $:(�5#A;(�!�C�52�-(^�3(��6(#ED&H!R5R5R=N U5UG�*;=lv"�3(�!6(#�r\px25�!65 (�54*3C��1!�0k(�5�5�02!3�1*WQ4*3V;C���C�52�-C^*3(��6(#���$3G`$�!:5W5WQDaH\N U5UE;(�54�`E;�1�'G"$4*3(4V1! $3�W$ $3

3&f

Page 21: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

U5UEO(#*;(�����!3(��1!�G1�;a#*)�#*�$3V3$h*WC#$2��1!��2!3a���$30O5O�XVD&H\N U5UAO��52����!O��52��G��15�$�$�525��1*���1!��2!3a���$30O��$XVDaLN U5UAO��52������(45�5�V��15�$�$�525��1*���1!��2!3a���$3���$XVDaFN U5U�C�!'53� (4$����45�5�G��15�5�$�$25��1!���1!��2!3a���$3G] ��?VD���H\N U5UEZ$'5'�1*'"$1! $:(�5#PW(4�'53(2��7](^*@$c�d5e�B!X5?�Z�_���nJ �N U5UEe5-(#02!3�4�3�#V1*;G3�-(#G2�h�2!3�#!6&�52���#!W�3Q���VWC4*'53(2U5UE[(1*'EW(4*'$3(�5���5#G���U5UVg0DmlTW(4�'53(2��v� ���TR�pqWC4*'53(2�� ����� H��CrU5UE)GDmlTW(4�'53(2��v� ���nL �pqWC4*'53(2�� �����nF �CrU5UE3(4! GDEWC4*'53(2�� �����TI���1!��2!3a���$3aX�Z$?5?�$c�e5dCB*f$^�?�Z5]�j�e�EDQH!R$RN U5UA6(4�g0�a1*;0"��$2��(20�!�a4G��#$�5���1!��2!3a���$3G]$c�d5d(^�?�Z5]$j5e�VDGK$o�X�Z$?5? ��c�e5dCB!f�^�?�Z5]$j5e�=N U5UE6(4�gV�a1*;V�(#��*`*-5:(1* $'(2A4V"(�52��a��4*�0-(4*)(#���$3Q��#5�5�!6C4*35'(�*g��7]�^�f5X5Z$?5?$_ ���7]�^*i$X5Z$?5?$_ ���TX�Z$?5?�$c�e5dCB*f$^�?�Z5]�j�e���N U5UE35-(#P6(4*3$'(�*gE3�-C4*3���#$#!WC2P35'(4$���G1*;U5UEk5-(4*3a��#$�5�A3�-(#0"��52��C2E4*'�#a���#*)�#*�$35]�1�"�#0o5o��51���45��?��$2!3=N U5UG2*3�1*'�#$2V45�5�PW(1�3�#!�$3(�545�V#*)�#*�$3(2P;�1�'a#54$�!-G"��52�����$3GX��7]�^*@�c�d5eCB!X$?�Z�_ ��](^�f5X�Z$?$?$_ ��]�^�i$X�Z$?5?�_ �$L �N>U5U -C1*kE6(4!�(hE-(4*'�"G��15�5���525��1!��2E4*'�#V4�252�1$�5�54*3�#�"U5UEkC�!3�-a#54���-VW(4*'$3(�5���5#S+���$30[5Z$?��nL�o!]�^*@$c5d5eCB!X5?5Z�_��H��=N U5UE[5 $3� $'�#EZ5)�#!�$3C2A?��52!3Z5)�#*�$3ao��!6C�N U5UEe5-(#V�51$�545�P6C������6(40���52!3<+U5UA-C15��"�2P35-(#P6C������6(40#�)�#!�$3G4�252�1$�5�54*3�#�"Ak(�*3�-U5U0#�)�#*'$hV"(�52��

U5UVd�#*3� $'5�C2P3�-(#G��15�5�$�$25��1!�03C��6(#P:(#�35k�#5#!�G35k�1AWC4*'53(�5�5�5#$2sW(4*'$3(�5���5#(HA4!��"VW(4*'53(�$���5#5L"$1! $:(�5#A3�:C45�5�l>�!�$3EW�H\p ���$3VWCL�r��"�1! 5:(�5#04p :Sps��N"�1! 5:(�5#AW(1$2$H!R��nL �p WC1$2�L�R��vL �N�!�$3a��N45D5RN:(D5RN��D5RNU$U���45�! C#$2 �(#5#5"$#�"V3(1E"$#$�5��"$#Ak�-(#�3�-(#*'G4a��15�5���525��1!�Gk(���5�P-C4!W5W(#!�Q1*'V�(1�3U$UPW(1$2$H*R����04!�("EW(1$25L�R����04�'5'�4�hG�545�$�� (�$4*3(��1!�;(1*'=l>�*D$RN>��/5LN>����(r �WC1$2$H!R�� ���5D*W(4�'53(2��.W\H����v�����*W(4*'53C2��.W�H����v���$L �(o�lT6(4�g=lTW(4*'53C2��.W�H����nI�pTW(4�'�3(2��.W(L���TI �(r��*W(4*'53(2��7W�H����TI��(r�NWC1$2�L�R�� ���5D*W(4�'53(2��.WCL ���v�����*W(4*'53C2��.W(L ���v���$L �(o�lT6(4�g=lTW(4*'53C2��.W�H����nI�pTW(4�'�3(2��.W(L���TI �(r��*W(4*'53(2��7W(L ���TI��(r�N�U$U0��45�$�! (�54*3(�51!�a1*;E:;(1*'=l>�*D$RN>��/5LN>����(r �:(D*:��lTWC1$2�L�R�� �����!W(1�2$H!R��v� �(r�o�lTWC4*'53(2��7W(L ���v� �$L ���!WC4*'53(2��7W�H����n����L �(r\N�U$U0��45�$�! (�54*3(�51!�a1*;G4;(1*'=l>�*D$RN>��/5LN>����(r �4�D$4 �lnW(4*'53(2��.W(L ��� ���$L ���*W(4*'53(2��.W�H���� ���$L �(r5o�lTW(4*'$3(2��.W(L���v���$L���!W(4*'$3�2��.W�H����v���5L �(r�N�U$U0��45�$�! (�54*3(�51!�a1*;a�;(1*'=l>�*D$RN>��/5LN>����(r ��*D����lnW(1$2�L�R��v�����!WC1$2$H!R�� ���(r�o�lnW(1$2�L�R��v�����!WC1$2$H!R�� ���(r\N� ��D�� �!OCo!OSNU$UPO(#$�5��"$#0�!;G3�-(#G�515�5�$�52$��1!�Vk(���$�A-(4!W$W(#!�a1*'V�(1*3�*;=l5lT:(/5D5R(r� =l5lT:Co�:!�54$o5�$r�8�D5R(r5r �"$1! 5:(�$#E3(��6C#N3(��6(#�D=l"�!:#�$2 $�'53=lT:�o�:#�54$o$�$r5r*U54N�!;=ln3(�!6(#5/�R(r ���1! �3�/5/C% ](#�`$4*3(�*)�#P3(��6(#V;�1*'E:C45�5��!:C45�5�0��1$�5�$�525�51!�&%�'!�%CN��1! �3�/5/C% @(4*'53(�5�5�5#�H��('*��%�/5/C%�'*3�W(1$2$�!3(��1!�&� l�%!/5/!W(4*'$3(2��.W�H����TR�$/$/C%Cp�%�/$/!W(4*'53C2��.W�H���� H��$/5/�%*r�'!��%�N��1! �3�/5/C%�'�35)�#5�51��5�!3$h��Pl!%�/5/!W(4�'53(2��.W\H����nL ��/5/C%Cp�%!/5/!W(4*'$3(2��.W�H����nF �$/$/C%*r�'!�%CN��1! �3�/5/C%�'�353�4! )� %�/5/!W(4�'53(2��.W\H����TI��/5/C%�'!�%CN5N��1! �3�/5/C%�'*��%CN��1! �3�/5/C% @(4*'53(�5�5�5#5L��('*��%�/5/C%�'*3�W(1$2$�!3(��1!�&� l�%!/5/!W(4*'$3(2��.W(L���TR�$/$/C%Cp�%�/$/!W(4*'53C2��.W(L ��� H��$/5/�%*r�'!��%�N��1! �3�/5/C%�'�35)�#5�51��5�!3$h��Pl!%�/5/!W(4�'53(2��.WCL ���nL ��/5/C%Cp�%!/5/!W(4*'$3(2��.W(L���nF �$/$/C%*r�'!�%CN

3&G

Page 22: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

��1! �3�/5/C%�'�353�4! )� %�/5/!W(4�'53(2��.WCL ���TI��/5/C%�'!�%CN��1! �3�/5/C%�'*�#'!��%CN��1! �3�/5/C%�'$4C%CN#�g��*3=l H5r\N�'�#*3� $'5�G3(��6C# �*6(4�g=lTW(4*'53C2��.W�H����TI�pTWC4*'53(2��7W(L ���TI��(r\N

�#$�$2�#'�#*3� $'5��� ��j5Z�^��$c5?=N�

U5UG_5#54*'(�!-(#$2 3�-(#a��#5�5�A6(4*35'(��gE;�1*'Q4AW(4*'$3(�5���5#px�)�1$��"G2�#54*'C��-(^$��#$�5�5^!6(4�35'(�*gl ���$30�*"��52��=p ����3a��#5�5�����(r���5#5�5���TR��5D���H\N�5#5�5��� H��5D���H\N;(1*'=l>����3a�*D5RN ��/*]�^�f$X�Z$?5?$_N>����(r �;�1*'=l>�!�$3���D5R=N��5/*]�^�i$X�Z$?5?�_N�� ��Cr���!;=l ���$3�^$25#54*'(��-<l>��#5�5�*6(4*35'(��g��v������� �p>�*"(�52��=p X�Z$?5? ��c�e5dCB!f�^�?�Z5]$j5e�Cr�%7D���H5r����#5�$���TR�5D(��N��#5�$��� H��5D��N�

�� �*;=l5l>��#$�5���TR�$D5D���H5r�����l>��#$�5��� H��$D5D���H5r$r����1! $3�/$/C% c*�Q�!�$)�45�$��"V"��52��0�5 565:C#*'Vk�4$2PW(4$252�#5"E3�1$2�#$4*'(��-(^���#5�5�5^*6(4*35'(��g�%�'!��%�N��1! $3�/$/C%*B �$)(45�$�*"V"(�52��E�5 $65:(#*'a�$2��s%�/$/$�*"��52���/5/C%�'*��%CN��1! $3�/$/C%�'54'*�#'!��%CN#�g��!3=l H5r\N�

U5UVd�#*3� $'5�C2P3�-(#G��15�5�$�$25��1!�03C��6(#PW$'(#�"��5�!3(#�"E;�1*'VW(4*'53(�$���5#Ak(�*3�-Q4Ak(45�5�U5UVd�#*3� $'5�C2P3$h*WC#V1*;Q�515�5�$�52$��1!�)��O���XG1*' ���$XU5UVd�#*3� $'5�C2Pk�45�$�P�5 565:C#*'G1*;G3�-(#0��1$�5�$�525�51!�"$1! $:(�5#A35k(45�5�l>�!�$3EW(4*'$3=p>���$3� G��15�5��3$h*W(#px�!�$3� Vk(45�5��r��"�1! 5:(�5#Ek�45�5�5^*W(�54$��#N�!�$3a��#5�$���nL �N"�1! 5:(�5#E3(��6(#N�!�$3V3�1!W<N�!�$3V'(�*`�-$3=N3(1!W�D5RN'C�*`*-$3$D$RN3C��6(#�D��(H+TRNk(45�5��D��(H\N25#54*'(��-C^$��#5�5�$^!6(4*35'C�*glTW(4�'53=p>��#$�5��r\N�*;=lTW(4*'$3(2��.W(4�'53����nL�$8�D5R(r �'(�*`*-$3�D(H\N� �*;=lTW(4*'$3(2��.W(4�'53����nF�$8�D5R(r �3�1!W�D(H�N�U$UAe�-(#0IVk�45�$�$2E4$25251$�5��4*3(#�"Ak(�!3�-&4V"��$2��a��� ��#5�5� ln�SpT6�rU$UV4*'�#mln]��*�Spw]��*���(H�p ]���]�^5f5X�Z$?5?�_ �*6��(H�p ]��5f5X�Z�?5?$_ �*6#�$L�rU$UAe�-(#Vk�45�5�$2V45�51!��`V3�-(#Vh��54�g��52A;(�!'(2!3U$UV1!�(��hQ��1!�C2$�*"$#*'V35-(#A'(�*`�-$3Vk�45�$��*;=ln'(�*`�-$3Cr��k�45�5�5^*W(�54$��#5Dl>��#5�$���TR��CH5r�o*f$^$_*@$c5X(B!]$jN��15�5�*3�h*W(#�D*O��$XNk�45�5��D5]�^�f5X�Z�?5?$_ ��](^*@$c�d5e�B!X5?�Z�_N3(��6(#�D=ln]�^�f5X5Z$?5?$_$o�f$^5_*@$c$X(B�]$j��*W(4*'53(2��.W(4*'53����TR���*O(U5L�r*U*W(4*'53(2��.W(4*'53����nL �N�!;=l5l5lvk�45�5�5^*W(�54$��#��!W(4*'53C2��.W(4*'$3����TR�Cr*U!W(4*'$3(2��.W(4�'53����nL�(r*/*3(�!6(#�r����15�$�*3$h*W(#5D ��$XN3(��6C#�Dlnk�4$�5�5^!W(�$4$��#�!WC4*'53(2��7W(4*'53����TR�(r*U*W(4*'53(2��.W(4*'53����nL �Nk�45�$��D���#5�$���TR��5]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_ �(H\N�

2 o

Page 23: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

U$UV1!�(��hQ��1!�C2$�*"$#*'V35-(#V�5#*;$3Vk�45�5�#$�$2�#�k�45�5�5^*W(�54$��#5D5"$1! 5:C�5#l>��#$�5���TR�Cr�o*f$^5_�@$c5X(B�]�jN��15�5�*3�h*W(#�D*O��$XN3(��6(#�D=lvR��!W(4�'53(2��.WC4*'53����nR��*O(U$L�r*U!W(4�'53(2��.WC4*'53����vL �Nk�45�5��D5]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_N�!;=l5l5lvk�45�5�5^*W(�54$��#��!W(4*'53C2��.W(4*'$3����TR�Cr*U!W(4*'$3(2��.W(4�'53����nL�(r*/*3(�!6(#�r����15�$�*3$h*W(#5D ��$XN3(��6C#�Dlnk�4$�5�5^!W(�$4$��#�!WC4*'53(2��7W(4*'53����TR�(r*U*W(4*'53(2��.W(4*'53����nL �Nk�45�$��D���#5�$���TR��5]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_N�

U$UAk�45�5��2V45�51*��`Vg��545g��52 �(#5g�3U$UV1!�(��hQ��1!�C2$�*"$#*'V35-(#A3�1!Wak�45�5��*;=ln3�1!W\r���!;=l5l5lv]�^*i$X�Z�?5?$_$o!i(^5_*@$c5XCB�]$j��!WC4*'53(2��7W(4*'53���� H����!OCU5L�r*U!WC4*'53(2��7W(4*'53����TF �(r*/*3C��6(#$r��3(��6C#�Dln]�^�i$X�Z$?5?�_$o!i�^5_�@$c5X(B�]�j��!W(4*'$3(2��.W(4�'53���� H����!O(U5L(r*U!W(4*'$3(2��.W(4�'�3����nF �=N��15�$�*3$h*W(#5D*O��$XNk�45�$��D���#5�$��� H���5]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_ ��]�^�f$X�Z$?5?$_�$LN�k�45�5�5^*W(�54$��#5D5"$1! 5:C�5#l>��#$�5��� H����(H5r�o!i(^5_*@$c5XCB�]$jN�!;=l5l5lvk�45�5�5^*W(�54$��#��!W(4*'53C2��.W(4*'$3���� H��Cr*U!W(4*'$3(2��.W(4�'53����nF�(r*/*3(�!6(#�r��3(��6C#�Dlnk�4$�5�5^!W(�$4$��#�!WC4*'53(2��7W(4*'53���� H��(r*U*W(4*'53(2��.W(4*'53����nF �N��15�$�*3$h*W(#5D ��$XNk�45�$��D���#5�$��� H���5]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_ ��]�^�f$X�Z$?5?$_�$LN�

�U$UV1!�(��hQ��1!�C2$�*"$#*'V35-(#P:(1*3$3�1!60k�4$�5�#$�$2�#��!;=l5l5l R��!W(4*'$3(2��.W(4�'53���� H���*O(U5L(r*U!W(4*'$3(2��.W(4�'53����nF�(r*/*3(�!6(#�r����15�$�*3$h*W(#5D*O��$XN3(��6C#�DlvR��*W(4*'53(2��.W(4*'53���� H����O(U5L�r*U*W(4*'53(2��.W(4*'53����nF �Nk�45�$��D���#5�$��� H���5]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_ �(H���](^�f5X�Z$?$?$_N�k�45�5�5^*W(�54$��#5D5"$1! 5:C�5#l>��#$�5��� H��Cr�o!i�^5_�@$c5X(B�]�jN�!;=l5l5lvk�45�5�5^*W(�54$��#��!W(4*'53C2��.W(4*'$3���� H��Cr*U!W(4*'$3(2��.W(4�'53����nF�(r*/*3(�!6(#�r����15�$�*3$h*W(#5D ��$XN3(��6C#�Dlnk�4$�5�5^!W(�$4$��#�!WC4*'53(2��7W(4*'53���� H��(r*U*W(4*'53(2��.W(4*'53����nF �Nk�45�$��D���#5�$��� H���5]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_ �(H���](^�f5X�Z$?$?$_N�

� �*;=ln3(��6C#5/�R(r����1! $3�/$/C%�'!�#'*�$e5'�1! $:(�5#V��45���� (�54*3C����`E3�-C#Ak�45�5�G��15�5�$�$25��1!�03C��6(#�%�'*�#'!��%CN��1! $3�/$/C%>W(4*'$3(�5���5#a%!/5/!W(4*'$3�/5/C%�'*��%CN��1! $3�/$/C%>W(1$2$�!3(��1!�&� l�%�/5/*W(4*'53(2��.W(4*'53����TR�$/$/C%Cp�%�/$/!W(4*'53C2��.W(4*'$3���� H���/5/C%*r�'*��%CN��1! $3�/$/C% )�#5�$1$�5�!3$h�� l�%�/5/*W(4*'53(2��.W(4*'53����nL �$/$/C%Cp�%�/$/!W(4*'53C2��.W(4*'$3����nF ��/5/C%*r�'*��%CN��1! $3�/$/C%!��#5�$��� l�%!/5/$��#5�$���TR�$/$/C%Cps%�/5/���#5�5���>H��$/5/C%�r�'!��%CN��1! $3�/$/C% 3�4! &� %�/5/*W(4*'53(2��.W(4*'53����TI�$/$/C%�'!��%�N��1! $3�/$/C% 3(��6C#�� %�/$/*3(��6(#$/5/C%�'!�%CN��1! $3�/$/C% k�45�$��� %�/$/*k�45�5�$/5/C%�'!�%CN�!;=lnk�4$�5�5/�Dl ���$3=ln](^*@$c�d5e�B!X5?�Z�_(r���]�^�f$X�Z$?5?$_(r5r����1! �3�/5/C% k(45�5�PW(1�25�!3(��1*�)� g0Dt%�/5/lvk�45�5���]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_�r�o*f$^$_*@$c5X(B!]$j$/5/C%�'!��%CN5N�#5�$2�#���1! �3�/5/C% k(45�5�PW(1�25�!3(��1*�)� h0Dt%�/5/lvk�45�5���]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_�*]�^�f$X�Z$?5?$_���H5r�o!i(^5_*@$c5XCB�]$j$/5/�%�'!��%CN� ��1! $3�/$/C%�'!�#'*�#'54C%CN#�g��!3=l H5r\N

�'(#*3� $'��G3(��6(# ��W(4*'53(2��.W(4*'53����TI�N�

U5UV[5'�#5#V#�)�15�! $3C��1!�a1*;V 5W�"$4*3(#A3�1E3C��6(#A3�4* 0W(�! �2P3�W(�! �2�p 3�-(#*� 5W("$4*3�#$2A3�4! )�1$��"E;5'�#5#�)=l>���$3V 5W�"$4*3(#pw"$1! $:(�5#A3�WC�! C2$r��;(1*'=l>����3a�*D5RN ��/5LN>� ��(r��WC4*'53(2��7 5W�"$4*3(# ���v���$D*W(4*'53C2��. 5W�"�4*3�# ��� �����3�WC�! C25o�WC4*'53(2��7 5W�"$4!3�#���v���$L�N�

2 3

Page 24: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

WC4*'53(2��7 5W�"$4*3(# ���TI�$D*W(4*'53C2��. 5W�"�4*3�# ���nI���3�WC�! C2�N�

U5UG1! $3�W5 �3(2P3�-(#Vga��151�'(�*"����C4*3�#E1*;G3�-(#E"��$2��a4*303(��6(#V3�4! ��03�W(�! C2U5U0"$15#$2��<un3E 5W�"�4*3�#A3�-C#02!3�4*3(#V1*;035-(#AW(4�'53(�5���$#"$1! $:(�5#A;5'(#5#*)$gl ���$3E 5W("$4*3�#px"$1! 5:(�$#A3�W(�! �2$r��'(#*3� $'��0W(4*'53(2��. 5W�"$4�3�# ���TR����3�W(�* C25o�W(4�'53(2��. $W�"$4*3�#���nL �N�U5UG1! $3�W5 �3(2P3�-(#Vha��151�'(�*"����C4*3�#E1*;G3�-(#E"��$2��a4*303(��6(#V3�4! ��03�W(�! C2U5U0"$15#$2��<un3E 5W�"�4*3�#A3�-C#02!3�4*3(#V1*;035-(#AW(4�'53(�5���$#"$1! $:(�5#A;5'(#5#*)$hl ���$3E 5W("$4*3�#px"$1! 5:(�$#A3�W(�! �2$r��'(#*3� $'��0W(4*'53(2��. 5W�"$4�3�# ��� H����3�W(�* C25o�W(4�'53(2��. $W�"$4*3�#���nF �N�

U5UE6(4���#$20���C2�4!��3�4!�(#51* C2E��-(4!�(`$#$2V2� �;5;�#*'�#5"A:�hE-C4*'$"G��1$�5�$�525�51!�a1*;Vk(45�5��"��$2��Vk(�!35-Gk�45�$�)�1$��"Ek�45�5�$#*)=l>����3Vk�45�5�5"p ���$3Gk�45�5�(r��U$U��(�!3(20�5#*;53a1*'0'(��`*-$3Vk�4$�5��*;=l5lnk�4$�5��D5D��!�$3=ln]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_�r$r ����lnk(45�5��D5D(���$3=ln](^*@$c�d5e�B!X5?�Z$_ �5]�^�f5X�Z�?�?$_�r5r5r �W(4*'53(2��7k�45�5�5"���nL �$D��!W(4*'$3(2��7k�4$�5��"���vL �N�U$U��(�!3(2E3�1!Wa1�'V:(1*3$3�1!60k�4$�5�#$�$2�#0�!;Sl5lnk�45�$��D5D�]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_ �5]�^�f5X�Z�?5?$_ �(H$r ����lnk(45�5��D5D5]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_���]�^�f5X5Z$?5?5_ �(H���]�^*i$X*Z�?5?$_�r5r �W(4*'53(2��7k�45�5�5"���nF �$D��!W(4*'$3(2��7k�4$�5��"���vF �N�#$�$2�#���1! $3�/$/C%*B �0;5 5�C�!3(�51!�0k�45�$�5#*)=px4*�&���$)(45�$�*"Ek(45�5�P�5 $65:(#*'Vk(4$2PW(4�252�#�"E3(1A3�-(#V;� 5�C�!3C��1!�&%�'*��%CN��1! $3�/$/C%�'54'*�#'!��%CN#�g��!3=l H5r\N�

U5UVe�-(#0��1$�5�$�525�51!�a1*;0"(�52��CHV4!��"V"��$2���L0�52A6(1�"$#$�5#�"G���a3�-C�52A'�1! $3(�!�(#=+)�1$��"V"��52��(#*)=l>����30"��52���H\p ���$3a"��52��(L�r��"�1! 5:(�5#E)CH �(1*'56)�nL �N"�1! 5:(�5#E)CH �5W$'(1��N"�1! 5:(�5#E)�L!�(1*'56)�nL �N"�1! 5:(�5#E)�L!�5W$'(1��N"�1! 5:(�5#A�(1*'�6)�vL �N"�1! 5:(�5#E)CH�3�4!�(`��nL �N"�1! 5:(�5#E)�L*3�4!�(`��nL �N"�1! 5:(�5#V"��52!3=N�!�$3a��NU$UEg0D lTW(4*'53C2��v�����nR�pqW(4*'$3(2��v����� H��(rU$UA)GD lTW(4*'53C2��v�����vL �pqW(4*'$3(2��v�����nF �(rU$UA3�4! QDEW(4*'$3(2��v�����TI�"(�52!30DGRN;(1*'=l>�*D$RN>��/5LN>����(r �"��52!3aD0"��52*3��EW(1�k=lTW(4*'$3(2��T"��$2���L ��� �����!W(4�'53(2��T"(�52��CH����v���p L(r\N)CH �(1*'56)�v���VD0)�L!�(1�'�6)�v���0DE)CH�3�4*��`��v���0DV)�L*3(4!��`��v� �VDVRN�"(�52!30DQ2�$�'53=l "��52!3Cr�N;(1*'=l>�*D$RN>��/5LN>����(r ��(1*'�6)� ���5D lTWC4*'53(2��n"��52���L���v�����*W(4*'53(2��T"��52���H����v���Cr*U�"��52*3=N�)�H �5W$'�1 �EDVRN)(L!�5W$'�1 �EDVRN;(1*'=l>�*D$RN>��/5LN>����(r �)CH �5W$'(1��EDV)�H �5W$'�1 ��EW(4�'53(2��T"(�52��CH����v���$L �(o��(1*'�6&�v���N)�L!�5W$'(1��EDV)(L!�5W$'�1 ��EW(4�'53(2��T"(�52���L ���v���$L �(o��(1*'�6&�v���N�;(1*'=l>�*D$RN>��/5LN>����(r �)CH �(1*'56)�v���VD0)CH �5W�'�1��$o��C1*'�6)�v� �N)CH�3�4!�(`��v���VDVW(4*'53C2��T"��52��CH����v� �$L � �A)CH��(1*'�6)� ���N)�L!�(1*'56)�v���VD0)�L!�5W�'�1��$o��C1*'�6)�v� �N)�L*3�4!�(`��v���VDVW(4*'53C2��T"��52���L ���v� �$L � �A)�L*�(1*'�6)� ���NW(4*'53(2��T"��52���H����v����L �ED0X$Y�Z5[5[(o�lv)CH�3�4!�(`��v����0)�L!�(1*'56)�v���(r�NW(4*'53(2��T"��52��(L ���v����L �ED0X$Y�Z5[5[(o�lv)�L*3�4!�(`��v����0)CH �(1*'56)�v���(r�N�

2}2

Page 25: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

U5UVd�#*3� $'5�C2E4V�$�$2!3a1*;G"��52��(2G���03�-C#A�(#$��`*-5:(1*'5-(151�"V1*;Q4E"��52��=p �)�1$��"A�(#$�*`�-5:(1*'�-C151�"l>�!�$3(os�(4*'$'=p ���$3&�*"��52��Cr���!�$3a��#5�$�5^51*;�^��*"��52��)�nL �N�!�$3�^$���$#54*'=lT�C4*'5'=p ]$c5d5d�^�?�Z$]$j�e�Cr�N�5#5�5�5^51�;�^$�*"��$2����TR�$D���H\N�5#5�5�5^51�;�^$�*"��$2���� H��$D���H\N25#54*'(��-C^$��#5�5�$^!6(4*35'C�*gl>�*"(�52��=p ��#5�5�$^51*;�^$��"��52��Cr�N;(1*'=l>����3a�*D���#$�5�5^51*;(^$�*"��52����TR���(H\N>��/$�5#5�5�5^51�;�^$�*"��$2����TR���$LN>�����(r��;�1*'=l>�!�$3���D��5#5�5�5^51�;�^$�*"��$2���� H�����H\N��5/���#5�5�5^$1*;�^$�*"(�52���� H���$LN����(r���!;=l$l��58�D5RCr� l>�58�D5R(r� � l>��/�D=ln]�^�f5X5Z$?5?$_�(H5r5r� =l��5/�Dlv]�^*i$X�Z�?5?$_��H$r�r5r�����$3(^! 5�C��1*�SlT�(4*'$'=px��#5�5�*6(4*35'(��g��v������� �p ]$c�d$d�^�?�Z5]�j�e�=p X�Z�?5? �$c�e$dCB!f$^�?5Z5]$j�e��r\N�

�� �!�$3�^*'�#*6(1*)�#ln�(4*'5'=px��"��52��=pw]$c�d5d�^5?�Z5]$j�e��Cr\N

U5UVe�-C�52P'(1! $3(���C#0�52P �2�#�"E3�1a��-(151�2�#A3�-(#E;(�!'(2!3a#*)�#!�$3Q1!�(��h)�1$��"G�!'�#54�3�#5^$��:�3=l r��U$UGB�;V�$ 565:(#*'a1*;a�5#$4*)�#$2V�$2E1�"5"p 1�"5"A6C4!�Q1! �30`$#*3(2AW$'�1!6C1*3�#�"EkC�!3�-U$UP�(1G�51!65W(#*3C�!3(��1!�a�!�G;(�!'C2!3V'�1! $��"�!�$3V;�#5�$^5�N"�1! 5:(�5#A6C���(^*3C��6(#N;(#5�5^5��D�L$o!]�^*@�c�d5eCB!X$?�Z�_�5LNU$UEX$4!�a35'�#54*3a4*'5'�4�h(2 �(1*kQ4$2 -(4*)C����`04!�&#*)�#!�0�5 565:(#�'a1*;G�$#54*)�#$2k5-C���5#lv;�#5�5^5�$8�R(r��6C���(^*3C��6(#�D*6����Sl �!6C���7[5Z$?��7;�#5�5^$� ��S+v2$��-(#�"* C45�5#�"$^�3(��6(#p>�!6(���7[$Z$?��7;�#$��^5���H����S+v2���-(#5"* (45�5#*"�^*3(��6(#(r\N�!;=lT6C�!�(^*3(��6C#�D5D$�!6C���7[5Z$?��7;�#5�5^$� ��S+v2$��-(#�"* C45�5#�"$^�3(��6(#�r �[5Z$?��*ln;�#5�$^5��5L�r�U5L �5D�[$Z$?��7;�#$�5^5� �N�#5�$2�#�[5Z$?��*ln;�#5�$^5��5L�r�U5L �5D�[$Z$?��7;�#$�5^5���H��N�;�#5�5^5�5D�;�#5�5^$��5LN

��

U5UVe�-C�52E#�)�#!�$3a�!-(151$2�#�2P3�-(#E�(#�g�3G#�)�#!�$3=p 1!�(��hQ�!;V3�-(#�'�#P-(4*)(#A:(#5#*�VW$'�#*)C��1! C2E#�)�#!�$3(2)�1$��"A 5W�"$4�3�#5^$��:�3=l>���$3V"(�52��Cr���!�$3a��:$35WSN"�1! 5:(�5#A6C���$3=NU$UA'�#!6(1�)�#0���$)(45�$�*"AO$O�XG#*)(#!�$3(2P;$'�1!6Q��:�3�*;=l �!6(���T"��52����S+n#*)�#*�$3�^*3$h�W(#�D5D*O$O�X(r���!;=l �!6C���T"��52����S+v��%TD5X��n�!6C���T"��52����S+.W(4�'53��(#*'��(r��#*)�#*�$3�^5�$�$2!3�^*'�#*6(1*)�#l>�51$��45�5?��52!3��n"��52����=pq�!6C���T"��52����S+v25�!-(#�"* (4$�5#�"$^*3C��6(#�r\N�!6(���T"��52����5D$�51$�545���(���<l �51$��4$��?��52!3)�T"��52����(r\N�

�!:$3�W�D�](^*@$c�d5e�B!X5?�Z�_�5"��52��#��H\NU$U0��:$3�W �52E1�"$"k5-C���5#l ��:$3�W(85R(r���!;=l>��:�3�W � L�r �6C����3$D*6C���<l �!6(���T[5Z$?��v�!:$3�W���<+v25��-(#5"* (45�5#5"$^*3(��6C#p �!6(���7[5Z$?�� ��:$3�W��CH���S+v25�!-(#�"! (45�$#�"$^*3(� 6C#�r\N�!;=ln6C���$3$D$D$�!6(���T[5Z$?��v�!:$3�W���<+v25��-(#5"* (45�5#5"$^*3(��6C#�r��[5Z$?��*l>��:$35W#��H5r*U$L �5D�[5Z�?��v��:$35W��N�#5�$25#�[5Z$?��*l>��:$35W#��H5r*U$L �5D�[5Z�?��v��:$35W��(H��N� ��:$35W�Dl>��:�3�W#��H5r�U5LN

�U5UG��:�3�WQ�520#*)�#!�#5�$2�#�6C����3$D*6C���<l �!6(���T[5Z$?��v�!:$3�W���<+v25��-(#5"* (45�5#5"$^*3(��6C#p �!6(���7[5Z$?�� ��:$3�W#�(H���S+v25�!-(#�"! (45�$#�"$^*3(� 6C#�r\N

2 <

Page 26: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

�!;=ln6C���$3$D$D$�!6(���T[5Z$?��v�!:$3�W���<+v25��-(#5"* (45�5#5"$^*3(��6C#�r��[5Z$?��*l>��:$35W#�5L�r*U$L �5D�[5Z�?��v��:$35W��N�#5�$25#�[5Z$?��*l>��:$35W#�5L�r*U$L �5D�[5Z�?��v��:$35W#��H��N� ��:$35W�Dl>��:�3�W#�5L�r�U5LN

��

U5U0X*-(151$25#$2 �(#�g53G#*)�#!��3E C25���(`E3�-(#V[5Z$?"$1! $:(�5#P�(#5g�3�^5#*)(#!�$3=l>�!�$3� V#*)�#*�$3�^*3$h�W(#p ����3� V"��52��=p ���$3� EW(4*'$3��(#*'Cr �"�1! 5:(�5#E3(��6(#N�!�$30`$1�DCH\N�*;=l5lv"��$2��$D5D��(H5r� lnW(4*'53��C#*'$D5D��(H5r5r���!'�#54*3(#5^$��:$3Sl r\N�#$�$2�#� 5W�"$4*3(#5^$��:$3Slv"��52���r\N�!;=l5lTWC4*'53��(#�'�8�D5R(r� lTW(4�'53��(#*'(/$���$3=lv]�^*@$c�d$eCB!X5?�Z(_�r5r5r�� 5W�"�4*3�#5^$�!:$3=lTW(4�'53��(#*'�r\N�

�"�1�"��52��$D5[5Z$?��TR��NW(4*'53��C#*'$D$�!6C���7[5Z$?��TR��S+7W(4*'53��C#*'=N#*)�#!�$3(^*3$h*W(#5D$�!6(���T[5Z$?��TR���S+n#*)(#!�$3�^*3�h*W(#N3(��6(#�D��!6(���7[$Z$?��TR���S+v25��-C#�"* (45�$#�"$^*3(�!6(#NU5U0#*)(#!�$3a�52G���$)�4$�$�*"p ;C����"04!�C1*3�-(#*'a1!�(#�!;=l5l #�)�#!�$3�^�3$h*W(#�D$D*O5O�X(r� l �!6C���T"��52����S+v��%TD5X��.W(4�'53��(#*'��(r5r�� 5W�"�4*3�#5^$�!:$3=lv"��$2��Cr\N�#5�$2�#a�!;=l5l #�)�#!�$3�^�3$h*W(#�D$D*O��$X(r�����l #*)(#!�$3�^*3�h*W(#�D5D�O5O�X(r5r �#*)�#*�$3�^5�$�$2!3�^$���$#54*'=l �$1$��45��?(�52!3��T"(�52����(r�NX��T"(�52�������N�!;=l>#*)�#!�$3(^*3$h*W(#5D5D*O5O�XCr��#*)�#*�$3�^5�$�$2!3�^$���$#54*'=l �$1$��45��?(�52!3��.WC4*'53��(#�'��(r\N�`$1�D$RN

�#5�$2�#a�!;=l #*)(#!�$3�^*3�h*W(#�D5D��$X(r��#*)�#*�$3�^5�$�$2!3�^*'�#*6(1*)�#l>�51$��45�5?��52!3��n"��52����=p�3(�!6(#�r\N`$1�D$RN�

� k�-C���5#lv`$1�r\N�*;=l #*)�#*�$3�^*3$h�W(#�D5D*O$O�X(r��X��.W(4*'$3��(#*'�����N�

'(#*3� $'��G3(��6(#N�

U5Ua25��-(#�"� (45�$2A4!�&#*)�#!��3a���$3�1V3�-(#V�$1$��45�V���52!3a1�;0"��52��)�1$��"G25��-(#5"* (45�l ���$30"��$2��=pw"$1* 5:(�5#A3C��6(#p �!�$3a#*)(#!�$3�^*3�h*W(#px����3VW(4*'$3��(#*'Cr ��*;=l #*)�#*�$3�^$2�#$4*'(��-Sl>�51$��45�5?��52!3��n"��52����=pTW(4*'535�(#*'Cr!D$D�] ��?5?Cr��-(#54�"$^����C2�#*'$3�^5#*)�#*�$3=l �51���45��?��$2!3��T"��$2����p 3(��6(#px#*)�#!��3�^*3$h*WC#p W(4*'$3��(#*'=p ��H5r\N�

�U5UG4!�a1*)�#�'��5154�"�#�"E)�#*'C25��1!�a1�;V3�-(#G4!:(1*)�#E;� 5�C�!3C��1!�)�1$��"G25��-(#5"* (45�l ���$30"��$2��=pw"$1* 5:(�5#A3C��6(#p �!�$3a#*)(#!�$3�^*3�h*W(#px����3VW(4*'$3��(#*'=p ���$3a�$r ��*;=l #*)�#*�$3�^$2�#$4*'(��-Sl>�51$��45�5?��52!3��n"��52����=pTW(4*'535�(#*'Cr!D$D�] ��?5?Cr��-(#54�"$^����C2�#*'$3�^5#*)�#*�$3=l �51���45��?��$2!3��T"��$2����p 3(��6(#px#*)�#!��3�^*3$h*WC#p W(4*'$3��(#*'=p �$r\N�

2 ?

Page 27: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

U5UEW$'�#�"��$�!3(2 ;� $35 $'�#0#�)�#!�$3(2)�1$��"AW$'�#�"(�5�!3(��1*�C2�l>����3V"��52��=ps���$3� G#*)�#!�$3(^*3$h*W(#(r��"�1! 5:(�5#E3(��6(#N�!�$3EW(4*'$3��(#*'=N�!�$3E�(4*'$'��7]$c�d$d�^�?�Z5]�j�e���N�!�$3a�EDGRN#�)�#!�$3�^$�$�52!3�^����5#54*'Sl �51$��4$��?��52!3)�T"��52����(r\N�!�$3�^$���$#54*'=lT�C4*'5'=p ]$c5d5d�^�?�Z$]$j�e�Cr�N�C#$�*`*-5:C1*'�-(1515"lT�(4*'$'=p "��52��Cr�Nk5-C���5#ln�(4*'5'�� ����%7D��(H5r��3(��6(#�D53�:(45�5�lv"��52��Spq�(4*'5'�� ���(r\N�!;=ln3(�!6(#�%7D ���j�Z�^���c5?(r��25��-C#�"* (45�lv"��52��Sp 3(��6(#pwO5O�Xp �(4*'5'�� ���pwX��7�(4*'5'�� ����(r\N� ����N

�3C��6(#�D�3$k�45�5�l "��52��=p>#*)�#!�$3(^*3$h*W(#p W(4�'53��(#*'�r\N2$��-(#�"* C45�lv"��$2��=p 3(��6C#px#*)�#*�$3�^*3$h�W(#p W(4�'53��(#*'�r\N�*6(���T"��$2����5D$�$1$��45���C���Sl �51���45��?��$2!3��T"��$2����(r\N�

U5UE6(1*)�#$2E"��52��V35-$'�1! �`�-03�-(#Vk�45�5�0�!�$3�1V4E�(#*kQ�5#5�5�0���a3�-(#0�5#5�5�!6(4�35'(�*g)�1$��"A 5W�"$4�3�#��=l>�!�$30"��52��=p ���$3Gk�45�5�(r���!�$3a��#5�$���nL �N�!�$3V)�#*'$3=N)(#*'53$D5R=N25#54*'(��-C^$��#5�5�$^!6(4*35'C�*glv"��$2��=pw��#5�5�(r\N�!�$3�^*'�#*6(1*)�#l ��#5�5�!6C4*35'(�*g��v��#5�5���TR���� ��#5�5���>H���pv"(�52��=p X5Z$?5? �$c5e5dCB!f$^5?�Z5]$j�e��Cr\NU$U0�52A35-(#A)(�!'$3� (45�Ak(45�5�04V3�1!W0k(45�5�V1*'0:(1*353(1!60k�45�$��*;=lnk�45�$�58$���$3Sl5ln]�^*@�c�d5eCB!X$?�Z�_ ��](^�f5X�Z$?$?$_�r5r5r �)�#*'53$DCH\N�#$�$2�#�)�#*'53$D$RN� �*;=ln)�#*'$3Cr���!;=lnk�4$�5�58l>�5#5�5��� H�������$3Sln]�^*@$c5d5eCB!X5?5Z�_ ��]�^5f5X�Z$?5?�_�r��(H5r$r��U5UE:(45�5�PWC4$252�#�"V3�-$'�1! (`*-03�-(#V3�1!W0k(45�5����$3(^$���C2�#�'53=l>��#$�5�!6(4*3$'(�*g��v�5#5�5���TR�����v��#$�5��� H����(H��pv"(�52��=p X5Z$?5? �$c5e5dCB!f$^5?�Z5]$j�e��Cr\N�#5�$2�#�U5UE:(45�5�PWC4$252�#�"V3�-$'�1! (`*-03�-(#E:(1*353(1!60k�45�$����$3(^$���C2�#�'53=l>��#$�5�!6(4*3$'(�*g��v�5#5�5���TR�����v��#$�5��� H�����H��pv"(�52��=p X5Z$?5? �$c5e5dCB!f$^5?�Z5]$j�e��Cr\N�

�#$�$2�#��!;=lnk�4$�5�58l>�5#5�5���TR�������$3Sln]�^*@$c5d5eCB!X5?5Z�_�r5r5r �U5UE:(45�5�PWC4$252�#�"V3�-$'�1! (`*-03�-(#V'(�*`*-�3Vk�45�5����$3(^$���C2�#�'53=l>��#$�5�!6(4*3$'(�*g��v�5#5�5���TR���(H���� ��#5�5���>H���pv"(�52��=p X5Z$?5? �$c5e5dCB!f$^5?�Z5]$j�e��Cr\N�#5�$2�#�U5UE:(45�5�PWC4$252�#�"V3�-$'�1! (`*-03�-(#G�5#*;530k�45�5����$3(^$���C2�#�'53=l>��#$�5�!6(4*3$'(�*g��v�5#5�5���TR�����H���� ��#5�5���>H���pv"(�52��=p X5Z$?5? �$c5e5dCB!f$^5?�Z5]$j�e��Cr\N�

��

U5UE�(1!�#�*'(4!��"$1!6EWC1$25�!3(�51!�a4$252$�*`*�56(#*�$3)�1$��"AW(1$2�^�)�#5�5^54�2525�*`*�<l r��"�1! 5:(�5#AW(1$2��nL�NWC1$2��TR�$D$L$o*"$1* 5:(�5#lnO�r\NWC1$2�� H��$D$L$o*"$1* 5:(�5#lnO�r\N;(1*'=l>����3a�*D5RN ��/$���$3Sln]�^*@$c5d5eCB!X5?5Z�_�r\N>� ��(r��;�1*'=l>�!�$3���D5R=N��5/�D(H�N�� ��(r �W(4*'$3(2��v����� � �5D*WC1$2�� � �=N

2 X

Page 28: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

W(4*'$3(2��v����� � �$L �$Dl H+TR��5L=+TR�olv"$1! 5:C�5#ln'�4*��"l r5r�U�"$1! 5:C�5#lnd$c5]�O(^��$c$f�r5r5r\N�W(1$2��TR��5D*W(1$2��TR��$L�o*"$1! 5:C�5#lTO�r�N�!;=lTW(1�2��TR�$85Dl5lv"$1* 5:(�5#lv]�^�f5X�Z�?5?$_�r�o�f$^5_*@$c$X(B�]$j(r �5L$o*"$1* 5:(�5#lnO�r5r5r��W(1$2��TR�5D5"�1! 5:(�5#lTO�r\NW(1$2�� H��5D*WC1$2�� H����$L$o*"$1* 5:(�5#lnO�r\N� �!;=lTW(1�2�� H��$85Dl5lv"$1* 5:(�5#lv]�^*i$X�Z�?5?$_�r�o*i�^5_*@$c$X(B�]$j(r �5L$o*"$1* 5:(�5#lnO�r5r5r��;�W$'C���$35;=l 2!3$"$#*'$'=p�% ]�1�30#!�(1! �`�-Q2�W(4$�5#A;�1*'G3�-(#$2�#AW(4*'53(�$���5#$2�%('!��%*r\N;�W$'C���$35;=l 2!3$"$#*'$'=p�%�'54�'!�#'!��%�r\N#�g��*3=l H5r\N�W(4*'53(2��v�����TI��VD0RN

��

U5Ua��-(#$���03�102�#5#a�!;035-(#E"��52��(2E1*)�#�'��54!W0;$'�1!6G35-(#A'�4!�("$1!6VW(1�2!3(��1!�Q4$2525�*`��56(#!�$3)�1$��"G��-(#$���=l>���$3G"��52��=p ���$3� a1��Cr��"�1! 5:(�5#V"��52!3=N1 �$D(H\N;(1*'=l>����3a�*D5RN ��/�"��52��=N>����Cr��"��52!3$D(2�$�'53=lnW(1*k=l5lnW(4*'53(2��T"��52������TR���*W(4*'53(2��v�����TR��(r\p L�r��*W(1*k=l$lTW(4*'53C2��T"��52������ H����!WC4*'53(2��n� ��� H��(r�p L$r5r\N�!;=lv"��$2!3�/!O�r �1��$D$RN� �!;=l5lTWC4*'53(2��n"��52������TR�$/lnO(U5L�r5r�����lTW(4�'53(2��T"(�52������nR�$8ln](^�f5X�Z$?$?$_$o*f$^$_!@$c5X(B�]�j��!O�U5L�r$r5r��1��$D$RN� �!;=l5lTWC4*'53(2��n"��52������ H��$/lnO(U5L�r5r�����lTW(4�'53(2��T"(�52������>H��$8ln](^*i$X�Z$?$?$_$o!i�^$_!@$c5X(B�]�j��!O�U5L�r$r5r��1��$D$RN�

��

U5UV'�4!��"$1*6VW(1$25�*3(��1!�a4�2525�*`*�$6(#!�$3)�1$��"E'�4!��"�^!W(1$2�^�)�#5�5^54�2525�*`*�<l r���!�$3a��-(#�����#�"5D$RN;(1*'=l>����3a�*D5RN ��/$���$3Sln]�^*@$c5d5eCB!X5?5Z�_�r\N>� ��(r����-(#$���(#�"5D5RNk�-C���5#l#%n��-(#�����#�"(r �;�1*'Sl>���$3��5D5RN��5/$LN�� ��Cr��W(4*'$3(2��v����� � �5D(H*R�o�lv"$1* 5:(�5#lv'�4!��"l r5r*U�"$1* 5:(�5#lvd$c�]�O(^ �$c5f(r5r�NW(4*'$3(2��v����� � �$L �$Dl H+TR��5L=+TR�olv"$1! 5:C�5#ln'�4*��"l r5r�U�"$1! 5:C�5#lnd$c5]�O(^��5c5fCr5r5r\N� ��-(#����=l>��p ��-(#$���(#�"(r\N

�W(4*'53(2��v�����TI��VD0RN;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!%!���$3(�545�$�*b$#5"sWC4*'53(�5�5�5# � "�'*��%Cp �$r�N�

U5U0�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5���5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���5�5�U5U0�5� �5�U5U0�5� ��c(B�]V[ ��]$X�eCB*Y�] �5�U5U0�5� �5�U5U0�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5���5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���5�5����$3V6(4$���Sl r��U$U��5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���5�5�U$U B�]CB!eCB!c5?(B��*ZVe�5Z��$c�dCB!c��$?�Z�_U$U��5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���5�5��*;=l5l>����3=lvI�o*f�^5_*@$c5XCB�]$j�o!i(^5_*@$c5XCB�]$j$U*@�B�o�W(1*kSlTOSp L�r$r��(H5r*8 ]$c�d5d�^5?�Z5]$j�e��Cr��;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!% @5'�1!:C�5#!6C2sk(�!35-0�(#$��`*-5:(1! �'�-(151�"02$�*b$#��('*��%*r\N;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!%�'*3CB ���!'�#54$25#s]�c�d5d�^�?5Z5]$j�e�#'!��%*r\N;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!%�'*3CB ���!'�#54$25# O%*r\N;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!%�'*3�1*'V"�#$�!'�#54�2�#Ef$^5_�@$c5X(B�]�jV4!��"Vi(^5_*@$c5XCB�]$j�'!�%*r\N��1! $3�/$/C% Z$g��*3(����`E@$'�1�`�'�4*6&%�'!��%�N

2C�

Page 29: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

#�g��!3=l R(r\N� �*;=l5l �51���45��?��$2!3$Dl #�)�#!�$35](1�"$#*@53$'Eo$r5��45�5�51���ln]�^*@�c�d5eCB!X$?�Z�_p>2$�*b$#51*;Sl #*)�#!��35]�1�"$#�@535'Cr5r$r!D5D�] �(?5?(r��;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!% X$1! (�5"*�Sun3V45�5�$1$��4*3�#A6(#!6(1*'�hE;�1*'G3�-(#V�51���45��?��$2!3G4*'5'(4�h�%�'!�%*r\N;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!%�'54C%*r�N#�g��!3=l H5r\N� �*;=l5l �!6C��DlnZ5)(#!�$3Go$r��545�5�51$�ln]�^*@$c5d5eCB!X5?5Z�_p>25��b$#51*;=lvZ5)�#!�$3�r5r5r!D5D5] ��?5?(r �;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!% X$1! (�5"*�Sun3V45�5�$1$��4*3�#A6(#!6(1*'�hE;�1*'G3�-(#E?$1���45��C���C��6(4V?��52!3)%('!��%*r\N;�W$'(����35;=l>2!3�"$#*'5'=p!%�'54C%*r�N#�g��!3=l H5r\N�"�1! 5:(�5#E3(��6(#N�!�$30"��52��=N�!�$3EW(4*'$3��(#*'=N�!�$3a��15�$�5^*3$h*WC#N�!�$3Vk�45�$�N�!�$3E�(4*'$'��7]$c�d$d�^�?�Z5]�j�e���N�!�$3a��p �N3C��6(#�D��(H\N"(�52��$D��(H\NWC4*'53��(#�'$D���H\N�515�5�5^*3�h*W(#�D�]��?N�!�$3�^$���$#54*'=lT�C4*'5'=p ]$c5d5d�^�?�Z$]$j�e�Cr�N�*;=ln'�4!�("$1!6(^54�2525�*`*�\r��'�4!��"$^*W(1$2�^*)(#5�5^54$2$25�*`*�Sl r\N�#$�$2�#�W(1$2�^*)(#5�5^54$2$25�*`*�Sl r\N�U$UP6(4���#V3�-(#0�5#5�5��!6C4*35'(�*g;(1*'=l>�*D$RN>��/*](^�f5X�Z$?$?$_N>�����(r��;�1*'=l��5D5RN��5/�]�^*i$X�Z�?5?$_N����(r�����$3(^$���5#54�'=l>��#5�$�!6(4*35'C�*g��v����� � �p X�Z$?$? �$c�e5d�B!f$^�?�Z$]$j�e�Cr�N�

�;(1*'=l>�*D$RN>��/$�!�$3=ln]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_�r�N>����(r ����$3Q�!�$35@�1$2�gN���$3Q�!�$35@�1$2�hN���$35@�1�2*g5D�����3=lTW(4*'$3(2��v�����TR�$U�f�^5_*@$c5XCB�]$j(r\N���$35@�1�2*h5D�����3=lTW(4*'$3(2��v����� H��$U*i(^5_*@$c5XCB�]$j(r\N���$3�^$�!�C2�#*'53Sl>��#5�5�*6(4*35'(��g��v���$3$@�1$2*g���v���$35@(1$2*h�p ��p�X�Z�?5? �$c�e$dCB!f$^�?5Z5]$j�e��r\N�U$U!:5 C���5"E3�-(#EXV6(4*35'C�*g;(1*'=l>�*D$RN>��/$�!�$3=ln]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_�r�N>����(r �X��v���5D$RN�;(1*'=l>�*D(���$3=ln](^*@$c�d5e�B!X5?�Z�_(r\N>��/l ���$3=ln](^*@$c�d5e�B!X5?�Z�_��]�^�f5X5Z$?5?$_���](^*i$X�Z$?$?5_�r��$L�r�N>��� �(r��X��v���5D���H\N�U$U!:5 C���5"E3�-(#V�$1$��45�V#�)�#!�$3Q�$�52!3;(1*'=l>�*D$RN>��/$�!�$3=ln]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_�r�N>����(r ��(#$�*`*-$:(1*'�-(1$1�"lT�(4�'5'=p>�$r�N��D5RNk�-C���5#lT�(4*'5')� � ��%7D���H5r��3(��6C#�D�3�:(4$�5�l>��pn�(4*'5'���� �(r\N�!;=lv3(��6(#�%TD � ��j�Z(^��$c5?(r �-(#545"$^$���C25#*'53�^5#�)�#!�$3=l>�51$��45�5?��52!3�� ���p 3(��6(#p O5O�Xpw�(4*'5'���� �p X��.�C4*'5'�� ���(r\N�� ��=N

�3(��6(#�D535k�45�5�l>��p>��1$�5�5^*3$h�W(#pqk�45�5�(r\N-(#54�"$^����C2�#*'$3�^5#*)�#*�$3=l �51���45��?��$2!3��v���=p�3(�!6(#p �515�5�5^*3�h*W(#p k�4$�5�p �(H5r\N�U$UA;(���5�V3�-(#V�$1$��45�P6����C��6(4G�$�52!3Spx�!6(�U$U0���C�!3C��45�$�*b�#A3�-(#A[$Z$?

2 E

Page 30: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

;(1*'=l>�*D$RN>��/$�!�$3=ln]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_�r�N>����(r ��!6(���v� �5D$�51$�545���(���<l �51$��4$��?��52!3)�v���(r\N[5Z$?��7](^*@$c�d5e�B!X5?�Z�_���H������$D���N�U$UE�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���U$UE�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���U$UE�5� �5�U$UE�5� O(4*3�401! $3�W5 �3 �5�U$UE�5� �5�U$UE�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���;5W$'(���$3$;=l>2!3$"�1! $3=p�% � "�'!��%�pn]�^*@$c5d5eCB!X5?5Z�_�r\N;(1*'=l>�*D$RN>��/$�!�$3=ln]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_�r�N>����(r �;�W$'(����35;=l>2!3�"$1! $3=p!% � `�'!�%CpTO�r\N�;5W$'(���$3$;=l>2!3$"�1! $3=p�%�RS+TR�'!�%*r\N�*;=lv`$�!:$W5WGD5DaH$r��;�W$'(����35;=l>2!3�"$1! $3=p!%���H�'!�!��H�'!��%�r\N�;(1*'=l>�*D$RN>��/$�!�$3=ln]�^�@$c�d5eCB*X5?�Z�_�r�N>����(r �;�W$'(����35;=l>2!3�"$1! $3=p!% � ` � `GR�'!��%CpnW(4*'53(2��v�����TR��p W(4*'53(2��v����� H��(r\N�

U$UE�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���U$UE�5� �5�U$UE�5� e�-C�$2V�52Ak5-(#*'�#A35-(#A6(4����a�5151*Wa1*; �5�U$UE�5� ��45���� (�54*3C��1!�C2A4*'(#=+ �5�U$UE�5� �5�U$UE�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$�5�5�5�5�$���5�5�5�5�$�5�5���3C��6(#EDGRN;(1*'=l>�*D$RN>��/*](^�?$Y5Y*@(_N>����Cr��3(��6(#�D��(#�g�3�^$#*)�#!�$3Sl>��15�5�$^*3$h*W(#pv"��52��SpTW(4*'535�(#*'Cr\NU5U01! �3�W5 $3V35-(#G��1$1*'$"����C4*3�#$2A4*3a"��525�*'�#*3�#A3C��6(#$2�!;=lv"�3C��6(#�r��k�-C�5�5#lTW�"53(��6(# �$"�3�/*3(�!6(#�r��W�"�3C��6(#EDVW�"�3(��6C#�0"�3SN;�W$'C���$35;=l 2!3$"$1! �3=p�% � `�'!��%CpTW("�3(��6(#(r\N�!;=l `$�!:5W5WaD5DaH5r��;5W$'(���$3$;=l>2!3$"�1! $3=p�%���H�'!�#�(H�'!��%*r�N

�;�1*'Sl���D5RN �5/$���$3Sln]�^*@$c5d5eCB!X5?5Z�_�r\N����(r��;5W$'(���$3$;=l>2!3$"�1! $3=p�% � `�'*3\%�pn;5'�#5#�)$gl��pnW�"�3(��6C#�!W(4*'$3(2�� � ���TI�(r�r\N;5W$'(���$3$;=l>2!3$"�1! $3=p�% � `�'*3$R�'!��%Cpn;$'�#5#*)$h=l��pTW�"53(��6(#�*W(4*'53(2�� � ���7I�Cr5r\N�

� �!;=lnW�"�3(��6C#58*;(�����52�-(^*3C��6(#�r���*D�](^�?$Y5Y*@(_N�

2!k(�!3(�!-Sl>��15�$�5^*3$h*WC#�r����4$2�#EO5O�X��;5'�#$#*)=lv"��$2��=pn3(�!6(#�!W(4�'53(2��T"(�52������nI�(r\N;5'�#$#*)=lTW(4�'53��(#*'Sp 3(��6(#�*W(4*'53(2��.W(4*'535�(#*'����nI�(r\N"��52���#*)=lv"(�52��=p WC4*'53��(#�'Cr\NW$'�#5"��5�!3(�51!�C2�lv"(�52��=px��1$�5�5^*3$h�W(#�r\NW$'�#5"��5�!3(�51!�C2�lTWC4*'53��(#�'=px��15�5�$^*3$h*W(#(r\N:$'�#$4��=N��4$2�#EO��$X��;5'�#$#*)=lv"��$2��=p 3(�!6(#�!W(4�'53(2��T"(�52������nI�(r\Nk�45�$�5#*)=lv"(�52��=p WC4*'53��(#�'Cr\NW$'�#5"��5�!3(�51!�C2�lv"(�52��=px��1$�5�5^*3$h�W(#�r\N:$'�#$4��=N

2 f

Page 31: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

��4$2�# ��$X�� 5W�"�4*3�#��=l "��52��=pqWC4*'53��(#�'Cr\NW$'�#5"��5�!3(�51!�C2�lv"(�52��=px��1$�5�5^*3$h�W(#�r\N:$'�#$4��=N�

��

�f� �*"5���*�B�P:���������! �"$#0/$2!3$"5"�#*;<+.-(8���������! �"$#0/$��1$2!3$'�#54!6,+7-(8U5UV'�#*3� $'5�C2P3�-(#A6(4�gG1�;G4*'$`(HV4!��"04�'$`$L"$1! $:(�5#P6(45glv"$1! $:(�5#V4*'�`(H\pw"$1* 5:(�5#V4�'$`$L�r���*;=l 4*'$`CH*854*'$`�L�r'�#*3� $'5�Q4*'$`CH\N#$�$2�#0�!;Sl 4*'$`$L$854*'$`(H$r'�#*3� $'5�Q4*'$`�LN#$�$2�#'�#*3� $'5�Q4*'$`CH\N�U5UG1*)�#*'��$154�"$#�"P6C4�gVk(�*3�-Q���$3(#�`$#*'G4�'$`* 56(#*�$3(2���$3V6(4�gl>�!�$3G4*'$`CH\p ����3G4*'$`$L(r���*;=l 4*'$`CH*854*'$`�L�r'�#*3� $'5�Q4*'$`CH\N#$�$2�#0�!;Sl 4*'$`$L$854*'$`(H$r'�#*3� $'5�Q4*'$`�LN#$�$2�#'�#*3� $'5�Q4*'$`CH\N�

U5UV'�#*3� $'5�C2 6C���Q1*;a4*'�`(HA4!��"a4*'$`$L"$1! $:(�5#P6C�!�Slv"$1! $:(�5#V4*'�`(H\pw"$1* 5:(�5#V4�'$`$L�r���*;=l 4*'$`CH*/54*'$`�L�r'�#*3� $'5�Q4*'$`CH\N#$�$2�#0�!;Sl 4*'$`$L$/54*'$`(H$r'�#*3� $'5�Q4*'$`�LN#$�$2�#'�#*3� $'5�Q4*'$`CH\N�U5UG1*)�#*'��$154�"$#�"P6����Gk(�*3�-Q���$3(#�`$#*'G4�'$`* 56(#*�$3(2���$3V6C���Sl>�!�$3G4*'$`CH\p ����3G4*'$`$L(r���*;=l 4*'$`CH*/54*'$`�L�r'�#*3� $'5�Q4*'$`CH\N#$�$2�#0�!;Sl 4*'$`$L$/54*'$`(H$r'�#*3� $'5�Q4*'$`�LN#$�$2�#'�#*3� $'5�Q4*'$`CH\N�

��� �p������� �1�5��� ��:���������! �"$#0/$2!3$"5"�#*;<+.-(8���������! �"$#0/$2!3$"$����:,+.-(8���������! �"$#0/$��1$2!3$'�#54!6,+7-(8U$o e5-C�52P;(�5�5#0��1!��3�4$���C2A3�-(#V"�#*;(���C�*3(��1!�G1*;Q4!�Q#�)�#!�$3G4*��"4$�$2�10��1*�$3�4$����2E45�5�A35-(#E;� $�C�!3(��1*�C2E4!��"a2!35'� C�*3(2P;�1*'2$����`$��hG�$������#5"0�$�52!3C2E1*;a#�)�#!�$3(2o�UU5UEO(#*;(�����!3(��1!�G1�;a4!�a#�)�#!�$32!35'5 C�!3VZ5)(#!�$3��"�1! 5:(�5#G25��-(#�"� (45�5#�"�^*3(��6(#N�!�$3G#*)�#*�$3�^*3$h�W(#N

2 G

Page 32: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

�!�$3EW(4*'$3��(#*'=N�!�$3a��N� NU5UEO(#*;(�����!3(��1!�G1�;a#*)�#*�$35]�1�"�#V4!��"E3�h*W(#�"$#�;V;�1*'0W(1$���$3(#*'2!35'5 C�!3G#*)(#!�$35]�15"$#�Z$)�#!�$30"�4*3�4N#�)�#!�$35](1�"$#Vo��$�!���=N� N3$h*WC#�"$#*;G#�)�#!�$35](1�"$#$oE#�)�#!�$35](1�"$#*@53$'=NU5UQB �C2�#*'$3(2E4A)�4$�! (#04�3V3�-(#E-(#54�"01�;03�-(#0�$�52!3)�1$��"A-(#54�"�^$���C2�#�'53�^5#*)(#!�$3=l #�)�#!�$35](1�"$#$o� -(#$4�"p Z5)(#!�$3V3�-C#5^5#*)�#*�$3Cr��#�)�#!�$35](1�"$#*@53$'E3�#!65W(^*W$35'=N3(#!65W(^!W�35'$DP�(#*kQ#*)�#!��35]�1�"$#N�*;=ln3�#!6$W(^!W$35'�D5D�] ��?$?(r����1! $3�/$/C% Z5'5'(1*'��xB ��2� $;5;(�$�5��#!�$3G2*3�1*'�4�`�#=+('!��%�N#�g��!3=l H5r\N�3(#!65W(^!W�35'��58�"�4*3�4=+v2$��-(#�"* C45�5#�"$^�3(��6(#�D53�-(#5^5#�)�#!�$3<+ 25��-(#�"� (45�5#*"$^�3(��6(#N3(#!65W(^!W�35'��58�"�4*3�4=+n#�)�#!�$3�^�3$h*W(#�D53�-(#5^5#�)�#!�$3<+v#*)�#!�$3(^*3$h*W(#N3(#!65W(^!W�35'��58�"�4*3�4=+.WC4*'53��(#�'$D�3�-(#$^5#*)�#!��3<+.W(4*'$3��(#*'=N3(#!65W(^!W�35'��58�"�4*3�4=+v��D�3�-(#5^$#*)�#!�$3,+v��N3(#!65W(^!W�35'��585�������$D*-C#54�"N-C#54�"5D�3(#!65W(^!W�35'=N

�U5UG1*)�#*'��$154�"$#�"A)(#*'(25��1*�a1*;035-(#V4!:(1�)�#E'�1* $3(���(#)�1$��"A-(#54�"�^$���C2�#�'53�^5#*)(#!�$3=l #�)�#!�$35](1�"$#$o� -(#$4�"pw"$1* 5:(�5#02$��-(#�"* C45�5#�"$^�3(��6(#px�!�$3G#*)�#*�$3�^*3$h�W(#p ����3EW(4*'535�(#*'=p �!�$3Q�$r �#�)�#!�$35](1�"$#*@53$'E3�#!65W(^*W$35'=N3(#!65W(^!W�35'$DP�(#*kQ#*)�#!��35]�1�"$#N�*;=ln3�#!6$W(^!W$35'�D5D�] ��?$?(r����1! $3�/$/C% Z5'5'(1*'��xB ��2� $;5;(�$�5��#!�$3G2*3�1*'�4�`�#=+('!��%�N#�g��!3=l H5r\N�3(#!65W(^!W�35'��58�"�4*3�4=+v2$��-(#�"* C45�5#�"$^�3(��6(#�D(25��-(#�"� (45�5#�"�^*3(��6(#N3(#!65W(^!W�35'��58�"�4*3�4=+n#�)�#!�$3�^�3$h*W(#�D�#*)�#!�$3(^*3$h*W(#N3(#!65W(^!W�35'��58�"�4*3�4=+.WC4*'53��(#�'$D*W(4*'$3��(#*'=N3(#!65W(^!W�35'��58�"�4*3�4=+v��D���N3(#!65W(^!W�35'��585�������$D*-C#54�"N-C#54�"5D�3(#!65W(^!W�35'=N

U5UV'�#*3� $'5�C2P3�-(#0�5#!��`�35-a1*;035-(#V�$�52*3���$3a#*)�#!�$3(^5�$�52!3(^5�5#!��`53�-Sl #*)(#!�$35]�15"$#*@535'P-(#$4�"(r��#�)�#!�$35](1�"$#*@53$'E3�#!65W$@$35'=N�!�$3V'�#*35 $'��C����3=N'(#*3� $'������$3$D5R=N;(1*'=ln3�#*65W$@535'�D*-(#54�"=Nn3�#!65W�@535')%7D5] ��?5?Nv3�#!65W$@$35'$D�3�#*65W$@535'#�585�$� ����r��'�#*3� $'5�C���$3����N�'(#*3� $'��G'�#*3� $'5�C���$3=N

U5UV'�#*3� $'5�C2P3�-(#G�� $'5'�#*�$3G�51$�545�P6C������6(45�V#�)�#!�$3Z5)�#*�$3G�51$�545���(���<l #*)�#!��35]�1�"$#�@535'P-(#54�"Cr��Z$)�#!�$3V'(#*3� $'���Z5)�#!�$3SN#�)�#!�$35](1�"$#Vo!3�#*65W$@535'SN3(#!65W$@53$'$D*-(#545"N'(#*3� $'���Z5)�#!�$3�D*-(#54�"��58�"$4*3(4Nk5-C���5#lv3�#!65W$@$35'��585�������)%7D5] ��?5?(r �3�#!65W$@$35'$D�3�#*65W$@535'#�585�$�����=N�!;=l5ln3(#!65W$@53$'��58�"$4�3�4=+v25�!-(#�"* (4$�5#�"$^*3C��6(#�r*/ln'�#*3� �'��$Z5)�#*�$3<+v25�!-(#�"* (4$��#�"$^*3(�!6(#�r�r��'�#*35 $'��$Z5)(#!�$3$D�3(#!65W$@53$'��58�"$4�3�4N�

� N'(#*3� $'��G'�#*3� $'5�$Z5)�#!��3=N

<}o

Page 33: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

U5UV'�#!6(1*)(#$2E4!�a#�)�#!�$3V;$'�1!6G35-(#P-(#545"G1*;V35-(#0�$�$2!3)�1$��"0#*)�#!��3�^5�$�52*3�^!-(#545"$^*'�#!6C1*)�#l #�)�#!�$35](1�"$#$o� s-(#545"(r��#�)�#!�$35](1�"$#*@53$'E'�6$@535'SN'56$@535'$D�-(#54�"N-C#54�"5D*-C#54�"��58$�$�����=N"�#5�5#*3�#E'�6$@535'SN

U5Ua���5#54*'C2P3�-(#V���52!3)�1$��"0#*)�#!��3�^5�$�52*3�^$���5#$4*'=l #*)(#!�$35]�15"$#$o� -(#545"(r��k5-C���5#ln-(#54�"�%TD�] ��?5?Cr#*)�#!�$3(^5�$�52!3(^!-(#54�"�^*'�#!6(1�)�#lT-(#$4�"(r\N�

U5UV'�#!6(1*)(#$2P3�-(#0#*)�#!�$3 �! C2!30:(#*;�1*'(#A3�-(#PW�'�#*)VWC1$���$3�#�')�1$��"0#*)�#!��3�^5�$�52*3�^*'�#!6C1*)�#5^!W�'�#*)(��1* C2�l #*)(#!�$35]�15"$#$o� W$'�#*)Cr �#�)�#!�$35](1�"$#Vo!'�6C^!W$35'=N'56(^!W$35'�DlTW$'�#�)��585�$�!���Cr\NlnW$'�#*)��$85�$������r!Dln'�6C^!W$35'��$85�$������r\N"�#5�5#*3�#E'�6(^!W$3$'=N�

U5UV'�#!6(1*)(#$2E4!�a#�)�#!�$3VkC�!3�-G35-(#02�W(#��5�!;(��#5"E3(��6(#E;5'�1!6a3�-(#V�$�$2!3)�1$��"0#*)�#!��3�^5�$�52*3�^*'�#!6C1*)�#l #�)�#!�$35](1�"$#$o� -(#$4�"pw"$1* 5:(�5#A3C��6(#�r��#�)�#!�$35](1�"$#Vo�W$'(#*)(��1! �2�N#�)�#!�$35](1�"$#Vo!3�#*65WSN�!�$30`$1*3(^$�!3=N`�1*3�^$�!3�D5RN�*;=l5lT-(#$4�"��58�"�4*3�4=+v2$��-(#�"* C45�5#�"$^�3(��6(#�r*D5D�3(��6C#�r��#*)�#!�$3(^5�$�52!3(^!-(#54�"�^*'�#!6(1�)�#lT-(#$4�"(r\N'�#*3� $'5�SN�3(#!65WGDV-(#54�"Nk5-C���5#l!%7`$1*3�^��!3Cr��W$'�#*)(�51! C2*D�3(#!65WSN3�#!65W�D=ln3�#!65W!�585�$�����Cr\N�!;=l5ln3(#!65W#�585"$4*3�4=+ 25��-(#�"� (45�5#�"�^*3(��6(#(r!D5D�3(�!6(#�r��lTW$'(#*)(��1! �2 �585�$�!���Cr!Dlv3�#!65W#�$85�$������r\N"$#5�$#*3�#A3�#*65WSN`$1*3(^$�!3$D(H�N�

��

U5Ua2�#54*'(�!-(#$2 ;�1*'Q4!�Q#�)�#!�$3VkC�!3�-VW(4�'53��(#*'Q���G3�-C#V�$�52!3#*)�#*�$35]�1�"�#*@535'0#*)(#!�$3�^$25#54*'(��-<l #*)�#!��35]�1�"$#�@535'P-(#54�"=p ���$30W(4*'53��C#*'Cr��#�)�#!�$35](1�"$#*@53$'A-(#*'�#N-C#*'�#�D*-C#54�"N�*;=lT-(#*'(#�D5D�] �(?5?(r��'�#*3� $'5�G] ��?$?N�#$�$2�#�k�-C���5#l5lT-(#*'(#�58�"$4�3�4=+.W(4�'53��(#*'�r�%7D*W(4�'53��(#*'� lT-(#*'�#��585�$�����Cr�%7D�]��?5?(r-(#*'(#�D*-(#*'(#�585�$�!���=N�!;=l5lT-C#*'�#�585"$4*3�4=+7W(4*'53��C#*'Cr!D5D�W(4*'53��C#*'Cr��'�#*35 $'��V-(#�'�#N�#5�$2�#�'�#*35 $'��0] �(?5?N�

��

<;3

Page 34: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

��� ����� �1�5� �p�P:���������! �"$#0/$2!3$"5"�#*;<+.-(8���������! �"$#0/$2!3$"$����:,+.-(8���������! �"$#0/$2!3$"��51=+.-(8U$o e5-C�52P;(�5�5#0��1!��3�4$���C2V45�5�E35-(#A;� 5���!3(��1!��2P;�1*'G3�-(#0����3�#�`$#*'a4*'5'�4�h(2 �(#5#�"�#�":(h��54!���$4*'5'�4�ho�UU5UQB �C2�#*'$3(2E4A)�4$�! (#04�3V3�-(#G#!��"01*;G3�-(#V4�'5'�4�hU5UVd�#*3� $'5�C20HE�!;G3�-(#0�!�$3�#�`$#�'Vk�4$204�"5"$#�"a2� C�5��#�252!;� (�$��hU5UVd�#*3� $'5�C2��HE�*;03�-(#G���$3�#�`�#*'Vk�4$2A�(1*3G45"5"$#�"���$3Q���$3�^$�!�C2�#*'53Sl>���$3(oA4�'5'=p �!�$3V3�-(#$^!�5 565:C#*'=p ����3G4*'5'�^$�5#!��`�35-�r���!�$3EW(�54���#ED0R=N�!�$3a���C25#*'53�^*;(�54�`VDVR=N;(1*'=l5NTWC�54$��#5/$4*'5'�^5�$#!��`�3�-<NTW(�54$�5# ��(r���!;=l 4*'$'��.W(�54���# �$/�RCr��4*'5')�.W(�54$�5# �5D�3�-C#5^!�5 56$:(#*'=N���C25#*'53�^*;(�54�`VDaH�N

� �!;=l>����2�#*'53�^�;��54�`(r �'�#*35 $'��&H\N�

�'(#*3� $'�� ��H\N�

U5UG_5#54*'(�!-(#$2 3�-(#G4*'5'�45hE;�1*'Q402�W(#$�$�!;(�5� �$ 565:(#*'Sp 3�4*'$`�#*3U5UV'�#*3� $'5�C2P3�-(#04*'5'�4�ha����"$#�gQ�!;V3�4�'$`$#*3Vk(4$2A;�1* 5��"S+U5UV'�#*3� $'5�C2��HE�*;03�4*'�`$#*3Vk�4�2 �(1*3G;�1! 5��"<+���$3Q���$3�^$25#54*'(��-<l>���$3(oA4�'5'=p �!�$3V3�4*'�`$#*3=p �!�$3a4*'$'�^5�5#!�(`�3�-�r���!�$3a�EDGRN;(1*'=l>�ADGRN>��/$4*'5'�^5�$#!��`�3�-<N>����(r ��!;=l 4*'$'��v���5D$D�3�4*'$`�#*3Cr��'�#*35 $'��Q��N�

�'(#*3� $'�� ��H\N�

U5UG_5#*3(2E4$�5�V1*;G3�-(#E)(45�! (#$20���03�-(#G4*'5'�45hE3�1��(H)�1$��"G���$3�^����5#54*'Sl>���$3(oA4�'5'=p �!�$3G4*'5'(^5�5#!��`53�-�r���!�$3a�EDGRN;(1*'=l>�*D$RN>��/54�'5'�^5�5#*��`�3�-SN ����(r���!;=l 4*'$'��v���5D$D���H5r��'�#*35 $'��SN�4*'5'��v� �5D���H\N

��

U5Ua��1!WC��#�2P3�-(#0�51!�$3�#!��3G1*;a4�'5'a���$3(1G��1!W(hU5Ua�!;a��1!W(h$^5�5#!�(`�3�-Q�52A3�151G2!6(45�5�pw'�#*3� $'5�C2��HU5Ua�!;G4*'5'&�52V��1*WC��#�"E;C���(#px'�#*3� $'5�C20H���$3Q���$3�^$�51!W�hl>�!�$3(oE4*'$'=p ���$3CoV��1!W�h=p ���$3a4*'5'�^5�$#!��`�3�-<p ���$3a�51!W�h$^5�$#!��`�3�-\r���!�$3a�EDGRN�*;=l>��1!W(h$^5�5#!�(`�3�-(/54�'5'�^5�5#*��`�3�-�r �'�#*3� $'5� ��H\N�;(1*'=l>�*D$RN>��/$�51!W�h$^5�$#!��`�3�-<N>����(r ��!;=l>��/$4*'5'�^5�$#!��`�3�-\r����1!W(h��v���5D�4*'5'��v� �N�#5�$2�#���1!W(h��v���5D���H\N

< 2

Page 35: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

��'(#*3� $'�� H\N

U5UEW(�54$��#�2 �51$���Q4*303�-C#V#!��"a1*;G4*'5'U5UV'�#*3� $'5�C20HE�!;Q1��=p �(HV�!;0�(1*3<+���$3Q���$3�^! $�C��1!�Sl ���$3(oE4�'5'=p ����3(o �51$�!�Sp ����3G4*'5'�^$�5#!��`�35-Sp ���$3 �51$���(^$�5#!��`�35-�r���!�$3a����"�#�gVD��(H\N�!�$3a�ED$RN�!��"$#�gVDQ���$3�^�2�#54*'(�!-Sl 4*'5'Sp ��H\px4*'$'�^5�5#!�(`�3�-�r\N�*;=l>����"�#�g5D5D��(H5r��'�#*3� $'5� ��H\N� �*;=l5l 4*'$'�^5�5#!�(`�3�-#�$�!��"$#�g(r�/��51$���C^5�5#!��`53�-�r��'�#*3� $'5� ��H\N�;(1*'=l>�*D(����"$#�g=N>��/l>�!��"$#�g���51$���(^$�5#!��`�35-�r\N>�����(r��4*'5'��v� �5D �51$�!�)�v� �$�!��"$#�g�=N�'(#*3� $'�� H\N

U5UV'�#!6(1*)(#$2 �5 56$:(#*'V;5'(1!603�-(#G4*'5'�45hU5UV'�#*3� $'5�C20HE�!;G'�#!6(1�)�#�"p �(HE�!;V�C1*3���$3Q���$3�^*'(#!6(1*)�#l>���$3(oA4�'5'=p �!�$3E�5 56$:(#*'=p �!�$3a4*'$'�^5�5#!�(`�3�-�r���!�$3a�EDGRN�!�$3a����"�#�gVD��(H\N�*;=l 4*'5')�TR�ED5D���H5r��'�#*3� $'5� �5LN� �!��"$#�gVDQ���$3�^�2�#54*'(�!-Sl 4*'5'Spq�5 565:(#�'=px4*'5'(^5�5#!��`53�-�r\N�*;=l>����"�#�g$/�R(r �'�#*3� $'5� ��H\N�;(1*'=l>�*D(����"$#�g=N>��/l 4�'5'�^5�5#*��`�3�-#�(H5r\N>�����(r��4*'5'��v� �5D$4*'5')�v���(H��=N�4�'5'��n4*'$'�^5�5#!�(`�3�-#��H��5D���H\N'(#*3� $'�� H\N

� � q $ � . z q ,y�,� / q $ x ( " � q �y��� ���*�

5�"(������� �'�S"@2@���#" �7��D�����)-$G�Z2���)-& ���'��)-$9��+*���)1"(�f:=<?D�)*�7)*�7D����a&�)-+1.GT �(���325" ��� �'��T�"@[email protected](���a&�)1���,��)-" � � + ��)-$9� +-�,��)-" ���D���,7���: 9X�,���ZY7D�"(�@��� )1k'>C��",�����l3&f� :

� ��� � �*� �(� �R+� ������������������������������������������������������������� ������� e�-C�$20��1�"�#0�52P-C#54*)(���5hA:(4$2�#5"01!�a40`�'�4*)(�*3�4*3(��1*�(45�� �5:(15"5hAW$'�15`�'�4!60k$'(�!353�#*�V:�hEO�'<+ ��4�3530X*-(1*W$3� C���)�� 6(4*3$3��5�54!WC�54$��#=+7W5-�h�25�$�52+. 5:��+v��4� e�-(#V;(����HP'�1! $3(�!�(#Ak�4$2E'�#*k5'C�!353�#!�V3(1G��65WC�5#!6(#!��3V3�-(#� ?$#!�$�(4*'$"�� �51!�(#$2sWC1*3�#!�$3C��45�px4*��"V3�-C#V#!�(#*'�`5hE'�1! �3(���(#� k�4$2Ek5'(�!3$3�#!�03�1G��45�$�� C�54*3�#A35-(#0#!�C#*'$`5h01�;V3�-(#a2*h�2!3�#*6� ������������������������������������������������������������� ������W$'�15`�'�4!6 -5W(4*'53

��65WC�$�5�5�!3 �(1!�(#��-(4�'�4$�!3�#�'(o�J �*"*�56W(4*'(4!6(#*3�#�' l �*"*�56QD uT-5W(4�'53=u r���$3(#�`$#*' ��4*'$`��p ���("$�!�5:Sp �*I$4�'$`

<}<

Page 36: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

'�#54$�$o � ' �54*'$`'�#54$�$o � ' �5^!�(#�)�#*'=p �!6(1!6�gp 6(1!6�gp ��6(1!6�h=p 6(1!6(hW(4*'(4!6(#*3�#�' lw' �5^!�(#�)�#*'0D���H+TR5"��5M�Rar� ������������������������������������������������������������� ����������� 35;(�!�(45��� [(���(45�a���$3�#5`�'�4*3(�51!�V3(��6(#� "�3�1* $3�� Y! $3�W5 �3a���$3�#�'5)�45�� �$3�1* $3�� �G1*;Q1! $3�W5 �3V3(��6(#�2tl>��1!6$W5 $3�#�"Cr� 35'�4���#�� HP3�1E6(1!�C�!3(1*'a��1!��2�#*'5)�#5"$* (4!�$3C�!3(��#$2� ������������������������������������������������������������� ����������'�#54$�$o � 35;(���(4$�p "53�1! $3���$3(#�`$#*' �$3�1! $3�51�`(�5��45� 35'�4$��#� e�-(#a�� $3�1�;5;V;�1*'03�-(#V?�#!�5�(4*'�"�� �51!�C#$2sW(1*3�#*�$3(��45�'�#54$�$o � '$R

���C�5�! �"$# uv;(���,+v�!�C��u���$3(#�`$#*' 6(4�g*�(#$p �C# $W(4*'(4!6(#*3�#�' l 6(4�g*�(#$VDGMaoP6(4�g��5W&r

� ������������������������������������������������������������� ����������� ?$_5Y*O�c��4*'C��4!:(�5#�2+� ������������������������������������������������������������� ����������#�g�3(#*'��(45� ;(���Sp �54$�'�#54$�$o � hlv"p LpT6(4�g*�$W�r'�#54$�$o � 3�:�`*�Sp 3�#!��"���$3(#�`$#*' �!3�15�'�#54$�$o � '53�15�p 4*3�15����$3(#�`$#*' �!3�4$2��Sp �52!3�4�3�#p ��1!W$3���$3(#�`$#*' �*'5kW(4*'(4!6(#*3�#�' l �*'5kGDaL5L�V6(4�g*�(#$GoGH*Mar'�#54$�$o � '5k�1*'�Sl �*'5kCr���$3(#�`$#*' �$�!kW(4*'(4!6(#*3�#�' l �$�!kGDaL�R �V6(4�g*�(#$ar���$3(#�`$#*' �!k�1*'�Sl �$�!kCr���$3(#�`$#*' �*3'�#54$�$o � 3�15�'�#54$�$o � "$#*;�4! C�*3�^*3�1$�W(4*'(4!6(#*3�#�' lx"$#*;�4! C�*3�^*3�1$�EDQH+nR5"��5M r'�#54$�$o � "��52!3

� ������������������������������������������������������������� ����������� Y*3�-C#*'G�51$�545�$2� ������������������������������������������������������������� �������������$3(#�`$#*' 4p ��p �p �!3�1! $3Sp `$�*:5W5W

� ������������������������������������������������������������� ����������� @�4*'C2�#0��1!6$6(4!��"0�����(#04�'$`* 56(#*�$3(2tl>�!�C�!3(��4$�P)�45�! (#�2$r +5+5+� ������������������������������������������������������������� �����������!;=ls��4*'$`(��l r +n��3<+ LarE`$1A3�1GK�R5R35;(�!�(45�ED0' �54*'$`=l H\pn' �$^!�(#*)�#�'Cr"�3�1* $3 D0' �54*'$`=l Lpn' �$^!�(#*)�#�'Cr3�15� D0' �54*'$`=l Fpv"$#�;�4! (�*3(^*3�15��r� ������������������������������������������������������������� ����������� _5#*3G3�-(#A3$'�4$��#� ������������������������������������������������������������� ����������35'�4���#�D&H�!;=lx35;(���C45�m+n# $<+q' �5^!�C#*)�#*' +n1*'<+ "�3�1! $3 +n# $S+ ' �5^!�(#�)�#*'

<C?

Page 37: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

+n1*'<+ "�3�1! $3 +n�5#=+wRS+TR5"5RQrA`$1A3(10K�R5R� ������������������������������������������������������������� ����������� X$1!6$W5 $3�#P�$ 565:(#*'a1*;V 5���!;�1*'�6G3(��6(#02*3�#!WC2E'�# $* (#�2!3�#�"S+� ������������������������������������������������������������� �����������$3�1* $30DV3$;(���(45�0UV"�3�1* $3��QH+nJ�"5R� ������������������������������������������������������������� ����������� j$#*30W(4*'53C�5���5#E"(��4!6$3�#�'(2�px���C�*3(��45�PWC1$25�!3(�51!�C2E4!�("� )�#5�$1$�5�!3(�5#$2+� ������������������������������������������������������������� ������������45�$�V`$#*3C�!)(2�l5u �u5pT6Sp hpv"pT6C4�g*�5WSpn�5W�r�!;=lw�5W +n#$S+ RarA3�-(#!�k5'(�!3�#lvRp>o$rA��"*�56(U5Uu��q]�1EW(4*'53(�$���5#$2�u2!3�1!W#!��"Q�!;�(# $GD0MGoA�5W'$RGDE6Sl H$r�o�l L$o$o�l H+TR�U5M=+TR(r$r� ������������������������������������������������������������� ����������� Y! $35W5 $3V3�-C#G���C�*3(��45�E"(��4!6(#*3(#*'(2E4!�("AW(1$25�*3(��1!�C2� ������������������������������������������������������������� ����������k5'(�*3�#l>o�p o$rs�5W"$1a�EDaH p �5Wk5'(�!3�#l>o�p>o$r 6<l>�$r#!��"G"$13�:�`��aDVRS+nR5"5Rk5'(�*3�#l>o�p o$r 3�:�`��k5'(�*3�#l>o�p o$r���Hk5'(�*3�#l>o�p o$r���H"$1a�EDaH p �5Wk5'(�!3�#l>o�p>o$r h=l H\p H\p �$r\pwhl>Lp H\p>��r\pwhl Fp H\p>�$r#!��"G"$1� ������������������������������������������������������������� ��������� X$1!6$W5 $3�#0�!�C�!3(��4$���(���(#�3(�5��p WC1*3�#!�$3C��45�V4!�("E3�1*3�4$�0#!�(#�'$`5h� ������������������������������������������������������������� ����������6(1*6�gVD0R��6(1*6�hVD0R�!;=lx35'�4$�5#�r 3�-(#*���45�5�V#*�(#*'$`5h=lvhp 6Sps���5Z=p �!@5Z=pw"=p �5W�r"$10�ED&H\pT�5W��6(1*6�g0DG�!6(1!6�g��Vhl H\p>Lp>�$r��6(1*6�h0DG�!6(1!6�h��Vhl Lp>Lp>�$r#!��"V"$1k5'(�!3�#lvRp>o$r&u �!ZGDu$p>���5Z��Q�!@5Z#!��"Q�!;� ������������������������������������������������������������� ����������� _5#*3a?$_5Y!O(cAW(4*'�4*6(#*3�#*'C2 +5+5+� ������������������������������������������������������������� �����������!3�1$� D&H'53�1$� D03�15�4*3�1$� D03�15��!3�4�2�� D&H��1!W�3 DGR

�*3 DaL� ������������������������������������������������������������� ����������� O(1V3�-(#0����3�#�`�'�4�3(��1!� +$+5+� ������������������������������������������������������������� ����������"$1a�!3�1! $3GDGL p �$3�1! $3� ������������������������������������������������������������� ����������� _5#*3E�(#5g�3a1! �3�W5 $3V3C��6(#=+� ������������������������������������������������������������� ����������3�#!��"VD03�:�`*���0"�3�1* $3� ������������������������������������������������������������� ����������� B �$3�#�`5'�4*3�#A3(1A3�-(#E�(#�g�3G1* $3�W5 $303(��6(#=+

<mX

Page 38: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

� ������������������������������������������������������������� �����������52!3�4*3(#EDQH��45�5�V��2�1�"$4lv;(���SpT�C# $pvhpv3�:�`*�Spv3�#!��"p �*3�15�pn'$3�15�p 4�3�15�p>�*3�4$2��=p �$2!3�4*3�#p>��1!W$3Spn'5k�1*'��=p �*'5kSp>�!k�1*'��=p �$�!kSp��54$��p �*3Cr� ������������������������������������������������������������� ����������� X*-(#$���0;�1*'G?�_5Y!O�c0#�'5'�1*'G4*��"G#�g(�!3a�!;Q1!�(#V1$�$�� $'�#�"<+� ������������������������������������������������������������� �����������!;=l �52*3�4*3�#m+v�*3<+ R&r 3�-(#*�k5'(�*3�#lvRp H*J�R5R(rV�*"*�56Sp �52!3�4*3(#p �!3�1* $3=p �$3(1! $3=p 3�:�`*�Spw3�#!��"H*J�R$R ;�1*'56(4*3=l UuVu5p 4p$u��qZ5'5'(1*'0'�#�3� $'�� u$p>��Lp ux;5'�1!6 ���$3�#5`�'�4*3�1�'V?$_5Y!O�c<+*u U u c�3a1* $3�W5 $303(��6(#mu5p>��Jp$ux1*;mu5p ��J5U u B �$3�#�'5)�45� u$p H W(#�H$H+nFp5ua+5+Au5p H�W(#�H5H+vF5U�r`$1V3�10K5J5R#!��"G�!;

� ������������������������������������������������������������� ����������� Y! $3�W5 �3V3(��6(#04!��"EWC4*'53(�5�5�5#0��151�'$"����(4�3�#$2+� ������������������������������������������������������������� ����������k5'(�!3�#l>o�p>o$rs3(#!��"k5'(�!3�#l>o�p>o$r��(Hk5'(�!3�#l>o�p>o$r��(H"$10�ED&Htp �$Wk5'(�*3�#l>o�p o$rPhl H�p H\p>�$r�pwhl Lp H\p>�$r\pxhl Fp H�p>�$r#!��"V"$1�!;=l 35'(4$��#�r 35-(#!�6(1!6(g0D0R6(1!6(h0D0R"$1a�*D(H\pT�$W6(1!6�gVDV6(1!6�g��Vhl H�p Lp>�$r6(1!6�hVDV6(1!6�h��Vhl Lp Lp>�$r#!��"G"$1� ������������������������������������������������������������� ����������� Y! $35W5 $3V3�-C#0#!�(#�'$`5h04!�("A6(1!6(#*�$3� 56Q�!�$;�1E3(102!3$"$#�'5'� ������������������������������������������������������������� ������������45�$�0#!�(#�'$`5hlvh=p 6Sp �5ZSpw@5Z=px"p �5W\rk5'(�*3�#lvRp>J�R5R5R(rP3�#!��"p0l5l �5Z��0@5ZCr*Ul>���5Z��(�!@5ZCr5r5o$H!R5RS+nRk5'(�*3�#lvRp o$r uTWC���PWaD l5u5p>�!6(1!6�g��A6(1!6�gp$u5pVu5p>�!6(1!6�h��*6(1!6�hp$u r\uk5'(�*3�#lvRp o$rs6(1!6(g#!��"G�!;� ������������������������������������������������������������� ����������� Z���"a1*;a����3�#�`�'�4�3(��1!�a�$151!W,+� ������������������������������������������������������������� ����������#!��"G"$1

J�R5R ��1!��3(���5 (#2!3�1*W

� ������������������������������������������������������������� ����������� �C2�45`$#V#�g��*3<+� ������������������������������������������������������������� ����������K�R5R ��1!��3(���5 (#k5'(�!3�#lvRp>o$r&un C2�4�`$#��Au U5U$��"*�56(U5U u /*30;C���(45�580/�"�3G1! �3�8 �n/�3�15�58V/�35'�4$��#$8 �uk5'(�!3�#lvRp>o$r&uGuk5'(�!3�#lvRp>o$r&u ��4$2525#$2�p �����!3(��45�AW(1$25�!3C��1!�C2E4*��"uk5'(�!3�#lvRp>o$r&u )�#5�51��5�!3(��#�2E1*;VWC4*'53(�5�5�5#$2 '�#545"V;5'�1*6Suk5'(�!3�#lvRp>o$r&u 2!3�4!�("$4*'$"G�!�5W5 $3=u2!3�1*WJ�R5R$R�;�1*'56(4*3=l5uv3(��6(#ED=u5p [�M=+vFp5u lnZ�U$�!Z�r�o$H!R5R0Du5p [ �S+nF�r� ������������������������������������������������������������� ����������� ?$_5Y*O�c0#*'5'(1*'a#�g(�!3<+

< �

Page 39: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

� ������������������������������������������������������������� ����������K5J�R ��1!��3(���5 (#k5'(�!3�#lvRp>o$r&un�5:(1�"5h��qZ5'5'�1�'0'�#*35 $'��0;5'(1!6G?$_5Y*O�cu2!3�1!W2!3�1*W#!��"

�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D� X$45�$�$2E4! �g(���$��4*'�h� '�1! �3(���(# uv;(����H\uwk�-C�5��- ���$3�#�'�W$'�#*3C2 uvhu 4*��" uvh5"�1*3=u� 4$2E3�-$'�#5#V"���6(#!��25��1!�(4$�V4*'5'�45h�2P;�1*'Q��1�"����(`G��1!�$)(#!�C��#!����#p� 4!��"0k�-C�5�!-a4$�!3� C45�5��hG�!65W(�5#!6C#!�$3(2A# $� (4*3(��1*�C2E1*;06(1*3(��1*�,+�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D2� 5:�'�1! $3(�!�(#A;(���<lT�(# $pv3=pvhpvh$"$1*3Cr��65W(�$�$�5�!3 �(1!�(#���$3�#�`�#*' �(# $'�#545�$o � 3=p hlT�(#$(r\p h5"$1*3SlT�(# $(r��45�5�A;C����H\lvh=pvh5"$1*3SpT�(# $$U$Mpn3Cr'�#*3� $'5�#!��"

�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D� B 65W(�5#*6(#!�$3(2 35-(#V?$#*�5�(4*'$"�� �51!�(#�2E���$3�#*'#�!W(4*'53C�5���5#� W(1*3�#!��3(��45�=+ Y$25�5���$�54*3(��1*�C2E4!��"0`�'�4*)(�*3$h04$2Ek�#5�5�=+�� [(�!'(2!3 ����"$#5g�� "��!6(#!�C25�51!� l>��1$1*'$"����C4*3�#�r� _5#$��1!�("G����"$#5g�� W(1�25�!3(��1*�C2tl H5rE1*'0)�#$�51$�5�!3C��#$2 l L�r� e�-C�!'$" ����"$#5g�� W(4�'53(�5���$#P�5 565:C#*'�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D2� 5:�'�1! $3(�!�(#A;(���\H\lvhpvh$"$1*3=pT�$W(4*'53=pv3Cr��65WC�$�5�5�!3 �(1*�(#���C�5�! �"$# un;(�!�,+v���C�u���$3(#�`$#*' �(#$p �51$2$2*h���$3(#�`$#*' �5WC4*'53'�#54$�$o � hl>Fp LpT�$W(4*'53Cr�p h5"$1�3=l Fp LpT�5W(4*'$3Cr'�#54$�$o � 3���$3(#�`$#*' 4p ��p �'�#54$�$o � "��$2!3=p �!;�1�'(��#p '�R'�#54$�$o � "�;(1*'(��#'�#54$�$o � ;5'(# $p 4!65W'�#54$�$o � `���$3(#�`$#*'EWC�54$���W(�54����GDQH`0DaL=+TR5"$R"�;�1�'(��#EDGRS+TR5"5R�!;�1�'(��#EDGRS+TR5"5R'$RGDE6Sl H$r�o�l L$o$o�l H+TR$"5R$U5M=+nR5"5R(r5r�51$2$2*hVDQH;5'�#$0D0J=+nR5"5R4!65WQDVRS+nL$J�"5R� ������������������������������������������������������������� ����������� B 65WC�5#!6(#!��3G# $* (4�3(��1!�C2Ak�-C�5��-a"$#*;(���C#A)�#5�51��5�!3(��#�2�p� 4!��"Q���C�!3C��45�$�*b�#E4$�5��#5�$#*'�4*3(�51!�C2P3�1VRS+� ������������������������������������������������������������� ����������"$1a�EDaH p �5W(4�'53"$1V4VD Htpx"h5"$1�3=l 4p H�p>�$rPDGhl 4p Lp>�$r�!;=lwW(�54$�!� +.�(#=+ H5r 3�-C#!�

<$E

Page 40: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

�!;=l 4 +n# $S+xL�r 3�-(#*�h5"�1*3=l 4p>Lp>�$r D���`��04*65WCo�ln;$'�# $�o5o5L�r�o5��1�2�ln;5'�#$�o!3Cr#5�$2�#h5"�1*3=l 4p>Lp>�$r DGR#!��"a�*;#5�$25#h5"$1*3=l>4p Lp>��rPDVR#!��"Q�!;#!��"V"$1#!��"G"$1� ������������������������������������������������������������� ����������� ?$151*WQ1*)�#�'EW(4$�!'C2E1*;VWC4*'53(�5�5�5#$2�px��1*65W5 $3�#AW(4$�!'���k(�52�#� ;�1*'C��#$2E4!�("E 5W�"�4*3�#V4$�$��#5�5#*'(4*3(��1!��2A1*;Qo�:C1*3�-Co� W(4*'$3(�5���5#�2E4*;5;�#��!3�#�"A:(h0#54$��-a;�1*'(�5#=+� ������������������������������������������������������������� ����������"$1a�EDaH p �5W(4�'53"$1 �VDQ���(H pw�5W(4*'$3� ������������������������������������������������������������� ����������� X$1!6$W5 $3�#025#!W(4*'�4�3(��1!�� ������������������������������������������������������������� ����������"��52*3GD0R<+TR5"5R"$1G4VDQHtpx""��52!30DG"��52!3�� lvhl>4p H\p��(r��Vhl>4p H\p>��r5r�o5o�L#!��"G"$1"��52*3GDa2 $�'53=lv"(�52!3Cr�!;=l "��52!3 +v�*3<+ '�R(r 3�-(#*��!;�1*'(�5#ED��l>M$o�lT6Sl H5r�o5o�M(r5r*Ulv"(�52!3(o5o ��r �

l H*L�o�lT6Sl H$r�o5o$H*L(r5r*Ulv"(�52!3(o5o�H!I(r"$104EDCH\pv""�;(1*'(��#ED���`$4!6$6(4$o�lvh=l 4p H\p �$r���hl>4p H\p��(r5r�o�lvh=l 4p Lp �$r ��hl>4p Lp��(r5r*Ulv"(�52!3(o5o5L�r#!��"0"�1� ������������������������������������������������������������� ����������� �5W�"�4*3�#V4$�$���C2�p 6C4��(����`V C2�#V1�;0[�^����AD��V[�^$� �� ������������������������������������������������������������� ����������

"$104ED&Htp "h5"�1*3=l 4p>Lp>�$r DGh5"$1*3=l>4p Lp>��r � �!;�1�'(��#0o lvhl 4p H\p>�$r��Vhl 4p H�p���r5r ��"�;(1*'(��#$olvhl 4p H\p>�$r��5hl 4p H�p���r5rh5"�1*3=l 4p>Lp���r DGh5"$1*3=l>4p Lp��(r � �!;�1�'(��#0o lvhl 4p H\p���r��Vhl 4p H�p>�$r5r ��"�;(1*'(��#$olvhl 4p H\p���r��5hl 4p H�p>�$r5r#!��"0"�1#!��"Q�!;#!��"V"$1� ������������������������������������������������������������� ����������� ��45�$�$2� ������������������������������������������������������������� ����������"$1 �VD&H\p L�!;=l$l H!R���h=l��p H\p �$r5rt+n�5#S+ '$R$U$L�r 3�-(#*�"��52!30D0'$R$U5L��aH!R��Vhl��p H\p>�$r�!;�1*'(�5#ED��5M�o�lT6Sl H$r�o5o�M�r�Ulv"��52*3(o5o � r��(H*L$o�ln6Sl H5r�o$o$H*L�r*Ulv"��52!3Co5o$H*F�rh5"$1*3=l �p Lp>��rPDVh5"$1�3=l��p Lp>�$r��a�!;�1*'(�5#"�;�1*'(�5#ED0`$4*656(4*k(o�"��52!3(o�hl��p Lp>�$r*Ul "��52!3(o$o�L�r�!;=l �$1$252*h +v# $S+xH5rA3�-(#!�h5"�1*3=l��p>Lp>�$r DGh5"$1*3=l �p Lp>��r��V"�;�1�'(��#$o*"(�52!3#!��"a�*;#!��"Q�!;�!;=l hl��p H�p>�$r +n�$#=+q'$R$U$L�rP3�-C#!�"��52!30D0'$R$U5L��5hl��p H\p>�$r�!;�1*'(�5#ED��5M�o�lT6Sl H$r�o5o�M�r�Ulv"��52*3(o5o � r��(H*L$o�ln6Sl H5r�o$o$H*L�r*Ulv"��52!3Co5o$H*F�rh5"$1*3=l �p Lp>��rPDVh5"$1�3=l��p Lp>�$r��Q�!;�1*'(�5#"�;�1*'(�5#ED0`$4*656(4*k(o�"��52!3(o�hl��p Lp>�$r*Ul "��52!3(o$o�L�r�!;=l �51�252*h +n#$S+xH5rA3�-(#!�h5"�1*3=l��p>Lp>�$r DGh5"$1*3=l �p Lp>��r��V"�;�1�'(��#$o*"(�52!3#!��"a�*;

<}f

Page 41: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

#!��"Q�!;#!��"V"$1#!��"G"$1'�#*35 $'��#!��"

�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D� O5 56$6�h��54$�51!:C��4!�G'�1! $3(�!�(#=+�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D2� 5:�'�1! $3(�!�(# �54$���65W(�$�$�5�!3 �(1!�(#���C���! ("$# uv;(���,+v�!�C��u'�#*3� $'5�#!��"

�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D� d�#545"�2P3�-(#0"���4!6C#*3�#*'(2V4!��"G����3(��45�0�51!��"��!3C��1!�C2E1�;03�-(#� W(4*'$3(�5���5#�2P;5'�1!6Q4E;(���$#�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D2� 5:�'�1! $3(�!�(#E`$#*3C�!)(2�ln;5�(4!6(#pn6Spvh5Rp "pT6(4�g��5WSpT�5W\r��65WC�$�5�5�!3 �(1!�C#���$3(#�`$#*' ����"��!�5:Sp `$#�3� ��-(4�'�4$�!3�#�'(o�l>o$r ;��(4*6(#���$3(#�`$#*' 6(4�g��5WSp �5W<p "'�#54$�$o � 6SlT6C4�g*�5W�r�p h5R=lv"p Lpn6(4�g*�5W\r���$3(#�`$#*' C2!3�"����W(4*'(4!6(#*3�#�' l C2!3�"����GDaJar'�#54$�$o � 6C��p gl>F�r\p )=l F�r���$3(#�`$#*' $;5'(1!6Sp '(�p ��5WQD0R�!;=lx;��(4!6C#m+n# $S+Eu"�usrA3�-(#!� $;5'�1!6aDE C2!3�"����#5�$25# $;5'�1!6aD0`$#*35 Sl r1!W(#!�Sln $;5'�1!6<pn;(���5#5D�;��(4!6C#l H��v�!��"$�!�5:<ln;��(4!6C#�r5r\p ;(1*'�6�Duv;�1*'�6(4�353�#�"u$p>2!3�4*35 C2*Du 1$��"u5p>�51$2!3�4*3�D�'(�$r�!;=l '(� +.�(#=+ RQrP35-(#!�k5'(�*3�#lvRp o$r uv"�)$;5'�1!6)� Z5'5'�1*'a1!W(#!�C�!��` u5p ;��(4*6(#l H�� ����"$�!�$:Sln;��(4*6(#�r5r'�#*35 $'��#!��"G�!;#!��"Q�!;

H!R$R ��1!��3(���5 (#'�#545"lT $;5'(1!6Sp>o�p ��1$2!3�4�3$D�'(��p>#!��"5D$L5R5R(rx6C��pxg=p )�!;=lx'(� +n#$S+ RarA3�-(#!��5WGDE�$W��QH�!;=l �5W +T`�3<+q6(4�g*�5Wtr 3�-(#*�k5'(�*3�#lvRp o$r uv`�#*3(�!)(2��qd�#54�"E6(4�g���6$ 56a1*; u5p 6(4�g��5WSpVux;5'�1!6 u$p ;��(4*6(#l H�� ����"$�!�$:Sln;��(4*6(#�r5r�5WQDE6(4�g��5W`$1V3�10L�R$R#!��"G�!;6SlT�5W�rADE6C�"$10�ED&Htpw"h5Rl ��p H\pT�$W�rPD0g=l>�$rh5Rl ��p LpT�$W�rPDV)Sl>�$r

<}G

Page 42: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

#!��"V"$1#!��"Q�!;`$1V3�1GH!R5RL�R$R ��1!��3(���5 (#�!;=lw $;5'�1*6 +.�(#=+q C2!3$"��!�&rP3�-C#!����51$2�#lT $;5'�1*6�r#!��"Q�!;'�#*35 $'��#!��"

� �������������������������������������������������������������� '�1! �3(���(#A3(1G��1!6$W5 $3�#��C���(#*3(�$�E4!��"AWC1*3�#!�$3C��45�� #!�(#�'$`���#$20���G3�-C#02*h�2!3(#!6� �������������������������������������������������������������2� 5:�'�1! $3(�!�(#V#!�(#�'$`5hlvh=p 6Sp �5ZSpw@5Z=px"p �5W\r��65WC�$�5�5�!3V�(1!�(#���$3(#�`$#*'0"=p �5W'�#54$�$o �Ehl "p LpT�$W�r\p 6Sln�5W�r'�#54$�$o � �5ZSpw@5Z���$3(#�`$#*'a�p �px4'�#54$�$o �E"��$2!3'�#54$�$o �A'$R'$RGDE6Sl H$r�o�l L$o$o�l H+TR�U5M=+TR(r$r�5ZaD0R@5ZaD0R"$1a�*D(H\pT�$W"$1V4�D(H�px"

�5ZaD �5Z�� lvhl 4p Lp>�$r5o5o�L�r#!��"V"$1"$1 ��D(H��(H\pT�5W�!;=l �m+.�(#S+ ��rP35-(#!�"��52!30DGR"$104ED&H\pv""��$2!30D0"(�52!3�� lvhl 4p H\p���r��5hl 4p H�p>�$r5r�o$o�L#!��"0"�1"��52!30DQ2�$�'53Slv"��52!3�r�!;=lv"��$2!3 +n�5#S+q'$R(rA3�-(#!�@5ZGDV@5Z��lT6Sl H$r*U�"��52*3Cr�o5o$H�L� lT6Sl H$r*U�"��52*3Cr�o5o�M �QH+TR$U�IS+nR#!��"a�*;#!��"Q�!;#!��"V"$1#!��"G"$1�5ZaD �5Z�U$L'�#*35 $'��#!��"

� �f� + � �?�R�5� ��*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D� ;(���9+v���C��� c*W5WC�$�5��4*3C��1!�Q2�WC#$�5�!;(�$�V��1!656C1!�V:(�51����V;�1*'Q��1!6565 $�C�5��4*3C��1!�0k(�*3�-� "$#*'$)(��4*3(�*)�#V#*)�4$�! (4*3(�!��`A'�1! $3C���(# un;C���Su0l>1!W$3(��1*�(45��rt+5+$+�*D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D5D$D5D5D5D�D5D$D5D5D5D5D$D���$3(#�`$#*' 6(4�g*�5WW(4*'(4!6(#*3�#�' l 6(4�g*�5WQDaHAR$R5RQr

���$3(#�`$#*' "W(4*'(4!6(#*3�#�' lx"0DGFQr'�#54$�$o � 6SlT6(4�g��5W�r���$3(#�`$#*' �5W

?mo

Page 43: laplace.physics.ubc.calaplace.physics.ubc.ca/Members/matt/Doc/Theses/Bsc/wilson.pdf · ! "$# %& ' (*) % +-,. / ' 10324 5 6 %7 98;:

'�#54$�$o � `$4!656(4'�#54$�$o � `$4!656(4�kW(4*'(4!6(#*3�#�' lx`$4!656(40DaH!R5R<+TR5"5R(rW(4*'(4!6(#*3�#�' lx`$4!656(4�k0DQH+nR5"5R(r��1!6$6(1!�aUa��1!6(^*;C���aU 6Sp �5W

? 3