Operaciones con matrices

OPERACIONES CON MATRICES

OBJETIVOS

- COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA MATRIZ Y SU APLICACIÓN CORRESPONDIENTE.

- QUE LAS OPERACIONES CON MATRICES SEAN UN HERRAMIENTA Y NO Y PROBLEMA A LO LARGO DE LA CARRERA

- ADQUIRIR LAS HABILIDADES NECESARIAS PARA LAS OPERACIONES CON MATRICES

Matriz:Conjunto

rectangular de números

Características:- Se encierran entre

corchetes- A los números se los

denominan Entradas o Elementos

- Se las designan por letras mayúsculas A, B, C, etc.

Ejemplo

-4 -8 1

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

Entrada ó

Elemento

Otros Ejemplos

B =1 0

0 1C =

Ahora trabajemos con

los elementos

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

Fila 1

Fila 2

Fila 3

LAS FILAS SE CUENTAN DESDE ARRIBA PARA ABAJO

los elementos

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

LAS COLUMNAS

SE CUENTAN DE

IZQUIERDA A

DERECHA

los elementos

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

Fila 1

Fila 2

Fila 3

los elementos

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

Fila 1

Fila 2

Fila 3

Podemos decir que esta

matriz tiene en total

3 filas y 4 columnas

Definimos:

Una matriz con m filas y n columnas es

una matriz m x n o es de

dimensión m x n

los elementos

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

Definimos:

dimensión m x n

-4 -8 1B =

0 1C =

2 x 3 2 x 2

Una matriz con n filas y n columnas es

una matriz cuadrada

de dimensión n x n

los elementos

Definimos:

dimensión m x n

0 1C =

Una matriz con n filas y n columnas es

una matriz cuadrada

de dimensión n x n

los elementosUna matriz con m filas y n columnas es

dimensión m x n1 0

0 1C =

2 x 2 Una matriz con n filas y n columnas es

una matriz cuadrada

de dimensión n x n

Definimos:

Una matriz con n filas y 1 columna es

una matriz Columna

de dimensión n x 1

Una matriz con 1 fila y n columnas es

una matriz Fila

de dimensión 1 x n

2 3 0E =

Seguimos trabajando

con los elementos

Volvamos a la matriz:

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

Cada elemento de la matriz A se

identifica por la fila y la columna a

la que pertenece

Decimos: el elemento (2, 3) de

la Matriz A, es el elemento que

pertenece tanto

a la fila 2

y a la columna 3 ( a la vez )

Entonces el elemento (2, 3) de la

matriz A es 0

Seguimos trabajando

con los elementos

Volvamos a la matriz:

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

Cada elemento de la matriz A se

identifica por la fila y la columna a

la que pertenece

GENERALIZAMOS

El elemento (i, j) de una matriz

es el número que pertenece

simultáneamente a la fila i y a

la columna j

El elemento (i, j) de la Matriz A

se denomina aij

a23= 0 a31= a34= 4 9

Generalizando los elementos de la matriz A

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

a11 a12 a14a13

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

…….

A = aij

5 5 10

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

MATRIZ CUADRADA

a11 , a33, a22 , …… , ann

aiji = j DIAGONAL PRINCIPAL

Si una matriz es de dimensión m x n, tiene mfilas y n columnas

Si se habla del elemento (i, j) de una matriz, éste pertenece a la fila i y a la columna j

Si un elemento se denota como aij , el primer subíndice i se refiere a la fila y el segundo subíndice j a la columna a la que pertenece aij

CONVENCION CONCERNIENTE A LAS FILAS Y LAS COLUMNAS

LAS FILAS SIEMPRE SE

MENCIONAN ANTES

QUE LAS COLUMNAS

Tienen la misma dimensión Los elementos

correspondientes son iguales

Veamos la primera operación con matrices

IGUALDADDos matrices A y B son iguales

esto es A=B si y solo si:

Si A= [ aij ] B= [ bij ]y

La segunda condición se

cumple si: [ aij ] = [ bij ] Lo que significa:

aij = bij para todo i , j

a11 = b11

Veamos la primera operación con matrices

IGUALDAD

La segunda condición se

cumple si: [ aij ] = [ bij ] Lo que significa:

aij = bij para todo i , j

a12 = b12

a13 = b13

amn = bmn

Ejercicios:

A =a b

c d B =1 2 -1

3 0 1C =

Discutir la posibilidad de

que A=B , B=C , A=C

A es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego la operación

no es posible porque tienen distintas

dimensiones

Así también C es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego

la operación no es posible porque tienen

distintas dimensiones

Ejercicios:

A =a b

c d B =1 2 -1

3 0 1C =

Discutir la posibilidad de

que A=B , B=C , A=C

A es 2 x 2 y C es 2 x 2 tienen iguales

dimensiones, luego la igualdad esta definida

Igualando ambas matrices tenemos:

a = 1 , b = 0

c = -1 , d = 2

Adición de Matrices

Sean A y B dos matrices de igual

dimensión

Su suma A + B

Es la matriz formada al sumar sus

elementos correspondientes.

A + B = [ aij + bij ]

ALGEBRA VECTORIAL

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

A + B =

a11 ….

+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +

b21a21 ….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +

bm1am1 ….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+

ALGEBRA VECTORIAL

A =2 x 3

8 -4 0

1 2 -1 B =5 2

-1 -3 -1y4

5A + B =

8 + 4-4+ 20 +

-11 + -32 + -1-1+2 x 3

A + B =13 0 2

0 -1 -22 x 3

A + B =

Matrices Características

ALGEBRA VECTORIAL

Es aquella cuyo elementos son todos

iguales a cero “o”

Matriz Cero:

Es decir: 0= [ 0ij ]

011 012 01n013

021 022 023 02n

0m1 0m2 0m3 0mn

0 =2 x 2

ALGEBRA VECTORIAL

Matrices Características

Es aquella que se obtiene de multiplicar

cada elemento de la matriz por -1

Matriz Opuesta:

Es decir si A= [ aij ] -A= [-aij ]

3 -4 0

8 1 -1 -A =2 x 3

(-1)x3 (-1)x-4 (-1)x0

(-1)x8 (-1)x1 (-1)x-1

-3 4 0

-8 -1 1

ALGEBRA VECTORIAL

RestaSi A y B son dos matrices m x n , la

Diferencia se define como:A - B = A + (-B) = [ aij - bij ]

A =2 x 3

8 -4 0

1 2 -1 B =5 2

-1 -3 -1y4

5A - B =

8 - 4-4- 20 -

(-1)1 - (-3)2 - (-1)-1-2 x 3

A - B =3 -8 -2

2 5 02 x 3

ALGEBRA VECTORIAL

Multiplicación por un EscalarSi A es una matriz cualquiera y k es un

número cualquiera, el producto kA el la

matriz obtenida de multiplicar cada elemento

de A por k:Es decir si A= [ aij ] kA= [kaij ]

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

ka11 ka12 ka1nka13

ka21 ka22ka23 ka2n

kam1kam2 kam3kamn

ALGEBRA VECTORIAL

Propiedades de la Adición de matrices y la

Multiplicación por un Escalar

Sean A, B y C matrices arbitrarias m x n, donde m y n son

fijos y k y p números reales cualesquiera, entonces:

1- A + B = B + A

2- A + (B + C) = (A + B) + C

3- Existe una matriz m x n, tal que 0 + A = A + 0 = A para cada A

4- Para cada A, existe una matriz m x n , -A, tal que A + (-A) = 0

5- k (A + B) = kA + kB

6- (k +p) A = kA + pA

7- (kp)A = k(pA)

8- 1A = A

Pero el [ aij + bij ], elemento ij de la suma es un número real;

Luego por la propiedad conmutativa de los números reales

aij + bij = bij +aij

Por lo que podemos escribir:

A + B = [ bij + aij]

ALGEBRA VECTORIAL

Propiedad 1 A + B = B + A

Sean A = [aij] y B = [bij]

A + B = [ aij + bij ] * por definición

y B + A = [ bij + aij ] * por definición

Teniendo en cuenta las ultimas sentencias podemos

escribir A + B = B + A , como se quería probar.

ALGEBRA VECTORIAL

Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C

Utilizamos otro método:

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

c11 c1nc13

c21 c22 c23 c2n

cm1 cm2 cm3 cmn

ALGEBRA VECTORIAL

Trabajemos primero con el primer Término de la ecuación

A + ( B + C)

Realizamos primeramente la suma contenida dentro del

paréntesis.

( B + C) =

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

c11 c1nc13

c21 c22 c23 c2n

cm1 cm2 cm3 cmn

( B + C) =

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

c11 c1nc13

c21 c22 c23 c2n

cm1 cm2 cm3 cmn

ALGEBRA VECTORIAL

( B + C) =

b11 ….+ c12b12 + c13b13 + c1nb1n +

c21b21 ….+ c22b22 + c23b23 + c2nb2n +

cm1bm1 ….+ cm2bm2+ cm3bm3 + cmnbmn+

ALGEBRA VECTORIAL

Ahora realizamos la suma completa:

A + ( B + C)

A + ( B + C) =

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

….+ c12b12 + c13b13 + c1nb1n +

c21b21

….+ c22b22 + c23b23 + c2nb2n +

cm1bm1

….+ cm2bm2+ cm3bm3 + cmnbmn+

A + ( B + C) =

a11 + c11b11 + ….a13 + c13b13 +a12 + c12b12 + a1n + c1nb1n +

am1 + cm1bm1 + ….am3 + cm3bm3 +am2 + cm2bm2 + amn + cmnbmn +

ALGEBRA VECTORIAL

Trabajemos ahora con el segundo Término de la ecuación

(A + B ) + C

Realizamos primeramente la suma contenida dentro del

paréntesis.

( A + B) =

a11 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

ALGEBRA VECTORIAL

( A + B) =

a11 ….+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +

b21a21 ….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +

bm1am1 ….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+

( A + B) =

a11 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

ALGEBRA VECTORIAL

Ahora realizamos la suma completa:

(A + B) + C

(A + B) + C =

c11 c12 c1nc13

c21 c22 c23 c2n

cm1 cm2 cm3 cmn

….+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +

b21a21

….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +

bm1am1

….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+

A + ( B + C) =

am1 + cm1bm1 + ….am3 + cm3bm3 +am2 + cm2bm2 + amn + cmnbmn +

ALGEBRA VECTORIAL

Verificando las ecuaciones 1 y 2

Vemos que el desarrollo matricial es el mismo; por lo

A +( B + C) = (A + B) + C

ALGEBRA VECTORIAL

Matriz Transpuesta

SI A es una matriz m x n, la transpuesta de A, escrita AT,

es la matriz n x m cuyas filas corresponden a las

columnas de A

Si A = [aij] se define AT= [aji]

a11 a12 a13

a21 a22 a23

AT= a11

ALGEBRA VECTORIAL

Matriz Transpuesta

Propiedades de la Transposición

Sean A y B dos matrices de la misma dimensión y k un

escalar

1- Si A es cualquier matriz m x n, entonces AT es una

matriz n x m

2- (AT)T = A

3- (kA)T= k AT

4- ( A + B )T = BT +AT

ALGEBRA VECTORIAL

Matriz Simétrica

Se dice que una matriz es simétrica si A = AT

y A es necesariamente una matriz cuadrada.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a333 x 3

Hacemos A = AT

a11a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Los elementos de la diagonal principal no varían.

Y los elementos simétricos en relación a la diagonal principal son iguales

a12 = a21

a13= a31

a23 = a32

ALGEBRA VECTORIAL

Operaciones con matrices

Education

Operaciones Con Decimales

Operaciones Con Sistemas Numericos

Operaciones aritmeticas con spinner

Operaciones matematicas con arreglos´ - PRINCIPALmetodosnumericoscem.weebly.com/uploads/2/5/9/7/... · Introduccion´ Operaciones del algebra linealSistemas de ecuaciones Operaciones

MATRICES Y DETERMINANTES - Academia Cartagena99...MATRICES Y DETERMINANTES RANGO DE UNA MATRIZ 4 Matrices equivalentes Existen una serie de operaciones que se pueden realizar entre

MATRICES. ÍNDICE. 1. Matrices 1.Definición de matriz 2.Tipos de matrices 2. Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales 3. Operaciones con

10 Operaciones Con Enteros (Logikamente)

Operaciones con Winche en Pozos Petroleros

Operaciones Con Expreciones Algebraicas

Codificar Con Matrices

Operaciones Con El Modulo de Spatial Analyst de ArcGis Parte 1

MATRICES Y DETERMINANTES - Academia Cartagena99€¦ · EJERCICIOS RESUELTOS 4 Operaciones con matrices Dadas las matrices A, B, C y D realizar las operaciones indicadas cuando sea

NS 008 - Operaciones Con Autoelevadores

Ejerc Con MATRICES

Operaciones con términos algebraicos imagenes

Capıtulo 2´ Algebra de matrices´ - etsist.upm.es · Capıtulo 2´ Algebra de matrices´ 2.1. Operaciones con matrices La forma de denotar los elementos de una matriz ya la introdujimos

Conversion de Matrices, multiplicacion y operaciones con las matrices de dos dimensiones a otras requeridas

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

Matrices y Determinantes para Matemáticas II. 2º Bach · Matrices y Determinantes para Matemáticas II. 2º Bach * Definición de matriz * Tipos de matrices * Operaciones con matrices

Tema - Operaciones con Potencias