Operaciones con matrices

OPERACIONES CON MATRICES

OBJETIVOS

- COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA MATRIZ Y SU APLICACIÓN CORRESPONDIENTE.

- QUE LAS OPERACIONES CON MATRICES SEAN UN HERRAMIENTA Y NO Y PROBLEMA A LO LARGO DE LA CARRERA

- ADQUIRIR LAS HABILIDADES NECESARIAS PARA LAS OPERACIONES CON MATRICES

Matriz:Conjunto

rectangular de números

Características:- Se encierran entre

corchetes- A los números se los

denominan Entradas o Elementos

- Se las designan por letras mayúsculas A, B, C, etc.

Ejemplo

0 2 4

-4 -8 1

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

Entrada ó

Elemento

A =

Otros Ejemplos

B =1 0

0 1C =

Ahora trabajemos con

los elementos

Sea

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

A =

Fila 1

Fila 2

Fila 3

LAS FILAS SE CUENTAN DESDE ARRIBA PARA ABAJO


los elementos

Sea

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

A =

CO

LU

MN

A

1

CO

LU

MN

A

2

CO

LU

MN

A

4

CO

LU

MN

A

3

LAS COLUMNAS

SE CUENTAN DE

IZQUIERDA A

DERECHA


los elementos

Sea

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

A =

Fila 1

Fila 2

Fila 3

CO

LU

MN

A

1

CO

LU

MN

A

2

CO

LU

MN

A

4

CO

LU

MN

A

3


los elementos

Sea

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

A =

Fila 1

Fila 2

Fila 3

CO

LU

MN

A

1

CO

LU

MN

A

2

CO

LU

MN

A

4

CO

LU

MN

A

3

Podemos decir que esta

matriz tiene en total

3 filas y 4 columnas

Definimos:

Una matriz con m filas y n columnas es

una matriz m x n o es de

dimensión m x n


los elementos

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

A =

Definimos:



dimensión m x n

3 x 4

0 2 4

-4 -8 1B =

1 0

0 1C =

2 x 3 2 x 2

Una matriz con n filas y n columnas es

una matriz cuadrada

de dimensión n x n


los elementos

Definimos:



dimensión m x n

1 0

0 1C =

2 x 2

Una matriz con n filas y n columnas es

una matriz cuadrada

de dimensión n x n


los elementosUna matriz con m filas y n columnas es


dimensión m x n1 0

0 1C =

2 x 2 Una matriz con n filas y n columnas es

una matriz cuadrada

de dimensión n x n

Definimos:

Una matriz con n filas y 1 columna es

una matriz Columna

de dimensión n x 1

Una matriz con 1 fila y n columnas es

una matriz Fila

de dimensión 1 x n

5

2D =

2 x 1

2 3 0E =

1 x 3

Seguimos trabajando

con los elementos

Volvamos a la matriz:

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

A =

3 x 4

Cada elemento de la matriz A se

identifica por la fila y la columna a

la que pertenece

Decimos: el elemento (2, 3) de

la Matriz A, es el elemento que

pertenece tanto

a la fila 2

y a la columna 3 ( a la vez )

Entonces el elemento (2, 3) de la

matriz A es 0

Seguimos trabajando

con los elementos

Volvamos a la matriz:

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

A =

3 x 4

Cada elemento de la matriz A se

identifica por la fila y la columna a

la que pertenece

GENERALIZAMOS

El elemento (i, j) de una matriz

es el número que pertenece

simultáneamente a la fila i y a

la columna j

El elemento (i, j) de la Matriz A

se denomina aij

a23= 0 a31= a34= 4 9

Generalizando los elementos de la matriz A

2 1 7 5

3 22 0 5

4 -1 5 9

A =

3 x 4

A =

3 x 4

a11 a12 a14a13

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

A =

m x n

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

…….

…….

…….

A = aij

A =

3 x 3

2 4 9

1 0 2

5 5 10

A =

3 x 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

MATRIZ CUADRADA

a11 , a33, a22 , …… , ann

aiji = j DIAGONAL PRINCIPAL

Si una matriz es de dimensión m x n, tiene mfilas y n columnas

Si se habla del elemento (i, j) de una matriz, éste pertenece a la fila i y a la columna j

Si un elemento se denota como aij , el primer subíndice i se refiere a la fila y el segundo subíndice j a la columna a la que pertenece aij

CONVENCION CONCERNIENTE A LAS FILAS Y LAS COLUMNAS

LAS FILAS SIEMPRE SE

MENCIONAN ANTES

QUE LAS COLUMNAS

Tienen la misma dimensión Los elementos

correspondientes son iguales

Veamos la primera operación con matrices

IGUALDADDos matrices A y B son iguales

esto es A=B si y solo si:

Si A= [ aij ] B= [ bij ]y

La segunda condición se

cumple si: [ aij ] = [ bij ] Lo que significa:

aij = bij para todo i , j

a11 = b11

Veamos la primera operación con matrices

IGUALDAD


La segunda condición se

cumple si: [ aij ] = [ bij ] Lo que significa:

aij = bij para todo i , j

a12 = b12

a13 = b13

amn = bmn

Ejercicios:

Dadas

A =a b

c d B =1 2 -1

3 0 1C =

1 0

-1 2

Discutir la posibilidad de

que A=B , B=C , A=C

A es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego la operación

no es posible porque tienen distintas

dimensiones

Así también C es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego

la operación no es posible porque tienen

distintas dimensiones

Ejercicios:

Dadas

A =a b

c d B =1 2 -1

3 0 1C =

1 0

-1 2

Discutir la posibilidad de

que A=B , B=C , A=C

A es 2 x 2 y C es 2 x 2 tienen iguales

dimensiones, luego la igualdad esta definida

Igualando ambas matrices tenemos:

a b

c d=

1 0

-1 2

a = 1 , b = 0

c = -1 , d = 2

Adición de Matrices

Sean A y B dos matrices de igual

dimensión

Su suma A + B

Es la matriz formada al sumar sus

elementos correspondientes.


A + B = [ aij + bij ]

ALGEBRA VECTORIAL



A =

m x n

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

…

….

…

B =

m x n

b11

b11

b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

…

….

…

y

A + B =

m x n

a11 ….

b12

+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +

b21a21 ….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +

bm1am1 ….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+

ALGEBRA VECTORIAL



A =2 x 3

8 -4 0

1 2 -1 B =5 2

-1 -3 -1y4

2 x 3

5A + B =

8 + 4-4+ 20 +

-11 + -32 + -1-1+2 x 3

A + B =13 0 2

0 -1 -22 x 3

A + B =

Matrices Características

ALGEBRA VECTORIAL


Es aquella cuyo elementos son todos

iguales a cero “o”

Matriz Cero:

Es decir: 0= [ 0ij ]

0 =

m x n

011 012 01n013

021 022 023 02n

0m1 0m2 0m3 0mn

…

….

…

0 =2 x 2

0 0

0 0

ALGEBRA VECTORIAL


Matrices Características

Es aquella que se obtiene de multiplicar

cada elemento de la matriz por -1

Matriz Opuesta:

Es decir si A= [ aij ] -A= [-aij ]

A =

2 x 3

3 -4 0

8 1 -1 -A =2 x 3

(-1)x3 (-1)x-4 (-1)x0

(-1)x8 (-1)x1 (-1)x-1

-A =

2 x 3

-3 4 0

-8 -1 1

ALGEBRA VECTORIAL


RestaSi A y B son dos matrices m x n , la

Diferencia se define como:A - B = A + (-B) = [ aij - bij ]

A =2 x 3

8 -4 0

1 2 -1 B =5 2

-1 -3 -1y4

2 x 3

5A - B =

8 - 4-4- 20 -

(-1)1 - (-3)2 - (-1)-1-2 x 3

A - B =3 -8 -2

2 5 02 x 3

ALGEBRA VECTORIAL


Multiplicación por un EscalarSi A es una matriz cualquiera y k es un

número cualquiera, el producto kA el la

matriz obtenida de multiplicar cada elemento

de A por k:Es decir si A= [ aij ] kA= [kaij ]

A =

m x n

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

…

….

…

kA =

m x n

ka11 ka12 ka1nka13

ka21 ka22ka23 ka2n

kam1kam2 kam3kamn

…

….

…

ALGEBRA VECTORIAL


Propiedades de la Adición de matrices y la

Multiplicación por un Escalar

Sean A, B y C matrices arbitrarias m x n, donde m y n son

fijos y k y p números reales cualesquiera, entonces:

1- A + B = B + A

2- A + (B + C) = (A + B) + C

3- Existe una matriz m x n, tal que 0 + A = A + 0 = A para cada A

4- Para cada A, existe una matriz m x n , -A, tal que A + (-A) = 0

5- k (A + B) = kA + kB

6- (k +p) A = kA + pA

7- (kp)A = k(pA)

8- 1A = A

Pero el [ aij + bij ], elemento ij de la suma es un número real;

Luego por la propiedad conmutativa de los números reales

aij + bij = bij +aij

Por lo que podemos escribir:

A + B = [ bij + aij]

ALGEBRA VECTORIAL


Propiedad 1 A + B = B + A

Sean A = [aij] y B = [bij]

A + B = [ aij + bij ] * por definición

y B + A = [ bij + aij ] * por definición

Teniendo en cuenta las ultimas sentencias podemos

escribir A + B = B + A , como se quería probar.

ALGEBRA VECTORIAL


Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C

Utilizamos otro método:

A =

m x n

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

…

….

…

B =

m x n

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

…

….

…

,b12

C =

m x n

c11 c1nc13

c21 c22 c23 c2n

cm1 cm2 cm3 cmn

…

….

…

c12

y

ALGEBRA VECTORIAL



Trabajemos primero con el primer Término de la ecuación

A + ( B + C)

Realizamos primeramente la suma contenida dentro del

paréntesis.

( B + C) =

m x n

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

…

….

…

b12

+

m x n

c11 c1nc13

c21 c22 c23 c2n

cm1 cm2 cm3 cmn

…

….

…

c12

( B + C) =

m x n

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

…

….

…

b12

+

m x n

c11 c1nc13

c21 c22 c23 c2n

cm1 cm2 cm3 cmn

…

….

…

c12

ALGEBRA VECTORIAL



( B + C) =

c11

m x n

b11 ….+ c12b12 + c13b13 + c1nb1n +

c21b21 ….+ c22b22 + c23b23 + c2nb2n +

cm1bm1 ….+ cm2bm2+ cm3bm3 + cmnbmn+

ALGEBRA VECTORIAL



Ahora realizamos la suma completa:

A + ( B + C)

A + ( B + C) =

m x n

a11 a12 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

…

….

…

+

c11

m x n

b11

….+ c12b12 + c13b13 + c1nb1n +

c21b21

….+ c22b22 + c23b23 + c2nb2n +

cm1bm1

….+ cm2bm2+ cm3bm3 + cmnbmn+

A + ( B + C) =

m x n

a11 + c11b11 + ….a13 + c13b13 +a12 + c12b12 + a1n + c1nb1n +


am1 + cm1bm1 + ….am3 + cm3bm3 +am2 + cm2bm2 + amn + cmnbmn +

….1

ALGEBRA VECTORIAL



Trabajemos ahora con el segundo Término de la ecuación

(A + B ) + C

Realizamos primeramente la suma contenida dentro del

paréntesis.

( A + B) =

m x n

a11 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

…

….

…

a12

+

m x n

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

…

….

…

b12

ALGEBRA VECTORIAL



( A + B) =

b11

m x n

a11 ….+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +

b21a21 ….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +

bm1am1 ….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+

( A + B) =

m x n

a11 a1na13

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

…

….

…

a12

+

m x n

b11 b1nb13

b21 b22 b23 b2n

bm1 bm2 bm3 bmn

…

….

…

b12

ALGEBRA VECTORIAL



Ahora realizamos la suma completa:

(A + B) + C

(A + B) + C =

m x n

c11 c12 c1nc13

c21 c22 c23 c2n

cm1 cm2 cm3 cmn

…

….

…

+

b11

m x n

a11

….+ b12a12 + b13a13 + b1na1n +

b21a21

….+ b22a22 + b23a23 + b2na2n +

bm1am1

….+ bm2am2+ bm3am3 + bmnamn+

A + ( B + C) =

m x n



am1 + cm1bm1 + ….am3 + cm3bm3 +am2 + cm2bm2 + amn + cmnbmn +

….2

ALGEBRA VECTORIAL



Verificando las ecuaciones 1 y 2

Vemos que el desarrollo matricial es el mismo; por lo

tanto

A +( B + C) = (A + B) + C

ALGEBRA VECTORIAL


Matriz Transpuesta

SI A es una matriz m x n, la transpuesta de A, escrita AT,

es la matriz n x m cuyas filas corresponden a las

columnas de A

Si A = [aij] se define AT= [aji]

A =

2 x 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

Si

AT= a11

a21

a12

a22

a13

a23

3 x 2

ALGEBRA VECTORIAL


Matriz Transpuesta

Propiedades de la Transposición

Sean A y B dos matrices de la misma dimensión y k un

escalar

1- Si A es cualquier matriz m x n, entonces AT es una

matriz n x m

2- (AT)T = A

3- (kA)T= k AT

4- ( A + B )T = BT +AT

ALGEBRA VECTORIAL


Matriz Simétrica

Se dice que una matriz es simétrica si A = AT

y A es necesariamente una matriz cuadrada.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a333 x 3

Sea:

A=

Hacemos A = AT

a11a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

Los elementos de la diagonal principal no varían.

Y los elementos simétricos en relación a la diagonal principal son iguales

a12 = a21

a13= a31

a23 = a32

ALGEBRA VECTORIAL


ALGEBRA VECTORIAL


ALGEBRA VECTORIAL


ALGEBRA VECTORIAL


ALGEBRA VECTORIAL


ALGEBRA VECTORIAL


ALGEBRA VECTORIAL


ALGEBRA VECTORIAL


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