View
1.524
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Deformação de Vigas em flexão
Tradução e adaptação: Victor Franco
Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.
Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.
Mecânica dos Materiais
9 - 2
Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
• A relação entre o momento flector e a
curvatura, para flexão pura, mantém-se
válida para o caso de uma viga em flexão
sujeita a forças transversais:
EI
xM )(1=
ρ
• Para a viga encastrada sujeita a uma força
concentrada na extremidade, temos:
EI
Px−=
ρ1
• A curvatura varia linearmente com x :
• Na extremidade A, ∞== AA
ρρ
,01
• No apoio B,PL
EIB
B
=≠ ρρ
,01
x
9 - 3
• A curvatura é zero nos pontos em que o
momento flector é zero, i.e., nas extremidades e
no ponto E.
EI
xM )(1=
ρ
• A deformação da viga é côncava para cima ∪∪∪∪onde o momento flector é positivo e côncava
para baixo ∩∩∩∩ onde o momento flector é
negativo.
• A curvatura máxima ocorre onde o valor do
momento flector é máximo.
• A equação da deformação da viga – equação da
linha da elástica – é necessária para determinar
a deformação máxima (flecha máxima) e a
rotação.
Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
9 - 4
Equação da Linha elástica
• A seguinte relação é válida (demonstrável
através da Análise Matemática):
EI
M
dx
yd
dx
dy
dx
yd
=≈
+
=2
2
232
2
2
1
1
ρ
• Substituíndo e integrando:
( )
( )
( ) 21
00
1
0
2
2
CxCdxxMdxyEI
CdxxMdx
dyEIEI
xMdx
ydEI
xx
x
++=
+=≈
=
∫∫
∫θ
Equação da curvatura:
Equação das rotações:
Equação da linha elástica:
9 - 5
Equação da linha elástica
( ) 21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
++= ∫∫
• As constantes são determinadas a partir das
condições de fronteira.
• Três casos para vigas estaticamente
determinadas:
– Viga simplesmente apoiada
0,0 == BA yy
– Viga em balanço
0,0 == BA yy
– Viga encastrada
0,0 == AAy θ
9 - 6
Determinação da equação da linha elástica a partir
da força distribuída
• Para uma viga sujeita a uma força distribuída,
( ) ( )xwdx
dV
dx
MdxV
dx
dM−===
2
2
• A equação para a deformação será
( )xwdx
ydEI
dx
Md
dx
ydEIxM −==⇒=
4
4
2
2
2
2
)(
( ) ( )
43
2
2213
161 CxCxCxC
dxdxdxdxxwxyEI
++++
−= ∫∫∫∫
• Integrando 4 vezes, obtém-se,
• As constantes são calculadas a partir das
condições de fronteira.
9 - 7
Vigas estaticamente indeterminadas
• Considere-se a viga encastrada em A e com um
apoio móvel em B.
• Condições de equilibrio estático:
000 =∑=∑=∑ Ayx MFF
A viga é estaticamente indeterminada.
( ) 21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
++= ∫∫
• Temos também a equação da deformada,
que introduz duas incógnitas adicionais, mas
que fornece três equações adicionais a partir
das condições de fronteira:
0:00:0 ====θ= yLxyx
9 - 8
Exemplo 9.1
Para a parcela AB da viga, calcular
(a) A equação da linha elástica,
(b) Deformada máxima.
Resolução:
• Escrever uma expressão para M(x)
e para a equação diferencial da
linha elástica.
• Integrar a equação diferencial duas
vezes e aplicar as condições de
fronteira para obter a equação da
deformada.
• Localizar o ponto com tangente
nula ou ponto da deformada
máxima. Calcular a deformada
máxima.
9 - 9
Exemplo 9.1
• Expressão para M(x) e equação diferencial
da linha elástica.
- Reacções:
↑
+=↓=L
aPR
L
PaR BA 1
- Diagrama de corpo livre para secção AD,
( )LxxL
aPM <<−= 0
xL
aP
dx
ydEIxM
dx
ydEI −=⇒=
2
2
2
2
)(
- Equação diferencial da linha elástica,
9 - 10
Exemplo 9.1
PaLCLCLL
aPyLx
Cyx
6
1
6
10:0, em
0:0,0 em
11
3
2
=+−===
===
• Integrar a equação diferencial duas vezes e
aplicar as condições de fronteira para obter
a equação da deformada:
213
12
6
1
2
1
CxCxL
aPyEI
CxL
aP
dx
dyEI
++−=
+−=
xL
aP
dx
ydEI −=
2
2
−=32
6 L
x
L
x
EI
PaLy
⇒+−=
−=⇒+−=
PaLxxL
aPyEI
L
x
EI
PaL
dx
dyPaLx
L
aP
dx
dyEI
6
1
6
1
3166
1
2
1
3
22
Substituíndo,
9 - 11
Exemplo 9.1
• Localizar o ponto de deformada máxima.
−=32
6 L
x
L
x
EI
PaLy L
Lx
L
x
EI
PaL
dx
dym
m 577.03
316
0
2
==⇒
−==
• Deformada máxima.
( )[ ]32
max 577.0577.06
−=EI
PaLy
EI
PaLy
60642.0
2
max =
9 - 12
Exemplo 9.3
Para a viga representada na figura, determinar a reacção
em A, obter a equação da linha elástica e determinar a
rotação em A.
(Notar que a viga é estaticamente indeterminada de primeiro grau)
9 - 13
Exemplo 9.3
• Análise de momentos numa secção D:
L
xwxRM
Mx
L
xwxR
M
A
A
D
6
032
1
0
30
20
−=
=−
−
=∑
L
xwxRM
dx
ydEI A
6
30
2
2
−==
• Equação da linha elástica:
9 - 14
Exemplo 9.3
L
xwxRM
dx
ydEI A
6
30
2
2
−==
• Integrando duas vezes:
21
503
1
402
1206
1
242
1
CxCL
xwxRyEI
CL
xwxREI
dx
dyEI
A
A
++−=
+−== θ
• Aplicar as condições de fronteira:
01206
1:0, em
0242
1:0, em
0:0,0 em
21
403
1
302
2
=++−==
=+−==
===
CLCLw
LRyLx
CLw
LRLx
Cyx
A
Aθ
• Resolver em ordem à reacção em A
030
1
3
1 40
3 =− LwLRA ↑= LwRA 010
1
9 - 15
Exemplo 9.3
xLwL
xwxLwyEI
−−
= 30
503
0120
1
12010
1
6
1
( )xLxLxEIL
wy
43250 2120
−+−=
• Substituir C1, C2, e RA na equação da
linha elástica:
( )42240 65120
LxLxEIL
w
dx
dy−+−==θ
EI
LwA
120
30=θ
• Diferenciar para calculo das rotações:
em x = 0,
Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas:
9 - 16
Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas: cont.
9 - 17
Deformadas e rotações de vigas encastradas:
9 - 18
Deformadas e rotações de vigas encastradas: cont.
9 - 19
9 - 20
Método da Sobreposição
Principio da Sobreposição:
• As deformações de vigas sujeitas a
combinações de forças, podem ser obtidas
como a combinação linear das deformações
causadas pelas forças individuais.
9 - 21
Exemplo 9.7
Para a viga sujeita aos carregamentos
representados, determine a rotação e a
deformada no ponto B.
Sobrepondo as deformadas provocadas pelos “Loading I” e “Loading II”
como ilustrado, temos:.
9 - 22
Exemplo 9.7
Loading I
( )EI
wLIB
6
3
−=θ ( )EI
wLy IB
8
4
−=
Loading II
( )EI
wLIIC
48
3
=θ ( )EI
wLy IIC
128
4
=
No segmento de viga CB, o momento flector é
zero e a linha elástica é uma recta:
( ) ( )EI
wLIICIIB
48
3
== θθ
( )EI
wLL
EI
wL
EI
wLy IIB
384
7
248128
434
=
+=
9 - 23
Exemplo 9.7
( ) ( )EI
wL
EI
wLIIBIBB
486
33
+−=+= θθθ
( ) ( )EI
wL
EI
wLyyy IIBIBB
384
7
8
44
+−=+=
EI
wLB
48
7 3
=θ
EI
wLyB
384
414
=
Combinando as duas soluções:
9 - 24
9 - 25
9 - 26
9 - 27
9 - 28
9 - 29
9 - 30
Aplicação do método da Sobreposição a vigas
estaticamente indeterminadas
O método da sobreposição pode ser aplicado para determinar
as reacções nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas:
1. Escolher uma das reacções como
redundante e eliminar (ou modificar)
o apoio correspondente.
2. Determinar a deformada da viga
sem o apoio redundante.
3. Tratar a força de reacção redundante
como uma incógnita que, em
conjunto com as outras forças deve
originar deformações compatíveis
com o apoio original.
9 - 31
Exemplo 9.8
Para a viga e carregamento representado na
figura, determinar a reacção em cada apoio e
a rotação na extremidade A.
• Libertar a reacção “redundante” em B, e calcular as deformações.
• Aplicar a reacção em B, de tal forma que esta força vai “obrigar” uma deformada
zero no ponto B.
9 - 32
Exemplo 9.8
• Deformada em B devido à força distribuida:
( )
EI
wL
LLLLLEI
wy wB
4
334
01132.0
3
2
3
22
3
2
24
−=
+
−
−=
• Deformada em B devida à força redundante:
( )EI
LRLL
EIL
Ry BB
RB
322
01646.033
2
3=
=
• Para compatibilidade com o apoio B, yB = 0
( ) ( )EI
LR
EI
wLyy B
RBwB
34
01646.001132.00 +−=+=
↑= wLRB 688.0
• Para equilibrio estático,
↑=↑= wLRwLR CA 0413.0271.0
9 - 33
Exemplo 9.8
( )EI
wL
EI
wLwA
33
04167.024
−=−=θ
( )EI
wLLL
L
EIL
wLRA
322
03398.0336
0688.0=
−
=θ
( ) ( )EI
wL
EI
wLRAwAA
33
03398.004167.0 +−=+= θθθEI
wLA
3
00769.0−=θ
Rotação na extremidade A:
Recommended