William J. Stevenson

6s-1 LP Metode Simpleks

William J. Stevenson

Operations Management

8th edition

OPERATIONSRESEARCH

Enos

6s-2 LP Metode Simpleks

METODE GRAFIKMETODE SIMPLEKS

6s-3 LP Metode Simpleks

METODE GRAFIK· Seorang ahli kimia membuat dua jenis pupuk yang akan memberikan minimal 15 unit Kalium Karbonat, 20 unit Nitrat, dan 24 unit Fosfat untuk kedua jenis pupuk. Jenis “A” terdiri atas 3 unit Kalium Karbonat, 1 unit Nitrat, dan 3 unit Fosfat, harganya Rp. 120.- Jenis “B” terdiri atas 1 unit Kalium Karbonat, 5 unit Nitrat, dan 2 unit Fosfat; harganya Rp. 60.-

6s-4 LP Metode Simpleks

LTentukan persamaan “Fungsi Objektif”

= 120x1 + 60 x2

LNyatakan pernyataan dalam bentuk “Persamaan” atau “Pertidaksamaan”

Kendala 1: 3x1 + x2 15Kendala 2: x1 + 5x2 20Kendala 3: 3x1 + 2x2 24

x1, x2 0

6s-5 LP Metode Simpleks

· Persamaan kendala dituliskan sebagai persamaan garis lurus:x2 = -3x1 + 15 ...................(garis1)x2 = -1/5 x1 + 4..................(garis2)x2 = -3/2 x1 + 12 ................(garis3)Tentukan perpotongan dengan masing-masing sumbu (sb tegak = x2, sb datar = x1)

6s-6 LP Metode Simpleks

· Untuk g1:x2 = -3x1 + 15

jika x1 = 0, x2 = 15. (0,15)

jika x2 = 0, x1 = 5. (5,0)Untuk g2:x2 = -1/5 x1 + 4

jika x1 = 0, x2 = 4 (0,4)

jika x2 = 0, x1 = 20 (20,0)

6s-7 LP Metode Simpleks

· Untuk g3:x2 = -3/2 x1 + 12jika x1 = 0, x2 = 12 (0,12)jika x2 = 0, x1 = 8 (8,0)Titik-titik yang diperoleh merupakan titik ekstrim, di mana nilai-nilai fungsi obyektif menjadi maksimum.

6s-8 LP Metode Simpleks

g1

g3

g2

x2

x1

6s-9 LP Metode Simpleks

METODE SIMPLEKS:MAKSIMALISASI

3x1 + x2 ≤ 15 x1 + 5x2 ≤ 203x1 + 2x2 ≤ 24 x1, x2 0

= 120x1 + 60 x2

Contoh 1

6s-10 LP Metode Simpleks

3x1 + x2 + s1 = 15 x1 + 5x2 + s2 = 203x1 + 2x2 + s3 = 24x1 x2 s1 s2 s3 K

3 11 0 0 154 5 0 1 0 203 2 0 0 1 24

-120 -60 0 0 0 0120 indikator terbesar

5208

6s-11 LP Metode Simpleks

3 1 1 0 0 151 5 0 1 0 203 2 0 0 1 24-120 -60 0 0 0 0

x 1/3

1 1/3 1/3 0 0 5

1 5 0 1 0 20

3 2 0 0 1 24

-120 -60 0 0 0 0

6s-12 LP Metode Simpleks

· Seterusnya, sama dengan Eliminasi Gauss.

· Kolom pivot ditentukan berdasarkan indikator dengan nilai positif terbesar.

· Nilai maksimal masing-masing variabel ditentukan setelah semua nilai indikator bernilai positif.

· Nilai variabel disubtitusi ke persamaan fungsi obyektif, maksimal.

6s-13 LP Metode Simpleks

Contoh 2:· Ditentukan fungsi obyektif = 5x1+3x2 dengan kendala teknis:6x1 + 2x2 ≤ 365x1 + 5x2 ≤ 402x1 + 4x2 ≤ 28dan kendala non-negativitas:x1, x2 ≥ 0Tentukanlah nilai optimum untuk , x1, dan x2

6s-14 LP Metode Simpleks

Penyelesaian:· Langkah 1: Mengubah pertidaksamaan

menjadi persamaan.6x1 + 2x2 = 365x1 + 5x2 = 402x1 + 4x2 = 28

6s-15 LP Metode Simpleks

284036

100420105500126

3

2

1

2

1

sssxx

Langkah 2: Menuliskan persamaan dalam bentuk matriks

6s-16 LP Metode Simpleks

· Langkah 3: Menyusun tabel elemen matriks, dengan menambahkan kolom konstan K dan baris indikator (nilai negatif dari koefisien fungsi obyektif)

x1 x2 s1 s2 s3 K6 2 1 0 0 365 5 0 1 0 402 4 0 0 1 28-5 -3 0 0 0

6s-17 LP Metode Simpleks

· Langkah 4: Menentukan elemen pivot: Tentukan nilai mutlak terbesar dari baris

indikator Tentukan rasio terkecil antara kolom K dengan

elemen kolom pivot

Kolom pivot

x1 x2 s1 s2 s3 K6 2 1 0 0 365 5 0 1 0 402 4 0 0 1 28-5 -3 0 0 0

6s-18 LP Metode Simpleks

· Langkah 5: pivoting: kalikan baris yang mengandung elemen pivot dengan nilai kebalikan elemen pivotnya

x1 x2 s1 s2 s3 K6 2 1 0 0 365 5 0 1 0 402 4 0 0 1 28-5 -3 0 0 0

x1 x2 s1 s2 s3 K1 1/3 1/6 0 0 65 5 0 1 0 402 4 0 0 1 28-5 -3 0 0 0

6s-19 LP Metode Simpleks

· Langkah 6: Eliminasi elemen yang bukan elemen pivot: Baris II – 5(I) Baris III – 2(I) Baris IV – 5(I) Ulangi dari langkah 4 jika masih terdapat nilai

negatif pada baris indikator

x1 x2 s1 s2 s3 K1 1/3 1/6 0 0 60 10/3 -5/6 1 0 100 10/3 -1/3 0 1 160 -4/3 5/6 0 0 30

6s-20 LP Metode Simpleks

· Langkah 7: elemen pivot kedua Nilai mutlak indikator terbesar = 4/3 Rasio terkecil = 10/(10/3) = 3 pada baris II Baris kedua dikalikan dengan resiprok elemen

pivotnya

x1 x2 s1 s2 s3 K1 1/3 1/6 0 0 60 1 -1/4 3/10 0 30 10/3 -1/3 0 1 160 -4/3 5/6 0 0 30

6s-21 LP Metode Simpleks

· Langkah 8: eliminasi elemen yang bukan elemen pivot: Baris I - 1/3(II) Baris III – 10/3(II) Baris IV + 4/3(II)

x1 x2 s1 s2 s3 K1 0 ¼ -1/10 0 50 1 - ¼ 3/10 0 30 0 ½ -1 1 60 0 ½ 2/5 0 34

6s-22 LP Metode Simpleks

· Hasil akhir nilai optimum:· x1 = 5, x2 = 3· = 34 (pada kolom K)· Jika x1 dan x2 disubtitusi ke persamaan pada

langkah 1, maka:· 2(5) + 4(3) + s3 = 28· s1 = 0, s2 = 0, dan s3 = 6· = 5(5) + 3(3) = 34, s3 tidak terpakai (sisa)