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5/24/2018 Semana_6_de_AM_II
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Funciones exponenciales
y logaritmicas
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Funciones Exponenciales
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Esquema del captulo
Se estudia una nueva forma de funcionesllamadas funciones exponenciales.
Las funciones exponenciales son apropiadaspara modelar el crecimiento poblacional paralos seres vivos.
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Ejemplos:
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x
xf 2)(Es una funcin exponencial con base 2.
82)3( 3f
Veamos con la rapidez que crece:
10242)10( 10f
824,741,073,12)30( 30f
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Funciones Exponenciales
Lafuncin exponencial con base asedefine para todos los nmeros reales xpor:
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xaxf )(
donde 0;0 aa
Ejemplos de funciones exponenciales:
x
xf 2)(
x
xh 3)(
xxq 10)(
Base 2 Base 3 Base 10
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Ejemplo 1:Evaluacin de funciones exponenciales
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Sea y evale lo siguiente:xxf 3
2)fa
32)fb
2)fc
932
4807.03 32
7288.43 2
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Ejemplo estructural
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El arcoGateway en San Luis, Missouri, tienela forma de la grfica de una combinacin defunciones exponenciales, no una parbolacomo pareceria. Es una funcin de la forma:
)( bxbx eeaySe eligi esta forma porque es ptimo paradirtibuir las fuerzas estructurales internas delarco.
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Gateway_arch.jpg5/24/2018 Semana_6_de_AM_II
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Funcin Exponencial Natural
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La funcin exponencial natural es la funcin exponencial
xexf )(
con base . Es comn referirse a ella como la funcin exponencial.
xexf )(
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Ejemplo:Evaluar la funcin exponencial
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Evale cada expresin correcta hasta cinco decimales.
Solucin:
8.4
53.0
3
)
2)
)
ec
eb
ea
51042.121
17721.1
08554.20
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Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminacin de un virus
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Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en unaciudad pequea con 10,000 habitantes. Despus de t das, elnmero de personas que ha sucumbido al virus se modelamediante la funcin:
tetv 97.012455
10000
)(
Contesta:a) Cuntas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el nmero de personas infectadas despues de unda y depus de cinco das.
c) Grafique la funcin y describa el comportamiento.
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Solucin:Ejemplo anterior
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a) Cuntas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
81250
10000
12455
10000)(
0etv
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
b) Calcule el nmero de personas infectadas despus de un da ycinco das. (t = 1, t = 2, t = 5)
Das Personas infectadas
1 21
2 54
5 678
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Solucin:Ejemplo anterior (cont)
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c) Grafique la funcin y describa el comportamiento.
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luegose estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.
0 12
2000
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Interes compuestos
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El inters compuesto se calcula mediante la frmula
nt
n
rPtA 1)(
donde: A(t) = cantidad despus de t aos
P = principal
r = tasa de inters por ao
n = nmero de veces que el inters se compone por ao
t = nmero de aos
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EjemploClculo del inters compuesto
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Una suma de $1000 se invierte a una tasa de inters de 12%anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta despus detres aos si el inters se compone anualmente, cada medio ao,por trimestre, mensualmente o diario.
Solucin:Datos
P = 1000
r = 12% = 0.12
t = 3
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EjemploClculo del inters compuesto
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Capitalizacin n Cantidad despus de tres aos
Anual 1
Semianual 2
Trimestral 4
Mensual 12
Diaria 365
93.14041
12.011000
)3(1
52.1418
2
12.011000
)3(2
76.14254
12.011000
)3(4
77.14301212.011000
)3(12
24.1433365
12.011000
)3(365
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Inters
compuesto en forma continua
El inters compuesto en forma continua secalcula mediante la frmula
donde A(t) = cantidad despus de t aos
P = principalr = tasa de inters por ao
t = nmero de aos
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rt
PetA )(
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EjemploCalcular el inters compuesto de manera continua
Calcule la cantidad despus de tres aos si se invierten$1000 a una tasa de inters de 12% por ao,capitalizado de forma continua.
Solucin:
Datos: P = 1000r = 0.12
t = 3
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33.143310001000)3( 36.03)12.0( eeA
PetA )( rt
Se puede comparar con el ejemplo anterior.
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Funciones Logartmicas
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http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html5/24/2018 Semana_6_de_AM_II
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Definicin
de la funcin logartmica
Sea aun nmero positivo con . Lafuncin logartmica con base a, denotada por
, se define
As, es el exponente al que se debe
elevar la basea
para darx
.
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1a
alog
xayx yalog
xalog
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Comparacin
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Comparemos la forma Exponencial y la forma Logartmica
xay
Lo gartm ica: Expon enc ial:
yxa
log
Base
Exponente
Base
Exponente
En ambas formas la base es la misma.
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EjemploFormas logartmicas y exponenciales
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Forma Logartmica Forma Exponencial
5100000log10
38log2
32
1log2
rs5log
100000105
823
8132
sr5
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Evaluacin de logartmos
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31000log10
532log2
11.0log10
214log16
1000103
322
5
1.010
110 1
416 21
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Propiedades de los logartmos
copywriter 23
Propiedad Razn
Se debe elevar aa la potencia 0 paraobtener 1.
Se debe elevara a la potencia 1 paraobtener a.
Se debe elevar aa la potencia xpara
obtener .
es la potencia a la cual se debeelevar apara obtener x.
xaxalog
01loga
1log aa
xa
x
alog
xa xalog
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EjemploAplicacin de las propiedades logartmicas
24
125
85log
15log
01log
12log
8
5
5
5
5
Propiedad 1
Propiedad 2
Propiedad 3
Propiedad 4
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EjemploGraficacin de funciones logartmicas
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xxf 2log)(
Traza la grfica de
Solucin:
xxf2
log)(
x3
2
1
0
-1
-2
-3
x2log32
22
12
12
0
12
22
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Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para xcomo potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad suslogaritmos.
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Familia de Funciones
Logartmicas
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xy 2log
xy 3log
xy 10log
xy 5log
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Logartmos ComunesVeamos logartmos con base 10
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Definicin:
Logartmo comn
El logartmo con base 10 se llama logartmo comny sedenota omitiendo la base:
xx 10loglog
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De la definicin de logartmo se puede encontrar faclmente que:
log 10 = 1
log 100 = 2
Cmo se calcula log 50?
No tenemos un nmero tal que , 1 es pequo y 2 esdemasiado grande.
5010y
250log1 5
Las calculadoras cientficas tienen una tecla equipada que da losvalores de manera directa de los logaritmos comunes.
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EjemploEvaluacin de logartmos comunes
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Use una calculadora para hallar los valores apropiados de
f(x) = log x, use los valores para bosquejar una grfica.
x Log x
0.01
0.1
0.5
1
4
5
10
-2
-1
-0.30
0
0.602
0.699
1
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
xxf log)(
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copywriter 30
Propiedades de los logartmos naturales
Propiedad Razn
xe
xe
e
x
x
ln
ln
1ln
01ln Se tiene que elevar e a la potencia 0para obtener 1.
Se tiene que elevar e a la potencia 1
para obtener e.
ln x es la potencia a la cual e debeser elevada para obtener x.
Se tiene que elevar e a la potencia xpara obtener .
xe
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Leyes de los logartmos
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Leyes de los logartmosSea a un nmero positivo, con . Sea A, B y C nmerosreales cualesquiera con .
Ley Descripcin
1a00yBA
ACA
BAB
A
BAAB
a
c
a
aaa
aaa
loglog)3
logloglog)2
loglog)(log)1 El logartmos de un producto denmeros es la suma de loslogartmos de los nmeros.
El logartmo de un cociente denmeros es la diferencia de loslogartmos de los nmeros.
El logartmo de una potencia deun nmero es el exponentemultiplicado por el logartmo denmero.
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