Semana_6_de_AM_II

5/24/2018 Semana_6_de_AM_II

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Funciones exponenciales

y logaritmicas

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Funciones Exponenciales

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Esquema del captulo

Se estudia una nueva forma de funcionesllamadas funciones exponenciales.

Las funciones exponenciales son apropiadaspara modelar el crecimiento poblacional paralos seres vivos.

3


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Ejemplos:

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x

xf 2)(Es una funcin exponencial con base 2.

82)3( 3f

Veamos con la rapidez que crece:

10242)10( 10f

824,741,073,12)30( 30f


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Funciones Exponenciales

Lafuncin exponencial con base asedefine para todos los nmeros reales xpor:

5

xaxf )(

donde 0;0 aa

Ejemplos de funciones exponenciales:

x

xf 2)(

x

xh 3)(

xxq 10)(

Base 2 Base 3 Base 10


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Ejemplo 1:Evaluacin de funciones exponenciales

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Sea y evale lo siguiente:xxf 3

2)fa

32)fb

2)fc

932

4807.03 32

7288.43 2


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Ejemplo estructural

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El arcoGateway en San Luis, Missouri, tienela forma de la grfica de una combinacin defunciones exponenciales, no una parbolacomo pareceria. Es una funcin de la forma:

)( bxbx eeaySe eligi esta forma porque es ptimo paradirtibuir las fuerzas estructurales internas delarco.
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Gateway_arch.jpg


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Funcin Exponencial Natural

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La funcin exponencial natural es la funcin exponencial

xexf )(

con base . Es comn referirse a ella como la funcin exponencial.

xexf )(


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Ejemplo:Evaluar la funcin exponencial

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Evale cada expresin correcta hasta cinco decimales.

Solucin:

8.4

53.0

3

)

2)

)

ec

eb

ea

51042.121

17721.1

08554.20


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Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminacin de un virus

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Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en unaciudad pequea con 10,000 habitantes. Despus de t das, elnmero de personas que ha sucumbido al virus se modelamediante la funcin:

tetv 97.012455

10000

)(

Contesta:a) Cuntas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)

b) Calcule el nmero de personas infectadas despues de unda y depus de cinco das.

c) Grafique la funcin y describa el comportamiento.


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Solucin:Ejemplo anterior

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a) Cuntas personas infectadas hay por el virus (t = 0).

81250

10000

12455

10000)(

0etv

8 personas tienen inicialmente la enfermedad.

b) Calcule el nmero de personas infectadas despus de un da ycinco das. (t = 1, t = 2, t = 5)

Das Personas infectadas

1 21

2 54

5 678


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Solucin:Ejemplo anterior (cont)

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c) Grafique la funcin y describa el comportamiento.

El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luegose estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.

0 12

2000


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Interes compuestos

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El inters compuesto se calcula mediante la frmula

nt

n

rPtA 1)(

donde: A(t) = cantidad despus de t aos

P = principal

r = tasa de inters por ao

n = nmero de veces que el inters se compone por ao

t = nmero de aos


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EjemploClculo del inters compuesto

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Una suma de $1000 se invierte a una tasa de inters de 12%anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta despus detres aos si el inters se compone anualmente, cada medio ao,por trimestre, mensualmente o diario.

Solucin:Datos

P = 1000

r = 12% = 0.12

t = 3


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EjemploClculo del inters compuesto

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Capitalizacin n Cantidad despus de tres aos

Anual 1

Semianual 2

Trimestral 4

Mensual 12

Diaria 365

93.14041

12.011000

)3(1

52.1418

2

12.011000

)3(2

76.14254

12.011000

)3(4

77.14301212.011000

)3(12

24.1433365

12.011000

)3(365


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Inters

compuesto en forma continua

El inters compuesto en forma continua secalcula mediante la frmula

donde A(t) = cantidad despus de t aos

P = principalr = tasa de inters por ao

t = nmero de aos

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rt

PetA )(


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EjemploCalcular el inters compuesto de manera continua

Calcule la cantidad despus de tres aos si se invierten$1000 a una tasa de inters de 12% por ao,capitalizado de forma continua.

Solucin:

Datos: P = 1000r = 0.12

t = 3

17

33.143310001000)3( 36.03)12.0( eeA

PetA )( rt

Se puede comparar con el ejemplo anterior.


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Funciones Logartmicas

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http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html


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Definicin

de la funcin logartmica

Sea aun nmero positivo con . Lafuncin logartmica con base a, denotada por

, se define

As, es el exponente al que se debe

elevar la basea

para darx

.

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1a

alog

xayx yalog

xalog


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Comparacin

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Comparemos la forma Exponencial y la forma Logartmica

xay

Lo gartm ica: Expon enc ial:

yxa

log

Base

Exponente

Base

Exponente

En ambas formas la base es la misma.


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EjemploFormas logartmicas y exponenciales

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Forma Logartmica Forma Exponencial

5100000log10

38log2

32

1log2

rs5log

100000105

823

8132

sr5


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Evaluacin de logartmos

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31000log10

532log2

11.0log10

214log16

1000103

322

5

1.010

110 1

416 21


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Propiedades de los logartmos

copywriter 23

Propiedad Razn

Se debe elevar aa la potencia 0 paraobtener 1.

Se debe elevara a la potencia 1 paraobtener a.

Se debe elevar aa la potencia xpara

obtener .

es la potencia a la cual se debeelevar apara obtener x.

xaxalog

01loga

1log aa

xa

x

alog

xa xalog


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EjemploAplicacin de las propiedades logartmicas

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125

85log

15log

01log

12log

8

5

5

5

5

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4


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EjemploGraficacin de funciones logartmicas

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xxf 2log)(

Traza la grfica de

Solucin:

xxf2

log)(

x3

2

1

0

-1

-2

-3

x2log32

22

12

12

0

12

22

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Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para xcomo potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad suslogaritmos.


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Familia de Funciones

Logartmicas

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xy 2log

xy 3log

xy 10log

xy 5log


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Logartmos ComunesVeamos logartmos con base 10

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Definicin:

Logartmo comn

El logartmo con base 10 se llama logartmo comny sedenota omitiendo la base:

xx 10loglog


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De la definicin de logartmo se puede encontrar faclmente que:

log 10 = 1

log 100 = 2

Cmo se calcula log 50?

No tenemos un nmero tal que , 1 es pequo y 2 esdemasiado grande.

5010y

250log1 5

Las calculadoras cientficas tienen una tecla equipada que da losvalores de manera directa de los logaritmos comunes.


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EjemploEvaluacin de logartmos comunes

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Use una calculadora para hallar los valores apropiados de

f(x) = log x, use los valores para bosquejar una grfica.

x Log x

0.01

0.1

0.5

1

4

5

10

-2

-1

-0.30

0

0.602

0.699

1

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6

xxf log)(


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copywriter 30

Propiedades de los logartmos naturales

Propiedad Razn

xe

xe

e

x

x

ln

ln

1ln

01ln Se tiene que elevar e a la potencia 0para obtener 1.

Se tiene que elevar e a la potencia 1

para obtener e.

ln x es la potencia a la cual e debeser elevada para obtener x.

Se tiene que elevar e a la potencia xpara obtener .

xe


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Leyes de los logartmos

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Leyes de los logartmosSea a un nmero positivo, con . Sea A, B y C nmerosreales cualesquiera con .

Ley Descripcin

1a00yBA

ACA

BAB

A

BAAB

a

c

a

aaa

aaa

loglog)3

logloglog)2

loglog)(log)1 El logartmos de un producto denmeros es la suma de loslogartmos de los nmeros.

El logartmo de un cociente denmeros es la diferencia de loslogartmos de los nmeros.

El logartmo de una potencia deun nmero es el exponentemultiplicado por el logartmo denmero.

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