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MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL
MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL
Dr. Luís Miguel Galindo
“I was interestedin measuring the response of economic agents to uncertainty using time series
data, bat recognized that if the variance was constant, the response was unidentified”.
Robert. F. Engle (1995)
“I was interestedin measuring the response of economic agents to uncertainty using time series
data, bat recognized that if the variance was constant, the response was unidentified”.
Robert. F. Engle (1995)
Características de las series económicas:
1. Tienen tendencia.2. Tienen persistencia.3. Muestran variabilidad en el tiempo.4. Existen datos extremos asociados.
INTRODUCCIÓN:
Dr. Galindo
Características de las series financieras:
1. Son leptokurticas (achatadas y con colas más gordas)2. Las relaciones entre ganancia y riesgo no son lineales3. La volatilidad aparece en clusters4. Leverage effect: la volatilidad es mayor con una
caída de la variable
INTRODUCCIÓN:
Dr. Galindo
Forward looking behaviour requiere pronosticar adecuadamente la volatilidad y el riesgo de un activo
La volatilidad no es una serie observable en el momento t, se requieren datos históricos para estimar la volatilidad
Volatilidad histórica se estima con la varianza
INTRODUCCIÓN:
Dr. Galindo
Bajo
Altologt
2
Una opción para estimar la volatilidad histórica es:
Exponantiall y Weigted Moving Average Models (EWMA) que es una extensión del promedio histórico pero haciendo que las observaciones más recientes tengan un mayor peso
INTRODUCCIÓN:
Dr. Galindo
0.94:sRiskmetric factor" decay"
promedioganancia
observadaganancia
estimadavarianza
j-t
2
2
0
12 1
t
jtj
jt
Pronósticos ARMA:
INTRODUCCIÓN:
Dr. Galindo
1
20
2
jtjtjt e
Características de la volatilidad de los activos financieros:
1.La volatilidad viene en clusters
2.La volatilidad cambia en el tiempo
3.La volatilidad no crece sin cota y se mantiene dentro de ciertos rangos
4.La volatilidad reacciona asimétricamente a un aumento o disminución del precio
INTRODUCCIÓN:
Dr. Galindo
• Engle R. en LSE en 1979: la respuesta de los agentes económicos al riesgo
• El riesgo de un activo se puede igualar a su varianza y la ganancia esperada depende de ese nivel de riesgo (ARCH-M)
• Respuesta: la función de maximaverosimilitud puede descomponerse en sus densidades condicionales
HISTORIA:
Dr. Galindo
• ARCH AR aunque parece más un MA ya que la varianza condicional es un MA de los residuales al cuadrado
• GARCH ARMA
• EGARCH incluye el log de la varianza condicional para flexibilizar la estimación y permitir efectos asimétricos
HISTORIA:
Dr. Galindo
AR(1):
(1)
La media condicional de yt:
(2)
SINTESIS GENERAL:
Dr. Galindo
11
ttt eyy
1
tt yyE
La media condicional cambia en el tiempo (la media no condicional no cambia)
La varianza condicional de yt
(3)
SINTESIS GENERAL:
Dr. Galindo
2
1
2
1
t
t
t
t eEyvar
Engle (1982) propone el siguiente modelo del término de error:
(4)
SINTESIS GENERAL:
Dr. Galindo
100
10
10
21
2110
,Nv
eve
t
ttt
La media no condicional de et:
(5)
SINTESIS GENERAL:
Dr. Galindo
00
21
2110
t
ttt
eE
eEeEeE
queya
La varianza no condicional de et:
(6)
SINTESIS GENERAL:
Dr. Galindo
1
22110
2110
2
22
1
1
tt
tt
ttt
vEeE
eEvE
eEeEeE
queya
La media condicional de et:
(7)
SINTESIS GENERAL:
Dr. Galindo
001
21
2110
11
t
t
tt
t
t
t
vE
evEeE
La varianza condicional et:
(8)
SINTESIS GENERAL:
Dr. Galindo
11
2
2110
2110
2
1
2
t
t
t
tt
t
t
t
vEquedado
e
evEeE
Modelo general: incluye una variable independiente que ayuda a predecir la volatilidad
(1)
MODELO GENERAL:
Dr. Galindo
nteindependievariable
constante σconblancoRuido
interésdevarianble2
t
t
t
ttt
x
e
y
xey
1
1
11
Con xt constante yt es ruido blanco con varianza constante Con xt variable la varianza condicional de yt+1es:
La autocorrelación de xt permite explicar periodos de volatilidad en la secuencia de yt
El cuadrado de la serie (después de eliminar autocorrelación) tiene patrones de autocorrelación
MODELO GENERAL:
Dr. Galindo
221
tt
t xxyvar
AR(1):
(1)
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Dr. Galindo
2
1
110
1
et
t
ttt
evar
.B.Re
eyy
AR(1):
(1)
El pronóstico un paso adelante:Media condicional de:
(1.1)
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Dr. Galindo
ttt eyy 11
,...y,yy
tt
t
21
11
tt
t yyyE
Media no condicional:
(1.2)
Las mejoras en los pronósticos provienen de utilizar modelos con media condicional (Engle, 1982)
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Dr. Galindo
0tyE
Varianza no condicional:
(2.1)
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Dr. Galindo
2221
2
21
11
eyy
tt
ttt
evaryvar
eyvaryvar
Aprovechando que
Entonces:
(2.1)
(2.1)
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Dr. Galindo
21 ettt evaryyvaryvar
22211 ey
212
2
1
ey
Varianza condicional:
(3.1)
Manteniendo fijo a yt-1 la única fuente de variación es
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Dr. Galindo
1
2
1 t
t
t
ty
eEyyvar
22ete
ARCH:(4)
(4.1)
(4.2)
VARIANZA CONDICIONAL E INCONDICIONAL (PRONÓSTICO)
Dr. Galindo
221
1et
t
t xxyvar
'tt
ttt
t
z
h,x,yy
tN~1
ttt
it
q
it
ye
eh
20
AR(1):
(5.1)
(5.2)
Para asegurarse que ht es positivo:
MODELO GENERAL
Dr. Galindo
ttt eyy 112
11011
tttt
t ehEeE
1
00
1
10
confinitaesvarianzala
La varianza condicional :
(6.1)
MODELO GENERAL
Dr. Galindo
2t
0con
,...,
,,,var
21
2
21
2
t
tt
tt
qttt
tt
eE
eeuEuE
eeee
(6.2)
La varianza condicional de una variable et distribuida normalmente con media cero es igual al valor esperado del cuadrado de et
MODELO GENERAL
Dr. Galindo
,,
,,var
21
2
212
tt
t
tttt
eeeE
eee
la autocorrelación de la volatilidad se obtiene permitiendo que la varianza condicional del término de error dependa del calor anterior
(7)
MODELO GENERAL
Dr. Galindo
2t
2110
2 tt e
Modelo general: ARCH (q):
(8.1)
(8.2)
MODELO GENERAL
Dr. Galindo
233221
0 tt
tttt
,Ne
exxy
~
2110
2 tt e
Extensión:
(8.3)
Posible rescribirlo como:
(8.4)
MODELO GENERAL
Dr. Galindo
22110
2qtqtt ee
lcondicionavarianza
t
qtqtt
h
eeh 22110
(9.1)
(9.2)
(9.3)
MODELO GENERAL
Dr. Galindo
tttt exxy 33221
0,1N~2tttt vve
22
1
2110
2
var
varvar
1varcon
ttt
ttt
t
t
tt
e
eyy
e
e
1. Los et tienen media cero
2. La varianza condicional esta dada por
3. La varianza no condicional es:
4. Las autocovarianzas son iguales a cero
PROPIEDADES DEL ARCH
Dr. Galindo
2110
2 tt e
10conexistesólo
1
10
21
22
ey
(10.1)
(10.2)
PROPIEDADES DEL ARCH
Dr. Galindo
blancoRuido
ˆˆˆ 2222
2110
2
t
tqtqttt
v
veeee
2110 ttt ev
(10.3)
(10.4)
PROPIEDADES DEL ARCH
Dr. Galindo
10
1
10
2
v
00
0
11
2110
tttt
ttt
eeEvvEcomo
evEeE
(10.5)
(10.6)
PROPIEDADES DEL ARCH
Dr. Galindo
21
22
2110
2
2110
22
1
ttv
tt
ttt
eEeEycomo
eEvE
evEeE
102
1
teE
La varianza condicional depende de et-1
PROPIEDADES DEL ARCH
Dr. Galindo
La media y la varianza no condicional no se ven afectadas por la varianza condicional
2110
21
2
ttt
t e,e,eeE
Para que la varianza sea positiva se imponen las siguientes restricciones: 1.
2. es siempre no-negativo
el incremento de hace que la varianza de yt aumente
MODELO GENERAL:
Dr. Galindo
0
10
eslcondicionavarianzala
00
con
211 0 ty
21ty
2t
3. proceso estacionario
4. para un cuarto momento finito (Ángel, 1982 Teorema 1)
MODELO GENERAL:
Dr. Galindo
11
13 21
1.La selección del número de rezagos (q)Forma simple: Arbitraity lineaty declining lag leagth
2.Las restricciones negativas no se corrigen
MODELO GENERAL:
Dr. Galindo
10
24
23
22
2110
2 140203040
yestimoSólo
e.e.e.e. ttttt
El GARCH permite que la varianza condicional dependa de sus propios rezagos
(11)
Es posible interpretar a la varianza pronosticada actual (ht) como una función ponderada del valor promedio (α0), de la volatilidad del periodo previoy de la varianza pronosticada previa
Bollersler (1986):
Dr. Galindo
21
2110
2 ttt e
211 te
El término de error es:
(11.1)
Bollersler (1986):
Dr. Galindo
,qGARCH
hh
:y:donde
hve
iiti
q
iitit
v
ttt
11
20
2 1
En la práctica GARCH(1,1):
(12.1)
Despejando:
(12.2)
GARCH:
Dr. Galindo
211
2110
2 ttt e
232
221
211
1
02
1 tttt eee
La varianza actual depende de todas las perturbaciones anteriores elevadas al cuadrado
IGARCH: efecto persistente
GARCH:
Dr. Galindo
1
El modelo GARCH puede interpretarse como unARMA:
(13.1)
(13.2)
Substituyendo en la varianza condicional:
GARCH:
Dr. Galindo
22ttt eu
ttt ue 22
21
2110
2 ttt e
(13.3)
Reordenando:
(13.4)
ARMA(1,1)
GARCH:
Dr. Galindo
121
2110
2 ttttt ueeue
ttttt uueee 121
2110
2
El GARCH (1,1) es un modelo parsimonioso:
(14.1)
(14.2)
(14.3)
GARCH:
Dr. Galindo
21
2110
2 ttt e
22
2210
21 ttt e
23
2210
22 ttt e
Sustituyendo en (14.1):
(14.4)
(14.5)
GARCH:
Dr. Galindo
22
2210
2110
2 tttt ee
22
22210
2110
2 tttt ee
Substituyendo a :
(14.6)
Reordenando:
(14.7)
GARCH:
Dr. Galindo
22 t
23
2310
2
2210
2110
2
tt
ttt
e
ee
23
32211
20
2 11 tt LLe
Substituciones recursivas:
(14.8)
(14.9)
GARCH:
Dr. Galindo
22211
20
2 11
ttt LLe
222
2110
2tt ee
(15)
Con unit root variance
IGARCH
GARCH:
Dr. Galindo
1
0
1tevar
11
(15.1)
(15.2)
xt =ARMA o variable exógenas
• αt es la varianza condicional de et
• El proceso GARCH (ecuación (15.2) es la varianza condicional de la ecuación de la media
GARCH:
Dr. Galindo
ttt exy 10
ttqtqttt hheeve 1122
110
• no es la varianza condicional directamente
(15.3)
(15.4)
GARCH:
Dr. Galindo
2te
tt hve
ttt
tttt
tt
heE
vEvEcomo
hve
21
21
2
22
1
(15.5)
Media de et:
(15.6)
PROPIEDADES DEL GARCH:
Dr. Galindo
112
1102
ttt hee
0
0
)v(Ecomo
)hv(E)e(E
t
ttt
Varianza de et:
(15.7)
Varianza no condicional
(15.8)
PROPIEDADES DEL GARCH:
Dr. Galindo
)h(Ee(ve ttt 112110
22
)))h(E)e(E(v(E)e(E ttttt 112110
22
Como:
(15.9)
(15.10)
La varianza condicional:
(15.11)
La varianza condicional no es constante
PROPIEDADES DEL GARCH:
Dr. Galindo
1)v(E 2t )h(E)e(E 1t
21t
21t110
2tt Ee)()e(E
11
02tt 1)e(E
tt2t1t
2t1t hhvEeE
Prueba de normalidad:
(16.1)
(16.2) et es difícil que se distribuya como normal es probablemente leptokurtica de (16.1):
(16.3)
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Dr. Galindo
2,0~ Nvve tttt 2
1t2
1t102 e
t
tt
ev
Es común que sea leotokurtica aunque menos que et El GARCH captura parte de este efecto
Las estimaciones serán consistentes si las ecuaciones están correctamente especificadas
Sin embargo se requieren las desviaciones estándar calculadas por Balleislew y Wooldridg (1991) con quasi – maximain likelihoot (QML), algunos programas aceptan una distribución t en el GARCH (Enders)
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Dr. Galindo
tv
El ARCH esta modelado como una función de los errores al cuadrado rezagados
(17.1)
Correlograma:
1.Calcula la varianza muestral de los residuales de:
(17.2)
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Dr. Galindo
iti
q
iitit heh
1
20
tt eARMAy
T 2
t2
T
eˆ
2.Calcula las correlaciones muéstrales del cuadrado de los residuales:
(17.3)
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Dr. Galindo
T
t
T
itt
i
)ˆe(
)ˆe)(e(
222
2222
3.Calcular LB:
(17.4)
Rechazo de H0 implica rechazar que no existe ARCH o GARCH
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Dr. Galindo
)n(
)iT()T(TQ
n
i
i
2
1
2
LM para ARCH:
H0:
Pasos:
1.Estimar
2.Obtener las et de OLS
3.Regrasión Auxiliar:
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Dr. Galindo
0...10
ttt exy
,...)e,e,(fe 22t
21t0
2t
4.
5.Versión f: f(q,T-q-1)
ρ=1 q=1 GARCH(ρ,q)ρ=2 q=1
PRUEBAS ARCH - GARCH:
Dr. Galindo
)q(TR 22
Engle, Lilien y Robins (1987) incluyeron dentro del ARCH la Posibilidad de que la varianza condicional afecta a la media
La hipótesis es que los inversionistas que son adversos al riesgo requieren compensación por tener un activo riesgoso
ARCH – M – GARCH – M:
Dr. Galindo
Se forma mayor riesgo y se espera una mayor ganancia
La ganancia esta, en parte, determinada por riesgo
La varianza condicional se incluye en la ecuación de la media condicional
ARCH – M – GARCH – M:
Dr. Galindo
ARCH-M:
(18) yt = exceso de ganaciasμt = risk premium necesario para inducir la tendencia del activoet = error
ARCH – M – GARCH – M:
Dr. Galindo
ttt ey
El exceso de ganancias equivale al risk premium:
(18.1)
El risk premium es una función creciente de la varianza condicional de et
ARCH – M – GARCH – M:
Dr. Galindo
tt1t yE
El risk premium con ht definida como la varianza condicional de et se expresa como:
(18.2)
ARCH(q):
(18.3)
ARCH – M – GARCH – M:
Dr. Galindo
0 tt h
q
1i
2iti0t eh
GARCH – M:
(18.4)
(18.5)
δ = risk premium
ARCH – M – GARCH – M:
Dr. Galindo
2
1
0,N~
t
ttt
e
ey
1t2
1t102t e
con δ>0 Un aumento del riesgo dado por un aumento de la varianza condicional conduce a una umento de la media
Posible utilizar en (18.4):
1.
2.
3.
ARCH – M – GARCH – M:
Dr. Galindo
21t
1t2t
MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL
MODELOS DE HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL
Dr. LUIS MIGUEL GALINDO
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