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Sobre discrepancias en la función de densidad entre modelos de volatilidad
Carlos Virgilio Zurita
Universidad del CEMA
On density functions discrepancies among volatilities
Resumen
El presente trabajo analiza tres modelos de volatilidad para el Mercado de Capitales de Buenos
Aires. Se concluye que el proceso GARCH refleja con un menor error la evolución del activo en
comparación al concepto tradicional de volatilidad. Además, la volatilidad implícita del derivado
prueba ser un predictor consistente de la evolución del proceso GARCH. Se diagraman estrategias
de arbitrajes en función de las discrepancias en las funciones de densidad de las diferentes medidas
de volatilidad. El mercado de capitales es eficiente en sentido débil.
Abstract
The present work analyzes three models of volatility for the Capital Market of Buenos Aires. It
concludes that GARCH proccess reflects with a smaller error term the evolution of the asset in
comparison to the traditional volatility concept. Also, the derivative implied volatility probes to be a
consistent predictor of the GARCH proccess. Arbitrage strategies are diagrammed due to density
functions discrepancies among different volatility measures. The Capital Market is efficient in a
weak-form.
Indice
Sección 1. Introducción pp. 1
Sección 2.Volatilidad Implícita de Black Schole s pp. 5
Sección 3. Series de Tiempo pp. 8
Sección 4. Distribución de Probabilidad Acumulativa pp. 17
Sección 5. Función de Densidad pp. 24
Sección 6. Conclusión pp. 33
Sección 7. Anexo pp. 35
1
"Alles was wirklich ist, ist vernünftig, und alles was vernünftig ist, ist wirklich" ("Todo lo real es racional y todo lo racional es real"). Georg Wilhelm Friederich Hegel, Phänomenologie
des Geistes, 1966
1. Introducción
El análisis sobre volatilidades en los mercados de capitales ha cobrado gran importancia en las
últimas décadas en la teoría y practica de las finanzas. Ya sea en administración de riesgo, cobertura
de carteras o en la valuación de opciones, es necesario contar con una noción precisa de la
volatilidad esperada por el mercado. Numerosos trabajos se han presentado referentes a la
volatilidad histórica desde los ensayos pioneros de Roll (1977). Sin embargo, parece arriesgado
elaborar conclusiones sobre el comportamiento próximo del mercado en base a datos históricos
medidos por conceptos tradicionales de incertidumbre. Luego, la atención se ha centrado en la
volatilidad implícita resultante de operar el modelo de valuación Black-Scholes.
Métodos de valuación de opciones comprenden la asignación de un precio a los productos
derivados financieros. Un derivado es un activo cuyo precio depende explícitamente del valor dado
exógenamente de un activo subyacente sobre el cual se escribe la opción.
El modelo presentado por Fisher Black y Myron Scholes (1973) representa un formulación para
determinar el precio de opciones y deudas corporativas. De acuerdo a Black y Scholes el equilibrio
en el valor de las opciones se determina por la ausencia de oportunidades de arbitraje. Dicho modelo
asume diferentes supuestos, los cuales parecen ser violados en el mercado de valores con cierta
frecuencia. El parámetro específico del modelo a analizar en el presente trabajo es la volatilidad.
Recordemos que el modelo Black-Scholes(BS) supone volatilidad del subyacente constante y que el
precio del activo evoluciona bajo una distribución de probabilidad lognormal. Dichas restricciones
son de particular importancia en el caso de opciones financieras. De hecho, los valores de las
opciones del tipo “plain vanilla” se reducen a calificaciones de los precios en base al parámetro
denominado volatilidad implícita (BSIV).
Para derivar la volatilidad implícita el modelo BS es resuelto para parámetros de volatilidad
constante σ usando precios observados del mercado. Este enfoque posee mayor consistencia debido
a que el valor que el mercado le asigna a la opción es función directa de la volatilidad actual y
futura. Luego, la volatilidad implícita podría ser tomada como un indicador de la expectativa del
mercado durante el plazo remanente de vida de la opción, e inclusive dicha incertidumbre puede ser
aplicada a la evolución futura del valor del subyacente.
2 Las volatilidades implícitas son el foco de atención tanto para el comercio de la volatilidad misma
como para la administración de riesgos. Operadores comercian directamente el “vega” de la opción,
i.e., la sensibilidad del activo o cartera respecto a cambios en la volatilidad, como practica común.
Luego para lograr estrategias de cobertura se depende en gran medida de la estimación de la
volatilidad implícita del derivado.
Si el modelo de Black-Scholes es completo, dos opciones idénticas con diferentes precio de ejercicio
deberían poseer la misma volatilidad implícita. En la realidad, opciones con diferentes precios de
ejercicio o madurez poseen diferentes valores de volatilidad implícita.
Aunque la teoría de valuación de opciones se ha enfocado tradicionalmente en obtener métodos
para valuar y cubrir activos derivados como función de un subyacente, enfoques recientes tienden a
considerar los precios de mercado de opciones financieras como dados y tomarlos como una fuente
de información del mercado. Mientras que existe una extensa bibliografía sobre el primer enfoque,
el segundo ha sido solo desarrollado en trabajos recientes. Existen diferentes motivos por los cuales
la estimación correcta de la volatilidad del mercado puede resultar un tópico sumamente fructifero.
Las expectativas en la teoría de finanzas juegan un papel crucial en la determinación del
comportamiento de los agentes. Así, es importante para los participantes del mercado utilizar
estimaciones insesgadas de volatilidades debido a que dicho concepto se toma como una variable
argumento en la teoría de valuación de activos, en la cobertura de riesgos y en la administración de
portafolios. La capacidad para predecir volatilidades futuras es también de gran importancia para
bancos centrales en el proceso y diagramación de políticas monetarias.
Como mencionáramos, la mayoría de los modelos desarrollados para la predicción de volatilidad se
sustentan en su mayoría en el comportamiento pasado de los retornos y por lo tanto son “procesos
hacia atrás” (backward looking) por construcción formal.
En contraste, la valuación de una opción es un “proceso hacia adelante” (forward looking) debido a
que el valor de las opciones depende de la volatilidad futura esperada. Luego, se argumenta que la
volatilidad implícita obtenida de las opciones debería poseer una mayor capacidad de predicción en
oposición a modelos basados en muestras históricas. La volatilidad implícita incluye expectativas de
los agentes del mercado sobre eventos futuros e incorpora información que no es estrictamente
pasada como proyecciones de indicadores macroeconómicos.
También debe tenerse presente que el continuo desarrollo del mercado de opciones financieras lo
transforma cada vez mas en un mercado autónomo por lo cual los precios de las opciones
evolucionan no solo por movimientos del activo subyacente mas también por una demanda y oferta
interna en el mercado de opciones en si. Esto se hace notorio en los días previos al vencimiento de la
opción.
3 Determinar que poder de predicción posee la medida de volatilidad como volatilidad implícita
(forward looking) frente a definiciones tradicionales de dicho concepto (backward looking) es una
de las metas del presente trabajo de investigación. Para dicho análisis serán considerados tres
conceptos de volatilidad: Volatilidad como el momento centrado de segundo orden, Volatilidad
como un proceso de Heteroscedasticidad Condicional, Volatilidad implícita. Luego se evaluara si la
ocurrencia de discrepancias entre las diferentes medidas de volatilidad permite la aplicación de
estrategias de arbitraje.
La controversia sobre cual es la falla o no-conexión entre teoría y práctica en la valuación de
opciones financieras no es trivial. Si el modelo de Black-Scholes es considerado completo con sus
supuestos clásicos, y surgen eventualidades, se tendera a tomar dicha eventualidad como una
anomalía del mercado, luego, el mercado no es eficiente al menos en sentido débil. Sin embargo, si
se admite la posibilidad de considerar al modelo incompleto, nuevas modificaciones en sus
supuestos originales pueden resultar necesarias.
En síntesis, el presente trabajo consigna dos objetivos
• Demostrar que el concepto tradicional de volatilidad no refleja la evolución del activo
correctamente, por lo tanto, decisiones basadas en el concepto tradicional de volatilidad serán
sesgadas. Se presenta una hipótesis alternativa de volatilidad medida como un proceso auto
regresivo generalizado de heterocedasticidad condicional de primer orden integrado, se analiza si
dicho proceso modela de manera eficiente la evolución de los precios del activo en cuestión.
Finalmente, si el concepto de volatilidad implícita es correcto, el proceso GARCH(1,1) es el indicado
para medir la volatilidad del activo subyacente.
• Si las volatilidades medidas bajo el concepto tradicional y bajo la forma implícita no son similares,
el modelo para valuar opciones no es correcto o el mercado no se encuentra arbitrado. En base a los
valores observados y calculados, se construyen distribuciones de probabilidad. Posteriormente se
diagraman estrategias de arbitraje y se analiza su evolución en el periodo de actividad de la opción.
El estudio utiliza datos intradiarios de opciones de compra europeas sobre acciones de los papeles
principales del Mercado de Valores de Buenos Aires (MERVAL). En particular, los casos de Grupo
Financiero Galicia (GFG), Petrobras (PBE) y Acindar (ACIN) son analizados1.
1 Se agradece al Instituto Argentino de Mercado de Capitales (IAMC) por la colaboración en la obtención de información para el análisis del trabajo.
4 El presente trabajo se divide en siete secciones: en la siguiente sección se presentan brevemente los
supuestos del análisis y valuación de opciones del modelo de Black-Scholes. Luego se obtiene la
volatilidad implícita del derivado mediante el algoritmo de Newton-Rapshon. En la Sección 3. se
analizan y comparan series temporales de los tres conceptos de volatilidad tratados en el presente
trabajo, a) Volatilidad medida como el desvío estándar respecto al valor medio (Histórica 60d), b)
Volatilidad medida como un proceso auto regresivo generalizado de heterocedasticidad condicional
de primer orden (GARCH(1,1)), y c) Volatilidad Implícita resultante de invertir la ecuación de Black-
Scholes. En la Sección 4. se analizan las funciones de densidad de las diferentes medidas de
volatilidad obtenidas en la sección precedente. En la Sección 5. mediante el algoritmo de
Kolmogorov-Smirnov las distribuciones de probabilidad son ajustadas a información obtenida del
Mercado de Valores de Buenos Aires. En base a los resultados obtenidos se proponen estrategias de
arbitraje y se analiza su evolución. La Sección 6. elabora las principales conclusiones encontradas en
el análisis de volatilidades. Finalmente, en la Seccion 7., se incluye un anexo con rutinas de
programación en C++(adaptables a VBA), pruebas formales, pruebas econometricas, gráficos y
cuadros estadísticos.
5
2. Volatilidad Implícita de Black-Scholes
Previo a realizar el análisis de volatilidades implícitas (BSIV), recordemos los supuestos principales
sobre los que subyace la hipótesis Black-Scholes (BS)
• El mercado opera bajo una economía perfectamente elástica de trading continuo, esto es, el
proceso que conduce el precio del activo no se encuentra afectado por movimientos en la demanda,
lo cual implica que los inversores interactúan en un mercado atomizado. Los activos se agrupan en
acciones ( riesgosas), papel moneda (riesgo nulo) y un derivado (definido en términos del precio de
la acción).
• El mercado es eficiente en sentido débil, toda información pasada sobre el comportamiento del
stock S se encuentra incluida en el mismo, la cual es publica para todo los agentes. Luego, el precio
de la acción sigue un proceso de Markov.
• No existen costos de transacción.
• El activo posee subdivisión infinita, y puede ser vendido en corto.
• La tasa de interés de composición continua es constante.
• El precio de la acción evoluciona de acuerdo a la ecuación diferencial parcial estocástica
dWdtS
dSσµ +=
donde µ y σ son constantes y W sigue un movimiento browniano estándar.
El precio de la opción en tiempo t, el cual denominamos V(t,S) es una función deterministica de t y S.
La solución explicita para una opción de compra europea es2
)()(),,,( 2))((
1 dKedSKTStC tTr Φ−Φ= −−
2 Refiérase al Anexo.1 para la derivación de la formula de Black-Scholes para una opción de compra europea mediante el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas de segundo orden lineales parabólicas.
6 donde (.)Φ es la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria normal
estandarizada dada por
dyexx y
∫ ∞−
−=Φ
2
21
21
)(π
Donde
tT
tTrKSd
−
−++=
σ
σ ))(21
()/log( 2
1
tT
tTrKSd
−
−−+=
σ
σ ))(21
()/log( 2
2
Volatilidad Implícita
Como mencionáramos, en el calculo de las formulas de valuación de opciones, en particular la
ecuación de Black-Scholes (BS), la única variable desconocida es el desvío estándar del activo
subyacente. Un problema común es encontrar la volatilidad implícita, dado el precio publicado en el
mercado.
Luego, dado 0c , la siguiente ecuación debe ser resuelta para el valor de sigma σ
),,,,(0 tTrXScc −= σ
Sin embargo, dicha ecuación no tiene solución explicita. De esta forma, debe ser resuelta de manera
numérica para encontrar el valor de σ . El procedimiento de resolución mas simple es el algoritmo
de búsqueda binomial, el cual busca intervalos para un σ alto que redunda en un precio más alto
que el precio observado, y luego , dado el intervalo, se busca la volatilidad de manera sistemática.
Sin embargo, un procedimiento que domina al anterior es el algoritmo de Newton-Raphson (NR)
para la búsqueda de raíces de una ecuación.
Así, para utilizar el algoritmo NR la derivada del valor de la opción es requerida. Para la formula de
BS esto es conocido y se puede utilizar3.
3 El Anexo.2 incluye la definición del algoritmo y las rutinas de programación en C++ (aplicables a Visual Basic for Applications) para el calculo de la volatilidad implícita como así también los filtros impuestos "boundary conditions" para valores del precio de la opción.
7 Una característica particular de la volatilidad implícita es su no constancia para diferentes precios
de ejercicios. Esto es, si el valor del subyacente, la tasa de interés y el tiempo a la madurez están
fijos, el precio de las opciones para diferentes precios de ejercicio debe reflejar un valor de
volatilidad uniforme de acuerdo a BS.
En la práctica este no es el caso y este hecho resalta una anomalía del mercado. Dicho efecto es
ilustrado en la siguiente figura, la cual muestra volatilidades implícitas para diferentes precios de
ejercicio en un mismo momento del tiempo. El activo elegido es la especie del Grupo Financiero
Galicia (GFG) para el día 16 de Marzo del periodo 2004. Dicha opción de compra tenía su
vencimiento el 15 de Abril del mismo periodo. El stock cotizo en 2.2 dicho día.
Implied Volatility Smirk para GFG
Galicia (GFG) Implied Volatility 3/16/2004
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
Strike
Imp.
Vol
.
Se puede observar que las volatilidades implícitas para opciones de compra en las cuales el valor
del stock es mayor al valor del strike (S>K) (opciones "In the Money") son mayores a las
volatilidades implícitas observadas para opciones en las cuales el valor del stock es similar al valor
del strike(opciones "At The Money"). La diferencia en la magnitud de la BSIV se acentúa si se
comparan opciones in the money y opciones out of the money. Esta curva es denominada
tradicionalmente "sonrisa" de volatilidad ("volatility smile"), aunque en la mayoría de los casos en el
que el subyacente es una acción su grafico decae monotonicamente a medida que el valor del strike
aumenta ("volatility smirk").
8
3. Series de Tiempo
Como mencionáramos, el análisis de la volatilidad observada, y esperada, en los activos resulta de
crucial importancia.
En la presente sección se analizan tres medidas de volatilidad usualmente utilizadas en los mercados
de capitales. El concepto tradicional de volatilidad medido como el cuadrado de los desvíos de los
retornos respecto a un valor medio, volatilidad medida como un proceso autoregresivo de
Heteroscedasticidad condicional generalizado de primer orden (GARCH(1,1), y volatilidad medida
como el resultado de invertir la ecuación de Black-Scholes4.
Desvío Estándar
Se considera una secuencia de precios spot S1, S2, ... obtenida del mercado en periodos de tiempo
regulares i=1,2,3...n.
Siguiendo a Markowitz se define el término volatilidad como el desvío estándar de los retornos ns
medido como el logaritmo del precio de la acción en el periodo i menos el logaritmo del precio de la
acción en el periodo i-1, respecto a su valor medio. Así, se estiman la media y la varianza por
unidad de tiempo t∆ usando las m recientes observaciones5 .
∑=
−∆=
m
iinn s
tm 1
1µ
∑=
− ∆−∆−
=m
inn ts
tm 1
21
2 )()1(
1µσ
El presente concepto de volatilidad posee al menos dos fallas para el análisis de series de activos
financieros derivados en particular:
• El análisis de los impactos sobre los retornos indica que los eventos recientes son más
significativos, sin embargo, los mismos se encuentran ponderados por el mismo factor uniforme
tm ∆− )1/(1 al igual que los restantes en la ventana móvil, esto sucede hasta que la información es
eliminada drásticamente luego del periodo m.
4 La argumentación teórica del ultimo concepto fue tratado en la sección precedente por lo que puede resultar necesario remitirse a la misma para su mayor comprensión y relación con los gráficos. 5 El número de observaciones usualmente utilizado por traders del mercado es de 60, correspondientes a los últimos 60 días de operación de la opción sobre la acción.
9 • El proceso es independiente de un valor medio de largo plazo al cual las desviaciones tienden a
revertir (mean reversion factor).
Respecto al primer problema, el concepto de ventana móvil uniformemente ponderada debe ser
reemplazo por un proceso auto regresivo o recursivo, logrando una ventana móvil
exponencialmente ponderada, donde el ultimo valor es constantemente actualizado por el valor de
mercado mas reciente.
21
21
2 )1( −− −+= nnn sλλσσ
Operando las ecuación en función de 2nσ , se observa que donde antes las ponderaciones eran
uniformes, ahora decaen exponencialmente a una tasa1
)1(−
−=
ii λλ
α la cual se acelera a medida
que [ ]1,0∈λ disminuye.
El segundo problema es resuelto definiendo un termino medio de largo plazo e introduciendo un
termino de reversión en un modelo heteroscedástico condicional auto regresivo generalizado,
usando los p incrementos mas recientes y las q volatilidades mas recientes en un proceso GARCH
(p,q), dicho proceso es una generalización del proceso propuesto originariamente por Engle (1982)6 .
Bollerslev (1986) continúa el trabajo original de Engle y desarrolla una técnica que permite a la
varianza condicional seguir un proceso auto regresivo de media móvil (ARMA).
Luego
ttt ve σ=
∑∑=
−−=
++=p
iitiit
q
iit ew
1
22
1
2 σβασ
Este modelo ARCH(p,q) generalizado, denominado GARCH(p,q), permite incorporar componentes
autorregresivos y de media móvil en la varianza heteroscedastica.
La ventaja de los modelos GARCH respecto a los ARCH son en lo referente a la parsimonia, el
primero resulta de menor complejidad y estimación. Finalmente, para asegurar una varianza
6 El anexo 3 presenta un análisis formal e intuitivo sobre los procesos ARCH , GARCH, GARCH(1,1) .
10 condicional finita y positiva, todas las raíces características deben encontrarse dentro del radio
unitario.
GARCH(1,1)
La especificación es
ttt ve σ=
21
21
2−− ++= ttt ew βσασ
La ecuación que determina la varianza condicional es función de tres términos:
• La media: w .
• Noticias sobre la volatilidad del periodo anterior, medida como el log del cuadrado del residuo de
la ecuación de la media: 21−te (el termino ARCH).
• Estimaciones de la varianza de los últimos periodos: 21−tσ ( el termino GARCH).
Un caso especial es el GARCH Integrado de orden (1,1), denominado IGARCH(1,1), donde los
parámetros ( ) 1≤+ βα 7y usualmente 0=w .
Luego
21
21
2 )1( −− −+= ttt e σαασ
7 La restricción ( ) 1pβα + implica que shocks al proceso de modelado de volatilidad persisten en el tiempo, esto es, una mayor volatilidad en el periodo actual lleva a predecir una mayor volatilidad futura indefinidamente. Es por ello que suele denominarse como proceso GARCH Integrado o IGARCH.
11 Dicha ecuación es la base del modelo Medias Móviles de Ponderación Exponencial (EWMA).
Entonces, si ( ) 1pβα + , el proceso de modelado de la varianza arroja una reversion a la media a la
expectativa incondicional de 2tσ , esto es
βασ
−−=
12 wt si ( ) 1pβα + , y es estrictamente estacionarios si [ ] 0)log( 2 pβα +tvE , con lo
cual estimaciones de volatilidad en el futuro distante serán idénticas a la expectativa incondicional
de 2tσ .
Diferentes argumentos abogan por modelos donde ponderaciones exponenciales (la “tasa de
olvido”), mecanismos de reversión a la media (el termino medio de largo plazo) y la tendencia a
reproducir la autocorrelación del mercado. Debido a que la volatilidad es un fenómeno no medible
de manera directa en el mercado, no resulta trivial determinar cual modelo es correcto o no.
Sin embargo, tests independientes se pueden utilizar para comparar diferentes conceptos de
volatilidad.
Una vez obtenidos los valores de las tres medidas de volatilidad en cuestión, las mismas son
analizadas mediante series temporales.
El objetivo es determinar cuan bien es reflejada la volatilidad presente y futura medida como
volatilidad implícita de las opciones financieras (forward looking) en base a los conceptos de
volatilidad medida sobre datos históricos (backward looking).
Seguidamente se analizan los conceptos de volatilidad histórica (Histórica 60d), volatilidad de
varianza condicional (GARCH (1,1)), y volatilidad implícita (Implied Vol.) mediante series
temporales para los papeles con mayor operatoria y volumen del Mercado de Valores de Buenos
Aires. El análisis es complementado con la evolución temporal estandarizada (un tercio del valor del
stock) de los activos subyacentes en cuestión.
Las especies analizadas son: Grupo Financiero Galicia (GFG), Petrobras (PBE), y Acindar (ACIN).
12 El periodo de tiempo analizado es: 2 de enero de 2004; 15 de abril de 2004, fecha en la cual vencen las
opciones de compra para dichos activos.8
En todos los casos el valor obtenido de la volatilidad implícita es en referencia a opciones At The
Money ( )KS ≈ .
Grupo Financiero Galicia (GFG)
La Figura 1. resume los cálculos de los tres conceptos de volatilidad utilizados en el presente trabajo:
Histórica, GARCH (1,1) e Implícita. Como se menciono, se incluye la evolución del activo
subyacente graficada como un tercio del valor observado.
Como se puede apreciar, el concepto de volatilidad tradicional medida como el desvío estándar
respecto al retorno medio para los últimos 60 días comerciales no refleja la situación imperante del
activo en el mercado. Su ponderación uniforme no permite observar cambios ocurridos en los
periodos más próximos al actual. Dicho concepto histórico es mejorado si se lo reemplaza por un
proceso de heteroscedasticidad condicional.
Si el proceso GARCH (1,1) es el utilizado como medida de volatilidad, la correspondencia con el
valor operado en el mercado mejora drásticamente. Esto se comprueba si se analiza la evolución de
dicho concepto, y su correlación con la serie temporal de volatilidad implícita.
La volatilidad implícita del derivado resulta ser un buen predictor (forward looking) de lo que
podría ocurrir en el mercado de capitales.
Como se plantea en la hipótesis nula, la volatilidad implícita tiende a anticiparse a la evolución de la
volatilidad medida como un GARCH (1,1). Para la presente especie, en promedio, la volatilidad
implícita produce cambios en su valor con 2 días de antelación al valor resultante del proceso
GARCH (1,1).
Es de notar como la disminución del valor del stock es antecedido por aumentos en la volatilidad
implícita. En el presente caso de GFG se puede apreciar como la caída en el valor de S desde el 27 de
enero al 10 de febrero es precedido por aumento de la volatilidad implícita que comienza el 22 de
enero. Aunque el proceso GARCH(1,1) refleja en gran medida la evolución de la volatilidad
implícita, falla en captar dichos cambios con similar rapidez. La medida de volatilidad histórica no
refleja dichos cambios en ningún caso.
8 Para un análisis del periodo Octubre 2003; Abril 2004 para el papel GFG, el cual incluye cuatro vencimientos, refiérase al Anexo 4.
13
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
02/01/
2004
09/01/
2004
16/01/
2004
23/01/
2004
30/01/
2004
06/02/
2004
13/02/
2004
20/02/
2004
27/02/
2004
05/03/
2004
12/03/
2004
19/03/
2004
26/03/
2004
02/04/
2004
09/04/
2004
GARCH(1,1) Historica 60d. Implied Vol. Stock*
GFG. Volatilidades. Series Temporales
14 Luego, si consideramos al valor IV como el valor que el mercado estima correcto, y si el mercado es
eficiente en sentido débil, podemos concluir que para el análisis de incertidumbre del activo
subyacente, un proceso GARCH (1,1) domina en sentido débil a la volatilidad histórica tradicional.
Como se aprecia para GFG (las conclusiones se mantienen para ACIN y PBE) el concepto tradicional
de volatilidad solo responde a cambios de gran magnitud en el valor del subyacente. Este parece ser
el caso para los 10 días comprendidos entre el 18 de enero de 2004 y 28 de enero de 2004.
Petrobras (PBE)
PBE. Volatilidades. Series Temporales
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
02/01/
2004
09/01/
2004
16/01/
2004
23/01/
2004
30/01/
2004
06/02/
2004
13/02/
2004
20/02/
2004
27/02/
2004
05/03/
2004
12/03/
2004
19/03/
2004
26/03/
2004
02/04/
2004
09/04/
2004
GARCH(1,1) Historica 60d Implied Vol. Stock*
15 Al igual que para la especie GFG, es de notar la evolución inversa entre el valor estándar del activo y
el valor de volatilidad estimado por el proceso GARCH (1,1) para el activo PBE. En todos los casos
parece indicar que el proceso ARCH generalizado es simétrico en su mayoría.
Dicha característica es común a los procesos de heteroscedasticidad condicional simétricos como el
tratado en el presente trabajo. Con todo, para activos financieros, se observa que disminuciones en el
valor del activo son seguidas por aumentos de las volatilidades observadas, mientras que aumentos
en el valor del activo no tienden a corresponderse con menores volatilidades. Si este es el caso, un
proceso Threshold ARCH (TARCH) podría ser un modelo consistente a utilizar. El Anexo 5 incluye
los cálculos para dicho modelo para el análisis de opciones de GFG con vencimiento en abril 2004,
donde se concluye que el efecto presenta asimetría.
Las conclusiones respecto a la volatilidad histórica del subyacente se mantienen, la misma no es un
buen predictor de la situación actual del mercado, su utilización parece más dispensable en
situaciones de activos financieros de plazo corto a mediano.
La capacidad de predicción de la volatilidad implícita para determinar cambios de tendencias
también se mantienen. Como se puede apreciar, en general, cambios en la tendencia del GARCH
(1,1), son anticipados por la IV con una antelación de 1 a 3 días. En ciertas ocasiones, los cambios
ocurren en el mismo periodo.
Similar a GFG, disminuciones en el valor del activo subyacente son precedidas por aumentos en la
volatilidad implícita de la opción. Las disminuciones experimentadas por el activo a partir del 27 de
enero son precedidas por aumentos de volatilidad implícita a partir del 23 de enero.
Acindar (ACIN)
Al igual que en los dos papeles anteriores, el valor observado de la volatilidad implícita aumenta de
manera explosiva en los días próximos al vencimiento de la opción, esto debido en parte al aumento
de las cantidades de transacciones de la opción, los cuales aportan mayor incertidumbre al desenlace
final en el valor de la misma, la cual puede terminar con un precio de ejercicio menor, mayor o igual
al valor del stock en dicho momento9. Así, los valores máximos para la volatilidad implícita de
ACIN (0.53), al igual que para GFG (0.64) y PBE (0.49), se encuentran al vencimiento del derivado.
9 Como se señalo, la volatilidad implícita graficada para las diferentes especies, corresponde al tramo “at the money”, se observa que dicha explosión de volatilidad en los últimos días previos al vencimiento de la opción disminuye para el caso de opciones “in the money” y “out of the money”.
16
ACIN. Volatilidades. Series Temporales
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
02/01/
2004
09/01/
2004
16/01/
2004
23/01/
2004
30/01/
2004
06/02/
2004
13/02/
2004
20/02/
2004
27/02/
2004
05/03/
2004
12/03/
2004
19/03/
2004
26/03/
2004
02/04/
2004
09/04/
2004
GARCH(1,1) Historica 60d Implied Vol. Stock*
El análisis de los tres papeles permite concluir que la volatilidad medida como desvío estándar
respecto al retorno medio no refleja los cambios en el valor del activo subyacente.
El proceso GARCH(1,1) domina al concepto tradicional de volatilidad histórica.
La volatilidad implícita resulatante de invertir la ecuación diferencial de Black-Scholes es un buen
predictor de las expectativas del mercado.
La relación Volatilidad implícita-Valor del Stock se mantiene, aumentos en la volatilidad implícita a
partir del 19 de enero son seguidos por disminuciones en el valor del activo a partir del 22 de enero.
17
4. Distribución de Probabilidad Acumulativa
En la sección precedente se analizaron las series temporales de diferentes modelos para medir la
incertidumbre en los activos financieros. Se observo que la medida de volatilidad en sentido
tradicional no es al menos un indicador dinámico eficiente
Como se mencionara oportunamente, dentro de los factores que influyen en el valor de las opciones
financieras, el único no observable en sentido estricto en el mercado es la volatilidad del
instrumento.
También sabemos que el valor de una opción financiera es reflejado por su volatilidad.
Es por ello que la determinación del modelo de volatilidad a utilizar para el análisis de instrumentos
derivados no es trivial.
La presente sección tiene por objeto analizar las diferentes alternativas de cálculo para medir el
concepto denominado volatilidad del activo.
El presente trabajo se concentra en tres modelos, a saber:
• Volatilidad Histórica medida como el momento centrado de segundo orden.
• Volatilidad medida como un proceso auto regresivo de heterocedasticidad condicional de
primer orden (GARCH (1,1))
• Volatilidad Implícita medida como valor resultante de invertir la ecuación diferencial parcial
estocástica de Black-Scholes.
En base a la información obtenida de los principales papeles del índice Merval, se conformaran
distribuciones de frecuencias de volatilidad. Luego se procede a suavizar dichas distribuciones
mediante estimadores de máxima verosimilitud (MLE)10. Una vez obtenida la distribución de
probabilidad que mejor se aproxima a los datos discretos, se procede a comparar dichas funciones.
10 Los conceptos de estimadores de máxima verosimilitud son tratados en el Anexo 6.
18 Esto es, determinar con que grado de error las distribuciones de probabilidad acumulativas
utilizadas finalmente reflejan los datos discretos obtenidos para luego utilizar las mismas como
funciones de densidad de volatilidades y compararlas según el modelo analizado es el objetivo de la
presente sección.
Si la función de verosimilitud contiene k parámetros, es decir, si
),,;(),...,,( 211
21 k
n
iik fL θθθσθθθ ∏
=
=
los estimadores máximo verosímiles de los parámetros kθθθ ,...,, 21 son las variables aleatorias
),...,,(ˆ2111 nd σσσθ = ; ),...,,(ˆ
2122 nd σσσθ = ; ...; ),...,,(ˆ21 nkk d σσσθ = , donde kθθθ ˆ,...,ˆ,ˆ
21 son
los valores en Ω que hacen máxima a ),...,,( 21 kL θθθ . Si se satisfacen condiciones de regularidad,
el punto en que la verosimilitud es máxima es una solución del sistema de k ecuaciones.
Estadísticos de Ajuste
Una vez estimado los MLE, en base a las n observaciones de volatilidades, las mismas son ajustadas
a distribuciones de probabilidad continua mediante estadísticos de ajuste.
Dichos estadísticos tienen por objeto medir “cuan bien” la función de densidad resultante refleja los
valores observados.
Los tres estadísticos mas usados frecuentemente para el análisis de series de mercados financieros
son: el estimador Chi-Cuadrado; el estimador Anderson-Darling y el estimador Kolmogorov-
Smirnov11.
Se probaron los tres estadísticos mencionados y es el ultimo estimador el elegido para el análisis ya
que sus ventajas respecto a los restantes estimadores son las mas adecuadas para el análisis de las
series de volatilidades de activos de corto plazo.
A diferencia del estadístico Chi-Cuadrado, la prueba de Kolmogorov-Smirnov(K-S) no necesita que
los datos se encuentren agrupados y es aplicable a muestras de tamaño pequeño
11 El Anexo 7 desarrolla el algoritmo de Kolmorov-Smirnov para muestras pequeñas.
19 El estadístico K-S se define como
)()(max 0 σσσ
FSKS nn −=
donde n = numero total de puntos muéstrales.
)(0 σF = función de probabilidad acumulativa ajustada.
nNSn /)( σσ =
Distribuciones de Probabilidad de Volatilidades
Seguidamente se analizan las distribuciones de probabilidad acumulativas de los tres conceptos de
volatilidad, Histórica 60d, GARCH(1,1) e Implied Vol.12.
Para el ultimo caso, se han separado en tres grupos de volatilidades implícitas de acuerdo a la
relación existente entre precio del stock y precio de ejercicio de la opción de compra, i.e., In The
Money(ITM); At The Money(ATM); Out Of The Money(OTM).
Se define una opción de compra ITM como aquella en la cual el valor del stock es superior al precio
de ejercicio en al menos un 10 por ciento. Una opción de compra ATM se define como aquella en el
que el precio del stock en relación al precio del strike se encuentra en el intervalo 90 por ciento y 110
por ciento. Una opción de compra esta OTM si el precio del stock es inferior al precio de ejercicio en
un nivel mayor al 10 por ciento.
Distribución de Probabilidad. Volatilidad Histórica 60 días.
El siguiente grafico muestra la distribución de frecuencias para los valores observados respecto a la
volatilidad observada en los últimos 60 días comerciales. Dicha muestra se encuentra ajustada a la
distribución de probabilidad en base al estadístico KS. La distribución de probabilidad utilizada es la
función Beta Generalizada.
12 Análisis realizado para la especie GFG, para un análisis de los papales líderes restante refiérase al Anexo 8.
20
BetaGeneral(0.96278, 0.65810, 0.44034, 0.55632)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.00.
42
0.44
0.46
0.48
0.50
0.52
0.54
0.56
0.58
10.0%90.0%0.4200 0.5527
Mean = 0.51381
Mean = 0.50923
Distribución de Probabilidad. Proceso GARCH(1,1)
La distribución de probabilidad a utilizar de acuerdo a K-S es la función Beta Generalizada.
BetaGeneral(0.79484, 0.88701, 0.34044, 0.63624)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
10.0% 90.0%0.3590 +Infinity
Mean = 0.47657
Mean = 0.48024
Fit Input
Left X 0.4200 0.4200
Left P 0.00% 0.00%
Right X 0.5527 0.5527
Right P 90.00% 97.22%
Diff. X 0.1327 0.1327
Diff. P 90.00% 97.22%
Minimum 0.44034 0.44034
Maximum 0.55632 0.55632
Mean 0.50923 0.51381
Mode N/A 0.52880 [est]
Median 0.51446 0.52829
Std. Deviation 0.035182 0.034401
Variance 0.0012378 0.0011670
Skewness -0.3423 -0.9690
Kurtosis 1.8393 2.4015
Fit Input
Left P 0.00% 0.00%
Right P 90.00% 93.06%
Diff. P 90.00% 93.06%
Minimum 0.34044 0.34044
Maximum 0.63624 0.63624
Mean 0.48024 0.47657
Mode N/A 0.47236 [est]
Median 0.47645 0.47335
Std. Deviation 0.090176 0.086845
Variance 0.0081317 0.0074373
Skewness 0.0976 0.2259
Kurtosis 1.7297 1.7178
21 Distribución de Probabilidad. Volatilidad Implícita invertida de Black-Scholes
Opción de Compra In The Money
La distribución de probabilidad utilizada es la función Weibull.
Weibull(1.9864, 0.27794) Shift=+0.24084
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
>17.5%82.5%-Infinity 0.6085
Fit Input
Left X 0.31 0.31
Left P 6.12% 5.56%
Right X 0.7237 0.7237
Right P 95.00% 92.78%
Diff. X 0.4137 0.4137
Diff. P 88.88% 87.22%
Minimum 0.24084 0.2483
Maximum 0.87999
Mean 0.48719 0.48699
Mode 0.43623 0.51666 [est]
Median 0.47195 0.47534
Std. Deviation 0.12957 0.13032
Variance 0.016787 0.016889
Skewness 0.5954 [est] 0.642
Kurtosis 3.0295 [est] 2.9439
22
BetaGeneral(13.729, 9.5591, -0.20630, 0.85295)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
< >10.2%89.8%-Infinity 0.5527
Mean = 0.41826
Mean = 0.41816
Distribución de Probabilidad. Volatilidad Implícita invertida de Black-Scholes
Opción de Compra At The Money
Fit Input
Left X 0.2392 0.2392
Left P 5.00% 8.37%
Right X 0.5876 0.5876
Right P 95.00% 96.96%
Diff. X 0.3484 0.3484
Diff. P 90.00% 88.59%
Minimum -0.2063 0.16291
Maximum 0.85295 0.74294
Mean 0.41816 0.41826
Mode 0.42707 0.49726 [est]
Median 0.42092 0.42677
Std. Deviation 0.10573 0.10637
Variance 0.011179 0.011271
Skewness -0.1419 -0.2315
Kurtosis 2.8008 2.4746
La distribución de probabilidad a utilizar de acuerdo a K-S es la función Beta Generalizada.
23
Distribución de Probabilidad. Volatilidad Implícita invertida de Black-Scholes
Opción de Compra Out Of The Money
La distribución de probabilidad a utilizar de acuerdo a K-S es la función Logística.
Logistic(0.490131, 0.034607)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
< >2.2% 97.8%0.3590 +Infinity
Mean = 0.48476
Mean = 0.49013
Luego, en base al análisis Kolmogorov-Smirnov se concluye que la comparación revela una
diferencia suficientemente pequeña entre las funciones de distribución muestral y propuesta, luego
la hipótesis nula en la que la distribución es )(0 σF se acepta para todos los casos. Cabe acotar que
el ajuste con menor precisión se produce para el caso de Volatilidad Histórica 60dias, esto debido a
la gran concentración de valores en puntos extremos.
Fit Input
Left X 0.3882 0.3882
Left P 5.00% 9.09%
Right X 0.592 0.592
Right P 95.00% 98.99%
Diff. X 0.2038 0.2038
Diff. P 90.00% 89.90%
Minimum 0.28695
Maximum 0.72179
Mean 0.490131 0.48476
Mode 0.490131 0.52217 [est]
Median 0.490131 0.49322
Std. Deviation 0.06277 0.06788
Variance 0.0039401 0.0045611
Skewness 0 -0.6447
Kurtosis 4.2 5.1577
24
5. Función de Densidad de Volatilidad
A continuación se ilustran las funciones de densidad de los tres conceptos de volatilidad analizados
y su distribución de probabilidad ajustada por Kolmogorv-Smirnov. Para el caso de volatilidades
implícitas se continúa la exposición presentada subdividiendo dicho concepto en opciones ITM,
ATM y OTM.
El análisis se realiza para el activo financiero Grupo Financiero Galicia (GFG)13 comparando las
funciones de densidad de Volatilidad intradiarias Histórica 60d. Versus Volatilidad Implícita. Un
análisis similar se realiza para el proceso GARCH(1,1) Versus Volatilidad Implícita. La presente sección tiene por objeto demostrar que las función de densidad de volatilidad medida
como Volatilidad Histórica 60d posee grandes diferencias respecto a la funciones de densidad de
volatilidades implícitas, lo cual permite indicar una falla del modelo de Black-Scholes y un error en
la estimación del mercado en lo referente a la volatilidad del activo. Dicha conclusión no se mantiene
en el caso en el que se comparan el proceso GARCH y la volatilidad implícita, ya que las diferencias
son mínimas.
Volatilidad Histórica 60d. Versus Volatilidad Implícita
Si el modelo de Black-Scholes es completo, una comparación entre volatilidades históricas del activo
subyacente y volatilidades implícitas obtenidas de la ecuación de Black-Scholes debería resultar al
menos redundante.
Sin embargo, no lo es. A continuación se ilustran las funciones de densidad ajustadas mediante las
distribuciones de probabilidad de acuerdo al algoritmo KS para el periodo Enero-Abril 2004.
Volatilidad Histórica 60d.
La función de densidad utilizada es la función Beta Generalizada de la forma
( ) ( )( )( ) 1
21
11
21
21
minmax,
maxmin)( −+
−−
−
−−= αα
αα
αα
σσσ
Bf
13 Para una análisis de los papeles lideres restantes refiérase al Anexo.9.
25 donde B refiere a la función de densidad Beta, 1α y 2α son parámetros de forma y min. y máx. son
parámetros limites. Para el presente caso 96.01 =α , 66.02 =α , 44.0min = y 56.0max = .
La siguiente figura ilustra la funcion de densidad para la medida de volatilidad historica tradicional
BetaGeneral(0.96278, 0.65810, 0.44034, 0.55632)
0
5
10
15
20
25
30
0.42
0.44
0.46
0.48
0.50
0.52
0.54
0.56
0.58
10.0%90.0%0.4200 0.5527
Mean = 0.51381
Mean = 0.50923
Como se puede apreciar, el 90% de las observaciones referentes a la volatilidad histórica de los
últimos 60 días comerciales se encuentra entre el límite inferior y 0.5527.
Esto es, existe una probabilidad del 10% de encontrar valores de volatilidad superiores a 0.5527.
26
Volatilidad Implícita In The Money
La función de densidad utilizada es la función Weibull de la forma
( )αβσα
α
βασ
σ /1
)( −−
= ef donde α es el parámetro de forma y β el parámetro de escala. Para el
presente caso 99.1=α y 28.0=β
A continuación, se ilustra el caso de volatilidades implícitas de opciones de compra In The Money
para el mismo periodo
Como se puede observar, el área comprendida entre los valores de volatilidad implícita ITM igual a
0 y 0.5527 es 71.6%.
Luego, la probabilidad de encontrar valores de volatilidad superiores 0.5527 es de 28.4%.
Recordemos que dicha probabilidad es de 10% para el caso de volatilidad histórica. Luego, esta
diferencia del 18.4% entre volatilidades históricas y volatilidades implícitas podría indicar la
existencia de anomalías en el mercado de capitales de Buenos Aires. Dichas incongruencias pueden
conducir a posibilidades de arbitraje. Una de ellas podría ser vender consistentemente en el tiempo
opciones de compra in the money.
Weibull(1.9864, 0.27794) Shift=+0.24084
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
>17.5%82.5%-Infinity 0.6085
Mean = 0.48699
Mean = 0.48719
27 Seguidamente son analizadas distribuciones out of the money y estrategias combinadas de arbitraje
se desarrollan.
Volatilidad implícita At The Money
La función de densidad utilizada es la función Beta Generalizada con parámetros 73.131 =α ,
56.92 =α , 21.0min = y 85.0max = .
BetaGeneral(13.729, 9.5591, -0.20630, 0.85295)
0
1
2
3
4
5
6
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
< >10.2%89.8%-Infinity 0.5527
Mean = 0.41826
Mean = 0.41816
El grafico referente a la distribución de probabilidad de volatilidades implícitas para opciones de
compra At The Money indica que existe un 89.8% de probabilidad de encontrar valores entre 0 y
0.5527. Luego la diferencia respecto a la distribución de volatilidades históricas es mínima, existe
un 0.2% de que los valores obtenidos en la función de distribución implícita no sean idénticos a los
de la distribución histórica.
28 Volatilidad Implicita Out Of The Money
La función de densidad utilizada es la función Logística de la forma
β
βασ
σ4
21
sec)(
2
−
=h
f donde α es el parámetro continuo de localización y β
es el parámetro continuo de escala. En el presente caso 49.0=α y 03.0=β .
En el análisis de opciones in the money se encontró que la probabilidad de obtener valores de
volatilidad implícita mayores a valores de volatilidad histórica es considerable.
De manera simétrica, se analiza la probabilidad de encontrar valores de opción out of the money con
volatilidades implícitas inferiores a lo valores de volatilidad histórica.
Para ello debemos comparar las colas izquierdas de ambas distribuciones. El grafico para la
distribución histórica se mantienen, pero se cambian los intervalos de acumulación. Así, existe un
90% de probabilidad de que las volatilidades históricas del subyacente se encuentren en el intervalo
0.4562 e Infinito, lo cual implica que se pueden encontrar valores de volatilidad histórica inferiores
0.4562 con una probabilidad del 10%.
La siguiente figura representa la distribución de probabilidad de opciones de compra out of the
money.
Como se puede apreciar el área comprendida entre 0.4562 e Infinito es del 72.7%.
Esto implica que la probabilidad de encontrar volatilidades implícitas con valores inferiores a 0.4562
es del 27.3%.
Luego, esta diferencia del 17.3% entre volatilidades históricas e implícitas out of the money podría
interpretarse como una anomalía análoga para el caso de opciones de compra in the money.
29
Logistic(0.490131, 0.034607)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
< >2.2% 97.8%0.3590 +Infinity
Mean = 0.48476
Mean = 0.49013
Proceso GARCH(1,1) Versus Volatilidad implícita
Encontramos una discrepancia no menor en la distribución de probabilidad de volatilidades
históricas e implícitas. Ahora se procede a comparar la distribución de probabilidad de volatilidades
medidas como un proceso GARCH(1,1) en relación a la volatilidad implícita.
Recordemos que en la sección 3 se concluyo que las series temporales referidas a volatilidades
medidas como un proceso de heteroscedasticidad condicional reflejan mejor la evolución del valor
del activo que si la misma es medida mediante el concepto de volatilidad tradicional.
Proceso GARCH(1,1)
La función de densidad utilizada es la función Beta Generalizada con parámetros 79.01 =α ,
89.02 =α , 34.0min = y 64.0max = .
La siguiente figura presenta la distribución de frecuencias y su función de densidad ajustada
mediante el algoritmo K-S. Existe un 90% de probabilidad de obtener valores de volatilidad medidas
por el GARCH(1,1) inferiores a 0.6085. Así, existe una probabilidad del 10% de encontrar valores
superiores a 0.6085.
Si analizamos la figura de volatilidades implícitas para opciones in the money previamente
presentada, el área comprendida entre 0.6085 e Infinito es del 17.5%. Luego la diferencia entre ambas
volatilidades es del 7.5%. Luego, es de notar la menor discrepancias entre Volatilidades implícitas
ITM y GARCH(1,1) en relación a la comparación previa. De esta forma, si en el caso Volatilidad
30 Histórica 60d. Vs. Volatilidad Implícita ITM existen posibilidades de arbitrajes (18.4% de
discrepancia), en el caso GARCH(1,1) Vs. Volatilidad Implícita ITM las posibilidades de arbitraje
disminuyen al 7.5%.
BetaGeneral(0.79484, 0.88701, 0.34044, 0.63624)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
10.0% 90.0%0.3590 +Infinity
Mean = 0.47657
Mean = 0.48024
El análisis para opciones de compra out of the money es análogo. La probabilidad de encontrar
valores inferiores a 0.359 es de 10% para el proceso GARCH(1,1), mientras que la probabilidad de
encontrar valores inferiores a 0.359 es del 2.3% para volatilidades implícitas out of the money.
En este caso la diferencia en relación al caso Volatilidad Histórica 60d. Vs. Volatilidad Implícita
OTM no solo son menores, sino que son de signo opuesto. Sin embargo, la discrepancia es inferior al
8%, por lo cual se descarta cualquier posibilidad de arbitraje14.
Lo expresado se condice con las conclusiones obtenidas en la Sección 3. referente a series temporales.
El proceso GARCH(1,1) refleja de mejor manera la evolución de los retornos del subyacente, por lo
14 La restricción impuesta para la aplicación de estrategias de arbitrajes son discrepancias entre distribuciones superiores al 15%.
31 tanto, las discrepancias con las expectativas de volatilidad en el futuro cercano medidas por la
volatilidad implícita son menores.
Como se observo en los gráficos, dichas distribuciones y respectivas características estadísticas
distan de ser similares.
En las primer secciones del presente trabajo expresamos los supuestos del modelo de valuación de
opciones de Black-Scholes. Del mismo se desprende que, si los retornos de un activo financiero
determinado siguen una distribución de probabilidad determinada, de la cual se obtienen las
volatilidades, la distribución de volatilidad del derivado financiero debe ser similar a la del
subyacente. Si no lo es, surgen complicaciones en la valuación del derivado, las cuales pueden
conducir a oportunidades de arbitrajes, replanteos sobre el concepto de volatilidad introducido en el
modelo o replanteos del modelo de valuación como un todo debido a las diferencias entre
volatilidad del activo subyacente y volatilidad del derivado.
Como se concluye en la Seccion3, la medida de volatilidad y su capacidad de predicción medida
como la Volatilidad Implícita es mejor reflejada por un proceso GARCH(1,1) que por el concepto
tradicional de volatilidad medido como el desvío estándar respecto al retorno medio.
Específicamente, se encuentra que en todos los casos analizados la diferencia entre volatilidad
histórica (HV) y volatilidad Implícita (IV) ITM o OTM no es trivial. Dicha diferencia podría indicar
oportunidad de arbitraje.
Si el modelo de Black-Scholes es un modelo eficiente en sentido estricto, esto prueba que la
volatilidad implícita esperada por el mercado para valuar opciones In The Money es
considerablemente más alta que la volatilidad realizada del activo subyacente. Ergo, si el modelo de
Black-Scholes es el correcto para valuar opciones sobre acciones, existe una posibilidad de arbitraje
en el mercado de valores de Argentina.
La estrategia de arbitraje consiste en vender opciones de compra que se encuentren in the money y
con lo obtenido comprar opciones de compra que se encuentren out of the money. La estrategia se
basa en el hecho de que si el modelo Black-Scholes para valuar opciones sobre acciones es completo
el valor de volatilidad encontrado a partir de invertir la ecuación fundamental de BS es el verdadero
valor de volatilidad, luego si el mercado valúa con una valor diferente al resultante de BS, se puede
arbitrar al mercado. El valor de volatilidad esperado por el mercado para valuar opciones in the
money, resultante de invertir BS, es superior al valor de volatilidad histórico obtenido en base a la
evolución de los retornos del subyacente. Luego, las opciones in the money se encuentran
sobrevaluadas por el mercado.
32 De manera similar, el valor esperado por el mercado para opciones out of the money es menor al
valor observado de volatilidades de los retornos. Luego, el mercado esta infravalorando las opciones
de compra que se encuentran out of the money.
Por lo tanto, la estrategia global consiste en vender opciones de compra in the money, y con lo
recaudado, comprar opciones de compra out of the money. La estrategia, excluyendo costos de
transacción, no presenta costos de inversión inicial.
La estrategia fue utilizada para los tres activos principales del Mercado de Valores de Buenos Aires,
los resultados concluyen que no es posible arbitrar el mercado de valores de manera consistente.
Debemos recordar que dicha estrategia utilizo el concepto de volatilidad tradicional medida como el
desvío de los retornos respecto a su valor medio, ponderado de manera uniforme.
Si se reemplaza dicha medida por un proceso GARCH(1,1), las posibilidades de armado de
estrategias de arbitraje resultan triviales, el mercado de valores resulta eficiente en sentido débil.
33
6. Conclusiones
El desarrollo en las cinco secciones precedentes tuvo por objeto analizar el comportamiento de las
volatilidades de los principales papeles del Mercado de Valores de Buenos Aires.
Se estimo la expectativa de los agentes del mercado en base al cálculo de la volatilidad implícita de
opciones sobre acciones mediante el algoritmo de Newton-Raphson. Se observo que la evolución de
su serie temporal es un indicador correcto de la incertidumbre del subyacente. Dicho concepto fue
tomado como una medida del tipo "forward looking", en la cual su resultado incluye no solo
información pasada, sino también presente y comportamientos esperados en el futuro próximo. Se
encontró que cambios en la evolución del activo subyacente son anticipados por cambios en la
volatilidad implícita de la opción con un promedio de 2 días de antelación.
En lo referentes a medidas del tipo "backward looking" se observo que el concepto de volatilidad en
sentido tradicional no es un buen indicador de las oscilaciones de los precios de los activos de corto
plazo. Dicha definición solo reacciona a grandes cambios en la tendencia del subyacente.
Se propuso una medida que reflejara de manera más eficiente la evolución de activos con una vida
no mayor a un trimestre. Luego, el concepto tradicional fue reemplazado por un proceso GARCH de
primer orden. Los resultados obtenidos fueron satisfactorios, la volatilidad de los retornos medida
con un modelo GARCH(1,1) es un mejor indicador de la evolución del valor del subyacente.
Se estimaron distribuciones de probabilidad para cada medida de volatilidad. Primeramente se
compararon las funciones de densidad Volatilidad Historica y Volatilidad Implicita ajustadas
mediante el estadístico Kolmogorov-Smirnov.
Se encontró que, si el modelo de Black-Scholes es correcto, las opciones para las cuales su precio de
ejercicio es menor al valor del stock en un nivel mayor al 10% (ITM) poseen una mayor volatilidad
implícita a la volatilidad histórica estimada para el subyacente. Luego, se encuentran sobrevaluadas,
y la estrategia recomendada fue vender opciones in the money.
Del mismo modo, las opciones para las cuales el precio de ejercicio es mayor al precio de la acción
subyacente en un nivel mayor al 10% se encuentran infravaloradas. Comprar dichas opciones de
compra fue la recomendación dada.
Luego, la estrategia conjunta de inversión inicial nula fue vender opciones de compra ITM, con lo
recaudado comprar opciones de compra OTM y esperar a la madurez del derivado. Dicha estrategia
se baso en el hecho de que si las opciones ITM se encuentran asignadas con una
volatilidad(implícita) mayor a la cual debería ajustarse(histórica), luego, se espera que la BSIV
decaiga y por lo tanto decaiga su valor. Así, se espera que dichas opciones no sean ejercidas al
34 vencimiento. Lo opuesto sucede con las opciones de compra OTM. Dicha estrategia podría
denominarse bajista o bearish debido a que la ganancia se maximiza a medida que el valor del activo
disminuye.
Sin embargo, la estrategia de arbitraje no pudo finalizar exitosamente de manera sistemática.
Lo anterior permite concluir que el mercado de opciones financieras es eficiente en sentido débil.
35
Anexo 1. Prueba de la formula de Black-Scholes
El pago de de una opción de compra europea es
Black y Scholes demuestran que el precio de dicha opción esta dado por
donde (.)Φ es la función de distribución acumulativa para la variable aleatoria normal
estandarizada N(0,1). Luego
Prueba: la solución de Kolmogorov es
Reescribimos ( )xwX para la función de densidad de la variable aleatoria X. Entonces
Operando el integrando
La división de la ecuación en dos términos (A) y (B) permitirá trabajar por separado en la resolución.
Así, procedemos a la resolución término por término
)()( BA −=
36
Empezamos por el termino (B)
( ) [ ]KTSKeB tTr >= −− )(Pr)(
( )∫∞−−=K S
tTr dSSSweA )()(
donde Y = log S. Dado que Y se distribuye normal
( )
( )
( )
( ) dYtT
tTrYY
tT
eAK
tTr
∫∞−−
−
−
−−
−−
=log 2
2
2
2 221
exp2
)(σ
σ
πσ
37
Luego
Por lo tanto
Si escribimos
Entonces
38
Si definimos YUZ σ/= , luego la integral precedente puede ser reexpresada como
Por lo tanto
)()( 1dSA Φ=
Finalmente sumando ambos términos (A) y (B)
que es lo que se pretendía demostrar.
39
Anexo 2. Rutinas de Programación para Newton-Raphson
Newton-Raphson
Si 0)( =xf
es la ecuación que se busca resolver, dado un valor inicial 0x , se itera por
)(')(
1i
iii xf
xfxx −=+ hasta que
εp)( ixf donde ε es el grado de error limite.
Para el presente caso
)()( σBSobs ccxf −=
Luego en cada iteración sucesiva se obtiene
σ
σσσ
∂∂
−
−+=+ ()
)(1
BS
iBSobsii c
cc
// file black_scholes_imp_vol_newt.cc
// calc implied volatility con Black Scholes formula mediante newton steps
#include "fin_algoritms.h"
#include "normdist.h"
#include <cmath>
double option_price_implied_volatility_call_black_scholes_newton(
double S, double X, double r, double time, double option_price)
// check for arbitrage violations.lowerboundaryconditions:
// if price at almost zero volatility greater than price, return 0
double sigma_low = 1e-5;
double price = option_price_call_black_scholes(S,X,r,sigma_low,time);
40 if (price > option_price) return 0.0;
const int MAX_ITERATIONS = 500;
const double ACCURACY = 1.0e-4;
double t_sqrt = sqrt(time);
double sigma = (option_price/S)/(0.398*t_sqrt); // find initial value
for (int i=0;i<MAX_ITERATIONS;i++)
price = option_price_call_black_scholes(S,X,r,sigma,time);
double diff = option_price -price;
if (fabs(diff)<ACCURACY) return sigma;
double d1 = (log(S/X)+r*time)/(sigma*t_sqrt) + 0.5*sigma*t_sqrt;
double vega = S * t_sqrt * n(d1);
sigma = sigma + diff/vega;
;
return -99e10; // ERROR, should throw exception
;
Anexo 3. Procesos Autorregresivos de Heteroscedasticidad
Condicional
Engle demuestra que es posible modelar simultáneamente la media y la varianza de una serie.
Para probar que las estimaciones condicionales dominan a las no condicionales, si debemos estimar
el modelo ARMA estacionario
ttt eyaay ++= −110
deseamos obtener 1+ty . Su estimación condicional es ttt yaayE 101 +=+
Si utilizamos esta media condicional para estimar 1+ty , la varianza del error de estimación será
( )[ ] 221
2101 σ==+− ++ ttttt eEyaayE
41 Sin embargo, si utilizamos estimaciones no condicionales, la estimación no condicional es la media
de largo plazo de la serie ty que es igual a )1/( 00 aa − . El error de estimación no condicional de
la varianza es
[ ] ( )[ ] )1/(...)1/( 21
221
21111
2101 aeaeaeEaayE ttt −=+++=−− −++ σ
donde 01 fa , luego la estimación no condicional posee una varianza mayor a la estimación
condicional.
De manera análoga, si la varianza de te no es constante, es posible utilizar un modelo ARMA para
estimar la tendencia en los movimiento de la varianza.
Si te es el residuo estimado del modelo ttt eyaay ++= −110 , la varianza condicional de 1+ty es
( )[ ] 21
21011 )( +++ =−−= ttttttt eEyaayEyyVar
Un proceso AR(q) es implementado para modelar la varianza condicional utilizando el cuadrado de
los residuos estimados
tqtqttt veeee +++++= −−−22
222
1102 ˆ...ˆˆˆ αααα , donde tv es un proceso ruido blanco característico.
Ahora bien, si los valores nαααα ,...,,, 321 son nulos, la varianza estimada será la constante 0α . Si
esto no sucede, la varianza condicional de ty evoluciona de acuerdo al proceso autoregresivo dado
por la ecuación precedente, luego, la estimación de la varianza condicional para t+1 es
21
212
210
21 ˆ...ˆˆˆ qtqtttt eeeeE −+−+ ++++= αααα
Esta especificación ilustra que los niveles actuales de volatilidad serán influenciados por valores
pasados y que periodos de baja o alta fluctuaciones de precios tenderán a persistir.
42
Sin embargo, el modelo para ty y la varianza condicional es mejor modelado especificando tv
como una perturbación multiplicativa de la forma 2110 −+= ttt eve αα , donde tv es un ruido
blanco de manera que 12 =vσ , tv y 1−te son independientes, y 00 fα y 10 1 pp α .
Proceso GARCH
Bollerslev (1986) continúa el trabajo original de Engle y desarrolla una técnica que permite a la
varianza condicional seguir un proceso auto regresivo de media móvil (ARMA).
Luego
ttt ve σ=
∑∑=
−−=
++=p
iitiit
q
iit ew
1
22
1
2 σβασ
donde tv es un proceso ruido blanco independiente de las realizaciones pasadas de ite − , luego, la
media condicional e incondicional de te son iguales a cero. Tomando el valor esperado a te , se
verifica que 0== ttt EvEe σ . Lo relevante es que la varianza condicional de te esta dada por
221 ttt eE σ=− .
Este modelo ARCH(p,q) generalizado, denominado GARCH(p,q), permite incorporar componentes
autoregresivos y de media móvil en la varianza heteroscedastica.
Para el caso en que p=0, q=1 el modelo ARCH en primeras diferencias dado por
2110 −+= ttt eve αα es un modelo GARCH(0,1).
Si los coeficientes iβ son todos nulos, el modelo GARCH(p,q) es equivalente a un modelo ARCH(q).
43 GARCH(1,1)
En un proceso GARCH(1,1) las innovaciones tv son independientes idénticamente distribuidas
(i.i.d.) con media 0 y varianza unitaria. La ecuación del valor medio esta escrita como una función de
variables exógenas mas un termino de error. Debido a que 2tσ es la estimación de la varianza del
periodo siguiente basada en información pasada es por ello que la misma se denomina varianza
condicional.
El componente (1,1) en GARCH (1,1) refiere a la presencia del termino GARCH de primer orden y
un termino ARCH de primer orden. Como mencionamos, un modelo ARCH estándar es un caso
especial del GARCH en el cual no existen estimaciones de varianzas desfasadas en la ecuación de
varianza condicional.
Los modelos ARCH son también estimados por métodos de máxima verosimilitud bajo el supuesto
de errores condicionales distribuidos normalmente.
Para el caso GARCH(1,1) la contribución al estimador máximo verosímil de la observación t es
22
21
log21
)2log(21
ttt vl −−−= σπ
Esto es, el agente estima la varianza del período actual formando un promedio ponderado de un
termino medio de largo plazo (la constante), la varianza estimada del ultimo periodo ( término
GARCH), e información sobre volatilidad observada en periodos anteriores (termino ARCH). Si el
retorno del subyacente fue inesperadamente de gran magnitud ( en ambos sentidos, alza y baja),
luego el agente aumentara la estimación de la varianza para el siguiente periodo. Este modelo es
consistente con el concepto de volatilidad en cadena (clustering) usualmente presente en
información financiera sobre retornos, donde grandes cambios en retornos inducen a grandes
cambios en los retornos futuros.
Existen al menos dos representación alternativas de la ecuación de varianza que pueden ayudar a
una mayor interpretación del modelo:
• Si sustituimos recursivamente por la varianza desfasada en 21
21
2−− ++= ttt ew βσασ , podemos
expresar la varianza condicional como un promedio ponderado de todos los residuos desfasados
44
∑∞
=−
−+−
=1
212
1 iit
it e
wβα
βσ
• De esta manera observamos que la especificación de varianza en un proceso GARCH (1,1) es
análogo al concepto tradicional de varianza, pero con ponderaciones menores de errores cuadrados
a medida que el periodo se torna distante.
• El error en los retornos cuadrados esta dado por 22ttt ev σ−= . Luego, sustituyendo las varianzas
en la ecuación de varianza y operando podemos rescribir el modelo en términos de los errores
12
12 )( −− −+++= tttt vvewe ββα
• Luego, los errores cuadrados siguen un proceso ARMA(1,1) heteroscedastico. La raíz
autoregresiva que domina la persistencia de los shocks de volatilidad es ( )βα + , su valor es
cercano a la unidad de manera que los shocks desaparecen de manera lenta.
Anexo 4. GFG Octubre 2003 - Abril 2004
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
01/09/
2003
15/09/
2003
29/09/
2003
13/10/
2003
27/10/
2003
10/11/
2003
24/11/
2003
08/12/
2003
22/12/
2003
05/01/
2004
19/01/
2004
02/02/
2004
16/02/
2004
01/03/
2004
15/03/
2004
29/03/
2004
12/04/
2004
GARCH(1,1) Historica 60d Implied Vol. Stock*
45
Anexo 5. Threshold ARCH proccess para GFG Abr.2004
Dependent Variable: RETURNGALICIA
Method: ML - ARCH (Marquardt)
Date: 02/07/05 Time: 22:50
Sample(adjusted): 1/02/2004 4/12/2004
Included observations: 72 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 51 iterations
Bollerslev-Wooldrige robust standard errors & covariance
Variance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
Variance Equation
C 0.000230 5.01E-07 458.3813 0.0000
ARCH(1) -0.122820 0.063394 -1.937413 0.0527
(RESID<0)*ARCH(1) 0.496068 0.263413 1.883235 0.0597
GARCH(1) 0.538306 0.133865 4.021264 0.0001
R-squared -0.005457 Mean dependent var 0.002131
Adjusted R-squared -0.049816 S.D. dependent var 0.029049
S.E. of regression 0.029764 Akaike info criterion -4.452854
Sum squared resid 0.060240 Schwarz criterion -4.326373
Log likelihood 164.3028 Durbin-Watson stat 1.882588
El efecto leverage medido por el termino (RESID<0)*ARCH(1) en el cuadro resultante es positivo
con un grado de significación relativamente alto, luego se puede concluir que el efecto tiende a ser
asimétrico en cierta medida. Se utilizo el error estándar de cuasi-verosimilitud robusto debido a que
los residuos son altamente leptocurticos.
Anexo 6. Estimadores de Máxima Verosimilitud (MLE)
Los estimadores máximos verosímiles de una distribución son los parámetros de la función que
maximizan la probabilidad de obtener un conjunto de valores dados. Sea
46
);,...,,()( 21 θσσσθ ngL =
la función de verosimilitud para las variables aleatorias nσσσ ,...,, 21 . Si θ es el valor de θ en Ω
que hace máxima )(θL o mas exactamente ( )nd σσσ ,...,, 21 es entonces el estimador máximo
verosímil de θ . Si nσσσ ,...,, 21 es una muestra aleatoria de volatilidades del Mercado de Valores
de Buenos Aires de una densidad ( )θσ;f , la función de verosimilitud es
);()...;();()( 21 θσθσθσθ nfffL =
Si la función de verosimilitud satisface condiciones de regularidad, el estimador máximo verosímil
es la solución de la ecuación 0)(
=θθ
ddL
. )(θL y [ ])(log θL toman su máximo para el mismo valor
de θ .
Anexo 7. Estadístico Kolmogorov-Smirnov.
El estadístico KS se basa en una comparación entre las funciones de distribución acumulativa que se
observan en la muestra ordenada y la distribución propuesta bajo la hipótesis nula. Si esta
comparación revela una diferencia suficientemente grande entre las funciones de distribución
muestral y propuesta luego la hipótesis nula en la que la distribución es )(0 σF se rechaza.
Considérese la hipótesis nula
)()(: 00 σσ FFH =
donde )(0 σF se especifica en forma completa. Luego, denótense por nσσσ ,...,, 21 a las
observaciones ordenadas de una muestra de tamaño n y defínase la función de distribución
acumulativa muestral como
47
≥≤= +
n
kkn nkSσσ
σσσ
σσ
σ,1
,/
,0
,,)( 1
1
p
p
para cualquier valor ordenado σ de la muestra aleatoria, )(σnS es la proporción del número de
valores en la muestra que son iguales o menores a σ . Como )(0 σF se encuentra de manera
explicita, es posible evaluar a )(0 σF para algún valor deseado de σ , y entonces comparar este
valor con el valor correspondiente de )(σnS . Si la hipótesis nula es verdadera se espera que la
diferencia sea pequeña.. Por ello se dice que nKS es un estadístico independiente de la distribución.
Lo anterior tiene como corolario que la función de distribución de Kn pueda evaluarse solo en
función del tamaño de la muestra y después usarse para cualquier )(0 σF ..
Anexo 8. Distribuciones de Probabilidad Acumulativas de
Volatilidades para ACIN y PBE.
Acindar (ACIN)
Historica 60d.
Fit Input
Minimum 0.3274 0.3274
Maximum 0.64824 0.64824
Mean 0.52091 0.54887
Mode N/A 0.34292 [est]
Median 0.55018 0.5999
Std. Deviation 0.11362 0.11929
Variance 0.012909 0.014032
Skewness -0.4005 -1.13
Kurtosis 1.6439 2.4428
BetaGeneral(0.54801, 0.36060, 0.32740, 0.64824)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
5.0%90.0%0.3325 0.6481
48 GARCH(1,1)
Fit Input
Minimum 0.25864 0.27059
Maximum 0.88757
Mean 0.53143 0.53174
Mode 0.4375 0.41678 [est]
Median 0.50439 0.50953
Std. Deviationº 0.16664 0.16565
Variance 0.027769 0.027059
Skewness 0.8165 [est] 0.4702
Kurtosis 3.4376 [est] 2.1775
Implied Volatility ITM
Fit Input
Minimum 0.29405
Maximum 0.65885
Mean 0.411107 0.41271
Mode 0.37715 0.34069 [est]
Median 0.398712 0.40389
Std. Deviation 0.075452 0.081296
Variance 0.005693 0.0064396
Skewness 1.1395 1.1195
Kurtosis 5.4 4.0233
Weibull(1.6835, 0.30553) Shift=+0.25864
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.00.
2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
>5.0% 5.0%90.0%0.3110 0.8449
ExtValue(0.377150, 0.058830)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
< >5.0% 5.0%90.0%0.3126 0.5519
49
Implied Volatility OTM
Fit Input
Minimum 0.26036 0.26036
Maximum 0.47883 0.47883
Mean 0.37102 0.37358
Mode N/A 0.30952 [est]
Median 0.37264 0.37818
Std. Deviation 0.082532 0.064175
Variance 0.0068115 0.0037065
Skewness -0.025 -0.1469
Kurtosis 1.4013 2.3312
Petrobras (PBE)
Historica 60d.
Fit Input
Minimum 0.22243 0.22243
Maximum 0.40918 0.40918
Mean 0.32784 0.33188
Mode N/A 0.38748 [est]
Median 0.33948 0.36448
Std. Deviation 0.067922 0.072403
Variance 0.0046134 0.0051684
Skewness -0.248 -0.4736
Kurtosis 1.5133 1.4529
BetaGeneral(0.38058, 0.37080, 0.26036, 0.47883)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
5.0%90.0%0.2607 0.4785
BetaGeneral(0.48450, 0.37385, 0.22243, 0.40918)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.20
0.26
0.32
0.38
0.44
10.0% 90.0%0.2285 0.4400
50
GARCH(1,1)
Fit Input
Minimum 0.22455 0.22455
Maximum 0.48789 0.48789
Mean 0.33977 0.34073
Mode N/A 0.29369 [est]
Median 0.33065 0.32107
Std. Deviation 0.083789 0.080671
Variance 0.0070205 0.0064162
Skewness 0.2288 0.1589
Kurtosis 1.7068 1.677
Implied Volatility ITM
Fit Input
Minimum 0.15316 0.20721
Maximum 0.87713
Mean 0.41401 0.41078
Mode 0.35722 0.37422 [est]
Median 0.38665 0.38211
Std. Deviation 0.14122 0.11993
Variance 0.019943 0.014313
Skewness 4.6805 1.2278
Kurtosis N/A 4.8023
BetaGeneral(0.62616, 0.80491, 0.22455, 0.48789)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
10.0%90.0%0.2000 0.4633
LogLogistic(0.15316, 0.23349, 3.8967)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
>24.9%75.1%-Infinity 0.4633
51
Implied Volatility OTM
Fit Input
Minimum 0.23902 0.27535
Maximum 0.74791
Mean 0.35757 0.36102
Mode 0.34632 0.36876 [est]
Median 0.35235 0.35653
Std. Deviation 0.037468 0.058048
Variance 0.0014038 0.0033359
Skewness 1.7865 4.2374
Kurtosis 14.2796 26.2509
Anexo 9. Funciones de Densidad para ACIN y PBE.
Acindar (ACIN)
Historica 60d. GARCH(1,1)
BetaGeneral(0.54801, 0.36060, 0.32740, 0.64824)
0
3
6
9
12
15
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
5.0%90.0%0.3325 0.6481
Weibull(1.6835, 0.30553) Shift=+0.25864
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
>5.0% 5.0%90.0%0.3110 0.8449
LogLogistic(0.23902, 0.11333, 6.0735)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
>8.1%91.9%-Infinity 0.4081
52
Implied Volatility ITM Implied Volatility OTM
Petrobras (PBE)
Historica 60d. GARCH(1,1)
ExtValue(0.377150, 0.058830)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
< >5.0% 5.0%90.0%0.3126 0.5519
BetaGeneral(0.38058, 0.37080, 0.26036, 0.47883)
Val
ues
x 10
^20.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
90.0%0.2607 0.4785
BetaGeneral(0.48450, 0.37385, 0.22243, 0.40918)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.20
0.26
0.32
0.38
0.44
10.0% 90.0%0.2285 0.4400
BetaGeneral(0.62616, 0.80491, 0.22455, 0.48789)
0
2
4
6
8
10
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
10.0%90.0%0.2000 0.4633
53
Implied Volatility ITM Implied Volatility OTM
LogLogistic(0.15316, 0.23349, 3.8967)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
>24.9%75.1%-Infinity 0.4633
LogLogistic(0.23902, 0.11333, 6.0735)
0
2
4
6
8
10
12
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
>8.1%91.9%-Infinity 0.4081
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Referencias
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