View
239
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 1/26
Brzina u polarno cilindrinom sistemu
Polarna osa, cirkularna i aplikata po pravcu i smeru su definisane jedininim vektorima, pa se svakivektor, pa i vektor brzine može
prikazati na slede#i nain:
0r z k,= r ×r + ×rr r
k c , , 00
rrr
c z 0 c 0 zv v v c k.r rn = + + = n ×r + n × + n ×r rr rr r r
Vektor položaja take je:
Diferenciranjem vektora položaja po vemenu dobija se brzina:
0 00 0
d ddr d dz dk v k z z k.
dt dt dt dt dt dt
r rr= = ×r + r× + × + × = r ×r + r × + ×
rr rr rr rr rr
& &
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 2/26
Vremenske promene ortova je mogu#e odrediti
ako te ortove izrazimo pomo#u konstantnih ortova00 , c
rrr
., jirr
Transformacija koordinata proizvoljne take M:
j r cos×= M x j r sin×= M y
22 M M y x +=r
M
M
x
ytg =j
M
M
x
yarctg =j
,sincossincos 000 ji jirrr
rr
rr ×+×=××+××= j j j r j r r
ji jciccrrrrrrr
×+×-=××+××-= j j j j cossincossin 000
10 =r r
10 =cr
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 3/26
Izvodi ortova po vremenu su:
ji jdt
d i
dt
d
dt
d r&
r&
rrr
××+××-=××+××-= j j j j j
j j
j r
cossincossin0
( ) ,cossin 00 c ji
dt
d r&
rr&
r
×=×+×-×= j j j j r
,sincossincos0 ji jdt
d i
dt
d
dt
cd r&
r&
rrr
××-××-=××-××-= j j j j j
j j
j
( ) ,coscos 00 r j j j j
r&
rr&
r
×-=×+××-= jidt
cd
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 4/26
.0
0
0
0 k z
dt
d
dt
k d z k
dt
dz
dt
d
dt
d
dt
r d v
r&
rr
&
rr
rr
rrr
×+×+×=×+×+×+×== r
r r r r
r r r
)0(,0 == k dt
k d &rr
jer je: . i 0000 r j j r r
&
rr
&
r
×-=×= dt
cd cdt
d
c
z
,
,
z.
rn = r
n = r × j
n =
&
&
&
( )2 2 2 2 2, z .n = n n = r + r ×j +r r
& & &
( )2
2 2 2 2 2c zv z ,r= n = n + n + n = r + r ×j +
r& & &
c zcos , cos , cos .r
n n n
n n na = b = g =
n n n
,00 k z cvr
&r
&r
&r
×+××+×= j r r r
Komponente brzine: Intenzitet brzine:
Pravac vektora brzine:
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 5/26
Brzina take u sfernom koordinatnom
sistemux r cos cos ,
y r cos sin ,
z r sin .
= y j
= y j
= y
2 2 2 2x y zn = + +& & &
x r cos cos r sin cos r cos sin ,= × y × j - ×y × y × j - ×j× y × j& & &&
y r cos sin r sin sin r cos cos ,= × y × j - ×y × y × j + ×j× y × j& & &&
z r sin r cos ,= = y + ×y × y& &&
( ) ( )
2 22 2r r cos r .n = + ×j × j + × y& & &
r 0 c 0 0v r c .n= n × + n × + n × nr r rr
r
c
r,
r cos ,
r .n
n =
n = × j × j
n = × y
&
&
&
Komponente brzine:
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 6/26
r 0 c 0 0v r c .n= n × + n × + n ×nr r rr
r
c
r
r cos
r .n
n =
n = ×j× j
n = ×y
&
&
&
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 7/26
Opisivanje brzine u prirodnom koordinatnom
sistemu
r d ds r
±=
T ds
r d rr
=
T ds
r d rr
×= 1
( )s s t=
dr ds T / dt= × rr
dr dr dsv s T.
dt ds dt= = × = ×
r rrr
&
T
N
B
s,
0,
0.
n =
n =
n =
&
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 8/26
.
s 0,>&
s 0<&
v s.= &
( )T Tv v v t= =
brzina je usmerena u pozitivnom smeru, a ako je
u negativnom smeru putanje.
Intenzitet brzine je
U sluaju da je dat zakon promene brzine
onda se integraljenjem brzine dobija zakon kretanja:
pri emu se konstanta C odre%uje iz poetnih uslova.
( )Ts v t dt C,= +ò
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 9/26
Ubrzanje take
( ) ( )def
sr
v t t v tv.
t t
+ D -D= =
D D
r rrra
def
sr t 0 t 0
v dv
lim lim .t dtD ® D ®
D
= = =D
r rr r
a a
dvv,
dt= =
rr r&a
2
2d r r.dt
= =r
rr &&a
Ubrzanje je jednako drugom izvodu vektora položaja po vremenu
Dimenzija ubrzanja je:[ ] 2
L T .-= ×a
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 10/26
Vektor ubrzanja ima pravac tangente na hodograf brzine.
Ukoliko vektor ubrzanja take paralelno premestimo u zajedniku taku O2dobi#emo skup vektora iji vrhovi, kada se spoje, daju krivu liniju koja sezove hodograf ubrzanja. Dakle dok se taka kre#e duž putanje, i vektor
položaja opisuje hodograf - liniju putanje, vektor brzine take opisujehodograf brzine, a vektor ubrzanja - hodograf ubrzanja. Položajima M,M1 odgovaraju M'1 i M'2 na hodografu brzine, a M1² i M2² na hodografuubrzanja.
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 11/26
Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom
sistemu
Dvostrukim diferenciranjem vektora položaja po vremenu
dobija se ubrzanje:
r x i y j z k,= × + × + ×r r rr
x i y j z k,= × + × + ×r r r
r && && &&a
x
y
z
x,
y,
z,
=
=
=
&&
&&
&&
a
a
a
,222 z y xa &&&&&& ++= .cos ,cos ,cosa
z
a
y
a
xaaa
&&&&&&=== g b a
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 12/26
Primer
Neka su zakoni kretanja take dati jednainama:
x = b sin(&t ) y = 'b cos(2&t ) z = b cos(2&t )gde su b i & pozitivne konstante.
Nalaženjem drugih izvoda po vremenu sledi:
a x = 'b&2 sin(&t )
a y = 4b&2 cos(2&t )
a z = '4b&2 cos(2&t )
a = b&2 sin2(&t ) + 32cos2(2&t )
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 13/26
Ubrzanje u polarno-cilindrinom koordinatnom
sistemu
0 0v c z k,= r ×r + r×j× + × rr rr & & &
0 0 0 0 0
dvc c c z k
dt
= = r ×r + r×j × + r× j× + r×j× - r×j ×j×r + ×r
rr r r r rr&& & & & & && & & &&a
( ) ( )2
0 02 c z k = r - rj r + rj + rj + rr rr
&& & & & && &&a
0 c 0 zc k.r= ×r + × + ×rr rr
a a a a
Radijalna, cirkularna i
aksijalna komponenta ubrzanja su:
2
c
z
,2 ,
z.
r = r - r ×j= ×r ×j + r ×j
=
&& &
& & &&
&&
aa
a2 2 2
c z ,r= + +a a a a
c za a acos , cos , cos .
ra = b = g =a a a
a a a
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 14/26
U sluaju kretanja take u ravni polarno cilindrini
koordinatni sistem se svodi na polarni koordinatni sistem,
komponenta z =0, pa su komponente ubrzanja :
2
r r r ,= - j&& &a
c 2 r r ,= j + j& & &&a
2 2r c
cr
r
,
tg ,
= +
a =
a a a
a
a
priemu je:
r r =
.
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 15/26
Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom
sistemu
Izvod orta po luku je:
( )dv d ds dT dT dssT T s s T s .dt dt dt dt ds dt
= = = + = +
r rrr r r&r
& & && &a
k
dT 1K N N,
ds R = =
rr r
gde je K krivina krive u posmatranoj taki, a R K poluprenik krivine. Vektor
ubrzanja je:2
k
ss T N
R = +
r r&r&&a
T
2
N
k
B
s,
s,
R
0.
=
=
=
&&
&
a
a
a
Kako je Tv s,= &
to se prethodni izrazi mogu napisati pomo#u
tangencijalne komponente brzine:
TT T
dvv ,
dt
= = &a2
T N
k
v.
R
=a T T k N 2
N T
v R tg .
v
a = = &a
a
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 16/26
Nomalna komponenta ubrzanja je uvek usmerena prema centrukrivine.
Ukoliko je u nekom intervalu ,za kretanje kažemo da jeubrzano u tom intervalu, a ako je , kretanje je usporeno.
Fiziki posmatrano kretanje se smatra ubrzanim ukoliko seintenzitet brzine pove#ava, a usporenim ako se intenzitet brzine smanjuje. Kriterijum za procenu kretanja se svodi naispitivanje skalarnog proizvoda :
Ako je kretanje je jednoliko - ravnomerno sakonstantnom brzinom.
0>T a0<T a
T Tv 0 ubrzano kretanje;× = > ®r ra a
T Tv 0 usporeno kretanje.× = < ®r ra a
0=T a
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 17/26
Odre#ivanje poluprenika krivine
x x(t), y y(t), z z(t),= = =
( ) 2 2 2v v t x y z ,= = + +& & &
2 2 2x y z= + +&& && &&a
T
dv
dt=
rra 22
N T aaa += 22T N aaa -=
2
T N
k R =a
2 2
Tk
N N
v vR .= =
a a
Ako su jednaine kretanja date u Dekartovom koordinatnom sistemu, onda je:
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 18/26
Neki posebni sluajevi kretanja take
U ovom poglavlju bi#e obra%ena etiri posebna sluajakretanja take, koja se vrlo esto sre#u u mehanici: jednoliko kretanje, jednako – promenjivo, kružnokretanje i harmonijsko kretanje.
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 19/26
Jednoliko kretanje
Kretanje je jednoliko ukoliko taka u jednakimvremenskim intervalima prelazi ista rastojanja.
Ovo znai da je brzina take konstantna.
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 20/26
Jednoliko kretanje
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
v const
x v const
v v i ,
dxv , dx v dt
dt
dx v dt C, x v t C
t 0, x x , x 0 C C x .
=
= =
=
= =
= + = +
= = = n × + Þ =ò ò
r
&
rr
,00 xt x +×=n
x y zx 0, y 0, z 0.= = = = = =&& && &&a a a
Pravolinijsko kretanje Kravolinijsko kretanje
Zakon kretanja 0 0x v t x= +
Ubrzanje
T 0v v s const= = =&
0 0s v t s= × +
2
0TT N
k
vdv0,
dt R = = =a a
Ubrzanje nije jednako nuli,
a N je posledica promene pravca
vektora brzine.
Zakon kretanja
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 21/26
Jednako promenjivo kretanje
Ako se u istim vremenskim intervalima brzina promeni
za istu veliinu kretanje je jednako promenjivo.
jednako ubrzano, kada je brzina linearno rastu#a
funkcija vremena, ( a>0 );
jednako usporeno, kada je brzina linearno opadaju#afunkcija vremena, ( a<0 ).
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 22/26
Jednako ubrzano kretanje
( )
0
0
2
0 0 0
0
x xdt dt,
x t C.x t v ,
t 0, x v
tx xdt t v dt v t C
x x2t 0, x x
= =
= + üÞ = +ý
= = þ
ü= = + = + × + ï
Þ =ýï= = þ
ò ò
ò ò
& &&
&&
&
&
a
aa
aa
.2
00
2
xt t a
x +×+×
= n x const 0= = >&& a
Pravolinijsko kretanje Kravolinijsko kretanje
Zakon kretanja
2
0 0
tx v t x
2= + +
a
TT
dvs const 0
dt= = = = >&& a a
2
0 0
ts v t s
2= + +
a
( )2 2
2
N 0
k k k
v s 1t v
R R R = = = +
&a a
Zakon kretanja
0s t v ,= +& a
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 23/26
Jednako usporeno kretanje
x const 0= - = <&&
a
0x t v ,= - +& a
2
0 0
t
x v t x2= - + +
a
Pravolinijsko kretanje Kravolinijsko kretanje
0x t v ,= - +& a
Zakon kretanja
s const 0= - = <&& a
0s t v ,= - +& a
2
0 0
ts v t s
2= - + +&
aZakon kretanja
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 24/26
Kružno kretanje
Ako se neka taka kre#e po kružnoj putanji, takvo
kretanje se naziva kružno kretanje.
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 25/26
s R ,= jBrzina take:
( )t j j =
Tv s R ,= = j& &
Ubrzanje take:T
dvs R ,
dt= = = j&& &a
2 2 2 22
Nk k
v s R R ,R R R
j= = = = j& & &a
2 2 2 4 TT N 2
N
R , tg .j
= + = j + j a = =j
&&&& &
&
aa a a
a
Položaj take na putanji odre#en je lunom koordinatom s
koja se može izraziti pomo$u ugla :
Jednoliko kružno kretanjev s const= =
& constj = w =&
( )0 0s R t t ,= w + j j = w + j2
T Ns R 0, R const.= = j = = w =&& &&a a
Vreme obilaska punog kruga T dobija se iz uslova 2 , t Tj = p =
2
2 T T .
p
p = w Þ = w
Zakon kretanja
gde je & kružna frekvencija ija je jedinica s-1
7/23/2019 II Kinematika Tacke 12
http://slidepdf.com/reader/full/ii-kinematika-tacke-12 26/26
Jednako ubrzano kružno kretanje s R const 0= j = >&& &&
const 0j = e = >&&
20 0
1t t
2j = e + w + j
gde jeo veliina za t 0.w j =&
Brzina take se linearno pove$ava u toku vremena:
( )0v R R t= j = e + w&
a komponente ubrzanja su:
( )22
T N 0R R , R R t .= j = e = j = e + w&&a a
Zakon kretanja
Recommended